26

BAB III

LANDASAN TEORI

3.1 Analisis Statistik

Analisis statistik digunakan untuk melihat kecenderungan pola penyebaran

suatu kumpulan data yang akan diolah secara statistik. Berdasarkan analisis

statistik ini dapat dijelaskan korelasi dan kecenderungan data sehingga dapat

ditentukan metode penaksiran yang sesuai dengan pola penyebaran data yang

dimiliki. Adapun analisis statistik yang umumnya digunakan adalah :

� Statistik Univarian

Merupakan metode statistik yang digunakan untuk menganalisis hubungan

antar masing-masing data dari suatu populasi tanpa memperhatikan lokasi dari

data-data tersebut.

� Statistik Bivarian

Merupakan metode statistik yang digunakan untuk menganalisis hubungan

dari 2 (dua) kumpulan data atau variabel populasi yang berbeda, tetapi terletak

pada lokasi yang sama.

� Statistik Spasial (Geostatistik)

Merupakan metode statistik yang digunakan untuk menganalisis kumpulan

data atau variabel populasi dengan mempertimbangkan faktor ruang (spasial)

dari data-data tersebut. Geostatistik merupakan suatu studi secara statistik

mengenai fenomena alam, dimana diterapkan suatu rumus fungsi acak dengan

tujuan untuk mengetahui dan mengestimasi fenomena alam tersebut.

3.1.1 Statistik Univarian

Statistik univarian digunakan untuk menggambarkan distribusi dari peubah-

peubah tunggal dan dapat dimanfaatkan untuk menganalisis hubungan antar data

dari suatu populasi tanpa memperhatikan lokasi dari data-data tersebut. Hasil dari

statistik ini pada umumnya direpresentasikan dalam bentuk tabel frekuensi atau

histogram. Histogram merupakan suatu gambaran dari distribusi suatu data ke

27

dalam beberapa kelas yang memiliki interval kelas tertentu dan kemudian

menentukan jumlah data dari masing-masing kelas (frekuensi). Interval kelas dari

suatu histogram dapat dihitung dengan persamaan :

(3.1)

dimana range adalah jangkauan data dan k adalah banyaknya data, H.A. Sturgers

(1926) mengemukakan bahwa jika n menyatakan banyaknya jumlah data, maka :

(3.2)

Parameter statistik lainnya yang digunakan untuk analisis statistik univarian

adalah sebagai berikut :

� Mean ( atau rata-rata adalah nilai yang mewakili sekelompok data dan

nilainya mempunyai kecenderungan berada ditengah-tengah populasi (rata-

rata dari populasi data), secara matematis dinyatakan dengan persamaan :

(3.3)

� Median yaitu nilai pertengahan data yang telah disusun dari yang besar ke

yang kecil atau sebaliknya. Nilai tersebut terletak di tengah (jika jumlah

datanya ganjil) atau rata-rata kedua nilai di tengahnya (jika jumlah datanya

genap) dari suatu populasi data yang telah disusun dalam suatu jajaran data.

� Modus yaitu nilai yang memiliki frekuensi terbesar atau nilai yang paling

banyak muncul dalam suatu populasi. Modus mungkin ada dan mungkin juga

tidak ada.

� Range yaitu ukuran variasi sederhana yang menyatakan penyebaran nilai data.

Range dinyatakan dengan persamaan :

range = Xmaximum – Xminimum (3.4)

Akan tetapi range ini kurang cocok dalam suatu analisis statistik univarian

karena sangat sensitif terhadap nilai data yang ekstrim.

� Varians ( ) yaitu ukuran variansi yang menyatakan penyebaran data

disekitar rataan. Varians dinyatakan dengan persamaan :

(3.5)

28

� Simpangan baku ( adalah akar kuadrat dari varians, merupakan nilai yang

mengukur rata-rata selisih jarak masing-masing nilai individu dari suatu

kelompok nilai terhadap rata-ratanya. Simpangan baku dinyatakan dengan

persamaan :

(3.6)

� Koefisian variansi adalah suatu parameter yang menunjukan keheterogenan

suatu kelompok data. Semakin besar nilai koefisien variansi, maka sifat data

tersebut semakin heterogen. Koefisien variansi dapat juga digunakan untuk

membandingkan 2 (dua) kelompok data. Koefisien variansi dinyatakan dengan

persamaan sebagai berikut :

Koefisien variansi (3.7)

