MODEL MATEMATIK DAN NUMERIKDARI ALIRAN FLUIDA DALAM JARINGAN PIP A

BERBASIS MER DENGAN FORMULASI AKAR TERKECIL

Ade Jamal, Agus Sainjati, Aris Suwatjono, Lebong Andalaluna'

ABSTRAK

MODEL MATEMATIK DAN NUMERIK DARI ALmAN FLUffiA DALAM JARINGANPIPA BERBASIS MER DENGAN FORMULASI AKAR TERKECIL. Persamaan matematis daTianalisis aliran fluida dalam jaringan pipa dibahas untuk diterapkan dalam pemodelan numerik yangsesuai. Dalam hal ini dipilih model numerik berbasis Metode Elemen Hingga (MEH). Dalam rangkamenjaga model numerik MEH ini dapat diaplikasi seluas-luasnya untuk segala kasus aliran fluida, makaformulasi akar terkecil dipilih sebagai pengganti formulasi Galerkin atau formulasi Residu. Persarnanaliran fluida yang dikaji dibatasi pada aliran tunak dan tak-mampu mampat. Selain itu, artikel ini dibatasihanya sampai pengembangan model numeriknya, tidak memasukkan kajian lanjutan seperti prosedurpenyelesaain model yang dibuat.

ABSTRACT

MATHEMATICAL AND NUMERICAL MODEL OF FLUm FLOW IN A PIPENETWORK BASED ON FEM WITH LEAST ROOT FORMULATION. Mathematical formulationsfor analysis of fluid flow in a pipe network has been studied to be implemented in an appropriatenumerical model. In this case, a numerical model based on Finite Element Method (FEM) has beenchosen. In order to keep the range of applicability as wide as possible, a finite element model has beenderived using the Least Square formulation in place of the frequently used Weighted Residual (Galerkin)formulation. The fluid flow studied here is assumed to be incompressible and steady. Furthermore, thisarticle was limited itself to the development of the numerical model. Hence, further studies, such assolution procedure of the numerical model, are excluded.

PENDAHULUAN

Jaringan pipa untuk aliran fluida, baik cairan maupun gas, dirancang sedemikianrupa hingga tidak terjadi hambatan aliran yang menyebabkan tidak ekonomisnyaenergi tekanan yang dibutuhkan. Sistem rancangan distribusi didasarkan dua faktorutama yaitu keperluan jumlah aliran (debit) dari fluida yang ditransportasikan danbesar tekanan (energi) yang dibutuhkan. Kegiatan rekayasa ini dikenal sebagai

.Pusat Pengkajian dan Penerapan Teknologi lnformasi dan Elektronika, BPP Teknologi

217

Risalah Lokakarya Kornputasi dalam gains daD Teknologi Nuklir XIV, Juli 2003 (217-228)

analisis dan perancangan jaringan pipa. Analisis jaringan pipa juga dibutuhkan untukoperasional clan pengontrolan, akuisisi suplai, optimisasi kinerja jaringan terhadapbiaya, clan lain-lain. Sistem tersebut dapat dimodelkan sebagai sambungan seri mapunparalel daTi elemen-elemen pipa yang berhubungan satu sarna lain. Analisis clanrancangan jaringan pipa menimbulkan masalah yang relatif kompleks, terutama sekalijika jaringan terdiri daTi banyak pipa. Analisis tersebut umumnya menggunakanprogram komputer. Tahapan yang kritis adalah penentuan individual penurunantekanan clan debit aliran dalam elemen pipa.

Model numerik yang dibuat di sini membatasi masalah aliran fluida yang tunak(steady flow), tak mampu mapat (incompressible flow), tapi tetap mengikut sertakanperanan gesekan (viscos flow) baik untuk daerah laminar maupun turbulen.

Model Matematis Aliran Dalam Jaringan Pipa

Persamaan fundamental untuk aliran fluida secara umum diatur oleh tiga hukumkekekalan, yaitu persamaan kekekalan masa, kekekalan momentum dan kekekalanenergi [I], yaitu:.

persamaan kekekalan masa:

8p -+div(p'V)=O, (1)-

at

(2)

dan persarnaan kekekalan energi

avi-ax.

J

Dh

DtDpDt +div(k.VT)+'rijp =

(3)

Tiga persamaan ini mengatur tiga variabel dasar: kecepatan E, tekanan p, clantemperatur T. Variabel sekunder yang diikutsertakan adalah entalpi h, densitasfluida p.

