12 VektorTangen Dan Normal Satuan
-
Upload
heri-susanto -
Category
Documents
-
view
41 -
download
0
description
Transcript of 12 VektorTangen Dan Normal Satuan
-
AWAL
KALKULUS IIKALKULUS II(TKE 201 / WAJIB)(TKE 201 / WAJIB)
DosenDosen PengajarPengajar::Drs. Ir. Drs. Ir. MochMoch. . DhofirDhofir, MT., MT.
-
MATERI
AWAL
RuangRuang DimensiDimensi TigaTiga dandan VektorVektorFungsiFungsi DinilaiDinilai VektorVektorDerivatifDerivatif ParsialParsialIntegral Integral LipatLipatKalkulusKalkulus VektorVektor
1
2
3
4
5
-
AWAL
2.1 2.1 PendahuluanPendahuluan2.2 2.2 KalkulusKalkulus FungsiFungsi DinilaiDinilai VektorVektor2.3 2.3 PerubahanPerubahan Parameter; Parameter; PanjangPanjang BusurBusur2.4 2.4 VektorVektor TangenTangen dandan Normal Normal SatuanSatuan2.5 2.5 KurvaturKurvatur2.6 2.6 PergerakanPergerakan SepanjangSepanjang KurveKurve
Fungsi Dinilai Vektor
-
AWAL
2.4 Vektor Tangen dan Normal Satuan
DalamDalam seksiseksi iniini akanakandidiskusikandidiskusikan beberapabeberapa sifatsifatgeometrisgeometris fungsifungsi dinilaidinilai vektorvektor. . TerutamaTerutama aplikasiaplikasi pentingpentingadalahadalah untukuntuk mempelajarimempelajari gerakgeraksepanjangsepanjang kurvekurve..
-
AWAL
A.A. VektorVektor TangenTangen SatuanSatuanB.B. VektorVektor Normal Normal SatuanSatuanC.C. VektorVektor Normal Normal SatuanSatuan DalamDalamD.D. VektorVektor BinormalBinormal dlmdlm RuangRuang
3D3D
2.4 Vektor Tangen dan Normal Satuan
-
VektorVektor tangentangen satuansatuan TT(t(t) ) atauatauT(sT(s) ) didefinisikandidefinisikan sebagaisebagai ::
AWAL
)('r)(T
0)('r,)('r)('r)(T
sssbusurpanjangbentukdalamdan
tttt
A. Vektor Tangen Satuan
-
AWAL
A. Vektor Tangen Satuan
-
DalamDalam ruangruang 2D, 2D, adaada duadua vektorvektorsatuansatuan ygyg normal normal padapada TT(t(t),),sedangkansedangkan padapada ruangruang 3D 3D adaada taktakterhinggaterhingga vektorvektor satuansatuan yang normal yang normal padapada vektorvektor TT(t(t).). KarenaKarena TT(t(t))= 1= 1adalahadalah konstankonstan, , makamaka menurutmenuruttheorematheorema TT(t(t)) tegaktegak luruslurus padapada TT(t(t).).
AWAL
B. Vektor Normal Satuan
-
AWAL
B. Vektor Normal Satuan
T(t)
C
x
y
T(t)
y
z
x
C
2D2D 3D3D
-
AWAL
B. Vektor Normal Satuan
JikaJika TT(t(t) ) 0, 0, makamaka kitakitamendefinisikanmendefinisikan vektorvektor normal normal satuansatuan NN(t(t)) padapada CC didi tt dengandengan ::
VektorVektor N(tN(t)) tegaktegak luruslurus T(tT(t)) dandansearahsearah dengandengan TT(t(t))
1)(N)(T')(T')(N tdan
ttt
-
AWAL
DalamDalam kasuskasus khususkhusus dimanadimanakurvekurve C C adalahadalah grafikgrafik rr(s(s), ), dandan s s parameter parameter panjangpanjang busurbusur, , makamakapernyataanpernyataan untukuntuk vektorvektor normal normal menjadimenjadi ::
B. Vektor Normal Satuan
)(r")(r")(N
sss
-
AWAL
JikaJika T T vektorvektor tangentangen satuansatuan padapadakurvekurve C C dalamdalam ruangruang 2D, 2D, makamaka adaadaduadua vektorvektor yang yang tegaktegak luruslurus padapada T. T. UntukUntuk mendapatkanmendapatkan normal normal satuansatuanprinsipilprinsipil N, N, kitakita akanakan mendefinisikanmendefinisikansudutsudut = = (t) (t) berlawananberlawanan araharah jarumjarumjam jam ygyg diukurdiukur daridari sumbusumbu--xx positifpositifpadapada T.T.
