MODUL 6DISTRIBUSI PROBABILITASDalam Bab 2, akan mempelajari beberapa teori probablitas yang mungkin akan digunakan dalam kuliah Rekayasa Trafik.2.1 Sample space, sample points, events Sample space,(, adalah sekumpulan semua sample points,(, yang mungkin; dimana ((( Contoh 1. Melemparkan satu buah koin:(={Gambar,Angka} Contoh 2. Menggelindingkan dadu: (={1,2,3,4,5,6} Contoh 3. Jumlah pelanggan dalam antrian: (={0,1,2,} Contoh 4. Waktu pendudukan panggilan (call holding time): (={x(((x>0} Events A,B,C, ( ( adalah himpunan bagian dari sample space Contoh 1. Angka genap pada sebuah dadu:A={2,4,6} Contoh 2. Tidak ada pelanggan yang mengantri : A={0} Contoh 3. Call holding time lebih dari 3 menit. A={x(((x>3} Event yang pasti : sample space ( Event yang tidak mungkin : himpunan kosong (()2.2 Kombinasi event Union (gabungan) :A atau B : A(B={((((((A atau ((B} Irisan: A dan B : A(B={((((((A dan ((B} Komplemen : bukan A:Ac={((((((A} Event A dan B disebut tidak beririsan (disjoint) bila : A(B=( Sekumpulan event {B1,B2,} merupakan partisi dari event A jika (i) Bi ( Bj=( untuk semua i(j (ii) (iBi =A

2.3 Probabilitas (peluang) Probabilitas suatu event dinyatakan oleh P(A) P(A)([0,1] Sifat-sifat peluang

2.4 Conditional Probability (Peluang bersyarat) Asumsikan bahwa P(B)>0 Definisi : Conditional probability dari suatu event A bila diketahui event B terjadi didefinisikan sebagai berikut :

Dengan demikian

2.5 Teorema Probabilitas Total Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space ( Lalu {A(Bi} merupakan partisi dari event A, maka berdasarkan sifat probabilitas yang ketujuh pada 2.1.Peluang.

Kemudian asumsikan bahwa P(Bi)>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian 2.4. Conditional Probability (Peluang Bersyarat), dapat didefinisikan teorema probabilitas total sbb :

2.6 Teorema Bayes Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space ( Asumsikan bahwa P(A)>0 dan P(Bi)>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian 2.4. Conditional Probability (Peluang Bersyarat),

Kemudian, berdasarkan teorema probabilitas total, kita peroleh

Ini merupakan teorema Bayes Peluang P(Bi) disebut peluang a priori dari event Bi Peluang P(Bi(A) disebut peluang a posteriori dari event Bi (bila diketahui event A terjadi)2.7. Kesalingbebasan statistik dari event (Statistical independence of event) Definisi : Event A dan B saling bebas (independent) jika

Dengan demikian

Demikian pula

2.8 Peubah acak (random variables) Definisi : Peubah acak X (yang merupakan bilangan riil [real-valued]) adalah fungsi bernilai riil dan dapat diukur yang didefinisikan pada sample space (;X: ( ( ( Setiap titik sample (sample points) w(W dihubungkan dengan sebuah bilangan riil X(w) Dengan kata lain : memetakan setiap titik sample ke sebuah bilangan riil menggunakan peubah acak X2.9. Contoh Sebuah koin dilempar tiga kali; setiap lemparan akan menghasilkan head (H) atau tail (T) Sample space:

Misalnya peubah acak X merupakan jumlah total tail (T) dalam ketiga eksperimen pelemparan koin tersebut, maka :

2.10 Probability Distribution Function (PDF) Definisi : PDF dari suatu peubah acak X adalah fungsi FX: ( ( [0,1] yang didefinisikan sebagai berikut :

PDF menentukan distribusi dari peubah acak Sifat

2.11 Kesalingbebasan statistik dari peubah acak (Statistical independence of random variables) Definisi : Peubah acak X dan Y saling bebas jika untuk semua x dan y

Definisi : Peubah acak X1, ,Xn saling bebas jika untuk semua i dan xi

2.12 Peubah acak diskrit Definisi : himpunan A(( disebut diskrit bila Terbatas : A={x1,,xn}, atau Tak terbatas : A={x1,x2,} Definisi : peubah acak X disebut diskrit bila terdapat sebuah himpunan diskrit Sx(( sedemikian hingga

Maka P{X=x} ( 0 untuk semua x ( Sx P{X=x} = 0 untuk semua x ( Sx Himpunan Sx disebut himpunan nilai (value set)2.13 Peluang titik (point probabilities) Misalkan X adalah peubah acak diskrit Distribusi X ditentukan oleh peluang titik pi

Definisi : probability mass function (pmf) dari X adalah merupakan fungsi pX: ( ( [0,1] yang didefinisikan sbb :

Pada kasus ini, PDF merupakan fungsi step

2.13 Contoh 2

2. 14 Kesalingbebasan peubah acak Peubah acak diskrit X dan Y dikatakan saling bebas jika dan hanya jika untuk semua xi(SX dan yj(Sy

2.15 Ekspektasi (harapan,rataan) Definisi : Harga ekspektasi (rata-rata/mean value) dari X dinyatakan oleh

Sifat-sifat

2.15 Variance Definisi : Variance dari X didefinisikan sbb

Rumus yang bermanfaat

Sifat-sifat

2.16 Covariance Definisi : Covariance antara X dan Y didefinisikan sbb

Rumus yang bermanfaat

Sifat-sifat

2.17 Parameter lain yang berhubungan dengan distribusi Deviasi standard dari X

Momen ke-k dari X

2.18 Distribusi Bernoulli

Menyatakan suatu eksperimen acak dengan dua keluaran yang mungkin Sukses (1) Gagal (0)

Nilai 1 berpeluang p (nilai 0 berpeluang

2. 19 Distribusi binomial

Menyatakan jumlah sukses dalam sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli);

2.20 Distribusi geometric

Menyatakan jumlah sukses yang terjadi sampai didapatkan kegagalan yang pertama dari sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli)p = peluang sukses dalam suatu eksperimen

2.21 Distribusi Poisson

Limit dari distribusi binomial dimana n (( dan p ( 0, sedemikian hingga np ( a

2.22 Contoh 3 Asumsikan 200 pelanggan terhubung ke sentral lokal Trafik setiap pelanggan adalah 0.01 Pelanggan saling bebas Maka jumlah panggilan yang aktif X ~ Bin(200,0.01) Pendekatan Poisson X ( Poisson(2,0) Peluang titik

2.23 Peubah acak kontinu Definisi : peubah acak X kontinu jika terdapat fungsi yang dapat diintegralkan fX:(((+, sedemikian hingga untuk semua x((

Fungsi fX disebut probability density function (pdf) Himpunan SX, dimana fX>0 disebut value set Sifat-sifat

2.24 Contoh 4

2.25 Ekspektasi dan parameter lain Ekspektasi (nilai rata-rata/mean value) dari X didefinisikan sbb Note 2: Jika , maka Sifat sama dengan distribusi diskrit Parameter distrubusi lainnya didefinisikan dan memiliki sifat yang sama seperti pada distribusi diskrit 2.26 Distribusi Uniform (X~U(a,b), a0) Versi kontinu dari distribusi geometrik (peluang gagal ( ldt)

Rekayasa TrafikFahraini Bacharuddin, ST. MT.Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana

1110