04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
-
Upload
yogipragatama -
Category
Documents
-
view
235 -
download
0
Transcript of 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 1/38
MA1114 Kalkulus I 1
4. TURUNAN
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 2/38
MA1114 Kalkulus I 2
4.1 Konsep Turunan
c x
c f x f m PQ −
−=
)()(
4.1.1 Turunan di satu titik
Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema )
a. Garis SinggungKemiringan tali busur PQ adalah :
c
f(c) P
x
f(x) Q
x-c
f(x)-f(c)
Jika x c , maka tali busur PQ akanberubah menjadi garis singgung dittk P dgn kemiringan
c x
f(c) f(x)m
c x −
−=
→lim
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 3/38
MA1114 Kalkulus I 3
b. Kecepatan Sesaat
Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga
posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c bendaberada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h).
Sehingga keepatan rata!rata pada selang "aktu #c $c+h% adalah
c
c+h
Perubahan waktu Perubahan!sisi
s
f(c)
f(c+h)
h
c f hc f v ratarata
)()( −+=−
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 4/38
MA1114 Kalkulus I 4
&ika h '$ diperoleh keepatan sesaat di x = c (
Misal ) = + h$ bentuk diatas dapat dituliskan dala* bentuk
ari dua bentuk diatas ( ke*iringan garis singgung dan keepatan
sesaat terlihat bah"a dua *asalah tersebut berada dala* satu te*a$
yaitu turunan
Definisi 4.1 ( Turunan perta*a ,ungsi f di titik x = c, notasi dide,inisikan
sebagai berikut(
bila li*it diatas ada
h
c f hc f vv
hratarata
h
)()(limlim
00
−+==
→−
→
c x
f(c) f(x)
v c x −
−
= →lim
)(' c f
c x
f(c) f(x)c f
c x −
−=
→lim)('
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 5/38
MA1114 Kalkulus I 5
Notasi lain (
-ontoh ( iketahui tentukan
)(',)(
c ydx
cdf
x ) x( f 1=
=
−
−=
→ 333
3 x ) f( f(x)lim ) f'(
x 3
3
11
lim3 −
−
→ x
x
x
=−
−=
→ ) x(x
x
x 33
3lim
3
91
31lim
3
−=−=→ x x
)3(' f
) x(x
x
x 33
)3(lim
3 −−−
→
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 6/38
MA1114 Kalkulus I 6
4.1.2 Turunan Sepihak
Turunan kiri dari ,ungsi f di titik c $ dide,inisikan sebagai (
Turunan kanan dari ,ungsi f di titik c, dide,inisikan sebagai (
bila li*it ini ada.
ungsi f dikatakan *e*punyai turunan/di,erensiabel0 di c atau
ada$ jika
sebaliknya f dikatakan tidak *e*punyai turunan di c .
)c( f )c( f ' '
+− =
c x
c f x f c f
c x −−
=−→
−)()(
lim)('
c x
f(c) f(x)(c) f
c x
'
−
−=
+
→
+ lim
)(' c f
)c( f )c( f )c( ' f ' ' _ +==dan
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 7/38
MA1114 Kalkulus I 7
Contoh : "iketahui
≥+<+−
=1,21
1,3)(
2
x x
x x x x f
#elidiki aakah f ( x) diferensiabel di x=1 Jika $a, tentukan
Jawab :
a%
b%
Jadi, f diferensiabel di x=1. .1)1(dan ' = f
)1(' f
1
11
1 −−
=−→
− x
)( f ) x( f lim )( f
x
'
1
12132
1 −+−+−
=→ x
)( x xlim
x
1
2
1 −
−=
→ x x xlim
x1
11
1=
−−=
→ x ) x( xlim
x
1
11
1 −
−=
+→
+ x
)( f ) x( f lim )( f
x
'
1
12121
1 −+−+
=→ x
)( xlim
x
122
1 −
−
=→ x
xlim x
111
1
21
=+−
−
=→ ) x )( x(
x
lim x
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 8/38
MA1114 Kalkulus I 8
Teorema 4.1 &ika f di,erensiabel di c f kontinu di c . Bukti : 1ang perlu ditunjukkan adalah
Perhatikan bah"a
Maka
Si,at tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya$ &ika f kontinu di c, *aka belu* tentu f di,erensiabel di c . 2al ini$ ditunjukkan olehontoh berikut.
