12. Rangkaian Listrik II Nilai Sesaat Nilai Puncak Nilai Efektif Dan Nilai Rata Rata Fungsi...

12. Rangkaian Listrik IINILAI SESAAT, NILAI PUNCAK , NILAI EFEKTIF DAN NILAI RATA-RATA FUNGSI SINUSOIDA

12.1 Fungsi-Fungsi Periodik

Sebuah fungsi periodik secara matematis didefinisikan :

f(t) = f( t + nT ) ……………….( 12-1 )

dimana : n = sebuah bilangan bulat

T = periode

Bentuk-bentuk gelombang periodik yang umum, ditunjukkan pada gambar 1.

Jika fungsi adalah periodik, paling tidak dalam satu periode digambarkan sebuah

gelombang. Grafik dari v(t), i(t), dan p(t) berturut-turut merupakan bentuk gelombang

dari tegangan, arus dan daya, yang dapat merupakan fungsi-fungsi periodik dan

fungsi-fungsi yang tidak periodik.

Fungsi-fungsi tegangan v(t), fungsi arus i(t) merupakan pernyataan matematis yang

sering diberikan dalam beberapa bentuk, misalnya : fungsi sinus dan cosinus.

Perlu ditekankan bahwa persamaan dasar yang berhubungan dengan arus dan

tegangan untuk tiga elemen rangkaian berlaku tanpa memperhatikan bentuk

matematisnya.

12.1.1 Nilai Sesaat

Nilai sesaat ; adalah nilai yang berubah-ubah terhadap waktu didalam suatu periode

tertentu.

Misalnya tegangan v(t), arus i(t) dan daya p(t) merupakan tegangan, arus, dan daya

sesaat.

Gambar 1 menunjukkan nilai sesaat dari suatu gelombang periodik.

12.1.2 Nilai Maksimum ( Nilai Puncak )

Nilai maksimum atau nilai puncak : adalah amplitudo tertinggi dari suatu gelombang

periodik dalam satu periode.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. S.O.D. Limbong

RANGKAIAN LISTRIK II 1

Gambar 1

12.1.3 Nilai Rata-Rata

Fungsi periodik umum f(t), dengan periode T, mempunyai suatu nilai rata-rata Yav,

yang diberikan oleh persamaan :

1 T

Yav = ----- ∫ f(t) dt ……………….( 12-2 )

T 0

Bentuk-bentuk gelombang dengan simetris setengah gelombang, yaitu :

f(t) = - f( t + ½ T ), seperti ditunjukkan pada gambar 2 mempunyai nilai rata-rata nol.

Salah satu contoh bentuk gelombang jenis ini adalah gelombang sinusoida, dimana

nilai rata-rata Yav dihitung pada nilai positif dari setengah periode dan kadang-kadang

disebut rata-rata setengah periode.

12.1.4 Nilai Efektif ( Root Mean Square, RMS )

Sebuah arus i(t) yang mengalir pada tahanan murni R, akan menghasilkan daya

sesaat p(t), dengan nilai rata-rata P.

Daya rata-rata P ini dapat dihasilkan dalam tahanan R oleh arus I yang besarnya

konstan. Jadi arus i(t) dikatakan mempunyai nilai efektif Irms yang ekivalen terhadap

arus konstan ini.

Dengan cara yang sama, berlaku untuk fungsi tegangan dimana nilai efektifnya

adalah Vrms.

Fungsi periodik umum f(t), dengan periode T, mempunyai nilai efektif Yrms yang

diberikan oleh persamaan :

1 T

Yrms = ----- ∫ f(t) 2 dt ……………….( 12-3 )

T 0



Gambar 2

12.2 Fungsi-Fungsi Sinusoida

12.2.1 Nilai Sesaat Arus dan Tegangan

Arus i(t) = Im sin ( ωt + ø ), atau i(t) = Im cos ( ωt + ø )

Tegangan v(t) = Vm sin ( ωt + θ ), atau v(t) = vm cos ( ωt + θ ), adalah sebuah arus

dan tegangan yang berubah-ubah terhadap waktu secara sinusoida, seperti

ditunjukkan pada gambar 3.

Arus i(t) dan tegangan v(t) berturut-turut merupakan nilai sesaat dari arus dan

tegangan sinusoida.

