18

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI...........................................................................................................1

A. PENDAHULUAN

1. Latar Belakang.......................................................................................2

B. DASAR TEORI

1. Pengertian Frekuensi.............................................................................3

2. Pengertian Range...................................................................................3

3. Pengertian Mean....................................................................................3

C. ISI DAN PEMBAHASAN

1. Pengertian Ukuran Penyebaran Data..............................................................4

2. Macam-macam Ukuran Penyebaran Data......................................................4

2.1 Range (Rentang) ................................................................................4

2.2 Rata-rata Simpangan...........................................................................4

2.3 Rentang Semi antar Kuartil.............................................................5.

2.4 Range Persentil 10-90......................................................................5

2.5 Standar Deviasi (Simpangan Baku).................................................6

2.6 Varians...........................................................................................11

3. Penggunaan Excel................................................................................16

D. PENUTUP

a. Kesimpulan.........................................................................................17

DAFTAR PUSTAKA................................................................................18

18

A. PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

Agar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika

menyediakan metode penyusunan data dalam bentuk distribusi

frekuensi,tapi distribusi frekuensi yang terbentuk masih mengandung

banyak elemen. Padahal informasi yang kita dapatkan dari data akan

lebih mudah dipahami agar dapat diwakili oleh satu nilai saja.Untuk itu

diperlukan nilai yang dapat mewakili data yang terkumpul (dapat

menggambarkan tendensi lokasi himpunan data).

Data kuantitatif yang diperoleh dari lapangan, nilainya tidak selalu sama

melainkan bervariasi dari satu pengamatan ke pengamatan lainnya. Oleh

karena itu, perlu diketahui bahwa disekitar mana angka-angka itu

mempunyai kecenderungan untuk memusat pada nilai tertentu yang

disebebut nilai pusat. Nilai tersebut berupa nilai tunggal yang cukup

representatif bagi keseluruhan nilai dalam data bersangkutan. Disebut

nilai pusat karena pada umumnya berlokasi di bagian tengah atau pusat

dari suatu distribusi. Dalam statistika dikenal beberapa macam ukuran

nilai pusat. Yang paling banyak digunakan adalah rata-rata hitung

(Arithmatic mean), Median, Modus, Rata-rata tertimbang, rata-rata ukur,

dan lain-lain.

18

B. DASAR TEORI

1. Pengertian Frekuensi

Kata “frekuensi” yang dalam bahasa Inggrisnya adalah frequency berarti:

“kekerapan”, ”keseringan”, atau “jarang-kerapnya”. Dalam statistik

”frekuensi” mengandung pengertian: Angka (bilangan) yang

menunjukkan seberapa kali suatu variabel (yang dilambangkan dengan

angka-angka itu) berulang dalam deretan angka tersebut, atau berapa

kalikah suatu variable (yang dilambangkan dengan angka itu) muncul

dalam deretan angka tersebut (Sudijono Anas, 2009: 36).

2. Pengertian Rata-rata

Rata-rata itu tidak lain adalah: Tiap bilangan yang dapat dipakai sebagai

wakil dari rentetan nilai rata-rata itu wujudnya hanyalah satu bilangan

saja; namun dengan satu bilangan itu akan dapat tercermin gambaran

secara umum mengenai kumpulan atau deretan bahan keterangan yang

berupa angka atau bilangan itu (Sudijono Anas, 2009: 77).

3. Pengertian Range

Range adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukkan jarak

penyebaran antara skor (nilai) yang terendah (Lowest score) sampai skor

nilai yang tertinggi (Highest Score) (Sudijono Anas, 2009: 144).

18

C. ISI DAN PEMBAHASAN

1. Pengertian Ukuran Penyebaran Data

Berbagai macam ukuran statistik yang dapat digunakan untuk mengetahui :

luas penyebaran data, atau variasi data, atau homogenitas data, atau stabilitas

data (Sudijono Anas, 2009: 143).

2. Macam-macam Ukuran Penyebaran data

2.1 Range (Rentang)

Range adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukkan jarak

penyebaran antara skor (nilai) yang terendah (Lowest score)

sampai skor nilai yang tertinggi (Highest Score).

Dengan singkat dapat dirumuskan:

R = H – L

R = Range yang dicari

H = Skor atau nilai yang tertinggi

L = Skor atau nilai yang tertinggi

(Sudijono Anas, 2009: 144).

