- myikhsan.files.wordpress.com fileSetiap siswa harus mengerjakan semua soal dengan kemampuan ......
Transcript of - myikhsan.files.wordpress.com fileSetiap siswa harus mengerjakan semua soal dengan kemampuan ......
Modul selama PKL (Matematika untuk SMK) halaman 1 dari 18 By Ikhsan
1. Setiap siswa harus mengerjakan semua soal dengan kemampuan sendiri
2. Dalam pengerjaan, setiap soal dikerjakan dengan menggunakan cara yang bisa
menggunakan kertas halaman depannya yang masih kosong.
3. Dikerjakan serapi mungkin
4. Bagi yang sudah berangkat PKL dan tempat PKL jauh. Maka siswa lain harus
memberi tahu serta mendownload sendiri tugas ini.
5. Anda bisa mendownload tugas ini di : www.setyono.blogspot.com
Modul selama PKL (Matematika untuk SMK) halaman 2 dari 18 By Ikhsan
DERIVATIF (TURUNAN)
A. Fungsi turunan derivative
Turunan dari nilai fungsi untuk sembarang nilai ditentukan dengan rumus :
Contoh :
1. Tentukan derivative fungsi f yang dinyatakan oleh F(x) = 4x dengan definisi !
Jawab :
44lim4
lim
444lim
4)(4lim
)()(lim)('
00
0
0
0
===
−+=
−+=
−+=
→→
→
→
→
hh
h
h
h
h
h
h
xhx
h
xhx
h
xfhxfxf
2. Tentukan derivative fungsi f yang dinyatakan oleh F(x) = 4x2 dengan definisi !
xhxh
hxh
h
hhx
h
xhhxx
h
xhhxx
h
xhx
h
xfhxfxf
hh
h
h
h
h
h
88lim)8(
lim
8lim
484lim
4)2(4lim
4)(4lim
)()(lim)('
00
2
0
222
0
222
0
22
0
0
=+=+
=
+=
−++=
−++=
−+=
−+=
→→
→
→
→
→
→
3. Tentukan derivative fungsi f yang dinyatakan oleh F(x) = 4x + 7 dengan definisi !
Jawab : …………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
4. Tentukan derivative fungsi f yang dinyatakan oleh F(x) = 4x2 + 2x + 5 dengan definisi !
Jawab : …………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
h
xfhxfxf
x
)()(lim)('
0
−+=
→
Modul selama PKL (Matematika untuk SMK) halaman 3 dari 18 By Ikhsan
B. Turunan Fungsi f(x) = axn
Perhatikan contoh diatas :
F(x) = 4x � f’(x) =4
F(x)= 4x2 � f’(x)=8x
F(x)= 4x3 � f’(x)=12x
…… � …..
F(x)= axn
� f’(x) = n.axn-1
Contoh :
�. Tentukan turunan pertama dari :
a. f(x) = 3x2+7
b. f(x) = 5x4+ 3x
2 +7
c. f(x) = (x + 3)(x + 7)
Jawab :
a. f’(x) = 2. 3. x2-1 + 0
= 6 x
b. f(x) = 5x4+ 3x
2 +7
f’(x) = 4. 5x4-1 + 2. 3 x
2-1
= 20 x3 + 6 x
c. f(x) = (x + 3)(x + 7)
= x2 + 7x + 3x + 21
= 2x2 + 10x + 21
F’(x) = 4 x + 10
Tentukan Turunan kedua dari :
a. f(x) = x5+ 3x
4 + 6x
3 + 4x + 1
Jawab : ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….
b. y = (x2 + 7x)(x + 3)
Jawab : ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….
………………………………………………………………………
c. y = (x – 2)(x + 2)(x + 7)
Jawab : ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….
………………………………………………………………………
C. Turunan Fungsi f(x) = nx
a
Perhatikan !!
