Bab 11

Pemodelan dan Estimasi Data Dua Dimensi dengan Kriging Sederhana

11.1. Pendahuluan

Pemodelan atau lebih tepat disebut dengan penaksiran atau estimasi dengan kriging sederhana untuk data 2-D, dibahas dalam bab yang berbeda dari pemodelan data 2-D yang dibahas sebelumnya. Estimasi dengan kriging sederhana didasarkan atas konsep fungsi acak atau random function concept yang dibahas lebih rinci dalam bidang geostatistik.

Estimasi dengan kriging sederhana dapat dikatagorikan ke dalam interpolasi, sedangkan pemodelan data dengan polinomial dan Fourier yang telah dibahas sebelumnya dapat dikatagorikan baik ke dalam interpolasi maupun ekstrapolasi. Pada saat ini kriging telah berkembang menjadi berbagai varian dengan keunggulannya masing-masing dan dapat dipelajari lebih rinci dalam bidang geostatistik. Penjelasan tentang estimasi data 2-D dengan kriging sederhana akan didahului oleh pembahasan tentang konsep fungsi acak.

11.2. Konsep Fungsi Acak

Estimasi atau penaksiran atau prediksi hanya dapat dilakukan berdasarkan model yang telah terkalibarasi. Estimasi dapat dilakukan berdasar model deterministik, model probabilistik serta model hibrid yang merupakan kombinasi antar model deterministik dan model probabilistik.

Model deterministik biasanya dinyatakan dalam persamaan yang dikenal dengan persamaan pengatur atau govern equation. Persamaan ini mengekspresikan hubungan antar beberapa state variable yang berperan dalam suatu proses yang dapat diketahui secara tepat atau deterministik. Proses deterministik yang menyertai suatu fenomena sebenarnya tidaklah mudah diketahui, karena melibatkan state variable yang banyak jumlahnya dan rumit. Model deterministik dengan persamaan pengaturnya dapat diturunkan karena hanya dibatasi pada proses deterministik yang dominan saja dengan state variable yang terbatas dan mengabaikan proses-proses yang lainnya.

Estimasi berdasar model deterministik dilakukan dengan cara memberikan input ke dalam model, sehingga didapatkan nilai estimasi yang merupakan fungsi dari beberapa state variable. Estimasi berdasar model deterministik yang dinyatakan dalam persamaan diferensial dapat dilakukan dengan cara membatasi persamaan diferensial tersebut dengan kondisi batas dan kondisi awal. Hasil estimasi berdasar model deterministik biasanya bersifat eksak atau dengan kata lain tidak menyertakan tingkat kesalahan yang mungkin terjadi dalam proses estimasi.

11-1

Model probabilistik biasanya dinyatakan dalam persamaan stokastik yang dikenal dengan persamaan mekanisme generasi peluang atau equation of probabilistic generating mechanism. Berbeda dengan model deterministik yang menggambarkan proses yang dapat diketahui dengan tepat atau determinsitik, proses-proses pada model probabilistik tidak dapat ditentukan secara tepat, sehingga selanjutnya dikenal dengan proses acak atau random process. Bisa jadi model probabilistik dibangun karena proses-proses dalam suatu fenomena demikian rumit dan melibatkan banyak sekali state variable, sehingga menghasilkan sesuatu yang terlihat seperti acak. Pada model probabilistik, yang lebih penting diketahui adalah hasil akhir atau keluaran atau output dari proses acak. Berlainan dengan hal ini, model deterministik berangkat dari proses yang diketahui dengan pasti demikian juga menghasilkan output yang dapat diperkirakan dengan tepat.

Dalam kenyataannya, di alam tidak terdapat proses yang acak, semuanya bersifat deterministik dan terjadi menurut kaidah sebab dan akibat. Suatu proses terlihat seperti acak, karena manusia tidak dapat menangkap dan mengidentifikasi seluruh proses deterministik yang terlibat di dalamnya.

Nilai estimasi berdasar model probabilistik biasanya merupakan kombinasi dari beberapa nilai di sekitarnya yang keberadaannya dianggap sebagai variabel acak. Dengan menganggap nilai-nilai tersebut merupakan variabel acak, maka semua konsep tentang fungsi acak dapat diterapkan. Akurasi estimasi berdasar model probabilistik sepenuhnya tergantung dari bagaimana memberi aturan hubungan antara nilai yang diestimasi terhadap nilai-nilai di sekitarnya.