� Skewness atau ukuran kemiringan kurva adalah kecenderungan distribusi data

dilihat dari ukuran simetris atau tidaknya suatu kurva histogram. Skewness

positif menyatakan distribusi data lebih banyak berada pada nilai yang lebih

rendah sedangkan skewness negatif menyatakan data terdistribusi lebih banyak

pada nilai yang lebih tinggi. Skewness ini sangat penting karena pada

umumnya data geoscience (misalnya data distribusi kadar mineral) memiliki

distribusi data yang menunjukkan skewness positif atau skewness negatif dan

jarang dijumpai data yang memiliki distribusi normal. Skewness dinyatakan

dengan persamaan :

Skewness (3.8)

� Kurtosis merupakan suatu ukuran yang menunjukkan kecenderungan

keruncingan puncak data. Kurtosis dinyatakan dengan persamaan :

Kurtosis (3.9)

Skewness maupun kurtosis pada umumnya digunakan untuk menunjukkan

apakah data terdistribusi normal atau tidak.

29

Gambar 3.1 Skewness dari beberapa kurva histogram. a) kurva simetris;

b) negative skewness; dan c) positif skewness.

3.1.2 Statistik Bivarian

Metode statistik dapat juga digunakan untuk menganalisis distribusi dua

buah kumpulan peubah yang berbeda tetapi terletak pada lokasi yang sama.

Metode statistik bivarian yang biasa digunakan adalah diagram pencar (scatter

plot), yaitu penggambaran dua peubah dalam satu grafik X – Y. Kedua peubah

mempunyai hubungan positif jika kedua peubah tersebut cenderung memiliki nilai

berbanding lurus. Jika kedua peubah tersebut cenderung menunjukan nilai yang

berbanding terbalik, maka kedua peubah tersebut mempunyai hubungan negatif.

Apabila penyebaran data kedua peubah cenderung acak, maka kedua peubah

tersebut dikatakan tidak mempunyai hubungan.

Gambar 3.2 Diagram pencar beberapa pasangan data yang menunjukan hubungan

korelasi antar pasangannya.

30

Hubungan yang terjadi antara dua peubah pada analisis statistik bivarian

dinyatakan dengan koefisien korelasi ( ) yang didefinisikan sebagai :

(3.10)

Keterangan : n = jumlah data

Xi,…,Xn = nilai data peubah X

Yi,…,Yn = nilai data peubah Y

µx = nilai rata-rata peubah X

µy = nilai rata-rata peubah Y

σx = simpangan baku peubah X

σy = simpangan baku peubah Y

Selain itu, untuk menggambarkan hasil diagram pencar dapat juga dilihat melalui

nilai kovarians ( yang didefinisikan sebagai berikut :

(3.11)

Sedangkan untuk memperkirakan hubungan antara dua peubah dan untuk

mengestimasi nilai dari suatu data (populasi) yang saling berhubungan yang sulit

dinyatakan dengan metode matematis lainnya dapat digunakan regresi linier yang

didefinisikan secara matematis sebaga berikut :

(3.12)

Keterangan : = kemiringan garis regresi (slope)

= perpotongan garis regresi (Y-intercept)

31

= simpangan baku

3.1.3 Statistik Spasial (Geostatistik)

Geostatistik merupakan suatu studi probabilistik mengenai fenomena alam,

dimana di dalamnya diaplikasikan rumus fungsi acak dengan tujuan untuk

mengetahui dan mengestimasi fenomena alam tersebut.

Suatu peubah yang terdistribusi dalam ruang disebut sebagai variabel

terregional (regionalized variable). Variabel ini umumnya mencirikan suatu

fenomena tertentu, misalnya kadar bijih yang merupakan karakteristik suatu

mineral.

Matheron (1963) menjelaskan bahwa gejala geologi mempunyai peubah

teregional yaitu nilai conto selalu mempunyai hubungan letak ruang dengan conto

lainnya. Semakin dekat nilai dua titik conto, semakin besar hubungan letak

ruangnya. Fenomena alam yang menyajikan variabel teregional disebut

regionalisasi. Secara matematis peubah teregional merupakan penyajian fungsi

f(x) yang menenpati setiap titik pada ruang.

