Post on 26-Dec-2015
1
Nama : Chandra Nugroho Erlangga
NIM : 12305141035
PEMBUKTIAN LUAS SEGITIGA SIKU-SIKU DENGAN PENDEKATAN INTEGRAL
BAB I
PENDAHULUAN
Matematika adalah ilmu pasti. Kebenaran-kebenaran di semesta matematika merupakan
pernyataan-pernyataan yang dapat dibuktikan nilai kebenarannya. Pembuktian di dalam matematika
dapat diperoleh dengan berbagai cara. Pemikiran logis, rasional, induktif dan deduktif merupakan
persyaratan utama dalam membuktikan kebenaran suatu hal yang bersifat matematis.
Matematika tidak hanya sekedar ilmu pasti, namun juga ilmu yang berkembang. Matematika
memiliki banyak cabang ilmu di antaranya: geometri, kalkulus, aljabar, logika dan lain sebagainya.
Cabang-cabang ilmu matematika tersebut memiliki hukum dan teorema masing-masing. Meskipun
demikian, sebenarnya cabang-cabang matematika masih merupakan satu kesatuan yang utuh
sebagai ilmu matematika. Implikasinya adalah, hukum dan teorema di suatu cabang dapat memiliki
kaitan dengan hukum dan teorema di cabang yang lain.
Pembuktian lintas cabang ilmu dapat menjadi salah satu metode kuat untuk membuktikan
nilai kebenaran suatu pernyataan matematika. Suatu teorema di suatu cabang ilmu dapat dibuktikan
dengan bantuan teorema atau hukum dari cabang yang lain. Contohnya adalah pembuktian luas
segitiga siku-siku. Konsep luas dapat ditemukan baik di cabang geometri maupun cabang kalkulus.
Adanya kedua cabang yang membahas satu persoalan yang sama dapat memberikan solusi untuk
membuktikan persoalan-persoalan tertentu.
Segitiga merupakan bentuk dasar geometris yang dikenal semua orang. Dalam keseharian
banyak dijumpai objek berbentuk segitiga dan permasalahan yang melibatkan bentuk segitiga.
Beberapa permasalahan tersebut menggunakan luas segitiga untuk mencapai penyelesaian. Rumus
luas segitiga yang telah dikenal merupakan rumus luas yang ditemukan dengan pendekatan
geometris yaitu 1
2ππ‘ di mana a adalah alas segitiga dan t adalah tinggi segitiga. Rumus luas tersebut
berlaku di semua cabang matematika, tidak hanya geometri namun juga kalkulus. Makalah ini akan
membahas tentang segitiga siku-siku, sifatnya di dimensi dua dan bidang kartesius serta pembuktian
rumus luas segitiga menggunakan pendekatan kalkulus.
Rumusan masalah yang akan dibahas di makalah ini adalah:
1. Apakah segitiga siku-siku dan luas segitiga siku-siku secara geometris itu?
2
2. Bagaimana penggambaran segitiga siku-siku di bidang kartesius?
3. Bagaimanakah pembuktian rumus luas segitiga siku-siku dengan pendekatan integral?
BAB II
PEMBAHASAN
A. Segitiga siku-siku dan luas segitiga siku-siku.
Segitiga adalah suatu segi-banyak yang memiliki 3 sisi. Terdapat banyak jenis segitiga.
Keragaman ini disebabkan oleh perbedaan perbandingan panjang sisi-sisinya maupun perbedaan
besar sudut dalam segitiga. Jenis-jenis segitiga menurut perbandingan sisi-sisinya adalah sebagai
berikut:
1. Segitiga Sama Kaki
Segitiga ini memiliki dua sisi yang sama panjang.
2. Segitiga Sama Sisi
Segitiga ini memiliki tiga sisi yang sama panjang.
3. Segitiga Sederhana
Segitiga ini sisi-sisinya tidak sama panjang.
Sedangkan jenis-jenis segitiga menurut besar sudutnya adalah sebagai berikut:
1. Segitiga Lancip
Segitiga ini besar masing-masing sudutnya kurang dari 90Β°
2. Segitiga Tumpul
3. Segitiga Siku-siku.
Jenis yang akan dibahas lebih lanjut adalah segitiga siku-siku. Segitiga ini telah dikenal
sejak beribu-ribu tahun yang lalu. Segitiga siku-siku menjadi objek penemuan besar dalam ilmu
matematika. Menurut Eves (1964) salah satu contoh penggunaan segitiga siku-siku adalah
penghitungan tinggi piramida dengan two shadow observation oleh Thales pada abad ke-6 sebelum
Masehi. Contoh lainnya adalah penerapan tripel Phytagoras di segitiga siku-siku oleh Euclid.