)()(lim c f x f c x
=→
c xc xc x
c f x f c f x f ≠−
−−+= ,).(
)()()()(
−
−−
+=→→
)()()(
)(lim)(lim c xc x
c f x f c f x f
c xc x
)(lim.)()(
lim)(lim c xc x
c f x f c f
c xc xc x−
−−+=
→→→
0).(')( c f c f += & f(c)% 'erbukti%
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 9/38
MA1114 Kalkulus I 9
Contoh 'unjukkan bahwa f ( x ) & x k!ntinu di x & tetai tidak diferensiabel di x &
Jawab
*kan ditunjukkan bahwa f(x)&x k!ntinu di x&
<−
≥==
0,
0,||)(
x x
x x x x f
) x( f lim x
−→0
00
=−=→
) x( lim x
) x( f lim x +→0
00
==→
xlim x 0)(lim
0=
→ x f
x
)0()(lim0
f x f x
=→
f() &
f kontinu di x=0
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 10/38
MA1114 Kalkulus I 10
0
000 −
−=−→
− x
)( f ) x( f lim )( f x
' 10
00−=−=−−=
→→ x
xlim x
xlim x x
0
00
0 −−
=+→
+ x
)( f ) x( f lim )( f
x
' . x
xlim
x
xlim
x x1
0
00==
−=
→→
#elidiki aakah f terdiferensialkan di x&
1)0()0(1 '' =≠=− +− f f Karena
maka f tidak diferensiabel di 0.
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 11/38
MA1114 Kalkulus I 11
Contoh: 'entukan k!nstanta a dan b agar fungsi f(x) berikutdiferensiabel di x &
≥ <+= 1,
1,)(
2
xax
xb x x f
).(lim)(lim)1(11
x f x f f x x +− →→
==
Jawab : *gar f(x) terdiferensialkan di x & , haruslah
a% f k!ntinu di x & (s$arat erlu)
b% 'urunan kiri & turunan kanan di x & (s$arat cuku)
f k!ntinu di x & jika f k!ntinu kiri dan k!ntinu kanan di x & atau
11limlim1
2
1−=⇔=+=⇔=+=
→→ababaaxb xa
x x
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 12/38
MA1114 Kalkulus I 12
1
)1()(lim)1(
1
'
−
−=
−→
−
x
f x f f
x
2)1()1( '' =⇒= +− a f f
aka dier!leh : a & . dan b & %
1
2
1 −
−+=
→ x
ab xlim x
1
12
1 −
−−+=
→ x
a )a( xlim x 1
12
1 −
−=
→ x
xlim x
1
11
1 −
+−=
→ x
) x )( x( lim x
211
=+=
→
xlim x
1
)1()(lim)1(
1
'
−
−=
+→
+
x
f x f f
x 11 −
−=
→ x
aaxlim x
a x
xlima x
=
−
−=
→ 1
1
1
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 13/38
MA1114 Kalkulus I 13
#!al /atihan
f xa x x
x bx x( )
;
;=
+ ≤ <
− ≥
3 0 1
12
f x
ax b x
x x( )
;
;=
− <
− ≥
2
2 1 22
f x x x
ax b x( )
;
;=
− <+ ≥
2 1 3
2 3
'entukan nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel
di titik $ang diberikan%
, x &
$ x & .
$ x & 0
%
.%
0%
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 14/38
MA1114 Kalkulus I 14
4.2 Aturan Pencarian Turunan
• Fungsi Turunan Pertama
Definisi 4.2 Misalkan f / x 0 terde,inisi pada selang I . ungsi turunan
perta*a dari f $ ditulis $ dide,inisikan sebagai
atau jika h=t-x
bila li*itnya ada.
Notasi lain $ bentuk dikenal
sebagai notasi Leini!.
Ι∈∀−−
=→
x xt
x f t f x f
xt ,
)()(lim)('
Ι∈∀−+=→
xh
x f h x f x f
h,
)()(lim)('
0
)(,,)(
,,' x f D y Ddx
xdf
dx
dy y
x xdx
dy
)(' x f
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 15/38
MA1114 Kalkulus I 15
engan *enggunakan de,inisi tersebut dapat diturunkan aturan
untuk mencari turunan sebagai berikut (
3. &ika f / x 0=k$ *aka
.
5.
4.
6. dengan g / x 0 '.
