digilib.unhas.ac.iddigilib.unhas.ac.id/uploaded_files/temporary/Digital... · 2021. 1. 16. ·...

i

NILAI TOTAL KETIDAKTERATURAN TITIK GRAFSPLITTING

SKRIPSI

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar SarjanaSains pada Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin Makassar

SITTI FATIMAHH111 11 273

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN

MAKASSAR

2018

ii

LEMBAR PERNYATAAN KEOTENTIKAN

Saya yang bertanda tangan dibawah ini menyatakan dengan sungguh-sungguh

bahwa skripsi yang saya buat dengan judul:

PENENTUAN NILAI TOTAL KETIDAKTERATURAN TITIK GRAF

SPITTING

Adalah benar hasil karya saya sendiri, bukan hasil plagiat dan belum pernah

dipublikasikan dalam bentuk apapun.

Makassr, 18 juli 2018

SITTI FATIMAHNIM : H111 11 273

v

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI SKRIPSI

UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIK

Sebagai civitas akademik Universitas Hasanuddin, saya yang bertanda tangan di

bawah ini :

Nama : Sitti Fatimah

NIM : H111 11 273

Program Studi : Matematika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Jenis Karya : Skripsi

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada

Universitas Hasanuddin Hak Bebas royalti Non-eksklusif (Non-exclusive

Royalty Free Right) atas skripsi saya yang berjudul :

“Nilai Total Ketidakteraturan Titik Grap Splitting”

beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Terkait dengan hal di atas, maka

pihak universitas berhak menyimpan, mengalih-media/format-kan, mengelola

dalam bentuk pangkalan data (database), merawat dan mempublikasikan skripsi

saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Makassar pada tanggal 18 juli 2018

Yang menyatakan

SITTI FATIMAH

vi

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirobbi’alamin. Puji syukur penulis haturkan kehadiran Allah

SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulisan

skripsi dengan judul “Penentuan Nilai Total Ketidakteraturan Titik Graf Splitting”

dapat terselesaikan dengan baik. Salawat dan taslim semoga tetap tercurah kepada

Rasulullah SAW yang menjadi suri tauladan bagi umat Islam dalam menjalani

hidup yang sesungguhnya.

Penulisan skripsi ini dapat terselesaikan berkat bantuan dan motivasi dari

berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis sampaikan terima kasih kepada:

1. Prof. Dr. Dwia Aries Tina Pulubuhu,.MA, sebagai Rektor Universitas

Hasanuddin Makassar.

2. Dr. Eng Amiruddin, sebagai Dekan Fakultas MIPA Universitas

Hasanuddin Makassar.

3. Prof. Dr. Amir Kamal Amir,.M.Sc, sebagai Ketua Jurusan Matematika

Universitas Hasanuddin Makassar.

4. Dr. Nurdi, S.Si., M.Si. dan Jusmawati Massalesse, S.Si., M.Si. yang

dengan sabar meluangkan waktunya demi memberikan bimbingan,

pengarahan, dan saran sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan.

5. Prof. Dr. Aidawayati Rangkuti, MS., Dr. Hendra, S.Si., M.kom., dan

Prof. Dr. Eng. Mawardi Bahri, S.Si.,M.Si. selaku penguji sekaligus

penasehat akademik, terima kasih atas saran dan kritikannya demi

perbaikan skripsi penulis.

6. Seluruh dosen di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin

yang telah mendidik, mengajarkan, membimbing, dan mencurahkan ilmu-

ilmunya kepada penulis.

7. Ayahanda Hasanuddin dan Ibunda Sitti Arfah tercinta yang senantiasa

memberikan kasih sayang, doa dan materi kepada penulis dalam menuntut

ilmu.

vii

8. Ketiga kakak Nurhasnawati, Widyawati, Hashrawati dan ketiga adik

Sitti Aisyah, Sitti Rahmah, Muh Akbar Karim serta seluruh keluarga

besar yang selalu memberikan doa, semangat, dan kasih sayang tanpa

batas.

9. Teman teman seperjuangan di jurusan matematika khususnya Polinom

2011, Matematika 2011, MIPA 2011, KM FMIPA UNHAS,

HIMATIKA FMIPA UNHAS, Teman-teman dekatku yang selalu

mensupport saya (Riskawati, Haerul, Rika Utami, Harfiah, Besse

Nuralang, Arini Sofyan, Dewi Puspawati, Asrini sofyan) terima kasih

atas rasa persaudaraan dan kebersamaan yang telah diberikan kepada

penulis.

10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu, yang telah

membantu penulis dalam menyelesaikan penulisan skripsi ini.

Dengan segala kerendahan hati, penulis menerima kritik dan saran demi

tercapainya kesempurnaan skripsi ini.

