MAKALAH

GEOMETRI BIDANG

Dosen Pengampuh

SYAIFUL HUDA, M.Si.

Oleh

MOH. HASAN BISRI

12421002

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH GRESIK

2015

BAB I

MATERI

A. Melukis Lingkaran Luar dan Lingkaran Dalam Segitiga

1. Melukis Lingkaran Luar Segitiga

Titik pusat lingkaran luar suatu segitiga adalah titik potong ketiga garis sumbu

sisi-sisinya. Oleh karena itu, untuk dapat melukis lingkaran luar segitiga, kita harus

melukis dulu garis sumbu ketiga sisi segitiga tersebut. Perhatikan langkah-langkah

berikut.

a. Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalnya ΔPQR.

Kemudian, lukis lah garis sumbu PQ.

b. Lukislah garis sumbu QR sehingga memotong garis

sumbu PQ di titik O.

c. Hubungkan O dan Q.

d. Lukislah lingkaran dengan jari-jari PQ dan berpusat di O.

Lingkaran tersebutmerupakan lingkaran luar ΔPQR.

2. Melukis Lingkaran Dalam Segitiga

Jika titik pusat lingkaran dalam segitiga adalah titik potong ketiga garis bagi

sudut segitiga tersebut maka hal pertama yang harus kita lakukan adalah menentukan

titik pusatnya. Agar lebih jelas, perhatikan langkah-langkah melukis lingkaran dalam

segitiga, sebagai berikut:

a. Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalkan Δ PQR.

Kemudian, lukislah garis bagi P.

b. Lukislah garis bagi Q sehingga memotong garis bagi P

di titik O.

c. Jari-jari diperoleh dengan cara menarik garis tegak lurus

dari titik O ke salah satu sisisegitiga. Misalnya OA, tegak

lurus PQ.

d. Lukislah lingkaran dengan jari-jari OA dan berpusat di

titik O. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam Δ

PQR.

B. Menghitung Luas dan Keliling Segitiga

1. Menghitung Luas Segitiga

Perhatikan gambar di bawah ini.

Dalam menentukan luas ΔABC di atas, dapat dilakukan dengan membuat garis

bantuan sehingga terbentuk persegi panjang ABFE seperti Gambar di bawah ini.

Dapatkah Anda membuktikan bahwa AC dan BC membagi persegi panjang ADCE

dan BDCF menjadi dua sama besar?

Dari gambar di atas diperoleh bahwa ΔADC sama dan sebangun dengan ΔAEC

dan ΔBDC sama dan sebangun dengan ΔBCF, maka diperoleh:

Luas ΔADC = ½ x L.ADCE + ½ x L.BDCF

Luas ΔADC = L.ΔADC + L.ΔBDC

Luas ΔADC = ½ x AD x CD + ½ x BD x CD

Luas ΔADC = ½ CD x (AD + CD)

Luas ΔADC = ½ CD x AB

Panjang CD merupakan tinggi segitiga dan panjang AB merupakan alas segitiga,

sehingga secara umum luas segitiga dengan panjang alas a dan tinggi t adalah:

L = ½ alas x tinggi

L = ½ a x t

2. Menghitung Keliling Segitiga

Perhatikan gambar di bawah ini.

Keliling suatu bangun datar merupakan jumlah dari panjang sisi-sisi yang

membatasinya, sehingga untuk menghitung keliling dari sebuah segitiga dapat

ditentukan dengan menjumlahkan panjang dari setiap sisi segitiga tersebut.

Sekarang perhatikan segitiga ABC tersebut. Panjang AB = sisi c, panjang AC =

sisi c dan panjang BC = sisi a. Maka keliling segitiga dapat ditentukan yakni:

Keliling ΔABC = AB + BC + AC

Keliling ΔABC = c + a + b

Jadi, keliling ΔABC adalah a + b + c.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa suatu segitiga dengan panjang sisi a,

b, dan c, kelilingnya adalah:

K = a + b + c.

C. Menghitung Panjang Jari-jari Lingkaran Luar dan Lingkaran Dalam Segitiga

1. Menghitung Panjang Jari-jari Lingkaran Dalam Segitiga

Perhatikan gambar di atas, jari-jari lingkarang yang akan kita cari adalah OE = F

= OD. Ketiganya sama dengan tinggi dari segitiga I, II dan III.

