11. Rangkaian Listrik II Respons Keadaan Tunak Sinusoida Dan Diagram Fasor1

11. Rangkaian Listrik IIRESPONS KEADAAN TUNAK SINUSOIDA DAN DIAGRAM FASOR

11.1 Pendahuluan :

Untuk menganalisis rangkaian penahan ( tahanan ) bagaimanapun sulitnya, kita telah

mengetahui bahwa dalam menentukan respons sebarang yang diinginkan, digunakan

beberapa metoda seperti : analisis simpul, analisis mesh atau analisis loop, analisis

superposisi, transformasi sumber, teorema-teorema Thevenin dan Norton, teorema

Millman, dan teorema daya maksimum.

Untuk mendapatkan respons yang diinginkan, seringkali penggunaan satu metoda

sudah cukup, akan tetapi lebih memudahkan jika mengkombinasikan beberapa

metoda. Pada pembahasan ini, kita akan membahas penggunaan teorema Thevenin,

teorema Norton, dan teorema transfer daya maksimum pada analisis rangkaian

keadaan tunak sinusoida, disamping itu juga akan dibahas mengenai diagram fasor

tegangan dan arus.

11.2 Teorema - Teorema Thevenin, Norton, dan Transfer Daya Maksimum

11.2.1 Teorema Thevenin

- Teorema Thevenin hanya dapat dipakai pada jaringan-jaringan ( rangkaian ) yang

linier.

- Teorema Thevenin digunakan untuk menentukan besar arus, tegangan, dan daya

pada suatu cabang tertentu.

- Ekivalen Thevenin dapat menentukan daya maksimum yang diserap beban dari

sumber, dan jenis beban yang diperlukan untuk mencapai transfer daya maksimum

atau untuk mendapatkan penguatan arus atau tegangan praktis maksimum

- Teorema Thevenin mengatakan bahwa : adalah mungkin menggantikan

semuanya ( kecuali tahanan beban ) dengan sebuah rangkaian ekivalen yang

mengandung hanya sebuah sumber tegangan bebas yang seri dengan sebuah

tahanan, dimana respons yang diukur pada tahanan beban tidak akan berubah.

Prosedur penggunaan teorema Thevenin adalah sebagai berikut :

1. Jika diketahui rangkaian linier, atur rangkaian tersebut dalam bentuk dua jaringan

A dan B.

2. Jika salah satu jaringan mengandung sebuah sumber tak bebas, variabel

pengontrolnya haruslah dalam jaringan yang sama.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. S.O.D. Limbong

RANGKAIAN LISTRIK II 1

3. Tentukan tegangan VOC sebagai tegangan rangkaian terbuka yang akan timbul

melintasi terminal jaringan A , jika jaringan B diputus/dilepas, sehingga tidak ada

arus yang ditarik dari A.

4. Tentukan tahanan/impedansi Thevenin RTH atau ZTH yang dilihat dari terminal

jaringan A, jika jaringan B diputus/dilepas, dimana semua sumber tegangan bebas

dalam A diganti oleh hubungan pendek dan semua sumber arus bebas diganti oleh

rangkaian terbuka.

5. Diperoleh rangkaian ekivalen Thevenin yang terdiri dari sumber tegangan bebas

VOC yang dihubungkan secara seri dengan tahanan/impedansi Thevenin RTH / ZTH.

6. Instal jaringan B seri dengan Sumber VOC dan tahanan /impedansi Thevenin

7. Dari rangkaian ekivalen Thevenin dapat dihitung besar arus yang merupakan arus

yang mengalir pada jaringan B.

sebagai contoh : tinjau rangkaian dibawah ini :

1. Rangkaian sudah dibuat menjadi dua jaringan : A dan B

2. Tidak ada sumber tak bebas

3. Menentukan VOC dengan memutus/melepas jaringan B, diperoleh :

6 72

VOC = ------ 12 = --- = 9 V

6 + 3 8



3 Ω 7 Ω

6 Ω – + 12 V

Jaringan A

RL

Jaringan B

3 Ω 7 Ω

6 Ω – + 12 V

Jaringan A

VOC

4. Menentukan RTH/ZTH pada jaringan A, dimana sumber tegangan bebas diganti oleh

hubungan pendek dan sumber arus bebas diganti oleh rangkaian terbuka.

