repository.its.ac.idrepository.its.ac.id/70637/1/2690100025-Undergraduate_Theses.pdf · 13 ism iII...
120
PENYELESAIAN MASALAH KNAP DUA DIMENSI DENGAN ALGORITMA APROKSIMASI Disusun Oleh : : T s TaL Thrinu · jf) · r MUTIA AIZA JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNOLOGI INOUSTRI INSTITUT TEKNOLOGf SEPULUH NOPE SURABAYA 1999
Transcript of repository.its.ac.idrepository.its.ac.id/70637/1/2690100025-Undergraduate_Theses.pdf · 13 ism iII...
PENYELESAIAN MASALAH KNAP DUA DIMENSI DENGAN
ALGORITMA APROKSIMASI
Disusun Oleh : : T s ~--.,.··-·----·-:~=:---:-·
TaL Thrinu · jf) · r Ztf_~~ MUTIA AIZA
JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNOLOGI INOUSTRI
INSTITUT TEKNOLOGf SEPULUH NOPE SURABAYA
1999
PENYELESAIAN MASALAH KN DUA DIMENSI DENGAN
ALGORITMA APROKSIMASI
TUGAS 'AKHIR Diajukan Guna Memenuhi Sebagian Persya n
Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Komputer
Pad a
Jurusan Tekni- lnformatika
Fakultaa Teknologi lndustri
lnstitut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya
Mengetahui 1 Menyetujui
Dosen Pembimbing I
M.Sc.
NIP. 131 633 403
SURABAYA I
Pebruari!, 1999
M.Kom
13 ism iII ah( rralmw 1111 i rra lz i m,
!
'
~emi masa,
Sesunggulmya manusia ilu ~enar-benar berada dalam ian,
Kecuali orang-orang yang bleriman dan mengerjakan
dan nase/wt menasih~Ji supaya mdnaati'k
dan nasehat menaselu1Ji supaya menetapi
i
(Q.S. A)'Ashr 103:1-3)
I I
'
kupersenilbahkan untuk:
Gl/anwh tf 1?4cytah~ yallfj kitanla atas segala do'a, ketulusap dan kesabaran yang dibe
'm3a"11 o;£ ~ Q/f~a Qtric' @~ ya"11 at.as segala kasi~sayang dan dukungan
awla [ffl~· (/ Q/1ha?t~ ya?lf · .. I
ABStRAK
l~jisiensi sangat diperlukan dalmt:r setiap bidang, karena ini akan didapatkan suatu penghemata~ sumber daya. Di bidang ne.rTilast:ua·nun knapsack dua dimensi untuk pemoton!Jan bahan, efisiensi ne,f'I{T!~wux.rn sangat diperlukan untuk memaksimalkfn profit. Umha "'~~nuJ.K.~·tnlauran ini akan dipero/eh dari kombinasil pola pemotongan meminimalkan sisa bahan. ·
Dalam tugas akhir ini permasa!dhan knapsack dua dimensi «tCJt:lt::.)u
dengan sebuah teknik heuristik Dari ~nalisa struktura/ knapsack diturunkan a/goritma aproksimasi. Alg,.1ritma ini menggunakan nm,.mt1.'1a'Lat1an knapsack satu dimensi untuk menyele~aikan pemotongan bahan. menggunakan pola-pola untuk menghasf!kan sekumpulan strip-strip mengisikannya ke dalam lembaran baJI,tm sehingga diperoleh "'"'·'"u'4"•" optimal. Algoritma ini dinamakan dentf.m algoritma Best Strip Dengan menggunakan metode program idinamis, jumlah knapsack dapat dikurangi. Karena profit dari po~a adalah luasan dari pola maka fungsi tujuan adalah meminimal~n sisa bahan yang tidak '"',"W"'A'.
I
Algoritma Best Strip Cutting inil memberikan persentase 97%. Hasil uji coba terhadap data u~uran bahan yang besar efisiensi dari a/goritma ini sehingga !dapat digunakan untuk pen permasa/ahan di dunia nyata. Di bidJng usaha industri yang ,w,rnt.um
dengan permasalahan pemotongan ba~an seperti kertas, kaca, logam dapat memanjaatkan penyelesaia~1 ini dalam usaha rne:rt««JJ«t~~'~ makvima/ dengan sisa bahan seminima/ b1Ungkin.
IV
KATAP~NGANTAR
I
I
Assalamu'alaikum Wr. Wb.
I
Segala puji syukur penulis pan~atkan ke hadirat Allah yang Maha I
Pengasih lagi Maha Penyayang, karena h~nya dengan rahmat dan Nyalah pada I
akhirnya penulis dapat menyelesaikan tuglrs akhir denganjudul:
"PENYELESAIAN MASALAH KNAPSACK I
DUA DIME~SI DENGAN I
ALGORITMA ~I}ROKSIMASI" i
Tugas akhir ini mempunyai bobot kredit 6 SKS, yang sebagian
persyaratan untuk meraih geiar Saijana ~omputer di Jurusan Tekm I
Fakultas Teknologi Industri - Institut Tek1ologi Sepuluh Nopember S"r"n"''"' I
i
Harapan penulis semoga Tugas Akihir ini dapat diterima dan t bagi
I! semua pihak yang membacanya. !
PetlUI
v
UCAPAN TERIM-A KASIH
Dengan selesainya Tugas Akhir iml penulis ingin
terimakasih atas segala bantuan yang tak tcrnil4i harganya kcpada:
1. Dr. Jr. Arif Djunaidy, Plt.D., selaku Ket4a Jurusan Teknik Informati
Dosen Pembimbing 1.
2.
" .).
4.
5.
Jr. Esther Hanaya, M. Sc., selaku Sekret~ris Jurusan Teknik Intr1rrr1~t1 dan koordinator Tugas Akhir (trimakasilzlyang dalam untuk na.sell!lllt
nasehatnya) I
Dr. Jr. Drs.Ec. Ryanarto Sarno, selaku ~osen Wali.
'
Jr. Aries Tjahyanto, M. Kom., selaku Do~en Pembimbing II.
' Dosen-dosen JurusanTeknik lnformatik~ ITS, yang telah menurun
ilmunya dengan tulus ikhlas.
6. Staf TV Jurusan Teknik Itiformatika IT~, yang telah turut membant
memperlancar studi.
7. Rekan-rekan C06; Retno, Nana, Nanik, Ninok, Syaiful, Andi, Ketut,
rasa
Balttiar, Pramu dan khususnya Mustaki" untuk segala support yang "berikan
dengan tulus dan semoga Allah memberi ~alasan yang lebih baik.
8. Rekan-rekan C07-8; Atiek, Entin, Umi dak Lailil.
9. Teman-teman baikku; Ijal, Wati, Lisa, M'~antri (atas segala saran,
dan bantuan yang takkan terlupakan, ltmrya Allah yang akanuu;cuuJ""'""''~ I
dengan lebilz baik).
I 0. Rekan-rekan PMKTR; Dedy, /wan, Salmqn, Agus, Syahrul, B'Win
11. Zulfa (Buby), D'Ama, D'Da, Qotie, KeRerr, Nbri, /cut, Andre te
di KLAnom serta Mbo' Lin.
12. Untuk semua yang tak mungkin penulis s¢butkan satu persatu.
Vl
DAFT R lSI
ABSTRAK
KAT A PENGANTAR
l1CAPAN TERIMA KASIH
DAFTAR lSI
DAFT AR GAMBAR
DAFTAR TABEL
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
1.2 Perrnasalahan
1.3 Batasan Masalah
1.4 Tujuan dan Manfaat
1.5 Metodologi Penelitian
1.6 Sistematika Pembahasan
BAH II PERMASALAHAN KNAJ>SA
2.1 Pengertian Masa1ah Knapsack
2.2 Macam-Macam Masalah Knapsack
2.3 Metode Penye1esaian Masa1ah Kna
2.3.1 Program Linear
2.3.2 Metoda Heuristik
2.4 Program Dinamis
2.5 Permasa1ahan Knapsack Constrained
UAB Ill ALGORITMA AJ>ROKSIMAS
3.1 Penurunan Algoritma Aproksimasi
3.2 Algoritma Best Strips Cutting (BSC)
3.2.1 Identifikasi Masalah
VII
I
!
1e Choice
halaman
IV
v
VI
VII
X
XII
1
1
2 .., _, ..., _,
4
5
7
7
9
12
12
13
15
19
22
22
32
32
3.2.2 Metode Pemotongan Bahan D 3.3.4.1 Orthogonal dan N 3.2.4.2 Guillotine dan N
3.2.3 Trimming
3.2.4 Efek Simetris 3.2.5 Efek Susunan Potongan 3.2.6 Normalisasi Pemotongan 3.2.7 Pembagian Plat Menjadi Sub 3.2.8 Pembentukan Strip 1
Strip-Strip Horisontall 3.2.8.1
3.2.8.2 Strip-Strip Vertikal 3.2.9 Penempatan Strip-strip Pada 3 .2.1 0 Fase 0-cut
BAB IV PERANCANGAN DAN PE
PERANGKAT LUNAK
4.1 Gambaran Umum Perangkat Lunak 4.2 Diagram Alir Data (DAD)
4.3 Perancangan Data
4.3.1 Data Masukan
4.3.2 Data Saat Pemrosesan
4.3.3 Data keluaran
4.4 Perancangan Proses
4.4.1 Pembentukan Pp dan Pt
4.4.2 Pembentukan Strip 4.4.3 Pengisian Plat
4.4.4 Pola Pemotongan 4.4.5 Hirarki Modul
4.5 Perancangan Menu
4.6 Pembuatan Perangkat Lunak
4.6.1 Struk'1ur Data
4.6.2 Modul Pembentukan Strip
4.6.3 Modul Pengisian Plat
4.6.4 Modul Pembuatan Gambar
I
I
Dua Dimensi
TAN
Nl'i '1\ p RPU
V111
34
34
34
35
36
36
37
38
40
40
41
41
46
48
48
49
51
51
52
54
55
55
57
59
60
61
62 64
64
65
66 68
It<:;, TtTUi TE OGI
St:.,.ULUH -· N
BAB V HASIL UJI COBA DAN J>E
5.1 Data Random
5. 1.1 Hasil Komputasi
5.2 Data Terpilih
5.2.1 Penyelesaian Dengan BSC
5.2.2 Fase 0 Cut
5.2.3 Hasil Komputasi
BAB VI PENUTUP
6. 1 Kesimpulan
6.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
HASAN
LAMPIRAN A: Panduan Pengoperasia Perangkat Lunak LAMPIRAN B: Data Masukan Rand LAMPIRAN C: Contoh Penyelesaian ra Manual
69
69 70
72 74 77
78
80
80
81
82
A-1 B-1 C-1
IX
DAFT R GAM DAR
halaman
Gam bar 3.1 Pola Pemotongan Yang 0 selesaikan Dengan Algori Aproksimasi 26
Gam bar 3.2 Tiga Pola Pemotongan (pola w memiliki
panjang terkecil masuk ke dalam strip borisonta1 tepat kali) 31
Gam bar 3.3a Pola Pemotongan Optimal Disusun Oleh 2 Sub Plat (3 11) Dan (6, 11) 32
Gam bar 3.3b Struktur Strip Ekivalen
Gam bar 3.4a Pola Pemotongan Yang T
Gam bar 3.5a Pola Pemotongan Non
Gambar 3.5b Pola Pemotongan Yang
Gam bar 4.1 DAD Level 0, Sistem Lunak
Gam bar 4.2 ·an Pola Pemotongan
Gam bar 4.3 Model Data Plat (P, L), (p 1, l1) dan (p2, 12)
Gambar 4.5 Diagram Alir
Gam bar 4.6 Diagram Alir Pengisian
Gam bar 4.7 Diagram Alir Pencarian Po I Pemotongan
I
'"'') -'-
35
35
38
38
49
50
51
56
58
59
60
Gambar 4.8 Hirarki Modul Sistem
Gambar 4.9 Menu Sistem Perangkat
Gambar 5.1 Solusi Feasibel 1 Untuk PI
Gambar 5.2 Solusi Feasibel 2 Untuk PI
Gambar 5.3 Solusi Feasibel 3 Untuk P
Gam bar 5.4 Solusi Feasibel 4 Untuk PI
Gambar 5.5 Solusi Feasibel 5 Untuk
Gambar 5.6 Solusi Feasibel Fase 0-Cut
(9' 11)
(9' 11)
ft:.:I'(N()l0{;,
- ""0PFa.•-
XI
61
62
74
75
75
76
77
77
DAFT TABEL
halaman
Tabel2.1 Pemuatan Kendaraan Yang "tas 10 Ton 15
Tabel2.2 Nilai-Nilai Untuk f10 Dan 17
Tabel 2.3 Nilai-Nilai Untuk f10 18
Tabel2.4 Pengaruh Pemilihan Item Pada f() 19
Tabel2.5 Data Input 20
Tabel2.6 Output 21
TabeiS.l Hasil BSC Dan Fase 0-Cut uran Kecil) 70
Tabel5.2 Hasil BSC Dan Fase 0-Cut Besar) 71
Tabel5.3 Contoh 1 72
Tabel5.4 Contoh 2 73
TabeiS.S Contoh 3 73
Tabel5.6 Contoh 4 73
Tabel5.7 Contoh 5 73
Tabel5.8 Solusi Feasibel Pada Guill Vertikal 74
Tabel5.9 Solusi Feasibel Pada Horisontal 76
TabeiS.lO Hasil BSC Dan Fase 0-Cut 78
BABI
PE AHULUAN
1.1 LATAR BELAKANG
Dalam kehidupan sehari-hari
lembaran atau dua dimensi misalnya;
plastik. Bahan-bahan dihasilkan ol
dijumpai bahan/
sehingga belum dapat dipergunakan/ .... "''~"'"""'''u'"''"
kebutuhan setiap konsumen yang nPrnpn
pemotongan terlebih dahulu. ·
kebutuhan dan memberi suatu
yang dilakukan harus
Permasalahan pemotongan
pemotongan selembar empat persegi n:u11arJ!J
panjang kecil yang diberikan ukuran
memaksimalkan nilai bagian-bagian
sewaktu dilakukan pemotongan
diinginkan, dalam pemotongan karton
kayu untuk membuat perabotan.
dari masalah knapsack. Sebuah
Perkembangan teknologi mPnlltltnt
dimensi yang tak
sehingga dapat
Masalah ini
menjadi
akan diisi dengan
di bidang pemotongan bahan ini. m1 dipandang perlu
1 dalam bentuk
, kayu, kcrtas,
ukuran besar,
adalah
empat persegi
mengantisipasi semakin mem
Penggunaan komputer dalam mengoptim
persaingan pasar di
pengaturan kombinasi pola pada s bahan dengan metode
maksimal. Hasil yang dicapai akan dapat pengaruhi biaya
2
industri.
Dalam tugas akhis ini akan efisien
untuk menyelesaikan permasalahan dua dimensi atau T
Knapsack (TDK). Dari algoritma diturunkan algoritma
menggunakan permasalahan knapsack dimensi atau One
(ODK). serangkaian ODK
sekumpulan strip-strip optimal dan m
optimal menggunakan ODK yang lai ODK yang
terlibat, metode program dinamis dapat
masing-masing pola dengan luas
meminimalkan sisa yang tidak terpakai.
ukaannya, maka fungsi tujuan adalah
1.2 PERMASALAHAN
Masalah knapsack yang akan
masalah pemotongan benda dua dimensi tak terbatas. Bahan atau yang akan
dengan ukuran besar h~~>rhP..,tuk empat dipotong ini dianggap sebagai lembaran
persegi panjang yang akan dipotong
panjang berukuran kecil. Ukuran bahan Ao dengan ukuran panja dan lebarnya
(Po,Lo) akan dijadikan potongan empat
dengan ukuran {(p1, l1), (p2, h), ... , (Pro,
gi panjang kecil
Pengaturan letak pola-pola m jenis harus dilakukan
mungkin untuk mendapatkan basil optimal. Metode dinamis
digunakan untuk menyelesaikannya secara bertabap. Posisi pola-pola
dapat meminimalkan sisa baban pula. lgoritma approksimasi n diterapkan
untuk memberikan solusi optimal dari pemotongan ini.
1.3 BAT ASAN MASALAH
logam, atau tekstil) dengan jenis guillotine. dengan
guillotine berarti memotong mulai dari sampai ke sisi Dengan
pemotongan ini akan didapatkan basil terpisab dari
Pemotongan guillotine ini dilakukan normalisasi yaitu setiap
pola yang dihasilkan letaknya bersisian de1nl.!'m sisi pemotongan. akibat
pemotongan dianggap sangat tipis.
Banyaknya masing-masing pola
tak terbatas (unsconstrained). Sebingga
pada lembaran baban lebib dari 1 kali. N'
luas dari pola itu sendiri (Pili).
, sebingga (1, tidak sama
dengan (p,l).
1.4 TUJUAN DAN MANFAAT
Tujuan pembuatan tugas akhir ini
dua dimensi dengan algoritma aproksi
pemotongan benda dua dimensi tak t.•rt~!'lt!'l
hasil yang dicapai dengan metode sebel
optimal yang diperoleh akan
bahan yang tidak terpakai.
(unsconstrained)
(guillotine tanpa
4
memperbaiki
... , ............ ..,."). Solusi
Penerapan algoritma
knapsack dua dimensi ini dalam keh ·
asi untuk penyelesaian permasalahan
nyata, dapat · oleh siapa saja
bahan dua
memaksimalkan profit dengan me:mrnm1apmn sisa bahan terbuang.
1.5 METODOLOGI PENELITI
Dalam tugas akhir ini telah dil ... ,~""n""
• Studi literatur terhadap
apa yang telah diperoleh dalam
· untuk
pemotongan
ini. Karena tidak adanya m untuk
•
memberikan suatu hasil optimal dipergunakan
untuk menyelesaikan masalah i Diturunkannya algoritm approksimasi
dari analisa struktural pada me:tocle heuristik yang digunakan
masalah knapsack dua dimensi i ·, kemudian diterapkan
bahan dua dimensi tak terbatas i
Perancangan sistem dengan
menganalisa sistem
pemotongan
serta
• Pembuatan perangkat lunak untuk
algoritma ke dalam program dan m~·nnctr<lhl gkannya menj
sesuai rancangan yang diingin
• Evaluasi terhadap perangkat 1
menguji dan melakukan perbai
disusun menjadi laporan tugas
1.6 SISTEMATIKA PEMBAH
yang telah diim
Untuk memberikan gambaran jelas mengenai
lunak yang dibuat maka buku tugas akhir ·
Bab I Pendahuluan, di.., ... ,., ... ,""'
permasalahan, batasan masal~h tersebut
Bab II Permasalahan Knapsa
knapsack serta teori-teori yang mendasari
permasalahan knapsack.
tentang 1atar
Bab III Algoritma Approksim , dijelaskan dari
bahan dua dimensi berbentuk empat
approksimasi yang diterapkan dalam
masalah penyusunan model,
menggunakan algoritma tersebut.
Bab IV Perancangan dan Pem
sistem yang akan dibuat, input dan
sistem.
5
algoritma-
sikan dengan
akhirnya
masalah,
itu masalah
esaikan suatu
dari
algoritma
dengan
output dari
6
Bab V Hasil Uji Coba dan Pem
terhadap sistem yang telah diimplementasi kelebihan dan dari sistem
yang diimplementasikan.
Bah VI Penutup, disampaikan dari hasil yang telah
dilakukan dan saran dan kemungkinan pengembangan beri yang dapat
dilakukan terhadap perangkat lunak.
BAlB II I
PERMASALAH~N KNAPSACK
Permasalahan knapsack terdiri ~ari beberapa macam. J · I
i
segi jumlah knapsack maka terdapat knapsack tunggal dan knapsack
ditinjau dari segi jumlah item makal terdapat permasalahan I
I
permasalahan knapsack multiple choicef Dan jika ditinjau dari !
terdiri dari permasalahan knapsack 1 dititensi, permasalahan
dan permasalahan knapsack 3 dimensi.
Jika
0-1,
!
Pendekatan-pendekatan yang ipemah dilakukan untuk penyelesaian i
terhadap perrnasalahan-perrnasalahan kn~psack itu adalah dengan n•r,nr··an linear
I
dan heuristik. Untuk mengurangi jmiilah knapsack yang dil I
i
penyelesaian permasalahan knapsack ini tligunakan program dinamis I
2.1 !
PENGERTIAN PERMASAL~HAN KNAPSACK
Ketika melakukan suatu perjalajnan liburan atau bisnis, I
batasan dalam jumlah barang yang akan !dibawa. Demikian pula · ·
hiking, ransel yang digunakan hanya aka~ dapat memuat beberapa
volume yang terbatas. Jika mengadakan perjalanan dengan pesa
mungkin volume) barang yang dibawa dibatasi supaya tidak
tambahan. Apapun jenis kendaraan dipilih baik melalui
kereta api, akan selalu ada batasan
Sebagai akibatnya seseorang harus
dalam
8
dibawa dan mana yang tidak. ldealny~, yang dibawa adalah
penting saja.
I
Dalam bidang usaha komersil,! terdapat contoh-contoh
yang pada prinsipnya sama dengan seseotang yang akan m
yaitu pembatasan jumlah pemuatan barang ke dalam ruang I
terbatas ' I
volumenya. Misalnya paket pengangkuta~ intemasional yang mana
pengepakan barang ke dalam konta~ner. Jika paket ini
menggunakan jasa pengangkutan udara, ~aka akan mendapat pem"'"' .... ..,._ ... !
i
ketat dalam berat total kontainer terse but. iJasa pengangkutan laut j I
'
berat total kargo dari barang-barang yang ~ipaket. i
Masalah-masalah seperti di atas ~ulai diselidiki penyel
prO!:,Tfam dinamis. Hal yang menjadi perti!mbangan dengan i I
biaya atau profit. Disini titik perhatia~ pada masalah dimana
keputusan yang diambil melibatkan pe~ilihan sejumlah barang.