C. Vektor Normal Satuan Dalam
-
AWAL
C. Vektor Normal Satuan Dalam
TT = (= (coscos) ) aaxx + (sin+ (sin) ) aayy
-
AWAL
C. Vektor Normal Satuan Dalam
KarenaKarena TT panjangnyapanjangnya 11, , makamaka dapatdapatdinytakandinytakan sebagaisebagai ::
TT = (= (coscos) ) aaxx + (sin+ (sin) ) aayyDenganDengan menggunakanmenggunakan dalildalil rantairantai, , didapatdidapat
)(')()('T
)(cos)sin()('T
TT)('T
ttntdtdaat
dtd
dd
dtdt
yx
-
AWAL
DimanaDimana,,
n(tn(t) = () = (-- sinsin)) aaxx + (+ (coscos)) aayyn(tn(t) ) dandan TT(t(t) ) arahnyaarahnya samasama bilabila (t) > 0(t) > 0n(tn(t) ) dandan TT(t(t) ) arahnyaarahnya samasama bilabila (t) < 0(t) < 0
(t) > 0 ((t) > 0 ((t) (t) meningkat/naikmeningkat/naik))
(t) < 0 ((t) < 0 ((t) (t) berkurang/turunberkurang/turun))
C. Vektor Normal Satuan Dalam
-
AWAL
JadiJadi apabilaapabila ::
(t) > 0, (t) > 0, n(tn(t) ) dandan N(tN(t) ) arahnyaarahnya samasama
(t) < 0, (t) < 0, n(tn(t) ) dandan N(tN(t) ) berlawananberlawanan
TetapiTetapi karenakarena n(tn(t) ) terletakterletak 9090ooberlawananberlawanan araharah jarumjarum jam jam daridari TT(t(t), ), makamaka n(tn(t) ) dapatdapat ditulisditulis sbgsbg::
n(tn(t) = cos() = cos(++/2) a/2) axx + sin(+ sin(++/2) a/2) ayy
C. Vektor Normal Satuan Dalam
-
AWAL
KarenaKarena ituitu, , NN(t(t)) selaluselalu beradaberada dididaerahdaerah dalamdalam bagianbagian sisisisicekungcekung ((concaveconcave) ) kurvekurve ((lihatlihatgambargambar). ). UntukUntuk alasanalasan iniini NNkadang2 kadang2 disebutdisebut sebagaisebagaiNormal Normal SatuanSatuan DalamDalam. .
C. Vektor Normal Satuan Dalam
-
AWAL
C. Vektor Normal Satuan Dalam
(t) > 0, (t) > 0, n(tn(t) ) dandan N(tN(t) ) arahnyaarahnya samasama
(t) < 0, (t) < 0, n(tn(t) ) dandan N(tN(t) ) berlawananberlawanan
-
AWAL
JikaJika r(tr(t) ) fungsifungsi dinilaidinilai vektorvektordalamdalam RR--3D 3D dengandengan grafikgrafik C , C , makamaka untukuntuk setiapsetiap nilainilai t t dimanadimanaT(tT(t) ) dandan N(tN(t), ), kitakita definisikandefinisikan ::
BB(t(t) = ) = TT(t(t) x ) x NN(t(t))disebutdisebut VektorVektor BinormalBinormal padapada C C didi t.t.
D. Binormal Dalam Ruang-3D
-
AWAL
UntukUntuk setiapsetiap t, t, vektorvektor binormalbinormalB B mempunyaimempunyai panjangpanjang 1 1 dandantegaktegak luruslurus padapada T T dandan N. N. PadaPadasetiapsetiap titiktitik P P padapada kurveCkurveC, , vektorvektor T, N, T, N, dandan B B menentukanmenentukantigatiga bidangbidang tegaktegak luruslurus yang yang bergandenganbergandengan melaluimelalui P.P.
D. Binormal Dalam Ruang-3D
-
AWAL
MasingMasing--masingmasing bidangbidang ituitudisebutdisebut ::
-- BidangBidang OsculatingOsculating
-- BidangBidang NormalNormal
-- BidangBidang RectifyingRectifying
((lihatlihat GambarGambar))
D. Binormal Dalam Ruang-3D
-
AWAL
VektorVektor--vektorvektor TT, , NN dandan BBdiorientasikandiorientasikan menurutmenurut aturanaturantangantangan kanankanan/ / aturanaturan skupskup, , yaituyaitu apabilaapabila jarijari tangantangan kanankananmenunjukmenunjuk araharah rotasirotasi daridari TT kekeNN, , makamaka ibuibu jarijari menyatakanmenyatakanaraharah BB. .
D. Binormal Dalam Ruang-3D
-
AWAL
D. Binormal Dalam Ruang-3D
-
AWAL
TigaTiga vektorvektor satuansatuan yang yang tegaktegakluruslurus dandan salingsaling bergandenganbergandengandalamdalam ruangruang--3D 3D disebutdisebut dengandenganTriadTriad. . KarenaKarena T, N T, N dandan B B fungsifungsidaridari tt, makamaka triadtriad--TNBTNB bervariasibervariasidaridari titiktitik keke titiktitik sepanjangsepanjang grafikgrafikr(tr(t), ), shgshg disebutdisebut jugajuga sebagaisebagaitriad triad bergerakbergerak..