EXAMPLE 1.

Range dari data 2, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 10, 12 is 12 - 2 = 10.

Terkadang range ditulis secara sederhana yaitu 2 to 12, or 2–12.

2.2 Mean Deviation /Avarage Deiation/Deviasi Mean (Rata-rata

Simpangan)

Mean Deviation (MD) dari data tunggal yaitu X1 , X2 , X3 , … ,

XN didefinisikan :

MD =

∑i=1

N

|X i−X̄|

N

Dengan : MD = Mean Deviasi X

i = Data ke-i, dengan i = 1, 2, 3, …

18

X̄ = rata-rata hitung(Siagian Dergibson, 2002: 51)

EXAMPLE 2 : Hitunglah MD dari data 2, 3, 6, 8, 1

X̄=2+3+6+8+115

= 6

MD =(|2−6|+|3−6|+|6−6|+|8−6|+|11−6|)

5=4+3+0+2+5

5=2,8

Jika data tunggal berfrekuensi yaitu X1 , X2 , X3 ,…,XN dengan

frekuensi f1 ,f2 , f3 , …,fN maka

MD =

∑i=1

N

f i|X i− X̄|

N

(Siagian Dergibson, 2002: 51)

2.3 Simpangan Kuartil

Simpangan kuartil disingkat Qd

Simpangan kuarti adalah

Qd=12(Q3−Q1 )

(Negoro, 1998: 361)

2.4 Range Persentil 10-90

Range Persentil 10-90 dari sekumpulan data adalah P90−P10

Range Semi Persentil 10-90 dari sekumpulan data adalah

p90− p10

2

18

2.5 Standar Deviasi (Simpangan Baku)Standar Deviasi dari data

tunggal X1 , X2 , X3 , … , XN yang berasal dari populasi

didefinisikan σ = √∑i=1

N

(X i− μ )2

N

Standar Deviasi dari data tunggal X1 , X2 , X3 , … , XN yang

berasal dari sampel didefinisikan :

s = √∑i=1

N

( Xi− X̄ )2

n−1

(Siagian Dergibson, 2002: 52)

Contoh : Diberikan sample dengan data 6, 7, 8, 9, 10

Hitunglah simpangan bakunya !

x̄ = 8

X j X j −X̄ ( X j − X̄ )2

6 -2 4

7 -1 1

8 0 0

9 1 1

10 2 4

Jumlah 10

18

s = √105−1

= √2,5

s = √ N ∑ X 2 − (∑ X )2

N ( N−1 ) =

√ 5 . 330 − 402

5 . 4= √1650−1600

20=√2. 5

X j X j2

6 367 498 649 8110 10040 330

Standar Deviasi dari data berdaftar distribusi frekuensi yang

berasal dari sampel didefinisikan :

s = √ ∑

j=1

N

f j ( A j− X̄ )2

N−1

Dengan : s = Standar Deviasi

f j = Frekuensi kelas ke-j

A j = Tanda kelas ke-j

X̄ = Rata-rata

N = Banyaknya data

Untuk membantu menghitung biasanya digunakan tabel tambahan

sebagai berikut :

18

Rentang nilai

f j A j A j

.f j

A j - X̄

( A j − X̄ )2 f j ( A j − X̄ )2

Jumlah … - … - - …

Contoh :Tabel 2.4 Distribusi nilai matematika 80 siswa SMA XYZ

Rentang nilai f A j A j .f j A j - X̄ ( A j − X̄ )2 f j ( A j − X̄ )2

50-54 1 52 52 -23,375 546,39 546.39

55-59 2 57 114 -18,375 337,64 675.28

60-64 11 62 682 -13,375 178,89 1967.79

65-69 10 67 670 -8,375 70,14 701.4

70-74 12 72 864 -3,375 11,39 136.68

75-79 21 77 1617 1,625 2,64 55.45

80-84 6 82 492 6,625 43,89 263.34

85-89 9 87 783 11,625 135,14 1216.26

90-94 4 92 368 16,625 276,39 1105.56

95-99 4 97 388 21.625 467,64 1870.56

Jumlah 80 - 6030 - - 8538.71

X̄=75 ,375

s = √8538 .7180−1

=√108. 08 = 10 .39

18

s = √ N ∑ f j . A

j2− (∑ f j . A j )