F(x) = axn ����
f’(x)= n. axn-1
Latihan 1.1Latihan 1.1Latihan 1.1Latihan 1.1
Modul selama PKL (Matematika untuk SMK) halaman 4 dari 18 By Ikhsan
2
2
1-1-
1-
2`
x2 -
2x 1.- )('
2x
x
2 f(x)
x
xf
−=
=
=
=
=⇒
−
3
3
1-2-
2-
2
2`
x2 -
2x 2.- )('
2x
x
2 f(x)
x
xf
−=
=
=
=
=⇒
−
4
4
1-3-
3-
3
2`
x2 -
2x 1.- )('
2x
x
2 f(x)
x
xf
−=
=
=
=
=⇒
−
1
1-n-
n-
n
.`
ax n.- )('
xa
x
a f(x)
+−=
=
=
=⇒
nx
an
xf
Contoh :
� Tentukan Turunan kedua f”(x) dari :
a. 2
5)(
xxf =
b. 2
5)(
x
xxf =
c. xx
xf25
)(2+=
Jawab :
4
4
13
3
3
12
2-
2
3030
)10)(3()("
1010
5.2)('
5x
5)( .
xx
xxf
xx
xxf
xxfa
==
−−=
−=−=
−=
=
=
−
−−
−
−−
3
3
12
2
2
11
12-1
2
1010
)5)(2()("
55
5.1)('
55x
5)( .
xx
xxf
xx
xxf
x
x
xxfb
==
−−=
−=−=
−=
==
=
−
−−
−
−−
−
Tentukan turunan kedua dari :
a. )53(1
)( 2
2++= xx
xxf
b. )53(1
)( 23 xxxx
xf ++=
c. )53(1
)( 2
2++= xx
xxf
d.
−
−=
xxxxxf
1111)(
22
e. xxxxx
xf
+
−=
1111)(
22
D. Persamaan garis singgung pada kurva
Perhatikan !!
Apabila diketahui suatu garis y= mx+ c, maka gradien garis tersebut adalah m
F(x) = nx
a ����
f’(x)= 1
.+
−nx
an
xxxxx
xxxf
xxxxx
xxxf
x
xx
xxxfc
24
24
11
2113
3
13
1
2112
2-
2
2
2
330
2
330
)1()10)(3()("
11010
2.5.2)('
25x
25
25)( .
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
−=−=
−+−−=
+−=+−=
+−=
+=
+=
+=
−−
−−−−
−−
−−−−
−
LatihanLatihanLatihanLatihan 1.2 1.2 1.2 1.2
Modul selama PKL (Matematika untuk SMK) halaman 5 dari 18 By Ikhsan
m = y’
m = y’
Contoh :
1. Diketahui suatu garis y = 5x + 7. Berapa gradient dari gari tersebut?
Jawab:
m = 5
2. Diketahui suatu kurva y = x2 + 5x + 7 melalui titik A(1,13). Berapa gradient dari kurva
yang melalui A tersebut?
Jawab :
m = 2x + 5
melalui (1,13) maka x = 1 � m = 2.(1) + 5
m = 2 + 5 = 7
1. Tentukan gradient suatu garis yang melalui titik A(2,4) dan B(4,6)!
2. Diketahui suatu kurva y = x3 + 2x
2 + 6x + 2 yang melalui titik A(2,30). Tentukan
gradient kurva dititik A!
3. Diketahui suatu kurva y = (x + 4)(x2 – 3) yang melalui titik A(1,-10). Tentukan gradient
kurva dititik A!
4. Diketahui suatu kurva y = x2 + 6x – 14 yang melalui perpotongan garis 2x – y =2 dan x
+ y = 4 . Tentukan gradient kurva dititik perpotongan dua garis tersebut!