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca khususnya bagi

penulis. Amin Ya Robbal Alamin.

viii

ABSTRAK

Misalkan adalah suatu graf sederhana. Pelabelan : ∪ → {1, 2, 3, … , }disebut pelabelantotal tidak teratur titik pada jika untuk setiap dua titik yang

berbeda pada berlaku ( ) ≠ ( ) dimana ( ) = ( ) + ∑ ( )∈ .Bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga mempunyai suatu

pelabelantotal tidak teratur titik disebut nilai total ketidakteraturan titik pada ,

dinotasikan dengan ( ).Skripsi ini membahas mengenai penentuan nilai total ketidakteraturan titik

pada graf Splitting, , . Hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut :, = 2 + 13 , untuk ≥ 3.

Kata Kunci : Graf Splitting, Pelabelan Total Tidak teratur Titik, Nilai Total

Ketidakteraturan Titik.

ix

ABSTRACT

For a simple graph with the vertex set and the edge set . A labeling : ∪→ {1, 2, 3, … , } is called a vertex irregular total -labeling of if for any twodifferent vertices and in we have ( ) ≠ ( ) where ( ) = ( ) +∑ ( )∈ . The smallest positive integer such that has a vertex irregulartotal -labeling is called the total vertex irregularity strength of , denoted by( ).

In this paper, we determined the total vertex irregularity strength of

Splitting graph, , , in this peper we obtained that:, = 2 + 13 , for ≥ 3.

Keywords : Splitting Graph, Total Vertex Irregular Labeling, Total Vertex

Irregularity Strength.

x

DAFTAR ISILEMBAR PERNYATAAN KEOTENTIKAN ...................................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN................................Error! Bookmark not defined.

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI SKRIPSI UNTUKKEPENTINGAN AKADEMIK............................................................................. iv

KATA PENGANTAR ........................................................................................... vi

ABSTRAK........................................................................................................... viii

ABSTRACT........................................................................................................... ix

DAFTAR GAMBAR ............................................................................................. xi

DAFTAR TABEL................................................................................................. xii

DAFTAR LAMBANG ........................................................................................ xiii

BAB I PENDAHULUAN.......................................................................................1

1.1. Latar Belakang ..........................................................................................1

1.2. Rumusan Masalah .....................................................................................3

1.3. Batasan masalah ........................................................................................3

1.4. Tujuan Penelitian.......................................................................................3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA..............................................................................4

2.1. Pengertian Graf..........................................................................................4

2.2. Termonologi graf.......................................................................................5

2.3. Jenis-jenis graf...........................................................................................7

2.4. Pelabelan Graf .........................................................................................10

2.5. Pelabelan Total Tidak Teratur.................................................................11

2.6. Hasil Penelitian Terdahulu ......................................................................12

2.7. Kerangka Pemikiran ................................................................................13

BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN ...............................................................15

3.1. Nilai Total Ketidakteraturan titik Graf Splitting ( , ) ..................15BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN ...............................................................26

4.1. Kesimpulan..............................................................................................26

4.2. Saran........................................................................................................26

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................27

xi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Graf dengan 5 titik dan 6 sisi................................................. 4

Gambar 2.2 Graf sub Graf dari ............................................................. 6

Gambar 2.3 Graf Lintasan ........................................................................... 7

Gambar 2.4 Graf Lengkap ........................................................................ 8

Gambar 2.5 Graf Bintang ........................................................................ 8

Gambar 2.6 Graf Bipartit , ........................................................................ 9Gambar 2.7 Graf Bipartit Lengkap ............................................................... 9

Gambar 2.8 Graf Splitting ( , ) ........................................................ 10Gambar 2.9 Graf Siklus .......................................................................... 11

Gambar 2.10 Pelabelan Total Tidak Teratur Titik pada ......................... 12

Gambar 3.1 Graf Splitting ( , ) ........................................................... 15Gambar 3.2 Graf Splitting ( , ) .......................................................... 16Gambar 3.3 Pelabelan -3 pada ( , ) ................................................... 17Gambar 3.4 Graf Splitting ( , ) .......................................................... 17Gambar 3.5 Pelabelan -3 pada ( , ) ................................................... 18Gambar 3.6 Graf Splitting ( , ) .......................................................... 18Gambar 3.7 Pelabelan -4 pada ( , ) ................................................... 19Gambar 3.8 Graf Splitting ( , ) .......................................................... 19Gambar 3.9 Pelabelan -5 pada ( , ) ................................................... 20Gambar 3.10 Graf Splitting ( , ) ........................................................ 20Gambar 3.11 Pelabelan -5 pada ( , ) ................................................. 21Gambar 3.12 Graf Splitting ( , ) ........................................................ 21Gambar 3.13 Pelabelan -k pada ( , ) ................................................. 22

xii

DAFTAR TABEL

Tabel 1 Hubungan antara n dengan label terbesar ....................................... 22

xiii

DAFTAR LAMBANG

Lambang Keterangan

Pemakaian

pertama kali

pada

halaman= ( , ) Graf dengan himpunan titik dan himpunan sisi 1Himpunan titik graf

1

Himpunan sisi graf1( , ) Graf Splitting dengan titik 2

deg( ) Derajat titik pada suatu graf 5( ) Derajat titik yang minimum pada graf 5∆( ) Derajat titik yang maksimum pada graf 5( ) Fungsi pelabelan untuk titik