Untuk aliran dalam saluran pipa, tiga persamaan di atas dapat disederhanakanmenjadi problem satu dimensi. Selain itu permasalahan dibatasi lebih jauh untukkondisi tunak (steady state) clan tak-mampu mampat (incompressible), sehinggapersamaan umumnya adalah [2]:

218

Model Matematik dan Numerik daTi Aliran Fluida dalamjaringan Pipa Berbasis MEH (Ade Jamal, et.al.»

persamaan kekekalan masa atau persamaan kontinuitas

~=o,ox

(5)

dan persamaan kekekalan energi

1OQh + oW = dE + -dp + V .dV + g .dZp (6)

Variabel dasarnya adalah kecepatan aliran searah pipa u, tekanan dalam pipa pdan temperatur T yang implisit dinyatakan dalam fungsi energi dalam E, dan energipanas kedalam fluida Qh. Kerja yang dilakukan oleh fluida seperti gesekan dinyatakandalam W merupakan variabel sekunder. Viskositas .u merupakan parameter fisis daTifluida. Kecepatan aliran rata-rata V didapat daTi persamaan berikut:

v =11U .dA, (7)

Persarnaan kesetimbangan gaya (5) yang mengikutsertakan viskositas (gesekanfluida), juga disebut persamaan Navier-Stokes, secara umum sangat jarang diketahuisolusinya, kecuali untuk kasus-kasus yang sangat khusus clan sederhana. Hal ini terjadikarena persamaan ini menghasilkan persarnaan diferensial parsial clan tak-linear.

Salah satu pendekatan yang sering dipakai adalah pendekatan empiris di manapenurunan tekanan (pressure drop) atau kerugian tekanan (pressure loss) didekatkandengan persamaan hasil percobaan seperti kerugian tekanan untuk aliran laminar daTi

Hagen-Poiseuille:

(8)

(9)Q=V.A

Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir XIV, Juli 2003

Untuk aliran turbulensi penuh digunakan persamaan empiris daTi Darcy-Weisbach:

(10)

Metode Solusi Aliran Fluida Dalam Jaringan Pipa

Terdapat beberapa metode yang tersedia dalam literatur yang sering digunakanuntuk menyelesaikan permasalah aliran fluida dalamjaringan pipa [3]. Pada umumnyametode solusi ini berdasarkan analogi hukum Kirchhoff yang biasa dipakai untukjaringan elektrik, yaitu:

Penjumlahan secara aljabar debit aliran yang masuk clan keluar daTi semuacabang atau simpul (node) hams nolo Aturan ini diturunkan daTi persamaankontinuitas (4)

= LQkeluar (11)L Q masuk

Penjumlahan secara aljabar kerugian tinggi tekanan pada sirkuit tertutup (closedloop) barns nolo Aturan ini diturunkan dan persamaan kekekalan energi (6) setelahmenerapkan hukum-hukum termodinamika menjadi:

2 /

~+Zl+~ !i) lossV;2.g

P2 (12)-:-:-+Z2 + =1-

2.g-

p'g

atau

(13)~ -~ =hL

di mana

v.2I

2.g~

,p.ghL =

loss

Metode yang menggunakan dua persamaan dasar ini antara lain metode"koreksi debit" atau lebih dikenal dengan nama metode Hardy-Cross [3,4] di manadebit untuk pipa awalnya diasumsikan untuk setiap pipa sehingga persamaankontinuitas terpenuhi di setiap titik simpul, lalu secara berturut-turut diterapkankesetimbangan energi pada setiap sirkuit untuk mendapatkan koreksi debit. Variasidari metode ini yang lebih mudah untuk diprogramkan dengan komputer, yaitu dengan

220

Model Matematik dan Numerik daTi Aliran Fluida dalamjaringan Pipa Berbasis MEH (Ade Jamal, et.al.»

cara persamaan untuk kesetimbangan diselesaikan secara serentak. Metode lain, dimana debit aliran Q dalam persamaan kontinuitas dieliminasi dengan bantuanpersamaan energi, sehingga persamaan yang harus diselesaikan hanya dalam variabeltekanan tapi tak-linear sepenuhnya. Metode matriks [3] diperkenalkan oleh Steffer, dimana persamaan kontinuitas dan energi diselesaikan secara bersamaan dalam bentukmatriks berukuran besar. Metode matriks ini sederhana dan persamaan yang dicarilangsung didapat. Hanya saja, matriks ini sering terlalu besar dan tidak sempurna

(ill-conditioned).Dari semua metode yang disebut di atas, yang paling populer adalah Metode

Hardy-Cross, karena dapat dilakukan secara hitungan tangan untuk jaringan pipa yangkecil. Perlu dicatat di sini bahwa tidak ada satu metode pun yang menggunakanpersamaan momentum dalam proses penyelesaiannya.

