02 Listrik Statis 2.pdf

7/29/2019 02 Listrik Statis 2.pdf

1/23

21

LLIISSTTRRIIKK SSTTAATTIISS ((22))Medan Listrik pada Muatan Kontinu

&Penerapan Hukum GaussBBAABB 22FFiissiikkaa DDaassaarr IIII


2/23

22

1. MEDAN LISTRIK PADA MUATAN KONTINU

Dalam bab satu kita telah dapat menghitung medan listrik di sekitar suatu

muatan titik menggunakan persamaan yang diperoleh dari hukum

Coulomb. Namun bagaimana jika sumber muatan bukan muatan titik ?

misalnya muatan berupa bongkahan bermuatan yang memiliki volume

tertentu.

Untuk muatan yang memiliki volume, dikenal rapat muatan atau yang

didefinisikan sebagai :

V

Q=

atau dalam bentuk diferensial :

dV

dQ

=

atau jika muatan dianggap tidak bervolume dan hanya memiliki panjang,

maka muatan persatuan panjang didefinsikan sebagai :

dx

dQ=

jika diungkapkan dalam pernyataan integral muatan dalam sumber muatan

listrik dengan volume V :

= V dVQ sehingga persamaan (3) dalam bab I untuk muatan kontinu menjadi :

rE r

dQk

2=

r E

Q

Gb 2.1 Medan listrik sejauh r dari sumber muatan

listrik Q dengan volume V

V

(1)

(5)

(4)

(2)

(3)


3/23

23

rE dVr

k2

=

Mari kita hitung beberapa sumber muatan kontinu menggunakan persamaan

(5) atau (6)

1.1Garis Bermuatana. Medan listrik sepanjang garisKita hitung medan listrik pada titik P sejauh x dari garis bermuatan

sepanjang L berikut :

Dengan menggunakan persamaan (5) :

rE r

dQk

2=

kita tempatkan pada ujung garis pada pusat koordinat :

Sehingga jarak elemen muatan dQ ke titik P adalah (x-b) dan dQ

sebagaimana persamaan (3) adalah dx :

rE x)-(b

dxk

2

=

persaaaan ini harus diintegrasi dengan teknik substitusi variabel, ini

permasalahan Kalkulus.

Variabel (b-x) kita ganti dengan u sehingga :

ux = dan dudx = , maka integrasi menjadi :

(6)

L

PdQ b

P

x

L

bdx

Gb 2.2 Medan listrik sejauh b dari sumber muatanberbentung garis sepanjang L


4/23

24

rE u

duk

2

=

=

=

==

)Lb(b

Lk

b

1

Lb

1k

xb

1k

u

1k

L

0

E

karena L = Q, maka besarnya medan magnet sejauh b dari garis

sepanjang garis :

Contoh :

Hitunglah medan listrik dari sebuah garis bermuatan sepanjang 1 meter dengan

rapat muatan 5 C/m pada jarak 50 cm pada arah sepanjang garis seperti pada

gambar :

Jawab :

Dengan mengunakan persamaan (6) di mana :

k = 9x109 Nm2/C2

L = 1 m

b = 1 mr + 50 cm = 1,5 m

Q = L = (5x10-6 C/m)(1 m) = 5x10-6 C

C/N10x6(0,75)

5x10

10x91)-(1,5)(1,5

6-5x10

10x9)Lb(b

Q

kE

4-6

99

=

=

=

=

(6)

=

)Lb(b

QkE

1 meter

50 cm


5/23

25

b. Medan listrik tegak lurus pusat garisSekarang kita hitung medan listrik di titik p pada jarak b tegak lurus

garis. Dengan menempatkan pertengahan garis pada pusat koordinat

kartesius :

Dari persamaan (5) :

rE r

dQk

2=

jarak dari elemen muatan dQ dengan panjang dx pada titik P adalah :

