Post on 04-Dec-2021
PENJADWALAN JALUR BUS DALAM KOTA DENGAN MODEL
PETRINET DAN ALJABAR MAX-PLUS
(STUDI KASUS BUSWAY TRANSJAKARTA)
Winarni
Jurusan Matematika FKIP Universitas Adhi Buana Surabaya email: winarni_its@yahoo.com
ABSTRAK
Jaringan jalur bus dalam kota merupakan salah satu fasilitas transportasi umum yang memegang
peranan penting dalam kehidupan masyarakat kota yang mempunyai karakteristik mobilitasnya cukup
tinggi. Jaringan bus TransJakarta (Busway) di Jakarta merupakan salah satu contohnya. Jaringan bus
tersebut dibangun antara lain sebagai solusi permasalahan di sektor angkutan umum dan memberikan
pilihan solusi untuk mengatasi kemacetan lalu lintas di Jakarta. Salah satu masalah penting dalam sistem
transportasi tersebut yang menjadi keluhan masyarakat adalah mengenai ketidakpastian waktu tunggu
kedatangan bus di tiap-tiap halte, hal ini dimungkinkan antara lain karena belum adanya penjadwalan yang
baik pada sistem tersebut. Dalam penelitian ini akan dilakukan penjadwalan keberangkatan bus
menggunakan pendekatan aljabar max-plus dengan terlebih dahulu mengkontruksi model sistem dengan
Petrinet. Studi kasus dalam penelitian ini adalah jaringan bus TransJakarta. Dari penelitian ini diharapkan
memperoleh desain jadwal keberangkatan bus di tiap halte pada masing-masing koridor.
Kata kunci: jalur bus dalam kota, penjadwalan, aljabar max-plus, Petrinet, busway.
PENDAHULUAN
Karakteristik daerah perkotaan yaitu antara lain padat penduduknya dan masyarakat-nya mempunyai mobilitas yang cukup tinggi tersebut menjadikan masyarakat kota sangat bergantung pada kebutuhan transportasi. Tentunya hal ini berdampak besar pada arus lalu lintas di jalan raya, sehingga kepadatan bahkan kemacetan arus lalu lintas pun hampir tidak bisa dihindarkan masyarakat setiap hari. Terlebih lagi dengan semakin meningkatnya taraf perekono-mian masyarakat dan semakin mudahnya kredit kendaraan bermotor yang tidak diiringi dengan adanya upaya peningkatan dan perbaikan mutu fasilitas dan regulasi sistem transportasi umum secara optimal mengakibatkan pengguna kendaraan pribadi semakin meningkat. Peman-dangan kemacetan arus lalu lintas dan dampak-nya antara lain polusi udara, stress, pemborosan bahan bakar minyak (BBM) dan lain-lain adalah hal menyedihkan yang harus dihadapi dan dialami masyarakat hampir setiap hari.
Peningkatan dan perbaikan mutu fasilitas dan regulasi dalam pelayanan transportasi umum secara optimal yang mampu memberikan kepuasan kepada masyarakat, setidaknya dapat memberikan alternatif pada masyarakat untuk lebih memilih menggunakan jasa transportasi umum daripada menggunakan kendaraan pribadi sendiri-sendiri. Jika masyarakat sudah lebih tertarik menggunakan jasa transportasi umum, hal ini berarti penggunaan kendaraan pribadi
berkurang sehingga mengurangi kemacetan arus lalu lintas di jalan raya dan secara tidak langsung ikut memberikan kontribusi pada penghematan BBM.
Saat ini di Jakarta khususnya sedang terus dikembangkan jaringan transportasi Trans-Jakarta dalam upaya untuk mengatasi kemacetan, salah satunya adalah busway. Jika dilihat dari perencanaannya dan terlepas dari kesadaran masyarakat mengenai jalur khusus busway yang relatif masih kurang, sistem tersebut mempunyai peluang besar untuk berhasil, terlebih lagi ketika harga BBM semakin mahal. Mengutip suatu artikel mengenai busway, dikatakan bahwa peranan busway semakin penting ketika harga BBM naik (http://bataviabusway.blogspot.com).
Namun, sejauh ini masih banyak keluhan dari pengguna antara lain mengenai ketidak-pastian kedatangan bus di tiap-tiap halte, terkadang cepat terkadang cukup lama bahkan ketika bus sudah datang di halte namun bus sudah penuh penumpang. Dengan sistem yang ada saat ini, para pengguna jasa bus TransJakarta seringkali harus menunggu bus dengan ketidakpastian. Meskipun kondisi halte dalam keadaan kosong, tidak menjamin penumpang bisa langsung naik bus yang datang berikutnya, terutama pada jam-jam sibuk (http://TransJakartainfo.com). Hal ini dimung-kinkan karena belum adanya penjadwalan pada sistem tersebut yang dapat mengoptimalkan alokasi jumlah armada sehingga kebutuhan
Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max-Plus
Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382 193
pengguna jasa bus TransJakarta dapat terpenuhi selain kendala operasional lainnya.
Kajian yang mengarah pada tujuan memperbaikan sistem transportasi umum perlu terus dikembangkan. Terkait dengan masalah ini, mulai tahun 90an hingga saat ini kajian teori Aljabar Max-Plus untuk pemodelan, analisis dan kontrol antara lain dalam jaringan transportasi, bidang manufaktur, jaringan komunikasi dan sistem komputer terus berkembang.
Berdasarkan uraian di atas, dalam penelitian ini dikaji model Petrinet dan model aljabar max-plus untuk mendesaian penjadwalan suatu jaringan transportasi umum dalam hal ini jalur bus dalam kota dengan studi kasus jaringan busway TransJakarta. SISTEM JARINGAN BUSWAY TRANSJAKARTA
Jakarta adalah salah satu kota termacet di Indonesia. Saat ini, di Jakarta sedang terus dikembangkan jaringan transportasi dalam upaya untuk mengatasi kemacetan, antara lain jaringan busway TransJakarta. Adapun denah jaringan busway TransJakarta baik yang sudah beroperasi atau sedang dalam proses dapat dilihat pada Gambar 1. (http://bataviabusway.blogspot.com)
Dalam makalah ini, yang akan dikaji adalah jaringan bus TransJakarta (busway) di Jakarta dengan jumlah koridor yang sudah aktif beroperasi sampai dengan bulan November 2008
yaitu sebanyak 7 koridor seperti dalam Gambar 1. Ada sedikit perubahan pada koridor 6, yaitu rute Ragunan–Halimun menjadi Ragunan–Dukuh Atas 2. Sedangkan jumlah armada maksimum yang dialokasikan untuk tiap-tiap koridor berdasarkan data yang diperoleh dari Kantor Badan Layanan Umum TransJakarta dapat dilihat pada Tabel 1. (untuk hari kerja dari jam 05.00-08.00)
Gambar 1. Denah Busway Koridor 1 s/d 15
Tabel 1. Alokasi Bus Tiap Koridor Busway
Koridor 1 (Blok M -Kota) Pemberangkatan bus dari Pool ke
Periode Headway (menit) Alokasi bus (unit) Blok M/M.Agung Kota/H.I
05:00 - 06:00 4,5 20 12 8 06:00 - 07:00 1,8 50 17 13 07:00 - 08:00 1,1 80 18 14
Koridor 2 (Pulo Gadung - Harmoni) Pemberangkatan bus dari Pool ke
Periode Headway (menit) Alokasi bus (unit) Pulo Gadung/Asmi Harmoni/Pedongkelan
05:00 - 06:00 5 20 12 8 06:00 - 07:00 2 43 13 10 07:00 - 08:00 2 43 0 0
Koridor 3 (Kalideres - Harmoni - Pasar Baru) Pemberangkatan bus dari Pool ke
Periode Headway (menit) Alokasi bus (unit) Kalideres Harmoni
05:00 - 06:00 6 20 8 12 06:00 - 07:00 2,4 46 16 10 07:00 - 08:00 2,4 46 0 0
Koridor 4 (Pulo Gadung - Dukuh Atas 2) Pemberangkatan bus dari Pool ke
Periode Headway (menit) Alokasi bus (unit) PuloGadung Dukuh Atas 2
05:00 - 06:00 5 20 12 8 06:00 - 07:00 3 30 6 4 07:00 - 08:00 3 30 0 0
Koridor 5 (Ancol - Kampung Melayu) Pemberangkatan bus dari Pool ke
Periode Headway (menit) Alokasi bus (unit) Ancol Kp. Melayu
05:00 - 06:00 5,6 18 6 12 06:00 - 07:00 4,3 22 2 3 07:00 - 08:00 3,7 27 2 2
Koridor 6 (Ragunan - Dukuh Atas 2) Pemberangkatan bus dari Pool ke
Periode Headway (menit) Alokasi bus (unit) Ragunan Dukuh Atas 2
05:00 - 06:00 5 20 12 8 06:00 - 07:00 3 31 7 4 07:00 - 08:00 3 31 0 0
Winarni
194
Koridor 7 (Kampung Melayu
Periode
05:00 -06:00 -07:00 -
Ket: Headway adalah interval waktu di ujung koridor antara keberangkatan bus dengan keberangkatan bus sebelumnya.
Adapun data waktu tempuh antar halte di tiap koridor yang diperoleh dari obsevasi di lapangan selama beberapa hari yaitu tanggal 2529 Agustus, 212008. Namun, karena terbatasnya jumlah halaman makalah ini, data tersebut tidak ditampilkan lengkap dalam makalah ini dan
MODEL PETRINET
Petrinet dikembangkan pertama kali oleh C.A. Petri pada awal 1960salah satu alat untuk memodelkan diskrit. Pada Petrinet, event berkaitan dengan transisi dan keadaan (place. Dalam sistem event diskrit, perubahan keadaan terjadi karena adanya perubahan event. Agar suatu event dapat terjadi, beberapa keadaan harus dipberfungsi sebagai input atau output suatu transisi. Place sebagai input menyatakan keadaan yang harus dipenuhi agar transisi dapat terjadi. Setelah transisi terjadi maka keadaan akan berubah. Place yang menyatakan keadaantersebut adalah output dari transisi. Berikut ini adalah definisi Petrinet:
Definisi 1.
Petrinet adalah 4
P : himpunan berhingga place,
Winarni
Koridor 7 (Kampung Melayu
Periode Headway (menit)
- 06:00 - 07:00 - 08:00
Ket: Headway adalah interval waktu di ujung koridor antara keberangkatan bus dengan keberangkatan bus sebelumnya.