D. Binormal Dalam Ruang-3D
-
AWAL
D. Binormal Dalam Ruang-3D
-
1.1. TentukanTentukan vektorvektor tangentangen satuansatuan untukuntukgrafikgrafik rr(t(t) = t) = t22 aaxx + t+ t33 aayy padapada titiktitik dimanadimanat = 2.t = 2.
2.2. TentukanTentukan T(tT(t) ) dandan N(tN(t) ) untukuntuk helikheliklingkaranlingkaran x = a x = a coscos t , y = a sin t , z = ctt , y = a sin t , z = ctdimanadimana a > 0.a > 0.
3.3. TentukanTentukan N(sN(s) ) padapada lingkaranlingkaran lingkaranlingkaranxx22 + y+ y22 = a = a
Contoh
AWAL
-
No. 1No. 1rr(t(t) = 2t a) = 2t axx + 3t+ 3t22 aayyt = 2 t = 2 berkaitanberkaitan dengandengan titiktitik (4,8) (4,8) dandanrr(2) = 4 (2) = 4 aaxx + 12 a+ 12 ayyrr(2)(2)= = (16 +144) = (16 +144) = 160 = 4160 = 41010TT(2) = (2) = rr(2)/(2)/rr(2)(2)= 1/= 1/10 (a10 (axx + 3 a+ 3 ayy))
Penyelesaian
AWAL
-
No. 2No. 2
VektorVektor radius radius untukuntuk helikhelik ::rr(t(t) = a ) = a coscos t at axx + a sin t a+ a sin t ayy + ct + ct aazzJadiJadi,,
rr(t(t) = ) = --a sin t aa sin t axx + a + a coscos t at ayy + c + c aazzrr(t(t))= = ((--a sin t)a sin t)22 + (a + (a coscos t)t)22 + c+ c22))rr(t(t))= = (a(a22 + c+ c22))
Penyelesaian
AWAL
-
No. 2No. 2
Penyelesaian
AWAL
yx
yx
zyx
atatttt
caa
cata
catat
acataa
catat
aca
cacataa
cata
ttt
)sin()cos()('T)('T)(N
sincos)('T
sincos)('T
cossin)('r)('r)(T
22
2
22
2
22
2222
222222
-
KarenaKarena komponenkomponenaazz daridari N(tN(t) ) adalahadalahnolnol, , makamaka vektorvektor iniiniterletakterletak padapadabidangbidang horizontal horizontal untukuntuk setiapsetiap nilainilai t t dandan arahnyaarahnyamenujumenuju sumbusumbu--zzuntukuntuk semuasemua tt
Penyelesaian
AWAL
-
No. 3No. 3ParameterisasiParameterisasi panjangpanjang busurbusur daridarilingkaranlingkaran adalahadalah ::rr(s(s) = a ) = a cos(scos(s/a) a/a) axx + a + a sin(ssin(s/a) a/a) ayy0 0 s s 22aaLangkahLangkah selanjutnyaselanjutnya adalahadalahmenurunkanmenurunkan rr(s(s) ) thdthd s.s.
Penyelesaian
AWAL
-
No. 3No. 3rr(s(s) = ) = -- sin(ssin(s/a) a/a) axx + + cos(scos(s/a) a/a) ayyrr(s(s) = ) = --(1/a) (1/a) cos(scos(s/a) a/a) axx + (1/a) + (1/a) sin(ssin(s/a) a/a) ayy
rr(s(s))=={ ({ (--1/a)1/a)2 2 coscos22(s/a) + (1/a)(s/a) + (1/a)2 2 sinsin22(s/a)} (s/a)} rr(s(s))= 1/a= 1/aNN(s(s) = ) = rr(s)/(s)/rr(s(s))NN(s(s) = ) = -- cos(scos(s/a) a/a) axx -- sin(ssin(s/a) a/a) ayyNN(s(s) = ) = -- rr(s(s))
Penyelesaian
AWAL
-
No. 3No. 3DapatDapat diamatidiamati bahwabahwaNN(s(s) ) merupakanmerupakankelipatankelipatan negatifnegatif daridarivektorvektor radius radius rr(s(s), ), sehinggasehingga NN(s(s) ) arahnyaarahnya menujumenuju pusatpusatlingkaranlingkaran untukuntuksemuasemua s.s.
Penyelesaian
AWAL
T(s)
N(s) x
y
-
1.1. TentukanTentukan vektorvektor T(tT(t) ) dandan N(tN(t) ) untukuntuk: :
a.a. rr(t(t) = e) = ett aaxx + + ee--tt aayy + t + t aazzb. b. rr(t(t) = e) = ett coscos t at axx + e+ ett sin t asin t ayy + e+ ett aazz
Soal mandiri :
AWAL