22 xbr += dan dQ = dx, sehingga :

rE xb

dxk

2/L

2/L22

+=

sekarang kita perhatikan gambar berikut :

x

L

b

dx

P

x

b

EEcos

Esin

E

Esin

Gb 2.3 Medan listrik sejauh b tegak lurus garis


6/23

26

Tampak bahwa komponen x dari E ( E sin) saling menghilangkan satu

sama lain sehingga tidak perlu kita hitung dan kita perhatikan komponen

y nya saja :

dxxb

coskE

2/L

2/L22 +

=y

sampai di sini permasalahannya adalah pengetahuan kalkulus :

dx)tan(1b

coskdx

)x

(1b

coskE

2/L

2/L22

2/L

2/L2

22

+

=

+

=y

karena 1+tan2 = sec2 :

dxsecb

coskE

2/L

2/L 22y

=

kita ganti :

x = tan, jika diturunkan maka dx = sec2 d

sehingga :

dsecsecb

coskE 2

22y

=

2/L

2/l22

y

xb

x

b

ksin

b

k

dcos

b

kE

+

=

=

=

sehingga medan magnet sajauh d tegak lurus garis :

+

=

22y )2/L(b

L

b

kE

atau :

(7)

(8)

+

=

22y )2/L(b

2/L

b

2kE


7/23

27

Contoh :

Hitunglah medan listrik dari sebuah garis bermuatan sepanjang 1 meter dengan

rapat muatan 5 C/m pada jarak 50 cm tegak lurus garis seperti pada gambar :

Jawab :


k = 9x109 Nm2/C2

L = 1 m

b = 50 cm = 0,5 m

= 5x10-6 C/m

C/N1.27x102

10x8,1

)2/1(5,0

2/1

5,0

)10x5)(10x9(2

)2/L(b

2/L

b

2kE

55

22

69

22y

=

+=

+

=

Jika garis sangat panjang sehingga L/2 >> b, maka persamaan (8) dapatdiaproksimasi menjadi :

=

2y )2/L(

2/L

b

2kE

atau :

(9)2kEy

=

1 meter

50 cm


8/23

28

1.2Cincin BermuatanKasus kedua misalnya sebuah cincin bemuatan sebagai berikut :

Kita akan menghitung medan listrik pada titik P sejauh x dari pusat cincin

menggunakan persamaan (5) :

rE r

dQk

2=

sama dengan alasan seblumnya bahwa medan lsitrik pada komponen y akan

saling menghilangkan satu sama lain, sehingga medan listrik yang kita

perhatikan hanya komponen x saja :

= cosrdQ

kE2x

Karena jarak elemen muatan dQ pada titik P :

22 xbr += , dan cos = x/r maka :

+=

+=

dQ)x(b

kx

xb

dQ

r

xkE

2/322

22x

sehingga kuat medan magnet pada titik P sejauh x dari pusat cincin :

x

rb

P

E

Ex

Ey

dQ

(10)

Gb 2.4 Medan listrik sejauh x dari sumber muatanberbentuk cincin berjari-jari b

2/322x )x(b

kxQE

+=


9/23

29

Contoh :

Hitunglah medan listrik dari sebuah cincin bermuatan dengan jari-jari 10 cm

dengan muatan 15 C pada jarak 50 cm tegak lurus dari pusat cincin

Jawab :


k = 9x109 Nm2/C2x = 50 cm = 0,5 m

b = 10 cm = 0,1 m

Q = 5x10-6 C/m

C/N1,697x10)5,01,0(

)10x5)(5,0(10x9

)x(b

kxQE 5

2/322

69

2/322x

+=

+=

1.3 Medan Pada Pelat Cakram

Sekarang kita hitung kasus lain, yaitu

medan listrik pada titik P sejauh x dari

pusat benda berbentuk cakram dengan

jari-jari b seperti pada gambar :

Kasus ini dapat dipandang sebagai

penjumlahan dari muatan-muatan

berbentuk cincin sebagaimana telah

kita hitng sebelumnya. Cincin-cincin ini

jari-jarinya membesar mulai dari r = 0

hingga r = b sehingga akhirnya

membentuk cakram. Untuk itu kita

tuliskan persamaan (10) dengan cincin

x P

E

Ex

Ey

b

r

Gb 2.5 Medan listrik sejauh x darisumber muatan berbentung

cakram berjari-jari b

x

rb


10/23

30

berjari-jari r bermuatan dQ sebagai berikut :

2/322x )x(r

dQkxdE

+=

dengan dQ = rapat muatan x luas cincin = (2rdr)

Medan akibat cincin ini kita integralkan dari r=0 hingga r=b, sehingga :

