11 algo akarpersamaan

AlgoritmaAkar Persamaan

Arif Rahman, ST MT

1

Akar Persamaan

Akar persamaan menyatakan harga variabel x yang membuat nilai fungsi f(x) sama dengan 0 (nol)

Akar persamaan kuadrat

Akar persamaan bukan kuadratMetode AkoladeMetode Terbuka

aacbbx

242

12

2

Metode Akolade

Metode Akolade (Bracketing Method)Metode GrafikMetode Bagi DuaMetode Posisi PalsuMetode Carian Inkremental

3

Metode Terbuka

Metode TerbukaIterasi Satu Titik SederhanaMetode Newton RaphsonMetode SecantAkar Ganda

4

Akar Persamaan

KuadratN

akar = b2-(4*a*c)

akar > 0X1 = (-b + akar) / (2 * a)X2 = (-b – akar) / (2 * a)

N

Y

akar = 0X1 = (-b ) / (2 * a)X2 =X1

Y

akar imaginer

5

Metode Grafik

Metode grafik memperoleh taksiran mengenai akar persamaan dengan membuat grafik fungsi tersebut dan mengamati di mana ia memotong sumbu xTaksiran akar persamaan adalah sebesar x = 0,57f(0,57) = e-0,57 – 0,57 = -0,0045

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

f(x) = e-x – x

x f(x)0 1,000

0,1 0,805

0,2 0,619

0,3 0,441

0,4 0,270

0,5 0,107

0,6 -0,051

0,7 -0,203

0,8 -0,351

0,9 -0,493

1 -0,632

6

Metode Bagi Dua

Metode bagi dua (bisection method), disebut juga pemotongan biner (binary chopping), pembagian dua (interval halving) atau metode Bolzano adalah suatu jenis carian inkremental di mana interval senantiasa dibagi separuhnya.

7

Metode Bagi Dua

Algoritma :1. Pilih taksiran awal terrendah xlower dan

tertinggi xupper

2. Taksiran akar ditentukan dari

3. Evaluasi hasil taksiranJika nilai absolut f(xestimated) < batas penyimpangan, hentikan, akar = xestimated

Jika (f(xlower).f(xestimated)) = 0, hentikan, akar = xestimated

Jika (f(xlower).f(xestimated)) < 0, xupper = xestimated , ulangi langkah 2Jika (f(xlower).f(xestimated)) > 0, xlower = xestimated , ulangi langkah 2

8

2upperlower

estimated

xxx

Metode Bagi Dua

N

Xlower Xupper

Xestimated = (Xlower + Xupper) / 2

Abs(f(Xe)) < Batas

Y

Y

akar = Xestimated

(f(Xl).f(Xe)) = 0 (f(Xl).f(Xe)) < 0

Xlower = Xestimated

Xupper = Xestimated

N NY

9

Metode Bagi Dua

Iterasi xlower xupper f(xlower) f(xupper) xestimated f(xestimated)

1 0 1 1 -0,6321 0,5 0,1065

2 0,5 1 0,1065 -0,6321 0,75 -0,2776

3 0,5 0,75 0,1065 -0,2776 0,625 -0,0897

4 0,5 0,625 0,1065 -0,0897 0,5625 0,0073

5 0,5625 0,625 0,0073 -0,0897 0,59375 -0,0415

6 0,5625 0,59375 0,0073 -0,0415 0,578125 -0,0172

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

f(x) = e-x – x

10

Metode Posisi Palsu

Metode posisi palsu (method of false position), disebut juga metode interpolasi linear, adalah suatu jenis carian inkremental di mana interval didasarkan pada perkalian penyimpangan dengan fungsi sebelumnya.

11

Metode Posisi Palsu

Algoritma :1. Pilih taksiran awal terrendah xlower dan

tertinggi xupper

2. Taksiran akar ditentukan dari


Jika (f(xlower).f(xestimated)) = 0, hentikan, akar = xestimated

Jika (f(xlower).f(xestimated)) < 0, xupper = xestimated , ulangi langkah 2Jika (f(xlower).f(xestimated)) > 0, xlower = xestimated , ulangi langkah 2

12

)()()).((

upperlower

upperlowerupperupperestimated xfxf

xxxfxx

Metode Posisi Palsu

N

Xlower Xupper

Abs(f(Xe)) < Batas

Y

Y

akar = Xestimated

(f(Xl).f(Xe)) = 0 (f(Xl).f(Xe)) < 0

Xlower = Xestimated

Xupper = Xestimated

N NY

13

)()()).((

upperlower

upperlowerupperupperestimated xfxf

xxxfxx

Metode Posisi Palsu

Iterasi xlower xupper f(xlower) f(xupper) xestimated f(xestimated)

1 0 1 1 -0,6321 0,6127 -0,0708

2 0 0,6127 1 -0,0708 0,57218 -0,0079

3 0 0,57218 1 -0,0079 0,56770 -0,0009

4 0 0,56770 1 -0,0009 0,56721 -9,8E-05

5 0 0,56721 1 -9,8E-05 0,56715 -1,1E-05

6 0 0,56715 1 -1,1E-05 0,56714 -1,2E-06

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

f(x) = e-x – x

14

Metode Carian

Inkremental

Metode carian inkremental (method of incremental trace), adalah metode pencarian dengan menetapkan pilihan bermula pada suatu ujung daerah yang diinginkan, lalu membuat evaluasi fungsi dengan kenaikan kecil di sepanjang daerah tersebut. Jika tanda fungsi berubah berarti terdapat akar yang terlewatkan.

