PEMROGRAMAN DINAMIS (MULTITAHAP)

PAGE MODUL 9

RISET OPERASIONAL

PEMROGRAMAN DINAMIS

Modul 9.

PENELITIAN OPERASIONAL PEMROGRAMAN DINAMIS

Oleh :

EliyaniPROGRAM KELAS KARYAWAN

PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI

FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI

UNIVERSITAS MERCU BUANA

JAKARTA

2007

Pendahuluan

Pemrograman dinamis (dynamic programming/DP) adalah prosedur matematis yang terutama dirancang untuk memperbaiki efisiensi perhitungan masalah pemrograman matematis tertentu dengan menguraikannya menjadi bagian-bagian yang lebih kecil sehingga lebih sederhana dalam perhitungan. Pemrograman dinamis pada umumnya menjawab masalah dalam tahap-tahap dengan setiap tahap memiliki satu variabel optimasi. Perhitungan di tahap yang berbeda dihubungkan dengan perhitungan rekursif dengan cara yang menghasilkan pemecahan optimal yang mungkin bagi seluruh masalah.

Dikatakan dinamis, karena penggunaan metode ini yang melibatkan pengambilan keputusan yang berkaitan dengan waktu. Namun tidak selalu pentahapan berbasis waktu yang dapat dilakukan dengan DP, sehingga nama yang lebih tepat untuk kondisi yang demikian adalah pemrograman multitahap (multistage programming).

Unsur-unsur model DP

Contoh : masalah penganggaran modal

Sebuah perusahaan mempunyai usulan dari ketiga pabriknya untuk kemungkinan mengembangkan sarana produksi. Perusahaan tersebut menyediakan anggaran $5 juta untuk alokasi pada ketiga pabrik. Setiap pabrik diminta untuk menyampaikan usulannya yang memberikan jumlah biaya (c) dan jumlah pendapatan (R) untuk setiap usulan. Tabel 1 meringkaskan biaya dan pendapatan (dalam jutaan dollar). Usulan biaya nol diperkenalkan untuk memungkinkan tidak dialokasikannya dana pada masing-masing pabrik. Sasaran dari perusahaan tersebut adalah untuk memaksimumkan jumlah pendapatan yang dihasilkan dari alokasi $5 juta pada ketiga pabrik.

Tabel 1. Usulan Pengembangan Sarana Produksi

UsulanPabrik 1Pabrik 2Pabrik 3

c1R1c2R2c3R3

1000000

2152813

32639--

4--412--

Cara yang langsung untuk menjawab masalah ini adalah melalui enumerasi lengkap. Masalah ini memiliki 3 x 4 x 2 = 24 kemungkinan pemecahan, beberapa di antaranya tidak layak karena memerlukan modal yang lebih besar dari $5 juta. Gagasan dari enumerasi yang lengkap adalah menghitung jumlah biaya dari masing-masing kombinasi. Jika tidak melebihi modal yang tersedia, pendapatan total diperhitungkan. Pemecahan optimum adalah kombinasi yang mungkin yang menghasilkan jumlah pendapatan tertinggi. Contoh, usulan 2, 3, dan 1 untuk pabrik 1, 2 dan 3 memerlukan biaya $4 juta ( 2 mewakili pengeluaran yang berlebihan untuk tahap 1 sebab tidak terjadi lagi penambahan pendapatan.

Tahap 2. Pengunaan modal yang mungkin adalah dari $0 juta hingga $5 juta. Namun :

EMBED Equation.3 di mana x1 = x2 modal yang dialokasikan pada alternatif tahap 2.

x2 = 0

Maka usulan yang mungkin adalah usulan 1 baik untuk pabrik 1 maupun 2 dengan total pendapatan 0 + 0 = 0.

x2 = 1

Hanya ada satu kemungkinan yang layak, yaitu usulan 1 untuk pabrik 2 yang bernilai 0 dengan usulan 2 pabrik 1 yang memberikan pendapatan 5, karena kombinasi lain menghasilkan biaya yang paling tidak 2. Sehingga:

Pendapatan terbesar dengan diket. x2 = 1 = 0 + 5 = 5.

x2 = 2

Di sini kita memiliki dua alternatif usulan pabrik 2 yang layak : usulan 1 dan usulan 2 dengan biaya 0 dan 2 yang masing-masing menghasilkan pendapatan sebesar 0 dan 8. Jadi, nilai x1 yang sesuai dengan usulan 1 dan 2 adalah sesuai dengan rumus : x1 = x2 - c2 yaitu x1 = 2 0 = 2 dan 2 2 = 0. Usulan optimal pabrik 1 yang memberikan x1 = 2 dan x1 = 0 berdasarkan Tabel 1 di atas adalah usulan 3 dan usulan 1 dengan pendapatan masing-masing sebesar 6 dan 0, sehingga :

Pendapatan terbesar dengan diket. x2 = 2 = max (0 + 6 = 6, 8 + 0 = 8) = 8

yang bersesuaian dengan usulan 2 untuk pabrik 2.