5. Buktikan garis 4x – 2y = 3 tegak lurus dengan 3x + 6y = 5!
I. Berilah tanda silang (x) huruf a, b, c, d atau e pada jawaban yang benar!!
1. Turunan pertama dari fungsi f yang
dinyatakan oleh f(x) = - 2x3 + 6 pada
x = 3 adalah …
a. -54 c. 48 e. 45
b. 54 d. -48
2. Derivatif pertama dari fungsi yang
dinyatakan oleh f(x) = -3x2 + 4 pada
x= 3 adalah …
a. 24 c. 18 e. 12
b. -24 d. -18
3. Turunan pertama dari fungsi h(x) =
-10x + 8 pada x = -3 adalah
a. 20 c. -10 e. -4
b. 15 d. -8
Latihan 1.Latihan 1.Latihan 1.Latihan 1.3333
y
x
Y = mx + c Gradien tersebut dapat di cari melalui
Turunan I dari suatu kurva
y = mx + c
y' = m
Latihan Sub-Kom 1
Modul selama PKL (Matematika untuk SMK) halaman 6 dari 18 By Ikhsan
4. Turunan pertama dari fungsi h(x) = 2x3 – 4x
+ 5 pada x = 1 adalah
a. -6 c. 4 e. 2
b. -4 d. 3
5. Turunan pertama dari fungsi h(x) = -4x3 + 8
pada x = -2 adalah
a. 48 c. 36 e. 24
b. -48 d. -36
6. Turunan pertama dari fungsi 2x3 – 4x
2 + 5
pada x = -1 adalah
a. 14 c. 8 e. 6
b. -14 d. -8
7. Derivatif pertama dari fungsi f(x)= 4x4- 6x
2
adalah …
a. f’(x)= 16x3 + 12x
b. f’(x)= 16x4 - 12x
2
c. f’(x)= 16x3 - 12x
d. f’(x)= 16x4 - 12
e. f’(x)= 8x3 + 8x
8. Derivatif pertama dari fungsi f(x)= 5x3- 6x
2 –
4p adalah …
a. f’(x)= 15x2 - 6x
b. f’(x)= 15x2 - 6x - p
c. f’(x)= 15x2 - 12x -4
d. f’(x)= 15x2 – 12x
e. f’(x)= 15x2 - 6x - 4
9. Derivatif pertama dari fungsi f(x)= (2x+4)(4-
2x) adalah …
a. f’(x)= -8x2 + 6
b. f’(x)= -8x
c. f’(x)= -8x2 - 6
d. f’(x)= -8x2 + 6x
e. f’(x)= 8x2 + 8x
10. Turunan pertama dari fungsi g(x)=2(4x-6)2
adalah …
a. g’(x)= 64x2 - 96
b. g’(x)= 64x + 96
c. g’(x)= 64x - 96
d. g’(x)= 64x - 48
e. g’(x)= 16x2 + 96x
11. Turunan pertama dari fungsi g(x)=3x3 +
x adalah …
xxxge
xxxgd
xxgc
xxgb
xxga
x
x
x
29)(' .
9)(' .
9)(' .
9)(' .
9)(' .
2
2
2
12
2
12
12
−=
−=
−=
+=
−=
12. Turunan pertama dari fungsi
xx
xh 62
)(3+= adalah …
a. h’(x) = -6x-1 + 6
b. h’(x) = -6x-3 + 6
c. h’(x) = -6x-4 + 6
d. h’(x) = 4x-4 + 6
e. h’(x) = 2x-4 + 6
13. Turunan pertama dari fungsi
2)2()( xxxf += adalah …
)x(x2 .
x)(1 .2 .
168 .32 .
2
+
++
++−+
c
exxb
xxdxxxa
14. Hasil dx
dy dari xxy 3= adalah …
xx
xxx
xxxx
2
27
52
37
273
37
c.
7 e. b.
d. a.
15. Gradien garis singgung parabola y = x2
pada titik B(-1,1) adalah …
a. -1 c. 3 e. 4
b. -2 d. -4
16. Persamaan garis singgung kurva y = 2x2 +
6 pada titik B(1,8) adalah …
a. y = 2x + 4 c. y = 4x + 8 e. y= 4x+4
b. y + 4x = 8 d. y + 4x = 4
17. Jika f(x) = 4px2 dan f’(2) = 10, maka nilai
p adalah …
a. 3/8 c. 5/8 e. 7/8
b. ½ d. ¾
Modul selama PKL (Matematika untuk SMK) halaman 7 dari 18 By Ikhsan
18. Jika f(x) = 4px2 + qx dan f’(1) = 10 serta ,
f’(-1) = -6 maka nilai p+q adalah …
a. 2 c. 4 e. 6
b. 3 d. 5
19. Gradien garis singgung parabola y = 2x2 + 5x
+ 10 pada titik B(2,1) adalah …
a. -12 c. 13 e. 14
b. 12 d. -14
20. Derivatif kedua dari y = 3x2 + 5x + 10
a. 3 c. 5 e. 7
b. -3 d. 6
II. Jawablah pertanyaan berikut dengan benar!
1. Tentukan turunan ke 3 dari :
a. f(x) = 3x5 + 2x
3 + 5 b.
xxf
3)( = c. f(x) = ( )( )54
12
+− xxx
2. Tentukan persaman garis singgung pada kurva y=2x2 – 3x – 8 dititik yang ber absis -2!
3. Tentukan persamaan garis singgung grafik y = x2 – 4x + 3 yang sejajar dengan garis y =
2x + 3 !