15

Metode Carian

Inkremental

Algoritma :1. Pilih taksiran awal xinitial dan inkremental x

2. Taksiran akar ditentukan dari xestimated = xinitial + x


Jika (f(xinitial).f(xestimated)) = 0, hentikan, akar = xestimated

Jika f(xinitial) > 0 dan f(xinitial) < f(xestimated), atau jika f(xinitial) < 0 dan f(xinitial) > f(xestimated) , maka ubah tanda (+/-) dari x , ulangi langkah 2Jika (f(xinitial).f(xestimated)) < 0, xinitial = xestimated , maka ubah tanda (+/-) dari x, dan perkecil besaran absolut x, ulangi langkah 2

16

Metode Carian

InkrementalN

Xinitial

X

Xestimated = Xlast + (Pengali * X)

Abs(f(Xe)) < Batas

Y

Y

akar = Xestimated

(f(Xl).f(Xe)) = 0 (f(Xl).f(Xe)) < 0

Xinitial = Xestimated

Pengali = -1 * Pengali X = X / 10

N NY

Pengali = 1

17

Metode Iterasi Satu

Titik SederhanaMetode iterasi satu titik sederhana (one simple point iteration), adalah metode pencarian dengan mengatur kembali fungsi persamaan sedemikian hingga x berada pada ruas kiri persamaan. f(x) = 0 x = f(x) + x

18

Metode Iterasi Satu

Titik SederhanaAlgoritma :1. Pilih taksiran awal iterasi ke-0, x0 = 0

2. Akar iterasi ke-i ditaksir dari xi = f(xi-1) + xi-1

1. Evaluasi hasil taksiran1. Jika f(xi) = 0, hentikan, akar = xi

2. Jika nilai absolut f(xi) < batas toleransi penyimpangan, hentikan, akar = xi

3. Lanjutkan iterasi berikutnya, i = i + 1, ulangi langkah 2

19

Metode Iterasi Satu

Titik Sederhana

Iterasi xestimated f(xestimated)

0 0 1

1 1 -0,6321

2 0,36788 0,3243

3 0,69220 -0,1917

4 0,50047 0,1058

5 0,60624 -0,0608

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1


6 0,54540 0,0342

7 0,57961 -0,0195

8 0,56012 0,0110

9 0,57114 -0,0063

10 0,56488 0,0035

11 0,56843 -0,0020

f(x) = e-x – xx = e-x

f(x) = e-x – x

20

Metode Newton

RaphsonMetode Newton Raphson, adalah metode pencarian yang diturunkan berdasarkan interpretasi geometrik di mana jika tebakan awal dari akr adalah xi , sebuah garis singgung dapat diperluas dari titik [xi, f(xi)].

f(x) = 0

dxxfxf )()('

1

0)()('

ii

ii xx

xfxf

21

Metode Newton

RaphsonAlgoritma :1. Pilih taksiran awal iterasi ke-0, x0 = 0

2. Akar iterasi ke-i ditaksir dari

3. Evaluasi hasil taksiranJika f(xi) = 0, hentikan, akar = xi

Jika nilai absolut f(xi) < batas toleransi penyimpangan, hentikan, akar = xi

Lanjutkan iterasi berikutnya, i = i + 1, ulangi langkah 2

22

)(')(

1

11

i

iii xf

xfxx

Metode Newton

RaphsonIterasi xestimated f(xestimated) f '(xestimated)

0 0 1 -2

1 0,5 0,1065 -1,6065

2 0,566311003 0,0013 -1,5676

3 0,567143165 1,9E-07 -1,5671

4 0,56714329 4,4E-15 -1,5671

5 0,56714329 0 -1,5671

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

f(x) = e-x – x

23

Metode Secant

Metode Secant, adalah metode pencarian dengan pendekatan differensiasi terbagi hingga. f(x) = 0

dxxfxf )()('

ii

iii xx

xfxfxf

1

1 )()()('

24

Metode Secant

Algoritma :1. Pilih taksiran awal iterasi ke-0, x0 = 0

dengan x-1 x0





25

)()()).((

12

1211

ii

iiiii xfxf

xxxfxx

Metode Secant


-1 1 -0,6321

0 0 1

1 0,612699837 -0,0708

2 0,572181412 -0,0079

3 0,56710208 6,4E-05

4 0,567143328 -5,9E-08

5 0,56714329 -4,4E-13

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

f(x) = e-x – x

26

Metode Akar Ganda

Metode Akar Ganda yang dikembangkan Ralston dan Rabinowitz, adalah metode pencarian yang berhubungan dengan titik ekstrim (maksimum, minimum atau belok) dalam fungsi menyinggung sumbu x .

27

Metode Akar Ganda

Algoritma :1. Pilih taksiran awal iterasi ke-0, x0 = 0





28

)(").())('()(').(

112

1

111

iii

iiii xfxfxf

xfxfxx

Metode Akar Ganda

Iterasi xestimated f(xestimated) f '(xestimated) f '' (xestimated)

0 0 1 -2 1

1 0,666666667 -0,15325 -1,51342 0,51342

2 0,568769033 -0,00255 -1,56622 0,56622

3 0,567143768 -7,5E-07 -1,56714 0,56714

4 0,56714329 -6,5E-14 -1,56714 0,56714

5 0,56714329 0 -1,56714 0,56714

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

f(x) = e-x – x

29

Akhir Perkuliahan…Akhir Perkuliahan…

… … Ada Yang DitanyakanAda Yang Ditanyakan30

11 algo akarpersamaan

Engineering

Transcript of 11 algo akarpersamaan