I
masing-masing keputusan yang dibuat akah membutuhkan biaya atau
yang berhubungan dengannya. Tapi kep\ltusan yang dibuat akan
keterbatasan suplai dari beberapa resomtce seperti berat, biaya '
volume. I
Keputusan mungkin sederhana apakah aka~ mengambil beberapa item atau tidak~ I
I
altematifnya, akan memperhatikan jumlah ~esource yang akan diamb1 Masalah I
inilah yang telah diuraikan diatas ini disebut dengan permasalaltan kn£AJosa'cK.
Jadi perrnasalahan knapsack adala~ perrnasalahan ketika ... ,_,,,_., .. ," I
akan mengadakan perjalanan dengan metpbawa sebuah kantong. lnl i I
dapat diisi dengan berrnacam-macam baran~ yang memiliki nilai
I
Masalah muncul ketika harus memilih bar1ng mana yang harus di sehingga
sesuai dengan kapasitas kantong tadi.
9
Dari gambaran diatas dapat dirurttuskan menjadi suatu I
Jika n adalah jumlah item barang, Pi ad~lah nilai barang ke j, Xj jumlah i
barang ke j yang dipilih, Wj volume iterr ke j, dan C adalah nL4fJ""''
I
kantong.
Perumusan matematika dari pers~alan di atas:
Fungsi tujuan: (2.1)
Syarat: L wjxj 5cyXj ~ O,j i= t ... ,n i
2.2 JENIS PERMASALAHAN KN~PSACK1
i
Permasalahan knapsack ada betn"tacam-macam tergantung dari mana '
!
peninjauan yang dilakukan terhadap masal~h tersebut. I
Jika dilihat berdasarkanjumlah ~makaian knapsack, maka
knapsack dibedakan menjadi dua macam stbagai berikut:
I
• Permasalahan knapsack tunggat yaitu permasalahan yang
memiliki hanya satu buah kJ1apsak yang akan diisi. Persamaan
matematikanya menjadi:
Maksimum: (2.2)
Syarat:
Xj adalah integer, j = 0, ... , n
• Permasalahan knapsack ban yak, I yaitu permasalahan :
yang I
memiliki lebih dari satu buah ~napsak yang akan diisi. aan
matematikanya menjadi:
1 Mathello S., Toth P., "Knapsack Problems; Algorithms and Coml'jfler Implementations", John Willey & Son_:::s':.J.9;..;.9;,...0 --···--__ -
10
Maksimum: (2.3)
Syarat: 0,
'
Xj adalah integer( j = 0, ... , n
Jika dilihat berdasarkan juml~h item yang tersedia, dapat
dibedakan sebagai berikut:
•
• Permasalahan knapsack 0-1, yhitu jumlah item dari I
I barang yang dapat masuk ke dal~m knapsack hanya satu
I
diambil. Persamaan matematikan~a menjadi: I
I
Maksimum:
Syarat: I l1-IJXJ ~.,r; = ~atau1 I
Xj adalah integer,~ = 0, ... , n
Permasalahan knapsack Multiple1Choice, yaitu jumlah item
masing barang dapat lebih dah satu buah atau tidak
I
Persamaan matematikanya menjaclli:
Maksimum:
Syarat: L w i Xi ~ i ,0 ~ X ji ~ b i' !
i
Xj adalah integer, j! = 0, ... , n
'
I
atau tidak
(2.4)
(2.5)
Kemudian jika permasalahan kna~sack ditinjau dari jumlah item yang
i
dioptimalkan, dibedakan menjadi dua macatn terdiri dari:
i
• Pennasalahan Knapsack Bound¢d, yaitu jumlah setiap · I
'
untuk masuk ke dalam knapsack! dibatasi sesuai order/ !
• Pennasalahan Knapsack Unbo~nded, yaitu jumlah
I
dipilih tidak terbatas jumlahnya.l
'
11
item yang
Jika permasalahan knapsack di!tinjau dari dimensi benda maka dapat I • I '
dibedakan menjadi tiga macam sebagai b¢rikut: I
i
• Pennasalahan Knapsack 1 Dime~si, yaitu peninjauan hanya
•
•
I
panjang saja. Misalnya kabel, lo~ kayu dan batang besi.
I
Permasalahan Knapsack 2 Dime*si, yaitu peninjauan hanya
panjang dan Iebar. Misalnya kerias, tekstil, kaca dan plate ! I
Permasalahan Knapsf1ck 3 Dime1si, yaitu peninjauan hanya !
panjang, Iebar dan tinggi. Misalhya kayu dan pengisian !
i
Namun secara umum pada dasarnya pennasalahan !
macam, yaitu;
• Mengisi ruang, contohnya pen¥isian kontainer dengan
berbagai ukuran.sehingga dapat memuatnya semaksimal I i
• Membagi ruang, contoh bahan pbrsegi yang berukuran I
( dipotong) sehingga menjadi ba~ian-bagian kecil
profit yang besar.
dimensi
dimensi
dimensi
ini ada 2
12
2.3 METODE PENYELESAIAN PERMASALAHAN KNAP CK
Permasalahan knapsack yang ada telah diselesaikan ~-··,.._-.. ,
metode program tinier dan heuristik.
2.3.1 Program Linear
Permasalahan knapsack dapat 1
dirumuskan sebagai
I
linea~ dengan tujuan untuk meminimumk~n sisa. Rumus matematika
programming terdiri dari n kolom yang b~rkorespondensi dengan se I
pattern. Pada masing-masing iterasi dari li~ear program, metode
sebuah kolom dan sebuah variabel ~ntuk masuk sebagai I
matematikanya didefinisikan sebagai berik~t: I
Min:
Syarat: aiJXJ+ ai2x2+ ... + aij*j+ ainXn ~ N; I
!
dimana: i=1,2, ... ,mdan xji~o
Dalam notasi matriks dinyatakan dengan :
Ax = b, dimana:
I -c~ -c2 -en X 0
0 an al2 al, XI A X= b= ' ' ...
XIII Nm
Gilmore dan Gomory telah mel~kukan riset tahun 1961,
i
permasalahan knapsack ini sebagai masalaH dengan 2 tahap penye
I I
2 R.G. Dyson. A. S. Gregory,'The Cutting Stock Problem in the Flat blass lndustry',Operational Research
No.1, hal 50-51 I
program
linier
(2.6)
yaitu
13
knapsack problem yang diselesaikan seb~gai knapsack problem satu dimensi dan i
i
tahap kedua sebagai masalah linear progrkmming.
2.3.2 Metode Heuristik
Ada beberapa definisi Heuri!stik yang dipergunakan dalam riset
operasi on a 1:
• ' i
Metode heuristik dipergunakan !Saat tidak ditemukannya al I
dengan cara iterasi dapat mengJasilkan suatu solusi !
baik. i
• Metode berdasarkan pengalaman telah memperlihatkan
baik tapi tidak menjamin solusi tiersebut maksimum. I '
• Cara memecahkan masalah denJan pendekatan intuisi.
• ' I
Simulasi dari bagaimana manu$ia dapat mencari solusi
setiap masalah
Metode heuristik diambil jika untuk suatu permasalahan ti I
algoritma eksak yang dapat menyele~aikannya. Pendekatan !
dilakukanjika:
1. Heuristik dapat menghasilkan su~tu solusi yang mendekati !
2. Heuristik cukup fleksibel den~an menghasilkan
optimal.
3. Cepat waktu komputasinya, ikarena membatasi I
'
mengurangi jumlah altematif yang ada.
4. Mudah diterapkan, mudah dime1gerti oleh pemakai i
5. Kebutuhan penyimpanan cukup ~ecil
I
tma yang
atau cukup
solusi yang
baik dari
akan
sub-
dengan
Dalam penyelesaian pennasalah~n knapsack digunakan i I
untuk mencari solusi optimumnya dengani memilih alternatif-alternati
paling optimal. Daiam pennasalahan kn~psack tidak ada suatu al I
'
eksak yang dapat menghasilkan solusi oiaksimal atau terbaik.
memecahkan permasalahan knapsack den,an hasil yang optimal. !
dinyatakan dalam bentuk matematis ya~g disesuaikan dengan
menuju ke so1usi optimum yang memuask~n bagi masalah tersebut.
I
Strategi yang dipertimbangkan !jika tidak ada metode I
I
menemukan solusi optimal sebagai beriku~: I
I
1. Mencari algoritma yang efisien. !
2.
3.
!
Hanya kasus khusus dari masalah iyang diperhatikan. !
i
Melonggarkan beber?pa pembata~ dan mengembangkan al
masalah itu.
4. Rancang algoritma yang bekerjb cepat pada banyak
dihadapi.
i
5. Menetapkan metode yang bekerj~ cepat dan menghasilkan I I
dapat dipergunakan yang hasilnya jmendekatia optimaL i
Program dinamis sering digunak~n dalam penyelesaian
knapsack untuk mengurangi jumlah kn~psack yang ter1ibat.
!
dijelaskan lebih rinci tentang program ini karena dalam tugas
menggunakannya.
I
3 J.E. Beasley."Aigorithms for Unconstrained Two-Dimensional Guillltine Cutting:, J. Opf. Res. Soc. Vol36.,
1985 l I
14
untuk
untuk
yang
yang
a han
akan
m1 juga
hal 303-304,
2.4 PROGRAM DINAMIS
Keputusan yang diambil olep program dinamis i
keputusan-keputusan sebelumnya. Dadat dikatakan bahwa
I
membagi masalah menjadi sub-sub ba$ian yang lebih kecil deJngtm
akhir yang dibuat merupakan hubungan keputusan-keputusan dari I !
tadi. Program dinamis dipergunaka~ dalam menyelesaikan
I
knapsack dalam usaha mencapai hasil op~imal dari penyelesaian i
Rumus matematika untuk proJram dinamis harus dikem
I
memenuhi kondisi dari permasalahan knapsack yang akan disele !
i
dikarenakan program dinamis tidak mtmpunyai bentuk standar
I
programming. Berikut contoh permas&lahan knapsack dengan
program dinamis untuk peny~lesaiannya.
I. Permasalalum Knapsack Sederltana (dimensi I) i
15
hasil dari
dinamis
agar
linear
akan
Sebuah kendaraan dcngan kapa~itas 10 ton dan terscdia 4 item barang I
yang akan dimuat ke kargo; berat dan n~lai (banyaknya) ditunj I
I
2.1. Bagaimana seharusnya kapal dimua'i supaya jumlah barang
kargo?
I
Tabel 2.1 Pemuatan kendara6n yang berkapasitas 10 to
Masalah 1m dapat ditulis · fungsi dengan
dmaksimalkan:
Maks: f(x) = 8x + 2x + 15x + 19x
uan akan
\
'
dimana syarat : 2xl + 3x2 +!4x3 + 6x4 $] 0
x1, x2, x3, ~ = 0 atau 1 ' !
Masalah ini dapat diselesaikan ~engan cara program di !
masalah dipecahkan menjadi beberap~ sub masalah yang I !
masing-masing tahap harus diputuskan apakah produk akan di1
Untuk program dinamis perlu didefinis~kan kondisi dan ......... u~ ... , I
I
tahap-tahap dari pemuatan barang berhu~ungan dengan jumlah !
masih harus dibuat. Pertama ada emp~t keputusan, lalu tiga
16
Pad a
dim ana
yang
seluruh
keputusan dilakukan. Informasi yang meqcukupi untuk menerangkan kondisi saat !
mengambil keputusan-keputusan ini ak:an menjadi jumlah tersisa di
kendaraan.
Ada I 0 ton yang t~rsedia padaj mulanya,
!
setelah keputusan ke-1 diambil; dan akan ~erkurang sampai keput
Asumsi ada n tahap dan kapJsitas T ton dalam kenda Jika
'
didefisikan f (T) sebagai nilai muatan optimal masing-masing kondis dan tahap,
maka:
{
/):) : max{!,,~t (T), V,, + J;,_1 (T ~ ~V,J} untuk (T 2 W,J /,,(T)- /,,~ 1 (T) untuk (T < W,,) j~(T) = 0 untuk VT
(2.7)
Maksudnya, yang paling baik dil<11kukan pada tahap n dan
I
adalah tidak melakukan pemuatan dari produk n (f (T)) dan loading n dan
ke keputusan berikut dengan state 1gi beratnya (fn_ 1(T-Wn)) dimana T
cukup besar untuk dapat ini terjadi.
Jelasnya, f(T) hanya akan 2 kemungkinan nilai: 0 19;akan
menjadi 0 jika T kurang dari 6 dan 19 j1 T adalah 6 atau lebih. I
I
17
I
lain saat tcrcapai pada tahap itu dibuat ~cputusan tcntang produk n or 4, yang
akan dimuat jika tersedia cukup ruang un~uk itu. !
!
F2(10) =max {f1(10), 15 + f1(6)}
= max {19, 15 + 19}
= 34
Fz(10) =max {f1(9), 15 + f1(5)}
= max { 19, 15 + 0}
= 19
=0
Nilai-nilai ini untuk f1() dan t2() Ualam tabel 2.2. ' I
!
Tabel2.2 Nilai-nilai iri untuk ftO dan f20 I
8 9 10 0 0 0 0 19 19 19 19 0 0 0 0 19 19 19 34
Proses berpindah dari arah bel~kang (backward) ke T'\r"'""'4o I
i
berikutnya dihitung f3() menggunakan f10 (tapi bukan f1()). I
dengan yang sebelumnya:
F 3( I 0) =max { f2(1 0), 12 + f2(?)} I
=max {34, 12 + 19}
=34
F3(9) =max {fz(9), 12 + f2(6)}
= max { 19, 12 + 19}
= 31
sam a
18
=0
Dengan meneruskan cara ini ak~n didapat nilai f4(). Seperti ditunjukkan I
I
pada tabel 2.3. T mengambil nilai dari 0 $ampai 11 (tidak sesuai den n kapasitas !
kapal 1 0). Penambahan ini hanya untu~ mengecek sensitivitas ja
dengan kapasitas kapal.
Diberikan tambahan satu unit k~pasitas, berapa
diberikan untuk pemuatan yang optimal. :Jawabannya adalah akan
nilai unit 4 dari 35 menjadi 39.
Tabel 2.~ Nilai-nilai · i untuk f1() dan f20
Nilai optimal akan menjadi 35 t jika kapal dipak dengan
2. Pengembangan kuth.us
Ada suatu keterbatasan dengan 01enggunakan satu item I
masing barang dalam kapal. Gambaran ~erikut ini sama dengan
yang akan
masmg-
tapi keputusan akan lebih kompleks: disaimping menggunakan biner (0 atau 1 ),
nomor barang item hanya dibatasi oleh rUang dalam kapal, seperti I !
olch dari sisa kapasitas (T ton) dibagi be~at (Wn ton) dari nya.
dipcrolch:
diukur
fn(T) = oftl~lJ~ ~1-1(T), Vn + f~-1CT-i11'Yn~f !
Kemung~in~n p~fll !l~fln memb4M ~e9ikH perb~~hmn I i
keputusan optimal; rinilai dengan satu jeJilis barang, dan berjalan
jenis batang dan seterusnya. Hasiln~ berbeda secara umum,
beberapa state dan tahap dari mana kep~tusan optimal akan dipak
unit barang dan keputusan optimal akan berbeda dari yang lain
I
ditemukan pada batasan satu unit. Hasilnya pada tabel 2.4. !
1
n banyaknya item pada f()
Nilai-nilai yang dipetoleh dalam! tabel 2.4 tidak lebih kecil I
'
sebelumnya. Nilai dari keputusan optima~ telah meningkat dari 35 ke !
lainnya mengikuti dengan sendirinya. i Perubahan diharapkan !
19
(2.8)
perhitungan
ada
i yang telah
solusi
masalah dengan keputusan biner dan de,gan keputusan diskret ... ~ ... w~·
karena kemudian memiliki lebih sediki~ batasan. Keputusan !
menghasilkan dengan 5 unit item 1, a tau ~ unit item 2 dengan 2 unit i
2.5 PERMASALAHAN KNAPSAGK BOUNDED MUL TIP !
Permasalahan knapsack bounde4 ( terbatas) ini diterapkan
kaca. Jumlah knapsack yang diguna~an adalah tidak terba I
i
permasalahan knapsack ini merupakan pertnasalahan knapsack I
!
4
Pratono A., "Perancangan dan Pembuatan Perangkat lunak Op~masi Pemotongan Benda Dua Dimensi",
20
Pennasalahan knapsack dua di~ensi ini dipecahkan
masalah berdimensi satu. Penyelesaianl dilakukan mula-mula i '
satu dimensi pertama baru kemudian terllladap yang lain.
Aturan yang diterapkan pada *motongan kaca disini guillotine, I
karena kaca yang harus dipotong secrufa dipatahkan mengingat si
kaca tadi. Pemotongan bahan kaca ini lmenggunakan bantuan me1oc1e program I
I
dinamis yang digunakan untuk pemilihan cutting pattern dan !
pattern. ! i
I
Proses knapsack menghasilkan jkombinasi pencmpatan I
stok, yang mana stok berukuran (P, L). Ptoses pertama menghasi i I
ke salah satu sisi (satu dimensi pertama)~ dimana data stok disi
proses ini dipakai untuk proses terhadap knapsack kedua. Proses ini ' '
I '
tahap untukmencapai nilai optimum yaitu; konversi data panjang dan I
. Hasil dari
ke data
ukuran (penyusunan ulang), mencari scilusi feasibel dan mencari penempatan I
optimum.
I
Arah proses dipilih oleh si pemakai dengan memilih ke I
vertikal atau kombinasi keduanya. Akhirnya dipilih yang paling opti I
hasil feasibel tersebut.
Tabel 2.5 qata input I
Kapasitas stok = 20 x 14 denganjumlah k tcrbatas.
diantara
2i
ngan dengan
penyeiesaian secara manual sebagai
BAB III I I .
ALGORITI\1A; APROKSIMASI I ,
I
permasalahan knapsack dalam pemotorlgan bahan, asumsi-asumsi g digunakan I
!
sampai kepada langkah penyelesaia~ dengan algoritma Langkah-
langkah utama ini diterapkan dalam implementasi penyelesai permasalahan
knapsack dua dimensi .
3.1 PENURUNAN ALGORITMA APROKSIMASI
Algoritma aproksimasi ini diturunkan secara alami dari a lisa struktural
pada fase 0-cut (tidak mengalami peni10tongan guillotine pada ODK yang
ada diselesaikan secara terpisah de~gan algoritma aproksi polinomial.
Algoritma ini menyelesaikan r buah kn~psack (r jumlah Iebar !
lebih kecil daripada m (jumlah madm pola yang akan dipoto ) dan ukuran I
'
kedua adalah pm~jang plat P. Knapsaqk yang lain yang dibutuh adalah r dan
ukuran kedua adalah Iebar plat L.
Kemudian algoritma membutl.)lhkan v buah knapsack (v
dibutuhkan untuk diselesaikan adalah (t + v + 2) buah knapsack. I
i
22
23
Batas-batas dari algoritma apro~simasi ini akan dij_,, ... J,~ ... i
agar dapat meminimalkan sisa bahan yattg tidak terpakai. Dalam ini batas-
batas ini adalah upaya memaksimalkan ini1ai profit. Jadi dapat di.~ .......... . usaha
meminimalkan sisa bahan sama dengan memaksimalkan profit.
Lemma 1.
• • • !
Sisa pada masmg-masmg stnp yang dihasilkan oleh ' I I
menghasilkan strip adalah < (11 (k + 1)) Sj~
dimana:
Si = luas strip,
i = 1, 2, ... , r,
k =LP I p J, p adalah panjang pola paling Iebar yang dapat
strip-strip horisontal atau
k = LLI I j , 1 adalah Iebar poht paling panjang yang
dalam strip-strip vertikal.
Sf "'ILl!'" - ~
Pl(k+ 1)< PLP I k jsehingga, k(P l!(k+ 1)) < kp S: k LP I k J S:
!
yang
Strip dengan Iebar li memiliki nilai Vj yang memenuhi Yj ~ kplj karena ada
konstruksi yang memasukkannya paling s~dikit k pola-pola dengan g p.
Jadi, v· 1 > k (PI(k+ 1 )) li
= (k/(k+ 1)) Plj
= (kl(k+ 1 )) Si
24
Hal yang sama berlakujuga dalam pemlmktian untuk strip-strip ·kal.
Corollary 1:
Rasio aproksimasi dari algorit$a adalah mendekati 112
!
Dari lemma 1 diperoleh untuk ~asing-masing strip Vj > 1 Sj.
Jadi nilai V = " ... 1 I 2V; , dimana E aualah himpunan indeks strip tcrpilih ~~A '
!
dari knapsack terakhir. Oleh karena itu; :
V = LieEl/ 2V;
' I
Karena L- IieEl/2/;< /*, dimana 1* Jdalah Iebar paling kecil ( ) dari
pola-pola tersebut, sehingga didapatkan;
~ V > LieEl/2P(L-/*)
Nilai profit V* ::5 PL sehingga menjadi
~ VN* > t (1-1*/L)
Pada saat panjang kecil (I* <<), rasio aproksimasi 1m "'"'"'"""' menjadi 'h.
(Terbukti).
Lemma 2.
i.) Jika Pi > 1/2 P untuk semua i
dengan solusi yang disusun oleh ~ebuah strip vertikal.
ii.) Jika lj > 1/2 L untuk semua i =! 1, ... , m, maka solusi I
I I
dengan solusi yang disusun oleh ~ebuah strip horisontal.
iii.) Jika k = maks{P/pj, Uli , i = 1,' ... , m}= 1 atau 2, maka
I
disusun oleh strip-strip vertikal atau horisontal.
iv.) Solusi yang diperoleh algoritma aproksimasi adalah1- c I
c> 0.
