8/17/2019 2- Guia Para Recta en El Plano- 2013

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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA I

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GUIA DE ESTUDIO Nº 2: “RECTA EN EL PLANO”  

Esta guía tiene la intención de ayudarte en el aprendizaje de los contenidosdesarrollados en el material de estudio “La recta en el plano” (autores: Lic. Patricia Có

y otros). Tales contenidos se corresponden con la Unidad 5 del Programa Analítico dela Asignatura.

UNIDAD 5 “Geometría Lineal del Plano”5.1. La recta. Ecuación vectorial. Ecuaciones paramétricas. Coeficientes y cosenos

directores.5.2. Otras formas de la ecuación de la recta. La ecuación general. Significado de sus

coeficientes. Casos particulares. Ecuaciones normalizadas y segmentarias.Forma explícita. Coeficiente angular. Ecuación de la recta que pasa por un puntoy por dos puntos.

5.3. Ángulo entre dos rectas. Paralelismo y perpendicularidad: Condiciones.5.4. Distancia de un punto a una recta.5.5. Intersección de rectas. Haz de rectas.5.6. Inecuaciones lineales. Resolución vectorial del problema. Sistemas de

inecuaciones lineales.

En la unidad anterior has visto que existe correspondencia biunívoca entre los puntosdel plano y los pares ordenados de números reales y entre los puntos del espacio y

las ternas ordenadas de números reales, llamadas coordenadas del punto.

En las próximas unidades encontrarás una correspondencia similar entre elementosgeométricos, como curvas del plano o superficies del espacio y elementos algebraicos,

tales como ecuaciones en dos y tres variables.

En esta unidad aplicarás los vectorespara deducir diferentes ecuaciones de una recta en el plano .

  Sugerimos que comiences a leer el material didáctico prestando mucha atención alas nociones de: lugar geométrico  y ecuación de un lugar geométrico, como también alos ejemplos que se presentan y las actividades que se proponen en las primeras trespáginas.

  Prosigue con la deducción de la ecuación vectorial de una recta y observa cómo apartir de la misma se obtienen las ecuaciones paramétricas.

Recuerda:

Se llama parámetro   a una variable no cartesiana, es decir una variable que no serepresenta sobre un eje cartesiano.

  Ecuación general de la recta  

  La ecuación general cartesiana de la recta se deduce a partir de las ecuacionesparamétricas.

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  Observa que esta ecuación admite infinitas formas equivalentes. Basta multiplicarmiembro a miembro por una constante distinta de cero.

Así por ejemplo:

032   =−+ y x    y 0624   =−+ y x   son ecuaciones equivalentes

que representan a la misma recta.

  Ecuaciones segmentaria y explícita

Reflexiona sobre la importancia de cada una de estas formas de presentar la ecuaciónde una recta y analiza el significado de los coeficientes.

No basta con que “sepas decir” que en la ecuación explícita: h mx y    += ,

m  representa la pendiente de la recta.¡Debes poder justificarlo!

Es preciso que logres comprender que m   representa el incremento en la ordenadaante un incremento unitario de x .

Por ejemplo si 53   += x y  , entonces:para 2=x   resulta 11=y   para 3=x   resulta 14=y   para 4=x   resulta 17=y   

Cada vez que x   aumenta en 1 unidad, y   aumenta en 3 unidades (valor de lapendiente ).

  Observaciones acerca de los párrafos 4 y 5  

  Se abordan aquí problemas de Geometría métrica, es decir cálculo de ángulos ydistancias.

  Notarás que las fundamentaciones que se realizan son aplicaciones de losvectores. Trata de comprender cada paso y en caso de no lograrlo no dudes enacudir a los docentes.

  No alcanza con conocer las fórmulas que te permiten realizar los cálculos. Debes

poder deducirlas comprensivamente.

  No descuides aspectos del lenguaje. Se te pedirá que expreses simbólica ycoloquialmente los diferentes resultados.

  Intersección de rectas  

Determina, en cada caso, las coordenadas del punto de intersección entre 1r   y 2r  :

a) 032)1   =−+ y x r    y

+=

−−=

t y 

t x r 

3

35)2  

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b)

−=

+=

t y 

t x r 

3

21)1   y

−=

+=

s y 

s x r 

1

58)2  

  Continúa con la lectura de Inecuaciones lineales   y Sistemas de inecuacioneslineales .

Estos temas resultarán de interés en la programación lineal  para resolver problemasde optimización (por ejemplo: minimizar costos, maximizar ganancias ).

  En relación a los ejercicios adicionales presta particular atención al número 17.

Recuerda:

Las ecuación 0)()( 222111   =+++++ c y b x a k c y b x a  , o equivalentemente0)()()( 212121   =+++++ c k c y b k b x a k a   con k  variando en ℜ , corresponde a

todas las rectas del plano que contienen al punto de intersección ),,( 111 y x P   conexcepción de la recta de ecuación 0222   =++ c y b x a  . 

Podrás aplicar este resultado para resolver el ejercicio 18.

  Propuestas  

1. Dadas las rectas de ecuaciones:

+=−=

t y t x r 

121)1  , 124

)2   =+− y x r    y 052)3   =++ y x r   

a) encuentra la ecuación de una cuarta recta, que determine con las tresanteriores, un rombo. ¿Es la solución única?

b) Escribe las ecuaciones de las rectas que contienen a las diagonales del romboy verifica que son perpendiculares.

c) Calcula el área del rombo.

2. Sea )0,1(−C   el punto de intersección de las diagonales de un cuadrado, uno decuyos lados está contenido en la recta de ecuación 53   =+ y x  . Halla las

ecuaciones de las rectas que contienen a los otros tres lados.

3. Calcula el área de un rectángulo, uno de cuyos vértices es el punto )1,2(−A ,siendo 0532   =−− y x    y 0923   =−+ y x    las ecuaciones de las rectas quecontienen a dos lados del mismo.