+=+

=b

0

2/322

b

0

2/322x )x(r

rdr2kx

)x(r

rdr2kxE

sekali lagi, ini tinggal persoalan kalkulus. Kita lakukan teknik substitusi

variabel, di mana :

22 xru += dan rdr2du =

b

022

b

0

2/3xr

1kx2u

du

2

12kxE +==

+=

x

1

xb

1kx2E

22

1.3Medan Pada Pelat Tak hinggaUntuk pelat tak hingga, kita bisa menggunakan persamaan (11) dengan

menganggap b = sehingga persamaan (12) menjadi:

( )01k2xb

x1k2E

22

+=

(11)

(12)

(13)

+=

22 xb

x1k2E

= k2E


11/23

31

2. HUKUM GAUSS PADA MEDIUM NON-KONDUKTOR

2.1 Fluks Listrik

Teknik lain untuk menghitung medan magnet dari muatan kontinu adalah

menggunakan hukum Gauss. Teknik yang digunakan Gauss relatif lebih

mudah untuk kasus-kasus benda geometris.

Sebelum kita melangkah lebih jauh dengan hukum Gauss, kita definisikan

sebuah besaran fisis yang akan kita gunakan nanti, yaitu fluks listrik . Fluks

listrik didefinisikan sebagai perkalian-titik medan listrik E dan luas yang

dilewatinya A, namun secara fisis fluks menggambarkan banyaknya garis

medan magnet yang menembus sebuah permukaan luas. Jika kita

ilustrasikan dalam gambar :

Kita bisa membayangkan fluks magnetik ini dengan sebuah kipas angin yang

menerpa selembar kertas, hembusan angin terasa lebih keras ketika kertas

tegak lurus pada hembusan angin artinya vektor luas permukaan searah

dengan arah hembusan angin, namun ketika kertas sejajar dengan arah

hembusan angin, tekanan angin sangat minim.

Arah vektorMedan listrik E

A

Arah vektor permukaan A

30o

32

EA30cosEAAE o ===

rr

Arah vektorMedan listrik E

A

Arah vektor permukaan A

EA0cosEAAE o ===rr

GB 2.6 Fluks Medan Listrik Menembus Sebuah Luas Permukaan A

Gauss


12/23

32

Gauss menyatakan bahwa : Jumlah Garis Gaya yang keluar dari suatu

permukaan tertutup (atau fluks ) sebanding dengan jumlah muatan listrik

yang dilingkupi oleh permukaan tertutup itu atau Sumber dari sebuah

medan magnet adalah muatan listrik, jika diungkapkan dalam sebuah

persamaan matematis :

Qdlm adalah besarnya muatan yang dilingkupi oleh permukaan Gauss.

Hukum Gauss ini tidak akan dijelaskan terlalu detail karena kesulitan teknis

mengingat anda belum mendapatkan dasar kalkulus yang cukup terutama

tentang divergensi dan integral permukaan. Akan tetapi, kita akan gunakan

hukum Gauss ini untuk menghitung kuat medan listrik dari sebuah benda-

benda geometris sederhana seperti bola, silinder, pelat tipis, sebab pada

kenyataannya kita seringkali berhadapan dengan benda-benda geometris

seperti ini, dan nantinya kita akan menggunakan hasil perhitungan kuat

medan listrik tersebut untuk menghitung medan listrik pada sebuah

kapasitor.

o

dlm

S

Qd == AE

Gb 2.7 Analogi fluks adalah seperti angin dari kipasangin yang meniup kertas, jika kertas tegak lurus arah

angin (artinya vektor luas dengan vektor arah anginsejajar), maka fluksnya maksimum

(14)


13/23

33

Kita akan memulai menghitung medan listrik menggunakan hukum Gauss

pada muatan titik sekaligus membuktikan kesesuaian medan listrik yang

diperoleh hukum Coulomb pada persamaan (5) dengan hukum Gauss.

2.2 Menurunkan Medan Listrik Pada Muatan Titik Menggunakan Hukum

Gauss (Membuktikan Hukum Coulomb)

Perhatikan sebuah muatan titik dengan besar muatan Q pada gambar 2.3

Muatan ini kita lingkupi dengan sebuah permukaan Gauss yang kta pilih

berbentuk bola. Pemilihan bentuk permukaan Gasuss ini sebetulnya

sekehendak kita, kita juga boleh saja memilih berbentuk kubus atau apapun,

namun dengan mempertimbangkan pertama, muatan harus terlingkupi

seluruhnya dan kedua, kemudahan dalam perhitungan. Atas kedua dasar inikita bentuk bola.