Adapun data waktu tempuh antar halte di tiap koridor yang diperoleh dari obsevasi di lapangan selama beberapa hari yaitu tanggal 25
gustus, 21–23 O2008. Namun, karena terbatasnya jumlah halaman makalah ini, data tersebut tidak ditampilkan lengkap dalam makalah ini dan
MODEL PETRINET
Petrinet dikembangkan pertama kali oleh C.A. Petri pada awal 1960salah satu alat untuk memodelkan diskrit. Pada Petrinet, event berkaitan dengan transisi dan keadaan (place. Dalam sistem event diskrit, perubahan keadaan terjadi karena adanya perubahan event. Agar suatu event dapat terjadi, beberapa keadaan harus dipenuhi terlebih dahulu. Place dapat berfungsi sebagai input atau output suatu transisi. Place sebagai input menyatakan keadaan yang harus dipenuhi agar transisi dapat terjadi. Setelah transisi terjadi maka keadaan akan berubah. Place yang menyatakan keadaantersebut adalah output dari transisi. Berikut ini adalah definisi Petrinet:
Definisi 1. (Cassandras, 1993). Petrinet adalah 4-tuple
: himpunan berhingga place,
Koridor 7 (Kampung Melayu -
Headway (menit)
5 3,3 3,3
Ket: Headway adalah interval waktu di ujung koridor antara keberangkatan bus dengan keberangkatan bus
Adapun data waktu tempuh antar halte di tiap koridor yang diperoleh dari obsevasi di lapangan selama beberapa hari yaitu tanggal 25
Oktober, dan 12 2008. Namun, karena terbatasnya jumlah halaman makalah ini, data tersebut tidak ditampilkan lengkap dalam makalah ini dan
Gambar 2.
Petrinet dikembangkan pertama kali oleh C.A. Petri pada awal 1960-an. Ini merupakan salah satu alat untuk memodelkan diskrit. Pada Petrinet, event berkaitan dengan transisi dan keadaan (state) berkaitan dengan place. Dalam sistem event diskrit, perubahan keadaan terjadi karena adanya perubahan event. Agar suatu event dapat terjadi, beberapa keadaan
enuhi terlebih dahulu. Place dapat berfungsi sebagai input atau output suatu transisi. Place sebagai input menyatakan keadaan yang harus dipenuhi agar transisi dapat terjadi. Setelah transisi terjadi maka keadaan akan berubah. Place yang menyatakan keadaantersebut adalah output dari transisi. Berikut ini adalah definisi Petrinet:
(Cassandras, 1993). tuple (P, T, A, w)
: himpunan berhingga place, P = {
Tabel 1
- Kampung Rambutan)
Headway (menit) Alokasi bus (unit)
Ket: Headway adalah interval waktu di ujung koridor antara keberangkatan bus dengan keberangkatan bus
Adapun data waktu tempuh antar halte di tiap koridor yang diperoleh dari obsevasi di lapangan selama beberapa hari yaitu tanggal 25
ktober, dan 12 November 2008. Namun, karena terbatasnya jumlah halaman makalah ini, data tersebut tidak dapat ditampilkan lengkap dalam makalah ini dan
Gambar 2. Graf Jaringan Busway
Petrinet dikembangkan pertama kali oleh an. Ini merupakan
salah satu alat untuk memodelkan sistem event diskrit. Pada Petrinet, event berkaitan dengan
) berkaitan dengan place. Dalam sistem event diskrit, perubahan keadaan terjadi karena adanya perubahan event. Agar suatu event dapat terjadi, beberapa keadaan
enuhi terlebih dahulu. Place dapat berfungsi sebagai input atau output suatu transisi. Place sebagai input menyatakan keadaan yang harus dipenuhi agar transisi dapat terjadi. Setelah transisi terjadi maka keadaan akan berubah. Place yang menyatakan keadaantersebut adalah output dari transisi. Berikut ini
dengan
{p1, p2, . . . , pn
Tabel 1. (lanjutan…)
Kampung Rambutan)
Alokasi bus (unit)
20 30 30
Ket: Headway adalah interval waktu di ujung koridor antara keberangkatan bus dengan keberangkatan bus
Adapun data waktu tempuh antar halte di tiap koridor yang diperoleh dari obsevasi di lapangan selama beberapa hari yaitu tanggal 25–
ovember 2008. Namun, karena terbatasnya jumlah hala-
dapat ditampilkan lengkap dalam makalah ini dan
hanya dirangkum dalam tabel 2. Data tersebut selanjutnya diasumsikan tetap.
susun graberikut:
Jaringan Busway
Petrinet dikembangkan pertama kali oleh an. Ini merupakan
sistem event diskrit. Pada Petrinet, event berkaitan dengan
) berkaitan dengan place. Dalam sistem event diskrit, perubahan keadaan terjadi karena adanya perubahan event. Agar suatu event dapat terjadi, beberapa keadaan
enuhi terlebih dahulu. Place dapat berfungsi sebagai input atau output suatu transisi. Place sebagai input menyatakan keadaan yang harus dipenuhi agar transisi dapat terjadi. Setelah transisi terjadi maka keadaan akan berubah. Place yang menyatakan keadaan tersebut adalah output dari transisi. Berikut ini
n},
T : himpunan berhingga transisi,
A : himpunan arc,
w : fungsi bobot,
berarah. Node dari gradiambil dari himpunan place diambil dari himpunan transisi Petrinet arc untuk menghubungkan dua node atau ekivalyang menyatakan jumlah arc. Struktur ini ddengan struktur multigrafrepresentasi Petrinet secara grafik akan digunakan notasi masing menyatakan himpunan place input ke transisi matematis definisi tersebut dapat ditulis menjadi persamaan berikut (Cassandras, 1993)
(lanjutan…)
Pemberangkatan bus dari Pool ke
Kp. Melayu
8 0 0
Ket: Headway adalah interval waktu di ujung koridor antara keberangkatan bus dengan keberangkatan bus
hanya dirangkum dalam tabel 2. Data tersebut selanjutnya diasumsikan tetap.
Berdasarkan datasusun graf dari jaringan busway adalah sebagai berikut:
Jaringan Busway
: himpunan berhingga transisi,
: himpunan arc,
: fungsi bobot,
Petrinet berarah. Node dari gradiambil dari himpunan place diambil dari himpunan transisi Petrinet diperbolehkan menggunakan beberapa arc untuk menghubungkan dua node atau ekivalen dengan memberikan bobot ke setiap arc yang menyatakan jumlah arc. Struktur ini ddengan struktur multigrafrepresentasi Petrinet secara grafik akan digunakan notasi masing menyatakan himpunan place input ke transisi tj dan output dari transisi matematis definisi tersebut dapat ditulis menjadi persamaan berikut (Cassandras, 1993)
I(
O(
Volume 1 No.
Pemberangkatan bus dari Pool ke
Kp. Melayu
Ket: Headway adalah interval waktu di ujung koridor antara keberangkatan bus dengan keberangkatan bus
hanya dirangkum dalam tabel 2. Data tersebut selanjutnya diasumsikan tetap.
Berdasarkan data-data di atas dapat didari jaringan busway adalah sebagai
: himpunan berhingga transisi,
: himpunan arc, A ⊆ (P × T
: fungsi bobot, w : A → {1, 2
dapat digambarkan sebagai grafberarah. Node dari graf diambil dari himpunan place diambil dari himpunan transisi
diperbolehkan menggunakan beberapa arc untuk menghubungkan dua node atau
en dengan memberikan bobot ke setiap arc yang menyatakan jumlah arc. Struktur ini ddengan struktur multigrafrepresentasi Petrinet secara grafik akan digunakan notasi I(tj) dan masing menyatakan himpunan place input ke
dan output dari transisi matematis definisi tersebut dapat ditulis menjadi persamaan berikut (Cassandras, 1993)
(tj) = {pi : (pi,
(tj) = {pi : (tj ,
Keterangan: Warna arc BM - KT : Koridor 1PG - HAR : Koridor 2KD - PB : Koridor 3PG - DA2 : Koridor 4ANC - KM : Koridor 5RG – DA2 : Koridor 6KM - KR : Koridor 7 Node KT : KotaHAR : HarmoniDA1 : Dukuh Atas 1DA2 : Dukuh Atas 2BM : Blok MSN : SenenSNS : Senen SentralPG : Pulo GadungKD : KalideresPB : Pasar BaruMN1 : Mantraman 1MN2 : Mantraman 2HL : HalimunANC : AncolKM : Kampung MelayuRG : RagunanKR : Kampung Rambutan : Skywalk
Volume 1 No. 4
Pemberangkatan bus dari Pool ke
Kp. Rambutan
12 10 0
Ket: Headway adalah interval waktu di ujung koridor antara keberangkatan bus dengan keberangkatan bus
hanya dirangkum dalam tabel 2. Data tersebut selanjutnya diasumsikan tetap.
data di atas dapat didari jaringan busway adalah sebagai
: himpunan berhingga transisi, T = {t1, t2
T) ∪ (T × P),
2, 3, . . . }.
dapat digambarkan sebagai graf berupa place yan
diambil dari himpunan place P atau transisi yang diambil dari himpunan transisi T. Pada graf
diperbolehkan menggunakan beberapa arc untuk menghubungkan dua node atau
en dengan memberikan bobot ke setiap arc yang menyatakan jumlah arc. Struktur ini ddengan struktur multigraf. Dalam membahas representasi Petrinet secara grafik akan
) dan O(tj) yang masingmasing menyatakan himpunan place input ke
dan output dari transisi tj
matematis definisi tersebut dapat ditulis menjadi persamaan berikut (Cassandras, 1993)
, tj) ∈ A}
, pi) ∈ A}
Koridor 1 Koridor 2 Koridor 3 Koridor 4 Koridor 5 Koridor 6 Koridor 7
Kota Harmoni Dukuh Atas 1 Dukuh Atas 2 Blok M Senen Senen Sentral Pulo Gadung Kalideres Pasar Baru Mantraman 1 Mantraman 2 Halimun Ancol Kampung Melayu Ragunan Kampung Rambutan Skywalk
Mei 2011
Pemberangkatan bus dari Pool ke
Kp. Rambutan
Ket: Headway adalah interval waktu di ujung koridor antara keberangkatan bus dengan keberangkatan bus
hanya dirangkum dalam tabel 2. Data tersebut
data di atas dapat di-dari jaringan busway adalah sebagai
, t2, . . . , tm},
□
dapat digambarkan sebagai graf berupa place yan1g
atau transisi yang . Pada graf
diperbolehkan menggunakan beberapa arc untuk menghubungkan dua node atau
en dengan memberikan bobot ke setiap arc yang menyatakan jumlah arc. Struktur ini dikenal
. Dalam membahas representasi Petrinet secara grafik akan
) yang masing-masing menyatakan himpunan place input ke
tj. Secara matematis definisi tersebut dapat ditulis menjadi
Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max-Plus
Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382 195
Dengan istilah lain, I(tj) = {pi : (pi, tj) ∈ A} menunjukkan I(tj) adalah himpunan upstream place untuk transisi tj dan O(tj) = {pi : (tj , pi) ∈ A} menunjukkan O(tj) himpunan downstream place untuk transisi tj.
Notasi yang sama dapat digunakan untuk mendeskripsikan input dan output transisi untuk place pi, yaitu
I(pi) = {tj : (tj , pi) ∈ A}
O(pi) = {tj : (pi, tj) ∈ A}
I(pi) = {tj : (tj , pi) ∈ A}menunjukkan I(pi) adalah himpunan upstream transisi untuk place pi dan O(pi) = {tj : (pi, tj) ∈ A} menunjukkan O(pi) himpunan downstream transisi untuk place pi .