12.2.2 Nilai Maksimum Arus dan Tegangan

Nilai maksimum arus i(t) = Im sin ( ωt + ø ), atau i(t) = Im cos ( ωt + ø ) dan tegangan

v(t) = Vm sin ( ωt + θ ), atau v(t) = Vm cos ( ωt + θ ) adalah amplitudo yang paling

besar dalam suatu periode, yaitu : Im dan VM.

12.2.3 Nilai Rata-Rata Arus dan Tegangan

Untuk arus i(t) = Im sin ( ωt + ø ), atau i(t) = Im cos ( ωt + ø ) dan tegangan

v(t) = Vm sin ( ωt + θ ), atau v(t) = Vm cos ( ωt + θ ) yang merupakan fungsi-fungsi

sinusoida, maka harga rata-rata v(t) dan i(t) untuk satu periode adalah nol. Jadi

untuk menghitung nilai rata-rata fungsi sinusoida dilakukan pada nilai positif dari

setengah periode ( setengah gelombang ).

12.2.4 Nilai Efektif Arus dan Tegangan

Seperti diketahui bahwa tegangan pada terminal keluar ( outlet ) daya yang tersedia

dirumah-rumah adalah tegangan sinusoida yang mempunyai frekuensi 50 Hz dan

tegangan 220 V.

Tegangan 220 V ini sudah tentu bukan merupakan nilai sesaat dari tegangan, karena

tegangan sesaat bukan sebuah konstanta dan juga bukan merupakan harga

maksimum Vm. Jika bentuk gelombang tegangan tersebut diperlihatkan pada sebuah

osiloskop sinar katoda yang telah dikalibrasi, akan diperoleh bahwa harga

maksimum tegangan pada outlet daya adalah 220 √ 2 atau 311 volt.



Gambar 3

v(t), i(t) v(t), i(t)

tt

Vm; Im Vm; Im

Kita juga dapat menyesuaikan konsep rata-rata kepada 220 volt, karena harga rata-

rata dari sebuah gelombang sinusoida adalah nol.

Nilai 220 volt adalah nilai efektif dari tegangan sinusoida. Nilai efektif adalah ukuran

keefektifan dari sebuah sumber tegangan dalam memberikan daya pada sebuah

beban tahanan.

- Nilai Efektif Arus Periodik

Nilai efektif dari setiap arus periodik : adalah sama dengan harga dari arus

searah yang mengalir melalui tahanan R, yang memberi daya sama kepada

tahanan R seperti yang diberikan oleh arus periodik .

Dengan perkataan lain :

- membiarkan arus periodik yang diberikan mengalir melalui tahanan sebarang R,

tentukan daya sesat i2 R dan cari harga rata-rata dari i2 R pada suatu periode

( daya rata-rata ).

- Kemudian suatu arus searah dialirkan melalui tahanan R yang sama dan

mengatur harga arus searah sampai diperoleh daya rata-rata yang sama.

Besarnya arus searah tersebut merupakan nilai efektif dari arus periodik yang

diberikan dan gagasan ini ditunjukkan pada gambar 4.

Dari gambar 4 : Jika tahanan tahanan R menerima daya rata-rata yang sama

pada gambar 4a dan gambar 4b, maka harga efektif dari

arus i(t) adalah Ieff, dan harga efektif dari tegangan v(t) adalah

Veff.

Daya rata-rata yang diberikan arus periodik i(t) pada tahanan R ( gambar 4a)

adalah :

1 T R T

P = ----- ∫ i2 R dt = ----- ∫ i2 dt ………………..( * )

T 0 T 0



v( t )

+

-

i (t )

a

R~

Gambar 4

Veff

+

-

Ieff

b

R

Daya rata-rata yang diberikan oleh arus searah pada tahanan R ( gambar 4b)

adalah :

P = Ieff2 R ……………….(**)

Persamaan ( * ) = persamaan ( ** ), diperoleh :

R T 1 T

Ieff2 R = ----- ∫ i2 dt Ieff

2 = ----- ∫ i2 dt

T 0 T 0

1 T

Ieff = ---- ∫ i2 dt ………………...(12-4 )

T 0

Dari persamaan ( 12-4 ) dapat dilihat bahwa Ieff tidak bergantung pada nilai

tahanan R.

