Nama : NIM :

UJIAN TENGAH SEMESTER

PENELITIAN OPERASIONAL I (IE2313)

Hari/tanggal : Senin, 24 Oktober 2011

Waktu : 120 menit

Sifat Ujian : Buka buku

Nama : Tanda Tangan Mahasiswa :

NIM : Nilai :

1. (Bobot 20%)

U Lean Company memproduksi berbagai mainan dari kayu, seperti boneka, mobil, truk, kereta api, dan

pesawat terbang. Di lantai produksi, terjadi berbagai proses, seperti pemotongan, pengamplasan,

pengecatan, perakitan, dan sebagainya. Sebagian proses dilakukan secara manual oleh operator.

Pengecatan boneka, truk, dan kereta api dilakukan oleh operator 1 dan operator 2. Terkadang

operator melakukan kesalahan, sehingga produk yang dicat tidak memenuhi spesifikasi. Operator 1

melakukan kesalahan pada 5% produk yang dicatnya, sedangkan operator 2 melakukan kesalahan

pada 10% produk yang dicatnya. Kesalahan ini akan merugikan perusahaan, karena produk yang

mengalami kesalahan pengecatan harus diperbaiki. Pekerjaan ulang ini akan memboroskan waktu

produksi, padahal perusahaan memiliki target yang harus dipenuhi. Hari ini, perusahaan akan

memproduksi minimum 300 mainan yang terdiri atas boneka, truk, dan kereta api. Produksi boneka

tidak boleh lebih dari dua kali lipat produksi kereta api. Proses pengecatan akan didistribusikan kepada

operator 1 dan operator 2. Kedua operator tersebut memiliki kecepatan kerja yang berbeda. Operator

1 dapat mengecat paling banyak 125 mainan per hari, sedangkan operator 2 mampu mengecat paling

sedikit 175 mainan per hari. Boneka yang dicat oleh operator 1 tidak boleh lebih dari 50% dari boneka

yang diproduksi, sedangkan truk yang dicat oleh operator 2 paling tidak 75% dari truk yang diproduksi.

Perusahaan harus menentukan pembagian kerja untuk operator 1 dan operator 2. Rumuskan model

linear programming untuk kasus di perusahaan ini.

2. (Bobot 20%)

Seorang mahasiswa harus bekerja selama setidaknya 20 jam seminggu untuk memenuhi biaya kuliah.

Ia memiliki kesempatan kerja di restoran dan swalayan. Di restoran, ia dapat bekerja antara 5 sampai

12 jam per minggu, sedangkan di swalayan, ia dapat bekerja selama 6 hingga 10 jam per minggu. Baik

restoran maupun swalayan memberi gaji per jam yang sama. Dalam menentukan alokasi jumlah jam

kerja di restoran dan swalayan, ia mengacu pada tingkat stress tiap pekerjaan. Berdasarkan hasil

wawancara dengan pegawai di restoran dan swalayan, diketahui bahwa dalam skala 1-10 (tingkat

stress tertinggi = 10), tingkat stress per jam di restoran dan swalayan adalah 8 dan 6. Tingkat stress

proporsional terhadap jumlah jam kerja yang dialokasikan pada setiap pekerjaan. Berapa jam yang

harus dialokasikan oleh mahasiswa tersebut untuk bekerja di restoran dan swalayan? Rumuskan

model linear programming untuk permasalahan ini dan selesaikan menggunakan metode grafis.

Nama : NIM :

3. (Bobot 30%)

Suatu perusahaan ingin menentukan keputusan produksi dari berbagai alternatif produk yang dapat

dihasilkan sesuai dengan ketersediaan sumber daya tenaga kerja (jam kerja) dan bahan baku.

Alternatif produk tersebut adalah produk 1 (x1), produk 2 (x2) dan produk 3 (x3). Ketersediaan sumber

daya dan kebutuhan masing-masing produk terhadap sumber daya disajikan pada tabel berikut:

Alternatif Produk

Kebutuhan Sumber Daya Keuntungan

(Rp 10.000/unit) Tenaga Kerja

(Jam/Unit) Bahan Baku

(Kg/Unit)

Produk 1 5 4 4

Produk 2 2 3 3

Produk 3 4 3 4

Jam kerja dan jumlah bahan baku yang tersedia pada perusahaan masing-masing adalah 240 jam kerja dan 210 kg bahan baku. a. Jelaskan keputusan yang terbaik bagi perusahaan mengenai jumlah produksi terkait dengan

pemanfaatan sumber daya yang tersedia. b. Jika harga produk 3 meningkat sehingga keuntungan per unit menjadi Rp 50.000,- apakah

perusahaan harus mengubah keputusannya? Jelaskan. c. Bila ada pihak lain yang menawarkan tambahan pasokan bahan baku sebanyak 150 kg, apakah

perusahaan harus menerima tawaran tersebut? Jelaskan.

