Secara garis besar, persamaan diferensial adalah persamaanyang mengandung turunan-turunan dari suatu fungsi yangtidak diketahui, yang kita namakan y(x) dan yang akan kitatentukan dari persamaan tersebut. Persamaan diferensialmuncul dalam banyak penerapan teknik (rekayasa) danpenerapanpenerapan lainnya, seperti model matematis dariberbagai sistem fisis dan sistem-sistem lainnya. Persamaandiferensial yang paling sederhana dapat diselesaikan denganmengingat kalkulus (dasar). Sebagai contoh, jika lajupertumbuhan suatu populasi (manusia, hewan, bakteri, dansebagainya) y’ = dy / dx (x = waktu) sama dengan populasi y(x),maka model populasi tersebut adalah y’ = y, yaitu suatupersamaan diferensialnya y’ = y, kita telah memperoleh suatupenyelesaian dari masalah kita.

Seperti contoh yang lain, jika kita menjatuhkansebuah batu, maka percepatannya yH =d2 y/dx2 adalahsama dengan percepatan gravitasi g (suatu konstanta).Jadi model dari masalah “jatuh bebas” ini adalah yH =g, dalam pendekatan yang baik, karena tahanan udaratidak akan diperhitungkan pada kasus ini. Denganintegrasi kita memperoleh keceaatan y’ = dy/dx = gx +v0, di mana v0 merupakan kecepatan awal, pada saatbatu mulai bergerak (misalnya, v0 = 0). Denganmengintegrasikan sekali lagi, kita memperoleh jarakyang dicapai batu y = ½gx2 + v0x + y0, di mana y0

merupakan jarak awal pada saat batu mulai bergerak(misalnya, y0 = 0).

Model-model yang lebih sukar membutuhkanpenyelesaian dan pembahasan metode yang lebihsempurna, seperti diilustrasikan dalam Gambar 1 dandalam banyak gambar yang lain. Hal ini dinamakansuatu pendekatan sistematis, yang akan kitakembangkan dalam Bab 1 – 5. Pada pasal ini kita akanmendefinisikan dan menerangkan konsep dasarpenting yang berhubungan dengan persamaandiferensial dan mengilustrasikan konsep ini dengancontoh. Kemudian kita akan membahas dua masalahsederhana daari fisika dan geometri. Hal ini akanmemberi gagasan pertama tentang sifat dasar danmaksud dari persamaan diferensial besertapenerapannya.

Persamaan Diferensial Biasa dan Ordenya

Persamaan diferensial biasa diartikan sebagai suatipersamaan yang melibatkan turunan pertama ataulebih dari fungsi sembarang y terhadap perubahanx; persamaan ini dapat pula melibatkan y itusendiri, fungsi x yang diberikan dan konstanta.

Sebagai Contoh,

1) y’ = cos x,

2) yH + 4y = 0.

3) x2ymyI + 2exyn = (x2 + 2)y2

Merupakan suatu persamaan diferensial biasa.

Istilah biasa membedakan persamaan inidengan persamaan diferensial parsial, yang melibatkan turunan parsial dari fungsisebarang dengan dua peubah bebas atau lebih. Sebagai contoh,

a2-u/ax2+a2u/ay2=0

Merupakan suatu persamaan diferensialparsial. Dalam bab ini dan empat babberikutnya kita hanya membahas persamaandiferensial biasa.

Suatu persamaan diferensial dikatakanmempunyai orde n jika turunan ke-n dari y terhadap x merupakan turunan tertinggi y dalam persamaan itu.

jadi , persamaan diferensial orde pertamahanya mengandung y’, dan dapatmengandung y serta fungsi x yang diberikan. Persamaan (1) merupakan persamaan ordepertama, persamaan (2) adalah orde kedua, dan persamaan (3) adalah orde ketiga.

dalam bab ini kita akan membahas persamaanorde pertama.

Persamaan orde kedua dan orde yang lebih tinggiakan dibahas pada Bab 2-5

konsep penyelesaian

suatu fungsi

y=g(x)

dikatakan sebagai suatu peyelesaian dari persamaandiferensial orde pertama yang diberikan pada selang(interval) a<x<b (boleh juga berupa selang takhingga), jika g(x) didefinisikan dan dapatdideferensiasikan seluruhnya pada selang tersebutsehingga persamaan tersebut menjadi suatu identitasy dan y’ masing-masing digantikan dengan g dan g’

tugas utama dalam persamaan diferensial danpenerapannya adalh untuk mencari semuapenyelesaian persamaan yang diberikan danmenyelidiki sifatnya. Kita akan membahasberbagai metode standar yang telahdikembangkan untuk tujuan tersebut.