Dua buah nilai data dengan letak berdekatan mempunyai kemungkinan

lebih besar untuk bernilai seragam dibandingkan dengan dua nilai data yang saling

berjauhan. Untuk menaksir kadar bijih guna mengkuantifikasi korelasi ruang antar

conto digunakan suatu perangkat statistik yang disebut variogram. Variogram

adalah suatu fungsi vektor yang dapat digunakan untuk mengkuantifikasi tingkat

kemiripan atau variabilitas antara dua conto yang terpisah oleh jarak tertentu.

Sifat-sifat yang merupakan ciri khas dari variabel teregional antara lain :

� Suatu variabel terregional terlokalisir (menempati lokasi tertentu), variasi

terjadinya deposit, ukuran, dan orientasi tertentu.

� Variabel terregional dapat mencerminkan variasi kontinuitas yang relatif tinggi

ataupun rendah.

� Variabel terregional kemungkinan mencerminkan anisotropi, artinya tingkat

distribusi varians dari variabel berbeda pada masing-masing arah.

32

3.2 Variogram

Variogram merupakan suatu metode analisis secara geostatistik yang

berfungsi untuk mengkuantifikasi tingkat kemiripan atau variabilitas antara dua

conto yang terpisah pada jarak tertentu. Data yang dekat dengan titik yang ditaksir

memiliki kecenderungan nilai yang lebih mirip dibandingkan data yang lebih jauh.

Variogram dihitung dengan suatu algoritma yang sederhana yaitu perbedaan rata-

rata antara dua titk conto dengan jarak tertentu. Sehingga, perbedaan tersebut

kemungkinan lebih kecil atau lebih besar dari 0 (nol), agar perbedaan tersebut

selalu lebih besar dari 0 (nol) maka perlu diaplikasikan perhitungan statistik yang

berdasarkan pada perbedaan kuadrat.

Delfiner mendefinisikan bahwa perbedaan kuadrat tersebut diasumsikan

sebagai ekspektasi , sehingga definisi variogram menjadi :

(3.13)

Berdasarkan fungsi tersebut maka suatu semivariogram didefinisikan dengan

persamaan sebagai berikut :

(3.14)

Keterangan : N (h) = jumlah pasangan data berjarak h.

= semivariogram untuk arah tertentu dari jarak h.

= nilai data pada titik

= Nilai data pada titik yang berjarak h dari

Persamaan diatas hanya berlaku bagi data dengan jarak antar pasangan

(lag) yang sama sebesar h dan berarah 0°. Sedangkan untuk data yang memiliki

jarak antar conto tidak teratur diperlukan suatu toleransi untuk kedua variabel

tersebut.

David (1977) menjelaskan istilah angle classes (θ±α/2) dan distance

classes (h±∆h) sebagai toleransi untuk menghitung pasangan data dengan jarak

33

h

2h

antar data yang tidak teratur. Semua titik conto atau data yang berada pada search

area yang didefinisikan dengan angle classes dan distance classes akan dianggap

sebagai titik-titik conto yang berjarak h dari titik x0 (titik origin) pada arah yang

dimaksud.

Search Area

h

θ

∆h α/2

α/2

x0

Gambar 3.3 Searching area untuk variogram dengan angle classes (θ±α/2) dan

distance classes (h±∆h) (David, 1977).

3.2.1 Variogram Eksperimental

Variogram eksperimental dibuat berdasarkan pengukuran korelasi spasial antara 2

(dua) conto/data yang dipisahkan dengan jarak tertentu sebesar h. Data tersebut

merupakan data yang diperoleh dari pengukuran di lapangan, dapat berupa data

kadar, ketebalan, ketinggian topografi, porositas, dan permeabilitas. Pencarian

pasangan data dalam variogram dapat diilustrasikan sebagai berikut (gambar 3.4) :

x1 x2 x3 x4 x5

Gambar 3.4 Pencarian pasangan data dalam perhitungan variogram

34

Pada arah atau baris tertentu terdapat n buah data dengan jarak tertentu sebesar h,

dimana dalam tiap baris terdapat (n – 1) pasangan data untuk menghitung

variogram γ(h) dan (n – 2) pasangan data untuk menghitung variogram γ(2h) dan

seterusnya hingga mencapai lag tertentu yang tergantung dari jumlah n data.

Kemudian hasil perhitungan variogram di plot pada suatu koordinat kartesian

antar jarak antar pasangan data (h) dan variogram γ(h) (Gambar 3.5).