x2 = 3

Di sini ada dua alternatif yang layak, yaitu usulan 1, 2 dan 3. Nilai x1 yang sesuai adalah 3 0 = 3 dan 3 2 = 1, dan 3 3 = 0. Jadi kita memperoleh :

Pendapatan terbesar dengan diket. x2 = 3 = max (0 + 6 = 6, 8 + 5 = 13, 9 + 0 = 9) = 13

yang bersesuaian dengan usulan 2 untuk pabrik 2.

x2 = 4

Alternatif yang layak adalah usulan 1, 2, 3 dan 4. Nilai-nilai x1 yang sesuai masing-masing adalah 4 0 = 4, 4 2 = 2, 4 3 = 1 dan 4 4 = 0, sehingga:

Pendapatan terbesar dengan diket. x2 = 4 = max (0 + 6, 8 + 6, 9 + 5, 12 + 0) = 14

yang bersesuaian dengan usulan 2 atau 3.

x2 = 5

Kita memiliki alternatif layak yang sama seperti dalam x2 = 4. Nilai-nilai x1 yang sesuai masing-masing adalah 5, 3, 2 dan 1. Jadi:

Pendapatan terbesar dengan diket. x2 = 5 = max (0 + 6, 8 + 6, 9 + 6, 12 + 5) = 17

yang bersesuaian dengan usulan 4.

Ringkasan perhitungan tahap 2 disajikan pada Tabel 2.

Tabel 2. Alternatif penggunaan modal pada tahap 2.

Jika modal yang tersedia x1 =Maka, usulan optimalnya adalah:Dan jumlah pendapatan tahap 1 (R1) adalah :

010

115

228

3213

42 atau 314

5417

Tahap 3.

Rumus untuk menghitung pendapatan terbesar sama dengan tahap 2 kecuali bahwa x2 dan x1 digantikan oleh x3 dan x2 dan tahap 2 dan tahap 1 digantikan oleh tahap 3 dan tahap 2. Karena sudah tahap terakhir, maka x3 hanya memiliki satu nilai spesifik, yaitu x3 = 5. Karena x3 memiliki dua usulan yang biayanya tidak mencapai $5 juta, maka kedua usulan tersebut layak. Nilai-nilai x2 yang sesuai dengan usulan 1 dan 2 yaitu 5 0 = 5 dan 5 1 = 4. Dengan menggunakan Tabel 2, kita memperoleh:

Pendapatan terbesar dengan diket. x3 = 5 = max (0 + 17, 3 + 14) = 17 yang bersesuaian dengan usulan 1 atau 2.

Definisi Keadaan

Keadaan sistem mungkin merupakan konsep yang paling penting dalam model pemrograman dinamis. Keadaan ini mewakili hubungan antara tahap-tahap sehingga ketika setiap tahap dioptimumkan secara terpisah, keputusan yang dihasilkan dengan sendirinya layak untuk seluruh masalah.

Namun keadaan ini seringkali tidak jelas sehingga sulit ditemukan cara menghubungkan tahap-tahap tersebut. Dua pertanyaan berikut dapat menjadi cara untuk menemukan keadaan :

1. Hubungan apa yang mempersatukan tahap-tahap tersebut?

2. Informasi apa yang diperlukan untuk mengambil keputusan yang layak pada tahap sekarang tanpa memeriksa kelayakan keputusan tahap sebelumnya?

Perhatikan contoh-contoh berikut:

Contoh 1. Pada masalah penganggaran yang sudah dibahas sebelumnya, keadaan yang menghubungkan antar tahap adalah alokasi modal. Pertimbangannya adalah fakta bahwa semua pabrik (yang menjadi tahap) bersaing untuk bagian modal yang terbatas.

Contoh 2. Pertimbangkan situasi penggantian peralatan di mana pada akhir setiap tahun sebuah keputusan diambil untuk menggunakan mesin pada tahun berikutnya atau menggantinya segera. Jika sebuah mesin disimpan lebih lama, laba yang diperolehnya menurun. Sebaliknya mengganti sebuah mesin mengeluarkan biaya penggantian. Masalahnya adalah memutuskan kapan sebuah mesin harus diganti untuk memaksimumkan jumlah laba bersih.

Dalam masalah ini, tahap j mewakili tahun j. Alternatif pada setiap tahap adalah mempertahankan mesin atau menggantinya. Untuk mendefinisikan keadaan sistem : apa hubungan antara dua tahap berturut-turut? Informasi apa yang diperlukan dari tahap-tahap sebelumnya untuk mengambil keputusan (mempertahankan atau mengganti) dalam tahap sekarang? Jawabannya adalah : usia mesin. Jadi keadaan sistem pada suatu tahap ditentukan sebagai usia mesin pada awal periode yang berkaitan. Jadi usia mesin akan menjadi x1, x2 dan seterusnya.