Kita gunakan hukum Gauss pada persamaan (14) :

Sudut adalah sudut yang dibentuk vektor permukaan dA dengan vektor

medan E yang arahnya dalam hal ini sejajar, namun jika permukaan Gauss

tidak berbentuk bola, kedua vektor ini belum tentu sejajar bahkan mungkin

berubah-ubah seperti yang anda lihat pada gambar 2.9. Inilah alasan kita

memilih permukaan Gauss berbentuk bola.

Karena cos0o adalah 1 maka :

oSQdAE =

Gb 2.8 Muatan

ini kita lingkupidengan sebuah

permukaanGauss berbentuk

bola denganradius R

oS

o

oS

o

o

dlm

S

Q

0cosdAE

QcosdAE

Qd

==

==

== AE

R

dA

E

Gb 2.9 Jika kitapilih permukaanGauss bebentuk

kubus makasudut antara dAdengan E sangatbervariasi danmenyulitkanperhitungan

dA

dA

E

E


14/23

34

integral permukaan dari dA berarti luas permukaan bola, yaitu 4r2 :

o

2

QR4E =

persis seperti medan listrik yang diturunkan melalui Coulomb pada bab I.

2.2 Hukum Gauss Pada Bidang Datar

Misalnya kita memiliki pelat bermuatan positif persatuan luas . Untuk

menghitung medan listrik dengan hukum Gauss kita harus memilih sebuah

ruang-volume yang melingkupi pelat bermuatan. Pada dasarnya kita bebasmemilih bentuk ruang-volume ini, pda umumnya yang biasa dipakai

berbentuk silinder, bola atau kubus. Pemilihan ini sangat bergantung pada

kemudahan perhitungannya nanti. Misalnya, kita ambillah permukaan

sebuah silinder berjari-jari r.

Pada gambar disamping kita bagi silinder menjadi tiga permukaan A1, A2,

dan A3. Fluks yang menembus ketiga permukaan ini adalah :

Pada A1 : EA1cos 0o : EA1

A1

A2

A3

E

r

Gb 2.10 Fluks listrik yang menembus sebuah permukaan bidangdatar dapat didekati dengan permukaan Gauss berbentuk silinder

2o R

Q

4

1

E =


15/23

35

Pada A3 : EA3cos 0o : EA3

Pada A2 : EA2cos 90o : 0

Dengan demikian :

=+== s odlm

21

Q

)AA(EEdA

Karena A1 dan A3 merupakan luas pelat katakanlah A. Sehingga

medan pada pelat bermuatan :

karena Q/A =, maka untuk pelat bermuatan kita dapatkan medan listrik :

atau :

=

=

2k

2

4

4

1E

0

0

0

persis seperti hasil yang diperoleh persamaan (13)

2.3 Hukum Gauss Pada Bola Pejal Bermuatan

a. Kuat medan sejauh r (rR)

Kuat medan magnet untuk benda bermuatann berbentuk bola dengan jari-

jari sejauh r seperti ditunjukkan gambar 2.6. Dengan menggunakan hukum

Gauss :

o

dlm

S

Qd = AE

Untuk menghitung medan listrik sejauh r kita pilih permukaan Gauss

berbentuk bola dengan luas permukaan 4r2.

rR r

o

total

A2

QE

=

o2E

=

Gb 2.11 Bola Pejal

(15)

= 2kE


16/23

36

Karena arah vektor medan listrik searah dengan vektor permukaan (artinya

sudutnya 0o), maka :

o

2

o

dlmo

S

Q)r4(E

Q)0cos(d

==

= AE

jarak r adalah radius permukaan Gauss yang kita pilih, sehingga medan

listrik di luar bola pejal bermuatan adalah :

b. Kuat medan sejauh r (r


17/23

37

3

3

3

dlmR

rQ

R3

4

r3

4

Q

=

=

sehingga diperoleh kuat medan sejauh r di dalam bola berjari-jari R :