( ) Rr xr
dx
xd r r
∈= − ;1
( ) (x) g (x) f dx
g(x) f(x)d ' ' +=+
( ))()()()(
)()( '' x g x f x g x f dx
x g x f d +=
( ))(
)()()()(2
'')(
)(
x g
x g x f x g x f
dx
d x g x f −= ≠
0)(' = x f
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 16/38
MA1114 Kalkulus I 16
1ukti aturan ke-2
isal h(x) & f(x)g(x)
h
xhh xh xh
h
)()(lim)('
0
−+=
→ h
x g x f h x g h x f
h
)()()()(lim
0
−++=
→
h
x g x f x g h x f x g h x f h x g h x f
h
)()()()()()()()(lim
0
−+++−++=
→
−+++
−++=
→ h
x f h x f h x g
h
x g h x g h x f
h
)()()(
)()()(lim
0
h
x f h x f h x g
h
x g h x g h x f
hhhh
)()(lim)(lim
)()(lim)(lim
0000
−+++
−++=
→→→→
)(')()(')( x f x g x g x f +=
)(')()()(' x g x f x g x f +=
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 17/38
MA1114 Kalkulus I 17
1
3)(
2 ++
= x
x x f
22
22
1
261
) x(
x x x
+
−−+=
22
2
1
3211
) x(
) x( x ) x.( ) x( ' f
+
+−+=
0%'entukan turunan ertama dari
. ) x(
x x
22
2
1
16
+
+−−=
3!nt!h% 'entukan turunan ertama dari 43)(
23 ++= x x x f
Jawab :
02.33)(' 2 ++= x x x f x x 63 2 +=
.% 'entukan turunan ertama dari )32)(1()( 23 +++= x x x x f
Jawab :
)22)(1()32(3)('322
+++++= x x x x x x f
2222963 34234 ++++++= x x x x x x
22985 234 ++++= x x x x
Jawab :
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 18/38
MA1114 Kalkulus I 18
#!al /atihan
'entukan fungsi turunan ertama dari
)12()1()( 3 +++= x x x x f
1
1)(
−+
= x
x x f
1)(
2
−
= x
x x f
1
1)(
2
2
+
−=
x
x x f
1)( 3 22/1 ++= x x x f %
.%
0%
2%
4%
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 19/38
MA1114 Kalkulus I 19
4." Turunan Fungsi Sinus #an $osinus
7ukti(
a. Misal ,/)0 = sin ) *aka
x x f x x f a cos)('sin)(. =→= x x f x x f b sin)('cos)(. −=→=
xt
xt x f
xt −
−=
→
sinsinlim)('
)2
(
)2
sin(
lim).2
cos(lim0
2
xt
xt
xt xt xt −
−+
=→
−→
xt
xt xt
xt −
−
+
=→
2sin
2cos2
lim
.cos1.cos x x ==
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 20/38
MA1114 Kalkulus I 20
b% isal f(x) & c!s x maka
h
xh x x f
h
cos)cos(lim)('
0
−+=
→ h
x x x
h
cossinhsincoshcoslim
0
−−=
→
h x x
h
sinhsin)1(coshcoslim0
−−=→ h
xh
h x
h
sinhsin
)2
sin(cos
lim
2
0−
−=
→
)sinh
sin4)2/(
)2
sin(cos
(lim2
2
0 h x
h
hh
x
h−
−=
→ h x
h
h
h x
hh
sinhlimsin
42/
)2/sin(limcos
0
2
0)2/( →→−
−=
x x x sinsin0.cos −=−=
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 21/38
MA1114 Kalkulus I 21
5ntuk turunan fungsi trig!n!metri $ang lain daat dier!lehdengan
menerakan rumus erhitungan turunan, khususn$a turunanbentuk u67
( ) ( )dx
d
dx
xd c
x x
cossin
tan. =
x
x x2
22
cos
sincos +=
x2
cos
1= x
2sec=
( ) ( )
dx
d
dx
xd d
x x
sincos
cot. =
x
x x2
22
sin
cossin −−=
x2
sin
1−= x2csc−=
( ) ( )
dx
d
dx
xd e
xcos1sec
. = x
x2cos
sin=
x x
x
cos
1
cos
sin= x x sectan=
( ) ( )
dx
d
dx
xd f
xsin1csc
. = x
x2
sin
cos−=
x x
x
sin
1
sin
cos−= x x cotcsc−=
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 22/38
MA1114 Kalkulus I 22
4.4 Aturan %antai
ndai!an y = f (u) dan u = g ( x). "i!a dan ada , ma!a
-ontoh ( Tentukan dari
&a"ab (
Misal sehingga bentuk diatas *enjadi8arena
dan
*aka
dx
du
du
dy
dx
dy=
du
dy
dx
du
dx
dy)1sin( 2 += x y
12
+= xu
xdx
du2=
u y sin
=
udu
dycos=
)1cos(2 2 += x x
x xdxdy 2)1cos(
2 +=
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 23/38