4. Diketahui f(x) = ax2 + bx + c, apabila f’(2) = 10 dan f’(3)= 15. Tentukan nilai dari a + b!
5. Diketahui f(x) = ax2 + 2bx + 10, apabila f’(1) = 10 dan f’(4)= 15. Tentukan nilai dari a +
b!
E. Teorema Turunan Fungsi
Contoh :
1. Turunan dari f(x) = (2x+5) + (3x+7)
Misal U = 2x + 5 V = 3x + 7
U’ = 2 V’ = 3
Maka f’(x) = U’+V’
= 2 + 3 = 5
2. Turunan pertama dari f(x) = (2x+5) (3x+7)
Misal U = 2x + 5 V = 3x + 7
U’ = 2 V’ = 3
Untuk :Untuk :Untuk :Untuk :
1. y = U(x) ± V(x) =���� y’ = U’(x) ± V’(x)
2. y = U(x) . V(x) =���� y’ = U’(x). V(x) + U(x). V’(x)
3. y =
( )( )xV
xU =���� 2[V(x)]
(x)V' U(x). V(x) (x).U''
−=y
4. y = Un
=���� y’ = n. Un-1. U’
Modul selama PKL (Matematika untuk SMK) halaman 8 dari 18 By Ikhsan
Maka f’(x) = U’V+UV’
= 2 (3x+7) + (2x+5) 3
= 6x+14 + 6x+15
= 12x + 29
3. Turunan pertama dari f(x) = 7)(3x
5)+(2x
+
Misal U = 2x + 5 V = 3x + 7
U’ = 2 V’ = 3
Maka f’(x) = 2V
UV'VU' −
= 27)(3x
3 5)(2x 7)(3x 2
+
+−+
= 49429
156x 416x2 ++
−−+
xx
= 49429
12 ++
−
xx
4. Tentukan Turunan dari f(x) = (x2+7)
5 {ingat bentuk f(x) = U
n}
Misal U = x
2 + 7 � U’ = 2x
Maka f’(x) = n Un-1 U’
= 5. (x2+7)
4. 2x
= 10x (x2+7)
4
1. Tentukan turunan pertama dari :
a. f(x) = (x3 + 4x
2+ 6) – (2x
3 + x
2+ 6)
b. f(x) = ( 61−
x) + (2x + )
1
xx
c. f(x) = x3 - (x + )
3
1
x
2. Tentukan turunan pertama dari :
a. f(x) = (x3 + 5x
2+ 3) (4x
3 + x
2+7)
b. f(x) = (x3 + 5x
2+ 3)
7
c. f(x) = ( 61−
x) (3x + )
1
xx
d. f(x) = (2x3+5x)
3(x – 1)
3. Tentukan turunan pertama dari :
2
54)( a.
23
−++
=x
xxxxf
( )
2
4)( c.
3
5)( b.