10( ) Fungsi pelabelan untuk sisi10( ) Bobot titik11( ) Nilai total ketidakteraturan titik pada graf 13

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun

1736 sebagai upaya pemecahan masalah jembatan Konigsberg. Pada masalah

tersebut, Euler membahas masalah jembatan yang menghubungkan kota-kota di

Konigsberg yang terpisah oleh sungai. Teori ini lahir dari sebuah pertanyaan,

apakah seseorang dapat melewati ketujuh jembatan di kota Konigsberg dalam

satu kali melintas sampai kembali ke tempat semula. Untuk memecahkan masalah

tersebut, Euler mempersentasikan daratan dengan titik dan jembatan dinyatakan

dengan sisi. Berdasarkan permasalahan tersebut, Euler mengembangkan beberapa

konsep mengenai teori graf. Teori ini terus berkembang seiring ditemukannya

berbagai aplikasi dalam menyelesaikan beberapa permasalahan (W.D, Wallis

2001).

Graf merupakan suatu himpunan berhingga dan tidak kosong dari obyek –

obyek yang disebut titik (vertex) dan sisi (edge) yang menghubungkan titik-titik

tersebut. Notasi sebuah graf adalah = ( , ), dengan merupakan himpunantitik, dan E merupakan himpunan sisi. (Chartrand, G., & Lesniak, L.1996).

Penelitian tentang teori graf terus mengalami perkembangan. Salah satu

pembahasan yang terus berkembang adalah pelabelan graf. Objek kajiannya

berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan

bagian bilangan asli yang disebut label. Masalah pelabelan dalam teori graf mulai

dikembangkan pada pertengahan tahun 1960-an. Pelabelan graf pertama kali

diperkenalkan oleh Sadlack (1964), Stewart (1966), kemudian Kotzig dan Rosa

(1970).

Salah satu pengaplikasian graf dalam kehidupan sehari-hari adalah graf

yang dapat digunakan untuk menggambarkan berbagai macam struktur yang ada.

Misalnya pemanfaatan teori graf dalam sistem lalulintas dimana

titik digunakan untuk menyatakan suatu persimpangan jalan, sedangkan

2

sisi dari suatu graf digunakan untuk menyatakan jalan yang menghubungkan

dua simpang jalan, dan arah pada sisi merepresentasikan arah jalan yang

dapat dilalui. Jadi, bila terdapat jalan satu arah, arah panah hanya akan

menunjuk ke arah tertentu dan tidak sebaliknya. Bobot atau nilai dari sisi graf

merepresentasikan jarak antar persimpangan.

Pelabelan pada graf adalah sebarang fungsi yang memasangkan elemen-

elemen graf (titik dan sisi) dengan bilangan, umumnya bilangan bulat positif. Jika

domain dari fungsi adalah himpunan titik, maka pelabelan disebut pelabelan titik

(vertex labeling). Jika domain dari fungsi adalah himpunan sisi, maka pelabelan

disebut pelabelan sisi (edge labeling) dan jika domain dari fungsi adalah

gabungan himpunan titik dan sisi, maka pelabelan disebut pelabelan total (total

labeling) (W. D. Wallis,2001).

Pada tahun 2007, B ca dkk mengkaji suatu jenis pelabelan total, yaitu

pelabelan total tidak teratur (irregular total labeling). Baca dkk meneliti pelabelantotal tidak teratur ke dalam dua tipe, yaitu pelabelan total tidak teratur titik dan

pelabelan total tidak teratur sisi. Pada tahun (2015) Rismawati dkk memberikan

suatu tipe pelabelan total tidak teratur, yang disebut pelabelan total tidak teratur

pada suatu graf.

Beberapa penelitian telah menetukan nilai total ketidakterarturan titik pada

graf. Pada tahun (1998) Amar, D dkk. menentukan nilai ketidakteraturan pada

graf pohon. Pada tahun (2007) B ca, M dkk. menentukan nilai total

ketidakteraturan pada graf lintasan , graf siklus ,graf bintang , graf

friendship dan graf roda . Wijaya, K. dkk. (2011) menetukan nilai totalketidakteraturan titik pada graf cocktiail party. AL-Mushayt,O. dkk. (2013)

menetukan nilai total ketidakteraturan titik pada graf polytope. Nurdin (2013)

menentukan nilai total ketidakteraturan titik dan sisi pada amalgamasi dua

lingkaran yang isomorfik. Ahmad, A. dkk. (2014) meneliti nilai total

ketdakteraturan pada graf dari penggabungan graf prisma dan lingkaran. Pada

tahun (2014) Binthya,R. dkk. menentukan pelabelan harmonis pada graf Splitting

Spl( , ). Namun belum ada peneliti yang menetukan nilai total ketidakteraturan

3

titik pada graf Spl( , ). Sehingga penulis tertarik untuk menentukan nilai totalketidakteraturan titik pada graf splitting Spl( , ) dan menunjukkan hasilnyadalam bentuk tulisan skripsi dengan judul “Nilai Total Ketidakteraturan Titik

Graf Splitting”.