6 x 3

RTH = 7 + -------- = 9 Ω

6 + 3

5. Rangkaian ekivalen Thevenin adalah :

VOC

I = -----------

RTH + RL

I = besar arus pada RL

Contoh 1 : Penggunaan teorema Thevenin

Pada rangkaian dibawah ini, tentukan harga-harga I12, V1, V2, v1( t ) dan v2( t ) dengan

menggunakan teorema Thevenin ( I12 = arus yang mengalir pada cabang impedansi

- j 10 Ω ).

Penyelesaian : Pada contoh soal ini, seluruh besaran pada rangkaian sudah

dinyatakan dalam daerah frekuensi.

Menghitung ZTH

Impedansi - j 10 Ω dilepas dari rangkaian dan seluruh sumber arus bebas diganti oleh

rangkaian terbuka



3 Ω 7 Ω

6 Ω

Jaringan A

RTH

RTH = 9 Ω

– +

Jaringan A

VOC = 8 V RL

Jaringan B

I

V2

~ 1 00 A ~ 0,5 - 900 A

- j 10 ΩV1 I12

4 - j 2 Ω 2 + j 4 Ω

ZTH = ( 4 - j 2 ) + ( 2 + j 4 ) = 6 + j 2 Ω

Menghitung VOC

Impedansi - j 10 Ω dilepas, sedang sumber arus bebas terpasang pada rangkaian.

VOC = Va + Vb = ( 4 - j 2 ) ( 1 00 ) + ( 2 + j 4 ) ( 0,5 - 900

VOC = ( 4 - j 2 ) + ( 2 + j 4 ) ( - j 0,5 ) = 4 - j 2 + 2 - j 1 = 6 - j 3 volt

Rangkaian Pengganti/ Ekivalen Thevenin

Arus yang mengalir pada

impedansi - j 10 Ω adalah :

VOC

I12 = ------------------

ZTH + ( - j 10 )



~ 1 00 A ~ 0,5 - 900 A4 - j 2 Ω 2 + j 4 Ω

VOCa b

VOC Vb

Va

~ 0,5 - 900 A2 + j 4 Ω

4 - j 2 Ω ~ 1 00 A

+ VOC = 6 - j 3 V

6 + j 2 Ω

– - j 10 Ω

ZTH

I12

4 - j 2 Ω 2 + j 4 Ω

ZTH ZTH

2 + j 4 Ω4 - j 2 Ω

6 - j 3 6 - j 3

I12 = ----------------- = --------

6 + j 2 - j 10 6 - j 8

6 - j 3 6 + j 8 36 + j 48 - j 18 + 24 60 + j 30

I12 = -------- ---------- = -------------------------- = ------------ = 0,6 + j 0,3 A

6 - j 8 6 + j 8 36 + 64 100

Jadi : I12 = 0,6 + j 0,3 A

Menentukan harga-harga V1, V2, v1( t ), v2( t )

I12 = 0,6 + j 0,3 A

Dari gambar diatas dapat diperoleh bahwa :

Ia = 1 00 - I12 = 1 00 - ( 0,6 + j 0,3 ) = 1 - 0,6 - j 0,3 = 0,4 - j 0,3 A

Ib = I12 - j 0,5 = 0,6 + j 0,3 - ( - j 0,5 ) = 0,6 + j 0,8 A

V1 = ( 4 - j 2 ) Ia = ( 4 - j 2 ) ( 0,4 - j 0,3 ) = 1,6 - j 1,2 - j 0,8 - 0,6 = 1 - j 2 V

V1 = 1 - j 2 V = 2,24 - 63,40 volt

V2 = ( 2 + j 4 ) Ib = ( 2 + j 4 ) ( 0,6 + j 0,8 ) = 1,2 + j 1,6 + j 2,4 - 3,2

V2 = - 2 + j 4 = 4,47 116,60 volt

Jika fungsi sinusoida adalah fungsi cosinus dengan frekuensi sebesar ω,maka :

v1( t ) = 2,24 cos ( ωt - 63,40 ) volt

v2( t ) = 4,47 cos ( ωt + 116,60 ) volt

Hasil-hasil yang diperoleh, yaitu : harga-harga V1, V2, v1( t ), dan v2( t ) sesuai dengan

hasil pada contoh 1 dan 3, yang menggunakan analisis simpul dan analisis

superposisi, yang telah dibahas pada pelajaran ke 10 ( atau bab 10 ).



