1

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE-N TAK HOMOGEN DENGAN KOEFISIEN KONSTAN

Bentuk umum persamaan diferensial tak homogeny orde-n adalah sebagai berikut :

An yn+An−1 y

n−1+An−2 yn−2+…+A1 y

'+A0 y=r (x )

Solusi umum y (x ) akan didapatkan bila solusi umum yh x dari Persamaan Diferensial

Homogen diketahui, dimana

Bentuk umum persamaan diferensial homogeny orde-n adalah sebagai berikut :

An yn+An−1 y

n−1+An−2 yn−2+…+A1 y

'+A0 y=0

Kemudian y (x ) dibentuk dengan penambahan yh x sembarang solusi y termasuk konstanta

tak tetapnya.

Sehingga,

y ( x )= yh(x)+ ỹ (x)

Theorema 1:

f ( x ), g ( x )dan r ( x ) merupakan fungsi kontinu pada interval l. y ( x ) merupakan solusi dari

Persamaan Diferensial di atas yang berisikan konstanta yang tetap. y ( x ) dibentuk oleh 2

konstanta. Konstanta pertama, berubah-ubah, terdapat pada solusi umum (homogeny) yh(x ).

Konstanta kedua, tetap, terdapat pada fungsi ỹ (x ), yaitu sembarang solusi Persamaan

Diferensial pada interval l.

Theorema 2:

Solusi umum dari Persamaan Diferensial seperti di atas adalah penjumlahan solusi persamaan

homogeny yh(x ) dengan solusi particular yang tetap (tak berubah-ubah) y p(x ).

Sehingga,

y ( x )= yh (x )+ y p(x )

2

Mengingat teorema solusi umum persamaan diferensial tak homogeny, tugas kita disini

hanyalah mencari satu solusi particular dari persamaan diferensial tak homogeny.

Terdapat tiga metode:

1.Metode koefisien tak tentuIde dasar dari metode koefisien tak tentu adalah menduga dengan cerdas solusi y p

(solusi ansatz) berdasarkan bentuk fungsi r ( x ) di ruas kanan.

Bentuk persamaan umum:

An yn+An−1 y

n−1+An−2 yn−2+…+A1 y

'+A0 y=r (x )

Fungsi r (x ) yang merupakan bentuk solusi pertikular y p(x ) diperoleh dengan cara

menebak, seperti misalnya: fungsi cos, fungsi sin, fungsi exponensial atau jumlah

dari beberpa fungsi

r (x ) berisikan koefisien tak tentu

Turunkan y p sesuai persamaan umum di atas

Subtitusikan y p dan seluruh turunannya ke dalam persamaan

Tabel Metode Koefisian Tak Tentu

Aturan:

Bila r (x ) meupakan salah satu fungsi seperti dalam table, maka pilih bentuk y p

yang sesuai dan merupakan kombinasi linier dengan konstanta tak tantu. Turunan

r (x ) harus bebas linier pula.

Bila r (x ) merupakan penjumlahan, maka pilih y p yang merupakan penjumlahan

fungsi yang sesuai.

3

Bila r (x ) adalah solusi dari persamaan homogeny, maka pilihan dapat

dimodifikasi seperti berikut

Aturan Modifikasi

Kalikan pilihan pada kolom 2 dengan x atau x2 tergantung dari apakah pada kolom 3

berupa akar tunggal atau akar-akar ganda dari persamaan homogeny.

Contoh Soal

1) Selesaikan persamaan berikut:

y ' '−4 y'+3 y=10e−2 x

Jawab:

Mencari jawaban homogeny yh

y ' '−4 y'+3 y=10e−2 x

λ2−¿ 4 λ+3=10e−2x

( λ−3 ) ( λ−1 )

λ1=3dan λ2=1

Maka,

yh=∑i=1

2

Cierix

yh=C1 e3 x+C2 e

x

Mencari jawaban particular y p

Turunan e−2x adalah Ce−2 x

Maka, y p=C e−2x

y p '=−2C e−2x dan y p ' '=4C e−2x

4Ce−2x−4 (−2C e−2x)+3 (Ce−2 x )=10e−2x

Ce−2 x (4+8+3 )=10e−2x

15 Ce−2 x = 10e−2x

C=10e−2 x

15e−2 x

C=23

Maka, y p=23e−2x

4

Solusi Umum

y= yh+ y p

y=C1 e3 x+C2 e

x+ 23e−2x

2) Selesaikan y ' '+4 y=8x2

Jawab:

Mencari jawaban homogeny yh

y ' '+4 y=8x2

λ2+¿ 4=0

λ1=p+ jq=+ j 2; λ2=p− jq=− j2 ; p=0

Maka, solusi homogeny untuk D<0:

yh=epx [A cosqx+B sinqx ]

yh=¿

Mencari jawaban particular y p

Misal 1 : y=C x2 ; y ' '=2C

2C+4C x2=8 x2 ; 2C=0 ; 4C=8

Gagal, tidak konsisten.