Gambar 3.5 Variogram eksperimental

3.2.2 Variogram Model Teoritis

Pada umumnya, variogram eksperimental sangat berguna untuk

menganalisis karakteristik struktur suatu endapan bahan galian, tetapi tidak dapat

secara langsung digunakan dalam perhitungan cadangan. Oleh karena itu

diperlukan suatu model variogram teoritis untuk kemudian dilakukan proses

fitting terhadap variogram eksperimental. Model teoritis variogram ini

diekspresikan dengan suatu model matematis.

Model variogram berfungsi untuk mengestimasi fenomena variabel

terregional dalam suatu endapan bahan galian dengan cara menentukan parameter-

parameter variogram, yaitu range , sill , dan nugget effect . Nilai range

dapat digunakan untuk menentukan search distance penaksiran cadangan.

Terdapat beberapa jenis model variogram antara lain model sferis (Matheron),

model eksponensial, model parabolik (Gaussian).

γγγγ(h)

1h h 2h 3h 4h 5h 6h 7h

35

γγγγ(h)

h

γγγγ(∞∞∞∞)=C

2/3a a

Model variogram yang banyak digunakan dan umumnya terjadi pada

endapan mineral adalah model variogram sferis (David,1977 , Barnes,1979).

Fungsi matematisnya berbentuk polinomial sederhana, dimana variogram akan

mencapai suatu nilai yang tetap (finite) untuk h yang tidak terbatas. Nilai finite ini

dinamakan sebagai sill (Gambar 3.6).

Persamaan matematis untuk model variogram sferis ini adalah :

untuk h ≤ a

untuk h > a (3.15)

untuk h = 0

Gambar 3.6 Variogram model sferis (model Matheron).

Model variogram ini akan berperilaku linier di dekat titik awal yaitu pada

nilai h yang kecil hingga mencapai batas sill, dimana menyatakan adanya suatu

variabel dengan kontinuitas sedang. Model variogram sferis adalah model

variogram yang pada umumnya berlaku pada data kadar bijih. Selain itu, model

ini akan memberikan galat terkecil sehingga cocok untuk menaksir besarnya

kandungan cadangan mineral dibandingkan dengan model lainnya. Jika ditarik

garis tangensial dari titik origin γ(0), maka garis tersebut akan memotong garis sill

pada posisi 2/3 a dan ini dapat digunakan untuk menghitung besarnya nilai a

(range of influence).

36

Nugget effect merupakan petunjuk bahwa data mempunyai ketidakteraturan

yang tinggi. Nugget effect dapat dihindari dengan memperkecil jarak (Darijanto,

1999). Apabila nugget pada suatu model variogram tinggi, maka akan dihasilkan

nilai bobot conto yang hampir sama untuk semua conto, akibatnya penaksiran

kriging akan mirip dengan nilai rata-rata biasa.

3.2.3 Fitting Variogram

Metode yang umum digunakan dalam melakukan fitting variogram ada 2

(dua), yaitu : metode visual dan metode least square. Para ahli geostatistik lebih

banyak menggunakan metode visual (manual) untuk fitting variogram karena

hasilnya sudah cukup memuaskan (David, 1979). Namun, pekerjaan ini sangat

tergantung dari pengalaman dan sense seseorang. Tujuan dari fitting ini adalah

untuk menentukan parameter geostatistik seperti , C, dan C0.

Berikut ini adalah beberapa pedoman penting dalam melakukan fitting variogram

(Darijanto, 1999) :

� Variogram yang mempunyai pasangan conto yang sangat sedikit agar

diabaikan.

� Nugget variance (C0) didapat dari perpotongan garis tangensial dari beberapa

titik pertama variogram dengan sumbu Y.

� Sill (C0+C) kira-kira sama dengan atau mendekati varians populasi. Garis

tangensial di atas akan memotong garis sill pada jarak 2/3 range ( ),

sehingga selanjutnya dapat dihitung harga (David, 1977 , Clark, 1979 ,

Leigh and Readdy, 1982).

� Interpretasi nugget variance untuk variogram dengan sudut toleransi 180°

(variogram rata-rata) akan sangat membantu untuk memperkirakan besarnya

nugget variance (David, 1979).

� Nugget variance diambil dari multiple variogram (dalam berbagai arah).

Dalam multiple variogram, best spherical line sebaiknya lebih mendekati

variogram yang mempunyai pasangan conto yang cukup.