- Nilai Efektif Tegangan Periodik

Ungkapan yang sama dapat diperoleh untuk nilai efektif dari sebuah tegangan

periodik v(t), yaitu : menggantikan i(t) dengan v(t) dan Ieff dengan Veff, sehingga

diperoleh :

1 T

Veff = ---- ∫ v2 dt ………………..( 12-5 )

T 0

Catatan : nilai efektif sering disebut dengan nilai akar kuadrat rata-rata atau

disingkat nilai RMS ( Root-Mean Square value ).

- Nilai Efektif Bentuk Gelombang Sinusoida

a. Arus Sinusoida

Bentuk umum arus sinusoida :

i(t) = Im cos ( ωt + ø ), mempunyai periode T = 2 π/ω

dari persamaan ( 12-4 ) nilai efektifnya :

1 T 1 T

Ieff = ---- ∫ i2 dt = ----- ∫ Im2 cos2 ( ωt + ø ) dt

T 0 T 0

2 π/ω

Ieff = Im ( ω / 2 π ) ∫ [ ½ + ½ cos ( 2 ωt + 2 ø ) dt

0

2π/ω Im

Ieff = Im ( ω / 4 π ) [ t ] = ----- atau Im = √ 2 Ieff

0 √ 2



Hubungan antara arus efektif dan arus maksimum :

Im

Ieff = ------- atau Im = √ 2 Ieff ………………..( 12-6 )

√ 2

b. Tegangan Sinusoida

Bentuk umum tegangan sinusoida :

v(t) = Vm cos ( ωt + θ ), mempunyai periode T = 2 π/ω

Dengan cara yang sama akan diperoleh bahwa :

Vm

Veff = ------- atau Vm = √ 2 Veff ………………..( 12-7 )

√ 2

Dari persamaan ( 12-6 ) dan ( 12-7 ) dapat dilihat bahwa :

Nilai efektif arus dan tegangan sinusoida adalah sebuah kuantitas riel yang tidak

bergantung pada sudut fasa dan secara numerik sama dengan 0,707 kali nilai

maksimumnya.

Catatan :

- Dalam praktek, nilai efektif biasanya dipakai dalam bidang transmisi atau

distribusi daya dan mesin yang berputar, sedangkan harga maksimum lebih

sering digunakan dalam bidang elektronika dan komunikasi.

- Dalam keadaan tunak sinusoida, arus dan tegangan phasor dapat diberikan

sebagai nilai maksimum atau maupun nilai efektif, dan keduanya hanya berbeda

dengan sebuah faktor √ 2.

Dalam nilai maksimum tegangan ditulis : 50 300 V

Dalam nilai efektif tegangan ditulis : 50 300 Vrms

Untuk menentukan nilai efektif dari sebuah bentuk gelombang periodik atau yang tak

periodik, yang dibentuk dari jumlah beberapa sinusoida yang frekuensinya berbeda-

beda, maka dapat digunakan hubungan daya rata-rata yang ditulis dalam nilai efektif:

P = ( I1eff2 + I2eff

2 + ------------ + INeff2 ) R

Jadi nilai efektif sebuah arus yang terdiri dari beberapa arus sinusoida dengan

frekensi yang berbeda adalah :

Ieff = ( I1eff2 + I2eff

2 + ------------ + INeff2 ) ………………..( 12-8 )



12.3 Daya Rata-Rata ( Average value )

Dalam pembahasan mengenai harga rata-rata untuk daya sesaat p(t), pertama-tama

harus secara jelas didefinisikan interval waktu dimana proses rata-rata tersebut

berlangsung ( misalnya dipilih interval waktu dari t1 ke t2 ).

Harga rata-rata diperoleh dengan mengintegrasi daya sesaat p(t) dari t1 ke t2 dan

membagi hasilnya dengan interval waktu t2 - t1, jadi diperoleh :

1 t2

P = ------- ∫ p(t) dt ………………..( 12-9 )

t2 - t1 t1

dimana : P = harga rata-rata yang bukan merupakan fungsi waktu, akan tetapi

fungsi dari t1 dan t2, yaitu kedua saat yang mendefinisikan interval

integrasi.