1.2. Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah yang akan dibahas adalah pelabelan total

ketidakteraturan titik pada graf Spl( , ) dan bagaimana menentukan nilai totalketidakteraturan titik (tvs) suatu graf splitting Spl( , ).1.3. Batasan masalah

Pada penelitan ini penulis hanya membahas tentang pelabelan total

ketidakteratur titik pada pada graf splitting Spl( , ) untuk ≥ 3.1.4. Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah, maka tujuan penelitian ini adalah

menentukan nilai total ketidakteraturan titik graf splitting ( , ).

4

Gambar 2.1 Graf dengan titik 5 dan sisi 6

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Bab ini membahas beberapa definisi dan konsep dasar pada teori graf,

jenis-jenis graf, terminologi graf, pemetaan, serta penjelasan mengenai pelabelan

graf yang digunakan pada bab selanjutnya.

2.1. Pengertian Graf

Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun

1736. Graf merupakan pasangan himpunan titik dan himpunan sisi. Pengaitan

titik–titik pada graf membentuk sisi dan dapat di representasikan dengan gambar

sehingga membentuk sebuah graf. Secara formal definisi graf adalah sebagai

berikut.

Definisi 2.1.1. Graf adalah suatu pasangan himpunan, ditulis G = (V,E),

dengan V adalah himpunan tidak kosong yang anggota-anggotanya disebut titik

(vertex) dan E adalah himpunan yang anggota-anggotanya adalah pasangan

tidak terurut anggota-anggota di V, dan disebut sisi (edge).

Suatu sisi di dengan titik ujung u dan v ditulis {u,v}. Untuk

penyederhanaan penulisan {u,v} cukup ditulis uv. Banyaknya titik di disebut

order dari dan banyaknya sisi di disebut ukuran dari . Jika kedua titikujung dari suatu sisi adalah sama, maka sisi tersebut dinamakan loop. Sedangkan

jika terdapat dua sisi sedemikian sehingga kedua titik ujungnya sama, maka kedua

sisi tersebut di namakan sisi-sisi ganda.

Terkait keberadaan loop dan sisi ganda pada suatu graf, maka graf yang

tidak mempunyai loop dan sisi ganda disebut graf sederhana.

Contoh 2.1

5

Himpunan titik dan himpunan sisi graf pada Gambar 2.1 masing-masing

adalah: = { , , , , , }= { , , , , , }.Dengan demikian, order dari graf G adalah 5 dan ukuran graf G adalah 7. Graf

pada Gambar 2.1 termasuk graf sederhana.

2.2. Termonologi graf

Dalam mempelajari graf terdapat beberapa termonologi (istilah) yang

berkaitan dengan graf. Berikut ini didefinisikan beberapa termonologi yang akan

digunakan pada bab pembahasan tugas akhir ini.

Definisi 2.2.1. Misalkan G adalah suatu graf dan , ∈ ( ), jika = ∈( ) maka sisi e dikatakan terkait (incident) dengan titik .Definisi 2.2.2. Misalkan v adalah titik dalam suatu graf G. Derajat titik v adalah

banyaknya sisi yang terkait dengan titik v, dinotasikan dengan deg(v).

Derajat maksimum dari G dituliskan dengan ∆( ) dan derajat minimum dari Gdituliakan dengan ( ).Definisi 2.2.3. Dua buah titik pada graf dikatakan bertetangga (adjacent) bila

keduanya merupakan titik-titik ujung dari suatu sisi di E. Dengan kata lain, u

bertetangga dengan v jika adalah sebuah sisi pada graf G.

Definisi 2.2.4. Misalkan ∈ ( ) untuk suatu graf G. himpunan ketetanggaandari u, dinotasikan dengan ( ).Definisi 2.2.5. Jalan yang panjangnya n dari titik awal ke titik tujuan di

dalam graf G ialah barisan berselang seling titik-titik dan sisi-sisi yang

berbentuk , , , , ,… , , , sedemikian sehingga =,= ,… , = adalah sisi dari graf.

6

Definisi 2.2.6. Lintasan adalah jalan dimana semua titik berbeda atau setiap sisi

yang dilaluinya hanya tepat satu kali.

Lintasan yang berawal dan berakhir pada titik yang sama disebut lintasan tertutup

(closed path) sedangkan jalan yang memiliki titik awal dan titik akhirnya berbeda

maka disebut lintasan terbuka (open path).

Definisi 2.2.7. Dua sisi dikatakan parallel jika memiliki titik-titik ujung yang

sama.

Definisi 2.2.9. Misalkan = ( , ) adalah sebuah graf sederhana. = ( , )adalah subgraf dari G jika ⊆ dan ⊆ .Contoh 2.2

G1 G2

Gambar 2.2 G1 Subgraf dari G2

Berdasarkan graf pada Gambar 2.2 dan graf G2 pada Gambar 2.2 di peroleh

(i) Titik dan titik bertetangga sedangkan titik dan tidak

bertetangga.