37

Menurut Ishak dan Srivasta (1989) perbedaan skala dan range tidak akan

mempengaruhi hasil pembobotan, namun berpengaruh pada hasil variansi. Model

variogram yang mempunyai nilai nugget tinggi memiliki kecenderungan untuk

mirip dengan model variogram bernilai range yang sangat kecil.

3.2.4 Daerah Pengaruh ( Range )

Secara umum γ(h) akan naik dengan bertambahnya harga h, artinya

besarnya perbedaan harga pada dua titik conto akan sangat tergantung dengan

jarak antara kedua titik tersebut.

Kenaikan harga γ(h) tersebut akan berlangsung selama masih terdapat

pengaruh harga antar titik conto tersebut, daerah ini dikenal dengan nama daerah

pengaruh suatu conto, sampai akhirnya konstan di suatu harga γ(∞) = C (sill)

yang merupakan varians populasi (variance a priori).

Daerah pengaruh suatu conto ini mempunyai suatu jarak dengan notasi a

yang dikenal dengan nama daerah pengaruh (range). Di luar jarak ini maka rata-

rata variasi harga Z(x) dan Z(x+h) tidak lagi tergantung dengan jarak, dengan kata

lain Z(x) dan Z(x+h) tidak berkolerasi satu dengan yang lainnya. Range (a) adalah

suatu ukuran untuk daerah pengaruh (Gambar 3.7).

Gambar 3.7 Daerah pengaruh (range) suatu variogram eksperimental

γγγγ (h)

γγγγ (∞∞∞∞)

C = sill

a (range) h

38

3.2.5 Isotropi dan Anisotropi

Perilaku suatu variabel terregional (regionalized variable) dalam ruang 3

(tiga) dimensi dapat diselidiki dengan cara membuat variogram dalam berbagai

arah. Pada umumnya variogram dibuat dalam beberapa arah yang berbeda-beda

karena jarak (h) merupakan suatu vektor. Suatu penyelidikan perubahan γ(h)

sesuai dengan arah orientasinya memungkinkan munculnya suatu anisotropi.

Apabila variogram-variogram yang dibuat dalam berbagai arah sama, maka

dapat diartikan bahwa γ(h) merupakan suatu fungsi dari harga-harga absolut

vektor rh . , jika h1, h2, dan h3 adalah komponen

vektor rh , sehingga dikatakan bahwa endapan tersebut adalah isotropi (homogen).

Model anisotropi adalah model variogram-variogram yang mempunyai

bentuk yang berbeda pada arah yang berbeda. Untuk membuat suatu variogram

anisotropi perlu dibuat variogram secara incremental, pada umumnya dilakukan

dengan cara trial and error. Pada proses pencarian data perlu dilakukan penentuan

toleransi jarak dan toleransi sudut (angle of classes dan dictance classes).

Secara umum dikenal dua macam anisotropi, yaitu anisotropi geometris dan

anisotropi zonal. Kondisi anisotropi geometri akan menyebabkan range berubah

pada berbagai arah, namun nilai sill akan tetap. Jika digambarkan pada bidang,

range anisotropi geometri akan membentuk ellips. Sedangkan, anisotropi zonal

terjadi jika variogram pada arah tertentu sangat berbeda sekali.

39

γ(h)

C

aUS aTL aTG aBT h

γ(h)

C1

C2

h

γ2

γ1

Gambar 3.8 Model variogram anisotropi geometri (A) dan anisotropi zonal.(B).

3.3 Metode Kriging

Hubungan antara kadar suatu conto pemboran dengan kadar blok akan

memperlihatkan suatu pencaran sistematis. Conto bor tersebut bukan merupakan

suatu harga estimasi yang paling baik untuk menaksir kadar blok, sehingga

diperlukan suatu koreksi. Penentuan koreksi ini diberikan oleh Matheron melalui

pembobotan conto dengan bantuan fungsi variogram. Cara atau metode ini

dinamakan metode kriging yang diambil dari pakar geostatistik di Afrika Selatan

yaitu D.G. Krige yang telah memikirkan metode penaksiran cadangan ini untuk

pertama kalinya pada awal tahun limapuluhan.

