Post on 07-Dec-2021
❖ Uji Hipotesis untuk Rataan 1 Populasi
❖ Uji Hipotesis untuk Rataan 2 Populasi
❖ Uji Hipotesis untuk Variansi 1 Populasi
❖ Uji Hipotesis untuk Variansi 2 Populasi
1
UJI HIPOTESIS
SV Analisis Data
2
PENGERTIAN UJI HIPOTESIS
1. Hipotesis nol (H0) ; pernyataan yang mengandung tanda kesamaan (=, ≤ , atau ≥)
2. Hipotesis tandingan (H1) ; tandingan hipotesis H0, mengandung tanda , >, atau <.
▪ Hipotesis adalah suatu anggapan yang mungkinbenar atau tidak mengenai satu populasi ataulebih yang perlu diuji kebenarannya.
▪ Dalam statistika, hipotesis yang akan diujidibedakan menjadi:
SV Analisis Data
3
GALAT (ERROR)
H0 benar H0 salah
H0 ditolakP(menolak H0 | H0 benar)
= galat tipe I = αkeputusan benar
H0 tidakditolak
keputusan benarP(tidak menolak H0 | H0
salah)= galat tipe II = β
yang dimanfaatkan dalam pokok bahasan ini
SV Analisis Data
4
SKEMA UJI HIPOTESIS
Hipotesis Statistik
H0
H1
•Hipotesis yang ingin diuji•Memuat suatu kesamaan (=, ≤ atau ≥)•Dapat berupa
- hasil penelitian sebelumnya- informasi dari buku atau- hasil percobaan orang lain
•Hipotesis yang ingin dibuktikan•Disebut juga hipotesis alternatif•Memuat suatu perbedaan (≠, > atau <)
Keputusan
H0 ditolak H0 tidak ditolak
H1 benar
Kesimpulan Kesimpulan
Tidak cukupbukti untukmenolak H0
Kesalahan
Tipe I
Menolak H0 padahal H0 benar
P(tipe I) = α= tingkat signifikansi
Tipe II
Menerima H0 padahal H0 salah
P(tipe I) = β
???
mungkin terjadi
SV Analisis Data
STATISTIK UJI & TITIK KRITIS
Statistik uji digunakan untuk menguji hipotesis statistik yang telah dirumuskan. Notasinya berpadanan dengan jenisdistribusi yang digunakan.
Titik kritis membatasi daerah penolakan dan penerimaan H0. Diperoleh dari tabel statistik yang bersangkutan.
H0 ditolak jika nilai statistik uji jatuh di daerah kritis.
5
1 -
daerah
kritis = /2
titik kritis
daerah
penerimaan H0
titik kritis
0
titik kritis
1 -
daerah
penerimaan H0
daerah
kritis
daerah
kritis = /2
diperoleh dari
tabel statistikSV Analisis Data
Uji Rataan Satu Populasi 6
1. H0 : = 0 vs H1 : 0
2. H0 : = 0 vs H1 : > 0
3. H0 : = 0 vs H1 : < 0
0 adalah suatu konstanta yang diketahui
uji dua arah
uji satu arah
SV Analisis Data
Statistik Uji untuk Rataan Satu Populasi
1. Kasus σ2 diketahui
7
0
/
−=
XZ
n
0
/
−=
XT
s n
2. Kasus σ2 tidak diketahui
~ N(0,1)
~ t(n-1)
Tabel Z (normal baku)
Tabel t
SV Analisis Data
Daerah Kritis Uji Rataan Satu Populasi
8
σ2 diketahui σ2 tidak diketahui
Statistik uji : Z T
H0 : = 0 vs H1 : 0 Z < - Zα/2 atau Z > Zα/2 T < - Tα/2 atau T > Tα/2
H0 : = 0 vs H1 : > 0 Z > Zα T > Tα