223
2
−
+=
−
+=
x
xxxf
x
xxxf
4. Tentukan turunan pertama dari :
a. f(x) = (x2 + 3)
4
b. f(x) = 5+x
c. f(x) = x. 5+x
5. Tentukan nilai f’(1) dari :
a. f(x) = (x + 4)(x2-8)
b. 7
5)(
+
−=
x
xxf
c. f(x) = (x2+2x)
4
Latihan 1.Latihan 1.Latihan 1.Latihan 1.4444
Modul selama PKL (Matematika untuk SMK) halaman 9 dari 18 By Ikhsan
F. Turunan dalam bentuk fungsi trigonometri
Contoh :
1. Tentukan turunan pertama dari :
a. y = 2sinx b. y = 8cosx c. y = 2tgx
2. Tentukan turunan pertama dari :
a. y = 2sinx + 3 cosx b. y = tgx + 10 ctgx c. y = secx + 2 cossecx
Penyelesaian :
1. a. y = 2 sinx b. y = 8 cosx c. y = 2 tgx
y' = 2 cosx y’ = 8 (-sinx) = -8 inx y’ = 2 sec2x
2. a. y = 2sinx + 3 cosx
y' = 2 cosx + 3(-sinx)
y’ = 2cosx -3 sinx
b. y = tgx + 10 ctgx
y’ = sec2x + 10 (- cossec
2x)
y’ = sec2x - 10 cossec
2x
c. y = secx + 2 cossecx
y’ = secx.tgx + 2 (-cossecx.ctgx)
y’ = secx.tgx - 2cossecx.ctgx
1. Tentukan turunan pertama dari :
a. f(x) = 2 cosx + 4 tgx
b. f(x) = 2 sinx + 2x2
c. f(x) = xxx cos+
2. Tentukan turunan pertama dari :
a. f(x) = x sinx
b. f(x) = sin2x
c. f(x) = 2 sinx.cosx
3. Tentukan nilai dari f’(600) dari :
a. f(x) = cos2x
b. f(x) = 2{sinx+cosx)
c. f(x) = 2x2 + 2x + sinx
4. Tentukan turunan pertama dari :
a. f(x) = x
x
cos
sin
b. f(x) = x
x
sin
cos2
1. f(x) = sinx ���� f’(x) = cosx
2. f(x) = cosx ���� f’(x) = - sinx
3. f(x) = tgx ���� f’(x) = sec2x
4. f(x) = ctgx ���� f’(x) = - cossec2x
5. f(x) = sec x ���� f’(x) = secx.tgx
6. f(x) = cosecx ���� f’(x) = -cossecx.ctgx
Latihan 1.Latihan 1.Latihan 1.Latihan 1.5555
Modul selama PKL (Matematika untuk SMK) halaman 10 dari 18 By Ikhsan
G. Turunan dalam bentuk fungsi trigonometri f(x) = sin(ax+b)
Contoh :
1. Tentukan turunan pertama dari :
a. y = 2sin(3x+600) b. y = 8cos(2x
2+3x) c. y = 2tg(3x+4)
2. Tentukan turunan pertama dari :
a. y = 2sin3x + 3 cosx b. y = tg4x + 10 ctgx
Penyelesaian :
1. a. y = 2 sin(3x+600) b. y = 8 cos(2x
2+3x) c. y = 2 tg(3x+4)
y' = 2 cos(3x+600). 3 y’ = 8 (-sin(2x
2+3x)). (4x+3) y’ = 2 sec
2(3x+4) . 3
y’ = 6 cos(3x+600) y’ = - (32x + 24) sin(2x
2+3x) y’ = 6 sec
2(3x+4)
2. a. y = 2sin3x + 3 cosx
y' = 2 cos3x . 3+ 3(-sinx)
y’ = 6cos3x -3 sinx
b. y = tg4x + 10 ctgx
y’ = sec2 4x.4 + 10 (- cossec
2x)
y’ = 4sec2 4x - 10 cossec
2x
1. Tentukan turunan pertama dari :
a. f(x) = 2 cos3x + 4 tg2x
b. f(x) = 2 sin(2x2+3x) + 2x
2
c. f(x) = xxx cos+
2. Tentukan turunan pertama dari :
a. f(x) = x sinx2
b. f(x) = sin2x
c. f(x) = sin2x
3. Tentukan nilai dari f’(600) dari :
a. f(x) = cos2 3x
b. f(x) = 4{sin2x+cos3x)
c. f(x) = 2x2 + 2x + sin(2x
2 + 2x)
1. f(x) = sin (ax+b) ���� f’(x) = a cos(ax+b)
2. f(x) = cos (ax+b) ���� f’(x) = - a sin (ax+b)
3. f(x) = sin U ���� f’(x) = cosU. U’