Variabel Acak Tunggal

Variabel acak tunggal tergenerasi secara acak berdasar persamaan mekanisme generasi peluang. Realisasi variabel acak saling tidak mempengaruh satu dengan lainnya. Definisi variabel acak dan peluangnya dinyatakan sebagai berikut:

Variabel : {V} = {v(1), v(2), v(3), ………… v(n)} = {v(i)}Realisasi : {v } = {v1, v2, v3, …………..… vn} = {vi } (11-1)Peluang : {P} = {p1, p2, p3, …………..… pn} = {pi }

Parameter Variabel Acak Tunggal

Parameter variabel acak tunggal sama seperti yang ada dalam statistik, yaitu: mean, median, mode, minimum, maksimum dll. Aturan relasi antara kemunculan realisasi dan peluangnya disebut dengan aturan probabilitas atau probability law. Jadi jika aturan probabilitas suatu variabel diketahui, maka prediksi kemunculan realisasi variabel acak dapat dilakukan lebih akurat. Parameter variabel acak tunggal yang sangat penting adalah expected value atau E{V} dan variance atau Var{V} yang dinyatakan sebagai berikut:

(11-2)

11-2

(11-3)

(11-4)

Variabel Acak Jamak (Joint Random Variable)

Variabel acak jamak juga tergenerasi secara acak berdasar persamaan mekanisme generasi peluang. Realisasi variabel acak dalam joint random variable saling mempengaruh satu dengan lainnya. Definisi variabel acak jamak dan peluangnya dinyatakan sebagai berikut:

Variabel : {U,V} = {(u(1),v(1)), (u(1),v(2)), (u(2),v(1)), … (u(1),v(1))} = {(u(i),v(i))}Realisasi : {u,v } = {(u1,v1), (u1,v2), (u2,v1), …..………(un,vn)} = {(ui,vi)} (11-5) Peluang: : {P} = {p11, p12, p21, p22, …………………….pnn,} = {pi }

Parameter Variabel Acak Jamak

Parameter variabel acak jamak yang paling penting adalah covariance atau Cov{UV} dan koefisien korelasi atau yang dinyatakan sebagai berikut:

(11-6)

(11-7)

(11-8)

Kombinasi Linier Beberapa Variabel Acak

Parameter kombinasi linier beberapa variabel acak yang penting untuk diketahui adalah expected value dan variance kombinasi linier beberapa variabel acak yang dapat dinyatakan sebagai berikut:

(11-9)

11-3

(11-10)

Fungsi Acak (Random Function)

Fungsi acak atau V(x) adalah suatu set beberapa variabel acak yang berada di lokasi tertentu dan masing-masing saling mempunyai ketergantungan yang ditentukan berdasar persamaan mekanisme generasi peluang. Fungsi acak dikatakan bersifat stasioner, jika perbedaan antara dua nilai tidak tergantung pada lokasi kedua nilai tersebut, melainkan tergantung pada jarak antara keduanya. Prinsip ini penting dan menjadi dasar bagi hampir sebagian besar prinsip dalam geostatistik. Parameter fungsi acak yang penting adalah covariance atau Cov{V(x)V(x+h)}, koefisien korelasi atau

dan semivariance atau . Ketiga parameter tersebut secara lengkap dinyatakan sebagai berikut:

(11-11)

Berdasar prinsip stasioner, maka berlaku ekspresi berikut ini:

(11-12)

Jika persamaan (11-12) disubstitusi ke dalam persamaan (11-11), maka akan didapatkan covariance fungsi acak sebagai berikut:

(11-13)

(11-14)

Koefisien korelasi secara lengkap dinyatakan sebagai berikut:

(11-15)

(11-16)

Gambar kurva koefisien korelasi selanjutnya dinamakan korelogram atau correlogram. Semivariance secara rinci diturunkan sebagai berikut:

11-4

(11-17)

Berdasar prinsip stasioner, maka berlaku ekspresi berikut ini:

(11-18)

Jika persamaan (11-18) disubstitusi ke dalam persamaan (11-17), maka akan dihasilkan ekspresi berikut ini:

(11-19)

Pemodelan Data atau Estimasi atau Interpolasi

Estimasi berdasar model probabilistik dikatagorikan dalam interpolasi, yaitu estimasi di dalam interval data aktual. Estimasi ini pada umumnya dilakukan berdasar kombinasi linier data-data aktual, yang masing-masing dianggap sebagai variabel acak. Dengan pemberlakukan anggapan ini, maka semua kaidah konsep fungsi acak dapat diberlakukan. Estimasi dengan kombinasi linier dinyatakan sebagai berikut:

(11-20)

Perkiraan kesalahan estimasi atau estimation error dari persamaan (11-20) dinyatakan sebagai berikut:

(11-21)

Rata-rata dari kesalahan estimasi dinyatakan sebagai berikut:

(11-22)

11-5

Expected value dari rata-rata kesalahan estimasi adalah rata-rata kesalahan estimasi yang diharapkan dari proses estimasi. Secara teoritis expected value dari rata-rata kesalahan estimasi akan mendekati nilai rata-rata kesalahan estimasi, jika jumlah data aktual yang terlibat dalam estimasi sangat banyak. Expected value dari rata-rata kesalahan estimasi dinyatakan sebgai berikut:

(11-23)

Berdasar persamaan (11-23) dapat ditentukan expected value dari kesalahan estimasi, yang dinyatakan sebagai berikut:

(11-24)

Berdasar prinsip stasioner, dimana V(xi) = V(x0) = V dan kemudian disubstitusi ke dalam persamaan (11-24), maka akan didapat ekspresi sebagai berikut:

(11-25)

Estimasi akan sangat akurat atau unbiased, jika expected value dari kesalahan estimasi berharga nol, seperti dinyatakan sebagai berikut:

(11-26)

Jadi estimasi berdasar model probailistik akan menghasilkan nilai terbaik, menghasilkan variance yang minimum, padamana menghasilkan jumlah bobotnya sama dengan satu dan estimatornya disebut best linier unbiased estimator atau BLUE.11.3. Pemodelan dan Estimasi Data 2-D dengan Kriging Sederhana

Kriging sederhana didasarkan pada asumsi-asumsi berikut ini, yaitu, pertama: data mengikuti distribusi normal (Gauss), kedua: konsep fungsi acak, ketiga: data bersifat stasioner dan isotropis, keempat data terdistribusi dengan spasi yang teratur, kelima: tidak terdapat trend dalam distribusi data.

11-6

Jika data tidak mengikuti dsitribusi normal, maka harus dilakukan proses normaslisasi terlebih dahulu. Selain itu jika data terdistribusi dengan spasi yang tidak teratur, maka kriging sederhana masih dapat digunakan dan kriging sederhana tersebut kemudian disebut dengan kriging universal, pada mana kriging dilakukan di segala arah atau tidak dalam arah tertentu. Jika beberapa asumsi tersebut tidak dapat dipenuhi, maka proses estimasi harus menggunakan varian kriging lainnya yang lebih tepat. Penjelasan tentang beberapa varian kriging dengan berbagai kelebihannya dapat ditemui dalam bidang geostatistik.

Kriging sederhana dikembangkan dari prinsip moving average dan merupakan penaksir (estimator) data (nilai) linier yang didasarkan pada kombinasi linier dari data (nilai) aktual di sekitarnya. Kriging tidak hanya berperan sebagai penaksir nilai, tetapi sekaligus sebagai pengkaji probabilitas kesalahan yang terjadi sehubungan dengan penaksiran. Perbedaan antara moving average dan kriging sederhana terletak pada fungsi bobot. Pada moving average, bobot untuk semua data aktual berharga sama atau dapat juga proporsional terhadap invers squared distance.

Berikut ini akan diberikan kriging sederhana titik untuk estimasi titik atau punctual simple kriging. Pada kriging sederhana titik, bobot ditentukan dari persamaan kriging yang elemen-elemennya ditentukan dari kurva semivariance. Misalkan suatu nilai yang ditaksir adalah , maka fungsi bobot kriging sederhana dapat ditentukan berdasar persamaan berikut ini:

(11-27)

Dalam hal ini adalah semivariance antara titik xi atau (Z(x)) dan titik xj atau

(Z(x+h)) yang berjarak h. Selanjutnya adalah semivariance antara nilai di lokasi

tertentu dan nilai yang ditaksir yang juga berjarak h. Harga dan dapat

ditentukan dari kurva semivariance yang tergambar dalam variogram. Persamaan kriging (11-27) dalam bentuk yang lebih komplet dapat dinyatakan sebagai berikut:

11-7

(11-28)

Agar estimasi dapat dilakukan seakurat mungkin, menurut kriteria best linear unbiased estimator (BLUE), maka jumlah bobotnya harus sama dengan satu atau dinyatakan sebagai berikut:

(11-29)

Persamaan (11-28) dalam bentuk matrik dapat dinyatakan sebagai berikut:

(11-30)

atau dalam bentuk simbol dinyatakan sebagai berikut:

(11-31)

Persamaan Kriging (11-30) dan (11-31) bertitik tolak pada semivariance atau . Dalam persamaan ini elemen matrik dan vektor kriging ditentukan berdasar harga semivariance dari variogram. Persamaan (11-30) dan (11-31) dapat juga ditentukan bertitik tolak dari covariance atau , sehingga kedua persamaan tersebut akan menjadi sebagai berikut:

(11-32)

atau dalam bentuk simbol dinyatakan sebagai berikut:

11-8

(11-33)

Dalam hal ini adalah coariance antara titik xi atau (Z(x)) dan titik xj atau (Z(x+h))

yang berjarak h, sedangkan adalah covariance antara nilai di lokasi tertentu dan

nilai yang ditaksir yang juga berjarak h. Harga dan dapat ditentukan dari

kurva semivariance yang tergambar dalam variogram.

Penyelesaian persamaan (11-31) atau (11-33) menghasilkan bobot 1, 2, 3, ……. n. Dengan bobot ini, maka nilai yang ditaksir dapat ditentukan berdasar kombinasi linier yang dinyatakan sebagai berikut:

= 1 x1 + 2 x2 + . . . + n xn (11-34)

Tingkat akurasi esimator kriging sederhana titik dapat diukur dari nilai kriging variance. Semakin kecil nilai kriging variance, maka semakin teliti harga estimasi. Kriging variance secara matermatis dinyatakan sebagai berikut:

(11-35)

11-9