Luas Segitiga Besar = Luas ΔI + Luas ΔII + Luas ΔIII

Luas Segitiga Besar = 1/2 (AB x OD) + 1/2 ( CB x OE) + 1/2 (AC x OF)

Luas Segitiga Besar = 1/2 (AB x r) + 1/2 (CB x r) + 1/2 (AC x r)

Luas Segitiga Besar = 1/2 r (AB + CB + C)

Luas Segitiga Besar = 1/2. r. Keliling Segitiga

Luas Segitiga Besar = r. S (setengah keliling bisa dilambangkan dengan s)

Jadi L = r . S , sehingga r = L/S

Jadi, jari-jari lingkaran dalam dapat dicari dengan membagi luas segitiga dengan

1/2 kelilingnya. Sekarang yang menjadi masalah adalah bagaimana mencari luas

segitiganya? Karena segitiga di atas adalah segitiga sembarang, kita bisa

menggunakan rumus:

Jadi rumus menghitung jari-jari lingkaran dalam menjadi:

Keterangan:

L = Luas Segitiga

S = 1/2 keliling Δ = 1/2 (a+b+c)

Rumus di atas tergantung jenis segitiga. Kalau segitiga siku-siku akan lebih enak

mencari luasnya dengan rumus 1/2 alas kali tinggi daripada menggunakan s.

2. Menghitung Panjang Jari-jari Lingkaran Luar Segitiga

Lingkaran luar segitiga adalah lingkaran yang dibentuk dari perpanjangan garis

bagi tiga sisi segitiga dan kelilinya akan tepat menyinggung tiga titik sudut segitiga

yang ada di dalamnya. Perhatikan gambar di bawah ini.

Pada gambar diatas, terdapat sebuah segitiga ABC dengan dengan sisi a,b, dan c.

Ada lingkaran luar yang berpusat di titik O yang mengitari segitiga tersebut. OA, OB,

OC, dan OD masing-masing adalah jari-jari lingkaran luar yang akan kita cari

rumusnya. Untuk membantu menemukan rumus jari-jari, kita memakai garis bantu

yaitu garis tinggi segitiga CT dan garis diameter yang ditarik dari titik C (garis CD).

Coba kita perhatikan ΔCAD dengan ΔCTB

CAD = CTB = 90° (ingat sifat sudut keliling yang menghadap diameter sama

dengan 90º)

ADC = TBC (ingat bahwa dua sudut keliling yang menghadap busur

lingkaran yang sama adalah sama besar)

Karena ada dua pasang sudut yang sama maka bisa disimpulkan bahwa ΔCAD dan

ΔCTB sebangun (kongruen). Karena sebangun maka perbandingan sisi-sisinya akan

sama.

BC/CD = CT/AC

CD (diameter) = BC x AC / CT

CD (diameter) = a x b / CT……. (persamaan 1)

Nilai CT bisa kita cari dengan persamaan Luas

Luas ΔABC = 1/2 AB x CT

2 Luas ΔABC = AB x CT

CT = 2 Luas ΔABC / AB

CT = 2L / c……..(persamaan 2)

Kita masukkan persamaan 2 ke persamaan 1

CD = a x b / CT

CD = a x b / (2L/c)

CD = a x b x c / 2L

Jari-jari = 1/2 CD

r = 1/2 CD = a x b x c / 4L

Keterangan:

a,b,dan c = sisi-sisi segitiga

L = luas segitiga

BAB II

SOAL DAN PEMBAHASAN

Permasalahan 1

Perhatikan gambar di bawah ini.

Pada ΔDEF di atas diketahui DE = 14 cm, DF = 21 cm, EG = 5 cm, dan FG = 12 cm.

Hitunglah keliling ΔDEF.

Penyelesaian:

Cari panjang EF dengan teorema phytagoras, yakni:

EF2 = EG

2 + FG

2

EF2 = 5

2 + 12

2

EF2 = 25+144

EF = √169

EF = 13 cm

Keliling ΔDEF = DE + EF + DF

Keliling ΔDEF = 14 cm + 13 cm + 21 cm

Keliling ΔDEF = 48 cm

Jadi, keliling ΔDEF adalah 48 cm.