' !
i.) Tidak ada satu pola pun dapat I)lasuk > satu kali ke
horisontal. Gambar 3.la.
ii.) Sarna dengan atas, tidak ada sat~ pola pun dapat masuk >
dalam plat secara vertika1. Gam bar 3.1 b.
iii.) k = 1 adalah trivial,
Untuk k = 2, terdapat pola dengary indeks w, sehingga; I
113P < Pws; 112P, l/3P <Pi s; P idimana Vi t:. w, dan
1/3L < lj s; L = 1, ... , m. Jadi pal~ng sedikit satu pola masuk I
pada sisi panjang bahan atau,
1/3L < lw 112L, i
l/3L < lj s; I.j, dimana Vi t:. w, dan
25
1 ekuivalen
ekuivalen
semua
kali ke
2 kali
I
113 P <Pi s; P Vi =I, ... , m. Jadj paling sedikit satu pola ... .,. . ., ... "" tepat 2
kali pada sisi Iebar bahan.
Asumsi k = 2 dihasilkan dari pola Pw Pola pemotongan I
i
diha-:ilkan rr-tda remo1ong.an guillotine i (vertikal) dimana pada
panjang sub plat , pola ini hanya masuk il kali saja. Jadi solusi
oleh 2 strip vertikal. Gambar 3.1 c.
Jika pemotongan guillotine secara horisontal maka
dihasilkan dari susunan 1 strip horisontal i a tau 2 strip horisontal. !
!
26
optimal
iv.) Masalah ODK yang diselesaik~n adalah yang dapat menclDtalK:an strip-
Teori 1:
strip horisontal dari panjang P d~n strip-strip vertikal dari i
memakai algoritma polinomial! dalam 1-1/2 c dan dua
yang memilih strip terbaik yang dapat masuk ke dalam
range 1- 112&.
L
L
p p
!
Garnbar 3.1. Pola pemotongan yang diselesaikan ...... , .... ,.n, algoritma aproksirnasi dalam 1-1/2 c.
juga dalam
p
Jika V menyatakan nilai solusi yang dihasilkan algoritma aproksimasi
dan V* adalah nilai solusi optimal maka:
V > 1 (k /(k+ l))V*, dimana k = maks { l~Jlt J, i = 1, ... , m I
!
27
Misal w adalah pola dengan k maks {L-iJLfJ, i = 1, ... ,
k ini berkoresponden dengan panjang Pw- Strip horisontal merni · lebar lw-
Dengan lemma 1, nilai strip yang dihasil*an:
V w > (k/(k+ 1) PLw-
Akibatnya algoritma menghasilkan:
v ~ I_Ljv > __l_pf ''· J l.J, W k+l wl]w
dan karcna V* s; PL, maka:
dan,
Teori 2:
V > (.L.L)V * 2 k+l
Rasio aproksimasi algoritma adalah 4/9. !
(3.1)
Dengan memperhatikan pola p~motongan optimal yang ·normalisasi
dibuktikan bahwa, untuk k = 3 maka:
1. Ada pola w yang masuk 2 kali p~da panjang plat dan pada le"'"r"""' a tau
2. Solusi optimal disusun hanya oleh strip-strip vertikal atau I
Untuk k = 3 dan diasumsikap nilai m1 didapat dari
didapatkan bahwa:
28
1/4 P < Pw s 1/3 P (3.2)
yang mana,
1/4P<pj s P, \ii;t:wdan,l/4L<lj s L, \fi=l,2, .. m
Jika Xj s 112 P, Xj E Pp adalah pem~tongan guillotine yang (arah '
vertikal) untuk pola pemotongan yang ~ptimal. Pemotongan ini · plat
awal menjadi 2 buah sub plat. Dua s~b plat ini mengisi se
panjangnya atau satu pola pada sub plat p~rtama dan 2 pola pada yang edua (atau
sebaliknya).
'
Kasus pertama, solusi optimal disusun olch dua strip vcrti I. Dcngan
menerapkan lemma 2 algoritma memberi~an solusi ini dalam
&>0.
i
Kasus kedua, dianggap sebagai 2 $ub kasus.
Pertama, dimisalkan:
1/3 L < lj s L, \ii = 1,2, .. m . (3.3)
i
Di sini tidak ada pola yang dapat p1asuk secara vertikal lebih dari 2 kali.
Dengan lemma 2 jelas bahwa solusi opti~al dari sub plat kedua dis oleh 2
i
strip vertikal atau 2 strip horisontal. Dengan demikian solusi optim 1 dari plat
awal memasukkan:
i.) Satu strip vertikal ( untuk sub pia~ ke-1) dan 2 strip ho · (sub plat
ke-2), atau
ii.) Tiga strip vertikal
Solusi terakhir disusun oleh tig' strip vertikal yang
algoritma ( dalam 1 - & ).
Untuk solusi yang lainnya alsoritma memberikan
aproksimasi adalah 4/9. Pada kenyataan~a seperti contoh solusi
struktur gambar 3.2a. Pola pemotongan ~ptimal memasukkan 3 kali
guillotine berturut-turut yang dibuat di titik Xj secara vertikal, di
'
horisontal, dan di titik Xp secara vertikal. Dengan menganggap '
pemotongan guillotine normal memperhatlikan efek-efek simetri,
Strip-strip yang memasukkan ~la w dan q dapat menj
trivial. Jika lp > 1/2 L diperoleh dari lemma 1 dan !
'
horisontal yang dihasilkan oleh pola p dan 1q sehingga,
v p > 2/3 p lp > 1/3 pL. '
Dengan rnenggunakan kondisi 3.3, didapat1
v q > 1/2 p lq > 1/6 pL.
Akibatnya, solusi yang diperoleh:
sehingga,
V> 112 V*
29
ras10
secara
pol a
strip-strip
2 strip
Jika lp ~ 1/2 L, rnaka pola p masqk 2 kali pada panjang dan kali pada I
arah Iebar. Dengan Lemma 1 dan kondisi 3. , diperoleh:
sehingga,
V > 4/9 V*
I
Kedua, dianggap hanya ada sebuah pola p sehingga,
1/4 L < lp ::; 1/3L
Ada sebuah pola dengan Iebar 1~ yang dapat masuk secara
ke dalam plat. Jika p = w maka algorhma memberikan solusi
optimal (kondisi 3.1 ).
30
ikal 3 kali
Sebaliknya situasi pada gambar 3.2b da~ 3.2c akan muncul, jika sa ah satu dari
daerah A atau B menghasilkan 2 pola, $aka struktur ini tidak !
i
oleh algoritma ini. Dengan kondisi 3.2 d*impulkan bahwa daerah
vertikal dan C strip horisontal. Satu dari dua pola yang dihasilk
(gambar 5b.) atau B (gambar 3.2c.) memjliki ukuran Pp dan IP sehi ' I
dan 21P::; L. Gambar 3.2c. mengilustra~ikan dengan jelas kondisi
kondisi 3.4 dimana untuk gambar 3.2c. di~apat l/4P < Pw dan lP ::;
Dengan menganggap strip dengan lebar 'P dengan Lemma 1, maka = 2. Dan
dengan strip yang sama dalam teori 1 dan kondisi 3.1 maka akan · nilai V
;::: 4/9 V*.
Untuk k < 4 algoritma selalu me~berikan V ;::: 4/9 V*.
Untuk k ;::: 4, dengan cara yang sama hanya ada 1 pola yang masuk
plat secara horisontal dan vertikal sebanyak 2 atau 3 kali yang
I
optimal ekivalen dengan strip horisontal atau vertikal. !
Bukti melibatkan kondisi 3.1 dari Teori! 2 untuk kasus 2 dan
L IJ I I,. J = 2 a tau Lemma 2 untuk kasus 2).
31
8 A
p
r.
(a) (b)
Gambar 3.2. Tiga pola pemotohgan optimal (pola w memil panjang terkecil Pw yang dapat masuk Ike dalam strip horisontal
(a). Pola pemotongan yang dihasilkan a'goritma. (b). Daerah A cukup untuk menghasilka~ 2 pola, tidak dapat dengan ,.,,.,.,11rn"' (c). Daerah 8 cukup untuk menghasilk~n 2 pola dimana A hanya 1
dapat dihasilkan algoritma ini.
Coronary 1:
Rasio aproksimasi ketika plat awal dan pola-pola yang
adalah bujursangkar adalah 9116.
K sama seperti pada Teori 1. K¢mudian rasio aproksimasi i I
dipotong
seperti pada teori 1, adalah k2 I (k+ 1)2. Untuk k = 1, 2 algoritma emberikan
'
solusi dalam 1- e untuk setiap e > 0. K = .f adalah worst case.
Contolt:
J ika beberapa batasan yang diberikan untuk ukuran pola-pola akan
memberi basil yang lebih meyakinkan. S~bagai contoh (seperti teori I
jika ada sebuah pola (pj, lj) dengan P ~ p Pj untuk beberapa I
pdan Pj
::; LP I k J untuk beberapa nilai k, maka diperoleh rasio aproksimasi 1). Jika k
~ I 00, maka akan di pero leh so I usi-so I usi oJti mal (V > : ~~ V • ).
3.2 ALGORITMA BEST STRIPS ~UTTING (BSC)
Algoritma BSC (Best Strips Cutting Algorithm) disusun
strip vertikal dan (atau) horisontal pada ~]at awal atau sub-sub plat.
pemotongan optimal kerapkali struktuinya ekuivalen dengan I
32
pol a
lainnya.
Gambar di bawah ini menggambarkannya pola pemotongan optimal dengan tiga I
macam pola p1 = (3, 3), p2 = (4, 3), dan ~3 = (2,4) dipotong dari pi !
11 ).
p3 p3 p3
p3 p3 p3 pi
pl p~ pl pi pi pi
Gambar 3.3 a. Pola pemotongan optimal, disusun oleh 2i sub plat (3, 11) dan (6, 11) m
memiliki struktur strip. Dimensi untuk pola~pola p1 = (P1, L1), 1 s i s 3; Vl:{9, 12, 8.) I
b. Struktur strip yang ekivalen.
I
Pada gambar 3.3(a) sub plat pert~ma memasukkan sebuah
sedangkan yang kedua terdiri dari tig~ strip horisontal. Dari I I
diharapkan dapat menciptakan strip-strip ioptimal dan mengisinya
i
atau beberapa sub plat untuk mendapatkan isolusi yang memuaskan.
3.2.1 ldentifikasi Masalah
Pemotongan bahan sering dilakuk~n dalam kehidupan
yang berbentuk lembaran persegi harus d~potong-potong menjadi i
kecil agar sesuai dengan kebutuhan. Cara untuk menempatkan
sing-masing , 4x3, 2x4;
lnl
·.Bahan
Ia yang
! I
'
33
akan dipotong pada lembaran tadi aka~ menentukan apakah sisa bahan akan
'
minimal atau tidak. Untuk mendapatkaJjl profit yang optimal dari
bahan ini, maka penempatan pola-pola in~ harus sangat diperhatikan.
'
Kemungkinan penempatan pola~pola tadi tidak hanya satu
yang harus dipikirkan adalah bagaimana baranya mendapatkan i
!
pola yang efisien sehingga sisa bahan mit1timal dan mendapatkan
dari basil yang didapatkan.
tugas akhir ini termasuk benda dua dimelllsi tak terbatas (unconst I
pada penjelasan sebelumnya perbedaan antara variabel-variabel
unbounded, dimana variabel bounded menyatakan bahwa !
I i
yang akan muncul tidak boleh melebihi ju!nlah yang telah ditetapkan.
variabel unbounded akan muncul beberap~kali dalam pola
Jika profit dihubungkan denga~ masing-masing i
permukaannya, maka fungsi tujuan ad~lah meminimalkan sisa
terpakai. Sebaliknya fungsi tujuan $tuk memaksimalkan !
i
dihubungkan dengan masing-masing pene$patan pola.
I
Pemotongan bahan dua dimensi tak terbatas I
mempunyai sekumpulan pola-pola: S = {(p~. 11), (p2, h), (p3, 13),
Inisialisasi ukuran plat yang akan dipotonJ untuk panjang
tujuan adalah untuk mencari pola pemoto~gan pada plat tanpa mem
i
pengulangan masing-masing jenis pol a dengan memaksimalkan fungsi
F(P, L) = La/r; i=l
, tapi
1t maksimal
. Seperti
dan
· profit
yang
(3.3)
Dimana: q = banyaknya po]a ke~i yang muncul
rn = banyaknya rnacarn pola dalarn hirnpunan S I
I
:r; = nilai profit pol a ke'-i = (p x 1).
' I
J ika j umlah pernunculan masing+masing pol a tidak boleh !
34
ebihi angka
tertentu rnaka disebut dengan rnasa~ah knapsack dua dime si terbatas
(constrained).
3.2.2 Metode Pemotongan Bahan! Dua Dimensi
Ada beberapa rnetode pernotong.n bahan dua dirnensi. Sebe nya telah
i
dikernukakan sekilas, di sini akan dijelas~an lebih lanjut.
3.2.2.1 Orthogonal dan Non-Orthogonal
Jika tidak terdapat pernbatas yaryg membatasi jurnlah
dapat dibuat untuk rnenghasilkan potongati yang dirninta dari bahan !
tetapi hanya potongan tersebut harus par~lel dengan tepi lernbaran
pemotongan bersifat orthogonal.
Untuk mernaksimalkan pen&gunaan bahan ada
i
pemotongan dilakukan tidak orthogonal yaitu yang disebut non
Kemungkinan ini untuk mengatasi pdtong.n yang tidak optimal oleh
3.2.2.2 Guillotine dan non Guillotine
Untuk menghasilkan ernpat persegi panjang dari Dt:Jmu~turi~<:tnJ
bersifat orthogonal maka lernbaran bahan 1adi harus dipotong dengan i
guillotine. Pemotongan guillotine adalah lcara memotong yang dim
tersedia,
otongan
sisi bahan tadi sampai ke sisi yang lainn~a, sehingga akan dihasi
em pat persegi panjang baru yang ukuran~ya telah berkurang.
Asumsi-asumsi untuk menggamlbarkan keadaan sebenamya
I. Jenis alat pemotong adalah guillotine dimana pem !
secara orthogonal dari satu sisi 1¢ satu sisi lain yang paralel I
i
dari beberapa sub-plat yang diha~ilkan pemotongan sebelum
2. Pemotongan dinorrnalisasi, ya~tu sisa bahan yang I
35
2 potongan
·plat atau
dari
pemotongan tidak pemah dipotqng oleh algoritma dan "'"'r~11 " pada plat I
I
bagian akhir yang akhirnya menghasilkan potongan sisa.
3. Semua pola berorientasi tetap {ftjKed), dimana ukuran akibat pemotongan
yang dilakukan sangat tipis.
1
3 2
4
Gambar3.4 (a) Pola pemotongan yang tidak fea~ibel (bukan pemotongan gui (b) Pola pemotongan yang feasibel ~engan pemotongan guill
3.2.3 Trimming
Kondisi-kondisi trimming (sisa !kecil) dari bahan setelah
dapat dinyatakan dalam 4 kondisi berikut tni:
1. Tidak boleh ada trimming, jika Pi,= x, L1 = y, i = 1, ... , m,
I
2. Trimming paralel ke x tapi tidak! ada trimming paralel key, ··ka Pi= x,
Li:s:; y, i = 1, ... , m,
36
3. Trimming paralel ke y tapi tidak ada trimming paralel ke jika Pi:$ x,
Li= y, i =I, ... ,m,
4. Trimming paralel ke x dan y jik~ Pi:$ x, Li:$ y, i = 1, ... , m.
3.2.4 Efek Simetris
Sebuah bahan berukuran (p, q), maka akan ada (p + '
pemotongan yang dapat dibuat pada bahain sepanjang x = 1, ... , (p •
buah sub plat, maka sub plat yang dihasilkan akan terduplikasi pada
pemotongan. Hal ini dikarenakan munc~lnya pola pemotongan
Untuk menghilangkannya dil~kukan cara ~erikut ini.
Sebuah plat (p, q), dipotong di titik x = a menghasilkan
berukuran (a, q) dan (p ·a, q). Jelasnya d~a buah sub plat yang sama
dari pemotongan di x = p • a, yang secara isimetris berseberangan
• 1) buah
simetris.
ini dapat dihindari tanpa kehilangan sellilua pola pemotongan yan unik, yaitu !
dengan membuat pemotongan hanya padJ 1/2 panjang bahan. itu, range
bawah yang tidak lebih dari pada p/2.
Hal serupa juga diterapkan untuk pemotongan ke arah sumbu
37
3.2.5 Efek Susunan Pemotongan
Bahan berukuran (p, q) dipoton~ pada x = a menghasilkan i
plat (a, q) dan (p- a, q). Pada sub plat bdrikutnya (p- a, q) dipotong
'
< [(p- a) I 2] yang menghasilkan tiga sub!plat (a, q), (b,q), (p-a-b, q)
Tiga pola yang sama dapat juga' dihasilkan oleh
dan baru kemudian pada x =a di (p- b, Q). Jenis duplikasi ini dihilangkan
' tanpa harus kehilangan pola pemotong~n yang unik, yaitu
pemotongan secara bebas sehingga jika ~ebuah plat dipotong pada
a, kemudian semua sub plat x-cut pad~ resultan dua sub plat I I
dari a. Batasan ini dan batasan sebelumnya (yaitu efek simetris), kan
I
bahwa untuk resultan dua buah sub plat [yang lebih besar, (p, q)
akan dibatasi sampai a s x ~ LCP- a) I 2 J dan jika (p- a )I 2 tidak up<u-.u..,.uu lagi
' I
x-cut. Untuk resultan dua sub plat lebih *ecil dari batas tadi maka ti
yang mungkin dilakukan.
i
Konsekuensi dari susunan pola ipemotongan sebagaimana I
atas adalah untuk menghilangkan susunap yang berbeda dari "'03'"""trln
tercapai pola pemotongan akhir. Hal yan$ serupa juga diterapkan
3.2.6 Normalisasi Pemotongan
Jika bahan (p, q) dipotong pad~ posisi x, maka pola I
merupakan kombinasi dari panjang dari' pola-pola yang tersedia
mana penjumlahannya harus tepat x. Jik~ tidak untuk arab x I
i
pada gambar 3.5a maka altematif pem~tongan pada posisi x' <
q, yang
38
menghasilkan pola pemotongan final (g~mbar 3.5b ), yang meliba pola-pola
yang sama dan karena memiliki nilai yang sama.
2 2
1 3 4 I 3
3'
Gambar 3.5 (a). Pola pemotongan non Normalisasi (b). Pola pemotongari yang di-Normalisasi
pemotongan mempunyai sebuah ekivalen normal. Normalisasi adal sifat dari
pola pemotongan yang berh4bungan den~an sekumpulan pola-pola tersedia
untuk dipotong yang mana sisa bahan tidbk pemah dipotong oleh
hasil yang terjadi saat pemotongan pola paida bahan.
Dengan demikian ( tanpa kehi~angan optimalitas) dapat
membatasi pemotongan arah x hanya unfuk nilai-nilai dari x pola nt:Ino1.on~an
pola pemotongan normal dan demikian jt.Jga untuk arah y. Feasibel
bahan (p,q) memberikan himpunan S pola-pola untuk dipotong,
nilai x yang merupakan elemen-elemen dari himpunan S tersebut.
3.2.7 Pembagian Plat Menjadi Sub-Plat
Berikut ini akan dijelaskan sub plat yang bagaimana dapat
memenuhi strip-strip optimal dan bagaim4na mengisinya secara efisi
sub plat.
Untuk mengisi plat dengan strip-strip secara eftsien,
dilakukan pemotongan terhadap plat 'menjadi sejumlah
cara ini struktur-struktur yang didapat metupakan kombinasi
vertikal untuk memberikan solusi eftsien.
Pembagian plat menjadi sub plat :harus dilakukan hanya
x-y yang memungkinkan algoritma memberikan solusi terbaik. Ada
titik potong searah sumbu. Sebuah himpuinan untuk arah horisontal
'
Pp dan satu lagi untuk arah vertikal clitandai PL. Him
Normalisasi pola-pola guillotine:,
m
Pp = {xI x = Iz 1p 1 ~-! P,z1 ~ 0:, zi adalah integer} i=l
m
Iz;l1 ~-} L,z1 ~ 0 , PL = { x I x = t=I , 'zi adalah integer}
Himpunan Pp dan PL dibangkitkalll dengan cara berikut:
0 jika i = 0 A x = 0
oo jika i = 0 A x * 0
g 1(x)= g 1_ 1(x) jikax<pt>iel1
min{g1_1 (x),max{l,mink {g1_1(f- kp1 ), 1 ~ k ~ Lx! p Jk e
i E I,x E X,dimana I= {1,2, ... ,,m}danX = {0,1,2, ... ,L 112
Hasil yang akan diperoleh titik k termasuk anggota hi
gm(x=l) dan tidak termasukjika gm(x)=1· Ditunjukkan kemudian
39
dahulu
sub-plat.
(3.4)
hanya
40
yang dilakukan pada x E (Pp u PL) akan meningkatkan basil.
3.2.8 Pembentukan Strip
Disini akan dijelaskan prosedur 'untuk membangkitkan
· dan vertikal dengan memenuhi panjang 1dan Iebar yang diberikan. · · salkan
panjang = a sub plat dan lebar = p sub plat.
3.2.8.1 Strip-Strip Horisontal
S ={(PI. I,), (p2, lz), (p3, l3), ... ,(p~, lm)} adalah himpunan pol yang akan
dipotong. Pola ini disusun dalam urutan lebaryang semakin
dinyatakan dengan ki, i = Lr.
dengan Iebar yang lebih kecil atau sarrta dengan Iebar
terbesar. Sehingga didapat Sk1 c Sk2 ~ c Ski. Untuk
diasosiasikan sebagai knapsack satu dimensi ODK(i) dengan fungsi
Max:
(3.5)
Syarat:
Dimana:
1r f.l = profit untuk pola (p f.J ,l f.J )
xf.l = banyaknya pola (p JJ ,1 JJ) pada!strip ke i.
41
Dengan menyelesaikan ODK(i)1 i = 1, 2, ... , r dibua strip-strip
horisontal dengan panjang a Iebar hki dah nilai profit F( a). Untuk I
nilai hki kemudian diganti dengan f3.