Grafik Petrinet terdiri dari dua macam node yaitu lingkaran dan garis/persegipanjang kecil. Lingkaran menyatakan place sedangkan garis/persegipanjang kecil menyatakan transisi. Arc disimbolkan dengan panah yang menghubungkan place dan transisi. Pada Petrinet tidak diperkenankan adanya arc antara place dengan place atau antara transisi dengan transisi. Arc yang menghubungkan place pi ke transisi tj berarti pi ∈ I(tj). Jika bobot arc dari place pi ke transisi tj adalah k ditulis w(pi, tj) = k , maka terdapat k arc dari place pi ke transisi tj atau sebuah arc dengan bobot k. Transisi pada Petrinet menyatakan event pada sistem event diskrit dan place merepresentasikan kondisi agar event dapat terjadi. Token adalah sesuatu yang diletakkan di place yang menyatakan terpenuhi tidaknya suatu kondisi. Secara grafik token digambarkan dengan dot dan diletakkan di dalam place. Jika jumlah token banyak maka dituliskan dengan angka.
Definisi 2. (Cassandras, 1993).
Penanda (marking) x pada Petrinet adalah fungsi
x : P → {0, 1, 2, . . . }. □
Penanda dinyatakan dengan vektor yang berisi bilangan bulat nonnegatif yang menyatakan jumlah token yaitu
X = [x(p1), x(p2), . . . , x(pn)]T.
Jumlah elemen x sama dengan banyak place di Petrinet. Elemen ke-i pada vektor X merupakan jumlah token pada place pi, x(pi) ∈ {0, 1, 2, . . .}.
Definisi 3. (Cassandras, 1993).
Petrinet bertanda (marked) adalah 5-tuple (P, T,
A, w, x0) dimana (P, T, A, w) adalah Petrinet dan X0
adalah penanda awal. □
Selanjutnya Petrinet bertanda cukup disebut Petrinet dan istilah tanda tersebut disebut token. Seperti pemodelan sistem pada umumnya, maka harus didefinisikan keadaan (state) pada Petrinet. Keadaan pada Petrinet adalah token Petrinet.
Definisi 4. (Cassandras, 1993). Keadaan (state) Petrinet bertanda adalah
X = [x(p1), x(p2), . . . , x(pn)]T. □
Jumlah token pada place adalah sebarang bilangan bulat nonnegatif, tidak harus terbatas (bounded). Ruang keadaan (state space) X pada Petrinet bertanda dengan n place didefinisikan oleh semua vektor berdimensi n dengan elemen-elemennya adalah bilangan bulat nonnegatif, sehingga x(pi) Î {0, 1, 2, 3, ... }. Tetapi, dalam menyusun Petrinet perlu dihindari terjadinya ledakan (blow up) token pada satu atau lebih token, karena hal ini menunjukkan Petrinet tersebut tidak stabil.
Definisi 5. (Cassandras, 1993). Transisi tj ∈ T pada Petrinet bertanda dikatakan
enabled jika x(pi) ≥ w(pi, tj), ∀ pi ∈ I(tj) □
Definisi 6. (Cassandras, 1993). Fungsi perubahan keadaan,
f : {0, 1, 2, . . . }n ×T → {0, 1, 2, . . . }n
pada Petrinet bertanda (P, T, A, w, X0) terdefinisi
untuk transisi tj ∈ T jika dan hanya jika
x(pi) ≥ w(pi, tj), ∀ pi ∈ I(tj)
Jika f(x, tj) terdefinisi maka ditulis x′ = f(x, tj), dimana
x′(pi) = x(pi) − w(pi, tj) + w(tj , pi), i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . ., m □
Keadaan di mana tidak ada transisi yang enabled disebut keadaan terminal dan Petrinet mengalami deadlock. Sistem dikatakan tidak stabil jika terjadi ledakan (blow up) pada nilai variabel keadaannya. Variabel keadaan dari Petrinet adalah jumlah token pada setiap place. Jika jumlah token pada satu atau lebih place bertambah menuju ke tak hingga maka dikatakan Petrinet tidak stabil. Penyusunan Petrinet yang baik diharapkan menghindari terjadinya deadlock dan tidak stabil
Untuk menyusun model Petrinet dan model Aljabar Max-Plus yang dibahas dalam penelitian ini, diperlukan spesifikasi fisik sebagai berikut: a) Jalur-jalur dalam jaringan busway (koridor),
seperti yang sudah dipaparkan di atas. b) Jumlah dan distribusi bus di tiap-tiap koridor
dapat dilihat pada Tabel 2. c) Aturan sinkronisasi antar keberangkatan bus
Berdasarkan data waktu tempuh rata-rata antar halte dan data alokasi bus tiap koridor serta mempertimbangkan kondisi halte ujung dan halte transit, maka diperoleh distribusi bus di tiap lintasan (dengan waktu referensi 07.30) seperti pada Tabel 2 di bawah ini. Data tersebut selanjutnya diasumsikan tetap.
Tabel 2. Waktu Tempuh, Distribusi Bus, dan Pendefinisian Variabel
Winarni
196 Volume 1 No. 4 Mei 2011
Koridor Variabel Keberangkatan
dari Menuju ke halte
Waktu Tempuh (menit)
Jumlah bus yang beroperasi
1 x1 Blok M Dukuh Atas 1 19,71 18 1 x2 Dukuh Atas 1 Harmoni 15,23 12 1 x3 Harmoni Kota 12,83 7 1 x4 Kota Harmoni 10,98 9 1 x5 Harmoni Dukuh Atas 1 20,21 17 1 x6 Dukuh Atas 1 Blok M 14,21 5 2 x7 Pulo Gadung Senen 19,5 10 2 x8 Senen Harmoni 17 9 2 x9 Harmoni Senen 15,86 8 2 x10 Senen Pulo Gadung 16,75 8 3 x11 Kalideres Harmoni 24,67 10 3 x12 Harmoni Pasar Baru 8 4 3 x13 Pasar Baru Harmoni 6,24 2 3 x14 Harmoni Kalideres 26,5 11 4 x15 Pulo Gadung Mantraman 2 24,38 9 4 x16 Mantraman 2 Halimun 12,61 4 4 x17 Halimun Dukuh Atas 2 5,07 2 4 x18 Dukuh Atas 2 Halimun 2,64 1 4 x19 Halimun Mantraman 2 10,1 3 4 x20 Mantraman 2 Pulo Gadung 25 8 5 x21 Ancol Sentral Senen 25,47 8 5 x22 Sentral Senen Mantraman 1 15,3 4 5 x23 Mantraman 1 Kp. Melayu 10,31 2 5 x24 Kp. Melayu Mantraman 1 8,63 2 5 x25 Mantraman 1 Sentral Senen 11,47 3 5 x26 Sentral Senen Ancol 17,39 6 6 x27 Ragunan Halimun 37,69 13 6 x28 Halimun Dukuh Atas 2 5,07 2 6 x29 Dukuh Atas 2 Ragunan 34,32 11 7 x30 Kp. Melayu Kp. Rambutan 52,81 16 7 x31 Kp. Rambutan Kp. Melayu 43,14 13
Berdasarkan observasi di lapangan mengenai kondisi sistem jaringan busway dan berdasarkan hasil perhitungan jumlah bus yang beroperasi pada waktu referensi pukul 07.30 seperti terlihat pada Tabel 2 di atas, maka dapat disusun aturan sinkronisasi pada jaringan busway dengan 7 koridor tersebut sebagai berikut i) Koridor 1 (BLOK M - KOTA): BM – HAR –
DA1 – KT � Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari
DA1 menuju HAR (ke arah KT) dan keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari DA1 menuju BM keduanya menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-1) dari HL menuju DA2 (yang berasal dari MN2) dan menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-1) dari HL menuju DA2 (yang berasal dari RG) menuju DA2 dan masing-masing ditambah waktu tempuh rata-rata untuk berjalan lewat skywalk dari DA2 ke DA1.
� Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari HAR menuju KT dan keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari HAR menuju DA1 (ke arah BM) keduanya menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-9) dari KD
menuju HAR (ke arah PB), menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-1)
dari PB menuju HAR (ke arah KD), dan menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-8) dari SN menuju HAR (yang berasal dari PG).
ii) Koridor 2 (PULO GADUNG - HARMONI): PG – SN - HAR � Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari PG
menuju SN (ke arah HAR) menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-7) dari MN2 menuju PG (yang berasal dari DA2).
� Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari SN menuju HAR menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-7) dari ANC menuju SNS (ke arah KM) dan menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-2) dari MN1 menuju SNS (ke arah ANC) dan masing-masing ditambah waktu tempuh rata-rata untuk berjalan lewat skywalk dari SNS ke SN. Dan sedikit berbeda dengan lintasan lain, halte-halte yang disinggahi dari SN ke HAR dan dari HAR ke SN berbeda, sehingga keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari SN menuju HAR juga
Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max-Plus
Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382 197
menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-8) dari HAR menuju SN.
� Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari HAR menuju SN menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-9) dari KD menuju HAR (ke arah PB), menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-1)
dari PB menuju HAR (ke arah KD), menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-8) dari KT menuju HAR (ke arah BM) dan menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-11) dari DA1 menuju HAR (ke arah KT).
� Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari SN menuju PG menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-7) dari ANC menuju SNS (ke arah KM) dan menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-2) dari MN1 menuju SNS (ke arah ANC) dan masing-masing ditambah waktu tempuh rata-rata untuk berjalan lewat skywalk dari SNS ke SN.
iii) Koridor 3 (KALIDERES – PASAR BARU): KD – HAR – PB � Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari
HAR menuju PB dan keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari HAR menuju KD keduanya menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-8) dari KT menuju HAR (ke arah BM), menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-11) dari DA1 menuju HAR (ke arah KT), dan menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-8)
dari SN menuju HAR.
iv) Koridor 4 (PULO GADUNG – DUKUH ATAS 2) : PG – MN2 – HL – DA2 � Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari PG
menuju MN2 (ke arah DA2) menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-7) dari SN menuju PG (yang berasal dari HAR).
� Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari MN2 menuju HL dan keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari MN2 menuju PG keduanya menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-3) dari SNS menuju MN1 (ke arah KM) dan menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-1) dari KM menuju MN1 (ke arah ANC) dan masing-masing ditambah waktu tempuh rata-rata untuk berjalan lewat skywalk dari SNS ke SN.
� Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari DA2 menuju HL (ke arah PG) menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-17) dari BM menuju DA1 (ke arah KT) dan menunggu menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-16) dari HAR menuju DA1 (ke arah BM) dan masing-
masing ditambah waktu tempuh rata-rata untuk berjalan lewat skywalk dari DA1 ke DA2.
� Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari HL menuju MN2 (ke arah PG) menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-12) dari RG menuju HL (ke arah DA2).
v) Koridor 5 (ANCOL – KAMPUNG MELAYU): ANC – SNS – MN1 – KM � Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari SNS
menuju MN1 (ke arah KM) dan keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari SNS menuju ANC keduanya menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-7) dari HAR menuju SN (ke arah PG) dan menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-9) dari PG menuju SN (ke arah HAR) dan masing-masing ditambah waktu tempuh rata-rata untuk berjalan lewat skywalk dari SN ke SNS.
� Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari MN1 menuju KM dan keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari MN1 menuju SNS (ke arah ANC) keduanya menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-8) dari PG menuju MN2 (ke arah DA2) dan menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-2) dari HL menuju MN2 (ke arah PG) dan masing-masing ditambah waktu tempuh rata-rata untuk berjalan lewat skywalk dari MN2 ke MN1.
� Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari KM menuju MN1(ke arah ANC) menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-12) dari KR menuju KM.
vi) Koridor 6 (RAGUNAN – DUKUH ATAS 2): RG – HL – DA2 / DA2 – RG � Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari
DA2 menuju RG menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-1) dari HL menuju DA2 (yang berasal dari MN2). Selain itu juga menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-17) dari BM menuju DA1 (ke arah KT) dan menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-16) dari HAR menuju DA1 (ke arah BM) dan masing-masing ditambah waktu tempuh rata-rata untuk berjalan lewat skywalk dari DA1 ke DA2.
vii) Koridor 7 (KAMPUNG MELAYU – KAMPUNG RAMBUTAN): KM – KR
� Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari KM menuju KR menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-1) dari MN1 menuju KM.
Berdasarkan spesifikasi fisik di atas, maka dapat disusun model Petrinet untuk penjadwalan keberangkatan bus. Selanjutnya dari model
Winarni
198 Volume 1 No. 4 Mei 2011
Petrinet berikut, dapat diterjemahkan menjadi model aljabar max-plus (dan sebaliknya).
Pertama, disusun Petrinet untuk tiap koridor, kemudian disinkronisasi berdasarkan aturan sinkronisasi di atas. Petrinet yang disusun berikut ini dimaksukan untuk menggambarkan sinkronisasi antar keberangkatan bus berdasarkan aturan sinkronisasi yang telah diberikan di atas, namun tidak dimaksudkan untuk menggambarkan pergerakan jaringan bus secara simultan. Dengan pendefinisian Petrinet sebagaimana telah dijelaskan di atas, maka Petrinet yang disusun untuk permasalahan ini adalah Petrinet dengan waktu yang dikarakterisasi oleh P, T, A, w , X0, dan T , yaitu sebagai berikut:
P : himpunan berhingga place, P = {p1, p2, ...,
p43}, dengan jumlah token pada place p1, p2, ..., p31 menunjukkan jumlah distribusi bus pada masing-masing rute yang bersesuaian, sedangkan token pada p32, p33, ..., p43 tidak menunjukkan jumlah bus, namun dikondisikan untuk menyusun Petrinet yang sesuai untuk permasalahan ini.
T : himpunan berhingga transisi, T = {t1, t2,
..., t31}, dalam hal ini akan digunakan notasi untuk masing-masing transisi adalah x yaitu T = {x01, x02,
..., x31}. Transisi-transisi tersebut merepresentasi-kan event keberangkatan bus di halte-halte ujung koridor dan halte transit. Hal ini bertujuan agar sesuai dengan notasi yang digunakan dalam penyusunan model aljabar max-plus.
A : himpunan arc, A ⊆ (P × T) ∪ (T × P), yaitu A = {(x01, p1), (p1, x02), (x02, p2), (p2, x03), (x03, p3), (p3, x04), (x04, p4), (p4, x05), (x05, p5), (p05, x06), (x06, p6), (p6, x01), (p2, x14), (x14, p2), (p2, x12), (x12, p2), (p2, x09), (x09, p2), (x03, p8), (p8, x03), (x03, p11), (p11, x03), (x03, p13), (p13, x03), (x05, p11), (p11, x05), (x05, p13), (p13, x05), (x05, p8), (p8, x05), (x07, p7), (p7, x08), (x08, p8), (p8, x09), (x09, p9), (p9, x10), (x10, p10), (p10, x07), (x07, p20), (p20, x07), (x08, p9), (p9, x08), (x09, p11), (p11, x9), (x09, p13), (p13, x09), (x09, p4), (p4, x09), (x11, p11), (p11, x12), (x12, p12), (p12, x13), (x13, p13), (p13, x14), (x14, p14), (p14, x11), (x12, p4), (p4, x12), (x14, p4), (p4, x14), (x12, p9), (p9, x12), (x14, p9), (p9, x14), (x15, p15), (p15, x16), (x16, p16), (p16, x17), (x17, p17), (p17, x18), (x18, p18), (p18, x19), (x19, p19), (p19, x20), (x20, p20), (p20, x15), (x15, p10), (p10, x15), (x19, p27), (p27, x19), (x21, p21), (p21, x22), (x22, p22), (p22, x23), (x23, p23), (p23, x24), (x24, p24), (p24, x25), (x25, p25), (p25, x26), (x26, p26), (p26, x21), (x24, p31), (p31, x24), (x27, p27), (p27, x28), (x28, p28), (p28, x29), (x29, p29), (p29, x27), (x29, p17), (p17, x29), (x30, p30), (p30, x31), (x31, p31), (p31, x30), (p32, x02), (p32, x06), (p33, x18), (p33, x29), (p34, x08), (p34, x10), (p35, x22), (p35, x26), (p36, x16), (p36, x20), (p37, x23), (p37, x25), (p38, x02), (p38, x06), (p39, x18), (p39, x29), (p40, x8), (p40, x10), (p41, x22), (p41, x26), (p42, x16), (p42, x20), (p43, x23), (p43, x25), (x17, p32), (x28, p38), (x01, p33), (x05, p39),
(x21, p34), (x25, p40), (x07, p35), (x09, p41), (x22, p36), (x24, p42), (x15, p37), (x9, p43)}
Fungsi bobot, w : A → {1, 2, 3, . . . }, yaitu semua arc dalam himpunan A tersebut bobotnya adalah 1, kecuali w(x17, p32) = w(x28, p38) = w(x01, p33) = w(x05, p39) = w(x21, p34) = w(x25, p40) = w(x07, p35) = w(x09, p41) = w(x22, p36) = w(x24, p42) = w(x15, p37) = w(x9, p43) = 2.
X0 = [18 12 7 9 17 5 10 9 8 8 10 4 2 11 9 4 2 1 3 8 7 5 2 2 3 6 13 2 11 16 13 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2], masing-masing menunjukkan jumlah token awal pada p1, p2, ...,
p43. T adalah vektor yang elemen-elemennya
merepresentasikan waktu tempuh perjalanan tiap-tiap rute, durasi waktu tersebut disertakan pada setiap place yang, dimana τi disertakan pada place pi, untuk p1 s/d p31 masing-masing disertakan τ1 s/d τ31 yang menunjukkan waktu tempuh perjalanan dengan keberangkatan x01 s/d
x31, sedangkan untuk p32 s/d p43 masing-masing disertakan τ32 s/d τ43 yang menunjukkan waktu tempuh perjalanan yang bersesuaian ditambah waktu tempuh untuk berjalan di skywalk, karena p32 s/d p43 berkaitan dari kedatangan dan keberangkatan bus dihalte-halte yang ada dihubungkan dengan skywalk. Hal ini dapat dilihat lebih lengkap pada Gambar 3.
Inisialisasi X0 untuk place p1, p2, ..., p31
disesuaikan dengan distribusi bus yang beroperasi pada tiap-tiap rute berdasarkan Tabel 2, sedangkan jumlah token pada p32, p33, . . . , p43
masing-masing diinisialisasi dengan token sebanyak 2 token. Hal ini dimaksudkan agar downstrem transisi dari place p32, p33, ..., p43
enable. Selain itu, semua arc dalam Petrinet ini diberikan bobot 1, kecuali arc (x17, p32), (x28, p38), (x01, p33), (x05, p39), (x21, p34), (x25, p40), (x07, p35), (x09, p41), (x22, p36), (x24, p42), (x15, p37), (x9, p43) diberi bobot 2. Secara fisik, nilai bobot sama dengan 2 dan 2 token pada p32, p33, ..., p43 tersebut maksudnya bahwa kedatangan x17, x28, x01, x05, x21, x25, x07, x09, x22, x24, x15, x19, masing-masing ditunggu oleh 2 keberangkatan bus lainnya, sebagai contoh adalah: kedatangan penumpang dari keberangkatan x01 (dari Blok M ke Dukuh Atas 1) ditunggu oleh keberangkatan x18 (dari Dukuh Atas 2 ke Halimun) dan x29 (dari Dukuh Atas 2 ke Ragunan). Hal ini direpresentasikan oleh arc (x01, p33), (p33, x18), dan (p33, x29), perlu diperhatikan pula bahwa durasi waktu yang tertera pada place adalah p33 adalah 19,71 + 5, ini menunjukkan 19,71 menit adalah waktu yang diperlukan untuk perjalanan dengan keberangkatan x01 dan 5 menit adalah waktu yang diperlukan untuk berjalan melalui skywalk dari Dukuh Atas 1 ke Dukuh Atas 2. Hal ini dimaksudkan untuk menjamin sinkronisasi koridor 4 dengan koridor 1, bahwa penumpang
Jurnal CAUCHY
dari koridor 1 dapat transit ke koridor 4 melalui skywalk Dukuh Atas. Demikian halnya representasi arc (dimaksudkan untuk menjamin sinkronisasi koridor 6 dengan koridor 1, bahwa penumpang dari koridor 1 dapat transit ke koridor 6 melalui skywalk Dukuh Atas. Sehingga,
MODEL AL
Sistem transportasi dapat dikatakan sebagai Sistem Dinamik Event Diskrit (SDED) sama halnya sebagai sistem manufakturing, Kedinamikan sebagai evolusi perlakuan sistem selama diberikan waktu periodenya. Sistem transportasi dinamik diatur dengan sinkronisasi, paralelisasi dan kejadian yang serentak/concurrency (NaitSidi-Moh, A., dkk., 2008).
Penggunaan pendalam sistem even diskrit dinamik adalah karena aljabar maxmudah proses sinkronisasi (Braker, 1990). Pendekatan dengan aljabar maxdengan kemampuannya untuk diadaptasikan pada masalah yangevent-graph (NaitAljabar maxdalam sistem manufaktur dan pada masalahmasalah yang berkaitan dengan jaringan transportasi yang sering berasal dari kejadian seperti sinkroyang terjadi ketika distribusi resources diperlukan (Nait
Sebelum, menyusun model aljabar maxplus, berikut diberikan konsep dasar mengenai struktur aljabar sebagai berikut:
Rmax
R ∪ { =ε
Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086
dari koridor 1 dapat transit ke koridor 4 melalui skywalk Dukuh Atas. Demikian halnya representasi arc (x05,dimaksudkan untuk menjamin sinkronisasi koridor 6 dengan koridor 1, bahwa penumpang dari koridor 1 dapat transit ke koridor 6 melalui skywalk Dukuh Atas. Sehingga,
MODEL ALJABAR MAX
Sistem transportasi dapat dikatakan sebagai Sistem Dinamik Event Diskrit (SDED) sama halnya sebagai sistem manufakturing, Kedinamikan dari sistem tersebut digambarkan sebagai evolusi perlakuan sistem selama diberikan waktu periodenya. Sistem transportasi dinamik diatur dengan sinkronisasi, paralelisasi dan kejadian yang serentak/concurrency (Nait
Moh, A., dkk., 2008).