MA1114 Kalkulus I 23
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy=
→
Jika $ & f(u), u & g(7), 7 & h(x), dan
dx
dv
dv
du
du
dy,, *da, maka
3!nt!h : 'entukandx
dy)5( 34 += xSin ydari
53 += xv
23 x
dx
dv=
Jawab :
isal →u = Sin v )5cos(cos
3 +== xvdv
du
4u y = )5(44 333 +== xSinu
du
dy
→
sehingga
)5()5(12.. 3332 ++== xC! xSin x
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 24/38
MA1114 Kalkulus I 24
-ontoh ( Tentukan
ja"ab (
1))(()(' 222 += x x f dx
d "i#a x f
122 += x )) x( f (
dx
d
x
x x f
2
1)(' 2 +
=⇔
12 22 +=⇔ x x ). x( ' f
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 25/38
MA1114 Kalkulus I 25
( ) y x= −2 3 10
y x= sin3
( ) x x y −= 24 4cos
2
1
1
−
+=
x
x y
'entukan fungsi turunan ertama dari
y = sin x tan [ x 2 + 1 ]
#!al /atihan
y x x
x x=
− +
+ −
2
2
2 5
2 3%
.%
0%
2%
4%
8%
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 26/38
MA1114 Kalkulus I 26
4.& Turunan Tingkat Tinggi
Turunan ke!n didapatkan dari penurunan turunan ke!/n!30.
Turunan perta*a
Turunan kedua
Turunan ketiga
Turunan ke!n
$ontoh ( Tentukan dari
'a(a (
( ) f x
df x
dx' ( ) =
( )2
2
)(#dx
x f d x f =
( )3
3
)('#dx
x f d x f =
( ) ( )n
nn
dx
x f d x f =)(
( ))()( )1()(
x f dx
d x f
nn −=
x x y sin4 3 +=
x x y cos12' 2 += x !in x' ' yma#a −= 24
'' y
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 27/38
MA1114 Kalkulus I 27
( ) y x= −sin 2 1
( ) y x= −2 3 4
y x
x=
+ 1
( ) y x= cos
2π
f c# ( ) = 0 f x x x x( ) = + − −3 23 45 6
g x ax b x c( ) = + +2
3)1(' = g 4)1(''
−= g
*% 'entukan turunan keduadari
1% 'entukan nilai c sehingga bila
3% 'entukan nilai a, b dan c dari bila g () & 4,
dan
#!al /atihan
%
.%
0%
2%
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 28/38
MA1114 Kalkulus I 28
4.) Turunan Fungsi *mp+isit
&ika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dala*bentuk y = f / x 0 *aka y disebut fungsi eksp+isit dari )$ yaituantara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dala*ruas yang berbeda. 7ila tidak de*ikian *aka dikatakan y fungsi imp+isit #ari x .
-ontoh (
Untuk *enentukan turunan dari bentuk i*plisit digunakanaturan rantai dan anggap y ,ungsi dari x .
10.1 223 =++ y x y x
1)sin(.2 22 +=+ y x xy
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 29/38
MA1114 Kalkulus I 29
Jawab
)10()()()( 223
x x x x D y D x D y x D =++
0'2)'23( 322 =+++ y x y y x y x
223 32')12( y x x y y x −−=+
12
32
' 3
22
+
−−
= y x
y x x
y
)10()(.1 223 x x D y x y x D =++
0'22)'()cos( +=++ yy x xy y xy
)cos(2')2)cos(( xy y x y y xy x −−=−
y xy x
xy y x y
2)cos(
)cos(2'
−−−=
)1())sin((.2 22 +=+ y D x xy D x x
10.1 223 =++ y x y x 1)sin(.2 22 +=+ y x xy
'entukan d$6dx dari bentuk imlisit berikut
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 30/38
MA1114 Kalkulus I 30
'$
( ) y xy+ =sin 1
x x y y3 2 23 0− + =
'entukan turunan ertama ( ) dari bentuk imlisit
tan ( x y ) - 2 y =
0
#!al /atihan
x y xy x =+)sin(2
%
.%
0%
2%
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 31/38
MA1114 Kalkulus I 31
4., -aris singgung #an garis norma+
Persa*aan garis singgung ,ungsi y = f / x 0 di titik / x '$y '0dengan ke*iringan m adalah
y – y 0 = m x / x 0 .