(ii) Sisi terkait dengan titik dan titik sedangkan sisi tidak terkait

dengan titik dan

(iii) Derajat pada titik adalah deg( ) = 3 dan derajat titik lainnya = 2 untuk, sedangkan derajat maksimum dari graf G adalah ∆( ) = 3 dan derajatminimumnya dari graf ( ) = 2.

(iv) − − − − − − − merupakan lintasantertutup.

7

(v) Jika diberikan himpunan titik = { , , } dan himpunan sisi ={ , , } maka = ( , ) adalah subgraf dari karena ⊆dan ⊆ .

2.3. Jenis-jenis graf

Beberapa graf dikelompokkan berdasarkan ciri khusus dari setiap graf. Pada

sub bab ini akan di paparkan beberapa jenis graf yang digunakan pada penelitian

ini.

Definisi 2.3.1. Graf lintasan dengan n titik, dimana ≥ , dinotasikan sebagaiadalah graf dengan barisan titik , , , … , sedemikian sehingga{ , , … , } ∈ ( ).

Beberapa graf lintasan dengan = 2, = 3, = 4, = 5diperlihatkan sebagaimana contoh di bawah ini.

Definisi 2.3.2. Graf G disebut graf lengkap apabila setiap 2 pasang titik yang

berbeda pada G bertetangga. Graf lengkap dengan n titik dinotasikan dengan.Banyaknya titik dan sisi graf lengkap secara berurutan adalah | ( )| =dan | ( )| = ( − 1)/2. akibatnya, tiap titik di bertetangga dengan titik

Gambar 2.3 Graf lintasan

8

Gambar 2.5. Graf bintang S6

lainnya di sehingga setiap titik di memiliki jumlah tetangga yang sama dan

berderajat − 1.

Gambar 2.4 merupakan contoh graf lengkap .

Definisi 2.3.1. Misalkan ≥ 2 adalah bilangan bulat. Graf = ( , ) dikatakanr-partit jika V dapat dipartisi menjadi r partisi sedemikian sehingga setiap dua

titik di V yang bertetangga berada pada partisi yang berbeda. Jika setiap

pasangan titik dari partisi yang berbeda adalah bertetangga, maka graf r-partit

disebut graf r-partit lengkap dan dinotasikan dengan , , …, , dimanaadalah banyaknya titik pada partisi ke-i, = 1,2, … .Graf bipartite lengkap , secara khusus disebut graf bintang. Graf ,selanjutnya dinotasikan dengan . Jadi, | | = + 1.

Gambar 2.5 merupakan contoh graf bintang .

Gambar 2.4 Graf lengkap

9

Definisi 2.3.2. Sebuah graf G disebut bipartit jika himpunan titiknya dapat

dipartisi menjadi dua himpunan yaitu dan , sedemikian sehingga setiap sisi

pada G menghubungkan sebuah titik di dan sebuah titik di .

Gambar 2.5 merupakan contoh graf bipartit , .Definisi 2.3.3. Misalkan G adalah graf bipartit. dengan himpunan simpul ( )terpartisi menjadi himpunan U dan W. Jika setiap titik di U bertetangga dengan

setiap titik di W atau sebaliknya maka G disebut bipartit lengkap, dan dinotasikan

sebagai , atau , , dimana n menyatakan order untuk U dan m menyatakanorder di W.

Gambar 2.7 merupakan contoh graf bipartit lengkap untuk{ , }, { , } { , }.Definisi 2.3.4. Misalkan G adalah suatu graf dengan ( ) =, , , ,… , dan misalkan ( ) = ′, ′ , ′ , ′ , … ′ adalahhimpunan titik baru dimana ′ bersesuaian dengan untuk = 1, 2, 3, … , . (jika. Graf splitting dari G dinotasikandengan Spl(G), didefinisikan sebagai graf dengan himpunan titik ( ) ∪ (G),

Gambar 2.7. Graf Bipartit lengkap

Gambar 2.6 Graf Bipartit K2,3

10

dimana dua titik di graf Spl(G) dikatakan bertetangga jika dan hanya jika

keduanya bertetangga di G atau satu titik ′ di ( ) bertetangga dengan titik( ) dimana u anggota di ( ). (Mathad and Basavanagound, 2012).

Gambar 2.8 merupakan graf splitting Spl( , ).2.4. Pelabelan Graf

Dalam sub bahasan ini, akan dibahas definisi pelabelan graf dan bobot dari

elemen graf.

Definisi 2.4.1. Pelabelan graf adalah suatu fungsi yang memasangkan elemen-

elemen graf (titik atau sisi) dan suatu bilangan bulat positif. Jika domain dari

fungsi adalah himpunan titik, maka pelabelan disebut pelabelan titik (vertex

labeling). Jika domain dari fungsi adalah himpunan sisi, maka pelabelan disebut

pelabelan sisi (edge labeling) dan jika domain dari fungsi adalah gabungan

himpunan titik dan sisi, maka pelabelan disebut pelabelan total (W. D. Wallis,

2001).