Penggunaan pendalam sistem even diskrit dinamik adalah karena aljabar max-plus dapat menangani dengan mudah proses sinkronisasi (Braker, 1990). Pendekatan dengan aljabar maxdengan kemampuannya untuk diadaptasikan pada masalah yang
graph (Nait-SidiAljabar max-plus dapat dilihat penerapannya dalam sistem manufaktur dan pada masalahmasalah yang berkaitan dengan jaringan transportasi yang sering berasal dari kejadian seperti sinkronisasi antara resources dan konflik yang terjadi ketika distribusi resources diperlukan (Nait-Sidi-
Sebelum, menyusun model aljabar maxplus, berikut diberikan konsep dasar mengenai struktur aljabar Rmax
sebagai berikut: max menotasikan himpunan bilangan real
−∞= } dengan dua operasi biner max dan
Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max
ISSN: 2086-0382
dari koridor 1 dapat transit ke koridor 4 melalui skywalk Dukuh Atas. Demikian halnya
, p39), (p39, x18
dimaksudkan untuk menjamin sinkronisasi koridor 6 dengan koridor 1, bahwa penumpang dari koridor 1 dapat transit ke koridor 6 melalui skywalk Dukuh Atas. Sehingga, x
Gambar 3
JABAR MAX-PLUS
Sistem transportasi dapat dikatakan sebagai Sistem Dinamik Event Diskrit (SDED) sama halnya sebagai sistem manufakturing,
dari sistem tersebut digambarkan sebagai evolusi perlakuan sistem selama diberikan waktu periodenya. Sistem transportasi dinamik diatur dengan sinkronisasi, paralelisasi dan kejadian yang serentak/concurrency (Nait
Moh, A., dkk., 2008).
Penggunaan pendekatan aljabar maxdalam sistem even diskrit dinamik adalah karena
plus dapat menangani dengan mudah proses sinkronisasi (Braker, 1990). Pendekatan dengan aljabar maxdengan kemampuannya untuk diadaptasikan
dapat dimodelkan dengan Sidi-Moh, A., dkk., 2008).
plus dapat dilihat penerapannya dalam sistem manufaktur dan pada masalahmasalah yang berkaitan dengan jaringan transportasi yang sering berasal dari kejadian
nisasi antara resources dan konflik yang terjadi ketika distribusi resources
-Moh, A., dkk., 2008).
Sebelum, menyusun model aljabar maxplus, berikut diberikan konsep dasar mengenai
max oleh Baccelli, dkk
menotasikan himpunan bilangan real } dengan dua operasi biner max dan
Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max
0382
dari koridor 1 dapat transit ke koridor 4 melalui skywalk Dukuh Atas. Demikian halnya
18), dan (p39, xdimaksudkan untuk menjamin sinkronisasi koridor 6 dengan koridor 1, bahwa penumpang dari koridor 1 dapat transit ke koridor 6 melalui
x18 (dari Dukuh
Gambar 3. Petrinet
Sistem transportasi dapat dikatakan sebagai Sistem Dinamik Event Diskrit (SDED) sama halnya sebagai sistem manufakturing,
dari sistem tersebut digambarkan sebagai evolusi perlakuan sistem selama diberikan waktu periodenya. Sistem transportasi dinamik diatur dengan sinkronisasi, paralelisasi dan kejadian yang serentak/concurrency (Nait
dekatan aljabar max-plus dalam sistem even diskrit dinamik adalah karena
plus dapat menangani dengan mudah proses sinkronisasi (Braker, 1990). Pendekatan dengan aljabar max-plus terkenal dengan kemampuannya untuk diadaptasikan
dapat dimodelkan dengan Moh, A., dkk., 2008).
plus dapat dilihat penerapannya dalam sistem manufaktur dan pada masalahmasalah yang berkaitan dengan jaringan transportasi yang sering berasal dari kejadian
nisasi antara resources dan konflik yang terjadi ketika distribusi resources
Moh, A., dkk., 2008).
Sebelum, menyusun model aljabar maxplus, berikut diberikan konsep dasar mengenai
ccelli, dkk (1992)
menotasikan himpunan bilangan real } dengan dua operasi biner max dan
Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max
dari koridor 1 dapat transit ke koridor 4 melalui skywalk Dukuh Atas. Demikian halnya
x29) dimaksudkan untuk menjamin sinkronisasi koridor 6 dengan koridor 1, bahwa penumpang dari koridor 1 dapat transit ke koridor 6 melalui
(dari Dukuh
Atas 2 ke Halimun) dan Ragunan) keduanya harus menunggu kedatangan bus menjamin adanya sinkronisasi antara koridor 1 dan 6 sebagaimana aturan sinkronisasi yang telah diberikan di atas. Berikut ini Petrinet untuk keberangkatan
Petrinet untuk Jaringan Busway
Sistem transportasi dapat dikatakan sebagai Sistem Dinamik Event Diskrit (SDED) sama halnya sebagai sistem manufakturing,
dari sistem tersebut digambarkan sebagai evolusi perlakuan sistem selama diberikan waktu periodenya. Sistem transportasi dinamik diatur dengan sinkronisasi, paralelisasi dan kejadian yang serentak/concurrency (Nait-
plus dalam sistem even diskrit dinamik adalah karena
plus dapat menangani dengan mudah proses sinkronisasi (Braker, 1990).
plus terkenal dengan kemampuannya untuk diadaptasikan
dapat dimodelkan dengan Moh, A., dkk., 2008).
plus dapat dilihat penerapannya dalam sistem manufaktur dan pada masalah-masalah yang berkaitan dengan jaringan transportasi yang sering berasal dari kejadian
nisasi antara resources dan konflik yang terjadi ketika distribusi resources
Sebelum, menyusun model aljabar max-plus, berikut diberikan konsep dasar mengenai
1992)
menotasikan himpunan bilangan real } dengan dua operasi biner max dan
plus yang masingdanoperasi
Elemen netral untuk operasi
dan elemen netral untuk operasi Operasi times
disebut aljabar maxsebagai
plus adalah sebagai berikut:Suatu barisan
untuk
0(x
barisan
untuk semua Dalam hal ini,
bus yang ke
dan berdasarkan model koridor sebelum sinkronisasidisusunsinkronisasi sebagai berikut:
Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max
Atas 2 ke Halimun) dan Ragunan) keduanya harus menunggu kedatangan bus x01 dan x05.
menjamin adanya sinkronisasi antara koridor 1 dan 6 sebagaimana aturan sinkronisasi yang telah diberikan di atas. Berikut ini Petrinet untuk keberangkatan
Jaringan Busway
plus yang masingdan ⊗ . Untuk setiap operasi ⊕ dan
maksbadef
=⊕
Elemen netral untuk operasi
dan elemen netral untuk operasi Operasi ⊕ dibaca times. Himpunan Rdisebut aljabar maxsebagai maxℜ = { R
Adapun bentuk umum model aljabar maxplus adalah sebagai berikut:Suatu barisan (
(kx
untuk 0≥k , di mana
0)0 x= adalah
barisan ( )x k dapat ditulis
(kx
untuk semua kDalam hal ini,
bus yang ke-k di suatu halte.
Berdasarkan data di Tabel 1dan berdasarkan model koridor sebelum sinkronisasidisusun model aljabar maxsinkronisasi sebagai berikut:
Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max
Atas 2 ke Halimun) dan x29 (dari Dukuh ARagunan) keduanya harus menunggu kedatangan
. Hal tersebut dimaksudkan untuk menjamin adanya sinkronisasi antara koridor 1 dan 6 sebagaimana aturan sinkronisasi yang telah diberikan di atas. Berikut ini Petrinet untuk keberangkatan bus pada jaringan busway.
Jaringan Busway
plus yang masing-masing dinotasikan dengan Untuk setiap ba,
dan ⊗ dengan
),(maks ba dan
Elemen netral untuk operasi
dan elemen netral untuk operasi dibaca o-plus dan operasi
. Himpunan Rmax dengan operasi disebut aljabar max-plus dan didefinisikan
= { Rmax, ⊕ , ⊗Adapun bentuk umum model aljabar max
plus adalah sebagai berikut:):)(( Nkkx ∈()1 kxAk ⊗=+
, di mana A
h kondisi awal.
( ) dapat ditulis
0) xA k ⊗= ⊗
0≥ . (Heidergott, B., dkk, 2006))(kx adalah waktu keberangkatan
di suatu halte.
Berdasarkan data di Tabel 1dan berdasarkan model Petrinetkoridor sebelum sinkronisasi
model aljabar maxsinkronisasi sebagai berikut:
Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max
(dari Dukuh ARagunan) keduanya harus menunggu kedatangan
Hal tersebut dimaksudkan untuk menjamin adanya sinkronisasi antara koridor 1 dan 6 sebagaimana aturan sinkronisasi yang telah diberikan di atas. Berikut ini Petrinet untuk
bus pada jaringan busway.
masing dinotasikan dengan ∈ Rmax, didefinisikan
dan abadef
+=⊗
Elemen netral untuk operasi ⊕ adalah
dan elemen netral untuk operasi ⊗ adalah dan operasi ⊗
dengan operasi ⊕plus dan didefinisikan
⊗ , ε , e }.
Adapun bentuk umum model aljabar maxplus adalah sebagai berikut:
dapat dibangun
)k ∈A R xn×
max, ∈x
kondisi awal. Secara ekivalen
. (Heidergott, B., dkk, 2006)
adalah waktu keberangkatan
di suatu halte.
Berdasarkan data di Tabel 1 dan Petrinet masing
koridor sebelum sinkronisasi, maka dapat model aljabar max-plus sebelum
sinkronisasi sebagai berikut:
Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max-Plus
199
(dari Dukuh Atas 2 ke Ragunan) keduanya harus menunggu kedatangan
Hal tersebut dimaksudkan untuk menjamin adanya sinkronisasi antara koridor 1 dan 6 sebagaimana aturan sinkronisasi yang telah diberikan di atas. Berikut ini Petrinet untuk
bus pada jaringan busway.