Gambar 3.9 Hubungan kadar suatu conto pemboran dengan kadar blok, (a) tanpa

koreksi dan (b) dengan koreksi berupa metode kriging

Dalam hal semua hasil analisa conto pemboran merupakan estimasi yang

benar atau sesuai terhadap kadar setiap blok yang diwakili conto tersebut, maka

pencaran pasangan data antara kadar conto dengan kadar blok tersebut akan

A B

z

_

Z

_

kadar blok

kadar conto

A

A' (a)

z

_

Z

_

Z1'

Kadar blok

Z2

Z2'

Z1

B

Kadar conto

z2 z1 A

A'

B'

z1 > Z1

z2 < Z2

(b)

40

membentuk garis regresi A-A’ yang melalui titik 0 (nol). Penelitian D.G. Krige

pada perilaku kadar conto emas menunjukan bahwa garis regresi tersebut pada

kenyataannya lebih mendatar, seperti yang ditunjukan garis B-B’ (Gambar 3.9 b).

Hal tersebut menyatakan bahwa simpangan terbentuk secara sistematik dan nilai

kadar conto bor bukan merupakan suatu estimasi yang baik terhadap kadar blok

yang diwakili oleh conto bor tersebut.

Koreksi matheron yang memperhatikan variogram dari analisa data

regional memperlihatkan bahwa estimasi kadar blok tidak hanya dipengaruhi oleh

conto yang terletak di dalam blok saja, tetapi juga dipengaruhi oleh conto-conto di

sekitarnya yang berdekatan. Koreksi ini akan memberikan suatu harga estimasi

yang lebih baik dan suatu varians dari estimasi tersebut.

Dengan bantuan metode kriging ini tidak akan ditentukan garis regresi baru yang

lebih baik, tetapi metode ini akan mengoreksi kadar-kadar conto pemboran,

dimana nilainya akan dinaikan atau diturunkan, sehingga mempersempit ellips

pencaran data.

Royle & Newton (1972) telah menyelidiki bermacam-macam model

koreksi dan menghasilkan solusi bahwa proses kriging ini memberikan harga-

harga penaksiran kadar-kadar blok yang terbaik berdasarkan kadar-kadar conto

yang telah dikoreksi.

3.3.1 Sistem Persamaan Kriging

Misalkan terdapat suatu kumpulan S1 dari n conto dengan volume yang

sama pada suatu tempat xi. Z* merupakan hasil taksiran harga terhadap suatu

kadar Z dari volume V. Harga estimasi kadar ini dapat dihitung melalui

pembobotan rata-rata tertimbang (weighted average) kadar-kadar conto z(xi).

(3.16)

Jumlah faktor pembobotan λi dibuat sedemikian rupa sehingga sama dengan satu.

(3.17)

41

Dengan demikian taksiran ini tidak bias, artinya harga yang diharapkan untuk

perbedaan Z dan Z* adalah nol.

E[Z – Z*] = 0 (3.18)

Varians estimasi dengan memperhatikan faktor pembobotan tersebut adalah :

(3.19)

Varians estimasi merupakan suatu fungsi dari faktor-faktor pembobotan λi.

Faktor-faktor pembobotan yang optimal diperoleh dengan cara meminimumkan

varians estimasi tersebut. Untuk meminimumkan varians estimasi tersebut

didekati dengan suatu multiplikator Lagrange dengan persamaan sebagai berikut :

min )1( 22 ⇒−− ∑= iEQ λµσ (3.20)

Selanjutnya didapat sistem persamaan linier (kriging system) sebagai berikut:

dxxxV

xxV

iji

n

j

j )(1

)(1

∫∑ −=+−=

γµγλ (3.21)

atau ),(),(1

VSSS iji

n

j

j γµγλ =+∑=

(3.22)

dan

Sistem persamaan ini cukup untuk menentukan harga-harga λj dan µ yang akan

menghasilkan suatu varians minimum.

Varians penaksiran (kriging variance) akan diekspresikan melalui

persamaan berikut ini :

∫ ∫ ∫∑ −−−−==V V V

j

n

j

jK dxxxV

dyyxdxVV

)(1

)(1

1

2 γλγσ (3.23)

*][ 2 ZZVarE −=σ

)( )(1

)(2

1 11

jij

V V

n

i

n

j

ii

V

n

i

i xxdydxyxVV

dyyxV

−−−−−= ∫ ∫ ∑∑∫∑= ==

γλλγγλ

),( ),(),( 21 11

jj

n

i

n

j

ii

n

i

i SSVVVS γλλγγλ ∑∑∑= ==

−−=

42

atau ),( ),(1

2 VSVV j

n

j

jK γλµγσ ∑=

++−= (3.24)

Berikut ini diuraikan persamaan untuk menghitung λ dan µ yang

merupakan konstanta-konstanta yang tidak dikenal :

)( )(. ... )(. ... )(.)(. 111212111 VSSSSSSSSS nnjj γµγλγλγλγλ =++++++

)()(. ... )(. ... )(.)(. 222222121

MMMMMM

VSSSSSSSSS nnjj γµγλγλγλγλ =++++++

)()(. ... )(. ... )(.)(. 2211

MMMMMM

VSSSSSSSSS jnjnjjjjj γµγλγλγλγλ =++++++

1 = ... ...