2

N ( N−1)

Untuk membantu menghitung biasanya digunakan tabel tambahan

sebagai berikut :

Rentang nilai f j A j A j2 f j A j f j A

j2

Jumlah … - - … …

Contoh :Tabel 2.4 Distribusi nilai matematika 80 siswa SMA XYZ

Rentang Nilai F A j A j2 f j A j f j A

j2

50-54 1 52 2704 52 270455-59 2 57 3249 114 649860-64 11 62 3844 682 4228465-69 10 67 4489 670 4489070-74 12 72 5184 864 6220875-79 21 77 5929 1617 12450980-84 6 82 6724 492 4034485-89 9 87 7569 783 6812190-94 4 92 8464 368 3385695-99 4 97 9409 388 37636Jumlah 80 - - 6030 463050

s = √ N ∑ f j . Aj2

− (∑ f j . A j )2

N ( N −1)

√80 .463050 − (6030 )2

80 x 79=√108 ,08 = 10 .39

18

s = √d2

N ∑ f j .c j2− (∑ f j . c j )

2

N ( N −1)

Dengan : s = Standar Deviasi

d = lebar kelas interval

c = sandi , c = 0, ±1 , ±2 , .. .

f j = Frekuensi kelas ke-j

N = Banyaknya data

Untuk membantu menghitung biasanya digunakan table tambahan

sebagai berikut :

Rentang nilai f j c j c j2 f j c j f j c

j2

Jumlah … - - … …

Contoh :Tabel 2.4 Distribusi nilai matematika 80 siswa SMA XYZ

Rentang Nilai F c j c j2 f j c j f j c

j2

50-54 1 -5 25 -5 2555-59 2 -4 16 -8 3260-64 11 -3 9 -33 9965-69 10 -2 4 -20 4070-74 12 -1 1 -12 1275-79 21 0 0 0 080-84 6 1 1 6 685-89 9 2 4 18 3690-94 4 3 9 12 3695-99 4 4 16 16 64Jumlah 80 - - - 26 350

s = √d2N ∑ f j .c j2

− (∑ f j . c j)2

N ( N−1)

18

=√5280 x 350 − (−26 )2

80 x 79= √108 . 08 = 10. 39

2.6 Varians

Varians dari suatu data adalah kuadrat dari standar deviasi.

2.6.1. Varians dan deviasi standar dari data yang belum dikelompokkan

Penggunaan nilai-nilai absolut bagi pengukuran dispersi tidak

memungkinkan manipulasi secara sistematis. Bila penjumlahan

dilakukan terhadap (x i−x) (di mana paling sedikit ada 2 nilai

yang tidak sama) yang telah dikuadratkan, maka pengrata-rataan

hasil penjumlaha di atas tidak akan sama dengan nol. Dengan

kata lain ∑ (x i−x )2

n≠ 0. Perumusan sedemikian itu dinamakan

deviasi kuadrat rata-rata. Karl Pearson menamakannya

pengukuran varians dan dirumuskan sebagai

s2=1n∑i=1

n

(x i−x )2 (1)

(Dajan Anto, 1986: 177).

Namun demikian, unit-unit s2 merupakan unit kadrat dan tidak

sama dengan unit-unit biasa x i dan x. Standardisasi unit-unit pengukuran di atas dilakukan melalui proses pengakaran sebagai berikut

s=[ 1n∑i=1

n

( xi−x)2]12 (2)

s=√ 1n∑i=1

n

(x i−x )2 (3)

18

Karl Pearson menamakan persamaan 2 dan 3 dia atas sebagai perumusan deviasi standar (Dajan Anto, 1986: 177).

2.6.2 Beberapa catatan tentang varians dan deviasi standar dari data yang

belum dikelompokkan

a. Rumus Fisher dan WilksBagi distribusi sampel dengan n<100, Fisher, Wilks, dan beberapa statistisi memberi perumusan tentang varians dan deviasi standar sebagai

s2= 1n−1∑i=1

n

(x i− x)2 (4)

dan

s=[ 1n−1∑i=1

n

(x i−x)2]12 (5)

atau

s=√ 1n−1∑i=1

n

(x i−x )2 (6)

(Dajan Anto, 1986: 178).