Definisi 2.4.2. Bobot titik v pada pelabelan total adalah label titik v ditambah

dengan jumlah semua label sisi yang terkait dengan v, yaitu ( ) = ( ) +∑ ( ).

Gambar 2.8 Graf Spitting Spl( , )

11

Contoh 2.3

Gambar 2.9 .merupakan graf C5 dengan V(G)= , , , , dan ( ) =, , , , yang masing-masing titik dan sisinya diberi labelbilangan bulat positif sehingga disebut pelabelan total. Misalkan adalah

pelabelan total pada C5, maka pelabelan titiknya adalah( ) = 1, ( ) = 2, ( ) = 2, ( ) = 2, ( ) = 3,sedangkan pelabelan sisinya adalah( ) = 1, ( ) = 2, ( ) = 2 ( ) = 3 ( ) = 2.Bobot titik dari Gambar 2.9 adalah

wt(v1)= ( ) + ( ) + ( ) = 1 + 1 + 2 = 4,wt(v2)= ( ) + ( ) + ( ) = 1 + 2 + 2 = 5,wt(v3)= ( + ( ) + ( ) = 2 + 2 + 2 = 6,wt(v4)= ( + ( ) + ( ) = 2 + 2 + 3 = 7,wt(v5)= ( + ( ) + ( ) = 3 + 3 + 2 = 8.

2.5. Pelabelan Total Tidak Teratur

Pelabelan sisi dan titik dari graf dapat dilakukan dengan banyak cara.

Salah satu cara yang dapat digunakan adalah melabelinya dengan bilangan yaitu

pelabelan total tidak beraturan.

Definisi 2.5.1. Misalkan = ( , ) adalah graf sederhana. Pelabelan : ∪→ {1,2,3, … , } disebut pelabelan-k total tidak teratur titik (irregular total k-

Gambar 2.9 Graf siklus C5

12

labeling) pada graf jika untuk setiap dua titik yang berbeda pada , berlaku( ) ≠ ( ) dimana( ) = ( ) + ∑ ( )∈ ( ) .Definisi 2.5.2. Nilai total ketidakteraturan titik (total vertex irregularty strength)

dari G dinotasikan dengan tvs (G). adalah bilangan bulat positif terkecil k

sedemikian sehingga G mempunyai suatu pelabelan –k total tidak teratur titik.

Contoh 2.4

Gambar 2.10 (a) bukan merupakan pelabelan total ketidakteraturan titik pada

karena terdapat dua titik yang memiliki bobot 7. Sedangkan Gambar 2.5 (b)

merupakan pelabelan−3 total ketidakteraturan titik pada dan Gambar (c)merupakan pelabelan-4 total ketidakteraturan titik. Namun tidak mempunyai

pelabelan−2 total ketidakteraturan titik sehingga diperoleh yang terkecil adalah3. Dengan demikian nilai total ketidakteraturan titik pada adalah 3.

2.6. Hasil Penelitian Terdahulu

Pada bagian ini akan memberikan hasil-hasil penelitian tentang nilai total

ketidakteraturan titik dari suatu graf yang diperoleh peneliti lainnya.

Beberapa penelitian telah menetukan nilai total ketidakterarturan titik pada

graf. B ca, Martin. dkk, (2006) menentukan nilai total ketidakteraturan pada graf,

graf lintasan dan siklus memperoleh hasil ( ) = ( ) = , graf

Gambar 2.10 Pelabelan total pada C6.

(a) (b) (c)

13

bintang memperoleh hasil ( ) = , graf roda memperoleh hasil( ) = ⌈(2 + 2)/3⌉ ≥ 3, graf friendship memperoleh hasil l( ) = ⌈(3 + 2)/3⌉. B ca, M. dkk, (2009) menentukan nilai totalketidakteraturan pada graf, memperoleh hasil tvs ( , ) = , tvs ( ) = 2.Wijaya, K. dkk. (2011) menetukan nilai total ketidakteraturan titik pada graf

cocktail party, memperoleh hasil , = 3 ≥ 3. AL-Mushayt, O.dkk. (2013) menentukan nilai total ketidakteraturan titik pada graf polytope.

memperoleh hasil ( ) = . Nurdin (2013) menentukan nilai totalketidakteraturan titik dan sisi pada amalgamasi dua lingkaran yang isomorfik,

memperoleh hasil ( ) = . Ahmad, A. dkk. (2014) meneliti nilai totalketidakteraturan pada graf dari penggabungan graf prisma dan lingkaran dengan

memperoleh hasil ⋃ = ∑ , dimana ≥ 2 ≥3 1 ≤ ≤ .Teorema 2.1 (Nurdin, dkk, 2010) Misalkan G adalah suatu graf yang mempunyai

titik berderajat i dengan = , + 1, + 2,… , ∆ dengan ∆ adalahderajat minimum dan maksimum titik dari G, maka

( ) ≥ , , … , ∑∆∆ .2.7. Kerangka Pemikiran

Pada penelitian ini, terdapat beberapa tahapan untuk menentukan nilai

total ketidakteraturan graf splitting Spl( , ) antara lain:1. Menentukan batas bawah terbesar nilai total ketidakteraturan pada

graf splitting Spl( , ) dianalisis berdasarkan sifat-sifat dankarasteristik graf, derajat titik, banyaknya titik menggunakan teorema

1.