)()(. ... )(. ... )(.)(.

21

2211

nj

nnnnjnjnn VSSSSSSSSS

λλλλ

γµγλγλγλγλ

+++

=++++++

Dengan memprhatikan bahwa )()( ijji SSSS γγ = , maka akan memberikan suatu

matriks sebagai berikut :

•

1

)(

)(

)(

)(

=

0 1 ... 1 ... 1 1

1)(...)(...)()(

1)(... )(... )()(

1)(...)(...)()(

1)(...)(... )()(

1

1

3

2

1

21

21

222212

112111

VS

VS

VS

VS

SSSSSSSS

SSSSSSSS

SSSSSSSS

SSSSSSSS

n

j

nnnjnnn

nijiii

nj

nj

γ

γ

γ

γ

µ

λ

λ

λ

λ

γγγγ

γγγγ

γγγγ

γγγγ

M

M

M

M

MMMM

MMMM

Matriks )( jiSSγ merupakan suatu matriks yang simetris. Sistem persamaan tersebut di

atas dapat dituliskan sebagai berikut :

[ ] [ ] [ ]MLK =⋅ (3.25)

Persamaan ini akan diselesaikan terhadap L untuk mendapatkan λi dan µ sehingga

diperoleh persamaan :

[ ] [ ] [ ]MKL .1−= (3.26)

43

Varians kriging dapat dituliskan dengan persamaan berikut :

[ ] [ ]MLVVt

K ⋅+−= ),(2 γσ (3.27)

3.4 Model Blok Cebakan Mineral

Model blok telah umum digunakan untuk pemodelan cadangan berupa

suatu cebakan mineral. Hal ini dimulai pada akhir tahun enampuluhan, ketika

komputer mulai digunakan proses pekerjaan perhitungan cadangan dan

perencanaan tambang. Volume 3 (tiga) dimensi cebakan mineral yang akan

ditambang kita bagi ke dalam unit-unit yang lebih kecil (blok/unit penambangan

terkecil). Dalam kerangka model blok inilah semua tahap pekerjaan akan

dilakukan, mulai dari penaksiran kadar, perancangan batas penambangan hingga

ke perencanaan tambang jangka panjang dan jangka pendek. Dimensi unit-unit

blok tergantung pada jenis cebakan mineral, tujuan pembuatan model, dan metode

penambangan. Tiap-tiap blok akan memiliki atribut (variabel model) misalnya

topografi, jenis batuan, berat jenis, taksiran kadar, klasifikasi hasil taksiran, aspek

pengolahan atau metalurgi.

44

Gambar 3.10 Skema tiga dimensi model blok cebakan mineral (Darijanto, 1999)

3.5 Pemodelan dan Estimasi Cadangan

Pemodelan dan estimasi cadangan adalah suatu kegiatan yang menjadi

dasar perencanaan tambang. Pemodelan dan estimasi cadangan harus dilakukan

sebelum kegiatan penambangan dimulai. Berikut ini adalah beberapa alasan

dilakukannya pemodelan dan estimasi cadangan (Mulyono, 2004) :

1. Memberikan estimasi kuantitas (tonase) dan kualitas (kadar) cadangan bijih.

2. Memberikan perkiraan bentuk tiga dimensi (3D) cadangan bijih dan distribusi

spasial dari kadarnya. Hal ini sangat membantu dalam penentuan cara

penambangan, metode penambangan, rancangan push back, serta

perencanaan peralatan dan tenaga kerja.

3. Jumlah cadangan akan menentukan umur tambang.

4. Batas-batas kegiatan penambangan dibuat berdasarkan taksiran cadangan.

Penentuan lokasi pabrik pengolahan, bengkel, dan fasilitas pendukung

45

lainnya harus dipilih secara tepat sehingga kegiatan penambangan dapat

berjalan secara efektif dan efisien.