H0 : = 0 vs H1 : < 0 Z < - Zα T < - Tα
titik kritis dengan derajat kebebasan n - 1
SV Analisis Data
Uji Rataan Dua Populasi 9
1. H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 0
2. H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 > 0
3. H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 < 0
0 adalah suatu konstanta yang diketahui
uji dua arah
uji satu arah
SV Analisis Data
Statistik Uji untuk Rataan Dua Populasi
1. Kasus σ12 dan σ2
2 diketahui
10
2. Kasus σ12 dan σ2
2 tidak diketahui dan σ12 ≠ σ2
2
( )1 2 0
H2 2
1 2
1 2
X X μZ =
σ σ
n n
− −
+
( )1 2 0
H2 2
1 2
1 2
X X μT =
S S
n n
− −
+
3. Kasus σ12 dan σ2
2 tidak diketahui dan σ12 = σ2
2
( )1 2 0
H
p
1 2
X X μT =
1 1S
n n
− −
+
dengan2 2
2 1 1 2 2p
1 2
(n 1)S (n 1)SS =
n n 2
− + −
+ −
SV Analisis Data
Daerah Kritis Uji Rataan Dua Populasi
11
σ12, σ2
2
diketahuiσ1
2, σ22 tidak diketahui
Statistik uji : Z T
σ12 = σ2
2 σ12 ≠ σ2
2
Derajat Kebebasan n1 + n2 - 2
H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 0
Z < - Zα/2 atauZ > Zα/2
T < - Tα/2 atau T> Tα/2
T < - Tα/2 atauT > Tα/2
H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 > 0
Z > Zα T > Tα T > Tα
H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 < 0
Z < - Zα T < - Tα T < - Tα
22 2
1 2
1 2
2 22 2
1 2
1 1 2 2
S S
n nv =
S S1 1
(n 1) n (n 1) n
+
+
− −
SV Analisis Data
Uji untuk Rataan Berpasangan
Statistik uji menyerupai statistik untuk kasus satu populasi dengan variansi tidak diketahui.
12
0 ;/d
D μT =
S n
−
1. H0 : d = 0 vs H1 : d 0
2. H0 : d = 0 vs H1 : d > 0
3. H0 : d = 0 vs H1 : d < 0
SV Analisis Data
Contoh 113
Berdasarkan 100 laporan kematian di AS yang diambil secara acak, diperoleh bahwa rata-rata usia saat meninggal adalah 71.8 tahun dengan simpangan baku 8.9 tahun. Hal ini memberikandugaan bahwa rata-rata usia meninggal di ASlebih dari 70 tahun.a. Nyatakan dugaan tersebut dalam pernyataan
hipotesis statistikb. Untuk tingkat signifikansi 5%, benarkah dugaan
tersebut?
www.arlingtonnational.com
SV Analisis Data
Solusi 14
Diketahui :
Ditanya:
a. Hipotesis statistik
b. Kesimpulan uji hipotesis
Jawab:
Parameter yang akan diuji : μ
a. Rumusan hipotesis:
H0: μ = 70
H1: μ > 70 (uji satu arah)
X 71.8,= s 8.9,=0 70, = 0,05 =
SV Analisis Data
b. α = 5%=0.05, maka titik kritis t0.05,(99) = 1.66
c. Menghitung statistik uji:
0x 71,8 70t 2,02
s 8,9n 100
− −= = =
d. Karena t > t0.05,(99) , maka t berada pada
daerah penolakan sehingga keputusannya
H0 ditolak.
Jadi dugaan tersebut benar bahwa rata-rata
usia meninggal di AS lebih dari 70 tahun.
