UKURAN VARIASI ATAU DISPERSI (PENYEBARAN)

Almuntofa Purwantoro, ST., MT.

Ukuran-ukuran Statistik

1. Ukuran Tendensi Sentral (Central tendency measurement): Rata-rata (mean) Nilai tengah (median) Modus

2. Ukuran Lokasi (Location measurement): Persentil (Percentiles) Kuartil (Quartiles) Desil (Deciles)

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

3. Ukuran Dispersi/Persebaran (Dispersion measurement): Jarak (Range) Ragam/Varian (Variance) Simpangan Baku (Standard deviation) Rata-rata deviasi (Mean deviation)

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

Ukuran Dispersi Penyebaran adalah perserakan data

individual terhadap nilai rata-rata.

Data homogen (tidak bervariasi) memiliki penyebaran (dispersi) yang kecil, sedangkan data yang heterogen (sangat bervariasi) memiliki penyebaran yang besar.

Pengukuran Dispersi Adalah Metode Untuk Menggambarkan Bagaimana Suatu Kelompok

Data Menyebar Terhadap Pusat Data

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

Mengapa mempelajari Dispersi Untuk mengukur Tendensi Sentral

(mean, median dan modus) yang hanya menitikberatkan pada pusat data, tapi tidak memberikan informasi tentang sebaran nilai data tersebut.

Untuk membandingkan sebaran data dari dua atau lebih distribusi data.

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

Berdasarkan besar kecilnya penyebaran, kelompok data dibagi menjadi dua, yaitu :

• Kelompok data homogenPenyebaran relatif kecil Jika seluruh data sama, maka disebut

kelompok data homogen 100%.

• Kelompok data heterogen Penyebarannya relatif besar.

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

Homogen dan Heterogen DataI. 50, 50, 50, 50, 50

II. 30, 40, 50, 60, 70

III. 10, 20, 40, 80, 100

Ketiga kelompok data mempunyai rata-rata hitung yang sama, yaitu :

50 X

HomogenAgak bervariasiHeterogen

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

Kegunaan Pengukuran Dispersi Ukuran penyebaran dapat digunakan untuk

menentukan apakah nilai rata-ratanya benar-benar representatif atau tidak.

Ukuran penyebaran dapat digunakan untuk mengadakan perbandingan terhadap variabilitas data.

Ukuran penyebaran dapat membantu penggunaan ukuran statistika, misalnya dalam pengujian hipotesis, apakah dua sampel berasal dari populasi yang sama atau tidak.

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

Apabila suatu kelompok data mempunyai penyebaran yang tidak sama terhadap nilai rata-ratanya (heterogen), maka dikatakan bahwa nilai rata-rata tersebut tidak representatif.

Macam-macam Pengukuran Dispersi

Nilai Jarak (Range) Rata-rata Simpangan /Deviasi Rata-rata

(Mean Deviation) Variasi (Variance) Simpangan Baku (Standard Deviation)

1. Dispersi absolut / mutlakDigunakan untuk mengetahui tingkat variasi nilai observasi pada suatu data.

2. Dispersi relatifDigunakan untuk membandingkan tingkat variasi nilai observasi pada suatu data dengan tingkat variasi nilai observasi data-data lainnya. Koefisien Variasi (Coeficient of Variation)Al

mun

tofa

Pur

wan

toro

, ST.

, MT.

Nilai Jarak/Jangkauan (Range) Merupakan beda antara

pengukuran nilai terbesar dan nilai terkecil yang terdapat dalam sebuah distribusi.

Penentuan range sebuah distribusi merupakan pengukuran dispersi yang paling sederhana.

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

Contoh 1:A : 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10B : 100 100 100 100 100 10 10 10 10 10C : 100 100 100 90 80 30 20 10 10 10

X = 55R = 100 – 10 = 90

Rata-rata

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

1. Rentang (R) Nilai Jarak: Selisih antara nilai tertinggi (Xt) dan terendah (Xr) dalam suatu distribusi data. Sangat dipengaruhi oleh nilai ekstrim.Rumus : R = Xt - Xr

2. Rentang antar kuartil (RAK) :Median didefinisikan sebagai nilai yang membagi seluruh rentang nilai menjadi dua bagian yang sama.Kuartil didefinisikan sebagai nilai yang membagi seluruh rentang nilai menjadi empat bagian yang sama. Al

mun

tofa

Pur

wan

toro

, ST.