V2

~ 1 00 A ~ 0,5 - 900 A = - j 0,5 A

- j 10 Ω

4 - j 2 Ω 2 + j 4 Ω

V1 I12

Ia Ib

11.2.2 Teorema Norton

- Teorema Norton sama seperti teorema Thevenin hanya dapat dipakai pada

jaringan-jaringan ( rangkaian ) yang linier.

- Teorema Norton digunakan untuk menentukan besar arus, tegangan, dan daya

pada suatu cabang tertentu.

- Ekivalen Norton dapat menentukan daya maksimum yang diserap beban dari

sumber, dan jenis beban yang diperlukan untuk mencapai pemindahan daya

maksimum atau untuk mendapatkan penguatan arus atau tegangan praktis

maksimum

- Rangkaian ekivalen Thevenin dan Norton merupakan rangkaian dual.

- Teorema Norton mengatakan bahwa : adalah mungkin menggantikan semuanya (

kecuali tahanan beban ) dengan sebuah rangkaian ekivalen yang mengandung

hanya sebuah sumber arus bebas yang paralel dengan sebuah tahanan, dimana

respons yang diukur pada tahanan beban tidak akan berubah.

Prosedur penggunaan teorema Norton adalah sebagai berikut :

1. Jika diketahui rangkaian linier, atur rangkaian tersebut dalam bentuk dua jaringan

A dan B.

2. Jika salah satu jaringan mengandung sebuah sumber tak bebas, variabel

pengontrolnya haruslah dalam jaringan yang sama.

3. Tentukan tegangan ISC sebagai arus rangkaian hubungan pendek yang akan timbul

pada terminal jaringan A , Jika terminal jaringan B dihubung pendek sehingga

tidak ada tegangan yang melintasi A.

4. Tentukan tahanan/impedansi ekivalen Norton yang dilihat dari terminal jaringan A,

jika jaringan B diputus/ dilepas, dimana semua sumber tegangan bebas dalam A

diganti oleh hubungan pendek dan semua sumber arus bebas diganti oleh

rangkaian terbuka. ( sama dengan tahanan/impedansi Thevenin RTH/ZTH ).

5. Diperoleh rangkaian ekivalen Norton yang terdiri dari sumber arus bebas ISC yang

dihubungkan secara paralel dengan tahanan/impedansi Thevenin.

6. Instal jaringan B paralel dengan Sumber ISC dan tahanan /impedansi Norton

7. Dari rangkaian ekivalen Norton dapat dihitung besar arus yang merupakan arus

yang mengalir pada jaringan B.



sebagai contoh : tinjau rangkaian dibawah ini :

1. Rangkaian sudah dibuat menjadi dua jaringan : A dan B

2. Tidak ada sumber tak bebas

3. Menentukan ISC dengan menghubung singkat jaringan B, diperoleh :

7 x 6 39 + 42

Req = 3 + -------- = ----------

7 + 6 13

81

= ----

13

12 12 x 13

I = --------- = ----------- A

( 81/13 ) 81

6 12 x 13 6 12 x 13 72 8

ISC = --------- ---------- = ---- x ---------- = ---- = ----- A

7 + 6 81 13 81 81 9

4. Menentukan RTH/ZTH pada jaringan A, dimana sumber tegangan bebas diganti oleh

hubungan pendek dan sumber arus bebas diganti oleh rangkaian terbuka.

6 x 3

RTH = 7 + -------- = 9 Ω

6 + 3



3 Ω 7 Ω

6 Ω – + 12 V

Jaringan A

RL

Jaringan B

3 Ω 7 Ω

6 Ω

Jaringan A

RTH

Jaringan A

3 Ω 7 Ω

6 Ω – + 12 V ISC

I

5. Rangkaian ekivalen Norton adalah :

RTH

I = ----------- ISC

RTH + RL

I = besar arus pada RL

Contoh 2 : Penggunaan teorema Norton

Pada rangkaian dibawah ini, tentukan harga-harga I12, V1, V2, v1( t ) dan v2( t ) dengan

menggunakan teorema Norton ( I12 = arus yang mengalir pada cabang impedansi

- j 10 Ω ).