Ketergantungan P pada interval waktu tertentu dapat dinyatakan lebih sederhana,

jika p(t) merupakan sebuah fungsi periodik.

Kita menganggap bahwa fungsi pemaksa dan respons dari rangkaian :

- semuanya adalah periodik,

- keadaan tunak telah dicapai,

- walaupun tidak perlu merupakan keadaan mantap sinusoida.

Fungsi Periodik

Bentuk gelombang periodik yang umum seperti ditunjukkan pada gambar 5 dan

diidentifikasi sebagai daya sesaat p(t).

Akan diperlihatkan bahwa harga rata-rata dari daya sesaat p(t) dapat dihitung pada

interval satu periode yang mempunyai titik awal atau titik permulaan sebarang.



Gambar 5

Pertama-tama dihitung daya rata-rata dengan mengintegrasi daya sesaat p(t) dari t1

ke t2 = t1 + T, diperoleh :

1 t1 + T

P1 = ---- ∫ p(t) dt

T t1

Kemudian dengan mengintegrasi dari waktu tx ke waktu tx + T, diperoleh :

1 tx + T

Px = ---- ∫ p(t) dt

T tx

Kesamaan P1 dan Px menjadi jelas dari intepretasi grafik dan integral.

Jadi, daya rata-rata dapat dihitung dengan mengintegrasikan daya sesaat pada

setiap interval yang satu periode panjangnya dan membaginya dengan periode

tersebut.

Jadi bentuk umum dari daya rata-rata untuk fungsi-fungsi periodik :

1 tx + T

Px = ---- ∫ p(t) dt

T tx

Untuk tx = 0, maka :

1 T

P = ---- ∫ p(t) dt ………………..( 12-10 )

T 0

Atau :

1 tx + nT

P = ---- ∫ p(t) dt ( n = 1, 2, 3, … )

n T tx

untuk tx = 0

1 T

P = ---- ∫ p(t) dt ( n = 1, 2, 3, …) ………………..( 12-11 )

n T 0

dimana : P = daya rata-rata ( Watt )

T = periode

Contoh : Perhitungan daya rata-rata untuk gelombang periodik



Sebuah arus berbentuk gelombang gigi gergaji diberikan kepada sebuah tahanan R,

seperti ditunjukkan pada gambar 6a. Tentukan daya rata-rata.

Im

i( t) = ----- t 0 < t ≤ T

T

Im

i( t ) = ---- ( t - T ) T < t ≤ 2 T

T

dan seterusnya

1

p( t ) = i 2 R = ----- Im2 R t 2 0 < t ≤ T

T 2

1

p( t ) = i 2 R = ----- Im2 R ( t - T ) 2 T < t ≤ 2 T

T 2

dan seterusnya

Dari gambar 6b, dengan mengintegrasikan

p( t ) pada daerah satu periode, dari t = 0 ke

t = T, diperoleh :

1 Im2 R

P = ---- ∫ -------- t 2 dt = ⅓ Im2 R

T T 2

Pemilihan daerah satu periode yang lain, misalnya dari t = 0,1 T ke t = 1,1 T, akan

menghasilkan jawaban yang sama.

Demikian juga integrasi dari 0 ke 2 T dan pembagian oleh 2 T, akan menghasilkan

jawaban yang sama.



Gambar 6a

i( t ) R~

i(t)

t

p( t )

Gambar 6 b

Daftar Pustaka

1. Wiliam H. Hayt Jr, Jack E. Kemmerly, “ Engineering Cicuit Analysis “, McGraw-Hill.

2. Pantur Silaban, “ Rangkaian Listrik “, Penerbit Erlangga.

3. R.J. Smith, “ Circuit, Devices and Systems “, John Wiley & Sons.

4. M.E. Van Valkenburg, “ Network Analysis “, Prentice-Hall, Inc.

Jakarta, September 2008

Ir. S.O.D. Limbong



12. Rangkaian Listrik II Nilai Sesaat Nilai Puncak Nilai Efektif Dan Nilai Rata Rata Fungsi...

Documents

Transcript of 12. Rangkaian Listrik II Nilai Sesaat Nilai Puncak Nilai Efektif Dan Nilai Rata Rata Fungsi...