3.2.8.2 Strip-Strip Vcrtikal
Dengan mengulangi cara yang sama seperti yang telah dil
strip horisontal, akian dibangkitkan strip-strip vertikal untuk sub
Pola ini disusun dalam urutan panjang ~ang makin besar. Untuk
I
banyaknya panjang yang berbeda dinyatakan dengan v. Indeks
dinyatakan dengan ki, i = l..v.
dengan panjang yang lebih kecil atau sarJ;la dengan pola yang memi !
terbaik.
strip horisontal.
3.2.9 Penempatan Strip Pada Bahan.
Setelah strip-strip horisonta1 dan yertikal dibangkitkan maka "lanjutkan
dengan menempatkannya ke dalam plat. Masing-masing strip ini iliki nilai
profit Fi( a) dan tingginya /3; (untuk !strip-strip horisontal) dan Fi( f3) dan
panjangnya a i (untuk strip-strip vertikal).
Strip-strip yang terbaik (nilai profit terbesar) akan
plat dengan memperhitungkan lebar untuk strip-strip horisontal panJang
untuk strip-strip vertikal). Penempatan ini merupakan penyel masalah
42
knapsack satu dimensi yang berikutnya. Untuk strip-strip hori , knapsack
didefinisikan sebagai berikut:
ODK(r+l)
Fr+I(fi) =max II·~(a)y; i=l (3.6)
Syarat: Lfi;(a)y;:::;; fi,y; ~ O,yi integer i=l
Dimana:
fi= lebar plat yang akan dipotong,
Yi, i = 1, ... , r menyatakanjumlah Jl>engulangan strip
ODK(v+ 1) dapat dilakukan dengan cara yang sama yaitu
yang digunakan.
ODK(v+l)
Fv+1(a) =max _LP;(fi)Y; i=l (3.7)
Syarat: _La;(fi)Y;:::;; a,y; ;:: O,yi integer i=l
Dimana:
a= panjang plat yang akan dipotong,
Yi, i = 1, ... , v menyatakanjumlah pengulangan strip vertikal
Setelah penempatan selesai dilakulkan maka terbentuklah · pola
potong yang disebut pola pemotongan. Pola pemotongan ini yang uu•q.:>u dari
kombinasi strip-strip vertikal dan horisontal memiliki nilai-nilai se
yhor = Fr+!( fi) dan yver = Fv+l( a)
Prosedur yang digunakan membutuhkan r + v + 2(r, v
knapsack yang digunakan untuk menghasilkan strip-strip, sehingga
S dapat masuk ke dalam plat (sub plat).; Jumlah knapsack ini
dengan menggunakan metode program dinamis.
(a,jJ) adalah inisial dari plat P <jian L. Penyelesaian
terbesar r, menghasilkan strip horisontal terlebar. Kemudian
penyelesaian terhadap knapsack yang lair!mya 1, 2, ... , r-1 dan juga
strip dari Iebar yang tersedia. Sebenarnya hanyalah satu knapsack
43
m) buah
terkurangi
oleh semua strip-strip horisontal itu. Berikutnya semua nilai, yang dibutuhkan
oleh prosedur pengisian untuk merumusktm knapsack ke - (r + · untuk
· memilih strip-strip yang akan mengisi plat.
Hal yang sama, kn~psack ke v tnembuat strip vertikal
juga semua strip-strip dengan panjang yang tersedia.
J adi akhimya r + v + 2 buah knapsack yang dibutuhkan
plat secara horisontal dan vertikal akan ter~urangi sampai 4 buah Kn:ao51ac1K.
Semua sub strip optimal yang (iibangkitkan untuk sub
setelah pembagian pada titik-titik x dalarn himpunan Pp dan P1. tel tersedia.
Untuk masing-masing sub plat yang disel4aikan adalah dua
memilih sub strip terbaik untuk mengisi sub plat tersebut.
Dari penjelasan di atas, akan disitnpulkan dalam langkah-.auHr"u' utama
yang dilakukan dalam algoritma aproksimasi (yang dinyatakan dal
BSC) untuk menyelesaikan masalah knapsack dua dimensi.
algoritma
Langkah-Langkah Utama Dari Algori~ma BSC
Langkah 1: Menentukan panjang (112 P) dan leball' (l/2 L) plat awal menjadi dua
Pp dan PL. Dimana Pp ini adalah hilnpunan kombinasi linear n.v"'""""~''
panjang dan PL adalah himpunan kombinasi dari koefisien integer dari
yang akan dipotong.
m
Pp ={xI x = maks L=;P; :$; t P, z;1
integer positif}, i=l
m
PI = { y I y = maks L z /; :$; t L , z; i~teger positif}, i=l
untuk mendapatkan x dan y dibangkitkan dengan persamaan berikut ini;
'
0 jika i = 0 A x p 0
00 jika i = 0 A X :;t: 0
g;(x)= gH(x) jikax<pi>if=l;
44
himpunan
pola-pola
min{g;_1 (x),max{l,mink {g;_1 (x- kp; ),1.::;; k.::;; Lx! Jk EN}}},
i E I,x E X,dimana I:;: {l,2, ... ,m}danX = {0,1,2, .. ,Ll/2P j}} Jadi titik x adalah anggota Pp jika gm(l<) = 1 dan x bukan anggotanya
l>angkah 2:. Membangkitkan strip horisontal tertinggi dan strip vertikal yang terpanj
Ski = { Pj : (Pj> lj)S, lj :$; lki } untuk str~p horisontal, sedangkan
Ski = {~ : (Pj> ~)S, Pj :$; Pki } untuk strip vertikal.
Langkah 3: Pad a masing-masing elemen Xj E (Pp l; PL ) akan dilakukan nPrnnrnnc>J:ln
vertikal jika Xj E Pp atau pemotongan guillotine horisontal jika Xj E PL.
pemotongan ini akan dihasilkan 2 buahi sub plat.
Diasumsikan: Pp = (xj , L) dan PL = (P - Xj> L), adalah sub-sub plat
dari pemotongan di titik xE Pp, sedangkan PL = (P, Xj) dan PL = (P,
dari pemotongan di titik x E PL.
!'A!\. II";
,wsrrrv1 Sf-IJULU~ . "
45
Langkah 3.1: Menempatkan strip-strip horisontall ke dalam sub plat yang telah
Nilai yhori menyatakan nilai-Qilai profit yang berhubungan pol a
pemotongan-pola pemotongan yang dihasilkan. Nilai profit untuk
strip tersebut dapat dihitung:
ODK(i) = Fi (a)= Maks L 1r JJP JJ , p"eS~u
syarat yang harus dipenuhi: L 7r II pI' ~ a, X I' ~ 0, X I' adalah int p"es*, ,
J.angkah 3.2: · Step 3.1 diulangi untuk menempatk~n strip-strip vertikal pada sub pl Pj , i = 1, 2.
Nilai yveri menyatakan nilai-nilai profit pola pemotongan baru, dihasilkan
dari:
ODK(i)=Fj(ft)=Maks Ltr"p", p"es"'
syarat yang harus dipenuhi: L 7r "p" ~ p, x" ~ 0, x" adalah p"eSki ,
pola pemotongan terbaik untuk masing-masing sub plat Pj, i = 1, 2.
r
ODK(r+l)=Fr+ J(fi)=Maks L;l~(a)y; i=l
,r
Dimana syarat yang harus dipenuhi: La1y; ~ ft,y; ~ 0, Yu
1=1
, r
ODK(v+1)=Fv+ 1 (a)= Maks 'Ll·~(ft)y1 , ,i=l
" Dimana syarat yang harus dipenuhi: Lfi;Yt ~ a,y
1 ~ 0, Yu adalah
1=1
integer.
46
Langkah 3 . ./: Simpan pola pemotongan yang dihasilkan untuk plat dan nilainya an dalam
Langkah ./: Dari semua titik Xj E (PL U PH), dipHih pola pemotongan yang nilai yxJ
maksimum
3.2.10 Fase 0-Cut
Fase 0-cut terjadi jika membagi plat dengan elemen 0 dari sub plat
kedua adalah plat awal dengan dimensi (P, L). Fase ini melakukan ·~''""''u ke 2
dan 3 dari algoritma di atas dan Xj = 0. 'Hasil yang didapatkan
yver2) dengan menyelesaikan hanya 4 buah knapsack.
Pada saat melakukan normalisasi pemotongan guillotine, de
memakai elemen Pp dan PL untuk melak~kan pemotongan guilloti
awal, jelas komputasi akan berkurang. Hal ini dibandingkan jika di'""·u"''""'
tiap titik selain titik-titik normalisasi sepanjang plat.
Seperti yang telah dijelaskan seb~lumnya bahwa pada saat
algoritma hanya membutuhkan 4 buah knapsack saja. Dan pada
sub plat yang dibangkitkan yang dibutuhkan adalah 2 buah """''l'~''"'""· Oleh
karena itu BSC mengeksekusi semua elemen dari (PpU PL)
masing-masing elemen adalah 4 buah knaJI>sack. Sehingga total jum
yang dibutuhkan BSC menjadi 4 (Pp U P1J '
Knapsack terbesar yang ditempati adalah pada penyelesaian · langkah
'
kedua. Yang pertama dengan ukuran m 0umlah item yang akan dan
ukuran keduanya P, sedangkan yang kedua dengan ukuran m ukuran
keduanya L. Dengan menggunakan program dinamis, worst case
adalah O(m.max(P, L) dalam masalah knapsack ini ukuran tidak pol" ial.
Procedure Knapsack (alpha, betha, p, 1, n) for i ~ 1 to m
do for y~ alpha downtd 1 do MaxCurrent ~ 0
Batas ~Y I W[i) if Batas >= 1 then
for k~ 1 to Bata$ do X~ (y-k*W{i]) if x>=O then •
MaxTemp <(-- 'liabel [i-1, x] + k*V[i if Maxcu~rent < MaxTemp then
MaxCurr~nt ~ MaxTemp Frekw ~ k
if MaxCurrent >= Tabel[i,y] then Tabel [ i, y] ~ MaxCurrent Tabelindex[i,y]~ i
Else Tabel[i,y] <(---Tabel[i-1, y] Tabel Index [ i, y] <(--- 0
Tabel[i,y] <(---Tabel[i-1, y] Tabelindex [ i, y] ~ 0
Pada evaluasi terhadap running ttme untuk prosedur di
O(n\ yang merupakan kondisi worst cbase-nya.
prosedur di atas juga diperhitungkan untuk prosedur sorting, yang
yang dibutuhkan cukup besar maka pemilihan jenis sorting akan
47
sekali. Pada BSC ini prosedur sorting yang diterapkan adalah ""'"'"' sort yang
memberikan nilai worst case sebesar O(n~).
BABIV
PERANCANGAN DAN PEMBUAT
PERANGKATLUNAK
Perancangan perangkat lunak ini merupakan implementasi dari langkah-
langkah utama yang telah diuraikan dalam bab sebelumnya.
melingkupi gambaran umum perangkat ,lunak itu yang akan
diagram aliran data, perancangan data ! (masukan, proses serta eluaran) dan
perancangan menu.
Penyusun utama perangkat luna~ yang dinamakan Strips
Cutting ini, terdiri dari dua bagian utam<l yaitu proses penyiapan
diproses dan proses knapsack itu sendirl. Perangkat lunak ini untuk I
mengimplementasikan algoritma aproksim~si guna mendapatkan pol
dengan solusi yang optimal. Perancangan ini diimplementasikan
compiler Borland Delphi under windows.
4.1 GAMBARAN UMUM PERANG~AT LUNAK
Dalam tugas akhir ini dirancang s~atu perangkat lunak untuk mendapatkan
pola pemotongan optimal dalam pemotongan bahan dua dimensi "'"'·'""""' algoritma
aproksimasi. Secara umum dapat dijela*an gambaran perangkat !
48
melalui
keterkaitan antara data masukan, proses
berupa data plat dan pola-pola. Data
dapat juga melalui file teks. Proses
dilakukan setelah data masukan ·
dijelaskan dengan Diagram Aliran Data
4.2 DIAGRAM ALIR DATA (DA
Diagram alir
gambar berikut mt.
menggambarkan sistem pencarian
menerima data masukan dari user berupa
Pengguna Sistem
dan Plat
Gam bar 4.1 DAD level , Sistem perangkat lunak
Best Strips Cutting
menjadi beberapa proses dan sub proses.
pemotongan yang merupakan kombinasi a dalam strip-strip.
Pada gambar 4.2 diagram alir level-1 ini,
dipccah mcnjadi proses-proses pembcnt kan Pp dan PL,
49
akan
sistem ini akan
pada gambar-
level-0 yang
Sistem ini
akan dipotong.
akan dipccah
tadi telah
strip-strip,
pengisian plate dan pencarian pola
terdapat sub proses sorting data pola yaitu
Secara umum proses utama
pengisiannya ke dalam plat. Data
data pola-pola yang dianggap sebagai
proses pembentukan Pp dan Pt mengh
guillotine. Data ini menjadi masukan
menjadi strip-strip optimal
pengisian plat. Proses ini
feasibel. Untuk mendapatkan kombinasi
maka akan dipilih yang distri~usi sisanya
Data Plat
Pada proses pem
menjadi data
50
strip-strip
dan
data plat dan
esaikan. Dari
'p bersama
pemotongan
· feasibel ini
51
4.3 PERANCANGAN DATA
Telah dijelaskan sebelumnya wa masukan yang dib
lunak ini adalah data plat dan data pola masukan, proses dan Untuk
pola-pola.
4.3.1 Data Masukan
Data masukan plat ini terdiri s data saja yaitu panjang (
dengan ukuran plat maksimum dibatasi · 1 000 satuan.
yang dibutuhkan yaitu panjang (p) dan Iebar (1) yang lebih dari tu buah data.
semua data tersebut. Banyak~ya pola ( dibatasi sampai 50 buah
Lr---------+----, 11
p1
p
Gambar 4.3 Model plat (P, L), pola (p1, 11) dan (p2, 12)
Struktur untuk data masukan ini · berikut:
SzPola = Record Pol a P, L nPola End;
1. .2] of intecJ .r;
52
Data yang dimasukankan dapat
yang natinya dapat di-update kembali.
dalam file teks namafile.txt >
Dari data yang dimasukankan data siap
untuk diproses. Data plat (P, L) menjadi kapasitas dari ... <&,., ........ knapsack
tadi. P adalah kapasitas untuk penempa pola dalam arah hori
kapasitas untuk arah vertikal.
Untuk data pola, panjang pola ( ) menjadi item yang akan dimasukkan ke
dalam knapsack dengan kapasitasnya P.
pola (l) dengan kapasitas L.
4.3.2 Data Saat Pemrosesan
yang sama juga dilaku untuk Iebar
Proses-proses yang akan diu ..... u"'"''" Best Strips Cutting aua~•a,• Pembentukan
Pp dan P1 , Pembentukan Strip, Pengis· otongan. Dari
masing-masing proses ini memerlukan ua• ... -L.aL£1 sebagai berikut:
1. Pembentukan Pp dan P1 ,
Data masukan yang telah dijel di atas dipakai dal
menghasilkan titik-titik potong (xj). Data Pp dan P1 ini di ·
satu dimensi.
2. Pembentukan Strip,
• Dari hasil proses Pp dan P1 yaitu 'k-titik Xj, dilakukan
pemotongan guillotine. Dari tiap 'k pemotongan ini dida
dalam array
dua buah
knapsack dengan panjang dan
menjadi ukuran kapasitas yang
• Data masukan dan kapasitas
proses untuk menghasilkan
pembentukan strip. Strip-strip
dibutuhkan oleh proses
optimal yang terpilih.
• Untuk arah horisontal dengan
dalam dua buah knapsack
horisontal-2.
• Hal yang sama juga
didapatkan strip vertikal-1 dan
Data strip-strip ini disimpan dalam
'"' Pengisian Plat, .;).
• Data yang dipakai adalah kel
arah dimensi kedua (yaitu
• Proses yang dilakukan di sini
yang akan diisikan ke dalam
masing knapsack sebanyak n(Pp
53
yang baru. Ukuran dan lebar ini
hasil proses di atas ini ·perlukan dalam
didefinisikan sebagai
Strip ini merupakan
enggunakan data pol a (p)
dihasilkan strip
vertikal dengan data
vertikal-2.
1 array dua dimensi yaitu
mencari kombinasi
Kombinasi ini termuat
PL). Untuk mengurangi j
-'ll\K PER
INSTITUi
SEJiULUH
pada proses
-ODK yang
binasi pola
dimasukkan ke
-1 dan strip
a (I) sehingga
abellndeks.
dalam
usu."-••,. f:.KNOLOGI
M\JPt; ... ~
ini digunakan program dinamis.
dua dimensi.
4. Pola pemotongan
Dari data hasil proses pengtstan
optimal dengan sisa minimal yang
4.3.3 Data Keluaran
Keluaran dari BSC ini berupa
vertikal atau horisontal.
terpilih sebelumnya.
Keluaran ini akan ditampil
digunakan sebagai instruksi pemotongan
basil proses ini di ·
di atas akan
menjadi pola nAnnnTI\n
strip-strip yang
ini merupakan kom
sebagai pola
plat yang diberikan.
ini yang dapat ditampilkan selain pola n<>rnnrnn
yang didapatkan dari hasil normalisasi.
I Solusi Feasibel = I n(Pp U PL).
didapatkan dari normalisasi ini rht•~tn1nt
optimal) itu sendiri.
Keluaran dari proses pola perno1:pngan ini juga disimpan
dalam file ini adalah
memberi solusi optimal.
<namafile.txt>. Infonnasi yang disimpan
pola yang menyusun strip-strip tersebut
54
dalam array
yang paling
secara
yang akan
usi dari BSC
solusi-solusi
t ditampilkan
· pola-
4.4 PERANCANGAN PROSES
Proses-proses utama dari sistem ini terdiri dari proses pem
PL, proses pembentukan strip-strip, ""r"'"""" pengisian platdan nrt''"""'
pemotongan. Untuk masing-masing akan diperjelas dengan
4.4.1 Pembentukan Pp dan PL
Langkah-langkah untuk mela
tergambar pada gambar 4.5 yaitu dia£,rram
pembentukan Pp
55
Pr dan
P~, sepcrti
Dalam proses untuk ...... " .. "'"""'·QIJ• titik-titik x anggota dari , titik-titik ini
harus ~ P/2. Batas baru ini dibagi 1, dicari nilai
gi-l (x-k.pi) yang minimum. Kemudian ni · minimum dari gi-l (x-k. dibandingkan
dcngan 1 untuk mendapatka'n nilai mak · um. Yang terakhir nilai
dibandingkan kembali dengan gi-l (x) diambil nilai yang Jika nilai
akhir = 1 maka titik x termasuk anggota
termasuk anggota Pp.
Untuk menghasilkan x
yang digunakan adalah L/2. Titik-titik
pemotongan guillotine. Untuk x
vertikal sedangkan untuk x anggota PL
Dan jika nilai = oo, titik x bukan
hal yang sama di ........... u-•1• dimana batas
n,.,,,.,, dilakukan
pemotongan guillotine
5()
y
Gambar 4.4 Diagram ali pembentukan Pp dan PL
4.4.2 Pembentukan Strip
Sebelum dilakukan proses strip dilakukan
horisontal data
57
data pola. Untuk proses pembentukan
sedangkan untuk strip vertikal maka yang
yang menjadi titik untuk pemotongan
rting adalah data ""'r""'r'"' Kemudian x
buah knapsack baru.
kapasitas. Untuk strip horisontal,
nilai yang didefinisikan untuk
untuk mendapatkan strip-strip. Stri
strip horisontal. Jumlah pola yang
g pola tersebut.
dimasukkan ke dalam
tersedia dihitung dengan membagi alpha ,.._ .. ,...,_ ..
Jika batas ini >= 1 maka hitung sisa
tas yang
= alpha/pi).
Jika masih bersisa pola tadi dimasukkan 0. Kemudian
menghitung profit dari pemasukan pola yang menjadi nilai
y]. Profit ini dibandingkan dengan sebelumnya jika lebih
sekarang adalah profit yang baru adalah profit
sebelumnya yaitu nilai tabel[i-1, y].
Selanjutnya proses berulang
1m didapat strip-strip horisontal
ditempatkan ke plat proses pengisian plat.
ir dari proses
m buah. Strip-strip ini
Tabel[i,y) "'Tabel(i-,y) Tabellndeksfi.vl= o
Gambar4.5
58
alir pembentukan strip
59
4.4.3 Pengisian Plat
Langkah-langkah dari proses sian plat yang disini pacta
prinsipnya sama dengan langkah-1 dalam proses strip-strip.
Ukuran Iebar plat (L) menjadi kapasitas ·p-strip menjadi
nilai dari pola-pola tersebut.
Keluaran dari proses ini adalah inasi dari strip-strip merupakan
solusi feasibel untuk knapsack hasil pem
4.4.4 Pola Pemotongan
di sini adalah Pola pemotongan yang akan
keseluruhan yang mengisi plat. Untuk ~ •• ,~LJ.:"""'"
atau vertikal-1 dengan profit maksimal.
antara strip horisontal-2 atau vertikal-2 u..,Jll~a.uprofit maksimal.
Gambar 4. 7 Diagram
Untuk mencari solusi optimal di kan dengan mencari
yang memberi profit maksimal diantara usi-solusi feasibel tadi.
60
strip secara
a pemotongan
yaknya solusi
feasibel adalah n(Pp U PL). Solusi-so usi feasibel ini meru
strip-strip vertikal atau horisontal
pola tersebut.
4.4.5 Hirarki Modul
Diagram disain rnodul yang dii
keseluruhan dapat dijabarkan seperti
Pembentukan Pr dan
PL
Pengurutan Pol a
profit yang feasibel
entasikan pada Tugas
o.,,..,,...,,.;,,., Kombinasi Pola Pemotongan
yang Optimal
modul dari sistem
Nomor-nornor di atas rnewakili data-data yang rnasuk
dengan diagram data pada gam bar 4.2.