4. (Bobot 30%)

Maximize Z = x1 + 3 x2 2 x3

Subject to :

2 x1 x3 3

4 x1 + x2 5

x1 + 2 x2 4

x1, x2, x3 0

Tentukan solusi optimal untuk kasus di atas menggunakan metode dua fasa.

Nama : NIM :

Jawab :

1. Model linear programming untuk kasus U Lean Company : (bonus poin : 6)

Variabel Keputusan

Keputusan yang dihadapi manajemen dalam masalah ini adalah berapa jumlah boneka, truk, dan kereta

api yang harus dikerjakan oleh operator 1 dan operator 2. Jumlah produk yang dicat oleh setiap operator

dapat diwakili oleh simbol berikut.

xb1 = jumlah boneka yang dicat oleh operator 1 (1 poin jika benar, 0.5 poin jika salah)

xt1 = jumlah truk yang dicat oleh operator 1 (1 poin jika benar, 0.5 poin jika salah)

xk1 = jumlah kereta api yang dicat oleh operator 1 (1 poin jika benar, 0.5 poin jika salah)

xb2 = jumlah boneka yang dicat oleh operator 2 (1 poin jika benar, 0.5 poin jika salah)

xt2 = jumlah truk yang dicat oleh operator 2 (1 poin jika benar, 0.5 poin jika salah)

xk2 = jumlah kereta api yang dicat oleh operator 2 (1 poin jika benar, 0.5 poin jika salah)

Fungsi Tujuan

Tujuan perusahaan adalah meminimumkan total produk cacat. Total produk cacat adalah jumlah dari

produk cacat yang dihasilkan oleh operator 1 dan operator 2.

Minimize Z = 0,05 (xb1 + xt1 + xk1) + 0,1 (xb2 + xt2 + xk2) (1 poin jika benar, 0.5 poin jika salah)

Atau : Min Z = 0,05 xb1 + 0,05 xt1 + 0,05 xk1 + 0,1 xb2 + 0,1 xt2 + 0,1 xk2

Batasan Model

Batasan yang ada dalam kasus ini adalah jumlah total produksi, jumlah boneka dan kereta api, kecepatan

pengecatan, jumlah boneka yang dicat oleh operator 1 dan jumlah truk yang dicat oleh operator 2.

Batasan untuk jumlah total produksi adalah xb1 + xt1 + xk1 + xb2 + xt2 + xk2 300 (1 poin jika benar, 0.5

poin jika salah)

Batasan untuk produksi boneka dan kereta api adalah xb1 + xb2 2 xk1 + 2 xk2 (1 poin jika benar, 0.5

poin jika salah)

Batasan untuk kecepatan pengecatan operator 1 adalah xb1 + xt1 + xk1 125 (1 poin jika benar, 0.5

poin jika salah)

Batasan untuk kecepatan pengecatan operator 2 adalah xb2 + xt2 + xk2 175 (1 poin jika benar, 0.5

poin jika salah)

Batasan untuk jumlah boneka yang dicat oleh operator 1 adalah xb1 0,5 xb1 + 0,5 xb2 (1 poin jika

benar, 0.5 poin jika salah)

Batasan untuk jumlah truk yang dicat oleh operator 2 adalah xt2 0,75 xt1 + 0,75 xt2 (1 poin jika

benar, 0.5 poin jika salah)

Batasan non negatif : xb1 0, xt1 0, xk1 0, xb2 0, xt2 0, xk2 0 (1 poin jika benar, 0.5 poin jika salah)

Nama : NIM :

2. Model matematik : (bonus poin : 2)

Minimize z = 8 x1 + 6 x2 (1 poin jika benar, 0.5 poin jika salah)

Subject to :

5 x1 12 ..... (batasan waktu kerja di restoran) (1 poin jika benar, 0.5 poin jika salah)

6 x2 10 ..... (batasan waktu kerja di swalayan) (1 poin jika benar, 0.5 poin jika salah)

x1 + x2 20 ..... (batasan total waktu kerja) (1 poin jika benar, 0.5 poin jika salah)

x1, x2 0 (1 poin jika benar, 0.5 poin jika salah)

Dengan :

x1 = jumlah jam kerja yang dialokasikan di restoran (1 poin jika benar, 0.5 poin jika salah)

x2 = jumlah jam kerja yang dialokasikan di swalayan (1 poin jika benar, 0.5 poin jika salah)

Solusi optimal dengan metode grafis : (8 poin, jika lengkap ada 5 garis batas, 1 garis fungsi tujuan,

berikut tanda untuk area solusi)