9aris yang tegak lurus dengan garis singgung disebutdengan garis nor*al.
Persa*aan garis nor*al di titik /)'$y'0 adalah
).(100 x x
m y y −−=−
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 32/38
MA1114 Kalkulus I 32
42.42.3)6,2('43' 22 =−=→−= y x x y
24 −= x y
)2(46 −=− x y
2
1
4
16)2(
4
16 +−=−⇔−−=− x y x y
.2
13
4
1+−= x y
Jawab :
#ehingga ersamaan garis singgung di titik (.,8) :
Persamaan garis n!rmal dititik (.,8) :
Contoh: 'entukan ersamaan garis singgung dan garisn!rmal
fungsi di (.,8)%
62 23 +−= x x y
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 33/38
MA1114 Kalkulus I 33
'entukan ersamaan garis singgung dan garis n!rmal ada kur7a
0622 =−− xy y x di titik dengan absis( x) &
Jawab :
Jika disubstitusikan nilai x & ada ersamaan kur7a dier!leh
062
=−− y y 0)2)(3( =+− y y⇔
)0()6( 22
x x D xy y x D =−−
y & 0 dan y & -.
#ehingga dier!leh titik dimana akan ditentukanersamaan garis singgung dan garis n!rmaln$a adalah(,0) dan (,-.)9itung terlebih dahulu ' y dengan menggunakan turunan fungsi im
⇔ 00)'('22 22 =−+−+ xy y yy x xy
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 34/38
MA1114 Kalkulus I 34
0''22 22 =−−+ xy y yy x xy
22 2')2( xy y y x y x −=− x y x
xy y y−
−=2
2
22'
"i titik (,0)
35
15
13.1.2
9.1.23|' )3,1( −=
−=
−−
= y
Persamaan garis singgung33)1(33 +−=−−=− x x y
63 =+ y x
Persamaan garis n!rmal
35
35)1(
353 −=−=− x x y
83 −=− y x
⇒
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 35/38
MA1114 Kalkulus I 35
"i titik (,-.)
25
10
1)2.(1.2
4.1.22|' )2,1( =
−
−=
−−
−−=− y
Persamaan garis singgung
22)1(22 −=−=+ x x y
42 =− y x
Persamaan garis n!rmal
2
1
2
1)1(
2
12 +−=−−=+ x x y
32 −=+ y x
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 36/38
MA1114 Kalkulus I 36
4. Diferensia+ #an 3ampiran
4..1 Diferensia+ &ika ada$ *aka
Untuk sangat keil $ *aka mPQ= mPT yakni$
Definisi 4.4 &ika y = f / x 0 di,erensiabel di x, *aka
i,erensial dari x $ dinyatakan dengan dx $ adalah
i,erensial dari y $ dinyatakan dengan dy $ adalah
x
y
x
x f x x f x f
x x ∆∆
=∆
−∆+=
→∆→∆ 00lim
)()(lim)('
P
Q
x x x ∆+x
x∆ x x f y x f x
y∆≈∆≈
∆∆
)(',)('
.
xdx ∆=dx x f dy )('=
)(' x f
'
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 37/38
MA1114 Kalkulus I 37
4..2 3ampiran
Perhatikan ke*bali ga*bar sebelu*nya$
Misalkan y = f / x 0 di,erensiabel di inter:al ; yang *e*uat x dan x + < x. &ika x
dita*bah < x $ *aka y berta*bah sepadan dengan <y yang dapat diha*piri oleh
dy .
&adi $ /0
$ontoh : 2a*piri
'a(a ( Pandang$
engan pers /0
x x f x f dy x f x x f ∆+=+≈∆+ )(')()()(
3 28
32%2%)2%()( 33
1
3
1
===⇒= f x x f
2%
1
)3(3
1
)2%(3
1
)2%('3
1
)(' 3
2
33
2
3
2
===⇒=
−−−
f x x f
)2%28)(2%(')2%()28( −+≈ f f f .2%
13=
7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer
http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 38/38
MA1114 Kalkulus I 38
#!al /atihan
( ) y xy+ =sin 1
% "iketahui kur7a $ang din$atakan secara imlisit
'entukan ersamaan garis singgung dan garis n!rmal di)1,(π
2,8
1,36
.% unakan diferensial untuk menghamiri
a%
b%
3)0(',0)0(,2)0(' === g g f ).0()'( g f 0% Jika diketahui tentukan