CONTOH 1. Penyelesaian

Buktikan bahwa fungsi y=g(x)=x2 merupakanpenyelesaian persamaan diferensial orde pertama

xy’=2y

untuk setiap x.

untuk membuktikannya, kitamendiferensiasikan g diperoleh

g’=2x

kita sekarang menyisipkan g dan g’ ke dalampersamaan diferensial. Maka kita lihat bahwapersamaan ersebut disederhanakan menjadi suatuidentitas x(2x)=2x2. penyelesaian yang lengkap inimerupakan suatu pembuktian.

kadang-kadang suatu penyelesaian persamaandiferensial muncul sebagai fungsi implisit, yaitusecara implisit diberikan dalam bentuk

G(x,y)=0

dan hal ini dinamakan penyelesaian implisit, yang berbeda dengan penyelesaian eksplisit

contoh 2. penyelesaian implisit

fungsi terhadap x secara implisit diberikan oleh

x2+y2-1=0

(menggambarkan setengah lingkaran) merupakan suatu penyelesaian implist daripersamaan diferensial

yy’=-x

pada selang -1<x<1, dapat anda buktikandengan diferensiasi.

selanjutnya, kita akan melihat bahwa suatupersamaan diferensial dapat memilikibeberapa penyelesaian, seperti yang diperlihatkan pada contoh berikut.

penyelesaian. Menurut kalkulus, kita dapat langsungmengintegrasikan

y=sin x+c

dengan c adalah suatu konstanta sebarang. Dengan memilihc=0, kita mempunyai penyelesaian y= sin x; untuk c=1,5 kitaperoleh y=sin x+1,5 dan sebagainya. Dn kita mengetahuidari kalkulus, bahwa persamaan (5) dengan nilai c sebarangmenyatakan totalitas dari semua penyelesaian persamaandiferensial (1). Lihat gambar 2.

ini contoh yang khas (tipikal). Contoh kita menggambarkanbahwa suatu persamaan diferensial orde pertama dapat(dan, pada umumnya, akan) mempunyai lebih dari satupenyelesaian, bahkan tak hingga banyaknya penyelesaian, yang dapat dinyatakan dalam bentuk tunggal yang mengandung sebarang konstanta. Biasanya fungsi dengansebarang konstanta sebarang tersebut dinamakan suatupenyelesaian umum dari persamaan diferensial ordepertama.

Jika kita berikan nilai tertentu pada konstantatersebut, maka penyelesaian yang didapatdinamakan penyelesaian khusus.

Jadi (5) merupakan suatu penyelesaian umum daripersamaan y’=cos x, dan y=sin x,y=sin x-2 danlain-lain merupakan penyelesaian-penyelesaiankhusus.

contoh 4. penyelesaian umum dan penyelesaiankhusus

Anda dapat membuktikan dengan diferensiasibahwa fungsi

y=cex (c sebarang konstanta)

Memenuhi persamaan diferensial

y’=y

Untuk setiap x. persamaan terebut melibatkan konstanta c sebarang, maka persamaan merupakan penyelesaian umum ß= dari persamaan. Ini menggambarkan suatu rumpun kurva, yg

beberapa di antaranya diperlihatkan pada Gambar 3. penyelasaian khusus diperoleh dengan memilih nilai c tertentu,

misalnya,

y=cx y=2cx y=-8/3c2

dan lain-lain. Setiap persamaan ini menggambarkan satu kurvadari rumpun kurva tersebut.

Pada pasal berikutnya kita akan mengembangkan berbagaimetode untuk mendapatkan penyelesaian umum dari persamaan

orde pertama. Untuk suatu persamaan yang diberikan, penyelesaian umum diperoleh dengan suatu metode tunggal

kecuali notasinya (cara menulisnya), yang kemudian akan disebutsuatu penyelesaian umum diferensial tersebut.

KETERANGAN. Penyelesaian singular

Kita perhatikan bahwa dalam beberapa kasus terdapatpenyelesaian lain dari persamaan yg di berikan olehpenyelesaian tersebut ternyata tidak dapat diperolehdengan memberikan nilai tertentu pada sebarangkonstanta dari penyelesaian umum; penyelesaian yang demikian dinamakan penyelesaian singular daripersamaan ini.