Q

)R

r(

E)r4(o

3

2 =

Medan lsitrik dalam bola pejal bermuatan mulau-mula naik secara liniersebagaimana ditunjukan persamaan (17), ketika sampai r = jari-jari bola R

kuat medan menjadi persamaan (16) yang turun secara kuadratik sebanding

dengan (1/r2). Jika diilustrasikan :

(17)

GB 2.13 Perubahan E pada Bola Pejal Konduktor

Naik liniersesuai

persamaan (17) Turun kuadratiksesuai

persamaan (16)

r

E

R

rR

Q

4

1E

3o

=

konstanta


18/23

38

Contoh :

Sebuah bola pejal berjari-jari 1 cm memiliki muatan 5C, hitunglah kuat medan

sejauh :

a. 2 cm dari pusat bola

b. 0,5 cm dari pusat bola

Jawab :

a. Karena jarak sejauh 2 cm berada di luar bola maka dengan menggunakan

persamaan (16) :

C/N10x25,210x2

10x510x9

r

QkE 6

2

69

2===

b. Karena jarak sejauh 0,5 cm berada di luar bola maka dengan menggunakan

persamaan (17) :

( )C/N10x25,210x5,0

10x1

10x510x9r

R

Qkr

R

Q

4

1E 82

32

69

33o

===

=

2.4 Hukum Gauss Pada Bola Berrongga (kopong)

Istilah bola pejal di sini penting karena jika bola tidak pejal namun

berrongga (atau kopong), kuat medan di dalam bola bernilai nol namun di

luar bola kuat medan seperti bola pejal. Untuk bola berrongga kuat

perubahan kuat medannya jika diilustrasikan menghasilkan gambar berikut :

E=0

Turun kuadratiksesuai

persamaan (16)

r

E

Gb 2.14 Perubahan E pada Bola Berrongga Konduktor


19/23

39

r

A1

A2

A3

L

silinder

Gb 2.16 SilinderPanjang

Bermuatan

2.5 Hukum Gauss Pada Kawat Panjang Bermuatan

Untuk kawat panjang dengan muatan persatuan panjang kita dihitung

medan listrik sejauh r menggunakan hukum Gauss :

o

dlm

S

Q

d = AE dengan permukaan Gauss berupa silinder kita dapatkan ruas kiri pada

persamaan Gauss :

o

dlmQ

=++ 321 AEAEAE

karena sudut vektor E dengan A1 (tutup silinder) dan A3 (alas silinder)

adalah 90o, sedangkan terhadap A2 0o, maka :

o

dlm2

o

dlmo3

o2

o1

QAE

Q90cosAE0cosAE90cosAE

=

=++

sedangkan A2 adalah luas selimut silinder yaitu 2rL Maka kuat medan

sejauh r dari kawat adalah sebagai berikut :

L

Q

r2

1E dlm

o=

2.5 Hukum Gauss Pada Silinder Panjang Bermuatan

Untuk kawat berbentuk silnider berrongga, maka medan listik di luar

silinder akan menghasilkan nilai yang sama dengan kawat panjang :

Namun medan listrik di dalam silinder adalah nol, karena permukaan Gauss

tidak melingkupi muatan apapun :

E=0

Gb 2.15 KawatPanjang

Bermuatan

(18)

r

A1

A2

A3

L

(19)

rr2

1

o

=E

rr2

1o

=E


20/23

40

Elektronbebas

2.17 Elektronbebas dalamkonduktor

2.18 Medan listrik di dalam konduktor adalah nol karenamuatan bergerak ke tepi dan membentuk medan internal

yang melawan medan luar

3. MEDAN LISTRIK PADA MEDIUM KONDUKTOR

Medium konduktor memiliki kekhususan tesendiri ketika dipengaruhi

medan listrik. Sebagaimana kita katahui bahwa dalam konduktor terdapat

muatan-muatan (dalam hal ini elektron) yang tidak terikat pada atom dan

dapat bergerak secara acak dan bebas. Semakin banyak elektron bebas

tersebut maka medium tersebut akan makin konduktif.

Jika terdapat medan listrik dari luar perilaku elektron berubah dan bergerak

hingga permukaan konduktor sedemikian sehingga medan listrik di dalam

konduktor menjadi nol.

