M A T E M A T I K A T E L K O M U N I V E R S I T Y

OPTIMASI: DIFERENSIAL PARSIAL

DIFERENSIAL PARSIAL

• Fungsi yang mengandung satu variabel bebas

hanya akan memiliki satu macam turunan.

apabila y = f(x) maka turunannya hanyalah turunan

y terhadap x, dengan kata lain y’= dy/dx.

DIFERENSIAL PARSIAL

Fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel

bebas maka turunannya akan lebih dari satu macam

pula, sesuai dengan jumlah macam variabel

bebasnya.

Y=f(x,z) maka akan terdapat dua macam turunan,

yaitu turunan y terhadap x atau ∂y/ ∂x dan turunan y

terhadap z atau ∂y/ ∂z.

DIFERENSIAL PARSIAL

1. Y = f(x,z)

a) fx (x,z) = ∂y/ ∂x

b) fz (x,z) = ∂y/ ∂z

dy = (∂y/ ∂x)dx + (∂y/ ∂z)dz

2. P = f(q,r,s)

a) fq (q,r,s) = ∂p/ ∂q

b) fr (q,r,s) = ∂p/ ∂r

c) fs (q,r,s) = ∂p/ ∂s

dp = (∂p/ ∂q)dq + (∂p/ ∂r)dr + (∂p/ ∂r)dr

Y’

DIFERENSIAL PARSIAL

• ∂y/ ∂x dan ∂y/ ∂z serta ∂p/ ∂q, ∂p/ ∂r, dan ∂p/ ∂s

dinamakan derivatif parsial.

• (∂y/ ∂x)dx dan (∂y/ ∂z)dz serta (∂p/ ∂q)dq, (∂p/ ∂r)dr, dan

(∂p/ ∂s)ds dinamakan diferensial parsial.

Adapun dy dan dp dinamakan diferensial total.

1. ∂y = 3x2-8xz-6z2

∂x

2. ∂y = 10z – 4x2 – 12xz + 8

∂x

M A T E M A T I K A E K O N O M I - I N S T I T U T M A N A J E M E N T E L K O M

DERIVATIF DARI DERIVATIF PARSIAL

DERIVATIF DARI DERIVATIF PARSIAL

• Fungsi dapat diturunkan dengan lebih dari satu

variabel bebas dapat diturunkan lebih dari satu

kali.

• Masing-masing turunan parsialnya masih mungkin

diturunkan lagi.

• Suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang

tinggal mengandung satu macam variabel bebas,

maka turunan berikutnya hanya ada satu macam.

• Suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang

masih beberapa macam variabel bebas, maka

turunan berikutnya masih dapat dipecah-pecah

lagi menjadi beberapa turunan parsial pula.

DERIVATIF DARI DERIVATIF PARSIAL

CONTOH

y = x3 + 5z2 – 4x2z – 6xz2 + 8z – 7

1. ∂y = 3x2-8xz-6z2

∂x

2. ∂y = 10z – 4x2 – 12xz + 8

∂z

NILAI EKSTRIM: MAKSIMUM DAN MINIMUM

• Nilai-nilai ekstrim (optimum) dari sebuah fungsi yang

mengandung lebih dari satu variabel bebas dapat

dicari dengan pengujian sampai derivatif.

Untuk y = f(x,z),

maka y akan mencapai titik ekstrimnya

jika: ∂y = 0 dan ∂y = 0

∂x ∂z

Syarat di atas adalah syarat yang

diperlukan (necessary condition) agar

fungsinya mencapai titik ekstrim.

NILAI EKSTRIM: MAKSIMUM DAN MINIMUM

• Guna mengetahui apakah titik ekstrim itu berupa

titik maksimum atau titik minimum, dibutuhkan

syarat yang mencukupkan (sufficient condition),

yakni:

Maksimum bila ∂2y < 0 dan ∂2y < 0

∂x2 ∂z2

Minimum bila ∂2y > 0 dan ∂2y > 0

∂x2 ∂x2

CONTOH

1. Selidiki apakah titik ekstrim dari fungsi berikut ini

merupakan titik maksimum atau titik minimum:

y = -x2 + 12x - z2 + 10z – 45

2. Selidiki apakah titik ekstrim dari fungsi

p = 3q2 - 18q + r2 - 8r + 50

M A T E M A T I K A E K O N O M I - I N S T I T U T M A N A J E M E N T E L K O M

OPTIMISASI BERSYARAT - PENGGANDA LAGRANGE - KONDISI KUHN TUCKER

OPTIMISASI BERSYARAT

• Dalam kenyataan seringkali kita harus

mengekstrimkan atau mengoptimumkan suatu

fungsi, yakni mencari nilai maksimum atau nilai

minimumnya, tetapi terkekang oleh suatu fungsi lain

yang harus dipenuhi.

• Fungsi yang dioptimumkan tadi menghadapi suatu

kendala (constraint).

PENGGANDA LAGRANGE

• Salah satu metode untuk perhitungan nilai ekstrim

sebuah fungsi yang menghadapi kendala berupa

sebuah fungsi lain.