Misal 2 : y p=C x2+Lx+m ; y ' '=2C

2C+4(C x2+Lx+m)=8 x2

4C x2+4 Lx+(2C+4m)=8 x2

Dengan metode identifikasi:

C=2 ; L=0 ;M=1

Maka, y p=2x2+1

Solusi Umum

y= y p+ yh

y=A cos 2x+B sin2 x+¿2x2+1¿

3) Selesaikan y ' '− y '−2 y=10 cos x

Jawab:

Mencari jawaban homogeny yh

5

y ' '− y '−2 y=10cos x

λ2− y−2=0

( λ−1 ) ( λ+1 )=0

λ1=1dan λ2=−1

Maka,

yh=∑i=1

2

Cierix

yh=C1 ex+C2 e

−x

Mencari jawaban particular y py p=k cos x+msin x

y p' =−k sin x+mcos x

y p' '=−k cos x−msin x

Masukan ke persamaan:

y ' '− y '−2 y=10cos x

(−k cos x−msin x )−(−k sin x+m cos x )−2 (k cos x+msin x )

¿10 cos x

(−3m−m ) cosx+(k−3m ) sinx=10cosx

−3m−m=10 ; k−3m=0

k=−¿3 ; m=−1

y p=−3cosx−sinx

Solusi Umum

y= y p+ yh

y=−3cosx−sinx+C1ex+C2 e

−x

4) Selesaikan: y ' '−3 y '+2 y=4 x+e3x

Jawab:

Mencari jawaban homogeny yh

y ' '−3 y '+2 y=4 x+e3x

λ2−3 y+2=0

( λ−2 ) ( λ−1 )=0

λ1=2dan λ2=1

Maka,

6

yh=∑i=1

2

Cierix

yh=C1 e2 x+C2 e

x

Mencari jawaban particular y p

y p=k1 x+k 0+C e3x

y p' =k1+3C e3 x

y p' '=9Ce3 x

Masukan ke persamaan:

y ' '−3 y '+2 y=4 x+e3x

9C e3 x−3 (k1+3Ce3x )+2 (k1 x+k 0+C e3 x )=4 x+e3x

k1=2 ; k 0=3 ; C=( 12)

y p=2x+3+( 12)Ce3x

Solusi Umum

y= y p+ yh

y=2x+3+( 12)Ce3x+C1e

2x+C2ex

2.Metode KompleksBentuk umumnya seperti persamaan

An yn+An−1 y

n−1+An−2 yn−2+…+A1 y

'+A0 y=r (x ).

Contoh:

Ϊ+ İ+2 I=6 cos t

Dengan metode koefisien tak tentu akan diperoleh:

I P ( t )=3cos t+3 sin t

Menurut hokum Euler, ruas kanan persamaan Ϊ+ İ+2 I=6 cos t, 6cos t adalah

komponen nyata (real) karena:

6e¿=6¿

7

Sehingga persamaan Ϊ + İ+2 I=6 cos t dapat ditulis dengan:

Ϊ+ İ+2 I=6 e¿

Solusi particular kompleks dapat di buat dalam bentuk:

Ip¿(t)=k e¿

dan İ p¿=ik e¿ Ϊ p¿=−ik e¿

bila disubtitusikan ke dalam persamaan Ϊ+ İ+2 I=6 e¿:

(−1+ I+2)k e¿=6e¿

k= 61+i

=3−i3

Sehingga solusi umum persamaan Ϊ + İ+2 I=6 e¿ adalah:

İ p¿ (t)= (3−i3 ) eit=(3−i3 ) ¿

Dan komponen nyatanya adalah:

İ p (t )=3cos t+3sin t

3.Metode UmumBentuk umum Persamaan Diferensial Tak Homogen

An yn+An−1 y

n−1+An−2 yn−2+…+A1 y

'+A0 y=r (x )

Sedangkan bentuk umum Persamaan Diferensial Homogen :

An yn+An−1 y

n−1+An−2 yn−2+…+A1 y

'+A0 y=0

8

Maka solusi umumnya yh(x ) pada interval terbuka I berbentuk:

yh ( x )=c1 y1 ( x )+c2 y2 (x )

Bila c1 dan c2 diganti dengan u(x) dan v(x) maka diperoleh solusi pertikular pada

interval terbuka I, sbb:

y p ( x )=u ( x ) y1 (x )+v (x) y2 ( x )

Jika persamaan di atas diturunkan, hasilnya:

y p' =u ' y1+u y1

' +v ' y2+v y2 '

Karena u(x) dan v(x) adalah pengganti c1 dan c2, maka:

u' y1+v' y2=0

Sehingga y p' menjadi:

y p' =uy1 '+v y2 '

Bila persamaan An yn+An−1 y

n−1+An−2 yn−2+…+A1 y

'+A0 y=r (x ) diturunkan

hasilnya:

y p' =u ' y1

' +u y1' '+v ' y2 '+v y2 ' '

Persamaan y p ( x )=u ( x ) y1 (x )+v ( x ) y2(x), y p' =uy1 '+v y2 ', dan

y p' =u ' y1

' +u y1' '+v ' y2 '+v y2 ' ' disubtitusikan ke dalam persamaan

An yn+An−1 y

n−1+An−2 yn−2+…+A1 y

'+A0 y=r (x ), dan mengumpulkan komponen

yang mengandung u dan v:

9

Bila y1 dan y2 merupakan solusi homogeny dari persamaan

An yn+An−1 y

n−1+An−2 yn−2+…+A1 y

'+A0 y=0, sehingga terjadi penyederhanaan

persamaan, menjadi:

Persamaan u' y1+v' y2=0

Sebuah system dari 2 persamaan aljabar linier dengan 2 fungsi u’ dan v’ yang tak

diketahui.

Penyelesaian selanjutnya dengan memakai aturan Cramer, sehingga:

W = Bilangan Wronskian dari y1 dan y2

Dengan integrasi diperoleh:

Subtitusikan hasil ini ke dalam persamaan y p ( x )=u ( x ) y1 (x )+v ( x ) y2(x), sehingga

didapatkan :

10

Contoh:

Selesaikan Persamaan Diferensial berikut ini: y ' '+ y=sec x

Jawab:

Misalkan y1=cos x dan y2=sin x

Mencari jawaban homogeny yh

Bilangan Wronskian:

W ( y1 , y2 )=cos x cos x−¿¿¿

Mencari jawaban particular y p

y p=cos x ln∨cos x∨+x sin x

Solusi Umum

y= y p+ yh