Ua

kn

u rU

a n Ka

e c o n d o n g a n ( S k e wu

n e ss

si

)sd k u r n K e r u n c i n g a n ( K r t o )

D i s i a p k a n o l e h : B a m b a n g S u t r i s n o , S . E . , M . S . M .

bambang.sutrisno@umj.ac.id

U k u r a n K e c o n d o n g a n ( S k e w n e s s )

❑ Ukuran kecondongan merupakan tingkat ketidaksimetrisan atau

kejauhan simetri dari sebuah distribusi.

Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median, dan❑

besarnya (Mean ≠ Median ≠ Modus), sehinggamodus yang tidak sama

distribusi akan

condong.

terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan

2

U k u r a(

nS

K e c oe

ns

ds

o)

n g a n

k e w n

Rumus Kecondongan:

3

Kurva Sim etris

Md

=Md=MoX

Ukuran Kecondongan (Skewness)

❑ Kecondongan sebuah grafik dapat dilihat dari nilai mean, median, danmodusnya.

Apabila:1. Mean = Median = Modus maka kurva simetris2. Modus < Median < Mean maka kurva condong positif (condong ke kanan)3. Mean < Median < Modus maka kurva condong negatif (condong ke kiri)

U k u r a(

nS

K e c o n d o n g a n

k e w n e s s )

❑ Nilai Sk akan berkisar dari -3 sampai +3, apabila nilai Sk negatif

menunjukkan kurva menceng ke kiri atau menceng negatif, sebaliknya jika

Sk positif, maka kurva condong ke kanan atau condong positif. Apabila Sk

nilainya sama dengan 0 (nol)

nol,

maka

akan

kurvanya

semakin

simetris. Kurva dengan nilai

Sk semakin mendekati mendekati kurva berbentuk

normal.

4

U k u r a n K e r u n c i n g a n ( K u r t o s i s )

❑Keruncingan atau kurtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang

secara relatif terhadap suatu distribusi normal.

biasanya diambil

❑Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam yaitu:

1. Leptokurtik (4 > 3)

Merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi.

2. Platikurtik (4 < 3)

Merupakan distribusi

3. Mesokurtik (4 = 3)

Merupakan distribusi

yang memiliki puncak hampir mendatar.

yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar.

5

U k u r a n K e r u n c i n g a n ( K u r t o s i s )

6

Ker uncingan Kur va

Platykurtic Mesokurtic

Leptokurtic

U k u r a n K

(4)

e r u n c i n g a n ( K u r t o s i s )

❑ Koefisien kurtosis untuk data berkelompok adalah:

dimana:

α4

n

f

X

μ

σ

=

=

=

=

=

=

koefisien kurtosis

jumlah data

jumlah frekuensi kelas

nilai tengah kelas

nilai rata-rata hitung

standar deviasi

data

8

CONTOH SOAL

Perhatikan distribusi frekuensi di bawah ini.

a. Hitunglah nilai rata-rata hitung (mean), median, modus,dan standar deviasi.

b. Hitunglah koefisien kecondongan (skewness) dankeruncingan (kurtosis).

Interval Frekuensi (f)

160-303 2

304-447 5

448-591 9

592-735 3

736-879 1

PENYELESAIAN

n = 20

μ = ∑fx / n = 9.814 / 20 = 490,7

Standar deviasi =

σ =∑𝑓.(𝑋−𝜇)2

𝑛−1=

398.131,2

19= 144,8

Titik Tengah (X) f f.X X - μ (X - μ)2 f.(X - μ)2 (X - μ)4 f.(X - μ)4

231,5 2 463,0 -259,2 67.184,6 134.369,3 4.513.775.851,9 9.027.551.703,9

375,5 5 1.877,5 -115,2 13.271,0 66.355,2 176.120.502,7 880.602.513,4

519,5 9 4.675,5 28,8 829,4 7.465,0 687.970,7 6.191.736,4

663,5 3 1.990,5 172,8 29.859,8 89.579,5 891.610.044,8 2.674.830.134,5

807,5 1 807,5 316,8 100.362,2 100.362,2 10.072.579.217,8 10.072.579.217,8

9.814,0 398.131,2 22.661.755.306,0Jumlah

PENYELESAIAN

• Letak median n/2 =20/2=10; jadi terletak pada frek.kumulatif antara 7-16

• Nilai Median

Md = 447,5 + (20/2) - 7 x 1449

= 495,5

Interval Frekuensi Tepi Kelas Frek. Kumulatif

160 - 303 2 159,5 0

304 - 447 5 303,5 2

448 - 591

447,5 7

Letak Median

592 - 735 3 591,5 16

736 - 879 1 735,5

879,5

19

20

9

PENYELESAIAN

• Letak modus padafrekuensi kelas palingbesar = 9 kelas 448-591.

• Nilai Modus

4Mo = 447,5 +4+ 6

= 447,5+ 57,6

= 505,1

Interval Frekuensi Tepi Kelas

160 - 303 2 159,5

304 - 447 5 303,5

448 - 591 d1

9

447,5

LetakModus

592 - 735

d2

3 591,5

736 - 879 1 735,5

879,5

x 144

PENYELESAIAN

μ = 490,7

Md = 495,5

Mo = 505,1

σ = 144,8

Sk =490,7 −505,1

144,8atau Sk =

3(490,7−495,5)

144,8

Sk = -0,1 Sk = -0,1

Sk menunjukkan nilai negatif. Jadi kurva condong negatif (ke kiri). Hal ini disebabkan

adanya nilai yang sangat kecil sehingga menurunkan nilai rata-rata hitungnya. Angka

-0,1 menunjukkan kedekatan dengan nilai 0 sehingga kurva tersebut

kecondongannya tidak terlalu besar atau mendekati kurva normal.

PENYELESAIAN

μ = 490,7; Md = 495,5, Mo = 505,1; σ = 144,8

α4 =(1/20)(22.661.755.306)

(144,8)4= 2,58

Hasil koefisien keruncingan 2,58 dan lebih kecil dari 3, maka bentuk kurva adalah

platikurtik, sehingga data terdistribusi agak merata, di mana puncaknya termasuk

rendah. Hal tersebut menunjukkan tidak adanya frekuensi pada suatu kelas yang

sangat ekstrim dibandingkan dengan frekuensi pada kelas lainnya.

Titik Tengah (X) f f.X X - μ (X - μ)2 f.(X - μ)2 (X - μ)4 f.(X - μ)4

231,5 2 463,0 -259,2 67.184,6 134.369,3 4.513.775.851,9 9.027.551.703,9

375,5 5 1.877,5 -115,2 13.271,0 66.355,2 176.120.502,7 880.602.513,4

519,5 9 4.675,5 28,8 829,4 7.465,0 687.970,7 6.191.736,4

663,5 3 1.990,5 172,8 29.859,8 89.579,5 891.610.044,8 2.674.830.134,5

807,5 1 807,5 316,8 100.362,2 100.362,2 10.072.579.217,8 10.072.579.217,8

9.814,0 398.131,2 22.661.755.306,0Jumlah

Tugas Mandiri

Berikut ini adalah distribusi frekuensi nilai mata kuliahStatistik Sosial dari 40 mahasiswa FISIP UMJ Semester Genaptahun akademik 2017/2018.

a. Carilah nilai rata-rata hitung (mean), median, modus, danstandar deviasi.

b. Hitunglah tingkat kecondongan (skewness) dankeruncingan (kurtosis).

Nilai Frekuensi (f)

50-59 2

60-69 11

70-79 17

80-89 6

90-99 4

TERIMA KASIH.