Latihan 1.Latihan 1.Latihan 1.Latihan 1.6666
Modul selama PKL (Matematika untuk SMK) halaman 11 dari 18 By Ikhsan
I. Berilah tanda silang (x) huruf a, b, c, d atau e pada jawaban yang benar!!
1. Turunan pertama dari fungsi f(x) =
6x3 + 8x
2 – 6 adalah …
a. f’(x) = 18x2 – 16x
b. f’(x) = 18x2 + 16x
c. f’(x) = 18x2 + 16
d. f’(x) = 18x3 – 16x
2
e. f’(x) = 9x2 + 16x
2. Jika diketahui f(x) = (3x-4)2, maka
turunan pertamanya adalah …
a. 18x – 12 d. 9x - 12
b. 9x – 24 e. 6x + 24
c. 18x – 24
3 Jika diketahui f(x) = (2x2 - 4)(8 – 4x),
maka turunan pertamanya adalah …
a. 32x – 24x2 + 16 d. 32x +24x
2 +16
b. 32x – 24x2 – 16 e. 32x
2– 24x + 16
c. 32x + 24x2 – 16
4. Turunan pertama dari fungsi f(x) =
x2(2x
2 – 4x) adalah …
a. 8x3 – 16x
2 d. 8x
2 – 16x
b. 8x3 + 16x e. 8x
4 – 16x
2
c. 8x3 – 16x
5. Turunan pertama dari fungsi f(x) =
)( xxxx − adalah …
2
3
2
3
52)(' e.
2)(' d.
52)(' c.
22)(' b.
52)(' a.
25
2
xxxf
xxxf
xxxf
xxxxf
xxxxf
−=
−=
−=
−=
−=
6. Turunan pertama dari fungsi f yang
dinyatakan oleh f(x) =
))((2 xxxxx +− adalah
a. 4x3 – 6x d. 4x
3 – 3x
2
b. 4x3 + 3x
2 e. 12x
2 -3x
3
c. 4x
3 + 6x
7. Jika f’(x) turunan pertama dari f(x)= 2x3 –
4x2 + 8 maka hasil dari f(x)-f’(x) adalah
a. 2x3 – 10x
2 + 8x – 8
b. 2x3 + 10x
2 - 8x – 8
c. 2x3 – 10x
2 + 8x + 8
d. 2x3 + 10x
2 + 8x – 8
e. 2x3 – 10x
2 - 8x + 8
8. Derivatif pertama dari fungsi f(x) =
xxxx 24 − adalah
xxx
xx
xxx
xx
xxx
2
54 e.
2
58 d.
2
56 c.
56 b.
56 a.
−
−
−
−
+
9. Jika diketahui f(x) = xx
xx +, maka f’(x)
adalah …
xx
x
x
x
xx
xx
xx
x
xxx
2
1 e.
12 d.
2
2 c.
2
1 b.
2
11 a.
21
21
2
−
−
−
+
−−
10. Turunan pertama dari fungsi f yang
dinyatakan oleh f(x) = (5x-6)(2x2 +4)
adalah …
a. 18x2 – 18x + 8 d. 30x
2– 18x+ 20
b. -18x2 + 18x- 8 e. 30x
2 – 24x+ 20
c. -18x2 – 18x – 8
Latihan Sub-Kom 2
Modul selama PKL (Matematika untuk SMK) halaman 12 dari 18 By Ikhsan
11. Jika 3 cos3x + 4sin2x, maka dx
dy
adalah…
a. 9cos3x – 8 sin2x
b. 9sin3x – 8cos2x
c. -9sin3x + 8cos2x
d. 9cos2x – 8 sin3x
e. 4cos2x – 9 sin2x
12. Turunan pertama dari f(x) =
( )1sin1cos
1−
+ xx
adalah
a. sec2x – cosx- sinx
b. sec2x + cos
2x- sinx
c. sec2x – cosx- secx
d. sec2x – cosx-
x2cos
sinx
e. sec2x + cosx + sinx
13. Turunan pertama dari f(x) = 18cosx +
16 sinx adalah
a. -16cosx – 18 sinx
b. 16cosx – 18 sinx
c. -16cosx + 18 sinx
14. Turunan pertama dari f(x) = 2x.sinx
adalah
a. 2cosx – 2x sinx
b. 2cosx + 2x sinx
c. 2sinx – 2x cosx
d. 2sinx + 2x cosx
e. - 2cosx + 2x sinx
15. Jika f(x)= 44 3 32 xx − , maka nilai
f’(16) adalah
32
18.