Metode Elemen Hingga (MEH) telah sangat populer sejak tiga dasawarsaterakhir. Berangkat daTi mekanika solid dan struktur di dunia teknik pesawat terbang,saat ini teknik MEH (FEM-Finite Element Method) telah diaplikasikan untukbermacama-macam analisa media kontinum, termasuk fluida. Yang menarik adalahkebanyakan literatur dan referensi yang ada hanya membahas MEH untuk aliran fluidapada domain dua dimensi dan tiga dimensi [5-7]. Untuk masalah fluida satu dimensiseperti aliran fluida dalam pipa tertutup, jarang yang mebahasnya [8], dan jika adadalam literatur hanya terbatas pada aliran laminar [9].

Model Elemen Hingga Formulasi Akar Terkecil (Least Square Formulation)

Persamaan dasar yang digunakan dalam model elemen hingga adalahpersamaan kontinuitas (4) dan persamaan momentum yang diturunkan denganpendekatan berdasarkan kesetimbangan gaya pada fluida dalam pipa seperti padagambar berikut:

Gambar

\-'-

Persamaan Momentum Berdasarkan Keseimbangan Gaya padaFluida dalam Pipa

221

Risalah Lokakarya Komputasi dalam gains dan Teknologi Nuklir XN, Juli 2003

Suku terakhir daTi persamaan (14) adalah perubahan momentum aliran masukclan keluar, yang mana untuk pipa lurus menjadi hilang karena persamaan kontinuitas.Suku kedua merupakan gaya karena gravitasi, biasanya digabungkan dengan gayatekanan dengan memperkenalkan variabel tinggi tekan Ph yaitu:

Ph =p+p.g.Z,

sehingga persamaan momentum untuk pipa lurus adalah:

dph 4-=-'l",

D (16)-dx

Berawal dan persamaan kontinuitas (4), yang kita tulis ulang dengan persamaan:7) menjadi

avax

= 0,

bersama-sama dengan persamaan momentum(16), kita terapkan teknik elemen hinggadengan formulasi akar terkecil, yaitu dengan cara mengasumsikan fungsi Ph dan Vuntuk setiap elemen pipa sebagai fungsi linear dari variabel bebas x sebagai berikut:

Ph = Ph/N .<I>/N + PhOUT .<I> OUT

v = V IN ':II IN + V OUT \f OUT

Substitusi persamaan (18) kedalam persamaan (17), lalu dengan formulasi akarterkecil didapat:

TfV (20)~N = y OUT = e'

yang tidak lain adalah kontinuitas dalam elemen pipa. Dengan menerapkanformulasi akar terkecil pada persamaan (17) clan (16), didapat:

-l ]{ Pl

1 pz

'l'" e(Ve) }.-'l'"e(Ve)

1 4-Le

222

Model Matematik dan Numerik daTi Aliran Fluida dalamjaringan Pipa Berbasis MEH (Ade Jamal, et.al.»

Persamaan ini diturunkan dengan menerapkan secara implisit persamaan (20)clan asumsi bahwa faktor gesekan Te penyebab turunnya tekanan dalam pipatergantung pada kecepatan tapi tidak pada jarak, yang mana hal ini berlaku untukelemen pipa dengan diameter konstan. Dua buah persamaan dalam matriks (21) salingketergantungan sehingga hanya satu persamaan yang dipakai yaitu:

-ll!Pl } = 4.Le~P2 ~l"e(Ve

e

[1

Persamaan (20) clan (22) merupakan persamaan untuk satu elemen pipa. Untukkasus aliran laminar, persamaan ini sarna dengan model elemen hingga yangtradisional diturunkan dengan formulasi Galerkin [9], yaitu:

41l".D

128.p"Le ~1]{;~}={~~}1

-1

di mana Pi adalah tekanan hidrostatis di tiap ujung elemen, clan Qi adalah debityang masuk (positif) atau keluar (negatif) di ujung elemen. Pada saat penggabungan(assembly) semua matriks elemen ke dalam matriks sistem jejaring pipa, persamaankontinuitas pada tiap titik simpul N di terapkan pada suku kanan persamaan (23).