1. Data plat dan pola
2. Titik-titik potong guillotine
3. Kurnpulan pola terurut
61
kombinasi dari
plat dan pola-
1m sccara
keluar scsuai
4. Kumpulan strip-strip
5. Solusi-solusi feasibel
6. Solusi optimal
4.5 PERANCANGAN MENU
Untuk dapat memberikan
Cutting. Menu ini seperti ditunjukkan
0 NEW CJ OPEN 0 SAVE 0 SAVEAS 0 CLOSE 0 PRINT 0 EXIT
0 INISIAL PLAT CJ INPUT POLA 0 METODE
CUTTING OSKALA
Menu File berhubungan dengan
telah pemah dibuat sebelumnya atau untuk
Menu Setup Cutting berhub
yang dimasukkan oleh pengguna.
62
udahan dalam pcmasu an data dan
maka pada perangkat 1 ini dirancang
dan Proces
SISTEM
sistem perangkat lunak
teks masukan yaitu pola yang
· ni pengguna harus
pcmotongan dengan BSC atau Fase 0-cut. Jika pilihan ini tidak dii maka proses
dilakukan dengan BSC. Skala dipilih menentukan ukuran
dibuat dari hasil proses yang telah didar>aU~an.
Menu Proces Cutting berkai dengan pilihan metode
yang telah dipilih tadi maka akan dil ukan proses pencarian
optimal yang hasilnya digambarkan pada
Basil proses yang telah di
yang memberi keterangan tentang hasil
yang pertama memberikan infonnasi
pemotongan guillotine (horisontal dan
Bahan yang dipotong, Data Pola-Pola, Si
Terambil yang optimal, Hasil Proses
Infonnasi terbagi
titik-titik nonnali
Vertikal yang dihasilkan seb~lurn div..,•.u•Hil"'''ll pada plat awal.
Menu Window dan Help dijel kan Jebih jauh pada
menu-menu yang telah disebutkan juga diberikan informasi lainn
pemotongan guillotine, angka ini
guillotine sehingga dihasilkan sub plat
tersebut Untuk masing-masing strip m
sehingga mengisi sub plat dengan
mengisi plat sehingga memberikan solusi
kombinasi dari
Kombinasi dari
keterangan lebih lanjut tentang infonnasi · · diberikan pada lampiran
63
gambar yang
plat
pemotongan
odul infonnasi
yang terjadi
dan
A. Selain
Pada modul
4.6 PEMBUAT AN PERANGKAT NAK
pembuatan dari perangkat lunak itu.
4.6.1 Struktur Data
banyaknya macam pola dan W
menyimpan nilai serta V masing-masing Untuk W dan V m
SzPola = Record Pola : Array[l .. 50,1 .2) of Integer; PANJANG, LEBAR : Integer;
nPola:integer; w, V :MaxSubject;
end;
Untuk menyimpan data strip
terdiri lima medan yaitu StrikKe, ·
64
dijelaskan
data larik
Rekaman ini
StripKe ini
mewakili urutan strip yang diperoleh, mewakili pola terurut ang masuk ke
dalam strip
PtrStrip InfoStrip
"InfoStrip; record
StripKe, index, banyak1, banyak2:integer; arah String; next : ptrStrip; {next pola in infos rip}
end;
Data keluaran yang akan ditampi
data rekaman sebagai berikut:
PtrPola InfoPola
"InfoPola; record
StripKe ,index, banyak1, banyak2, arah, Guillotine, next : ptrPola;
end;
sebagai solusi optimal · ·
: integer; lat : string;
{next pola in inf
65
dalam
Medan dari data rekaman ini penjelasannya sama den data strip.
Guillotine menunjukkan arab pengisian p at dan plat sendiri menunj kan sub plat
yang diisi.
4.6.2 Modul Pembentukan Strip
Berikut yang akan dijabarkan ·
strip. Alpha dan betha mewakili
pemotongan guillotine.
Procedure MembuatStrip(alpha, for i +-1 to m
for y+- alpha downto 1 MaxCurrent +- 0 Batas +-y I W[i] if Batas >= 1 then
for k+-1 to Batas x+- (y-k*W[i)) if x>=O then
MaxTemp +- Tabel if MaxCurrent <
MaxCurrent +-Frekw +- k
ementasi dari modul
dari sub plate yang tel
i-1, x) + k*V[i] xTemp then
emp
strip-
if MaxCurrent >= Tabel[i,y) then Tabel[i,y) ~ Maxcurrent Tabelindex[i, ~ i
Else Tabel [i, y] ~ abel [i-1, y] Tabellndex [ i, y ~ 0
Tabel[i,y] ~Tabel[i-1 y] Tabelindex[i,y] ~0
Keterangan:
MaxCurrent adalah nilai maksimal · kombinasi pola yang
pola tersebut terpilih untuk disimpan dalam tabel index,
disimpan dalam tabel.
• Tabelindex merupakan tabel yang yimpan data pola terpilih
dari pola tersebut.
• Keluaran dari proses ini adalah tabel index yang berisi pola
yang membentuk strip-strip.
4.6.3 Modul Pengisian Plat
Pengisian plat dilakukan terhadap
optimal yang telah didapat. Batasl dan
Algoritma untuk pengisian plat · yang telah dijelaskan
procedure MengisiPlat(var Value: integer, n:integer; mode:byte;VH:string};
inisial Strip; {prosedur program dinamis} Dinamis(FMaks,SPola,Batas1}; {untuk menyimpan hasil proses} for i~l to Spola.nPola do y~ batas1; repeat
j ~TABEL_INDEX[i, y, 1); risi pola ke j}
66
membuat
frekwensi
diagram
if (j<>O) then STRIPl[i,j,l] +-j; STRIP1[i,j,2] +-T
y+- (y-STRIP1[i,j,2]* k+-TABEL_INDEX[j,y,2
else k+-0;
until(k=O\ for i+-1 to SPola.nPola do
SHorisontal.W[i] +-SPola. SHorisontal.V[i] +-FMaks[
Dinamis(Profit,SHorisontal, y+-batas2; j+-TABEL_INDEX[SPola.nPola,y repeat
for q+-1 to Spola.nPola do if (TABEL_INDEX[j,y,2]*
ISI_PLATE[j,q,2) +-T ISI PLATE[j,q,l) +-S {rnemasukkan nilai ke if (STRIP1[j,q,2)<>0)
new(nodel); node1"'.StripKe +nodel"'. Index +nodel"'.banyak1 +node1"'.banyak2 node1". arah +-
INDEX[j,y,2]; ola.Pola[j, 1]); ; {frekw pola beriku nya}
la[i,2];
TRIP1[j,q,2])>0 the INDEX[j,y,2]*STRI llj,q,2];
IPl[j,q,l]; lam Tabel Strip Hor sontal}
j; RIPl[j,q,l]; TRIP1[j,q,2];
L_INDEX[j,y,2];
nodel".next +- ni ; if (mode = 1) then
INSERT_STRIP(n else
1,STRIP_1H[IdxStri ])
INSERT_STRIP(no y+-(y-Tabel_Index[j,y,2]*S k +- TABEL INDEX [ j , y, 2) ; j +- TABEL ~)NDEX [ j , y, 1] ; {be
until(k=O); {menyimpan nilai maksimal dar Value+-SearchPlate(Profit);
Keterangan :
l,STRIP_2H[IdxStri ]) l a . POl a [ j , 2] ) ;
j }
sub plat}
67
• Hasil dari pembentukan strip-strip ( atau vertikal) · sebagai nilai
baru untuk tiap pola yang telah
68
• Kemudian dengan proses dinamis
hasil maksimal. Hasil ini berupa
tabel index kembali. Dan nilainya
• Keluaran dari proses ini adalah
strip-strip dan frekwensi dari strip TPr''""n'
• Dari solusi feasibel ini lalu dicari usi optimal yang memil · sebaran sisa
yang paling sedikit.
4.6.4 Modul Pembuatan Gambar
Untuk menampilkan hasil
dilkaukan implementasi dengan
didapat dari pengisian plat yaitu sebagai
Procedure BuatGambar; MencariNilaiOptimalCuttingPl PolaT.ListBoxl.clear; {dari variabel TABLE_POLA[i] if PolaT.Showmodal=mrOk th n
A := I I;
B := I I;
node (- TABLE_POLA[Index] repeat
{plat A} if (nodeA.plate= 1 A 1 ) t
membaca strip-strip else {plat B}
membaca strip-strip node (- nodeA.next;
until (node=nil); gambarplat; gambarPlatA(A); gambarPlatB(B);
ng mengisi sub plat A
ng mengisi sub plat A
maka
·~·-·--,,-__ _,_.._,..,.--~
BV
HASIL UJI COB
Dalam bab ini akan dibahas g uji coba perangkat unak yang telah
diimplentasikan dan evaluasi terhadap · i coba dilakukan
contoh-contoh
yang telah pernah diuji coba. Hasil contoh-
contoh tadi dievaluasi di sini untuk kinerja perangkat lunak
Perrnasalahan knapsack dua yang diselesaikan
adalah pemotongan terhadap ,bahan.
dan RAM 16 MB dengan data random dan data Untuk data I
terpihh merupakan data yang telah diuj coba dalam percobaan
yang sama.
5.1 DATA RANDOM
Untuk uji coba menggunakan I
random maka data-data yang di!:,runakan
dijelaskan lebih lanjut berikut ini.
Ukuran plat dan banyaknya pola m diambil secara Ukuran
ini dikelompokkan menjadi 2 bagian ukuran data kecil (
1 00 dan m an tara 10 - 3 0) dan ukuran besar (ukuran plat antara 01-200 dan m
70
antara 30 - 50). Data untuk ukuran pol, juga dibangkitkan secara antara (~
P sampai % P ) untuk panjangnya dan ( ~ L sampai % L ) untuk Pn~•rn'"~ I
5.1.1 Hasil Komputasi
Uji coba yang telah dilakukan ]terhadap data random di s !
data plat (100, 100) untuk ukuran kecilldengan banyaknya macam
30, 40 dan 50. Untuk tiap m dilakukfn 5 kali uji coba dengan
Sedangkan untuk data ukuran besar pial yang dib'Unakan beruk
macam pola sama dengan yang sebelu~nya. Perulangan I
dipakai juga sebanyak 5 kali. Data random yang diuji coba
lampiran B. 1
I
Hasil uji coba terhlldap data ~ndom •m didapatkan
dicantumkan dalam tabel 5.1 dan tabel s.i . Tabel5.1 Hasil dan Fase O_Cut
(ukuran data kecil)
97% 96%
30 99% 98%
40 99% 98%
50 1100% 99%
(m) 10, 20,
yang sama.
(200, 200) dan
tiap pola yang
dilihat pada
seperti yang
71
Tabel5.2 Hasill BSC dan Fase 0 Cut (ukurah data besar) -
96% 94%
30 98% 97%
40 i 98% 97%
50 98% 98%
i
Evaluasi dilakukan terhadap o*tput yang dihasilkan dari · i coba terhadap
contoh-contoh di atas. Untuk contoh-coptoh dari data random,
memperlihatkan hasil dari rasio aproksimasi yang baik. Untuk
rasio aproksimasi ini semakin menitigkat dengan bertambah
Persentase rata-rata solusi optimal untuk! ukuran data kecil adalah '
ukuran kecil,
'
fase 0-cut persentase rata-rata solusi <)ptimal adalah 95,7% d n waktu 1595
mdetik.
Sedangkan untuk data ukuran ~esar rasio aproksimasi
juga semakin meningkat untuk bertambahnya macam pola. Untuk
ditunjukkan pada tabel 5.2. ini menunj*kan hasiJ yang cukup
optimal. Persentase rata-rata solusi optih,a] untuk ukuran data
dengan waktri yang dibutuhkan untuk ~endapatkan solusi
adalah 98%
5070 mdetik i
sedangkan untuk fase 0-cut persentase qtta-rata solusi optimal uuu .• ~u 97% dengan
waktu 1884 mdetik.
72
Jika hasil yang ditunjukkan 4ari fase 0-cut maka ras10
I
aproksimasi (persentase solusi optimal)ijuga memperlihatkan cukup baik yang I
optimal. Jadi penyelesaian dengan Bs¢ juga dapat dihentikan j dipertimbangkan
bahwa solusi optimal telah didapatkan ~ari solusi yang diberikan fase 0-cut ini.
'
Pertimbangan lain juga dengan fase 0-c~t ini hanya membutuhkan yang relatif
lebih kecil dari segi komputasinya.
5.2 OAT A TERPILIH
Data terpilih adalah data yang diambil dari percobaan
dilakukan orang terhadap permasalahan yang sama.
macam data dalam tabel, yang dianggap dapat mewakili dari
Tabel 5~3 Contoh 11
•. J'Iat (P, L)····
(9,11) (3, 3), (4, 3), (2, 4)
Tabel 5.4 Contoh 22
(15,10) r·····f>br~(p;l)i····················
(8, 4), (3, 7), (8, 2), (~. 4), (3, 3), (3, 2), (~. 1)
1 Fayard D., Zissimopoulos V., An AlgorithmfiJT~oll'ing Unconstrainetl
!ftwp.mck Problem.'>, European Journal of Operati~mal Research (1995), 621. • Christofides N., Whitock C., An Algorithm for two-Dimensional Cutting Prr:thiPtn~.
I Research, Vo125, No. 1, Jan-Feb 1977,41. I
I !
telah pernah
ada 4
Plat {P, L)
(401 70)
Tabel ~.5 Contoh 33
Pola (p,l)
(91 24)1 (101 1 )I (121 8)1 (91 35)1 (211 22), (11 1 13), (31' ~ 3)1 (30, 7), (141 8)l (13, 7)
Plat (PI L) Pola (p, I)
(127, 98) (21, 13), (36, '7), (54, 20)1 (20, 27), (181
Plat (PI L)
(401 70)
Tabel ~.7 Contoh 56
Pola (p, I)
(31 ,43)1 (30,41 ), (29139), (28138), (27 137), (26,36), (2513$)1 (24134)1 (33,23)1 (22132)1 (31,21), (29,1$). (17,27), (15,24), (16,25), (15,24), (23,1 • I (21l12)l (19111)1 (9117)
i
Untuk data terpilih ini yang *kan dibahas lebih lanjut
73
ah data dari
contoh 1. Untuk contoh yang lainny• hanya disajikan sebagai asil perhitungan
akhir saja.
Diberikan sebuah lembaran plat' dcngan ukuran panjang lebarnya adalah
9 x 11 yang digunakan untuk memenuhi! order dengan pola-pola 3 3, 4 x 3 dan 2 x
Data-data:
Ukuran Plat : Panjang = 9, Lebar= 11
Data Pola : Himpunan Pola (Pi,, lj ): S = {(3,3), ( ,3), (2,4)}
Nilai : ll"i =Pi X ti. I
3 Ibid, 41 4
Fayard D., op. cit., hal 630 5
Chistofide N., op. cit., hal 41
5.2.1 Penyelesaian Dengan BSC
Titik-titik normalisasi yang dip~roleh XjE Pr = {2, 3, 4}
Pada masing-masing titik ini dipero1eh splusi-solusi feasibel '"'"''·'""""'
74
XjEPt= {3,4}.
kombinasi pola.
Solusi feasibel yang diperoleh pada saat ~ilakukan guillotine vertika disajikan dalam I
tabel di bawah ini sebagai berikut:
I
Tabel 5.8 Solusi Feasi~el pada Guillotine Vertikal
Dari solusi feasibel ini digambarikan bagaimana susunan
pemotongan tersebut tmtuk masing-masiJ1g titik potong tersebut. !
f{D Adalah sisa.
Xj =2
Gambar 5.1 Solusi fe~sibel 1 untuk plat (9, 11)
kombinasi pola
75
Xj=3
P3 P3
Pl
P3 P3 P3 Pl
Pl Pli Pl
Gambar 5.2 Solusi fe~sibel 2 untuk plat (9, 11)
P2
P3 P3
P3 P3
Pl
Gambar 5.3 Solusi fehibel 3 untuk plat (9, 11) I
76
Solusi feasibel pada saat dilaWukan guillotine horisontal adalah sebagai
berikut:
'
Tabel 5.9 Solusi feasibej pada guillotine horisontal
Dari solusi feasibel ini digambar~an bagaimana susunan
potong tersebut untuk masing-masing titi~ potong tersebut. !
P3 P3 P3
Pl
P3 P3 P3 Pl
Yj=3
Pl PI PI
Gambar 5.4 Solusi feasibel 4 untuk plat (9, 11)
kombinasi pola
77
P3
Yj=4
P3 Pl
Gambar 5.5 Solusi fea$ibel 5 untuk plat (9, 11)
PI ~1 PI
P3 P3
PJ PJ : PJ Pl
Gambar 5.6 Solusi!feasibel fase 0-cut
5.2.2 Fase O_Cut
Pada fase 0-cut, penyelesaian : masalah dilakukan pemotongan
guillotine di titik nonnalisasi pada plat a~al seperti pada bagian 5.2 1. Jadi di sini
pencarian dilakukan pada kapasitas P dim L. Hasil yang dipero h yaitu nilai
78
profitnya adalah 93 dan sisa 6. Kombinaisi pola disusun oleh 2 strip horisontal
yang merupakan kombinasi pola-1 (3 J 3) dan pola-3 (2 x 4) sebuah strip
horisontal yang tersusun dari 3 buah pola~1 (3 x 3).
di atas.
Kombinasi pola pemotongan pa<Ja fase 0-cut dapat dilihat i
5.2.3 Hasil Komputasi
gambar 5.6
Untuk hasil uji coba terhadap daia terpilih contoh 1 sampai ntoh 4 dengan I
I
menggunakan BSC dan fase 0-cut didapa*an:
Tabel5.10 Hasit SSC dan Fase O_Cut
Solusi Plat m Sebe- Nilai
(9, 11) 3 93 93 (94%) 93 (94%)
(15, 10) 7 249 150 (100%) 0,170 150 (100%)
(40, 70) 10 3006 2800 (100%) 0,930 2800 (100%)
(127, 98) 5 12192 12192 (98%) 0,870 12132 (97%)
(40, 70) 20 2240 2694 (96%) : 1,100 2694 (96%)
Dari evaluasi terhadap output <lata terpilih pada tabel :
bahwa untuk contoh 2, dengan BSC men)beri solusi 150( 1 00%)
detik. Sedangkan solusi yang diberikan idengan algoritma
dalam waktu 2,47 detik.
sse Rata-Rata
92%
100%
99%
95%
93%
waktu 0,17
adalah 249
Untuk contoh 3, BSC memberikan solusi 2800(100%) da waktu 0,93
detik sedangkan dengan algoritma tree s~arch solusinya 3006 waktu 24,07 !
detik. Untuk dua contoh ini BSC .. ..,,, .. V..,t
waktu sepersekian detik.
lama untuk menemukan solusi
mendefinisikan nilai pola bukan u" ....... .,, ....
fase 0-cut solusi yang diberikan sama
relatif lebih singkat dari BSC.
Untuk contoh 4, BSC memberi
solusi optimal tanpa
Dalam kedua con1ton
pada luasannya.
hasil dengan BSC
0,87 detik. Fase 0-cut memberikan solusi sebesar 12132(97%). Pada
79
bahan dalam
relatif lebih
ini algoritma
) dalam waktu
ini hasil
BSC lebih baik dari fase 0-cut. Untuk coiJtmn
exact 2240 dalam 4,51 detik dan nPrHr<lnl
dalam waktu 1,1 detik. oleh BSC lebih
nnhm<>l 2694(96%)
dari algoritma
exact untuk contoh ini.
B~BVI
PENUTUP
6.1 KESIMPULAN
I
Dari evaluasi terhadap hasil uj~ coba memberi suatu yang dapat
disimpulkan sebagai berikut:
1. Dari hasil uji coba untuk lilkuran data kecil macam pola
antara 10 - 30 dan ukuran plat antara 50 - 1 00) dan data besar
(banyaknya macam pola ant~ra 30 - 50 dan ukuran plat 101 - 200)
menunjukkan BSC adalah efisienjika di!:,Ttmakan pada
2. Rasio aproksimasi terbaik yCILng diberikan oleh BSC ukuran data
kecil adalah 96% dan untuk ulkuran data besar adalah 9
3. Fase 0-cut memberikan solusi yang cukup baik juga k permasalahan
knapsack dua dimensi yang s~ma, sehingga dapat diperti
penyelesaian masalah knapsa¢k ini.
4. Dengan menggnnakan proen•m dinamis jumlah
hanya 4 buah knapsack saja luntuk tiap titik normali sehingga akan
mengurangi memori yang teq:lakai.
~0
6.2 SARAN
Algoritma aproksimasi yang dqmplementasikan guna
knapsack dua dimensi ini dapat dikemb~ngkan lebih lanjut,
dapat menangani dengan efisien data dertan ukuran besar.
1. Algoritma aproksimasi ini sdlanjutnya dapat d1
menggunakan nilai untuk setiap pola bukan hanya di
luasan pola itu, misalnya de~gan prioritas atau profit
dapat didefinisikan sendiri.
2. Algoritma ini dapat dikembahgkan untuk diterapkan
masalah knapsack yang terbat•s (bounded). Di masalah · I
memperhatikan batas maksimum yang harus dipenuhi
jumlah plat yang tersedia. 'Jumlah masing-masing
dibutuhkan dibatasi jumlalmya. Sehingga
81
masalah
t algoritma ini
lagi dengan
penyelesaian
· tiap pola dan
pola yang
disesuaikan dengan batasan yang baru. Dalam tugas ini variabel k
(=LJ> I p j atau = LL! I J ) dap"t dijadikan acuan untuk m dapatkan item
pola sejumlah yang dibuttihkan. Pengembangan · juga dapat
digabungkan dengan saran seb¢lumnya.
DAFT AR PUST AKA
1) Fayard D., Zissimopoulos V.,"An Approximation
'
Solving Unconstrained llwo-Dimensional Knap k Problems", I !