15SV Analisis Data
Contoh 216
Suatu percobaan dilakukan untukmembandingkan keausan karenagosokan dari dua bahan yang dilapisi.Dua belas potong bahan 1 diuji denganmemasukan tiap potong bahan ke dalammesin pengukur aus. Sepuluh potongbahan 2 diuji dengan cara yang sama.Dalam tiap hal, diamati dalamnyakeausan. Sampel bahan 1 memberikanrata-rata keausan (sesudah disandi)sebanyak 85 satuan dengan simpanganbaku sampel 4, sedangkan sampel bahan2 memberikan rata-rata keausansebanyak 81 dengan simpangan bakusampel 5. Dapatkah disimpulkan, padataraf keberartian 5%, bahwa rata-ratakeausan bahan 1 melampaui rata-ratakeausan bahan 2 lebih dari dua satuan?Anggaplah kedua populasi berdistribusihampir normal dengan variansi yangsama.
sympatex.com
SV Analisis Data
Solusi 17
Misalkan: μ1 dan μ2 menyatakan rata-rata populasi bahan 1 dan populasi bahan 2. Variansi populasi kedua bahan tidak diketahui, yang diketahui adalah variansi sampel. Diasumsikan variansi populasi kedua bahanadalah sama. Rumusan hipotesis yang diujiadalah:a. Pernyataan hipotesis:
H0 : μ1 - μ2 = 2H1 : μ1 - μ2 > 2 (uji satu arah)
SV Analisis Data
18
b. Tingkat keberartian, α = 0.05 (hanya 1 arah)
c. Menghitung statistik
1 1 1
2 2 2
x 85, s 4, n = 12
x =81, s =5, n =10
= =
d. Kita gunakan statistik uji untuk variansi kedua populasi tak
diketahui tapi dianggap sama, yaitu( )1 2 0
H
p
1 2
x x μt =
1 1S
n n
− −
+
dengan 2 2
1 1 2 2p
1 2
(n 1)S (n 1)S (11)(16) (9)(25)S = 4.478
n n 2 12 10 2
− + − += =
+ − + −
Maka diperoleh
( )1 2 0
H
p
1 2
x x μ (85 81) 2t = 1.04
1 1 4.478 (1/12) (1/10)S
n n
− − − −= =
++
SV Analisis Data
e. Daerah kritis
dk = n1+n2-2 = 12 +10 - 2= 20, sehingga titik
kritisnya adalah t0.05,20 = 1.725.
f. Kesimpulan : karena t < 1.725, maka H0 tidak
ditolak.
Artinya, tidak dapat disimpulkan bahwa rata-rata
keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan
bahan 2 lebih dari 2 satuan. Atau tidak cukup
bukti untuk mengatakan bahwa rata-rata keausan
bahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan 2
lebih dari 2 satuan.
19SV Analisis Data
Contoh 3 (data berpasangan)20
Pada tahun 1976, J.A. Weson memeriksa pengaruh obat succinylcholine terhadap kadar peredaran hormon androgen dalam darah. Sampel darah dari rusa liar yang hidup bebas diambil melalui urat nadi leher segera setelah succinylcholine disuntikkan pada otot rusa. Rusa kemudian diambil lagi darahnya kira-kira 30 menit setelah suntikan dan kemudian rusa tersebut dilepaskan. Kadar androgen pada waktu ditangkap dan 30 menit kemudian diukur dalam nanogram per ml (ng/ml) untuk 15 rusa. Data terdapat pada tabel berikut
www.cottonmesawhitetail.com
SV Analisis Data
N0 Kadar androgen
(ng/ml) sesaat
setelah disuntik
Kadar androgen
(ng/ml) 30 menit
setelah disuntik
Selisih
(di)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2.76
5.18
2.68
3.05
4.10
7.05
6.60
4.79
7.39
7.30
11.78
3.90
26.00
67.48
17.04
7.02
3.10
5.44
3.99
5.21
10.26
13.91
18.53
7.91
4.85
11.10
3.74
94.03
94.03
41.70
4.26
-2.08
2.76
0.94
1.11
3.21
7.31
13.74
0.52
-2.45
-0.68
-0.16
68.03
26.55
24.66
21SV Analisis Data
22
Anggap populasi androden sesaat setelahsuntikan dan 30 menit kemudian berdistribusinormal. Ujilah, pada tingkat keberartian 5%,apakah konsentrasi androgen berubah setelahditunggu 30 menit.