masing dinotasikan dengan ⊕ , didefinisikan
b+
adalah ∞−=def
ε
adalah 0def
e = . dibaca o-
⊕ dan ⊗plus dan didefinisikan
Adapun bentuk umum model aljabar max-
bangun oleh
(1)
∈ Rn dan
Secara ekivalen
(2)
. (Heidergott, B., dkk, 2006) adalah waktu keberangkatan
dan Tabel 2, masing-masing
, maka dapat plus sebelum
Winarni
200 Volume 1 No. 4 Mei 2011
)8(38,24)1(
)7(25)1(
)1(24,6)1(
)3(8)1(
)9(67,24)1(
)10(5,26)1(
)7(86,15)1(
)8(17)1(
)9(5,19)1(
)7(75,16)1(
)16(21,20)1(
)8(98,10)1(
)6(83,12)1(
)11(23,15)1(
)17(71,19)1(
)4(21,14)1(
1516
2015
1314
1213
1112
1411
910
89
78
107
56
45
34
23
12
61
−⊗=+−⊗=+
−⊗=+−⊗=+
−⊗=+−⊗=+−⊗=+
−⊗=+−⊗=+
−⊗=+−⊗=+−⊗=+−⊗=+−⊗=+−⊗=+−⊗=+
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
)15(81,52)1(
)12(14,43)1(
)1(07,5)1(
)12(69,37)1(
)10(32,34)1(
)2(47,11)1(
)1(63,8)1(
)1(31,10)1(
)3(3,15)1(
)7(47,25)1(
)5(39,17)1(
)2(1,10)1(
)(64,2)1(
)1(01,5)1(
)3(61,12)1(
3031
3130
2829
2728
2927
2526
2425
2324
2223
2122
2621
1920
1819
1718
1617
−⊗=+−⊗=+
−⊗=+−⊗=+−⊗=+−⊗=+
−⊗=+−⊗=+
−⊗=+−⊗=+−⊗=+
−⊗=+⊗=+
−⊗=+−⊗=+
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
(3)
Dengan aturan sinkronisasi yang sudah dijelaskan pada bagian sebelumnya, maka model aljabar max-plus (3) menjadi sebagai berikut:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ))1(55)1(55)16(21,20)1(
)8(17)1(24,6)9(67,24)8(98,10)1(
)6(83,12)1(
)8(17)1(24,6)9(67,24)11(23,15)1(
)1(55)1(55)17(71,19)1(
)4(21,14)1(
281756
8131145
34
8131123
281712
61
−⊗⊗⊕−⊗⊗⊕−⊗=+−⊗⊕−⊗⊕−⊗⊕−⊗=+
−⊗=+−⊗⊕−⊗⊕−⊗⊕−⊗=+
−⊗⊗⊕−⊗⊗⊕−⊗=+−⊗=+
kxkxkxkx
kxkxkxkxkx
kxkx
kxkxkxkxkx
kxkxkxkx
kxkx
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ))2(47,113)7(47,253)7(86,15)1(
)8(98,10)1(24,6)9(67,24)11(23,15)8(17)1(
)2(47,113)7(47,253)7(86,15)9(5,19)1(
)7(25)7(75,16)1(
2521910
41311289
2521978
20107
−⊗⊗⊕−⊗⊗⊕−⊗=+−⊗⊕−⊗⊕−⊗⊕−⊗⊕−⊗=+
−⊗⊗⊕−⊗⊗⊕−⊗⊕−⊗=+−⊗⊕−⊗=+
kxkxkxkx
kxkxkxkxkxkx
kxkxkxkxkx
kxkxkx
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ))8(17)8(98,10)11(23,15)1(24,6)1(
)3(8)1(
)8(17)8(98,10)11(23,15)9(67,24)1(
)10(5,26)1(
8421314
1213
8421112
1411
−⊗⊕−⊗⊕−⊗⊕−⊗=+−⊗=+
−⊗⊕−⊗⊕−⊗⊕−⊗=+−⊗=+
kxkxkxkxkx
kxkx
kxkxkxkxkx
kxkx
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ))1(63,83)3(3,153)2(1,10)1(
)12(69,37)(64,2)1(
)16(71,195)17(71,195)1(01,5)1(
)3(61,12)1(
)1(63,83)3(3,153)8(38,24)1(
)7(75,16)7(25)1(
24221920
271819
511718
1617
24221516
102015
−⊗⊗⊕−⊗⊗⊕−⊗=+−⊗⊕⊗=+
−⊗⊗⊕−⊗⊗⊕−⊗=+−⊗=+
−⊗⊗⊕−⊗⊗⊕−⊗=+−⊗⊕−⊗=+
kxkxkxkx
kxkxkx
kxkxkxkx
kxkx
kxkxkxkx
kxkxkx
(4)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ))7(86,153)9(5,193)2(47,11)1(
)2(1,103)8(38,243)1(63,8)1(
)12(14,43)1(31,10)1(
)2(1,103)8(38,243)3(3,15)1(
)7(86,153)9(5,193)7(47,25)1(
)5(39,17)1(
972526
19152425
312324
19152223
972122
2621
−⊗⊗⊕−⊗⊗⊕−⊗=+−⊗⊗⊕−⊗⊗⊕−⊗=+
−⊗⊕−⊗=+−⊗⊗⊕−⊗⊗⊕−⊗=+−⊗⊗⊕−⊗⊗⊕−⊗=+
−⊗=+
kxkxkxkx
kxkxkxkx
kxkxkx
kxkxkxkx
kxkxkxkx
kxkx
( ) ( ) ( ) ( ))1(07,5)16(21,205)17(71,195)1(07,5)1(
)12(69,37)1(
)10(32,34)1(
17512829
2728
2927
−⊗⊕−⊗⊗⊗−⊗⊗⊕−⊗=+−⊗=+−⊗=+
kxkxkxkxkx
kxkx
kxkx
( )( ))16(81,52)1(
)1(31,10)12(14,43)1(
3031
233130
−⊗=+−⊗⊕−⊗=+
kxkx
kxkxkx
Selanjutnya, model (4) dapat dinyatakan dalam bentuk umum model aljabar max-plus pada persamaan (1), yaitu sebagai berikut:
( ))1()1(1
pkxAkx p
M
p
−+⊗=+ ⊕=
(5)
dengan Ap adalah matriks berukuran n x n dan n adalah jumlah variabel. Matriks Ap adalah matriks yang berkaitan dengan )1( pkx −+ . Dan M dalam hal ini adalah jumlah bus maksimum di antara semua lintasan dalam grap pada Gambar 2. Berdasarkan Tabel 2 di atas, maka n adalah 31
Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max-Plus
Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382 201
dan M adalah 18 yaitu pada koridor 1 lintasan Blok M menuju Dukuh Atas 1. Sehingga, nantinya ada 18 buah matriks yaitu A1 sampai dengan A18.
Dalam hal ini, model pada (4) dapat dinyatakan dalam bentuk umum model max-plus pada persamaan (1) menjadi
)()1( kxAkx ⊗=+ (6)
dengan )(kx vektor berdimensi nM), yang didefini-sikan sebagai
1 1 11 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
T
n n nx k x k x k x k x k x k M x k M
= − − + − + −
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
(7) di mana notasi T pada persamaan di atas menunjuk-
kan transpose dan A matriks berukuran (n.M) x (nM) yaitu
=
−
εεε
εεεεεε
max
max
max
max
121
I
I
I
I
AAAA
A
MM
⋯
⋮⋮⋮⋮
⋯
⋯
⋯
(8)
dimana maxI adalah matriks n x n dengan elemen
diagonalnya adalah e dan elemen lainnya adalah ε , dan e dalam matriks A di atas adalah matriks n x n dengan semua elemennya adalah ε . Dan
)(kx seperti pada persamaan (7). Dalam
permasalahan ini, vektor )(kx berdimensi 558
dan matriks A berukuran 558 x 558)
Dengan Scilab dan Max-Plus Toolbox diperoleh bahwa nilai karakteristik matriks A tersebut adalah 3.9542857 (λ = 3.9542857) dan eigen vektor dari matriks A yaitu vx. Nilai karakteristik ini menunjukkan performa dari sistem penjadwalan keberangkatan bus, maksudnya bahwa setiap 3.9542857 menit sekali terjadi pemberangkatan bus di tiap-tiap halte atau dengan kata lain periode keberangkatan bus di tiap-tiap halte adalah 3.9542857 menit.
Jika jadwal keberangkatan bus adalah periodik dan diberikan waktu keberangkatan awal )0(x dengan jumlah bus yang beroperasi sama seperti pada Tabel 2, maka dapat disusun jadwal keberangkatan bus untuk keberangkatan-keberangkatan selanjutnya, dengan evolusi
)0()1( )1( xkx k ⊗=+ +⊗λ (8)
Nilai dalam vektor vx adalah mewakili menit, karena keterbatasan halaman vector vx tidak dituliskan dalam makalah ini, hal ini dapat dilihat selengkapnya pada (Winarni, 2009). Misalkan jaringan beroperasi pada pagi hari dimulai pukul 05.00, berarti yang berangkat pertama kali pada jaringan tersebut adalah x3
yaitu pukul 05:00, keberangkatan x1(0) adalah pukul 05:30,001429, x2(0) pukul 05:34,932857,
dan seterusnya. Periode antar keberangkatan di masing-masing halte adalah sebesar eigenvalue yaitu 3,9542857.
Diperoleh pula bahwa critical circuit pada jaringan tersebut adalah Halte Dukuh Atas 2 – Halimun – Mantraman 2 – Mantraman 1 – Kp Melayu – Mantraman 1 – Mantraman 2 – Halimun – Dukuh Atas 2 karena bobot rata-rata circuit tersebut adalah sama dengan 3,9542857, yaitu maksimum dari bobot rata-rata semua circuit dalam jaringan (eigenvalue). Total waktu tempuh circuit tersebut adalah 55.36 menit dengan jumlah bus yang beroperasi pada circuit tersebut adalah 14 bus.
Semua pembahasan di atas adalah dengan mempertimbangkan halte-halte ujung koridor dan halte transit, belum memperhitungkan halte-halte ’kecil’ yaitu halte-halte di sepanjang koridor selain halte ujung koridor dan halte transit. Untuk keberangkatan di halte-halte tersebut cukup ditambahkan waktu tempuh antara halte sebelumnya menuju halte tersebut. Sehingga desain jadwal keberangkatan bus untuk seluruh halte pada jaringan busway dengan 7 koridor dapat dilihat pada Tabel 3 di bagian lampiran.
PENUTUP
Kesimpulan
1. Dalam penelitian ini telah disusun model Petrinet dan model aljabar max-plus untuk mendesain jadwal keberangkatan jaringan TransJakarta Busway. Petrinet yang dimaksudkan dapat dilihat pada Gambar 3 dan model aljabar max-plus dapat dilihat model (4). Dari model Petrinet dapat diterjemahkan menjadi model aljabar max-plus dan juga sebaliknya.
2. Model (4) dapat dinyatakan dalam bentuk umum model aljabar max-plus yaitu
)()1( kxAkx ⊗=+ di mana matriks A berukuran 558 x 558. Dengan Scilab dan Max-
plus Algebra Toolbox (Subiono, 2008) diperoleh eigenvalue dari mariks A sama
dengan )(Aλ = 3,9542857. Eigenvalue ini menunjukkan bahwa setiap 3,9542857 menit sekali terjadi pemberangkatan bus di tiap-tiap halte atau dengan kata lain periode keberangkatan bus di tiap-tiap halte adalah 3,9542857 menit. Dengan mengambil eigenvektor matriks A sebagai x(0) maka akan dapat ditentukan waktu keberangkatan bus ditiap-tiap halte ujung koridor dan halte transit yang ke-(k+1), untuk k = 0, 1, 2, 3, ....
dengan )0()1( )1( xkx k ⊗=+ +⊗λ
Winarni
202 Volume 1 No. 4 Mei 2011
3. Desain jadwal keseluruhan halte pada jaringan tersebut dapat dilihat pada Tabel 3 .
4. Diperoleh bahwa critical circuit pada jaringan tersebut adalah Halte Dukuh Atas 2 – Halimun – Mantraman 2 – Mantraman 1 – Kp Melayu – Mantraman 1 – Mantraman 2 – Halimun – Dukuh Atas 2 karena bobot rata-rata circuit tersebut adalah sama dengan 3,9542857, yaitu maksimum dari bobot rata-rata semua circuit dalam jaringan (eigenvalue). Total waktu tempuh circuit tersebut adalah 55.36 menit dengan jumlah bus yang beroperasi pada circuit tersebut adalah 14 bus.
Saran
1. Observasi lapangan yang lebih lama dan pengumpulan data waktu tempuh yang lebih lengkap.
2. Melakukan reduksi matriks untuk efisiensi secara komputasi.
3. Dilakukan analisa lebih detail lagi pada Petrinet yang telah disusun tersebut.
4. Melakukan analisa jadwal jika terjadi keterlambatan.
5. Melakukan re-alokasi jumlah bus yang beroperasi pada jaringan, sehingga lebih optimal, misalnya dengan mengurangi alokasi bus pada circuit yang minimum dan menambahkannya pada critical circuit dan dengan mengoptimalkan alokasi bus yang disediakan pengelola.