2

2

4

4

6

6

8

8

10

10

12

120

x2

x1

x1 + x2 20

6 x2 10

5 x1 12

14

14

16

18

20

22

24

16 18 20 22 24

Z = 8 x1 + 6 x2

Dengan demikian, solusi optimal adalah x1 = 10 (1 poin jika benar, 0.5 poin jika salah) , x2 = 10 (1 poin

jika benar, 0.5 poin jika salah)

Z = 8 x1 + 6 x2 = 8 (10) + 6 (10) = 80 + 60 = 140 (1 poin jika benar, 0.5 poin jika salah)

Maka, mahasiswa tersebut harus bekerja di restoran selama 10 jam dan bekerja di swalayan selama 10

jam, dan total tingkat stress sebesar 140.

Nama : NIM :

3. Maximize z = 4 x1 + 3 x2 + 4 x3

Subject to :

5 x1 + 2 x2 + 4 x3 240 (batasan tenaga kerja)

4 x1 + 3 x2 + 3 x3 210 (batasan bahan baku)

x1, x2, x3 0

a. Jelaskan keputusan yang terbaik bagi perusahaan mengenai jumlah produksi terkait dengan pemanfaatan sumber daya yang tersedia.

Bentuk standar :

z = 4 x1 + 3 x2 + 4 x3 + 0 x4 + 0 x5 + 0 x6

5 x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 = 240

4 x1 + 3 x2 + 3 x3 + x5 = 210

cB cj

basis

4 3 4 0 0 Konstanta Rasio

x1 x2 x3 x4 x5 0 x4 5 2 4 1 0 240 48

0 x5 4 3 3 0 1 210 105/2

Baris c 4 3 4 0 0 0

cB cj

basis

4 3 4 0 0 Konstanta Rasio

x1 x2 x3 x4 x5 4 x1 1 2/5 4/5 1/5 0 48 120

0 x5 0 7/5 -1/5 -4/5 1 18 90/7

Baris c 0 7/5 4/5 -4/5 0 192

cB cj

basis

4 3 4 0 0 Konstanta Rasio

x1 x2 x3 x4 x5 4 x1 1 0 30/35 15/35 -10/35 300/7 50

3 x2 0 1 -1/7 -4/7 5/7 90/7

Baris c 0 0 1 0 -1 210

cB cj

basis

4 3 4 0 0 Konstanta Rasio

x1 x2 x3 x4 x5 4 x3 35/30 0 1 1/2 -1/3 50

3 x2 1/6 1 0 -1/2 2/3 20

Baris c -7/6 0 0 -1/2 -2/3 260

Solusi optimal : x1 = 0 ; x2 = 20 ; x3 = 50 ; z = 260

Maka keputusan terbaik untuk perusahaan tersebut adalah memproduksi 0 produk 1, 20 produk 2, dan

50 produk 3, yang menghasilkan pendapatan Rp. 2.600.000,-

Nama : NIM :

cB cj

basis

4 3 4 0 0 Konstanta Rasio

x1 x2 x3 x4 x5 0 x4 5 2 4 1 0 240 48

0 x5 4 3 3 0 1 210 105/2

Baris c 4 3 4 0 0 0

cB cj

basis

4 3 4 0 0 Konstanta Rasio

x1 x2 x3 x4 x5 4 x3 5/4 1/2 1 1/4 0 60 120

0 x5 1/4 3/2 0 -3/4 1 30 20

Baris c -1 1 0 -1 0 240

cB cj

basis

4 3 4 0 0 Konstanta Rasio

x1 x2 x3 x4 x5 4 x3 7/6 0 1 1/2 -1/3 50

3 x2 1/6 1 0 -1/2 2/3 20

Baris c -7/6 0 0 -1/2 -2/3 260

Solusi optimal : x1 = 0 ; x2 = 20 ; x3 = 50 ; z = 260

Maka keputusan terbaik untuk perusahaan tersebut adalah memproduksi 0 produk 1, 20 produk 2, dan

50 produk 3, yang menghasilkan pendapatan Rp. 2.600.000,-

b. Jika harga produk 3 meningkat sehingga keuntungan per unit menjadi Rp 50.000,- apakah perusahaan harus mengubah keputusannya? Jelaskan.