Sebagai contoh, persamaan

y’2-xy’+y=0

Mempunyai penyelesaian umum

y=cx-c2

Yang dapat anda buktikan dengan diferensiasi dansubsitusi. Persamaan ini menggambarkan suatukumpulan garis lurus, di mana setiap garis berkaitandngan nilai c tertentu. Dengan subsitusi dapatdiperlihatkan bahwa juga penyelesaian lebih lanjutadalah

y=x2/4

Penyelesaian ini merupakan penyelesaian dari (8), karena kita tidak bisa memperoleh penyelesaiannyadengan memberikan nilai tertentu pada c dalampenyelesaian umum. Jelas setiap penyelesaian khususmenggambarkan suatu garis singgung pada parabola yang digambarkan oleh penyelesaian singular (gambar 4).

Penyelesaian singular jarang terjadi dalam masalahrekayasa.

Kita perhatikan bahwa dalam beberapa buku, penyelesaianumum diartikan sebagai suatu bentuk yang meliputi semuapenyelesaian dari persamaan, yaitu sekaligus penyelesaiankhusus dan penyelesaian singular. Kita tidak mengikutidefinisi ini disebabkan dua alasan. Pertama, seringkalicukup sulit untuk membuktikan bahwa suatu bentuk telahmemuat semua penyelesaian. Maka definisi daripenyelesaian umum ini dalam prakteknya kurang berguna. Alasan yang lain, kita lihat nanti ternyata sekelompok besarpersamaan terpenting (disebut juga persamaan diferensiallinear) tidak mempunyai penyelesaian singular, dan definisikita tentang penyelesaian umum dengan mudah dapatdiperluas untuk persamaan yang mempunyai orde lebihtinggi sehingga penyelesaian tersebut

Kita dapat melihat hampir semua persamaandifferensial tertentu pada umumnya mempunyaipenyelesaian. Tetapi harus kita perhatikan bahwaterdapt beberapa persamaan sederhana yang tidakmempunyai penyelesaian sama sekali, dan yang lainnya tidak mempunyai penyelesaian umum. Sebagai contoh, persamaan y’2 = -1 tidak mempunyaipenyelesaian untuk y yang bernilai rill. (mengapa?) persamaan │y’│ + │y│ = 0 tidak mempunyaipenyelesaian umum , sebab penyelesaian hanya y= 0.

Pembentukan model. Penerapan Fisis dan Geometris

Persamaan differensial sangat penting dalam bidangrekayasa, karena banyak hukum dan hubungan fisisyang bentuk matematisnya tampil sebagai persamaandifferensial.

Marilah kita bahas suatu contoh fisis sederhana yang mengilustrasikan langkah khas dari pembentukanmodel, yaitu langkah yang membawa keadaan fisis ( sistim fisis) menuju suatu bentuk matematis (model matematis) dan penyelesaiannya, serta tafsiran fifis darihasil tersebut. Ini merupakan cara termudah undukmendapatkan gagasan pertama tentang sifat dasar anakdan maksud dari persamaan differensial besertapenerapannya.

Disini k merupakan konstanta fisis yang nilainumeriknya diketahui untuk berbagai unsurradioaktif. (Sebagai contoh, pada kasus radium

88Ra226 positif k ≈ -1,4 • 10-11 det-1). Jelas, karenadimulai dengan sejumlah unsur positif yang makinlama makin berkurang, maka dy/dt negatif, demikianjuga k. kita lihat bahwa proses fisis ini dapatdinyatakan secara matematis dengan persamaandiferensial biasa orde pertama. Karena itu, persamaan ini merupakan model matematis dariproses fisis tersebut. Bilamana suatu hukum fisismelibatkan laju perubahan suatu persamaan diferensial. Dengan alasan ini, persamaan diferensial sering tampildalam fisika dan rekayasa.

Langkah kecoa. Penyelesaian persamaan diferensial. Sampai saat ini, metode sistematis untukmenyelesaikan (9) belum kita bahas. Walaupun, (9) memberitahu kita bahwa jika terdapat suatupenyelesaian (t), turunnya haruslah sebandingdengan y. Dari kalkulus kita ingat bahwa fungsieksponensial mempunyai sifat demikian. Kenyataannya, fungsi ekt atau secara umum.