SV Analisis Data
Solusi23
Ini adalah data berpasangan karena masing-masing unit
percobaan (rusa) memperoleh dua kali pengukuran
Misalkan μ1 dan μ2 masing-masing menyatakan rata-rata
konsentrasi androgen sesaat setelah suntikan dan 30
menit kemudian.
Rumusan hipotesis yang diuji adalah
H0 : μ1 = μ2 atau μD = μ1 - μ2 = 0
H1 : μ1 ≠ μ2 atau μD = μ1 - μ2 ≠ 0
Tingkat signifikansi yang digunakan adalah α = 5% = 0.05
SV Analisis Data
Rata-rata sampel dan variansi sampel untuk selisih
( di ) adalah
dd 9.848 dan s 18.474= =
Statistik uji yang digunakan adalah
0
d
d dt =
s / n
−
Dalam hal ini9.848 0
t = 2.0618.474 / 15
−=
24SV Analisis Data
Statistik uji t berdistribusi t-student dengan dk = n – 1
= 15 – 1 = 14. Pada tingkat keberartian 0.05, H0
ditolak jika t < - t0.025,14 = -2.145 atau t > t0.025,14 =
2.145.
Karena nilai t = 2.06, maka nilai t tidak berada pada
daerah penolakan. Dengan demikian, H0 tidak
ditolak. Kendati demikian, nilai t = 2.06 mendekati
nilai t0.025,14 = 2.145. Jadi perbedaan rata-rata kadar
peredaran androgen tidak bisa diabaikan.
25SV Analisis Data
Uji Hipotesis Tentang Variansi Satu Populasi 26
Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk kasus variansi satu populasi adalah
2 2 2 2
0 0 1 01. H : = vs H :
2 2 2 2
0 0 1 02. H : = vs H :
2 2 2 2
0 0 1 03. H : = vs H :
Dengan menyatakan suatu konstantamengenai variansi yang diketahui.
2
0
SV Analisis Data
Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketiga
hipotesis di atas adalah :
22
2
0
( 1)−=
n S
Jika H0 benar, maka statistik uji tersebut
berdistribusi chi-square dengan dk = n-1
27SV Analisis Data
Untuk hipotesis , tolak H0
pada tingkat keberartian α jika :
2 2 2 2
0 0 1 0H : = vs H :
2 2 2 2
1 ,( 1) ,( 1)2 2
atau − − −
n n
Untuk hipotesis , tolak
H0 pada tingkat keberartian α jika
2 2 2 2
0 0 1 0H : = vs H :
2 2
1 ,( 1)− − n
Untuk hipotesis , tolak
H0 pada tingkat keberartian α jika
2 2 2 2
0 0 1 0H : = vs H :
2 2
,( 1)− n
merupakan nilai-
nilai dari tabel distribusi chi-square dengan derajat
kebebasan n - 1
2
,( 1)2
,−n
2
1 ,( 1)2
,− −n 2
,( 1) , dan−n2
,( 1)−n
28SV Analisis Data
Uji Hipotesis Tentang Variansi Dua Populasi29
Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk uji hipotesis mengenai variansi dua populasi adalah
2 2 2 2
0 1 2 1 1 21. = H : vs H :
2 2 2 2
0 1 2 1 1 22. = H : vs H :
2 2 2 2
0 1 2 1 1 23. = H : vs H :
Dengan σ12 dan σ2
2 masing-masing adalah
variansi populasi ke-1 dan variansi populasi ke-2
SV Analisis Data
Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketiga
hipotesis di atas adalah 2
1
2
2
=S
FS
Jika H0 benar, statistik uji tersebut berdistribusi
Fisher dengan derajat kebebasan v1 = n1 – 1 dan
v2 = n2 – 1.