Dalam konduktor gambar 2.18 elektron dan muatan positif di dalamnya

terpolarisasi (terpisah) pada kedua sisi konduktor sehingga menimbulkan

medan listrik di dalam Ei konduktor yang awahnya berlawanan dengan

medan listrik luar Eo sehingga jumlah medan listrik di dalam konduktor nol .

Dengan demikian jika muatan listrik merupakan bola pejal konduktor,

silinder konduktor dll, maka penerapan hukum Gauss untuk menghitung

medan listrik akan menghasilkan nilai yang berbeda dengan yang telah kita

hitung sebelumnya.

E=0

Eo

Ei


21/23

41

2.19 Medan listrik E dari sebuah bola konduktor sejauh r

2.19 Variasi Medan listrik E dari sebuah bola konduktor

3.1 Hukum Gauss pada Bola Konduktor

a. Medan listrik di luar bola konduktor

Medan listrik di luar bola konduktor akan menghasilkan nilai yang sama

dengan bola pejal sebelumnya, yaitu :

b. Medan listrik di dalam bola konduktor

Medan listrik di dalam bola konduktor (dan semua konduktor) adalah nol

karena seluruh muatan diasumsikan berada dalam permukaan konduktor

sehiingga :

0

Qd

o

dlm

S

== AE , makaE = 0

Jika kita skesta dalam gafik maka akan kita dapatkan seperti bola berrongga

pada gambar 2.14 :

rPermukaan

Gauss

Arah vektor dA

E

(20)

(21)

R

Turun kuadratik sesuaipersamaan (20)

E

2o R

Q

4

1E

=

E=0

rE r

Q

4

12

o=


22/23

42

SOAL-SOAL

1. Muatan garis dengan kerapatan muatan 4 C/cm sepanjang 4 cm,

diletakkan dalam koordinat kartesius dari x = 0 hingga x = 4 hitunglah :

a. Muatan total dari garis

b. Medan listrik di x = 5 cm

c. Medan listrik di x = 250 m

2. Hitung medan listrik dari benda yang dianggap muatan titik dengan

muatan 16 C sejauh 250 meter dan bandingkan hasilnya dengan nomor

1.d di atas

3.

Hitunglah medan listrik dari sebuah garis bermuatan sepanjang 50 cmdengan rapat muatan 15 C/m pada jarak 20 cm pada arah sepanjang

garis seperti pada gambar :

4. Hitunglah medan listrik dari sebuah

garis bermuatan sepanjang 50 cm

dengan rapat muatan 5 C/m pada

jarak 10 cm tegak lurus garis seperti

pada gambar :

5. Hitunglah medan listrik dari sebuah cincin bermuatan dengan jari-jari 5

cm dengan muatan 15 C pada titik P sejauh 15 cm tegak lurus dari

pusat cincin

50 cm20 cm

50 cm

10 cm

15 cm

5cm

P


23/23

6. Hitunglah medan listrik dari sebuah cincin bermuatan dengan jari-jari 5

cm dengan muatan 15 C di pusat cincin

7. Bola bermuatan 4 x 103 C berjari-jari 2 cm berada dalam medium udara.

Berapakah medan listrik yang ditimbulkannya pada jarak :


b. 1 cm dari pusat bola

8. Bola konduktor bermuatan 4 x 103 C berjari-jari 2 cm berada dalam

medium udara. Hitunglah kuat medan listrik yang ditimbulkannya pada

jarak :


b. 1 cm dari pusat bola

9. Hitunglah medan listrik di titik P dari sebentuk kawat bermuatan yang

terdiri dari dua kawat lurus identik dengan muatan masing-masing 15

C yang dirangkai dengan kawat setengah lingkaran dengan muatan 15

C seperti gambar di bawah ini

10. Sebuah cakram dengan jari 20 cm dengan kerapatan muatan terdistribusi

merata 2C/cm2. Hitunglah kuat medan listrik sejauh 10 cm dari pusat

cakram.

11. Dua kawat panjang bermuatan 4C/cm sepanjang 5 cm ditempatkan

secara sejajar seperti pada gambar. Hitunglah kuat medan lsitrik

a. Di tengah antara dua kawat

b. 2 cm di kiri kawat pertama

c. 2 cm di kanan kawat kedua

2 cm

14 cm

P

4 cm

02 Listrik Statis 2.pdf

Documents

Transcript of 02 Listrik Statis 2.pdf