Cara:

Membentuk fungsi baru, disebut fungsi Lagrange

Fungsi Lagrange Penjumlahan dari fungsi yang

hendak dioptimumkan ditambah hasil kali

pengganda Lagrange λ dengan fungsi kendalanya.

PENGGANDA LAGRANGE

Misalkan hendak di optimumkan z = f(x,y) dengan

syarat harus terpenuhi u = g (x,y). Maka fungsi

Lagrange nya:

Nilai ekstrim F (x,y, λ) dapat dicari dengan

memformulasikan masing-masing derivatif-parsial

pertamanya sama dengan nol.

F(x,y,λ) = f(x,y) + λ g(x,y)

Fx(x,y,λ) = fx + λgx

Fy(x,y,λ) = fy + λgy

Necessary

condition

PENGGANDA LAGRANGE

• Pengganda Lagrange λ : variabel tak tentu yang

hanya bersifat sebagai pembantu.

• Untuk mengetahui jenis nilai ekstrim, maksimum

atau minimum, masih harus disidik melalui derivatif

parsial keduanya, yang merupakan syarat yang

mencukupkan atau sufficient condition.

• Nilai ekstrim nya adalah:

Maksimum bila Fxx < 0 dan Fyy < 0

Maksimum bila Fxx > 0 dan Fyy > 0

CONTOH SOAL

1. Tentukan nilai ekstrim z dari fungsi z = 2x + 2y

dengan syarat x2 + y2 = 8. Jelaskan jenis nilai

ekstrimnya.

2. Optimumkan z = xy dengan syarat x+2y=10.

KONDISI KUHN-TUCKER

• Merupakan metode pengembangan lebih lanjut

dari model optimisasi bersyarat.

• Mengoptimumkan sebuah fungsi terhadap sebuah

fungsi yang berbentuk pertidaksamaan. bentuk

permasalahannya bisa berupa:

Maksimumkan fungsi tujuan f(x,y) terhadap kendala

g(z,y) ≤ 0

Minimummkan fungsi tujuan f(x,y) terhadap kendala

g(z,y) ≥ 0

KONDISI KUHN-TUCKER

Prosedur penyelesaian:

• Metode Lagrange yang dimodifikasi kemudian diuji

dengan kondisi (persyaratan) Kuhn-Tucker.

• Metode Kuhn-Tucker secara langsung.

KONDISI KUHN-TUCKER

Prosedur metoda Kuhn-Tucker melalui metoda Lagrange

yang dimodifikasikan dilakukan sebagai berikut:

(1).

Anggap kendala pertidaksamaannya

sebagai sebuah persamaan

Selesaikan masalahnya dengan metode

Lagrange yang biasa hingga diperoleh nilai

optimum yang dicari.

Khusus dalam hal ini fungsi Lagrangenya harus

dibentuk dengan cara: F(x,y,λ) = f(x,y) – λg(x,y); jadi,

tidak boleh: F(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)

PROSEDUR METODA KUHN-TUCKER MELALUI METODA LAGRANGE YANG DIMODIFIKASI

(2). Lakukan pengujian terhadap nilai λ.

• Jika λ > 0 berarti nilai optimum yang diperoleh (berdasarkan

kendala yang telah dimodifikasi) tadi juga merupakan nilai optimum berkenaan fungsi kendala yang berbentuk

pertidaksamaan.

• Jika λ ≤ 0 berarti berarti optimisasi fungsi tujuan f(x,y) tanpa

menyertakan fungsi kendala g(x,y) sudah dengan sendirinya akan memenuhi kendalanya.

• Dalam hal λ ≤ 0 kendala yang bersangkutan dikatakan

bersifat tidak mengikat (non-binding), oleh karenanya dapat

diabaikan;

• Dalam hal λ > 0 kendalanya disebut mengikat (binding).

PROSEDUR METODA KUHN-TUCKER SECARA LANGSUNG

Rumuskan permasalahannya, misalnya maksimumkan

f(x,y) terhadap g(x,y) ≤ 0, atau minimumkan f(x,y)

terhadap g(x,y) ≥ 0 .

Tetapkan kondisi Kuhn-Tucker (a) ∂ f(x,y) - λ ∂ g(x,y) = 0

∂x ∂x

(b) ∂ f(x,y) - λ ∂ g(x,y) = 0

∂y ∂y

(c) λ ∂ g(x,y) = 0 di mana g(x,y) ≤ 0 atau g(x,y) ≥ 0

PROSEDUR METODA KUHN-TUCKER SECARA LANGSUNG

Ujilah (2c) masing-masing untuk λ=0 dan g(x,y) = 0

guna menentukan mana di antaranya yang

memenuhi persamaan-persamaan (2a) dan (2b)

serta pertidaksamaan kendala g(x,y). Nilai-nilai x

dan y yang memenuhi ketiga kondisi ini merupakan

nilai-nilai yang mengoptimumkan fungsi tujuan f(x,y

CONTOH

1. Maksimumkan f(x,y) = 10xy – 2.5x2 – y2 terhadap

kendala x+y ≤ 9.

2. Maksimumkan

f(x,y) = (20x)/(x+5) + 10y/(y+10) – x – y

terhadap x+y ≤ 15.

3. Minimumkan

f(x,y) = x2 – xy + 2y2 terhadap x+y ≥ 8.