81
32.
32
18.
4
3.
32
25 a.
db
ec
II. Jawablah pertanyaan berikut ini dengan tepat!
1. Sebuah benda bergerak, kedudukannya setelah t sekon memenuhi persamaan S (t) = 3t2+
4t. Tentukan!
a. Berapa kecepatan rata-rata pada selang waktu t = 3 sekon dan t = 5 sekon?
b. Berapa kecepatan sesaat pada waktu t = 2 sekon?
2. Sebuah perusahaan mendapatkan keuntungan setelah t tahun sebesar 2.500.000t2 –5.000t.
a. Berapa besar keuntungan antara t = 3 tahun dan t = 4 tahun?
b. Berapa laju keuntungan sesaat pada t = 2 tahun?
3. Luas permukaan kubus berusuk x cm ditunjukkan oleh fungsi L(x) = 6 x 2 . Tentukan laju
perubahan luas (L) terhadap x untuk x = 7 cm dengan cara menghitung L’ (7).
4. Sebuah perusahaan memproduksi sejumlah barang ( x ) dengan biaya p ( x ) = 3x2 – 2x +15. Jika biaya
total marginal didefinisikan sebagai dx
dp, tentukan biaya total marginal untuk memproduksi barang itu.
Berapa biaya total untuk memproduksi 20 barang?
5. Garis singgung kurva y =2
4
1x di titik (2,1) memotong sumbu-x di titik A dan memotong sumbu-y di
titik B. Tunjukkan bahwa koordinat titik A dan B adalah A(1,0) dan B(0,–1).
Modul selama PKL (Matematika untuk SMK) halaman 13 dari 18 By Ikhsan
H. Maksimum dan Minimum Fungsi
Misalkan fungi dirumuskan oleh y = f(x) dalam interval I dan f(x) differensiabel pada setiap
x dalam interval tersebut :
Contoh :
Selembar aluminium akan dibuat silinder tanpa tutup dengan volume 8.000π cm3. Tentukan
tinggi dan jari-jari alas silinder agar aluminium yang digunakan seminimal mungkin.
1. f’(x) > 0 ���� fungsi naik
2. f’(x) < 0 ���� fungsi turun
3. f’(x) = 0 ���� fungsi Stasioner
4. f”(x) > 0 ���� Nilai balik maksimum
5. f”(x) < 0 ���� Nilai balik minimum
Modul selama PKL (Matematika untuk SMK) halaman 14 dari 18 By Ikhsan
Latihan 1.Latihan 1.Latihan 1.Latihan 1.7777
Modul selama PKL (Matematika untuk SMK) halaman 15 dari 18 By Ikhsan
LIMIT FUNGSI
Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali Anda mendengar kata-kata hampir atau mendekati.
Misalnya, Ronaldo hamper mencetak gol, kecepatan motor itu mendekati 120 km/jam, dan
sebagainya. Kata hampir atau mendekati dalam matematika disebut limit.
A. Teorema Limit Bentuk (ax→
lim )
B. Cara menentukan nilai limit
1. Menentukan Limit dengan Substitusi Langsung
Ada beberapa fungsi yang nilai limitnya dapat ditentukan dengan cara substitusi langsung seperti
contoh berikut:
1. 53lim 2
2++
→xx
x
2. xxx
32lim 2
1+
→
3. )3)(2(lim2
+−−→
xxx
Dari contoh diatas nilai limit dapat ditentukan melalui substitusi {dengan mengganti nilai x dengan
nilai dibawah limit}
1. 53lim 2
2++
→xx
x= (2)
2 + 3(2) + 5 = 4 + 6 + 5 = 15
2. xxx
32lim 2
1+
→ = 2(1)
2 + 3(1) = 2 + 3 = 5
3. )3)(2(lim2
+−−→
xxx
= [(-2)-2][(-2)+3] = (-4)(1) = 4
2. Menentukan Limit dengan Cara Memfaktorkan Terlebih Dahulu
Jika dengan cara substitusi langsung pada )(
)(lim
xg
xf
ax→ diperoleh bentuk
0
0 (bentuk tak tentu),
lakukan pemfaktoran terlebih dahulu terhadap f (x) dan g(x). Kemudian, sederhanakan ke bentuk
paling sederhana. Agar lebih jelas, perhatikan uraian berikut.