Deviasi standar sampel 6 di atas sebetulnya digunakan sebagai penaksiran yang tidak bias (un-biased estimate) bagi standar deviasi σ . Banyak statistisi yang menganjurkan penggunaan pembagi n-1 dalam menghitung deviasi standar sampel guna penaksiran deviasi standar populasi. Bila jumlah n tidak besar, hasil penggunaan perumusan 3 mungkin berbeda secara berarti dari hasil penggunaan prumusan 6 di atas. Sebaliknya, bila jumlah n besar sekali, beda hasil penggunaan kedua perumusan di atas sebetulnya tidak berarti (Dajan Anto, 1986: 179).

1. Varians dan deviasi standar populasi

Cara menghitung varians dan deviasi standar populasi secara berturut-turut dapat diberikan sebagai

σ 2= 1N ∑

i=1

N

(x i−μ)2 (7)

atau

18

σ=[ 1N ∑

i=1

N

(x i−μ)2]12 (8)

di mana

N = jumlah observasi dalam populasi

μ = rata-rata pupolasi

(Dajan Anto, 1986: 179).

2. Perumusan alternatif bagi varians dan deviasi standar sampel.Persamaan Definisi 1, varians diberikan sebagai

s2=1n∑i=1

n

(x i−x )2

Sehingga

s2 n=∑i=1

n

( xi−x )2

¿∑i=1

n

(x¿¿ i¿¿2−2x i x+x2)¿¿

¿∑i=1

n

x i2−2 x∑

i=1

n

x i+n x2

alhasil ,

s2 n=¿ ∑i=1

n

x i2−2n x2+¿nx2 , karena nx=∑

i=1

n

x i

¿ ∑i=1

n

x i2−¿n x2¿

¿∑i=1

n

x i2−¿n(∑i=1

n

x i

n )2

¿

¿ ∑i=1

n

x i2−¿

(∑i=1

n

xi)2

n¿

s2=∑i=1

n

x i2−¿

(∑i=1

n

x i)2

nn

¿

(9)

dan

18

s=√∑i=1

n

x i2−¿

(∑i=1

n

x i)2

nn

¿

(10)

(Dajan Anto, 1986: 179-180).

Secara teoritis, penggunaan rumus 9 dan 10 guna menghitung varians dan deviasi standar akan memberi hasil yang sama seperti perhitungan varians dan deviasi standar dengan menggunakan rumus 1 dan 3.

3. Cara menghitung varians dan standar deviasi secara singkatPersamaan Definisi 9, bila nilai-nilai observasi x i diubah ke dalam nilai-nilai

yang sederhana dan cara menghitung varians serta deviasi standar dilakukan dengan menggunakan nilai-nilai sederhana tersebut, maka perumusan umumnya dapat diberikan sebagai

s2=∑i=1

n

( x i−x0 )2−(∑

i=1

n

xi−x0)2

nn

(11)

dan

s=√∑i=1

n

( x i−x0 )2−(∑

i=1

n

x i−x0)2

nn

(12)

di mana

x0 = titik asal deviasi secara arbriter

(Dajan Anto, 1986: 181).

2.6.3 Varians dan deviasi standar dari data yang telah dikelompokkan

Bila varians dan deviasi standar dihitung dari sebuah distribusi frekuensi, maka titik tengah tiap-tiap kelas umumnya dianggap sebagai nilai tunggal yang cukup representatif bagi semua nilai-nilai observasi x i yang

18

dikelompokkanke dalam kelas-kelas yang bersangkutan. Rumus varians dan deviasi standar dari distribusi frekuensi sedemikian itu dapat diberikan sebagai

s2=1n∑i=1

k

(mi−x )2 f i (13)

dan

s=√ 1n∑i=1

k

(mi−x )2 f i (14)

Di mana

mi = titik tengah tiap-tiap kelas

f i = jumlah ffrekuensi kelas

(Dajan Anto, 1986: 183).

