2. 1 Definisi fungsi eksponen - Asimtot's Blog · PDF file1 2. 1 Definisi fungsi eksponen...
7
1 2. 1 Definisi fungsi eksponen Fungsi eksponensial dalam peubah kompleks yi x z didefinisikan dengan ) sin (cos y i y e e x z . Kita akan melihat bahwa dalam dalam pengertian tertentu, fungsi yang baru didefinisikan tersebut merupakan “perluasan alami” fungsi pada kasus peubah kompleks. Kita perhatikan, misalnya, jika merupakan bilangan nyata dengan ,maka . Ini menunjukkan bahwa kelakuan eksponensial kompleks yang didefinisikan diatas merupakan bentuk umum eksponensial nyata. Jika adalah khayal murni , kita mempunyai , yang dikenal sebagai rumus euler. Bentuk ini dapat diterapkan untuk menuliskan bentuk kutub . Bagi bilangan kompleks . Kita telah membuktikan dalam contoh 4 pasal 7 bahwa fungsi eksponensial adalah fungsi menyeluruh dan benar bahwa . Kenyataan ini menunjukkan lebih jauh bahwa definisi pilihan kita untuk mempertahankan semua sifat sifat umum eksponensial nyata, yang telah dikenal baik oleh pembaca dari buku kalkulus. 2. 2 Contoh dan noncontoh fungsi eksponen Contoh : C z e z f z , 1 ) ( . C z e z g z , ) ( 2 . Misal yi x z , x e x z k ln ) ( , 0 x . Non contoh : Pada dasarnya semua fungsi dapat dituliskan dalam bentuk eksponen asalkan nilai fungsi tersebut lebih dari samadengan 0. | | ) ( x z h , nilainya selalu negatif sehingga tidak dapat dituliskan dalam bentuk eksponen. 2. 3 Sifat-sifat fungsi eksponen a. 0 z e Bukti:
Transcript of 2. 1 Definisi fungsi eksponen - Asimtot's Blog · PDF file1 2. 1 Definisi fungsi eksponen...
1
2. 1 Definisi fungsi eksponen
Fungsi eksponensial dalam peubah kompleks yixz didefinisikan dengan
)sin(cos yiyee xz .
Kita akan melihat bahwa dalam dalam pengertian tertentu, fungsi yang baru
didefinisikan tersebut merupakan “perluasan alami” fungsi pada kasus peubah
kompleks. Kita perhatikan, misalnya, jika merupakan bilangan nyata dengan
,maka . Ini menunjukkan bahwa kelakuan eksponensial kompleks yang
didefinisikan diatas merupakan bentuk umum eksponensial nyata.
Jika adalah khayal murni , kita mempunyai , yang
dikenal sebagai rumus euler. Bentuk ini dapat diterapkan untuk menuliskan bentuk kutub
. Bagi bilangan kompleks .
Kita telah membuktikan dalam contoh 4 pasal 7 bahwa fungsi eksponensial
adalah fungsi menyeluruh dan benar bahwa
.
Kenyataan ini menunjukkan lebih jauh bahwa definisi pilihan kita untuk
mempertahankan semua sifat sifat umum eksponensial nyata, yang telah dikenal baik
oleh pembaca dari buku kalkulus.
2. 2 Contoh dan noncontoh fungsi eksponen
Contoh :
Czezf z ,1)( .
Czezg z ,)( 2 .
Misal yixz , xexzk ln)( , 0x .
Non contoh :
Pada dasarnya semua fungsi dapat dituliskan dalam bentuk eksponen asalkan nilai fungsi
tersebut lebih dari samadengan 0.
||)( xzh , nilainya selalu negatif sehingga tidak dapat dituliskan dalam bentuk
eksponen.
2. 3 Sifat-sifat fungsi eksponen
a. 0ze
Bukti:
2
Ambil yixz sebarang, akan ditunjukkan 0ze .
Andaikan 0ze maka
0sincos yieye xx
Berdasarkan persamaan bilangan kompleks diperoleh
0cos ye x dan 0sin yie x secara bersama-sama.
Tetapi karena eksponensial nyata xe tidak pernah nol, maka
0cos y dan 0sin y .
Tetapi hal ini tidak mungkin terjadi untuk setiap nilai y . Jadi 0ze untuk semua z .
b. 10 e
Bukti :
111)01(1)0sin0(cos0 ieeo
c. wzwz eee
Bukti:
Misal yixz dan biaw
)()( byiaxwz ee
))sin()(cos( byibye ax
))sincoscos(sinsinsincos(cos bybyibybye ax
)sinsinsincoscossincos(cos bybyibyibyee ax
)sin(cos)sin(cos bibeyiye ax
wzee
d. wzwz eee /
Bukti :
Misal yixz dan biaw
3
e. zz ee
Bukti :
Misal yixz
yixz ee
))sin()(cos( yiye x
)sin(cos yiye x
ze
f. izz ee 2
Bukti :
Misal
g. yixz , xz ee || , ye z )arg(
|)sin(cos||| yiyee xz
22 )sin()cos( yeye xx
yeye xx 2222 sincos
)sin(cos 222 yye x
4
xe2
xe
2. 4 Contoh Soal
1. Cari semua z yang memenuhi setiap persamaan berikut:
a.
b.
Pembahasan :
a. ie z 3
iyiye x 3)sin(cos
iyieye xx 30sincos
Diperoleh
0cos ye x
0cos y
kky ,2
Dan
iyie x 3sin
3sin ye x
3 xe
5
Yang mungkin hanya 3xe . Jadi 3lnx , kkiz ),2
(3ln
.
b. ie z 1
iyiye x 1)sin(cos
iyieye xx 1sincos
Diperoleh
1cos ye x dan 1sin ye x
11)cos(sin 222 yye x
22 xe
2ln2 ee x
2ln2 x
2ln2
1x
Masukkan x ke persamaan
1cos ye x
1cos2ln
2
1
ye
1cos2 y
2
1cos y
kky ,24
2. Buktikan bahwa
Pembahasan :
,
3. Buktikan bahwa fungsi fungsi berikut tidak analitik dimanapun
6
c.
d.
e.
Pembahasan :
a. Ambil sebarang , akan dibuktikan tidak analitik di
Misal berarti
Maka
, ,
, ,
Andaikan
b. Buktikan tidak analitik dimanapun
Misal berarti
Maka
, ,
, ,
berarti
Jadi tidak analitik dimanapun
c. Ambil sebarang adit tidak analitik di
Missal ,
, ,
7
, ,
Andaikan
–
Tidak terpenuhi dimanapun
Jadi tidak analitik di . Karena sebarang maka tidak analitik
dimanapun
4. Nyatakan kebenaran bahwa
Pembahasan :
Diketahui , misal adit