Permasalahan 2

Perhatikan gambar di bawah ini.

Pada ΔDEF di atas diketahui DE = 14 cm, DF = 21 cm, EG = 5 cm, dan FG = 12 cm.

Hitunglah luas ΔDEF.

Penyelesaian:

Luas ΔDEF = 1/2 × DE × FG

Luas ΔDEF = 1/2 × 14 × 12 = 84 cm2

Jadi, luas ΔDEF adalah 84 cm2.

Permasalahan 3

Hitunglah luas daerah masing-masing segitiga pada gambar di bawah ini.

Penyelesaian:

(i) Luas segitiga ABC dapat dicari dengan persamaan:

L.ΔABC = ½ x alas x tinggi

L.ΔABC = ½ x AB x BC

L.ΔABC = ½ x 8 cm x 6 cm

L.ΔABC = 24 cm2

(ii) Luas segitiga DEF dapat dicari dengan persamaan:

L.ΔDEF = ½ x alas x tinggi

L.ΔDEF = ½ x 12 cm x 6 cm

L.ΔDEF = 36 cm2

(iii) Luas segitiga PQR dapat dicari dengan persamaan:

L.ΔPQR = ½ x alas x tinggi

L.ΔPQR = ½ x 16 cm x 4 cm

L.ΔPQR = 32 cm2

(iv) Luas segitiga STU dapat dicari dengan persamaan:

L.ΔSTU = ½ x alas x tinggi

L.ΔSTU = ½ x ST x RU

L.ΔSTU = ½ x 5 cm x 4 cm

L.ΔSTU = 10 cm2

Permasalahan 4

Diketahui segitiga ABC dengan garis tinggi AD seperti gambar berikut.

Jika BAC = 90°, AB = 4 cm, AC = 3 cm, dan BC = 5 cm, tentukan

a. luas segitiga ABC;

b. panjang AD.

Penyelesaian:

a. Karena BAC = 90° salah satu kaki sudutnya bisa dijadikan tinggi atau alas, maka:

L.ΔABC = ½ x alas x tinggi

L.ΔABC = ½ x AB x AC

L.ΔABC = ½ x 4 cm x 3 cm

L.ΔABC = 6 cm2

b. Panjang AD dapat dicari dengan konsep luas segitiga yaitu:

L.ΔABC = ½ x alas x tinggi

L.ΔABC = ½ x BC x AD

6 cm2 = ½ x 5 cm x AD

AD = 6 cm2/2,5 cm

AD = 2,4 cm

Permasalahan 5

Diketahui luas sebuah segitiga adalah 165 cm2 dan panjang alasnya 22 cm. Hitunglah tinggi

segitiga.

Penyelesaian:

L.Δ = ½ x alas x tinggi

165 cm2 = ½ x 22 cm x tinggi

165 cm2 = 11 cm x tinggi

tinggi = 165 cm2/11 cm

tinggi = 15 cm

Permasalahan 6

Perhatikan gambar berikut.

Hitunglah

a. luas segitiga ABD;

b. luas segitiga BCD;

c. luas bangun ABCD.

Penyelesaian:

a. Luas segitiga ABD dapat dicari dengan rumus:

L.ΔABD = ½ x alas x tinggi

L.ΔABD = ½ x AB x DE

L.ΔABD = ½ x 14 cm x 9 cm

L.ΔABD = 63 cm2

b. Luas segitiga BCD dapat dicari dengan rumus:

L.ΔBCD = ½ x alas x tinggi

L.ΔBCD = ½ x CD x DE

L.ΔBCD = ½ x 24 cm x 9 cm

L.ΔBCD = 108 cm2

c. Luas bangun ABCD dapat dicari dengan persamaan:

L.ABCD = L.ΔABD + L.ΔBCD

L.ABCD = 63 cm2 + 108 cm

2

L.ABCD = 171 cm2

Permasalahan 7

Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 23 cm, 27, dan 32 cm. Hitunglah jari-jari

lingkaran luar segitiga tersebut!