Menghitung ZTH

Impedansi - j 10 Ω dilepas dari rangkaian dan seluruh sumber arus bebas diganti oleh

rangkaian terbuka

ZTH = ( 4 - j 2 ) + ( 2 + j 4 ) = 6 + j 2 Ω

Menghitung ISC

Impedansi - j 10 Ω dilepas, sedang sumber arus bebas terpasang pada rangkaian.



RTH = 9 Ω – +

Jaringan A

ISC = 8 / 9 A RL

Jaringan B

I

V2

~ 1 00 A ~ 0,5 - 900 A

- j 10 Ω

4 - j 2 Ω 2 + j 4 Ω

V1 I12

4 - j 2 Ω 2 + j 4 Ω

ZTH

4 - j 2 Ω

ZTH

2 + j 4 Ω

~ 1 00 A ~ 0,5 - 900 A4 - j 2 Ω 2 + j 4 Ω

ISC

a b

Karena pada rangkaian ada dua sumber arus bebas, maka untuk mencari ISC,

digunakan analisis superposisi :

- hanya sumber arus 1 00 A yang aktif, sedangkan sumber arus 0,5 - 900 A

diganti dengan rangkaian terbuka.

4 - j 2

ISC1 = -------------------- 1 00

4 - j 2 + 2 + j 4

4 - j 2 6 - j 2

= -------- -------

6 + j 2 6 - j 2

24 - j 8 - j 12 - 4

= ---------------------

36 + 4

20 - j 20

ISC1 = -------------- = 0,5 - j 0,5 A

40

- hanya sumber arus 0,5 - 900 A yang aktif, sedangkan sumber arus 1 00 A diganti

dengan rangkaian terbuka.

2 + j4 ( j 1 - 2 ) 2 - j 1 6 - j 2

ISC2 = - --------------------------- j 0,5 = - ------------ = -------- --------

( 2 + j 4 ) + ( 4 - j 2 ) 6 + j 2 6 + j 2 6 - j 2

12 - j 4 - j 6 - 2 10 - j 10

= --------------------- = -------------

36 + 4 40

ISC2 = 0,25 - j 0,25 A

Jadi : ISC = ISC1 + ISC2 = ( 0,5 - j 0,5 ) + ( 0,25 - j 0,25 ) = 0,75 - j 0,75 A



1 00 A ~ 4 - j 2 Ω 2 + j 4 Ω

ISC1

a b

~ 0,5 - 900 = - j 0,5 A

4 - j 2 Ω 2 + j 4 Ω

ISC2

a b

Rangkaian Pengganti / Ekivalen Norton

Arus yang mengalir pada impedansi - j 10 Ω adalah :

6 + j 2 4,5 - j 4,5 + j 1,5 + 1,5

I12 = ----------------- ( 0,75 - j 0,75 ) = -------------------------------

6 + j 2 - j 10 6 - j 8

6 - j 3 6 + j 8 36 + j 48 - j 18 + 24 60 + j 30

I12 = -------- --------- = --------------------------- = -------------

6 - j 8 6 + j 8 36 + 64 100

I12 = 0,6 + j 0,3 A

Menentukan harga-harga V1, V2, v1( t ), v2( t )

I12 = 0,6 + j 0,3 A

Dari gambar diatas dapat diperoleh bahwa :

Ia = 1 00 - I12 = 1 00 - ( 0,6 + j 0,3 ) = 1 - 0,6 - j 0,3 = 0,4 - j 0,3 A

Ib = I12 - j 0,5 = 0,6 + j 0,3 - ( - j 0,5 ) = 0,6 + j 0,8 A

V1 = ( 4 - j 2 ) Ia = ( 4 - j 2 ) ( 0,4 - j 0,3 ) = 1,6 - j 1,2 - j 0,8 - 0,6 = 1 - j 2 V