2. Menentukan batas atas terkecil nilai total ketidakteraturan pada graf

splitting Spl( , ) .

14

a. Mendefinisikan himpunan titik dan sisi kemudian mengkonstruksi

label sisi dan titik : ∪ → {1,2, … , }, sehingga adalahbilangan bulat positif terkecil,

b. Mendefinisikan fungsi pelabelantotal tidak teratur titik ,

c. Menghitung bobot dan menujukkan bahwa fungsi bobot titik

berbeda ( ) = ( ) + ∑ ( )∈ ( ) ,d. Menunjukkan adalah label terbesar yang digunakan.

15

BAB III

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada Bab III ini akan diuraikan bukti hasil yang telah penulis peroleh

tentang nilai total ketidakteraturan titik graf splitting.

3.1. Nilai Total Ketidakteraturan titik Graf Splitting ( , )

Berdasarkan Gambar 3.1 Untuk = 1,2,3 … , diperoleh himpunan titik ={ , , , | = 1,2,3, … , } dan himpunan sisi = { , , | =1,2,3, … , }.Penentukan nilai total ketidakteraturan titik dilakukan dengan menentukan batas

bawah dan batas atas. Batas bawah dianalisis dengan menggunakan teorema

pendekatan dan sifat-sifat graf splitting. Sedangkan batas atas dianalisis dengan

menggunakan konstruksi pelabelan total. Ketika batas bawah sama dengan batas

atas maka diperoleh nilai total ketidakteraturan titik graf splitting ( , ) .Perhatikan bahwa derajat minimum dari ( , ) adalah = 1 dan banyaknyatitik yang berderajat satu adalah = sedangkan banyaknya titik yangberderajat 2 adalah = juga.

Gambar 3.1 Splitting ( , )

16

Berdasarkan Teorema 2.1 diperoleh:( ) ≥ ++ 1 , + ++ 2 , … , + ∑∆∆ + 1≥ +1 + 1 , + + 12 + 1 , + + ++ 1 , + + + +2 + 1( , )= 1 +2 , 1 + +3 , 1 + + + 1+ 1 , 1 + + + 1 + 12 + 1= + 12 , 2 + 13 , 2 + 2+ 1 , 2 + 32 + 1= . ... (3.1a)Karena ≥ ≥ 3 , ≥ .Selanjutnya akan ditunjukkan batas atas , ≤ denganmelakukan konstruksi pelabelan. Perhatikan bahwa untuk = 3 maka gambardari ( , ) adalah

Titik dan sisi dari graf Splitting ( , ) seperti pada Gambar 3.2, diberi labelseperti pada Gambar 3.3, yaitu

Gambar 3.2 Graf ( , )

17

Berdasarkan Gambar 3.3, diperoleh bahwa bobot titik dari ( , ) semuaberbeda dan bilangan terbesar yang digunakan adalah 3. Dengan

demikian, , ≤ 3.Perhatikan bahwa untuk = 4 maka gambar dari ( , ) adalah


Gambar 3.3 Pelabelan -3 pada ( , )

2

1

2

1

1

1

1

1 2 2

2

2

2

2

2

32

18


Berdasarkan Gambar 3.5, diperoleh bahwa bobot titik dari ( , ) semuaberbeda dan bilangan terbesar yang digunakan adalah 3. Dengan demikian,

, ≤ 3.Perhatikan bahwa untuk = 5 maka gambar dari ( , ) adalah


1

2 32

2

1 2 2 3

1 2 2

1

2 2 2 3

3 33

1


3

19




2

2 3

3

2 2 3 3

332

3 3 44

1

1 1

1

1

4

3

3

3

32

2

Gambar 3.7 pelabelan -4 pada Graf ( , )


20






4

4

221

433

1

2

322

333

1

4

33 3 4

33

45

3

44

4

1

1

21



demikian, , ≤ 5.Perhatikan bahwa untuk = maka gambar dari ( , ) adalah

4 45

5

544

44

4

3

3

33

3

4

4

33

1

11

1

22

22 3 3 4

3

1

4

5

5

54



22

Titik dan sisi dari graf Splitting ( , ) seperti pada Gambar 3.12, diberi labelseperti pada Gambar 3.13, yaitu:

Berdasarkan Gambar 3.13, diperoleh suatu bobot titik dari ( , ) semuaberbeda dan bilangan terbesar yang digunakan adalah . Dengan

demikian, , ≤ .Secara ringkas dapat dibuat Tabel 1, yaitu hubungan antara n dan label terbesar

yang digunakan sehingga semua titiknya mempunyai bobot yang berbeda.