European Journal of Operatiottal Research (1995) 618-63
2) J. E. Beasley, "Algorith s for Unconstrained imensional
Guillotine Cutting", Operati Research Society ( 1 , Vol 36, No.4,
297-306.
3) Martello S., Toth P., ""Kna ck Problems: Algorithm and Computer
4) Pratono A, "Perancangan Pembuatan Perangkat unak Optimasi
Benda 2 Dimensi", Teknik uter, ITS, 1995.
5) R. G. Dyson, A S. Gregory, in Flat Glass
Industry", Operational
6) Smith D. K., "Dynamic P uction", Ellis
Horwood Ltd., 1991.
7) Taha, H. A, "Riset Ope 1", Binarupa Aksara, 1
A- 1
LA~tPlRAN A
PANDUAN PENGOPERAS.AN PERANGKAT L NAK
Untuk dapat menjalankan aplilkasi perangkat lunak ini, i sini akan
dijelaskan kebutuhan perangkat lun~k dan perangkat keras yang harus
diperhatikan sebelumnya.
A.1. Kebutuhan Perangkat Lunak dan Keras
Perangkat Lunak ini harus dij~lankan dalam sistem VIJ'"""'
dengan minimal kebutuhan perangkat keJ:lls yang harus disediakan
• CPU 486-DX
• Monitor VGA
• Memori 16MB
• HD 80MB
Sedangkan untuk kebutuhan perangkat lunak adalah sebagai ·kut:
• Sistem Operasi Windows 95 ·
• File-file sebagai berikut: FINAL.EXE, MDIMAIN.P
IN_POLA.PAS, POLAS.PAS.
A.2. Cara Pengoperasian Perangkat Lunak
Untuk menjalankan perangkat lunak ini pilih FINAL dieksekusi.
Tampilan yang muncul adalah menu utlama dari perangkat lunak ini. Seperti
terlihat pada gambar A. I.
A- 2
Menu yang tersedia di sini yaituJ File, Setup Cutting, Proses ing, Window
dan Help.
A- 3
A.3. Menyiapkan Data Untuk Prqses
Data-data input yang diperlukanl terdiri atas dua macam I
data pola. Untuk data plat diinputkan mel~lui menu Setup Cutting
Inisial Cutting. Sedangkan data plat dap•t diinputkan melalui menu
memilih Input Pola. Selain dengan memasukkan lansung data pola j I
file data yang telah disiapkan.
Gambar A.2 Mef11asukkan data plat
A-4
A.4. Melakukan Proses Pemotor~tgan
Menu yang harus dipilih untuk1 proses pemotongan adal Proses Cutting
dengan memilih Cutting. Proses akan b¢rjalan untuk menghasilkan kombinasi pola
pemotongan optimal. Hasil ini disimpart dalam file <hasil.txt>, dapat dilihat
kembali melalui modul Informasi yang di~ediakan.
A.S. Melihat lnformasi Hasil Pro$es Pemotongan
Informasi-informasi yang dapat diperlihatkan adalah .,..,._, ... h'"'l
A.5.1. lnformasi Dari Setiap Proses
lnformasi yang disediakan selail) data plat, data pola juga ua kombinasi
yang dihasilkan dari proses pemotongan pada tiap titik normal· ditampilkan di !
Sin I.
A- 5
Gambar A.5 Menam~itkan file hasil proses
A.5.2. Kombinasi Pola Pemotongan Op~imal
Infonnasi yang diberikan adalah kombinasi pola pe gan optimal
dcngan memberikan keterangan jumlah pola terambi1 masing-masi g dan gambar
dari kombinasi pola pada plat.
Gambar A.6 Menampilkan kombin,si pola pemotongan optimal
!
,_.___., 11S -r-.11'.-.1.
~ !:~K""QlO~:C ,..o.-E"'aE~,
A.5.3. Pemililtan Guillotine Horisonta~ Pada Suatu Titik
Infonnasi yang akan diberikan ~ika masuk ke modul
memilih titik potong nonnalisasi arah hori~ontal maka akan disajikan
pemotongan dan gambar pola pemotonganuuga.
I
Gambar A.8a. Menampilkan piliflan tilik guiHotine iiorisontal
A- 6
ah dengan
A -7
Gambar A.8b. Menartl>ilkan guillotine horisontal
A.5.-1. Pemilihan Guillotine Vertikal P'ada Suatu Titik Norma/ism;
Informasi yang diberikan dari modul ini sama dengan di
arah pemotongan guillotine vertikal.
2 1
2 2 1
Gambar A.9 MenaJilpilkan guillotine vertikal I
LAM~IRAN H
DATA INPUT RANDOM
8.1 Data Ukuran Kecil
Ukuran Plat (P, L) = (1 00, 1 OG); Ukuran Pola (p, I)
Macam Pola = m (antara 10 S8mpai 50)
(25,26)(68, 35)(38,p8)(40, 33)(43, 46)(29,48) (27, 39) (70, 43) (63, ~ 1)
10 (59,67)(60,40)(33.~1)(48, 37){66, 38)(49, 32) (63, 73)(49,69)(66,~6)
10 (32, 32)(50,26)(54.~5)(63, 57)(63, 60)(52, 35) (72, 57)(74, 37)(58, 39)
10 (29, 63) (49, 69) ( 50,:53) (72, 59) (41, 25) (60, 74) (34, 32)(70,64)(54,~8)
10 {59, 39){29, 56){39, {33, 38)(52, 73){33, 32)( (53, 49) (39, 32) {55, )
58)(40,33)(43,46)(29, 1 41)(59,67)(60,40)(33,41
( 66, 38) ( 49, 32) ( . 39) ( 63, 73) ( 49, 69) ( 66,
20 ( 32, 32) ( 50, 26) ( 54. 25) ( 63, 57) ( 63, 60) ( 52, (72, 7)(74, 37)(58,$9)(29,63)(49,69)(50, 53) ( 41' 25) ( 60, 4) (63, !62) ( 34, 32) ( 70, 64) (54,
20 ( 59, 39) ( 29, 56) ( 68) ( 33, 38) ( 52, 73) ( 33, (53, 9) ( 39, 32) (55' 61) ( 62, 29) ( 28, 27) ( 30, ( 55, 46) ( 62, 9) { . 65) ( 65, 32) { 29, 28) ( 28,
20 ( 58, 36) ( 53, 37) ( 4~, 66) ( 40, 40) ( 57, 59) ( 70, ( 48, 39) ( 63, 62) (52, 61) ( 4~. 52) (54, 69) (58, 30) ( 48, ( 30, 27) (52, 58) ( 29, 71) ( . 59) ( 71, 38) ( 60, 61) ( 49,
20 { 32, 36) ( 72, 43) ( 31~ 74) ( 40, 27) ( 30, 68) (52, ( 25,40) { 70, 51) { 41' 47) { 70, 42) ( 42, 49) ( 28, ( 71, 49) ( 31, 9) ( i 35) ( 65, 54) ( 30, 56) ( 71,
( 25, 26) ( 68, 35) ( 58) ( 40, 33) ( 43, 46) ( 29, ( 27,39) ( 70, 43) ( 63 41) (59, 67) ( 60, 40) ( 33, 41 ( 66, 38) ( 49,32) ( 39) ( 63, 73) ( 49, 69) ( 66, ( 50, 26) ( 54, 25) ( 7) ( 63, 60) ( 52, 35) ( 59, ( 74, 37) (58, 39)
B- 1
B-2
30 ( 29, 63) ( 49, 69) !SO, 53) ( 72, 59) ( 41, 25) ( 60 74) ( 63, 62) ( 34, 32) ( 70, 64) 154, 68) (59, 39) ( 29, 56) ( 39 68) ( 33, 38) (52, 73) ( 33, 32) i38, 33) (53, 49) ( 39, 32) (55 61) ( 62, 29) ( 28, 27) ( 30, 64) 165, 44) ( 55, 46) ( 62, 49) ( 42 65) ( 65, 32)
I
( 29, 28) ( 28, 34) i
30 (58, 36) (53, 37) (~43, 66) ( 40, 40) (57, 59) ( 70 40) ( 48, 39) ( 63, 2) (52, 61) (. 5, 52) (54, 69) (58, 30) ( 48, ) ( 30, 27) (52, 58) ( 29, 71) (j66, 59) ( 71, 38) ( 60, 61) ( 49 58) ( 32, 36) ( 72, 43) ( 31, 74) <!40, 27) ( 30, 68) (52, 59) ( 30 58) ( 25, 40) ( 70, 51) ( 41, 47) ;
30 ( 70, 42) ( 42, 49) 128, 67) ( 63, 34) ( 71, 49) ( 31 69) ( 45, 35) ( 65, 54) ( 30, 56) !71, 52) ( 41, 47) ( 36, 34) (59 74) ( 56, 59) (52, 29) ( 62, 32) 136, 69) ( 60, 46) ( 74, 32) ( 26 34) ( 25, 43) ( 44, 43) ( 29, 47) ISO, 48) (58, 65) (53, 37) ( 43 54) ( 68, 55) ( 37, 59) (52, 68)
30 ( 43, 43) (56, 64) 47, 35) (59, 66) ( 62, 70) ( 34 63) ( 38, 39) ( 60, 47) ( 73, 34) 25, 36) ( 69, 41) ( 68, 63) ( 73 38) ( 44, 66) ( 26, 37) ( 27, 50) 146, 25) ( 32, 60) ( 40, 44) (52 38) ( 32, 39) ( 28, 60) ( 41, 64) (!57, 53) ( 69, 26) ( 37, 69) (59 26) ( 32, 32) ( 45, 45) ( 32, 25) I
. Plat (P, L) M Pola (p,l)
(100, 100) 40 ( 25, 26) ( 68, 35) ! 38, 58) ( 40, 33) ( 43, 46) ( ( 60, 40) ( 33, 41) i48, 37) ( 66, 38) ( 49, 32) ( 39) ( 63, 73) ( 49, 69) ( 66, 26) i 32, 32) ( 50, 26) (54, 25) ( 63 57) ( 63, 60) ( 52, 35) (59, 54) i72, 57) ( 74, 37) (58, 39) ( 63) ( 49, 69) ( 50, 53) ( 72, 59) i41, 25) ( 60, 74) ( 63, 62) ( 32) ( 70, 64) (54, 68)
40 ( 59, 39) ( 29, 56) <139, 68) ( 33, 38) ( 52, 73) ( (53, 49) ( 39, 32) <!55, 61) ( 62, 29) ( 28, 27) ( 64) ( 65, 44) (55, 46) ( 62, 49) (142, 65) ( 65, 32) ( 29, 28) ( 28 34) (58, 36) (53, 37) ( 43, 66) 140, 40) (57, 59) ( 70, 40) ( 48 39) ( 63, 62) (52, 61) ( 45, 52) 154, 69) (58, 30) ( 48, 45) ( 30 27) (52, 58) ( 29, 71) ( 66, 59) :71, 38) ( 60, 61) ( 49, 58)
40 ( 32, 36) ( 72, 43) (!31, 74) ( 40, 27) ( 30, 68) (52 59) ( 30, 58) ( 25, 40) ( 70, 51) <141, 47) ( 70, 42) ( 42, 49) ( 28 67) ( 63, 34) ( 71, 49) ( 31, 69) (145, 35) ( 65, 54) ( 30, 56) ( 71 52) ( 41, 47) ( 36, 34) (59, 74) 156, 59) (52, 29) ( 62, 32) ( 36 69) ( 60, 46) ( 74, 32) ( 26, 34) 125, 43) ( 44, 43) ( 29, 47) (50 48) (58, 65) (53, 37) ( 43, 54) 168, 55) ( 37, 59) (52, 68)
40 ( 43, 43) (56, 64) !47, 35) (59, 66) ( 62, 70) ( 34 63) ( 38, 39) ( 60, 47) ( 73, 34) 125, 36) ( 69, 41) ( 68, 63) (73, 38) ( 44, 66) ( 26, 37) ( 27, 50) !46, 25) ( 32, 60) ( 40, 44) (52 38) ( 32, 39) ( 28, 60) ( 41, 64) I 57, 53) ( 69, 26) ( 37, 69) (59 26) ( 32, 32) ( 45, 45) ( 32, 25) !51, 63) (53, 36) ( 68, 28) ( 49 28) ( 43, 58) ( 35, 65) (51' 45) 126, 74) ( 33, 27) ( 27, 30)
40 ( 65, 72) ( 30, 35) 163, 74) ( 49, 26) (54, 65) ( 71 50) (58, 74) ( 63, 60) ( 69, 74) 161' 64) ( 25, 43) ( 40, 28) ( 64 38) ( 67, 70) ( 271 69)( 71 1 9) ( 43) ( 46, 62) ( 59, 42) (56, 50) ( 73, 30) ( 74, 26) (55, 42) ISO, 57) ( 65, 56) ( 72, 49) ( 74) ( 36, 34) ( 46, 59) ( 62, 26) ISS, 65) ( 48, 33) (56, 28) ( 64) ( 68, 46) ( 25, 36) (53, 69) 127, 48) ( 71, 68) ( 67, 61)
B-3
Plat (P, L)
(100, 1 00) ( 25, 26) ( 68, 35) ( 38, 58) ( 40, 33) ( 43, 46) ( 29, 8) ( 28, 67) ( 27, 39) ( 70, 43) ( $3, 41) (59, 67) ( 60, 40) ( 33, 1) ( 48, 37) ( 66, 38) ( 49, 32) ( $8, 39) ( 63, 73) ( 49, 69) ( 66, ( 32, 32) (50, 26) (54, 25) ( $3, 57) ( 63, 60) (52, 35) (59, ( 72, 57) ( 74, 37) (58, 39) ( 29, 63) ( 49, 69) (50, 53) ( 72, ( 41, 25) ( 60, 74) ( 63, 62) ( 34, 32) ( 70, 64) (54, 68) (59, ( 29, 56) ( 39, 68) ( 33, 38) ( 52, 73) ( 33, 32) ( 38, 33) ( 53, ( 39, 32) (55, 61)
50 ( 62, 29) ( 28, 27) ( 30, 64) ( 65, 44) ( 55, 46) ( 62, ( 42, 65) ( 65, 32) ( 29, 28) ( 28, 34) ( 58, 36) (53, 37) ( 43, ( 40, 40) (57, 59) ( 70, 40) ( ~8, 39) ( 63, 62) (52, 61) ( 45, (54, 69) (58, 30) ( 48, 45) ( 30, 27) (52, 58) ( 29, 71) ( 66 ( 71, 38) ( 60, 51) ( 49, 58) ( t 36) ( 72, 43) ( 31, 74) ( 40, ( 30, 68) (52, 59) ( 30, 58) ( 5, 40) ( 70, 51) ( 41, 47) ( 70, ( 42, 49) ( 28, 67) ( 63, 34) ( 1, 49) ( 31, 69) ( 45, 35) ( 65, ( 30, 56) ( 71 I 52)
so ( 41, 47) ( 36, 34) ( 1 74) (56, 59) (52, 29) ( 62, ( 36, 69) ( 60, 46) ( 74, 32) ( 1 34) ( 25, 43) ( 44, 43) ( 29, (50, 48) (58, 65) (53, 37) ( 1 54) ( 68, 55) ( 37, 59) (52, ( 43, 43) (56, 64) ( 47, 35) ( 1 66) ( 62, 70) ( 34, 63) ( 38, ( 60, 47) ( 73, 34) ( 25, 36) ( 1 41) ( 68, 63) ( 73, 38) ( 44, ( 26, 37) ( 27, 50) ( 46, 25) ( I 60) ( 40, 44) ( 52, 38) ( 32, ( 28, 60) ( 41, 64) (57, 53) ( $9, 26) ( 37, 69) (59, 26) ( 32, ( 45, 45) ( 32, 25)
50 ( 51, 63) (53, 36) ( $8, 28) ( 49, 28) ( 43, 58) ( 35, (51, 45) ( 26. 74) ( 33. 27) ( r· 30) ( 65. 72) ( 30. 35) ( 63. ( 49, 26) (54, 65) ( 71, 50) ( 8, 74) ( 63, 60) ( 69, 74) ( 61, ( 25, 43) ( 40, 28) ( 64, 38) ( $7, 70) ( 27, 69) ( 71, 49) (59, ( 46, 62) (59, 42) (56, 50) ( 13, 30) ( 74, 26) (55, 42) (50, ( 65, 56) ( 72, 49) ( 49, 74) ( 6, 34) ( 46, 59) ( 62, 26) (55, ( 48, 33) (56, 28) ( 73, 64) ( $8, 46) ( 25, 36) (53, 69) ( 27, ( 71, 68) ( 67, 61)
50 ( 74, 35) ( 32, 58) ( $6, 34) ( 25, 65) (53, 48) ( 46, ( 64, 68) ( 29, 54) ( 64, 35) ( 48, 45) (50, 60) ( 64, 40) ( 26, ( 39, 27) ( 48, 35) ( 29, 57) ( $7, 42) ( 40, 48) ( 70, 61) ( 45, ( 65, 37) < 26, 42) < 69, 68) ( i6, 37) < 46, 43) <57, 46) <56 ( 65, 47) (51, 55) ( 40, 37) ( 45, 61) (57, 33) ( 73, 26) ( 41, ( 48, 50) ( 68, 58) ( 45, 54) ( 32, 73) ( 48, 32) ( 40, 55) ( 65, ( 31' 48) ( 32, 41) (58, 66) ( $7, 32) ( 33, 62) ( 38, 42) ( 37, ( 70, 59) ( 29, 58)
8.2 Data Ukuran Besar
Ukuran Plat (P, L) = (200, 20b); Ukuran Pola (p, I)
Macam Pola = m (antara 10 $ampai 50)
( 148, 71) ( 65, 116). 132, 68) (51, 131) ( 106, 96) 93, 64) ( 129, 137) (59, 1 ( 129, 71) ( 97, 90)
10 (100,120)(128,81 (53,110)(79,55){96,71) ( 135, 84) ( 80, 97) 41, 122) ( 91, 58)
10 ( 130, 75) (53, 84) ( 1 38, 136) ( 93, 75) ( 92, 86) ( 15, 92) (113,125)(131, '(103,111)(80,74)
10 ( 90, 122) ( 115, 67) 146, 53) ( 82, 139) ( 96, 101) ( 137, 117) ( 91,1 ( 64, 147) ( 97, 65) ( 81, 111)
10 ( 131, 98) ( 63, 96) (' 83) ( 116, 132) ( 135, 65) ( '124) ( 77, 84) { 74, 53) ( 11 118) (58, 116)
(51, 111) ( 108, 127 ( 69, 139) ( 131, 114) ( 98, 1
( 124, 6~) ( 87, 140)( 102, 137) { 122, 79) ( 109,
( 92, 107) ( 141, 117) ( 123, 149) ( 85, 59) ( 90, 77) 142, 73)
( 88, 58) ( 102, 101) 103, 72)
20 ( 69, 91) ( 146, 100) 107, 87) ( 87, 128) ( 141, 11
( 107, 102) ( 142, 72) (52, 147) ( 99, 147) ( 70, 1 (59, 93)
(56, 149)(88,120)(136,132)(89, 115)(77,1 ( 68, 86)
( 91, 58) ( 146, 50) ( 68, 60)
20 (56, 113) ( 77, 130) ( 61, 119) ( 90, 98) ( 102, 60) (
( 145, 77) { 129, 135) { 92, 100) ( 78, 122) ( 83, 92)
( 86, 108) ( 120, 98) ( 67, 82) ( 91, 98) ( 85, 96) (
( 149, 105) ( 95, 1
20 ( 132, 109)( 91, 79) 134, 107) ( 78, 114) ( 138, (112,54)
( 97, 132) ( 136, 72) ( 147, 116) ( 120, 76) ( 140, { 97, 85)
( 130, 110) (52, 91) ( 72, 99) ( 101, 75) ( 105, 110)
{ 126, 120) ( 66, 1
20 ( 94, 121) ( 105, 104} ( 101, 123) ( 139, 104) ( 110, I
( 92, 52) {144, 53) ( 123,140) ( 75, 114) ( 143, 128) 55, 59)
(85, 138)(70, 144)(108, 148)(129,88)(52,52) 110, 128)
( 96, 100) ( 123,1 ( 77, 66)
B-4
B- 5
·Plat (P, L) M Pot.a (p, t)
(200, 200) 30 ! 91 )( 99, 60)( 88, 79)( 77, 56)(
( 108, 55)( 76, 89)( 57\ 126)( 91, 53)( 121, 101)( 94, 1
( 74, 102)( 130, 112)( t6. 133)( 97, 95)( 54, 116)( 116, 73, 107)
( 85, 59)( 135, 108)( 1$3, 52)( 116, 116)( 134, 86)( 132, !
