Pengantar Logika Proposisional

Dosen : Made Agung Raharja., S.Si., M.Cs

Definisi

• Setiap penyataan yang hanya memiliki satu nilai benar atau salah disebut proposisi (proposition) sehingga logika yang menangani atau memproses atau memanipulasi penarikan kesimpulan secara logis dari proposisi-proposisi disebut Logika Proposisional (propositional Logic atau prpositional Calculus)

• Proposisi-proposisi dapat digabung dan dimanipulasi sedemikian rupa dengan berbagai cara sehingga membentuk proposisi yang rumit. Penggabungan tersebut dilakukan dengan perangkai-perangkai (connectives) sehingga disebut proposisi majemuk (compound propositions).

• Proposisi majemuk sebenarnya terdiri dari banyak proposisi atomik. Proposisi atomik adalah proposisi yang tak dapat dipecah-pecah menjadi beberapa proposisi lagi.

• Contoh 1 :– Belajarlah!Apabila diubah menjadi kalimat yang lengkap tanpa

mengubah artinya menjadi ?Anda harus belajar dengan rajin

• Contoh berikut terdapat dua buah proposisi– Belajarlah, atau anda gagal!Jadi, Kalimat Lengkapnya :– Anda harus belajar dengan rajin atau anda akan

gagal ujian.• Proposisi pertama “anda harus belajar dengan

rajin” dan proposisi kedua “anda akan gagal” keduanya dirangkai dengan perangkai “atau”.

• Persoalan lain yang mungkin terjadi adalah suatu kalimat yang telah memiliki perangkai pada subjeknya.

• Contoh :– Ayah dan Ibu pergi ke soloKalimat tersebut harus dipisah pada perangkaian

untuk dijadikan proposisi, tetapi tetap memiliki arti yang sama. Menjadi ?

– Ayah pergi ke solo dan ibu pergi ke solo

Tautologi

• Ada proposisi-proposisi yang disebut tautologi (tautology), yakni proposisi-proposisi yang nilainya selalu benar.

• Tautologi menghasilkan implikasi-implikasi secara logis (logical implication) dan ekuivalen-ekuivalen secara logis (logical equivalences)

Implikasi dan Ekuivalensi Logis

• Implikasi Logis merupakan dasar dari penalaran yang kuat (sound reasoning), sedangkan

• ekuivalensi logis menunjukkan bagaimana proposisi-poposisi dapat dimanipulasi secara aljabar (algebraically)

• Secara matematis sehingga disebut logika matematika.

Argumen

• Untuk mempermudah memanipulasi logika maka satu proposisi yang mempunyai arti sama dan yang berada di setiap pernyataan di dalam argumen akan digantikan dengan satu huruf, termasuk pada semua premis-premis dan kesimpulan baik berbentuk majemuk ataupun tunggal.

• Contoh :1. Jika anda belajar rajin, maka anda lulus ujian2. Jika anda lulus ujian, maka anda senang3. Dengan demikian, jika anda belajar rajin, maka

anda senang

Penggantian proposisi dengan huruf :A = anda belajar rajinB = anda lulus ujianC = anda senang

• Selanjutnya bentuk argumen tersebut menjadi 1. Jika A, maka B2. Jika B, maka C3. Jika A, maka C

• Bentuk argumen diatas dinamakan Silogisme Hipotetis

• Contoh lain :1. Program komputer ini mempunyai bug, atau

masukannya salah2. Masukannya tidak salah3. Dengan demikian, program komputer ini

mempunyai bug

Penggantian proposisi dengan huruf :A = Program komputer ini mempunyai bugB = Masukannya salah

• Maka bentuk argumen tersebut akan menjadi1. A atau B2. Tidak B3. A

• Argumen tersebut diatas dinamakan Silogisme Disjungtif

• Contoh :1. Jika lampu lalu lintas menyala merah, maka

semua kendaraan berhenti.2. Lampu lalu lintas menyala merah.3. Dengan demikian, semua kendaraan berhenti

Penggantian proposisi dengan huruf :A = Lampu lalu lintas menyala merahB = Semua kendaraan berhenti

• Maka bentuk argumen tersebut akan menjadi 1. Jika A, maka B2. A3. B

• Argumen tersebut diatas dinamakan Modus Ponens (MP) atau Modus ponendo Ponens (MPP)

• Contoh :1. Jika Badu belajar rajin, maka ia lulus ujian2. Badu tidak belajar rajin3. Dengan demikian, Badu tidak lulus ujian

• Penggantian proposisi dengan huruf :A = Badu belajar rajinB = Badu lulus ujian

• Jadi bentuk argumen tersebut akan menjadi :1. Jika A, maka B2. Tidak A3. Tidak B

• Argumen tersebut diatas dinamakan Modus Tollens (MT) atau Modus Tollendo Tollens (MTT)

• Argumen yang berbentuk Modus Ponens, Modus Tollens bersama-sama dengan Hypothetical Syllogism dan Disjunctive Sylogism merupakan argumen-argumen yang penting di dalam logika. Hukum-hukum logika proposissional dibentuk dariargumen-argumen yang sudah dibuktikan validitasnya.