PERSAMAAN REKURSIF

Perhitungan yang dilakukan pada pemrograman dinamis bersifat rekursif, perhitungan pada suatu tahap didasarkan pada tahap sebelum atau sesudahnya. Misalnya perhitungan pada tahap 2 tergantung pada perhitungan tahap 1 dan perhitungan pada tahap 3 tergantung pada perhitungan tahap 2. Dengan perkataan lain, perhitungan pada tahap sekarang memanfaatkan ringkasan informasi tahap sebelumnya. Ringkasan ini memberikan pendapatan optimal dari semua tahap dipilih ambil secara optimal tanpa melihat keputusan yang diambil sebelumnya. Sifat ini merupakan prinsip optimalitas yang merupakan daar bagi keabsahan perhitungan DP.

Persamaan rekursif, secara matematis, dinyatakan dengan simbol-simbol:

Rj(kj) = pendapatan alternatif kj pada tahap j

fj(xj) = keuntungan optimal pada tahap 1, 2, dan jika j keadaan xjcj(kj) = harga kj alternatif pada tahapj

Persamaan rekursif dapat ditulis sebagai:

Perhitungan persamaan rekursif dilakukan dalam bentuk tabel standar seperti yang digambarkan pada perhitungan berikut. Tabel standar kasus penganggaran modal adalah:

Tahap 1

x1R1(k1)Pemecahan Optimal

k1=1k1=2k1=3f1(x1)

00--01

105-52

205663

305663

405663

505663

Tahap 2

x2

Solusi Optimal

k2=1k2=2k2=3k2=4f2(x2)

00+0=0---01

10+5=5---51

20+6=68+0=8--82

30+6=68+5=139+0=9-132

40+6=68+6=149+5=1412+0=12142 atau 3

50+6=68+6=149+6=1512+5=17174

Tahap 3

x3

Solusi Optimal

k3=1k3=2f3(x3)

50+17=173+14=17171 atau 2

Pemecahan optimum dapat dibaca secara langsung dari tabel di atas dimulai dengan tahap 3. Untuk x3 = 5, usulan optimalnya adalah =1 atau =2. Pertimbangkan =1 terlebih dahulu.Karena c3(1) = 0, hal ini membuat x2=x3- c3(1)=5 untuk tahap 2 dan tahap 1. Tahap 2 menunjukkan bahwa x2 = 5 menghasilkan =4. Karena c2(4) = 4, maka x1= 5-4 = 1. Dari tahap 1, x1 = 1 memberikan =2. Jadi kombinasi optimal dari usulan untuk tahap 1, 2 dan 3 adalah (2,4,1).

Persamaan Rekursif Mundur

Perhitungan di atas mencerminkan persamaan rekursif maju, dari tahap awal menuju tahap akhir. Yang umum dilakukan adalah rekursif mundur, dari tahap terakhir berlanjut ke belakang ke tahap 1. Perbedaan utama antara kedua prosedur adalah dalam cara mendefinisikan keadaan sistem. Contoh kasus penganggaran modal di atas, dapat diselesaikan dengan metode rekursif mundur sebagai:

Keadaan sistem disimbolkan dengan yj sehingga:

y1 = jumlah modal yang dialokasikan pada tahap 1, 2 dan 3.

y2 = jumlah modal yang dialokasikan pada tahap 2 dan 3.

y3 = jumlah modal yang dialokasikan pada tahap 3.

f3(y3) = pendapatan optimal untuk tahap 3 dengan diketahui y3f2(y2) = pendapatan optimal untuk tahap 2 dan 3 dengan diketahui y2f1(y1) = pendapatan optimal untuk tahap 1,2 dan 3 dengan diketahui y1Persamaan rekursif mundur dengan demikian ditulis sebagai:

Urutan perhitungan tahap dengan demikian adalah:

Tahap 3.

y3R3(k3)Solusi Optimal

k3=1k3=2f3(y3)

00

0

0

0

0

0-01

1332

2332

3332

4332

5332

Tahap 2.

x2

Solusi Optimal

k2=1k2=2k2=3k2=4f2(x2)

00+0=0---01

10+3=3---31

20+3=38+0=8--82

30+3=38+3=119+0=9-112

40+3=38+3=119+3=1212+0=12123 atau 4

50+3=38+3=119+3=1212+3=15154

Tahap 1.

y1

Solusi Optimal

k1=1k1=2k1=3f1(y1)

50+15=155+12=176+11=17172 atau 3

1

f3

f3

f3

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dr. Ir. Eliyani RISET OPERASIONAL 0

PAGE PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dr. Ir. Eliyani RISET OPERASIONAL 12

_1191870913.unknown

_1191877969.unknown

_1191878881.unknown

_1191878948.unknown

_1191878962.unknown

_1191879150.unknown

_1191878894.unknown

_1191877989.unknown

_1191877998.unknown

_1191877978.unknown

_1191873182.unknown

_1191876984.unknown

_1191877000.unknown

_1191877117.unknown

_1191873249.unknown

_1191872622.unknown

_1191871110.unknown

_1191871657.unknown

_1190946220.unknown

_1191870720.unknown

_1190945002.unknown