30)( 141, 57)
( 76, 101)
30 ( 124, 127)( 95, 88 )( 139)( 97, 64 )( 142, 112)( 109, 94, 53)
( 119, 63)( 69, 59)( 84,1112)( 93, 107)( 80, 119)( 91' 59
( 71, 130)( 92, 120)(1418, 92)( 53, 123)( 60, 109)( 111, 1
( 81, 112)( 137, 77)( 7$, 57)( 87, 51)( 82, 138)( 67, 57)(
( 65, 75)( 97, 141)
30 ( 92, 65)( 62, 113)( 80,189)( 107, 135)( 133, 66)( 124, 1
( 85, 79)( 142, 91)( 71,!74)( 53, 136)( 133, 51)( 68, 1
( 104, 106)( 96, 128)( $7, 122)( 74, 66)( 138, 139)( 59,
( 62, 91)( 93, 93)( 128,i 138}(91, 139)( 106, 51)( 138, 1 89, 142)
( 141, 107)( 114, 88)
30 ( 62, 58)( 149, 101}( 146, 77)( 90, 117)( 96, 56)( 58,
( 71, 105)( 65, 111)( 113, 145)( 147, 76)( 51, 76)( 69, 1 145, 131)
( 64, 102)( 78, 110)( 100, 81)( 82, 127)( 58, 118)( 139, ' '
89, 140)
( 98, 91)( 129, 59)( 11~. 136)( 78, 62)( 140, 131)( 58, 145, 89)
( 135, 127)( 144, 60)
30 (50, 78)( 121, 73)( 90,160)( 117, 53)( 116, 147)( 121, 11 105, 83)
( 117, 105)( 86, 82)( 8~, 59)( 79, 129)( 103, 104)( 52, 11 100, 81)
( 79, 106)( 71, 102)( 140, 93)( 114, 77)( 107, 122)( 71, 115, 82)
( 109, 103)( 93, 63)( 1Q1, 128)( 120, 72)( 93, 146)( 125, 30)( 91, 50)
( 143, 104)( 96, 96)
· Plat (P, L)
(200, 200) ( 104, 132) (59, 55) ( 113, 67) (50, 120) ( 138, 131) (
( 135, 52)( 143, 50) ( 6~, 148) ( 78, 145) (50, 56) (56,
( 89, 130)( 124, 147) ( $6, 128) ( 70, 145) ( 86, 142) ( 77 87)
( 143, 104) ( 76, 92)( 7t, 122) ( 137, 103) ( 135, 56) (
( 125, 126) ( 127, 118}( 117, 116) ( 77, 83) ( 74, 74) (
( 73, 115)( 76, 100)( 1~5, 131) ( 123, 147) ( 140, 125) (
( 66, 67) ( 143,56) ( 61 .1139)
40 ( 53, 125) ( 102, 78)( 124) ( 90, 52)( 83, 120)( 149, 1
< 143, 1o1>< 148, 97)< aa. 82>< 61, 60J< 52, 121l< 83,11
( 64, 63)( 120, 139)( 1<fi. 55)( 82, 143)( 80, 113)( 149,
( 89, 135)( 84, 109)( 7~. 54)( 93, 100)( 126, 51)( 61, 13
( 131, 136)( 68, 145)( Sl, 114)( 113, 102)( 57, 134)( 65,
Plat (P, L)
(200, 200)
40 ( 66, 130)( 108, 58)( 55)( 139, 125)( 140, 97)( 133,
40
40
M
50
( 70, 75)( 137, 93)( 8a 118)( 57, 54)( 54, 58)( 99, 143)( 55)
< 117, 144)( 52, 58)( a1. 58)( 73, 116)( 104, 116)( 114,
( 94, 94)( 126, 123)( 84, 108)( 143, 139)( 91, 97)( 76, )( 91, 95)
( 101, 143)( 145, 119t 77, 83)( 118, 63)( 71, 71)( 92, 1 3)( 56, 78)
< 148, 125)( 64, 84)( 1 72)( 148, 87)( 102, 53)
( 89, 62)( 65, 117)( 1 89)( 50, 144)( 82, 147)( 93, 91 .112,61)
< 105, 91)(62, 130)( 5g, 59)( 84, 73)( 95, 58)( 120. 98)(
( 101, 139)( 127, 68)( i145, 146)( 101, 76)( 117, 123)( 1
( 69, 129)( 62, 146)( ao, 105)( 127, 148)( 55, 84)( 115,
< 132. 97)( 111. 102)w7.97)( 110, 137)( 134, 60)( 1
< 133, 86)( 113, 130)( 1 1 98)( 92, 134 )( 121, 52)( 70,
( 132, 74)( 145, 73)( I 120)( 53, 58)( 101, 52)( 105,
( 67, 89)( 148, 61)( 5~, 142)( 129, 147)( 58, 147)( 106,
( 58, 58)( 87, 136}(13~. 128)( 79, 96)( 116, 58)( 75,
( 88, 147)( 101, 68)( 1140, 65)( 122, 100)( 91, 77)( 87, 1 107, 136)
(50, 138)( 88, 94)( 9~, 89)( 103, 139)( 145, 63)( 93, 7
( 133, 113)( 68, 104)(! 1, 68)( 146, 87)( 138, 51)
Pola (p,l) i
(58, 112)( 108, 112)(1115, 57)( 130, 91)( 85, 126)( 11
( 113, 115)( 132, 88){1108, 52)( 51, 114)( 85, 145)( 11 113)( 137, 51)
< 69, 121)( 118,61)( n5, 125)( 129, 79)( 61, 64)( 120, 1 78, 137)
( 126, 107)( 119, 67)(183, 128)( 102, 96)( 91, 99)( 102, 04)( 107, 75)
( 88, 80)( 101, 68)( 1110, 98)( 103, 60)( 106, 54)( 118, 1 )( 101, 84)
( 88, 86)( 102, 77)( 113, 98)( 129, 120)( 149, 96)( 124,
( 123, 55)( 96, 127)( ~7. 56)( 115, 65)( 89, 60)( 91,66)(
( 84, 64)
50 ( 145,106)( 68, 121)(1138, 90)( 80, 134)( 93,108)( 11
(52, 114)( 116, 114)(j69, 124)( 149, 131)( 117, 64)( 1
( 148, 148)( 148,64)(182,78)( 136, 83)( 110, 115)( 77, 146, 100)
( 131, 70)( 62, 118)( 94, 121)( 90,53)( 116, 91)( 65, 64, 134)
( 139, 66)( 56, 74)( 1110, 126)( 117, 122)( 112,114)( 51, 32)( 89, 69) i
( 116, 116)( 147, 60)(!147, 57)( 133, 62)( 68, 106)( 11 106)( 89, 60)
( 140, 61)( 68, 133)( 1109, 147)( 101, 81)( 84, 71)( 63, 1 7)( 119, 137)
( 98, 134)( 97, 87)
B-6
50 (59, 115)( 82, 54)( 1 . 135)( 145, 142)( 52, 90)( 118, 136, 60)
( 75, 58)( 94, 135)( 60)( 95, 79)( 147, 107)( 89, 100) 95, 138)
( 118, 135)( 148, 74)( 1119, 60)( 148, 97)( 134, 85)( 86, I
( 140, 90)( 89, 92)( 67~ 115)( 84, 86)( 80, 135)( 74, 82)(
(58, 132)( 74, 133)( 8~. 143)( 76, 137)(117, 92)( 136,
( 115, 57)( 136, 65)( ~. 105)( 115, 123)( 135, 64)( 88,
(54, 114)( 101, 105)( ~1. 79)( 139, 68)( 111, 133)( 135,
( 131, 80)
50 ( 136, 88)( 58, 94)( 1 '84)( 117, 104)( 112, 83)( 118,
<57, 70) ( 137, 117)( $a, 70)( 64, 72)( 116, 111)( 129,1 I
( 148, 74)( 117, 135)( ~8. 72)( 114, 74)( 108, 57)( 76,
102, 104)
112, 77)
)(81,90)
112, 67)
B-7
( 77, 76)( 74, 83)( 118~ 71) (105, 144)( 96, 137)( 115, 1
( 116, 68)( 63, 70)( 62( 1 02)( 69, 71 )( 54, 88)( 52, 75)(
77, 62)
,71)(59,113)
( 78, 133)( 91, 112)( 914, 74)( 95, 118)( 125,64)( 124,84 137, 146)
( 138, 142)( 77, 81)( 1142, 133)( 75, 70)( 60, 85)( 147, 110, 131)
50 (54, 100) ( 130, 121)(i 108, 104)( 60, 84)( 104, 131)(
( 81, 147) ( 81, 129)( ~4. 102)( 149, 109)( 72, 129)( 1
( 120, 130) ( 98,124)( 174, 111)( 102, 106)( 131, 65)( 1 135)( 93, 135) ' '
( 72, 73) ( 100, 125)( 1J6, 108)( 56, 58)( 61, 119)( 104,
( 142, 111)(125, 130)(1123, 99)( 95, 90)( 88, 55)( 128,
( 68, 105)( 57, 105)( 1~8, 134)( 101, 74)(128, 103)( 131 107)( 82, 97)
( 147, 148)( 127, 82)( h40, 73)( 120, 142)( 87, 85)( 52, 15)( 119, 77)
( 110, 97)
c- 1
LAMPlRANC
Contoh:
Sebuah lembaran plate dengan ukuran panjang dan lfbarnya adalah 9 x 11 akan ri•nt\tt\nn untuk memenuhi order dengan pola-pola 3 x 3, 4 x 3 dan 2 x 4. Hitung profit untuk mendapatkan cutting yang optimal?
Data: lnisial plate : Himpunan pola (p , I):
I, I
Profit Banyaknya pola:
(P, L) = (9, 11) 1
s = {(3, 3 ), (4, G), (2, 4)}
Penyelesaian: Langkah 1 (menentukan titik·titik untuk pemotongah guillotine)
m , Pp = {x I x = maks L zi pi~ [1/2 PJ, zi inte!}er positiQ,
i=l m '
PI = {y I y = maks L zi pi~ [1/2 L], zi integ~r positiQ, i= I ,
untuk mendapatkan x dan y digenerate deng•n pers. 1. I = {1, 2, 3}, X= {0, 1, 2, 3, 4}
I= 1 A X= 3; mink {Q1_1(x- k I)}= mink {91•1(3-1 x3)}'
= mink {90 (Q)} =0
maks {1 ,0}= 1 min {g,_1(x), 1}
Jadi x=3 termasuk P p·
I= 2 A X= 4;
= min{g,1_1(3), 1} = min{g0(3), ")} =min{-. 1} !
=1
mink {g,_1(x- k I)}= min. {g2_1(4-1x2)} :
=min, {9 1 (2)} = min. {g0 (OH =0
maks {1,0}= 1 min {g
11_1(x),1}
Jadi x=4 termasuk P p·
= min{g12_1(4)j 1} = min{gl(4), 1n = min{g0(4), 1H =min{-, 1} i
= 1
I:;: 3A X:;: 2; min, {g,_1(x- k 1,)}::: mink {g3_ 1 (2-1x2)~
maks {1 ,0}= 1 min {9, ,(x), 1}
= mink {g2 ~0)} ::: min, {g1 (0)} =mink {g0 ~)} =0
= min{g,3-,m. 1} = min{g2(2)~ 1)} = min{g 1 (2)~ 1)} = min{g0(2)11)} =min{-, 1}! =1
Jadi x=2 termasuk PP. • Dari hasil generate untuk semua elemen I d~n X, maka diperoleh Pp = {2, 3, 4}d PL = {3, 4}
!
Langkah 2 (men generate strip horisontal tertinggi ~an strip vertikal terlebar ) a. Strip horisontal tertinggi .
S = {(3, 3 ), (4, 3), (2, 4)} (urut naik untuk leb.r) s,, = {(3, 3)} skz= {(3. 3 ), (4, 3)} sk3 = {(3, 3 ), (4, 3), (2, 4)}
b. Strip vertikal terlebar
n = 1
S = {(2, 4), (3, 3 ), (4, 3)} (urut naik untuk parljang) sk, = {(2, 4 n S,2= {(2, 4 ), (3, 3)} S,3 = {(2, 4 ), (3, 3), (4, 4)} .
Langkah 3 (menentukan pemotongan guillotine)
C-2
Untuk pemotongan Guillotine vertikal di titik ~j = 2. Hasilnya membentuk 2 buah plate (2, 11) dan (7,11).
Langkah 3. 1 (mengenerate strip-strip horisontal d'*' vertikal) a. Strip-strip horisontal 1
Sub Plate (2, 11) Syarat: 3X1 <= 2 maka X, = • ODK (1) = F1 (2) = Maks [ (3 x 3) X
1] =-
Syarat 3X1 + 4~ <= 2 maka X1 = ~ = • . ODK (2) = F2 (2) = Maks [ (3 x 3)X1 +(4 x 3) ~];: • Syarat: 3X, +4~ + ~ <= 2 maka X3 = 1 : ODK (3) = F 3 (2) = Maks [ (3 x 3) X1 + ( 4 x 3) ~ + (2 x 4 ) X3 ] = 2 x 4 x 1 = 8
Sub Plate (7, 11) Syarat: 3X1 <= 7 maka X1 = 2 ODK (1) = F1 (7) =Maks [ (3x3) X1] = 3x 3x!2 = 18 Syarat: 3X1 + 4~ <= 7 maka X, = 1 dan X2 = 1 ODK (2) = F2 (7) = Maks r (3 X 3) x, + (4 X 3) ~2] = (3 X 3 X 1) + (4 X 3 X 1) = 21 Syarat: 3X, + 4X2 + 2X3 <= 7 maka X, = 1 dan] X3 ::: 2 ODK (3) = F 3 (7) = Maks [ (3 x 3) X1 + (4 x 3) ~ + (2 x 4) X3 ] =(3 x 3 x 1) + (2 x 4 2) = 25
b. Strip· strip vertikal Sub Plate (2, 11) Syarat: 4X1 <= 11 maka X,= 2 ODK (1) = F1(11) =Maks ((2x4)X1] = 2x4k 2 = 16 Syarat: 4X1 + 3X2 <=11 maka X2 = 3 ·
ODK (2) = F2 (11) = Maks [ (2 x 4) X1 + (3 x 3)1~1 = 3 x 3 x 3 = 27 Syarat 3X1 + 4~ + 2X3=11 maka ~ = 3 ODK (3) = F3 (11) = Maks [ (2x 4) X, +(3 x 3)IX2 +(4x 3) ~] = 4x 3x 3 = 36
I
!
Sub Plate (7, 11) sama dengan ODK (i) untuklsub plate (2,11) !
Langkah 3.2 (Mengisi Plate secara horisontat dan v~kal) a. Mengisi strip-strip horisontal
Sub plate (2, 11) Syarat: 3y1 <= 11 maka y1 =-ODK (4) = F4(11) = Maks (F 1 (2) y1 ) =-Syarat: 3y1 + 3y2<:: 11 maka Y1 ::: Y2 =- I
ODK (5) = F5(11) = Maks (F1 (2) Y1 +F2 (2) Y2 1) =Syarat: 3y 1 + 3 y 2 + 4y 3 <= 11 maka y 3 = 2 , ODK (6) = F 6{11) = Maks (F 1 (2) y 1 + F 2 (2) y ~ + F 3 (2) y3 ) = 8 x 2 = 16
Subplate(7,11) . Syarat: 3y1 <= 11 maka y1 = 3 i
ODK (4) = F4(11) = Maks (F, (7) y1 ) = 18x3 ~54 Syarat: 3y 1 +3y2<= 11 makay, = 1 dan y2 = ~ ODK (5) = F5(11) = Maks (F1 (7) y1 +F2 (7) y21) = 18 x 1 + 21 x 2 = 60 Syarat: 3y1 +3 y2 +4y3 <= 11 maka y2 = 1 da~ Y3 = 2 ODK (6) = F6(11) = Maks (F1 (7) y, +F2 (7) y~ +F3 (7) y3 ) = 21 x 1 +25 x 2= 71
b. Mengisi strip-strip vertikal Sub plate (2, 11) Syarat 2y1 <= 2 maka y1 = 1 ODK (4) = F4(2) = Maks (F1 (11) y1 ) = 16 x 1f 16 Syarat: 2y1 +3y/= 2 maka y1 = 1 • ODK (5) = F5(2} = Maks (F1 (11}y1 +F2 (11) l2 ) = 16 Syarat 2y, + 3 y2 + 4y3 <= 2 maka y, = 1 !
ODK(6)=F6(2)=Maks(F1 (11)y1 +F2 (11)y2 +F3 (11)y3 )=16
i
Sub plate (7, 11) Syarat: 2y, <= 7 maka y1 = 3 . ODK (4) = Fp) = Maks (F1 (11) y1 ) = 16 x 3f 48 Syarat: 2y1 + 3y2<= 7 maka y1 = 2 dan y2 = 1! ODK (5) = F5(7) = Maks (F1 (11) y1 +F2 (11) y2 ) = 16 x 2 +27 x 1 =59 Syarat: 2y 1 + 3 y2 + 4y3 <= 7 maka y2 = 1 danly3 = 1 ODK (6) = F6(7) = Maks (F1 (11) y1 +F2 (11) ~2 +F3 (11) y3 ) = 27 x 1 +36x 1 =
Langkah 3.3 (Mencari nilai profit untuk masing-ma~ng sub plate yang maksimal) Sub plate (2, 11)
1
v, = maks (V/"', V1 ""') = maks (16, 16) = 1$ (sub plate diisi strip-strip horisontal atau vertikat dengan pola (2 x 4) sebanyak 3
Sub plate (7, 11) V2 = maks (V2 hor, V2 "") = maks (71, 63) = 711 (sub plate diisi strip-strip horisontal dengan ~Ia (3 x 3) dan (4x3) sebanyak 1 dan (2,4) sebanyak 2 kali)
i
Langkah 3.4 (Mencari nilai profit plate yang maksi"'al) V3 =V1 +V2 =16+71=87 , Nilai optimal dari cutting pattern yang dihasilbn = 87, sisa = 12
c- 3
pola (3x3)
>t=2 i
n=2 langkah 3 (menentukan pemotongan guillotine) •
Untuk pemotongan Guillotine vertikal di ti~k Xj = 3. Hasilnya membentuk 2 dan (6,11). ·
langkah 3. 1 (mengenerate strip-strip horisontal ~an vertikal) a. Strip-strip horisontal ·
Sub Plate (3,11) Syarat: 3X, <= 3, X, = 1 ODK (1) = F1 (3) = Maks ( (3 X 3) X1] = 3 X 3 x 1 = 9 Syarat: 3X, + 4X2 <= 3, X1 = 1 ODK (2) = F 2 (3) = Maks [ (3 x 3) X, + (4 X G) X2J = 3 x 3 x 1 = 9 Syarat: 3X, + 4X2 + 2X3 <= 3, X, = 1 . ODK (3) = FJ (3) = Maks [ (3 X 3) x, + (4 X 3) x2 + (2 X 4) XJ] = 3 X 3 X 1 = 9
Sub Plate (6,11) Syarat: 3X1 <= 6, X,= 2 ODK (1) = F1 (6) = Maks [ (3 x 3) X1] = 3 x 3x 2 = 18 Syarat: 3X, + 4~ <= 6, X2 = 1 ODK (2) = F2 (6) = Maks [ (3 x 3) X1 + (4 x ~) ~ 1 = 4 x 3 x 1 = 12 Syarat: 3X, + 4X2 + 2X3 <= 6, X3 = 3 ODK (3) = F3 (6) = Maks ( (3 X 3) X1 + (4 ~ 3) ~ + (2 X 4) X3 J = 2 X 4 X 3 = 24
b. Strip-strip vertikal Sub Plate (3,11) Syarat: 4X1 <= 11, X1 = 2 ODK (1) = F1(11) = Maks [ (2 x4)X1] = 2~4x2 = 16 Syarat: 4X1 + 3X2 <=11, ~ = 3 · ODK (2) = F2 (11) = Maks [ (2 x 4) X,+ (3 0) ~ 1 = 3 x 3 x 3 = 27 Syarat: 3X1 + 4X2 + 2X3=11, \ = 3 ODK (3) = F3 (11) = Maks [ (2 x4)X1 +(3~3)~+ (4x3}X3 1 = 4x3x3 = 36
Sub Plate (6,11) sama dengan ODK (i) untuk sub plate (3,11)
langkah 3.2 (Mengisi Plate secara horisontal da~ vertikal) a. Mengisi strip-strip horisontal
Sub plate {3,11) Syarat: 3y, <= 11, y1 = 3 ODK (4) = F4(11) = Maks (F, (3) y,) = 9 x ~ = 27 Syarat: 3y1 + 3y2<= 11, y, = 3 · ODK (5) = F5(11) = Maks (F1 (3) y, + F2 (3)iy
2) = 9 x 3 = 27
Syarat: 3y1 + 3 y2 +4y3 <= 11, y1 = 1 dan ~3 = 2 ODK (6) = F6(11) = Maks (F1 (3) y1 + F2 (3j y2 + F3 (3) y3 ) = 9 x 1 + 9 x 2= 27
C-4
sub plate (3, 11)
Sub plate (6, 11) Syarat: 3y1 <= 11, Y1 = 3 ODK (4) = F4(11) = Maks (F1 (6) y1 ) = 18 * 3 =54 Syarat: 3y1 + 3y2<= 11, y1 = 2 dan y2 = 1 1
ODK (5) = F5(11) = Maks (F1 (6) y1 + F2 (6)y2
) = 18x2 + 12 x 1 = 48 Syarat: 3y1 + 3 y2 + 4y3 <= 11, y
1 = 1 dan y
3 = 2
ODK (6) = F6(11) = Maks (F1 (6) y1 + F2 (6) y2 + F
3 (6) y
3) = 18 x 1 + 24 x 2=
b. Mengisi strip-strip vertikal Sub plate (3, 11) Syarat: 2y1 <= 3, Y1 = 1 ODK (4) = Fp) = Maks (F1 (11) Y1 ) = 16 ~ 1= 16 Syarat: 2y1 + 3y2<= 3, y2 = 1 1
ODK (5) = F5(3) = Maks (F1 (11) y1 + F2 (11) y2
) = 27 x 1 = 27 Syarat: 2y1 + 3 y2 + 4y3 <= 3, y
2 = 1
ODK (6) = F6(3) = Maks (F1 (11) y1 + F2 (1 ~) y2 + F3
(11) y3
) = 27 x 1= 27
Sub plate (6, 11) Syarat: 2y1 <= 6, y1 = 3 ODK (4) = F4(6) = Maks (F1 (11) y1 ) = 16 ~ 3= 48 Syarat: 2y1 + 3y2<= 6, y2 = 2 !