6. Jika 8 koridor berikutnya (koridor 9 sampai dengan koridor 15) sudah terealisasi, penelitian ini dapat dikembangkan untuk seluruh koridor TransJakarta Busway.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Baccelli, F., Cohen, G., Olsder, G. J., dan Quadrat, J. P., (1992), Synchronisation and
Linearity, Algebra for Discrete Event Systems. John Wiley and Sons, Inc., New York.
[2] Batavia Busway, (16 Juni 2008, tanggal akses: 7 Agustus 2008), Diskusi Busway di
Veteran, http://www.bataviabusway.blogspot.com.
[3] Batavia Busway, (tanggal akses: 24 Juli 2008), Denah-Busway-v080116.jpg, http://www.bataviabusway.blogspot.com.
[4] BLU TransJakarta Busway, (2007), Company
profile TransJakarta Busway, Edisi3.
[5] Braker, J.-G., (1991), “Max-algebra modelling and analysis of time-table dependent transportation networks”. Proceedings of the
First European Control Conference (ECC’91), Grenoble, France, hal. 1831–1836.
[6] Cassandras, C.G., (1993), Discrete Event
Systems: Modelling and Performance
Analysis, Richard D. Irwin, Inc, and Aksen Associates Inc., Amherst.
[7] Dieky, A., (2008), Petrinet Toolbox, Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.
[8] Heidergott, B., Olsder G. J., dan Woude, J. V. D., (2006), Max Plus at Work Modeling and
Analysis of Synchronisation Systems: A Course
on Max-Plus Algebra and Its Application, Princeton University Press, New Jersey.
[9] Nait-Sidi-Moh, A., Manier, M. A., El Moudni, A., (2008), “Spectral analysis for performance evaluation in a bus network”, European Journal of Operational Research, http://www.sciencedirect.com.
[10] Suaratransjakarta, (20 Juni 2008, tanggal akses: 1 Agustus 2008), Ketidakpastian
menunggu bus, http://www.TransJakartainfo.com.
[11] Subiono, (2000), On classes of min-max-plus
systems and their application, Thesis Ph.D., Technische Universiteit Delft, Delft.
[12] Subiono, Dieky, A., (2008), Max-plus Algebra
Toolbox, Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.
[13] Winarni, (2009), Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota Dengan Aljabar Max-Plus, Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.
LAMPIRAN
Tabel 3. Desain Jadwal Periodik Keberangkatan Busway
No. Variabel Halte Keberangkatan Halte Tujuan Kendala
1 x1 Blok-M Masjid Agung 14.21 + x6 atau 4.73 + x6,7 2 x1,1 Masjid Agung Bundaran Senayan 8.75 + x1 3 x1,2 Bundaran Senayan Gelora Bung Karno 3.10 + x1,1 4 x1,3 Gelora Bung Karno Polda Metro 1.02 + x1,2 5 x1,4 Polda Metro Bendungan Hilir 1.17 + x1,3 6 x1,5 Bendungan Hilir Karet 1.74 + x1,4 7 x1,6 Karet Setia budi 1.37 + x1,5
Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max-Plus
Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382 203
8 x1,7 Setia budi Dukuh Atas 1 1.07 + x1,6
9 x2 Dukuh Atas 1 Tosari 19,71+ x1, 10,07 + x17, 10,07 + x28 atau 1.5 + x1,7, 10,07 + x17, 10,07 + x28
10 x2,1 Tosari Bunderan HI 1.47 + x2 11 x2,2 Bunderan HI Sarinah 1.67 + x2,1 12 x2,3 Sarinah Bank Indonesia 1.41 + x2,2 13 x2,4 Bank Indonesia Monumen Nasional 3.07 + x2,3 14 x2,5 Monumen Nasional Harmoni 1.59 + x2,4
15 x3 Harmoni Sawah Besar 15.23 + x2, 17 + x8, 24.67 + x11, 6.24 + x13 atau 6.02 + x2,5, 8 + x8,7, 1.5 + x11,11, 3.58 + x13,2
16 x3,1 Sawah Besar Mangga Besar 4.76 + x3 17 x3,2 Mangga Besar Olimo 2.57 + x3,1 18 x3,3 Olimo Glodok 1.05 + x3,2 19 x3,4 Glodok Kota 1.35 + x3,3 20 x4 Kota Glodok 12.83 + x3 atau 3.11 + x3,4 21 x4,1 Glodok Olimo 3.30 + x4 22 x4,2 Olimo Mangga Besar 1.34 + x4,1 23 x4,3 Mangga Besar Sawah Besar 1.26 + x4,2 24 x4,4 Sawah Besar Harmoni 2.53 + x4,3
25 x5 Harmoni Monumen Nasional 10.98 + x4, 17 + x8, 24.67 + x11, 6.24 + x13 atau 2.54 + x4,4, 8 + x8,7, 1.5 + x11,11, 3.58 + x13,2
26 x5,1 Monumen Nasional Bank Indonesia 5.77 + x5 27 x5,2 Bank Indonesia Sarinah 4.82 + x5,1 28 x5,3 Sarinah Bunderan HI 2.33 + x5,2 29 x5,4 Bunderan HI Tosari 1.29 + x5,3 30 x5,5 Tosari Dukuh Atas 1 3.08 + x5,4
31 x6 Dukuh Atas 1 Setia Budi 20.21 + x5, 10.07 + x17, 10.07 + x28 atau 2.92 + x5,5, 10.07 + x17, 10.07 + x28
32 x6,1 Setia Budi Karet 0.94 + x6 33 x6,2 Karet Bendungan Hilir 1.23 + x6,1 34 x6,3 Bendungan Hilir Polda Metro Jaya 1.04 + x6,2 35 x6,4 Polda Metro Jaya Gelora Bung Karno 1.46 + x6,3 36 x6,5 Gelora Bung Karno Bundaran Senayan 1.08 + x6,4 37 x6,6 Bundaran Senayan Masjid Agung 1.39 + x6,5 38 x6,7 Masjid Agung Blok M 2.33 + x6,6
39 x7 Pulo Gadung Bermis 16.75 + x10, 25 + x20 atau 3.15 + x10,10, 11 + x20,9
40 x7,1 Bermis Pulo Mas 3 + x7 41 x7,2 Pulo Mas ASMI 2.5 + x7,1 42 x7,3 ASMI Pedongkelan 1 + x7,2 43 x7,4 Pedongkelan Cempaka Timur 3 + x7,3 44 x7,5 Cempaka Timur RS Islam 3 + x7,4 45 x7,6 RS Islam Cempaka Tengah 1 + x7,5 46 x7,7 Cempaka Tengah Ps. Cempaka Putih 1 + x7,6 47 x7,8 Ps. Cempaka Putih Rawa Selatan 0.75 + x7,7 48 x7,9 Rawa Selatan Galur 0.75 + x7,8 49 x7,10 Galur Senen 1 + x7,9
50 x8 Senen Atrium 19.5 + x7, 15.86 + x9, 28.47 + x21, 14.47 + x25 atau 3,5 + x7,10, 3.53 + x9,3,12.82 + x21,4, 9.58 + x25,3
51 x8,1 Atrium RSPAD 1 + x8 52 x8,2 RSPAD DEPLU 1 + x8,1 53 x8,3 DEPLU Gambir 1 1 + x8,2 54 x8,4 Gambir 1 Istiqlal 2 + x8,3 55 x8,5 Istiqlal Juanda 2 + x8,4 56 x8,6 Juanda Pecenongan 1 + x8,5 57 x8,7 Pecenongan Harmoni 1 + x8,6
58 x9 Harmoni Balai Kota 17 + x8, 15.23 + x2, 10.98 + x4, 24.67 + x11 , 6.24 + x13 atau 8 + x8,7, 6.02 + x2,5, 2.54 + x4,4, 1.5 + x11,11, 3.58 + x13,2
59 x9,1 Balai Kota Gambir 2 7.57 + x9 60 x9,2 Gambir 2 Kwitang 2.10 + x9,1 61 x9,3 Kwitang Senen 2.66 + x9,2
62 x10 Senen Galur 15.86 + x9, 28.47 + x21, 14.47 + x25 atau 3.53 + x9,3, 12.82 + x21,4, 9.58 + x25,3
63 x10,1 Galur Rawa Selatan 2.11 + x10 64 x10,2 Rawa Selatan Ps. Cempaka Putih 1 + x10,1 65 x10,3 Ps. Cempaka Putih Cempaka Tengah 1.17 + x10,2 66 x10,4 Cempaka Tengah RS Islam 0.95 + x10,3 67 x10,5 RS Islam Cempaka Timur 1.01 + x10,4 68 x10,6 Cempaka Timur Pedongkelan 1.15 + x10,5 69 x10,7 Pedongkelan ASMI 1.81 + x10,6
Winarni
204 Volume 1 No. 4 Mei 2011
70 x10,8 ASMI Pulo Mas 1.27 + x10,7 71 x10,9 Pulo Mas Bermis 1.03 + x10,8 72 x10,10 Bermis Pulo Gadung 2.10 + x10,9 73 x11 Kalideres Pesakih 26.5 + x14 atau 4.05 + x14,11 74 x11,1 Pesakih Sumur Bor 2.64 + x11 75 x11,2 Sumur Bor Rawa Buaya 0.84 + x11,1 76 x11,3 Rawa Buaya Jembatan Baru 1.64 + x11,2 77 x11,4 Jembatan Baru Dispenda 1.36 + x11,3 78 x11,5 Dispenda Jembatan Gantung 1.71 + x11,4 79 x11,6 Jembatan Gantung Taman Kota 1.6 + x11,5 80 x11,7 Taman Kota Indosiar 1.71 + x11,6 81 x11,8 Indosiar Jelambar 3.3 + x11,7 82 x11,9 Jelambar Grogol TriSakti 4.32 + x11,8 83 x11,10 Grogol TriSakti Rs.Sumber Waras 2.55 + x11,9 84 x11,11 Rs.Sumber Waras Harmoni 1.50 + x11,10
85 x12 Harmoni Pecenongan 24.67 + x11, 15.23 + x2, 10.98 + x4, 17 + x8 atau 1.5 + x11,11, 6.02 + x2,5, 2.54 + x4,4, 8 + x8,7
86 x12,1 Pecenongan Juanda 3.68 + x12 87 x12,2 Juanda Pasar Baru 2.93 + x12,1 88 x13 Pasar Baru Juanda 8 + x12 atau 1.38 + x12,2 89 x13,1 Juanda Pecenongan 1.68 + x13 90 x13,2 Pecenongan Harmoni 0.98 + x13,1