Model cadangan yang dibuat merupakan pendekatan dari kenyataan dan

dibuat berdasarkan informasi dan data-data yang dimiliki. Model cadangan dan

hasil estimasi cadangan selalu mengandung unsur ketidakpastian. Namun suatu

model cadangan dan taksiran cadangan yang baik harus memenuhi persyaratan

sebagai berikut (Mulyono, 2004) :

1. Suatu penaksiran cadangan harus mencerminkan secara tepat kondisi geologi

dan karakter mineralisasinya.

2. Suatu model cadangan bijih yang akan digunakan untuk perancangan tambang

harus konsisten dengan metode penambangan dan teknik perencanaan

tambang yang akan diterapkan.

3. Model cadangan harus dibuat dari data-data faktual dan diolah secara objektif.

Data yang digunakan harus didapat dari kegiatan eksplorasi yang terpercaya

dan pembobotan data yang berbeda dilakukan dengan alasan yang jelas.

4. Model yang dibuat harus dapat dilakukan verifikasi. Verifikasi perlu

dilakukan karena kesalahan kecil pada suatu nilai individu dapat memberikan

efek terhadap penghalusan korelasi, analisis statistik parameter, ataupun

geostatistik. Sumber kesalahan ini dapat berupa human error (proses

pemasukan data) ataupun kesalahan saat menentukan asumsi, batasan maupun

saat korelasi.

Verifikasi dilakukan sebelum dan sesudah model dibuat, hal ini dilakukan

untuk melihat apakah terjadi kesalahan dalam proses pemodelan. Dengan

melakukan verifikasi dapat diketahui kecenderungan distribusi kadar dan tonase

dalam model grid atau blok dibanding hasil sebenarnya dari penambangan.

Beberapa cara dan langkah verifikasi yang dapat dilakukan adalah sebagai

berikut (Mulyono, 2004) :

1. Melakukan analisis statistik data.

Kadar blok hasil pemodelan dibandingkan dengan kadar conto yang

digunakan (assay atau komposit). Analisis silakukan berdasarkan statistik

dasar meliputi nilai rata-rata (mean), nilai tengah, kuartil atas, kuartil bawah,

46

dan lain-lain. Selain itu, dilihat juga kecenderungan distribusi data meliputi

angka ketaksimetrisan (skewness), kurtosis, dan koefisien varians.

2. Melakukan perhitungan secara terpisah.

Dilihat apakah taksiran yang diperoleh sensitif terhadap perubahan parameter

penaksiran. Dicoba untuk melakukan perhitungan dengan mengganti secara

coba-coba terhadap parameter range (daerah pengaruh).

3. Melakukan evaluasi terhadap basis data assay.

Pemeriksaan dilakukan dengan melakukan analisis assay cutting hasil

pemboran pada saat kegiatan produksi dengan data dari bor inti.

4. Melakukan pengamatan secara manual dan visual.

Cara ini dilakukan dengan cara membandingkan koordinat titik data hasil

survey (peta pemboran) dengan penampang blok hasil pemodelan. Dari sini

dapat dilihat apakah kadar blok diekstrapolasikan terlalu jauh ke daerah yang

tidak ada data pemboran. Kemudian dibandingkan dengan peta kerja dari

kegiatan penambangan, apakah model yang kita buat sesuai atau tidak.

Hasil penaksiran dan perhitungan cadangan akan mempunyai tingkat

kepercayaan yang berbeda-beda. Tingkat kepercayaan suatu hasil perhitungan dan

penaksiran cadangan sangat tergantung kepada (Mulyono, 2004) :

1. Kebenaran dan kelengkapan pengetahuan dalam memahami dan mempelajari

data badan bijih. Hasil penaksiran seseorang yang telah paham tentang kaidah

penaksiran dan genesa mineral bijih akan lebih meyakinkan dibandingkan

hasil penaksiran seseorang yang hanya bertindak sebagai operator.

2. Kerapatan data (grid density) dapat dipercaya sebagai data dasar. Data dengan

pengambilan sampel dengan jarak yang dekat lebih meyakinkan daripada data

dengan jarak yang jauh.

3. Dalam menentukan asumsi dan pendekatan variabel interpresi dilakukan

secara bertanggung jawab baik dari aspek ilmiah maupun aspek teknis.

4. Perhitungan penaksiran cadangan menggunakan rumus dan pemodelan yang

tidak melanggar kaidah matematika yang ada.

47