Persamaan kontinuitas itu adalah:

di mana qN adalah debit aliran yang keluar daTi sistem pipa di titik simpul N danjumlah pipa yang berhubungan dengan titik simpul adalah m. Dalam metode elemenhingga tradisional ini tekanan Pi didetinisikan sebagai variabel primer, yang biasanyaharus dicari, dan debit aliran keluar/masuk qi adalah variabel sekunder, yang biasanyadiketahui. Jumlah variabel yang dicari sarna dengan jurnlah persamaannya yaitu sarnadengan jumlah titik simpul.

Untuk kasus yang tidak dibatasi pada aliran laminar, gesekan 'ie mungkinmerupakan fungsi tak-linear daTi debit Qe (atau kecepatan fluida Ve=Q/Ae dalampipa), sehingga persamaan sistem jejaring pipa juga tidak linear dengan variabel yangharus dicari selain tekanan pada setiap titik simpul Ph juga kecepatan aliran V ataudebit aliran Q dalam pipa. Sistem persamaan umum untukjejaring pipa yang terdiri Melemen pipa dan N titik simpul adalah: sejumlah M persamaan (25) dan sejumlah Npersamaan (24). Sistem persamaan ini mengatur sejumlah N variabel tekanan Ph dan

Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains clan Teknologi Nuklir XN, Juli 2003

sejumlah M variabel debit aliran Q:

~K] [T(Q)nJWh}}= { {O}}.

l[O] [q Jl {Q} {q}

di mana matriks perbedaan tekanan [Ke] berukuran (M*N), matriks gesekan[Te(Q)] adalah matriks diagonal berukuran (M*M) clan matriks kontinuitas [C]berukuran (N*M). Perlu dicatat bahwa sistem matriks persamaan (25) tidak simetrisseperti biasanya pada sistem matriks MEH yang tradisional.

Setidaknya satu persamaan dalam matriks kontinuitas [C] bergantung secaralinear dengan yang lainnya, karena itu minimal satu debit keluar q dijadikan variabelmenggantikan satu variabel Ph yang diketahui nilainya sebagai kondisi batas(boundary condition) agar persamaan (25) diatas dapat diselesaikan:

di mana variabel tekanan Ph diuraikan menjadi PhA yang diketahui dan PhB yang dicariserta matriks perbedaan tekanan [K] diuraikan menjadi [KA] dan [KB] masing-masingsesuai dengan variabel tekanan Ph yang diketahui dan dicari. Jika semua tekanan Ph disemua titik simpul diketahui, maka sistem persamaan matriks (26) menjadi:

~T(Q)]L[C]

[0] If{!2J}={{[-KJ {Ph}

}[-J]Jl{q} {O}

Untuk kasus umum di mana gesekan mernpakan fungsi tidak linear daTi varibeldebit Q, maka persamaan (25), (26) clan (27) menjadi tidak linear clan harnsdiselesaikan dengan metode iterasi seperti pada metode Newton Raphson.

224

Model Matematik dan Numerik daTi Aliran Fluida dalamjaringan Pipa Berbasis MEH (Ade Jamal, et.al.»

KESIMPULAN DAN REKOMENDASI

Suatu pendekatan yang lain untuk analisis aliran fluida tunak clan tak-mampumampat telah dikembangkan dengan teknik Elemen Hingga dengan formulasi akarterkecil. Dengan metode MEH ini debit dalam pipa dapat langsung dihitungbersamaan dengan variabel lain di titik simpul yaitu tekanan atau debit yangkeluar/masuk di titik tersebut. Metode elemen hingga yang menggunakan formulasiGalerkin sebagai analogi dari model elemen hingga dari struktur batang, penghitungandebit dalam pipa dilakukan sebagai analisis lanjut (post-analysis). Debit aliran dalampipa dengan Metode Cross-Hardy juga didapat setelah iterasi koreksi debit.

Dibanding dengan Metode Matriks Steffer, keunggulan metode ini adalahterhindamya kemungkinan sistem matriks yang tidak sempurna (ill-conditionedmatrix) dari matriks kontinuitas.