, MT.

Nilai Range (r) kecil, Berarti bahwa suatu Distribusi memiliki rangkaian Data yang lebih Homogen

Semakin kecil nilai r maka kualitas data akan semakin baik, sebaliknya semakin besar nilai r, maka kualitasnya semakin tidak baik.

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

Contoh 2:TOKO KEUNTUNGAN

(Rp)A 4000B 5000C 6000D 5000E 4000F 6000G 5500H 4500

8500.4500.5000.6000.4000.5000.6000.5000.4

X

000.5X

Dari data tabel di samping rata-rata keuntungan:

Variasi Relatif Kecil (Homogen)

01000200030004000500060007000

A B C D E F G H

KEUNTUNGANAlm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

Contoh 3:TOKO KEUNTUNGAN

(Rp)A 1000B 9000C 5000D 4000E 6000F 5000G 9500H 5000

8000.5500.9000.5000.6000.4000.5000.9000.1

X

000.5X

Dari data tabel di samping rata-rata keuntungan:

Variasi Relatif Besar (Heterogen)

0

2000

4000

6000

8000

10000

A B C D E F G H

KEUNTUNGANAlm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

Perbandingan

Kedua Contoh tersebut di atas memiliki nilai Rata-rata sama = 5.000

Tetapi kedua Toko tersebut memiliki Perbedaan dalam penyebarannya

Contoh (2) Range = Kecil = 6.000-4.000 = 2.000 (Homogen)

Contoh (3) Range = Besar = 9.500 – 1.000 = 8.500 (Heterogen)

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

Deviasi Rata-rata (mean deviation /Average Deviation)

Merupakan penyebaran Data atau Angka-angka atas dasar Jarak (Deviasi) dari pelbagai Angka-angka dari Rata-rata nya.

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

Makin besar simpangan, makin besar nilai deviasi rata-rata

Data tidak berkelompok

n

XXiMD

n

i

1

Keterangan : MD = Mean Deviation │ │= Tanda Nilai Absolut (Nilai Mutlak) Xi = Nilai dari data W = Menunjukkan Nilai dari X1 sampai dg Xn

n = Jumlah data µ/ X = Nilai rata-rata (mean)

ataun

XiMD

n

i

1

n

i 1

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

Rata-rata

Rata-rata

Nilai X

X - X |X – X|

100 45 4590 35 3580 25 2570 15 1560 5 550 -5 540 -15 1530 -25 2520 -35 3510 -45 45

Jumlah

0 250

Nilai X

X - X |X – X|

100 45 45100 45 45100 45 4590 35 3580 25 2530 -25 2520 -35 3510 -45 4510 -45 4510 -45 45

Jumlah

0 390

Kelompok A Kelompok B

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

2510250

MD 3910390

MD

Contoh 1:TOKO KEUNTUNGA

N (Rp)A 4.000

B 5.000

C 6.000

D 5.000

E 5.000

RATA-RATA 5.000

Keuntungan yang diperoleh 5 Toko tersebut adalah:

Xi X

4.000 5.000 1.000

5.000 5.000 0

6.000 5.000 1.000

5.000 5.000 0

5.000 5.000 0

TOTAL 2.000

)( XXi

4005000.21

n

XXiMD

n

i

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

Data berkelompok

nXMF

MD

Keterangan :

MD = Mean Deviation │ │ = Tanda Nilai Absolut (Nilai Mutlak) F = Frekuensi pada masing-masing kelas M = Mid point/titik tengah/class mark n = Jumlah frekuensi (Ʃf) X / µ = Nilai rata-rata (mean)

ataunMF

MD

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

Contoh:

NILAI F(f) M(Titik Tengah) F × M X

50 – 55 1 52,5 52,5 75,52 23,02 23,0256 – 61 2 58,5 117 75,52 17,02 34,0462 – 67 17 64,5 1.096,5 75,52 11,02 187,3468 – 73 13 70,5 916,5 75,52 5,02 65,2674 – 79 24 76,5 1.836 75,52 0,98 23,5280 – 85 9 82,5 742,5 75,52 6,98 62,8286 – 91 7 88,5 619,5 75,52 12,98 90,8692 – 97 7 94,5 661,5 75,52 18,98 132,86

Jumlah 80 6.042 619,82

XM XMF (

14,780

82,619

n

XMFMD

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

Cara menghitung MD

1. Carilah nilai Mid Point (M) / titik tengah pada masing-masing kelas.

2. Carilah Deviasi Mutlak (absolut) yaitu selisih antara Mid point dengan nilai rata-rata (M atau X )

3. Kalikan hasil no.2 dengan masing-masing frekuensi kelasnya.

4. Jumlahkan masing-masing hasil no.3

5. Bagilah hasil no.4 dengan n, maka akan diperoleh MD.

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

XM

XMF (

XMF (

KERJAKAN SOAL BERIKUT

CARI NILAI MD ….

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

NILAI F(f) M (Titik Tengah) F×M X

1-5 16-10 211-15 16

16-20 1321-25 12

26-30 3

XM XMF (

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

Variasi (Variance) Rata-rata kuadrat selisih dari semua

nilai data terhadap nilai rata-rata hitung.

Data tidak berkelompok:Populasi Variance

Sampel Variance

N

i N

- X 1

2

2

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

n

ii XX

nS

1

22 1

1

n

i

n

ii

i n

XX

n 1

2

122

11 Satau

Data berkelompok:Populasi Variance

Sampel Variance

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

1

2

2

N

Mfk

iii

1 1

2

2

n

XXfS

k

iii

σ2 = Varians populasiS2 = Varians sampel(Xi-µ) = Simpangan

dari observasi terhadap rata-rata sebenarnya.

= Simpangan dari observasi terhadap rata-rata sampel

N = Populasin = Sampel

XX i

Simpangan Baku/Standar Deviasi Merupakan akar pangkat dua dari

variasi. Untuk data tidak berkelompok:

Populasi Standar Deviasi:

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

N

XX

Natau

N

iiN

ii

N

i

2

1

1

21

2

1 N

- X

Sampel Standar Deviasi:Al

mun

tofa

Pur

wan

toro

, ST.

, MT.

n

XX

nSatau

n

X - XS

n

iin

ii

n

ii

2

1

1

21

2

1

n

XX

nSatau

n

X - XS

n

iin

ii

n

ii

2

1

1

21

2

11

1

Rumus I

Rumus II

Untuk data berkelompok:

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

Populasi Standar Deviasi:

atau

1

2

N

- μMfk

iii

Mi = nilai tengah dari kelas ke-i, i = 1, 2, …. k

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

2

11

2

N

df

N

dfc

k

iii

k

iii

Untuk Kelas Interval yang samac = Besarnya kelas interval

fi = Frekuensi kelas ke-idi = deviasi simpangan dari

kelas ke-i terhadap titik asal asumsi

Mi = nilai tengah kelas ke-i

Untuk Kelas Interval yang tidak sama

N

MfMf

N

k

iiik

iii

2

1

1

21

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

Sampel Standar Deviasi:Untuk Kelas yang sama

2

11

2

11

n

df

n

dfcS

k

iii

k

iii

Untuk Kelas Interval yang tidak sama

111

2

1

1

2

n

MfMf

nS

k

iiik

iii

Contoh :

Cari nilai varians dan standar deviasi dari sampel data dari tabel berikut:

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

Data

4050607080

Jawaban:Rata-rata data

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

X X2

4050607080

-20-100

1020

400100

0100400

1.6002.5003.6004.9006.400

1.000 19.000

X - X 2X - X

60 5

80) 70 60 50 (40

Varians: 25015

000.1 1

1 1

22

n

ii XX

nS

Standar variasi: 81,15250 S

atau

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

2X - X 2X - XfVarians:

Standar variasi: 81,15250 S

2505

300000.1915

1 S

11 S

22

1

2

122

n

i

n

ii

i n

XX

n

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

LATIHAN SOAL

Soal 1:

Hitunglah Simpangan Baku/Standar Deviasi dari data berikut:

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T. Kel. Karyawan I

Kel. Karyawan II

Kel. Karyawan III

X1

X2

X3

X4

X5

5050505050

5040306070

10040802010

X: upah bulanan karyawan suatu perusahaan (dalam ribuan rupiah)

Soal 2:

Modal dari 40 populasi perusahaan (dlm juta rupiah) adalah sebagai berikut:

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

138 164 150 132 144 125 149 157146 158 140 147 136 148 152 144168 126 138 176 163 119 154 165146 173 142 147 135 153 140 135161 145 135 142 150 156 145 128

Kemudian data dikelompokkan dan disajikan dalam bentuk tabel frekuensi.Hitunglah standar deviasi terhadap data tersebut?

Jawaban 2:

Tabel frekuensi:

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

Modal Nilai Tengah (Median) Sistem Tally f

118 – 126127 – 135136 – 144145 – 153154 – 162163 – 171172 – 180

Jumlah

Keruncingan distribusi data Keruncingan distribusi data adalah

derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data. Keruncingan distribusi data disebut juga kurtosis.

Ada 3 jenis derajat derajat keruncingan yaitu- Leptokurtis : distribusi data yang

puncaknya relatif tinggi- Mesokurtis : distribusi data yang

puncaknya normal- Platikurtis : distribusi data yang

puncaknya terlalu rendah atau terlalu mendatar

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

Skewness / Kemiringan distribusi data

Kurva Simetris

Mo

Md X

Kurva Condong Positif

Kurva Condong Negatif

POSITIF CONDONG KEKANAN (Juling Pos)

Mo MedMean

+

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

NEGATIF CONDONG KEKIRI (Juling Neg)

MoMedMean

-

FREKUENSI

NILAI

Dengan rumus pearson

Dimana :α = derajat kemiringan pearsonX = rata – rata hitungMod = modusS = standar deviasiMed = median

Rumus Kemiringan :

S

- MedX atauS

- ModX 3

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

Bila α= 0 atau mendekati nol maka dikatakan distribusi data simetris, bila α bertanda negatif maka dikatakan distribusi data miring kekiri, dan bila α bertanda positif maka dikatakan distribusi data miring ke kanan.

Data tidak berkelompok

dimana α3 = derajat kemiringan X = rata-rata hitungS = standar deviasin = Σf

)(1 1

333 XX

n.S

n

ii

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

Data Berkelompok

Jika α3 = 0, maka distribusi data simetriJika α3 < 0, maka distribusi data miring ke kiriJika α3 > 0, maka distribusi data miring ke kanan

Dengan rumus bowley α = Q3 + Q1 – Q2

Q3 – Q1Jika distribusinya simetri, maka Q3 – Q2 = Q2 – Q1 sehingga Q3 + Q1 – 2Q2 = 0, yang mengakibatkan α = 0. sebaliknya jika distribusinya miring, maka ada dua kemungkinan, yaitu Q1 = Q2, atau Q2 = Q3. dalam hal Q1 = Q2 maka α = 1 dan dalam hal Q2 = Q3, maka α = -1

)1(2)1()1(313 1 1

3

1

2

1

333 df

ndf

ndf

ndf

nSc k

i

k

iiiii

k

iii

k

iii

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

KURTOSIS (KELANCIPAN)

f Leptokurtis

Platikurtis

SIMETRISMEAN = MEDIAN = MODUS

Mesokurtis

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.

Data tidak berkelompok:

Data berkelompok:

derajat keruncingan lebih mudah dihitung dengan memakai cara transformasi, yaitu ;Jika α4 = 3, maka keruncingan distribusi data disebut

mesokurtisJika α4 > 3, maka keruncingan distribusi data disebut leptokurtisJika α4 < 3, maka keruncingan distribusi data disebut platikurtis

Rumus Keruncingan

)(1

41

4

4 S

XXn

n

ii

)(1

41

4

4 S

XXfn

n

iii

Alm

unto

fa P

urw

anto

ro, S

T., M

T.