1 + 12 2 + 12 + 12 − 1 + 12 + 1212

22 2 − 12 2

+ 1 − 13 + 2 − 13 + − 13 + ( − 1) − 13+ − 13

+ 13 + 23 +3 + ( − 1)3 +3+ 1 + 13

+ 2 + 13 + + 13 + ( − 1) + 13 + + 13

1

1

Gambar 3.13 Pelabelan-k pada ( , )

23

N LabelTerbesar

3 34 35 46 57 5...

.

.

.k 2 + 13

Dengan memperhatikan pelabelan pada Gambar 3.3 Gambar 3.5 Gambar 3.7

Gambar 3.9 Gambar 3.11 dan Gambar 3.13 dapat dikonstruksi suatu pelabelan

yang berlaku umum sebagai berikut.

Untuk = 1,2,3, … , , didefinisikan fungsi pelabelan f sebagai berikut.( ) =( ) =( ) = ( ) = 1( ) =, =( ) = .Berdasarkan fungsi pelabelan f tersebut untuk = 1,2,3 … , makadiperoleh bobot titik-titik dari graf splitting adalah sebagi berikut:( ) = ( ) + ( ) = + 12 + 2( ) = ( ) + ( ) + ( )= + 13 + + − 13 + + + 13( ) = ( ) + ( ) + ( ) = 1 + 2 + + − 13( ) = ( ) + ( ) = 1 + ∑ .

Tabel 1. Hubungan antara dengan label terbesar

24

Perhatikan bahwa:

1. ( ) = + < + + 1= + 1 + 12 + + 12= ( )2. ( ) = + = 1 + 13

3. ( ) = + +< + 23 + + + 1 − 13 + + + 1 + 13= ( )4. ( ) = + +< + 1 + 13 + + 2 + 13 + + 3 + 13 +⋯+ + + 13= ( )5. ( ) = + + +⋯+< 1 + + 1 − 13 + + 2 − 13 + + 3 − 13 +⋯+ + − 13 + 12 + 22 + 32 +⋯+ n2 . = ( ).

Berdasakan definisi bobot tersebut maka diperoleh:

25

( ) < ( ) < ( ) < ⋯ < ( ) < ( ) < ( ) < ( )

26

BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian maka diperoleh pelabelan total tidak teratur

titik pada graf splitting ( , ) sebagai berikut:( ) =( ) =( ) = ( ) = 1( ) =, =( ) =Berdasarkan pelabelan tersebut diperoleh bahwa bobot semua titik berbeda

dan label terbesar yang digunakan adalah . Dengan demikian diperoleh

bahwa , = .4.2. Saran

Pembahasan mengenai pelabelan total tidak teratur titik masih terbuka

bagi peneliti lain untuk melanjutkan penelitian ini dan bisa juga melakukan

penelitian yang sejenis dengan jenis-jenis graf yang berbeda.

27

DAFTAR PUSTAKA

Ahmad. A., B ca. M., and Siddiqui. M. K., 2014. Irregular total labeling of

disjoint union of prisms and cycles, Australasian Journal of

Combinatorics,59:98-106.

Al-Mushayt.O., Arshad. A., and Siddiqui. M. K., 2013.total vertex irregularty

strength of convex polytope graphs, Univ. Comanianae LXXXII :29-37.

Amar, D., and Togni, O., 1998. Irregularity Strength of Trees. Discrete

Mathenatics. 190 : 15-38.

B ca M., Jendrol S., Miller M., Ryan J., 2007. On Irregular Total Labellings,

Discrete Mathematics, 307:1378-1388.

Binthiya. R., and Sarasija. P. B., 2014. Same new even harmonious graphs,

international Journal of mathematics and softcomputing 4:105-111

Chartrand, G., and Lesniak, L., 1996. Graphs and Digraphs Third Edition. New

York: Chapman & Hall.

Kotzig A., and Rosa A., 1970 Magic Valuations of Finite Graphs,Canadian Mathematical Bulleting, 13 451-323.

Mathad.V., and Basavanagoud. B., 2012. K-trees, K-ctrees and Line Splitting

Graphs. Internatonal journal of applied mathematical research, 1 : 487-

492.

Nurdin, Baskoro, E.T., Salman,A.N.M., and Gaos, N, N., 2010. On The Total

Vertex Irregularity Strength Of Trees. Discrete Mathematics. 310 : 3043-

3048.

Nurdin. 2013. The vertex and edge Irregular total Labelling of an Amalgamation

of two isomorphic Cycles Graphs,7:1063-1066.

Stewart . B.M., 1966. Magic Graphs, Canadian Journal of Mathematics, 18:

1031-1059.

Wallis W. D., 2001 Magic Graphs, Birkh ̈user Boston, New Work.Wijaya K., Slamin, Miller M., 2011 On Total Vertex Irregularity Strength of

Cocktail Party Graph, Jurnal Ilmu Dasar 148-151.

digilib.unhas.ac.iddigilib.unhas.ac.id/uploaded_files/temporary/Digital... · 2021. 1. 16. ·...

Documents

Transcript of digilib.unhas.ac.iddigilib.unhas.ac.id/uploaded_files/temporary/Digital... · 2021. 1. 16. ·...