Penyelesaian:

Misalkan

a = 23 cm

b = 27 cm

c = 32 cm

s = ½ keliling segitiga

s = ½ (a + b + c)

s = ½ (23 + 27 + 32)

s = 41 cm

LΔ = √

LΔ = √

LΔ = √

LΔ = √

LΔ = 304,94 cm2

r = (a × b × c)/ (4 × LΔ)

r = (23 × 27 × 32)/ (4 × 304,94)

r = 19872/1219,76

r = 16,3 cm

Permasalahan 8

Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 8 cm, 12, dan 16 cm. Hitunglah jari-jari

lingkaran luar segitiga, keliling lingkaran luar segitiga, dan luas lingkaran luar segitiga.

Penyelesaian:

Misalkan

a = 8

b = 12

c = 16

s = ½ keliling segitiga

s = ½ (a + b + c)

s = ½ (8 + 12 + 16)

s = 18 cm

LΔ = √

LΔ = √

LΔ = √

LΔ = √

LΔ = 46,48 cm2

r = (a × b × c)/ (4 × LΔ)

r = (8 × 12 × 16)/ (4 × 46,48)

r = 1536/185,92

r = 8,26 cm

Untuk mencari keliling lingkaran kita gunakan rumus keliling lingkaran yaitu:

K = 2πr

K = 2 x 3,14 x 8,26 cm

K = 51,87 cm

Untuk mencari luas lingkaran gunakan rumus luas lingkaran yaitu:

L = πr2

L = 3,14 x (8,26 cm)2

L = 214,23 cm2

Permasalahan 9

Perhatikan gambar di bawah ini!

Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 6 cm, 17, dan 19 cm. Hitunglah jari-jari

lingkaran luar segitiga dan luas daerah yang diarsir.

Penyelesaian:

Misalkan

a = 6

b = 17

c = 19

s = ½ keliling segitiga

s = ½ (a + b + c)

s = ½ (6 + 17 + 19)

s = 21 cm

LΔ = √

LΔ = √

LΔ = √

LΔ = √

LΔ = 50,20 cm2

r = (a × b × c)/ (4 × LΔ)

r = (6 × 17 × 19)/ (4 × 50,2)

r = 1938/200,8

r = 9,65 cm

Untuk mencari luas lingkaran gunakan rumus luas lingkaran yaitu:

LΘ = πr2

LΘ = 3,14 x (9,65 cm)2

LΘ = 292,40 cm2

Untuk mencari luas mencari luas yang diarsir yaitu:

L = LΘ - LΔ

L = 292,40 cm2 - 50,20 cm

2

L = 242,20 cm2

Permasalahan 10

Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 23 cm, 27, dan 32 cm. Hitunglah jari-jari

lingkaran dalam segitiga tersebut!

Penyelesaian:

Misalkan a = 23, b = 27, dan c = 32

s = ½ keliling segitiga

s = ½ (a + b + c)

s = ½ (23 + 27 + 32)

s = 41 cm

L Δ = √

L Δ = √

L Δ = √

L Δ = √

L Δ = 304,94 cm2

r = L Δ/s

r = 304,94 cm2/41 cm

r = 7,4 cm

Permasalahan 11

Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 8 cm, 12, dan 16 cm. Hitunglah:

a. Jari-jari lingkaran dalam segitiga

b. Keliling lingkaran dalam segitiga

c. Luas lingkaran dalam segitiga

Penyelesaian:

a. Misalkan a = 8, b = 12, dan c = 16

s = ½ keliling segitiga

s = ½ (a + b + c)

s = ½ (8 + 12 + 16)

s = 18 cm

L Δ = √

L Δ = √

L Δ = √

L Δ = √

L Δ = 46,48 cm2

r = L Δ/s

r = 46,48 cm2/18 cm

r = 2,58 cm

b. Untuk mencari keliling lingkaran kita gunakan rumus keliling lingkaran yaitu:

K = 2πr

K = 2 x 3,14 x 2,58 cm

K = 16,20 cm

c. Gunakan rumus luas lingkaran yaitu:

L = πr2

L = 3,14 x (2,58 cm)2

L = 20,9 cm2

Permasalahan 12

Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 9 cm, 11, dan 18 cm. Hitunglah:

a. Jari-jari lingkaran dalam segitiga

b. Keliling lingkaran dalam segitiga

c. Luas lingkaran dalam segitiga

Penyelesaian:

a. Misalkan a = 9, b = 11, dan c = 18

s = ½ keliling segitiga

s = ½ (a + b + c)

s = ½ (9 + 11 + 18)

s = 19 cm

L Δ = √

L Δ = √

L Δ = √

L Δ = √

L Δ = 38,99 cm2

r = L Δ/s

r = 38,99 cm2/19 cm

r = 2,05 cm

b. Untuk mencari keliling lingkaran kita gunakan rumus keliling lingkaran yaitu:

K = 2πr

K = 2 x 3,14 x 2,05 cm

K = 12,87 cm

c. untuk mencari luas lingkaran gunakan rumus luas lingkaran yaitu:

L = πr2

L = 3,14 x (2,05 cm)2

L = 13,20 cm2

Permasalahan 13

Pada gambar di bawah ini!

OD adalah jari-jari lingkaran dalam segitiga ABC. Jika AB = 13 cm, BC = 9 cm, dan AC = 6

cm, hitunglah:

a. Luas segitiga ABC

b. Panjang OD

c. Luas lingkaran

d. Luas daerah yang diarsir

Penyelesaian:

a. Misalkan:

BC = a = 9

AC = b = 6

AB = c = 13

s = ½ keliling ΔABC

s = ½ (a + b + c)

s = ½ (9 + 6 + 13)

s = 14 cm

Luas ΔABC = √

Luas ΔABC = √

Luas ΔABC = √

Luas ΔABC = √

Luas ΔABC = 23,66 cm2

Jadi Luas segitiga ABC adalah 23,66 cm2

b. panjang OD dapat di cari dengan menggunakan rumus mencari jari-jari lingkaran dalam

segitiga, yaitu:

r = Luas ΔABC/s

OD = Luas ΔABC/s

OD = 23,66 cm2/14 cm

OD = 1,69 cm

c. Untuk mencari luas lingkaran seperti biasa kita gunakan rumus luas lingkaran, yaitu:

L = πr2

L = 3,14 x (1,69 cm)2

L = 8,97 cm2

d. Luas daerah yang diarsir dapat dicari dengan cara mengurangkan luas segitiga dengan luas

lingkaran, yakni:

L. arsir = Luas ΔABC – Luas Lingkaran

L. arsir = 14,69 cm2

BAB III

KESIMPULAN

1. Titik pusat lingkaran luar suatu segitiga adalah titik potong ketiga garis sumbu sisi-

sisinya. Oleh karena itu, untuk dapat melukis lingkaran luar segitiga, kita harus

melukis dulu garis sumbu ketiga sisi segitiga tersebut.

2. Titik pusat lingkaran dalam segitiga adalah titik potong ketiga garis bagi sudut

segitiga tersebut maka hal pertama yang harus kita lakukan adalah menentukan titik

pusatnya.

3. Dalam menentukan rumus luas Segitiga, dapat dilakukan dengan membuat garis bantu

sehingga terbentuk persegi panjang.

4. Keliling suatu bangun datar merupakan jumlah dari panjang sisi-sisi yang

membatasinya, sehingga untuk menghitung keliling dari sebuah segitiga dapat

ditentukan dengan menjumlahkan panjang dari setiap sisi segitiga tersebut

5. Jari-jari lingkaran dalam segitiga dapat dicari dengan membagi luas segitiga dengan

1/2 kelilingnya.

6. Jari-jari lingkaran luar segitiga dapat dicari dengan mengalikan ketiga sisi segitiga

tersebut dan membaginya dengan 4 kali luas segitiga.

REFERENSI

Nama Tidak Diketahui. 2013. Cara Mencari Keliling dan Luas Segitiga. Diakses pada 10

Oktober 2015 dari Materi Mafia Online.

http://mafia.mafiaol.com/2013/01/keliling-dan-luas-segitiga.html

Nama Tidak Diketahui. 2015. Melukis Lingkaran Dalam dan Luar Suatu Segitiga. Diakses

pada 10 Oktober 2015 dari Hai Matematika. http://hai-

matematika.blogspot.co.id/2015/02/melukis-lingkaran-dalam-dan-lingkaran.html

Nama Tidak Diketahui. 2013. Rumus Jari-jari Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar

Segitiga. Diakses pada 10 Oktober 2015 dari Rumus Hitung.

http://rumushitung.com/2014/12/22/rumus-jari-jari-lingkaran-dalam-dan-lingkaran-

luar-segitiga/