(10) y(t) = cekt

Dengan e konstanta sebarang, merupakanpenyelesaian dari (9) untuk setiap t, yang dapatanda periksa dengan mensubstitusikan (10) pada(9). Karena (10) melibatkan konstanta sebarang, bentuk ini merupakan penyelesaian umum daripersamaan orde pertama (9). [Akan kita lihat nanti

Langkah ketiga. Menentukan penyelesaiankhusus. Jelas bahwa proses fisis kita mempunyaisuatu sifat yang unik. Oleh sebab itu kitamengharapkan dengan menggunakan keteranganyang diberikan, kita dapat memilih nilai numeriktertentu dari e pada (10) sehingga penyelesaiankhusus ini akan menggambarkan proses sebagaimana mestinya. Banyaknya bahan yang ada saat t yaitu y(t) tergantung dari banyaknya bahan mula-mula diberikan, banyaknya bahan 2 gram saat t=0. Karena itu, kita dapat menentukan nilai c sehinggay = 2 saat t = 0. Keadaan ini dinamakan suatukondisi awat (initial condition) karena hal inimenunjukkan keadaan awal dari sistem fisistersebut. Dengan memasukkan kondisi ini

(11) y(0) = 2

Dalam (10) kita dapatkan

y(0) = cc0 = 2 atau c = 2

Jika kita gunakan nilai c ini, maka penyelesaian(10) menjadi bentuk khusus

(12) y(t) = 2 ekt

Penyelesaian khusus dari (9) ini menyatakanbanyaknya bahan yang masih ada pada saat t>0, Konstanta negatif, dan y(t) menurun, sepertiditunjukkan dalam Gambar 5.

Langkah keempat. Pemeriksaan dari (12) didapat

dy/dt = 2kekt dan y(0) = 2e0 = 2

Kita lihat bahwa fungsi (12) memenuhi persamaan (9) sertakondisi awal (11).Diharapkan anda tidak lupa dengan langkah terakhir iniyang menunjukkan apakah funsi yang diperolehmerupakan penyelesaian dari masalah yang diberikan(atau bukan)Marilah kita ikuti masalah geometrs berikut yang jugamenjadi persamaan diferensial.CONTOH 6. PenerapanTentukan kurva yang melalui titik (1,1) dalam bidang-xydengan kemiringan setiap titik –y/x.Penyelesaian. Jelas fungsi yang menyatakan kurva yang diinginkan harus merupakan suatu penyelesaian daripersamaan diferensial(13) y’ = -y/x

Nanti akan kita pelajari bagaimana menyelesaikanpersamaan ini. Saat ini anda hanya dapatmembuktikan bahwa

y=c/x

Merupakan penyelesaian dari (13) untuk setiapnilai dari konstanta c. Beberapa kurva yang berkaitan ditunjukkan pada gambar 6. Karena kitamencari kurva yang melalui titik (1,1), haruslah y = 1 bila x = 1. Hal ini menghasilkan c = 1. Karenaitu penyelesaian dari masalah kita adalah

y = 1/x

Ditinjau dari segi pelaksanaan, pertanyaan yang sangat mendasar adalah bagaimana menyelesaikanpersamaan diferensial tertentu. Pada pasal berikut kitaakan membahas metode terpenting untukmenyelesaikan persamaan diferensial orde pertama, dimulai dari pasal 1.2 yang membahas metodepemisah-peubah, ang mempunyai banyak penerapan. Beberapa penerapan fisis yang khas dan soal-soal darimetode ini akan disajikan pada pasal 1.3. dalam pasal1.4 kita akan melihat bahwa metode ini dapatdikembangkan ke dalam persamaan diferensiallainnya.

Untuk setiap kasus, tentukan orde dari persamaan diferensialberikut dan buktikan bahwa fungsi yang diberikan merupakansuatu penyelesaian1. y’ + 8y = 0, y = ce-8z

2. y” = ex, y = ex + ax + b3. y” + 16y = 0, y = c sin x4. y’ – y cos x = 0, y = c sin x5. y” + 4y’ + 5y = 0, y = e-2x (A cos x + B sin x)

Untuk setiap kasus berikut, buktikan bahwa fungsi yang diberikan merupakan penyelesaian umum dari persamaandiferensial. Gambar kurva yang berkaitan untuk beberapa nilaikonstanta c.6. y’ + y = 0, y = ce-x 7. y’ = -x/y, x2 + y2 = c8. y’ + y = 5, y = ce-x + 5 9. y’2 = 4y, y = 0, y = (x + c)2

t 0 30 60 90 120 150 180

Tahun 18000 1830 1860 1890 1920 1950 1980

Populasi

5.3 13 31 63 105 150 230