2.3 PROPOSISI-PROPOSISI

• Proposisi adalah pernyataan-pernyataan yang berada pada suatu argumen dan pernyataan tersebut hanya mempunyai nilai benar atau salah.

• Contoh :Program komputer ini mempunyai bug

• Contoh diatas merupakan proposisi yang bisa bernilai benar atau salah.

• Persoalan mungkin terjadi adalah pengertian teknis dalam bentuk penilaian benar atau salah tidak selalu bisa terjadi.

• Contoh :– Angka 13 adalah angka sial– Angka 8 adalah angka keberuntungan– Warna merah adalah warna bahagia

• Contoh-contoh diatas akan menimbulkan perdebatan karena tidak semua orang mempunyai pendapat yang sama, bahkan mungkin ada yang tidak mempunyai pendapat atau menganggapnya tidak mempunyai arti apa-apa. Dalam kasus ini proposisi tidak bisa dipakai karena nilai benar atau salah tidak bisa secara teknis dapat ditentukan.

• Selain itu, pernyataan yang berupa kalimat perintah dan kalimat pertanyaan tidak bisa dipakai pada proposisi.

• Contoh :– Badu, kerjakan tugas tersebut!– Badu, apakah engkau sudah mengerjakan tugas

tersebut?

• Suatu proposisi tidak boleh digantikan dengan proposisi lain yang artinya sama.

• Contoh :– Badu tidak lapar– Badu kenyang

• Pemberian variabel proposisioanal harus berlainan karena proposisi tidak diijinkan menafsir arti kalimat.

A = Badu lapar, maka “Tidak A” = Badu tidak laparB = Badu kenyang, maka “Tidak B” = Badu tidak

kenyang

Jadi tidak diperbolehkan mengganti “Tidak A” dengan B, walaupun arti kalimatnya sama.

Pemberian Nilai

• Huruf A, B, C dan seterusnya digunakan untuk menggantikan proposisi dan disebut variabel-variabel proposisional, dan hanya memiliki nilai benar (True = T) atau salah (False = F).

• Jadi pemberian nilai (assignment) pada varibel-variabel proposisional, hanya ada T dan atau F

• Simbol berupa huruf T dan F disebut konstanta-konstanta proposisional.

LATIHAN SOAL :SOAL 1Manakah dari kalimat-kalimat atau pernyataan-pernyataan berikut yang merupakan proposisi, dan tentukan nilai kebenarannya T atau F ?• Bandung adalah ibukota Provinsi Jawa

Timur.• 2 + 3 = 5

26

• x + 5 = 11• Jawablah pertanyaan ini !• Jam berapakah ini ?• x + 1 = 5 jika x = 2 • x + y = y + z jika x = z

27

SOAL 2

Bagaimanakah bentuk kebalikan (lawan) dari proposisi berikut ?• Hari ini adalah hari Minggu.• Tidak ada musim hujan di Indonesia.• 2 + 3 = 5• Tidak ada Candi Borobudur di Daerah

Istimewa Yogyakarta.

SOAL 3Manakah dari pernyataan-pernyataan berikut yang merupakan proposisi ?• Apakah jawabanmu ini sudah benar,

Bowo ?• Bowo pergi kuliah.• 4 adalah angka prima.• 4 adalah bukan angka prima.• Bowo, pergilah kuliah sekarang juga !

29

SOAL 4Manakah dari pernyataan-pernyataan berikut yang berupa proposisi atomic dan yang berupa proposisi majemuk ?• Setiap orang Indonesia kaya raya.• Bowo kaya raya, demikian juga Dewi.• Bowo dan Dewi sama-sama kaya raya.• Badu kaya raya dan memiliki banyak

harta.• Dino kaya raya atau banyak hartanya.

30

SOAL 5Berilah nilai konstanta proposisional T atau F pada pernyataan-pernyataan berikut ini :• Yogyakarta ibukota Negara Indonesia.• Angka 8 adalah angka genap.• Amerika berbentuk Negara republik.• Indonesia berbentuk Negara serikat.• Perang Sipil sama dengan Perang

Saudara. 31

TERIMA KASIH

32