Model elemen hingga untuk elemen pipa ini dapat dikembangkan lebih lanjutuntuk komponen-komponen jaringan pipa lainnya seperti untuk elbow, klep, strainerclan komponen lainya dengan tetap konsisten pada sistem pengembangan elemenmatriksnya. Selain itu algoritma clan prosedur solusi dari sistem persamaan matriksdapat dikaji lebih jauh untuk mendapatkan efisiensi dari segi waktu perhitungan clanjumlah memory komputer yang diperlukan dengan memperhatikan bentuk sistemmatriks yang khusus dari persamaan (26) clan (27).

DAFTAR PUSTAKA

WHITE, F.M., Viscous Fluid Flow, 2nd Ed. MCGraw-Hill (1991)

2. BENEDICT, R. P., Fundamental of Pipe Flow, John Wiley and Sons (1980)

3 KODOATIE, R. J., Hidrolika Terapan -Aliran pada saluran Terbuka dan Pipa,Penerbit Andi, Yogyakarta, (2002)

4. STREETER, V.L., WYLIE, E.B., Fluid Mechanics, 8ili Edition, McGrawHill(1985)

5 DHA1T, G., Finite Element Modeling of Fluids in Computational FluidDynamics, Lecture Series 1992-04, yon Karman Institute for Fluid Dynamics(1992)

6. CONNOR, J.J., BREBIA, C.A., Finite Element Technicques for Fluid Flow,Newnes-Butterworths, London (1976)

225

Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains daD Teknologi Nuklir XIV, Juli 2003

7. FERZIGER, J. H., PERIC, M., Computational Methods for Fluid Dynamics,Springer 2nd Printed (1997)

8. ARASU, K., Analysis of Pipe Networks, Engineering Development Division,hldira Gandhi Centre for Atomic Research (1993)

9. REDDY, J.N., An Introdcution to The Finite Element Method, McGrawHil1(1985)

DISKUSI

HUDIHASTOWO

Apa ada rencana untuk mengembangkan software yang sudah dibuat untukmenyelesaikan masalah fluida dalam 2 phasa? Permasalahan ini banyak dijumpai dibidang teknik nuklir, tetapi memang disadari tidak mudah. Bagaimana kitamenyelesaikan 3 persamaan kontinuitas momentum clan energi dalam 2 phase yangberbeda?

ADE JAMAL

Rencana 2 phase barn bisa dimulai jika model untuk rase gas (incompressible) telahselesai. Tahap awal ini barn sampai aliran compressible.

ENDANG ROSADI

Apakah pengaruh temperatur fluida dilibatkan dalam formulasi/pemodelan ini?

ADE JAMAL

Pemodelan ini hanya dilaksanakan untuk air clan minyak saja. Dengan asumsi yangdipakai untuk aliran incompressible (tidak mampu mampat), maka fungsi temperaturtidak dilibatkan. Untuk tahap pengembangan model selanjutnya di mana alirandihitung, maka temperatur harns diperhitungkan.

226

(Ade Jamal, et.al.Model Matematika dan Numerik daTi Aliran Fluida dalam Jaringan Pipa Berbasis MEH

Dalam sebuah jaringan pipa, biasanya ada sebuah komponen yang mengandungtekanan clan volume besar. Apakah komponen seperti itu sudah termodelkandengan model yang sekarang?

2. Model solusi aliran fluida, untuk setiap titik ada variabel tekanan dan debit volumeyang saling bergantungan, tapi tidak dipengaruhi nilai besarannya. Model numerikselalu membutuhkan salah satu nilai daTi variabel tekanan atau debit volume.Variabel yang belum diketahui nilainya dihitung dengan komputasi.

M. SY AMSA ARDISASMIT A

Apa alasan Saudara mencari penyelesaian pemodelan matematika dengan metodeKirchoff yang sederhana dibandingkan dengan Metode Elemen Hingga?

ADEJAMAL

Metode Kirchoff tidak kita gunakan dalam metode solusi yang kita kembangkan.Metode Kirchoff ini dinaikkan sebagai gambar "state of the art" teknologi yangdigunakan oleh design manual dan textbook yang ada. Model ini dikembangkan murniMetode Elemen Hingga dengan formulasi Kuadrat Terkecil.

227