Misalnya harga produk 3 adalah c3.

cB cj

basis

4 3 c3 0 0 Konstanta Rasio x1 x2 x3 x4 x5

c3 x3 7/6 0 1 1/2 -1/3 50

3 x2 1/6 1 0 -1/2 2/3 20

Baris c -7/6 0 0 -1/2 -2/3 260

1 = 4 3, 3 7/61/6

= 4 73

6

3

6=

21

6

736

1 = 21 73

6

4 = 0 3, 3 1/21/2

= 0 32

+ 3

2=

3

2

32

4 = 3 3

2

5 = 0 3, 3 1/32/3

= 0 + 33

6

3=

6

3+

33

5 = 6 + 3

3

Nama : NIM :

Agar kondisi optimal tidak berubah, maka 1 , 4 , dan 5 , harus tetap negatif :

1 0 21 73

6 0

21

6

736

3 3

4 0 3 3

2 0

3

2

32

3 3

5 0 6 + 3

3 0

6

3

33

3 6

Maka, 3 3 6 Dengan demikian, jika harga produk 3 ditingkatkan dari Rp 40.000,- menjadi Rp 50.000,-, keputusan perusahaan tidak berubah, karena keduanya berada dalam rentang 3 3 6.

c. Bila ada pihak lain yang menawarkan tambahan pasokan bahan baku sebanyak 150 kg, apakah

perusahaan harus menerima tawaran tersebut? Jelaskan.

Pembatas bahan baku : 4 x1 + 3 x2 + 3 x3 210

Jika ada tambahan bahan baku sejumlah 150 kg, maka pembatas menjadi 4 x1 + 3 x2 + 3 x3 360

= 2402

1 = 1/2 1/31/2 2/3

1 = 1/2 1/31/2 2/3

2402

= 120

23

120 + 22

3

1 0

120 23

0 2 360

120 +22

3 0 2 180

Rentang nilai shadow price untuk pembatas bahan baku adalah 180 2 360. Artinya, pada range

ini, perubahan nilai pada ruas kanan pembatas akan mengubah nilai fungsi tujuan. Dengan demikian,

peningkatan jumlah bahan baku akan meningkatkan pendapatan sehingga disarankan bahwa perusahaan

menerima tawaran tersebut.

Nama : NIM :

4. Maximize Z = x1 + 3 x2 2 x3

Subject to :

2 x1 x3 3

4 x1 + x2 5

x1 + 2 x2 4

x1, x2, x3 0

(bonus poin : 2)

Fasa 1:

Bentuk standar :

2X1 X3 X4 + X7 = 3 (0.5 poin)

4X1 + X2 X5 + X8 = 5 (0.5 poin)

X1 + 2X2 + X6 = 4 (0.5 poin)

X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8 0 (0.5 poin)

Fungsi tujuan : minimasi W = X7 + X8 (0.5 poin)

Tabel 1 (5 poin)

Cj 0 0 0 0 0 0 1 1

CB basis X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 konstanta

1 X7 2 0 -1 -1 0 0 1 0 3

1 X8 4 1 0 0 -1 0 0 1 5

0 X6 1 2 0 0 0 1 0 0 4

Baris c -6 -1 1 1 1 0 0 0 W=8

Tabel 2 (5 poin)

Cj 0 0 0 0 0 0 1 1

CB basis X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 konstanta

1 X7 0 -2/4 -1 -1 2/4 0 1 -2/4 2/4

0 X1 1 0 0 -1/4 0 0 5/4

0 X6 0 7/4 0 0 1 0 -1/4 11/4

Baris c 0 2/4 1 1 -2/4 0 0 3/2 W=2/4

Tabel 3 (5 poin)

Cj 0 0 0 0 0 0 1 1

CB basis X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 konstanta

0 X5 0 -1 -2 -2 1 0 2 -1 1

0 X1 1 0 -2/4 -2/4 0 0 2/4 0 6/4

0 X6 0 2 2/4 2/4 0 1 -2/4 0 10/4

Baris c 0 0 0 0 0 0 1 1 W=0

Nama : NIM :

Fasa 2

Maksimasi Z = x1 + 3 x2 2 x3 (0.5 poin)

Tabel 1 (5 poin)

Cj 1 3 -2 0 0 0

CB basis X1 X2 X3 X4 X5 X6 konstanta

0 X5 0 -1 -2 -2 1 0 1

1 X1 1 0 -2/4 -2/4 0 0 6/4

0 X6 0 2 2/4 2/4 0 1 10/4

Baris c 0 3 -3/2 0 0 Z = 6/4

Tabel 2 (5 poin)

Cj 1 3 -2 0 0 0

CB basis X1 X2 X3 X4 X5 X6 konstanta

0 X5 0 0 -7/4 -7/4 1 1/2 18/8

1 X1 1 0 -1/2 -1/2 0 0 6/4

3 X2 0 1 1/4 0 1/2 10/8

Baris c 0 0 -9/4 -1/4 0 -3/2 Z = 42/8

Nama : NIM :

Nama : NIM :

Nama : NIM :

Nama : NIM :