V1 = 1 - j 2 V = 2,24 - 63,40 volt

V2 = ( 2 + j 4 ) Ib = ( 2 + J 4 ) ( 0,6 + j 0,8 ) = 1,2 + j 1,6 + j 2,4 - 3,2

V2 = - 2 + j 4 = 4,47 116,60 volt

Jika fungsi sinusoida adalah fungsi cosinus dengan frekuensi sebesar ω, maka :

v1( t ) = 2,24 cos ( ωt - 63,40 ) volt

v2( t ) = 4,47 cos ( ωt + 116,60 ) volt

Hasil-hasil yang diperoleh, yaitu : harga-harga V1, V2, v1( t ), dan v2( t ) sesuai dengan

hasil pada contoh 1 dan 3, yang menggunakan analisis simpul dan analisis

superposisi, yang telah dibahas pada pelajaran ke 10 ( bab 10 ), dan contoh1 pada

pembahasan ini, yang menggunakan teorema Thevenin.



V2

~ 1 00 A ~ 0,5 - 900 A = - j 0,5 A

- j 10 Ω

4 - j 2 Ω 2 + j 4 Ω

V1 I12

Ia Ib

+ ISC = 0,75 - j 0,75 A – - j 10 Ω

ZTH

I12

6 + j 2 Ω

11.2.3 Teorema Transfer Daya Maksimum

- Teorema transfer daya maksimum menggunakan teorema Thevenin atau Norton.

- Ekivalen Thevenin atau Norton dapat menentukan daya maksimum yang diserap

beban dari sumber, dan jenis beban yang diperlukan untuk mencapai transfer daya

maksimum.

- Teorema transfer daya Maksimum mengatakan bahwa : Jika sebuah sumber

tegangan bebas yang dihubung seri dengan sebuah tahanan RS atau sebuah

sumber arus bebas yang dihubungkan paralel dengan sebuah tahanan RS, akan

memberikan daya maksimum pada tahanan beban RL, bilamana RL = RS.

( gambar 1 a dan 1 b )

Perhatikan gambar 1, dimana gambar 1a adalah rangkaian ekivalen Thevenin dan

rangkaian 1b adalah rangkaian ekivalen Norton.

Dari gambar 1a diperoleh : VS

PL = IL2 RL, dimana : IL = ---------- , jadi :

RS + RL

VS2

PL = -------------- RL ……………………( 11-1 )

( RS + RL ) 2

dari gambar 1b diperoleh : RS

PL = IL2 RL dimana : IL = ----------- IS , jadi :

RS + RL

RS2 IS

2

PL = --------------- RL ……………………( 11-2 )

( RS + RL ) 2

Persamaan ( 11-1 ) dan Persamaan ( 11-2), memberikan daya yang sama.

Pertanyaannya adalah : berapa harga RL, agar daya yang diserap maksimum ?.

dPL

Daya maksimum, bila : ------ = 0

dRL



VS – +

RS IL

RL

a

IS

IL

RLRS

bGambar 1

VS2

jadi dari persamaan ( 11- 1 ) : PL = -------------- RL, maka :

( RS + RL ) 2

dPL VS2 ( RS + RL ) 2 - VS

2 RL ( 2 ) ( RS + RL )

----- = -------------------------------------------------------- = 0

dRL ( RS + RL ) 4

( RS + RL ) 2 = 2 RL ( RS + RL ) RS + RL = 2 RL atau RL = RS

Jadi, agar daya yang diserap RL dari sumber maksimum, maka RL = RS atau

dengan kata lain harga RL sama dengan tahanan Thevenin atau Norton.

Contoh 3 : Penggunaan teorema Transfer Daya Maksimum

Pada rangkaian dibawah ini, tentukan harga ZL agar daya yang diserap dari sumber

maksimum dan berapa besar daya maksimum tersebut.



Untuk mencari harga ZL dan daya maksimum digunakan teorema Thevenin.

Menghitung ZTH

Impedansi ZL dilepas dari rangkaian dan seluruh sumber arus bebas diganti oleh

rangkaian terbuka

ZTH = ( 4 - j 2 ) + ( 2 + j 4 ) = 6 + j 2 Ω

Agar daya yang diserap maksimum, maka ZL = ZTH = 6 + j 2 Ω



4 - j 2 Ω 2 + j 4 Ω

ZTH ZTH

2 + j 4 Ω4 - j 2 Ω

~ 1 00 A

ZL

I12

~ 0,5 - 900 A2 + j 4

2 + j 4 Ω

4 - j 2

2 + j 4 Ω

Menghitung VOC

Impedansi ZL dilepas, sedang sumber arus bebas terpasang pada rangkaian.