Luas segitiga siku-siku telah dikenal oleh bangsa Babilonia antara tahun 2000 hingga
1600 Sebelum Masehi. Belum diketahui bagaimana bangsa tersebut menemukan luas segitiga siku-
siku. Pendekatan geometris mengenai luas segitiga siku-siku dapat dijelaskan menggunakan luas
3
sebuah jajargenjang (Smart,1969). Pada kasus segitiga siku-siku, dapat digunakan sebuah persegi
panjang (karena persegi panjang merupakan jajargenjang dengan semua sudutnya berukuran 90Β°).
Gambar A.1
Misalkan persegi panjang ABCD. Luas persegi panjang dapat diperoleh dengan
mengalikan panjang alas (dalam gambar sisi CD atau AB) dengan panjang tingginya (dalam gambar
sisi AD atau BC). Untuk meneliti luas segitiga siku-siku, digambar sebuah garis yang
menghubungkan titik A dan titik C seperti pada Gambar A.1. Garis AC membagi dua persegi
panjang ABCD menjadi dua segitiga siku-siku ACD dan ABC. Pembuktian kekongruenan kedua
segitiga adalah sebagai berikut:
1. π΄πΆΜ Μ Μ Μ β π΄πΆΜ Μ Μ Μ ...(1)
2. β π΄π·πΆ β β πΆπ΅π΄ (Sudut-sudut dalam persegi panjang besarnya 90Β° ...(2)
3. πΆπ·Μ Μ Μ Μ β π΄π΅Μ Μ Μ Μ (Sisi-sisi persegi panjang yang berhadapan sama besar) ...(3)
Dari pembuktian di atas diperoleh kesimpulan bahwa βπ΄πΆπ· β βπ΄π΅πΆ. Jadi luas persegi
panjang ABCD merupakan jumlah dari luas βACD dan βABC. Ekspresi matematisnya adalah
sebagai berikut:
CDADACDL
ABCDLACDL
ABCDLACDL
ABCDLACDLACDL
ABCDLABCLACDL
.2
1.
.2
1.
..2
...
...
AD kemudian disebut tinggi βACD dan CD adalah alas βACD. Luas suatu segitiga siku-
siku adalah setengah dari hasil kali alas dan tingginya, atau dalam ekspresi matematis di mana a
adalah panjang alas dan t adalah panjang tingginya:
πΏ =1
2π. π‘
...(4)
...(5)
...(6)
...(7)
...(8)
...(9)
...(5)
...(6)
...(7)
...(8)
4
B. Segitiga siku-siku di koordinat kartesius dan luas segitiga siku-siku secara analitik
Penggambaran segitiga siku-siku di koordinat kartesius melibatkan garis yang secara
aljabar merupakan persamaan linear berderajat satu. Ada banyak cara menggambarkan segitiga
siku-siku di koordinat kartesius. Tulisan ini akan membahas dua cara penggambaran segitiga siku-
siku di koordinat kartesius:
1. Segitiga dengan sisi-sisi sumbu x, sumbu y dan sebuah garis
Gambar B.1
Segitiga siku-siku AOB dibentuk oleh garis g, sumbu x dan sumbu y. Garis g
memiliki kemiringan m di mana m terletak di interval (-β,0) dan garis g memotong sumbu y di
B(0,b) serta sumbu x di A(a,0). Hadiwidjojo (1973) mengemukakan bahwa jika dari suatu garis
lurus diketahui 2 buah titiknya, maka persamaan garisnya dapat dicari. Lebih jauh dijelaskan bahwa
persamaan garis lurus yang diketahui dua buah titiknya dapat dicari dengan rumus sebagai berikut:
π¦ β π¦1
π¦2 β π¦1=
π₯ β π₯1
π₯2 β π₯1
dengan x1, y1 dan x2, y2 masing-masing adalah absis dan koordinat dua buah titik di
garis g yang diketahui. Maka persamaan garis g dapat dengan rumus di atas sebagai berikut:
bxa
by
xa
by
a
ax
b
y
a
ax
b
y
xx
xx
yy
yy
)11
(
00
0
12
1
12
1
...(10)
...(5)
...(6)
...(7)
...(8) ...(11)
...(12)
...(13)
...(14)
...(15)
5
Diperoleh persamaan garis g yaitu π¦ = βπ
ππ₯ + π. Panjang sisi OB adalah b dan OB
berlaku sebagai sisi tinggi βAOB. Panjang sisi OA ialah a dan OA berlaku sebagai sisi alas βAOB.