Modul selama PKL (Matematika untuk SMK) halaman 16 dari 18 By Ikhsan
Nilai limit :
00
0
a
proses}lanjutkan boleh,{tidak 0
0
=
∞=
a
)(
)(lim
)()(
)()(lim
)(
)(lim
xq
xp
xqax
xpax
xg
xf
axaxax →→→=
−−
=
P(x) ≠ 0 dan q(x) ≠ 0.
(x – a) didapat dari pembuat nolnya {nilai dibawah limit}
)(
)(lim
xg
xf
ax→ x � 0 bisa diartikan x = 0
X – 0 = 0 { Nol pindah ruas}
Contoh :
1. 2
6lim
2
2 −−+
→ x
xx
x
2. 82
6lim
2
2
2 −+
−+→ xx
xx
x
3. 32
6lim
2
2
3 −+
−+−→ xx
xx
x
4. 3
3lim
3 −
−→ x
x
x
5. xx
xx
x 2
7lim
2
2
0 +
+→
6. xx
xx
x 2
6lim
2
2
2 +
−+→
Jawab :
1. 2
6lim
2
2 −−+
→ x
xx
x
Dicek nilainya 0
0
2)2(
6)2()2(
2
6lim
22
2=
−−+
=−−+
→ x
xx
x � Jalankan proses!!!
532
3lim
2
)3)(2(lim
2
6lim
2
2
2
2
=+=
+=−
+−=
−−+
→
→→
x
x
xx
x
xx
x
xx
2. 82
6lim
2
2
2 −+
−+→ xx
xx
x
Dicek nilainya 0
0
8)2(22
622
82
6lim
2
2
2
2
2=
−+
−+=
−+
−+→ xx
xx
x � Jalankan proses!!!
6
5
42
32
)4(
)3(lim
)4)(2(
)3)(2(lim
82
6lim
2
22
2
2
=++
=
++
=
+−+−
=−+
−+
→
→→
x
x
xx
xx
xx
xx
x
xx
Modul selama PKL (Matematika untuk SMK) halaman 17 dari 18 By Ikhsan
3. 32
6lim
2
2
3 −+
−+−→ xx
xx
x
Dicek nilainya ( ) 0
0
332)3(
6)3()3(
32
6lim
2
2
2
2
3=
−−+−
−−+−=
−+
−+−→ xx
xx
x � Jalankan proses!!!
4
5
)1)3((
)2)3((
)1(
)2(lim
)3)(1(
)3)(2(lim
32
6lim
3
32
2
3
−−
=−−−−
=
−−
=
+−+−
=−+
−+
−→
−→−→
x
x
xx
xx
xx
xx
x
xx
4. 3
3lim
3 −
−→ x
x
x
Dicek nilainya 0
0
33
33
3
3lim
3=
−
−=
−
−→ x
x
x � Jalankan proses!!!
0033
3lim
3
33lim
3
3lim
3
33
==−=
−=
−
−−=
−
−
→
→→
x
x
xx
x
x
x
xx
5. xx
xx
x 2
7lim
2
2
0 +
+→
Dicek nilainya 0
0
0.20
0.70
2
7lim
2
2
2
2
0=
+
+=
+
+→ xx
xx
x � Jalankan proses!!!
2
7
20
70
)2(
)7(lim
)2(
)7(lim
2
7lim
0
02
2
0
=++
=
++
=
++
=+
+
→
→→
x
x
xx
xx
xx
xx
x
xx
6.xx
xx
x 2
6lim
2
2
2 +
−+→
Dicek nilainya 08
0
2.22
622
2
6lim
2
2
2
2
2==
+
−+=
+
−+→ xx
xx
x
Modul selama PKL (Matematika untuk SMK) halaman 18 dari 18 By Ikhsan
Latihan 2.1Latihan 2.1Latihan 2.1Latihan 2.1
2