2.6.4 Cara menghitung varians dan deviasi standar secara singkat

Dari persamaan x=i 1n∑i=1

k

ui f i+x0 dan persamaan x i=x0+ui i. Maka,

[ x i−x ]=[( x0+u i i )−(x0+∑i=1

k

u i f i

ni)]

¿ [x0+ui i−x0−∑i=1

k

ui f i

ni ]

¿ [ui i−

∑i=1

k

ui f i

ni ]

¿ i [ui−

∑i=1

k

ui f i

n ] (15)

Bila persamaan 15 di atas disubstitusikan ke dalam persamaan 13 maka akan diperoleh

18

s2 = 1n

i2 .∑i=1

k

f i[ui−∑i=1

k

ui f i

n ]2

= 1n

i2 .∑i=1

k

f i[ui2−2 ui

∑i=1

k

ui f i

n+(∑i=1

k

ui f i

n )2]

= 1n

i2[∑i=1

k

ui2 f i−2∑

i=1

k

f iui

∑i=1

k

ui f i

n+∑

i=1

k

f i(∑i=1

k

ui f i

n )2]

Perkalian suku kedua dengan n/n,

s2 = 1n

i2[∑i=1

k

ui2 f i−2 n(∑i=1

k

ui f i

n )2

+n(∑i=1

k

ui f i

n )2]

= 1n

i2[∑i=1

k

ui2 f i−n (∑i=1

k

u i f i

n )2]

Dan

s = √ 1n

i2[∑i=1

k

u i2 f i−n(∑i=1

k

ui f i

n )2] atau

= i √ 1n∑i=1

k

ui2 f i−(∑i=1

k

ui f i

n )2

s = i √∑i=1

k

ui2 f i

n−(∑i=1

k

ui f i

n )2

(Dajan Anto, 1986: 185-186).

18

2.6.5 Beberapa catatan tentang varians dan deviasi standar distribusi

1. Koreksi Sheppard

Bila distribusi frekuensi simetris atau mendekati simetris, hasil rata-rata hitung yang diperoleh dari distribusi tersebut akan kurang lebih sama seperti hasil rata-rata yang diperoleh dari data kasar asal dari mana distribusi tersebut dibentuk. Hal sedemikian itu dapat dimengerti karena kesalahan-kesalahan dalam nilai-nilai tengah bertendensi saling meniadakan. Sebaliknya, dalam penghitungan varians dan deviasi standar distribusi, nilai-nilai observasi distribusi yang bersangkutan akan mengalami pengkuadratan sehingga kesalahn-kesalahan dalam nilai tengah tidak dapat saling meniadakan. Nilai s yang dihitung dari distribusi frekuensi umumnya selalu lebih besar daripada nilai s yang dihitung dari data asal (Dajan Anto, 1986: 187).

.

3. Penggunaan Excel

Fungsi Statistika

FUNGSI SINTAKSIS KETERANGANMean Deviation AVEDEV Rata-rata simpangan

Standar Deviation (Sampel)

STDEV Simpangan baku dari data yang berasal dari sampel

Varians VAR Variasn dari sebuah data

Standar Deviation (Populasi)

STDEVP Simpangan baku dari data yang berasal dari populasi

18

D. PENUTUP

1. Kesimpulan

Salah-satu tugas statistik sebagai ilmu pengetahuan adalah meyajikan

atau mendeskripsikan data angka yang telah dikumpulkan menjadi

gambaran yang jelas dan mudah dipahami.

Agar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika

menyediakan metode penyusunan data dalam bentuk distribusi

frekuensi,tapi distribusi frekuensi yang terbentuk masih mengandung

banyak elemen. Padahal informasi yang kita dapatkan dari data akan

lebih mudah dipahami agar dapat diwakili oleh satu nilai saja.Untuk

itu diperlukan nilai yang dapat mewakili data yang terkumpul (dapat

menggambarkan tendensi lokasi himpunan data).

Dalam statistika dikenal beberapa macam ukuran nilai pusat. Yang

paling banyak digunakan adalah rata-rata hitung (Arithmatic

mean),Median,Modus,Rata-rata tertimbang,rata-rata ukur,dan lain-

lain.

18

DAFTAR PUSTAKA

Dajan, Anto. 1986. Pengantar Metode Statistik. Jilid 1. Jakarta: LP3ES

Negoro,ST dan B.Harahap.1998.Ensiklopedia Matematika.Ghalia Indonesia

Siagian, Dergibson dan Sugiarto.2002.Metode Statistika Untuk Bisnis dan Ekonomi.Jakarta : PT. Gramedia Pustata Utama

Sudijono, Anas. 2009. Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta :PT Raja Grafindo Persada