Maka dapat diperoleh luas βAOB adalah:
ab
OBOAAOBL
2
1
..2
1.
2. Segitiga siku-siku dengan sisi-sisi sumbu x dan dua buah garis
Gambar B.2
Segitiga siku-siku OAC dibentuk oleh sumbu x, garis h dan garis k. Garis h memiliki
kemiringan m di mana m terletak pada interval (0,β) dan garis h melalui titik O. Garis k tegak lurus
terhadap garis h dan melalui titik C(c,0). Hadiwidjojo menjelaskan bahwa dua garis saling tegak
lurus jika 1 + π1π2 = 0 atau π1 = β1
π2 dengan m1 adalah kemiringan garis pertama dan m2
adalah kemiringan garis kedua. Penjelasan tersebut dapat digunakan untuk mencari kemiringan
garis k. Jika kemiringan garis h adalah m maka kemiringan garis k adalah β1
π.
Garis h memiliki kemiringan m dan melalui titik O, hal ini membuat persamaan garis
h menjadi
β: π¦ = ππ₯
Sedangkan garis k memotong sumbu x di titik C(c,0) dan memiliki kemiringan β1
π.
Garis yang diketahui satu titiknya dan kemiringannya dapat diketahui persamaan garisnya dengan
rumus berikut:
π¦ β π¦1 = π(π₯ β π₯1)
...(16)
...(17)
...(13)
...(14)
...(15)
...(18)
...(17)
...(13)
...(14)
...(15) ...(19)
...(17)
...(13)
...(14)
...(15)
6
dengan x1 dan y1 merupakan absis dan ordinat titik yang dilalui garis tersebut dan g
merupakan kemiringannya. Rumus tersebut akan digunakan untuk mencari persamaan garis k sebagai
berikut:
)(1
)(1
0
)( 11
cxm
y
cxm
y
xxgyy
Garis h tegak lurus dengan garis k maka ruas garis OA dapat disebut tinggi βOAC
dan ruas garis AC dapat disebut alas βOAC. Sebelum mencari luas βOAC, terlebih dahulu akan dicari
koordinat titik A, panjang ruas garis OA dan panjang ruas garis AC. Titik A merupakan titik potong
antara garis h dan garis k, dan absisnya dapat diperoleh dengan cara berikut:
1
)1(
)(1
2
2
2
2
21
m
cx
cxm
cxxm
cxxm
cxm
mx
yy
Ordinat titik A dapat diperoleh dengan mensubstitusikan x ke persamaan garis h
1
1
2
2
m
cmy
m
cmy
mxy
Jadi diperoleh titik A(π
π2+1,
ππ
π2+1) dan kini dapat dicari panjang OA dan AC dengan
rumus berikut:
π = β(π₯2 β π₯1)2 + (π¦2 β π¦1)2
dengan x1, y1 dan x2, y2 merupakan koordinat dua titik yang akan dicari jaraknya.
Maka panjang OA dapat diperoleh yaitu:
...(20)
...(21)
...(22)
...(14)
...(15)
...(23)
...(24)
...(25)
...(26)
...(27)
...(28)
...(29)
...(30)
...(14)
...(15)
...(31)
...(17)
...(13)
...(14)
...(15)
7
1
)1(
)1(
)1(
01
01
),(
2
22
22
22
222
2
2
2
2
m
c
m
cm
m
mcc
m
cm
m
cAOd
dan panjang AC adalah sebagai berikut:
1
)1(
)1(
)1(
11
11
011
),(
2
22
222
22
2242
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m
cm
m
mmc
m
mcmc
m
cm
m
cm
m
cm
m
ccmc
m
cmc
m
cACd
Dengan diketahuinya panjang OA dan AC maka dapat dicari luas segitiga OAC
menggunakan rumus umum luas segitiga. Luas segitiga OAC adalah:
12
1.
1.
2
1
.2
1.
2
2
22
m
mc
m
cm
m
c
ACOAAOCL
C. Pembuktian rumus luas segitiga siku-siku menggunakan pendekatan integral
...(32)
...(33)
...(34)
...(35)
...(36)
...(37)
...(38)
...(39)
...(40)
...(41)
...(42)
...(43)
...(44)
...(39)
...(40)
...(41)
8
Konsep luas dalam kalkulus diperkenalkan oleh Riemann yang dikenal melalui Jumlah
Riemann. Jumlah Riemann ini lama kelamaan berkaitan dengan Teorema Dasar Kalkulus. Teorema
Dasar Kalkulus berbunyi demikian:
β« π(π₯)ππ₯ = πΉ(π) β πΉ(π)π
π
Teorema Dasar Kalkulus ini akan sangat membantu dalam pembuktian rumus luas
segitiga siku-siku ini di mana f(x) merupakan kurva yang membatasi suatu daerah yang akan dicari
luasnya.