VOC = Va + Vb = ( 4 - j 2 ) ( 1 00 ) + ( 2 + j 4 ) ( 0,5 - 900

VOC = ( 4 - j 2 ) + ( 2 + j 4 ) ( - j 0,5 ) = 4 - j 2 + 2 - j 1 = 6 - j 3 volt

Rangkaian Pengganti/ Ekivalen Thevenin

Arus yang mengalir pada

impedansi ZL adalah :

VOC

I12 = ---------------

ZTH + ZL

6 - j 3

= ----------------------

6 + j 2 + 6 + j 2

6 - j 3 12 - j 4 72 - j 24 - j 36 - 12 60 - j 60

I12 = ----------- ---------- = -------------------------- = ------------

12 + j 4 12 - j 4 144 + 16 160

I12 = 0,375 - j 0,375 A = 0,53 - 450 A

Jadi daya maksimum adalah : PLmaks = I122 RL = ( 0.53 ) 2 x 6 = 1,775 watt



VOC Vb

Va

~ 1 00 A4 - j 2 Ω

2 + j 4 Ω ~ 0,5 - 900 A

~ 1 00 A ~ 0,5 - 900 A4 - j 2 Ω 2 + j 4 Ω

VOC

a b

ZTH

VOC = 6 - j 3 V

6 + j 2 Ω

I12

+ – 6 + j 2 Ω

ZL

11.3 Diagram Fasor

Diagram fasor : sketsa atau penggambaran tegangan fasor dan arus fasor di dalam

bidang kompleks, pada suatu rangkaian spesifik

Diagram fasor :

- Merupakan sebuah metoda grafis untuk memecahkan soal-soal tertentu yang

dapat digunakan untuk memeriksa metoda analitik yang lebih eksak.

- Membantu dalam menyederhanakan pekerjaan analitik dalam soal-soal fasa

banyak yang simetris.

Tafsiran daerah frekuensi

Kita sudah mengetahui penggunaan bidang kompleks dalam menggambarkan sebuah

bilangan kompleks, dan dalam penjumlahan dan pengurangannya.

Karena tegangan dan arus fasor adalah sebuah bilangan kompleks, maka keduanya

dapat juga digambarkan sebagai titik-titik di dalam bidang kompleks.

Misalnya : Sebuah tegangan fasor V1 = 6 + j 8 = 10 53,10 volt, penggambaran-nya

dalam bidang kompleks dapat dilihat pada gambar 1.

Gambar 2a memperlihatkan jumlah V1 = 6 + j 8 = 10 53,10 dan V2 = 3 - j 4 = 5 - 53,10,

sedangkan gambar 2b memperlihatkan arus I1 yang merupakan perkalian dari

V1 = 6 + j 8 = 10 53,10 dengan admitansi Y = 1 + j 1 = √2 450

( I1 = Y V1 = ( 10 53,10 ) (√2 450 ) = 14,14 98,10 ).



8

6

j

10

53,10

- j

Sumbu riel V

Sumbu imajiner V

Gambar 1

10 53,10

Gambar 2a

j

53,10

- j

450

98,10

b

V1 = 6 + j 8 = 10 53,10I1 = Y V18

6

j

1053,10

- j4

- 53,10 -~,V2

240

V = V1 + V2 = 9 + j 4 = 9,85 240

V1

V2

Dari gambar 2a dapat dilihat bahwa penambahan dan pengurangan mudah dilakukan

dan diperagakan pada sebuah bidang kompleks, maka fasor dengan mudah dapat

ditambahkan dan dikurangkan di dalam diagram fasor, sedangkan perkalian dan

pembagian ( gambar 2b ) menghasilkan penjumlahan dan pengurangan sudut-sudut

fasa dan perubahan ampitudo ( kurang jelas diperlihat-kan ), karena perubahan

amplitudo tergantung pada amplitudo setiap fasor dan skala fasor.