ODK (5) = F5(6) = Maks (F1 (11) y1 + F2 (11) y2
) = 27 x 2 =54 Syarat: 2y1 + 3 y2 + 4y3 <= 6, y
2 = 2 :
ODK (6) = F6(6) = Maks (F1 (11) y1 + F2 (11) y2
+ F3
(11) y3
) = 27 x 2= 54
Langkah 3.3 (Mencari nilai profit uittuk masing-~sing sub plate yang maksimal) Sub plate (3, 11) V1 = maks (V1 hor, V1 "'") = maks (27, 27) = 27 (sub plate diisi strip-strip horisontal atau veftikal dengan pola (3 x 3) sebanyak
Sub plate (6, 11) , V2 = maks (V2 hor, V2 ver) = maks (66, 54)= 66 (sub plate diisi strip-strip horisontal dengarl2 buah pola (3 x 3) dan 3 buah kali)
Langkah 3.4 (Mencari nilai profit plate yang makslmal) ~=V+V=V+~=~ . 1 2
Nilai optimal dari cutting pattern yang dihaailkan = 93, sisa = 6 '
>ej=31 I
c- 5
(2.4) sebanyak 2
n=3 Langkah 3 (menentukan pemotongan guillotine) i
Untuk pemotongan Guillotine vertikal di tit~ Xj = 4. Hasilnya membentuk 2 dan (5, 11). 1
Langkah 3. 1 (mengenerate strip-strip horisontal ~an vertikal) a. Strip-strip horisontal
Sub Plate (4,11) Syarat: 3X1 <= 4, X1 = 1 OOK (1) = F1(4) = Maks [(3x3) X1] = 3x3ix 1 = 9 Syarat: 3X1 + 4\ <= 4, \ = 1 . OOK (2) = F2 (4) = Maks [(3 X 3)X1 + (4 x 3) \] = 4 X 3 X 1 = 12 Syarat: 3X1 + 4\ + 2X3 <= 4, X3 = 3 OOK (3) = F3 (4) = Maks [(3 X 3) X1 + (4 X 3) \ + (2 X 4) \] = 2 x 4 X 2 = 16
Sub Plate (5,11) Syarat: 3X1 <= 5, X1 = 1 ODK (1) = F1(5) = Maks [ (3x3)X1] = 3 x3!x 1 = 9 Syarat: 3X1 + 4X2 <= 5, \ = 1 ODK (2) = F2(5) = Maks [ (3 x 3) X1 + (4 x ~) X2] = 4 x 3 x 1 = 12 Syarat: 3X1 + 4\ + 2X3 <= 5, X1 = 1 dan X• = 1 ODK (3) = F3(5) = Maks [ (3 X 3) XI+ (4 X 3) x2 + (2 X 4) Xa l = (3 X 3 X 1) + (2 X 4 X 1) = 17
b. Strip-strip vertikal Sub Plate (4,11) Syarat: 4X1 <= 11, X,= 2 . ODK (1) = F1(11) = Maks ['(2 x4) X1] = 2 xl4 x 2 = 16 Syarat: 4X1 + 3\ <=11, \ = 3 OOK (2) = F2(11) = Maks [ (2 x4) X1 + (3 xi3) \1 = 3x3 x 3 = 27 Syarat: 3X1 + 4\ + 2X3 <=11, X3 = 3 ODK (3) = F3 (11) = Maks [ (2 X 4) XI + (3 ~ 3) x2 + (4 X 3) x3 J = 4 X 3 X 3 = 36
Sub Plate (5,11) sama dengan ODK (i) un(uk sub plate (4, 11)
Langkah 3.2 (Mengisi Plate secara horisontal dan vertikal) a. Mengisi strip-strip horisontal
Sub plate (4,11) Syarat: 3y1 <= 11, y1 = 3
1
OOK (4) = Fi11) = Maks (F1 (4) Y1 ) = 9 x 3 = 27 Syarat: 3y1 + 3y2 <= 11, y1 = 1 dan y1 = 2 ODK (5) = F5(11) = Maks (F1 (4) y1 + F2 (4)iy2) = 9 x 1 + 12 x 2 = 33 Syarat: 3y 1 + 3 y 2 + 4y 3 <= 11, y 2 = 1 dan y 3 = 2 ODK (6) = F6(11) = Maks (F1 (4) y1 + F
2 (4)y2 + F
3 (4) y3) = 12 x 1 + 17 x 2=
Sub plate (5,11) Syarat: 3y1 <= 11, y1 = 3 OOK (4) = F411) = Maks (F1 (5)y1 ) = 8x3i= 27 Syarat: 3y1 + 3y2<= 11, y1 = 1 dan y2 = 2 : ODK (5) = F5(11) = Maks (F1 (5) Y1 + F2 (5)ly2 ) = 9 x 1 + 12 x 2 = 33 Syarat: 3y1 + 3 y2 + 4y3 <= 11, y2 = 1 dan ~3 = 2 OOK (6) = F6(11) = Maks (F1 (5) y1 + F2 (5)iy2 + F3 (5) y3 ) = 12 x 1 + 17 x 2 =
b. Mengisi strip-strip vertikal Sub plate (4,11) Syarat: 2y1 <= 4, Y1 = 2 ODK (4) = Fp) = Maks (F1 (11) y1 ) = 16 xi2= 32
C-6
sub plate (4, 11)
Syarat: 2y1 + 3y2 <= 4, Y1 = 2 i
ODK (5) = F5(3) = Maks (F1 (11) Y1 + F2 (1~) y2 ) = 16 x 2= 32 Syarat: 2y1 + 3 y2 + 4y3 <= 3, y3 = 1 . ODK (6) = Fs(3) = Maks (F1 (11) y1 + F2 (1i1) y
2 + F3 (11) y3) = 36 x 1= 36
Sub plate (5,11) Syarat: 2y1 <= 5, Y1 = 2 ODK (4) = F4(5) = Maks (F1 (11) y1 ) = 16 * 2 = 32 Syarat: 2y1 + 3y2<= 5, y1 = 1 dan y2 = 1 • ODK (5) = F5(5) = Maks (F1 (11) y1 + F2 (1 ~) y2 ) = 16 x 1 + 27 x 1 = 43 Syarat: 2y1 + 3 y2 + 4y3 <= 5, y1 = 1 dan Y2! = 1 ODK (6) = F6(5) = Maks (F1 (11) Y1 + F2 (111) y2 + F3 (11) y3 ) = 16 x 1 +27 x 1 43
Langkah 3.3 (Mencari nilai profit untuk masing-,.,asing sub plate yang maksimal) Sub plate (4,11) I
V1 = maks 011 hor, V1 -) = maks (44, 36) =144
C-7
(sub plate diisi sebuah strip horisontal ~gan pola (4x3) dan dua kali strip sontal dengan 2 buah pola (2 x 4)) ;
Sub plate (5,11) V2 = maks (V
2 hor, V
2 ..,.) = maks (46, 43) =·46
(sub plate diisi sebuah strip horisontal de~gan pola (4x3) dan dua kali strip sontal dengan pola (3 x 3) dan (2 x 4)) ·
Langkah 3.4 (Mencari nilai profit plate yang mak$imal) V4 =V +V =44+46=90 ,
t 2
Nilai optimal dari cutting pattern yang dihalsilkan = 90, sisa = 9
p3
p3
n=4 Langkah 3 (menentukan pemotongan guillotine) 1
Untuk pemotongan Guillotine horisontal Q titik Xj = 3. Hasilnya membentuk buah sub plate (9, 3) dan (9,8).
Langkah 3. 1 (mengenerate strip-strip horisontal ~an vertikal) a. Strip-strip horisontal '
Sub Plate (9, 3) Syarat: 3X1 <= 9 maka X1 = 3 ODK (1) = F1 (9) = Maks I (3 x 3)X1] = 3 x ~ x 3 = 27 Syarat: 3X1 + 4~ <= 9 maka X1 = 3 . ODK (2) = F2 (9) = Maks I (3x3) xt + (4x!3) ~ J = 3x3 X 3 = 27 Syarat: 3X1 + 4~ + 2X3 <= 9 maka X1 = 4 i ODK (3) = F3 (9) = Maks I (3 X 3) XI+ (4 X 13) x2 + (2 X 4) x3 J = 2 X 4 X 4 = 32
Sub Plate (9,8) sama dengan ODK (i) unt~k sub plate (9, 3)
b. Strip-strip vertikal Sub Plate (9,3) Syarat: 4X1 <= 3 maka X, = -ODK (1) = F1 (3) = Maks [ (2 x 4) X1] =Syarat: 4X1 + 3X2 <=3 maka X2 = 1 ODK (2) = F
2 (3) = Maks [ (2 X 4) X1 + (3 X 3) X2 ] = 3 X 3 X 1 = 9
Syarat: 3X1 + 4X2 + 2X3=3 maka X3 = 1 · ODK (3) =Fa (3) = Maks [ (2 X 4) x, + (3 X Pl x2 + (4 X 3) Xal = (4 X 3 X 1) = 1
Sub Plate (9, 8) Syarat: 4X1 <= 8 maka X, = 2 . ODK (1) = F
1 (8) = Maks [ (2 x 4) X1] = 2 X 4 X 2 = 16
Syarat: 4X1 + 3~ <=8 maka ~ = 2 . ODK (2) = F
2 (8) = Maks [ (2 X 4) X1 + (3 xl3) ~] = 3 X 3 X 2 = 18
Syarat: 3X1 + 4~ + ~=8 maka X3 = 2 !
OOK (3) = F3
(8) = Maks [ (2 X 4) X1 + (3 Xl3) ~ + (4 X 3) ~] = (4 X 3 X 2) =
Langkah 3.2 (Mengisi Plate secara horisontal dan vertikal) a. Mengisi strip-strip horisontal
Sub plate (9, 3) Syarat: 3y1 <= 3 maka y1 = 1 ODK (4) = F4(3) = Maks (F1 (9) y1 } = 27 x!1 = 27 Syarat: 3y1 + 3y2<= 3 maka y1 = 1 ODK (5) = F
5(3) = Maks (F1 (9) y1 + F2 (9) ~2 ) = 27 x 1 = 27
Syarat: 3y1 + 3 y2 + 4y3 <= 3 maka y1 = 1 : ODK (6) = Fs(3) = Maks (P1 (9) y1 + F2 (9)!Y2 +Fa (9) Ya) = 27 x 1 = 27
Sub plate (9,8) Syarat: 3y1 <= 8 maka y1 = 2 ODK (4) = F4(8) = Maks (F1 (9) y,) = 27 x12 =54 Syarat: 3y, + 3y2<= 11 maka y1 = 2 · ODK (5} = F5(8) = Maks (F1 (9) y1 + F2 (9)IY2 ) =54 Syarat: 3y1 + 3 y2 + 4Ya <= 11 maka y3 = ~ ODK (6) = F6(8) = Maks (F1 (9) y1 + F2 (9~ y2 +Fa (9) Ya) = 32 x 2= 64
b. Mengisi strip-strip vertikal Sub plate (9,3) Syarat: 2y1 <= 9 maka y1 = 4 ODK (4) = F4(9) = Maks (F1 (3) y1 ) =Syarat: 2y1 + 3y2<= 9 maka y2 = 3 ODK (5) = F5(9) = Maks (F1 (3) y1 + F2 (3) y2 ) = 9 x 3 = 27 Syarat: 2y1 + 3 y2 + 4y3 <= 9 maka y2 = 3 ODK (6) = F6(9) = Maks (F, (3) y1 + F2 (3) Y2 + F3 (3) Y3 ) = 27
Sub plate (9,8) Syarat: 2y1 <= 9 maka y1 = 4 • ODK (4) = F4(9) = Maks (F1 (8) y1 ) = 16 ~ 4= 64 Syarat: 2y1 + 3y2<= 9 maka y1 = 3 dan y~ = 1 ODK (5) = F5(9) = Maks (F1 (8) y1 + F2 (8) y2 ) = 16 x 3 + 18 x 1 = 66 Syarat: 2y1 + 3 y2 + 4Ya <= 9 maka Y1 = ~i = Ya = 1 ODK (6) = F
6(9) = Maks (F1 (8) y1 + F2 (~ y2 + F3 (8) Ya) = 16x1 + 18 x 1 + X 1 =58
C-9
Langkah 3.3 (Mencari nilai profit untuk ing sub plate yang maksimal) Sub plate {9, 3) V, = maks (V, hor, V, ""') = maks (27, 27) (sub plate diisi strip-strip holisontal atau dengan 3 buah pola (3 x 3))
Sub plate (9, 8) V = maks (V hor V • .,. ) = maks (64 66)
2 2 ' 2 ' (sub plate diisi strip-strip vertikal dengan buah pola (3 x 3) dan dua buah (2,4) sebanyak 3 kali)
Langkah 3.4 (Mencari nilai profit plate yang m::olllcirn::on
Vl = v, + V2 = 27 + 66 = 93 Nilai optimal dan cutting pattern yang riihjo•~m..,,n = 93, sisa = 6
p1 Yj • 3 f--....1.......,.__,~-f
p1 p1 p1
n=5 Langkah 3 (menentukan pemoton~an uutllot~mel
Untuk pemotongan Guillotine holisontal titik Xj = 4. Hasilnya membentuk buah sub plate (9, 4) dan (9,7).
Langkah 3. 1 (mengenerate strip-strip hori a. Strip-strip horisontal
Sub Plate (9, 4) Syarat: 3X1 <= 9 maka X, = 3 ODK (1) = F1 (9) = Maks [ (3 x 3) X,]= 3 Syarat: 3X1 + 4X2 <= 9 maka X
1 = 3
ODK (2) = F2 (9) = Maks [ (3 X 3) X1 + (4 3) \] = 3 X 3 X 3 = 27 Syarat: 3X1 + 4\ + 2~ <= 9 maka X1 = 1 dan ~ = 3 ODK (3) = F3 (9) = Maks ( (3 X 3) X1 + (4 3)\ + (2 X 4) X
3] = (3 X 3 X 1) + (2 4 X 3) = 33
Sub Plate (9,7) sama dengan ODK (i)
b. Strip-strip vertikal Sub Plate (9,4) Syarat: 4X, <= 4 maka X, = 1
sub plate (9, 4)
ODK (1) = F1(4) = Maks [ (2 x4)X1] = 2 x 1 =8
Syarat: 4X1 + 3X2 <=4 maka \ = 1 ODK (2) = F2 (4) = Maks [ (2 x 4) X, + (3 3) X
2] = 3 x 3 x 1 = 9
Syarat: 3X, + 4X2 + 2X3 <=4 maka X3 = 1
ODK (3) = F3 (4) = Maks [ (2 X 4) X1 + (3 3) \ + (4 x 3) X3
] = (4 x 3 x 1) = 1
Sub Plate (9, 7) Syarat: 4X1 <= 7 maka X, = 1 ODK (1) = F,(7) = Maks [ (2 x4)X,] = 2 Syarat: 4X, + 3Xz <=7 maka X2 = 2 ODK (2) = F2 (7) = Maks [ (2 x 4) X, + (3 3) X2 ] = 3 x 3 x 2 = 18
Syarat: 3X1 + 4X2 + 2\ <= 7 maka X3 = 2 ODK (3) = F3 (7) = Maks [ (2 X 4) X1 + (3 3) X
2 + (4 X 3) X3 ] = (4 X 3 X 2) =
Langkah 3.2 (Mengisi Plate secara horisontal vertikal) a. Mengisi strip-strip horisontal
Sub plate (9, 4) Syarat: 3y1 <= 4 maka y1 = 1 ODK (4) = F4(4) = Maks (F1 (9) y1 ) = 27 x 1 = 27 Syarat: 3y1 + 3y2<= 4 maka y
1 = 1
ODK (5) = F5(4) = Maks (F1 (9) Y1 + F2
(9) 2
) = 27 x 1 = 27 Syarat: 3y1 + 3 y2 + 4y3 <= 4 maka y
3 = 1
ODK (6) = F6(4) = Maks (F1 (9) y1 + F2
(9) + F3
(9) y3
) = 33 x 1 = 33
Sub plate (9, 7) Syarat: 3y1 <= 7 maka y1 = 2 ODK (4) = Fp) = Maks (F1 (9) Y1 ) = 27 x Syarat: 3y1 + 3y2<= 7 maka y1 = 2 ODK (5) = Fs(?) = Maks (F1 (9) Y1 + F
2 (9)
Syarat: 3y1 + 3 y2 + 4y3 <= 7 maka y1 = 1
ODK (6) = F6(7) = Maks (F1 (9) Y1 + F2
b. Mengisi strip-strip vertikal Sub plate (9,4) Syarat: 2y1 <= 9 maka y1 = 4
) =54 y3 = 1
2 + F3 (9} y3 } = 27 X 1 + 33 X 1=
= 32 1 )=8x3+9x1=33
y3= 1
c- 10
ODK (4) = F4(9) = Maks (F1 (4) y1 ) = 8 x Syarat: 2y1 + 3y2<= 9 maka y1 = 3 dan y
2 ODK (5) = F5(9) = Maks (FJ (4) Y1 + F2 (4) Syarat: 2y1 + 3 y2 + 4y3 <= 9 maka y1 = Y
2 ODK (6) = F6(9) = Maks (F1 (4) Y1 + F2 (4) + F3 (4) y3 ) = 8x1 + 9x1 + 12x1 = 29
Sub plate (9, 7) Syarat: 2y1 <= 9 maka y1 = 4 ODK (4) = F4(9) = Maks (F
1 (7) Y
1) = 8 x
Syarat: 2y1 + 3y2<= 9 maka y2 = 3
ODK (5) = F5(9)< = Maks (F1 (7) Y1 + F
2 Syarat: 2y1 + 3 y2 + 4y3 <= 9 maka y
2 = 3
ODK (6) = F6(9) = Maks (F1 (7) Y1 + F2
(7)
Langkah 3.3 (Mencari nilai profit untuk masma-·IU!ima sub plate yang maksimal) Sub plate (9,4) v1 : maks (V1 hor 1 v1 vtr) : maks (331 33) (sub plate diisi strip-strip horisontal atau
Sub plate {9, 7) v2 = maks (V2 horl v2 ver} = maks (601 54} (sub plate diisi strip-strip horisontal (313))
60 3 buah pola (3 I 3) dan 3 buah
(313))
(2,4) dan pola
Langkah 3.4 (Mencari nilai profit plate yang VJ :;: v, + V2 :;: 33 + 60 :;: 93 Nilai optimal dari cutting pattern yang '"n~'""K'•" = 92, sisa = 7
Yj=4
Fase 0 • cut untuk Plate (9, 11)
Langkah 3.1 (Mengenerate strip-strip horisontal a. Strip-strip Horisontal
Syarat: 3X, <= 9 maka X1 = 3 ODK (1) = F1 (9) = Maks [ (3 x 3) X,]= 3 x Syarat: 3X, + 4X2 <= 9 maka X1 = 3
p1
ODK (2) = F2 (9) = Maks [ (3 X 3) x, + (4 3) x2 I = 3 X 3 X 3 = 27 Syarat: 3X1 + 4~ + 2Xa <= 9 maka X1 = 1 dan X3 = 3 ODK (3) = Fa (9) = Maks [ (3 x 3) X1 + (4 3) ~ + (2 x 4) Xa] = (3 X 3 X 1) +(2 X 4 X 3) = 33
b. Strip-strip Vertikal Syarat: 4X1 <= 11, X,= 2 ODK (1) = F1(11) = Maks [ (2x4) X,]= 2 Syarat: 4X1 + 3~ <=11, X2 = 3 ODK (2) = F2(11) = Maks [ (2 x 4) X1 + (3 Syarat: 3X, + 4\ + 2Xa <=11, Xa = 3 ODK (3) = F3(11) = Maks [ (2 x 4) X,+ (3 3) X2 + (4 X 3) X3 ] = 4 X 3 X 3 = 36
Langkah 3.2 (Mengisi strip-striphorisontal dan ,_,..,,,.,. .. a. Horisontal
Syarat: 3y, <= 11 maka y1 = 3 ODK (4):;: F4(11) = Maks (F1 (9) y,) = 27 Syarat: 3y1 + 3y2<= 11 maka y1 = 3 ODK (5) = F5(11) = Maks (F1 (9) Y1 + F2 Syarat: 3y1 + 3 y2 + 4y3 <= 11 maka y1 = ODK (6) = F6(11) = Maks (F1 (9) y1 + F2
b. Vertikal Syarat: 2y1 <= 9 maka y1 = 4 ODK (4) = F4(9) = Maks (F1 (11) y1 ) = 16 Syarat: 2y1 + 3y2<= 9 maka y2 = 3 ODK (5) = F5(9) = Maks (F1 (11) y, + F2 (
y2) = 81 dan y3 = 2 Y2 +Fa (9) Y3 ) = 27 X 1 + 33 X 2=
Syarat: 2y, + 3 y2 + 4y3 <= 9 maka y, = y2 y3= 1 ODK (6) = F6(9) = Maks (F1 (11) Y1 + F2 1) Y2 + F3 (11) Y3 ):;:
16 X 1 + 27 X 1 + 36 X 1 = 79
Langkah 3.3 (Mencari nilai profit untuk mal&ln~I·IJl,aslriQ sub plate yang maksimal) v2 = maks 012 nor, v2 '"') = maks (93, 81) (sub plate diisi strip horisontal dengan 3 pola (3 x 3) sekali dan strip buah pola (2,4) dan satu buah pola (3, 3) ,.,c:>l'\,nv.,ll 2 kali )
C- II
dengan 3
Langkah 3.4 (Mencari nilai profit plate yang \f = V/'"' = 93 Nilai optimal dari cutting pattern yang nmiliSIIK<~n = 93, sisa = 6
Langkah 4. (Menyimpan nilai cutting pattern Xj = 3 (pemotongan guillotine vertikal) V= 93 sisa 6
c- 12
![Dinas Kesehatan Kabupaten Kediri...[\ V^A GJK THY RKS LM oAF WO YKM MHY KSK LH DXWl^Aml H i irS TKK [n ]A f~U `n ZJj YKG LZ ]AeXFU MTZ SIT ZSK [R ]VFWVFU3F n L CRG YKS TS V lqVF MjL](https://static.fdokumen.com/doc/165x107/60a4e1a9c911af70503d4478/dinas-kesehatan-kabupaten-kediri-va-gjk-thy-rks-lm-oaf-wo-ykm-mhy-ksk-lh.jpg)