1. Pembuktian rumus luas segitiga siku-siku yang dibatasi garis g, sumbu x dan
sumbu y
Gambar B.1 menunjukkan daerah segitiga AOB yang dibatasi garis g, sumbu x dan
sumbu y. Misalkan g: y=g(x) adalah suatu fungsi kontinu, maka luas daerah yang dibatasi garis g,
sumbu x, dan sumbu y adalah integral tentu g(x) terhadap x dari 0 sampai a, atau ekspresi
matematisnya:
ab
abab
baaa
b
bxxa
b
bdxxa
b
dxxgAOBL
a
a
a
2
1
2
2
2
)(.
2
0
2
0
0
Terbukti bahwa rumus luas segitiga siku-siku benar.
2. Pembuktian rumus luas segitiga siku-siku yang dibatasi garis h, garis k dan sumbu
x
Gambar B.2 menunjukkan daerah yang dibatasi oleh garis h, garis k dan sumbu x.
Misalkan h: y=h(x) dan k: y=k(x) adalah fungsi kontinu dan terdapat suatu titik B yang merupakan
proyeksi titik A di sumbu x, maka luas daerah yang dibatasi garis h, garis k dan sumbu x adalah
gabungan luas dua daerah yang dipartisi oleh garis x= π
π2+1 yaitu integral tentu h(x) terhadap x dari
...(45)
...(43)
...(44)
...(39)
...(40)
...(41)
...(46)
...(47)
...(48)
...(49)
...(50)
...(51)
9
0 sampai π
π2+1 dan integral tentu k(x) terhadap x dari
π
π2+1 sampai c. Perhitungan dalam ekspresi
matematisnya adalah sebagai berikut:
)1(2
)1(2
)1(
)1(2)1(2
)1(2)1(2
)1(2
1212
)1(2
)1(2
)12(
)1(2
)1(
)1(2
)1(2
)12(
)1(2
)1(
)1(2
)1(2
2
2)1(2
)1(2
22
2)1(2
)1(2
)1(2
2)1(2
)1()1(22)1(2
112
1.
2
1
12
2
1
2
1
)()(.
2
2
22
222
22
42
22
22
22
42
22
2
22
2242
22
2
22
2
22
222
22
2
22
22
22
222
22
2
22
2222
22
2
22
22222
22
2
22
2222
22
2
2
2
22
222
22
2
2
2
2
2
2
2
1
21
0
2
1
1
0
1
1
0
2
2
2
2
2
2
m
mc
mm
mmc
mm
mc
mm
mc
mm
mc
m
mc
mm
mmmc
m
mc
mm
m
mm
mc
m
mc
mm
mc
mm
mc
m
mc
mm
cmc
m
c
m
mc
mm
cmcc
m
c
m
mc
mm
mcc
m
c
m
mc
mm
c
mm
c
m
c
m
c
m
mc
m
c
m
c
m
c
mc
m
cc
mm
cm
xm
cx
mx
m
dxm
cx
mmxdx
dxxkdxxhAOCL
c
m
c
m
c
c
m
c
m
c
c
m
c
m
c
...(52)
...(53)
...(54)
...(55)
...(56)
...(57)
...(58)
...(59)
...(60)
...(61)
...(62)
...(63)
...(64)
...(65)
...(66)
10
Jadi terbukti bahwa perhitungan luas segitiga siku-siku secara geometri dan secara
kalkulus memberikan hasil yang sama.
BAB III
PENUTUP
Kesimpulan yang dapat diambil dari pembahasan di atas adalah bahwa luas segitiga
siku-siku yang dicari menggunakan rumus luas segitiga secara geometris dan menggunakan
teorema dasar kalkulus memberikan hasil yang sama dan merupakan bukti bahwa rumus luas
segitiga siku-siku berlaku secara universal baik di geometri maupun kalkulus..
DAFTAR PUSTAKA
Smart, James R. 1964. Introductory Geometry: An Informal Approach. California: Brooks & Cole.
Eves, Howard. 1969. An Introduction To The History Of Mathematics. New York: Holt, Reinhart
and Winston, Inc.
Hadiwidjojo, Moeharti. 1973. Ilmu Ukur Analitik. Yogyakarta: Yayasan FKIE IKIP Yogyakarta.
Purcell, Edwin, dkk. 2010. Kalkulus Jilid 1.Jakarta: Erlangga.