Setiap fasor akan mempunyai skala amplitudonya sendiri, akan tetapi mempunyai

skala sudut yang sama.

Misalnya tegangan fasor yang panyangnya 1 cm bisa menyatakan 100 V, sedangkan

arus fasor yang panjangnya 1 cm mungkin menunjukkan 3 mA.

Diagram fasor juga memberikan tafsiran mengenai transformasi dari daerah waktu ke

daerah frekuensi, karena diagram tersebut dapat ditafsirkan baik dari panda-ngan

daerah waktu maupun dari pandangan daerah frekuensi.

Sampai saat ini, kita telah menggunakan tafsiran daerah frekuensi, karena telah

langsung memperlihatkan fasor dalam diagram fasor.

Tafsiran daerah waktu

Sekarang kita lanjutkan kepada pandangan daerah waktu, dengan terlebih dahulu

memperlihatkan fasor V = Vm θ ( gambar 3a ).

Untuk mentransformasikan V kedalam daerah waktu maka fasor V tersebut dikalikan

dengan faktor e j ω t, sehingga diperoleh tegangan kompleks :

Vm e j θ e j ω t = Vm ω t + θ

Tegangan ini dapat ditafsirkan sebagai fasor-fasor yang mempunyai sudut fasa yang

bertambah secara linier terhadap waktu.

Pada diagram fasor, fasor ini mewakili potongan garis yang berputar, kedudukan

sesaatnya adalah ωt rad ( yang berlawanan dengan arah perputaran jarum jam ) dari

Vm θ .

Vm θ dan Vm ω t + θ , diperlihatkan pada gambar 3b.



Vm

θ

a

V = Vm θ

Gambar 3

θ

V = Vm ωt +θ

ωtVm Vm θ

b

Dari gambar 3b, peralihan ke daerah waktu adalah dengan mengambil bagian riel dari

Vm ω t + θ , dan bagian riel dari kuantitas kompleks ini adalah proyeksi dari

Vm ω t + θ , pada sumbu riel ( sumbu horizontal ).

11.4 Diagram Fasor Rangkaian

A. Diagram Tegangan ( untuk Rangkaian Seri )

Diagram Tegangan : diagram fasor dari tegangan dengan referensi arus fasor

didalam bidang kompleks

- Diagram Tegangan Rangkaian Tahanan R

Pada tahanan R : diagram tegangan

tegangan dan arus

sefasa ( θ = ø )

V = R I

- Diagram Tegangan Rangkaian Induktansi L

Pada induktansi L : diagram tegangan

V = j ω L I

V θ = ω L 900 I ø

V = ω L ; θ = 900 + ø

Jadi tegangan mendahului arus sebesar 900 ( θ = 900 + ø )

- Diagram Tegangan Rangkaian Kapasitansi C

Pada kapasitansi C : diagram tegangan

1 - j

V = ------- I = ------ I

j ω C ω C

1

V θ = ----- -900 I ø

ω C

1

V = ----- I

ω C

θ = ø - 900

jadi arus mendahului tegangan sebesar 900 atau tegangan menyusul arus sebesar

900.

- Diagram Tegangan Rangkaian Seri R, L dan C



R ( Ω )V = R I

+

-

I

V

+

-

I

j ω L ( Ω )

V

+

-

I

1 / j ωC ( Ω )

V = R I I

I

V = j ω L I = ω L I 900 + ø

900

ø = 00

I

1 V = ------ I j ω C 1 = ----- ø - 900

ω C

- 900

ø = 00

Pada rangkaian seri RLC, arus yang

mengalir diseluruh rangkaian adalah

sama, yaitu arus I

Dari rangkaian diperoleh persamaan

tegangan :

VS = VR + VL + VC

VS = R I + j ω L I + ( 1 / j ω C ) I atau VS = R I + { j ( ω L - 1 / ω C ) } I

Untuk menggambarkan diagram tegangannya :

- Arus I diambil sebagai referensi

- Gambarkan diagram tegangan VR, VL, dan VC.

- Diagram tegangan V = VR + VL + VC ( penjumlahan vektor ).