91 x14 Harmoni Rs.Sumber Waras 6.24 + x13, 15.23 + x2, 10.98 + x4, 17 + x8 atau 3.58 + x13,2, 6.02 + x2,5, 2.54 + x4,4, 8 + x8,7
92 x14,1 Rs.Sumber Waras Grogol TriSakti 4 + x14 93 x14,2 Grogol TriSakti Jelambar 1.5 + x14,1 94 x14,3 Jelambar Indosiar 2 + x14,2
95 x14,4 Indosiar Taman Kota 2 + x14,3 96 x14,5 Taman Kota Jembatan Gantung 3.47 + x14,4 97 x14,6 Jembatan Gantung Dispenda 1.03 + x14,5 98 x14,7 Dispenda Jembatan Baru 2.5 + x14,6 99 x14,8 Jembatan Baru Rawa Buaya 1.5 + x14,7
100 x14,9 Rawa Buaya Sumur Bor 2 + x14,8
101 x14,10 Sumur Bor Pesakih 1 + x14,9 102 x14,11 Pesakih Kalideres 1.45 + x14,10 103 x15 Pulo Gadung Pasar Pulo Gadung 25 + x20, 16.75 + x10 atau 11 + x20,9, 3.15 + x10,10 104 x15,1 Pasar Pulo Gadung TU Gas 8.17 + x15 105 x15,2 TU Gas Layur 3.18 + x15,1 106 x15,3 Layur Velodrome 1.32 + x15,2 107 x15,4 Velodrome Sunan Giri 2.92 + x15,3 108 x15,5 Sunan Giri UNJ 1.43 + x15,4 109 x15,6 UNJ Pramuka LIA 1 + x15,5 110 x15,7 Pramuka LIA Utan Kayu 3.24 + x15,6 111 x15,8 Utan Kayu Pasar Genjing 0.99 + x15,7 112 x15,9 Pasar Genjing Mantraman 2 0.88 + x15,8
113 x16 Mantraman 2 Manggarai 24.38 + x15, 18.3 + x22, 11.63 + x24 atau 1.25 + x15, 8.28 + x22,3, 5.18 + x24,3
114 x16,1 Manggarai Pasar Rumput 6.69 + x16 115 x16,2 Pasar Rumput Halimun 4.12+ x16,1 116 x17 Halimun Dukuh Atas 2 12.61 + x16 atau 1.8 + x16,2
117 x18 Dukuh Atas 2 Halimun 5.07 + x17, 24.71 + x1, 25.21 + x5 atau 5.07 + x17, 6.5 + x1,7, 7.92 + x5,5
118 x19 Halimun Pasar Rumput 2.64 + x18, 37.69 + x27 atau 2.64 + x18, 4.83 + x27,17
119 x19,1 Pasar Rumput Manggarai 2.43 + x19 120 x19,2 Manggarai Mantraman 2 1.73 + x19,1
121 x20 Mantraman 2 Pasar Genjing 10.1 + x19, 18.3 + x22, 11.63 + x24 atau 5.93 + x19,2, 8.28 + x22,3, 5.18 + x24,3
122 x20,1 Pasar Genjing Utan Kayu 2 + x20 123 x20,2 Utan Kayu Pramuka LIA 1 + x20,1 124 x20,3 Pramuka LIA UNJ 1 + x20,2 125 x20,4 UNJ Sunan Giri 3 + x20,3 126 x20,5 Sunan Giri Velodrome 1 + x20,4 127 x20,6 Velodrome Layur 1 + x20,5 128 x20,7 Layur TU Gas 3 + x20,6 129 x20,8 TU Gas Pasar Pulo Gadung 1 + x20,7 130 x20,9 Pasar Pulo Gadung Pulo Gadung 1 + x20,8 131 x21 Ancol Pademangan 17.39 + x26 atau 3 + x26,4 132 x21,1 Pademangan Jembatan Merah 4 + x21 133 x21,2 Jembatan Merah Pasar Baru Timur 4.96 + x21,1 134 x21,3 Pasar Baru Timur Budi Utomo 5.05 + x21,2
Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max-Plus
Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382 205
135 x21,4 Budi Utomo Senen Sentral 1.65 + x21,3
136 x22 Senen Sentral Pal Putih 25.47 + x21, 22.5 + x7, 18.86 + x9 atau 9.82 + x21,4, 6.5 + x7,10, 6.53 + x9,3
137 x22,1 Pal Putih Kramat Sentiong 5.42 + x22 138 x22,2 Kramat Sentiong Salemba UI 1.58 + x22,1 139 x22,3 Salemba UI Mantraman 1 3.02 + x22,2
140 x23 Mantraman 1 Tegalan 15.3 + x22, 27.38 + x15, 13.1 + x19 atau 5.28 + x22,3, 4.25 + x15,9, 8.93 + x19,2
141 x23,1 Tegalan Slamet Riyadi 1.3 + x23 142 x23,2 Slamet Riyadi Kebon Pala 1.08 + x23,1 143 x23,3 Kebon Pala Pasar Jatinegara 1.66 + x23,2 144 x23,4 Pasar Jatinegara Kampung Melayu 2.48 + x23,3 145 x24 Kampung Melayu Kebon Pala 10.31 + x23, 43.14 + x31 atau 3.8 + x23,4, 4,29+ x31,12 146 x24,1 Kebon Pala Slamet Riyadi 3.78 + x24 147 x24,2 Slamet Riyadi Tegalan 1.61 + x24,1 148 x24,3 Tegalan Mantraman 1 1.05 + x24,2
149 x25 Mantraman 1 Salemba UI
8.63 + x24, 27.38 + x15, 13.1 + x19 atau 2.18 + x24,3, 4.25 + x15,9, 8.93 + x19,2
150 x25,1 Salemba UI Kramat Sentiong 2+ x25 151 x25,2 Kramat Sentiong Pal Putih 1.58 + x25,1 152 x25,3 Pal Putih Senen Sentral 1.30 + x25,2
153 x26 Senen Sentral Budi Utomo 11.47 + x25, 22.5 + x7, 18.86 + x9 atau 6.58+ x25,3, 6.5 + x7,10, 6.53 + x9,3
154 x26,1 Budi Utomo Pasar Baru Timur 3.28 + x26 155 x26,2 Pasar Baru Timur Jembatan Merah 1.83 + x26,1 156 x26,3 Jembatan Merah Pademangan 3.6 + x26,2 157 x26,4 Pademangan Ancol 5.69 + x26,3 158 x27 Ragunan Dep. Pertanian 34.32 + x29 atau 3.13 + x29,16 159 x27,1 Dep. Pertanian SMK 57 2.86 + x27 160 x27,2 SMK 57 Jati Padang 2.32 + x27,1 161 x27,3 Jati Padang Pejaten 1.48 + x27,2 162 x27,4 Pejaten Buncit Indah 2.27 + x27,3 163 x27,5 Buncit Indah Warung Jati 1.16 + x27,4 164 x27,6 Warung Jati Imigrasi 2.34 + x27,5 165 x27,7 Imigrasi Duren Tiga 2.38 + x27,6 166 x27,8 Duren Tiga Mampang Prapatan 1.72 + x27,7 167 x27,9 Mampang Prapatan Kuningan Timur 2.91 + x27,8 168 x27,10 Kuningan Timur Patra Kuningan 3.12 + x27,9 169 x27,11 Patra Kuningan DepKes 1.23 + x27,10 170 x27,12 DepKes GOR Sumantri 1.37 + x27,11
171 x27,13 GOR Sumantri Karet Kuningan 1.87 + x27,12 172 x27,14 Karet Kuningan Kuningan Madya A 1.29 + x27,13 173 x27,15 Kuningan Madya Ai Setia Budi Utara 0.96 + x27,14 174 x27,16 Setia Budi Utara Latuharhari 1.09 + x27,15 175 x27,17 Latuharhari Halimun 2.48 + x27,16 176 x28 Halimun Dukuh Atas 2 37.69 + x27 atau 4.83 + x27,16
177 x29 Dukuh Atas 2 Setia Budi Utara 5.07 + x28, 24.71 + x1, 25.21 + x5, 5.07 + x17 atau 5.07 + x28, 6.5 + x1,7, 7.92 + x5,5, 5.07 + x17
178 x29,1 Setia Budi Utara Kuningan Madya A 3.59 + x29 179 x29,2 Kuningan Madya A Karet Kuningan 1.27 + x29,1 180 x29,3 Karet Kuningan GOR Sumantri 1.08 + x29,2 181 x29,4 GOR Sumantri DepKes 1.27 + x29,3 182 x29,5 DepKes Patra Kuningan 2.07 + x29,4 183 x29,6 Patra Kuningan Kuningan Timur 1.36 + x29,5 184 x29,7 Kuningan Timur Mampang Prapatan 1.34 + x29,6 185 x29,8 Mampang Prapatan Duren Tiga 4.03 + x29,7 186 x29,9 Duren Tiga Imigrasi 2.29 + x29,8 187 x29,10 Imigrasi Warung Jati 1.93 + x29,9 188 x29,11 Warung Jati Buncit Indah 1.33 + x29,10 189 x29,12 Buncit Indah Pejaten 2.89 + x29,11 190 x29,13 Pejaten Jati Padang 1.02 + x29,12 191 x29,14, Jati Padang SMK 57 2 + x29,13 192 x29,15 SMK 57 Dep Pertanian 2.11 + x29,14 193 x29,16 Dep Pertanian Ragunan 1.62 + x29,15
194 x30 Kampung Melayu Bidara Cina 43.14 + x31, 10.31 + x23 atau 4.29 + x31,12, 3.8 + x23,4
195 x30,1 Bidara Cina Gelanggang Rmj 2.65 + x30 196 x30,2 Gelanggang Rmj Cawang Otista 3.07 + x30,1 197 x30,3 Cawang Otista BNN 2.87 + x30,2 198 x30,4 BNN Cawang UKI 1.4 + x30,3 199 x30,5 Cawang UKI BKN 3.11 + x30,4
Winarni
206 Volume 1 No. 4 Mei 2011
200 x30,6 BKN PGC (Cililitan) 2.46 + x30,5 201 x30,7 PGC (Cililitan) Pasar Kramat Jati 2.4 + x30,6 202 x30,8 Pasar Kramat Jati Pasar Induk 6.43 + x30,7 203 x30,9 Pasar Induk RS. Har. Bunda 11.03 + x30,8 204 x30,10 RS. Har. Bunda Fly Over Ry Bogor 2.7 + x30,9 205 x30,11 Fly Over Ry Bogor Kamp.Rambutan 2.65 + x30,10 206 x31 Kamp. Rambutan Tanah Merdeka 52.81 + x30 atau 12.06 + x30,11 207 x31,1 Tanah Merdeka Fly Over Ry Bogor 3.5 + x31 208 x31,2 Fly Over Ry Bogor RS. Har.Bunda 2.25 + x31,1 209 x31,3 RS. Har. Bunda Pasar Induk 3.08 + x31,2 210 x31,4 Pasar Induk Pasar Kramat Jati 2.71 + x31,3 211 x31,5 Pasar Kramat Jati PGC (Cililitan) 12.02 + x31,4 212 x31,6 PGC (Cililitan) BKN 3.44 + x31,5 213 x31,7 BKN Cawang UKI 1.92 + x31,6 214 x31,8 Cawang UKI BNN 2.21 + x31,7 215 x31,9 BNN Cawang Otista 2.05 + x31,8 216 x31,10 Cawang Otista Gelanggang Rmj 2.02 + x31,9 217 x31,11 Gelanggang Rmj Bidara Cina 2.48 + x31,10 218 x31,12 Bidara Cina Kampung Melayu 1.18 + x31,11