30SV Analisis Data
Untuk hipotesis , tolak H0
pada tingkat keberartian α jika :
Untuk hipotesis , tolak H0
pada tingkat keberartian α jika :
Untuk hipotesis , tolak H0
pada tingkat keberartian α jika :
2 2 2 2
0 1 2 1 1 2= H : vs H :
1 2 1 21 ,( , ) ,( , )2 2
atau −
v v v v
F f F f
2 2 2 2
0 1 2 1 1 2= H : vs H :
1 21 ,( , )− v vF f
2 2 2 2
0 1 2 1 1 2= H : vs H :
1 2,( , ) v vF f
1 2 1 2 1 2 1 2,( , ) 1 ,( , ) /2,( , ) 1 /2,( , ), , , dan − −v v v v v v v vf f f f adalah nilai-nilai
dari tabel distribusi Fisher dengan derajat kebebasan
v1 dan v231SV Analisis Data
Contoh 432
Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa umur baterainya berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku 0.9 tahun. Bila sampel acak 10 baterai tersebut menghasilkan simpangan baku 1.2 tahun, apakah anda setuju bahwa σ > 0.9 tahun? Gunakan taraf keberartian 5%!
www.facebook.com
SV Analisis Data
33
Solusi
Rumusan Hipotesis :H0 : σ2 = 0.81H1 : σ2 > 0.81 (uji satu arah)α = 0.05simpangan baku sampel, s = 1.2Statistik uji
Titik kritis adalah
Karena , maka H0 tidak ditolak. Jadi, simpangan baku umur baterai tidak melebihi 0.9 .
22
2
0
( 1) (9)(1.44)16
0.81
−= = =
n s
2 2
, 1 0.05,9 16.919− = =n
2 2
0.05,9
SV Analisis Data
Contoh 534
Dalam pengujian keausan kedua bahan di contoh 2, dianggap bahwa kedua variansi yang tidak diketahui sama besarnya. Ujilah anggapan ini! Gunakan taraf keberartian 0.10.
sympatex.com
SV Analisis Data
Solusi 35
Misalkan σ12 dan σ2
2 adalah variansi populasi dari masing-masing keausan bahan 1 dan bahan 2. rumusan hipotesis yang akan diuji adalah
H0: σ12 = σ2
2
H1: σ12 ≠ σ2
2
α = 0.10
SV Analisis Data
Statistik uji f = s12/ s2
2 = 16 / 25 = 0.64
H0 ditolak dengan tingkat keberartian α jika
1 2 1 21 ,( , ) ,( , )2 2
atau −
v v v v
f f f f
Dalam hal ini α = 0.10, v1 = n1 – 1 = 12 – 1 = 11 ,
dan v2 = n2 – 1 = 10 – 1 = 9.
Maka
1 2
0.95,(11.9)1 ,( , )
2
0.34−
= =v v
f f dan1 2
0.05,(11.9),( , )
2
3.11= =v v
f f
Karena , maka jangan tolak H0.
Simpulkan bahwa tidak cukup kenyataan untuk
menyatakan bahwa variansinya berbeda.
1 2 1 21 ,( , ) ,( , )2 2
−
v v v vf f f
36SV Analisis Data
Latihan
Berikut ini data durasi film yang diproduksi oleh dua rumah produksi (RP):
Ujilah hipotesis bahwa rataan durasi film yang diproduksi RP 2 melebihi RP 1 sebesar 10 menit dengan alternatif bahwa perbedaannya kurang dari 10 menit. Gunakanlah taraf keberartian 0,1 dan anggap distribusi durasi hampir normal dengan variansi berbeda.
37
RP Durasi (Menit)
1 102 86 98 109 92
2 81 165 97 134 92 87 114
tgrmusic.com
SV Analisis Data
Referensi38
Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.
Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.
Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.
Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.
SV Analisis Data