- untuk V L = VC

VS = VR + VL + VC

VS = R I + { j ( ω L - 1 / ω C ) } I

VS = VR = R I

- untuk VL > VC

VS = VR + VL + VC

VS = R I + { j ( ω L - 1 / ω C ) } I

- untuk V L < VC

VS = VR + VL + VC

VS = R I + { j ( ω L - 1 / ω C ) } I

B. Diagram Arus ( untuk Rangkaian Paralel )



VC = ( 1 / j ω C ) I

VL = j ω L IVS = VR = R I

I

VC

VL

IVR

VS = VR + VL + VC

VL - VC

VC

VL

IVR

VS = VR + VL + VC

VL - VC

j ωL I R

VS 1 / j ω C

VR VL

VC+ – V2

– V2

– V2 –

V2

+ ++

~

Diagram Arus : diagram fasor dari arus dengan referensi tegangan fasor,

didalam bidang kompleks.

- Diagram Arus Rangkaian Tahanan R

Pada tahanan R ; diagram arus

tegangan dan arus

sefasa ( θ = ø )

V = R I atau

I = ( 1/R ) V

- Diagram Arus Rangkaian Induktansi L

Pada induktansi L : diagram arus

V = j ω L I atau

I = (1 / j ω L ) V

I ø = 1/ω L -900 .V θ

I = ω L ; ø = θ - 900

Jadi arus menyusul tegangan sebesar 900 ( ø = θ - 900 ).

- Diagram Arus Rangkaian Kapasitansi C

Pada kapasitansi C : diagram arus

1

V = ------- I

j ω C

I = j ω C V

I ø = ω C 900 V θ

I = ω C ; ø = 900 + θ

Jadi arus mendahului tegangan sebesar 900 atau tegangan menyusul arus sebesar

900.

- Diagram Arus Rangkaian paralel R, L dan C



R ( Ω )V = R I

+

-

I

I = V/R V

-V

+

I

1 / j ωC ( Ω )

+

-1/j ω C

I

RVS j ω L

IR IL IC

~

V

- 900

I = ( 1/ j ω L V ) 1 = --- V - 900 ω L

θ = 00

V

I = j ω C V = = ω C V 900 + θ 900

θ = 00

-

V

+

j ω L ( Ω )

I

Pada rangkaian paralel

RLC, tegangan di selu-

ruh rangkaian adalah

sama, yaitu tegangan

sumber VS atau V

Dari rangkaian diperoleh persamaan arus :

I = IR + IL + IC = ( 1 / R ) V + ( 1 / j ω L ) V + j ω C V

I = ( 1 / R ) V + j ( ω C - 1 / ω L ) V

Untuk menggambarkan diagram arusnya :

- Tegangan VS = V diambil sebagai referensi

- Gambarkan diagram arus IR, IL, dan IC.

- Diagram arus I = IR + IL + IC ( penjumlahan vektor ).

- untuk I C = IL

I = IR + IL + IC

VS = (1/R ) V + { j ( ω C - 1 / ω L ) } V

I = IR = ( 1/ R ) V

- untuk IC > IL

I = IR + IL + IC

I = (1/R ) V + { j ( ω C - 1 / ω L ) } V

- untuk IC < IL

I = IR + IL + IC

I = (1/R ) V + { j ( ω C - 1 / ω L ) } V

Daftar Pustaka

1. Wiliam H. Hayt Jr, Jack E. Kemmerly, “ Engineering Cicuit Analysis “, McGraw-Hill.



IL

IC

VS = VIR

I = IR + IL + IC IC - IL

IL = ( 1 / j ω L ) V

IC = j ω C VI = IR = (1/R ) V

VS = V

VC

IC

VS = VIR

I = IR + IL + IC

IC - IL

2. Pantur Silaban, “ Rangkaian Listrik “, Penerbit Erlangga.

3. R.J. Smith, “ Circuit, Devices and Systems “, John Wiley & Sons.

4. M.E. Van Valkenburg, “ Network Analysis “, Prentice-Hall, Inc.

Jakarta, September 2008

Ir. S.O.D. Limbong



11. Rangkaian Listrik II Respons Keadaan Tunak Sinusoida Dan Diagram Fasor1

Documents

Transcript of 11. Rangkaian Listrik II Respons Keadaan Tunak Sinusoida Dan Diagram Fasor1