1

Nama : Chandra Nugroho Erlangga

NIM : 12305141035

PEMBUKTIAN LUAS SEGITIGA SIKU-SIKU DENGAN PENDEKATAN INTEGRAL

BAB I

PENDAHULUAN

Matematika adalah ilmu pasti. Kebenaran-kebenaran di semesta matematika merupakan

pernyataan-pernyataan yang dapat dibuktikan nilai kebenarannya. Pembuktian di dalam matematika

dapat diperoleh dengan berbagai cara. Pemikiran logis, rasional, induktif dan deduktif merupakan

persyaratan utama dalam membuktikan kebenaran suatu hal yang bersifat matematis.

Matematika tidak hanya sekedar ilmu pasti, namun juga ilmu yang berkembang. Matematika

memiliki banyak cabang ilmu di antaranya: geometri, kalkulus, aljabar, logika dan lain sebagainya.

Cabang-cabang ilmu matematika tersebut memiliki hukum dan teorema masing-masing. Meskipun

demikian, sebenarnya cabang-cabang matematika masih merupakan satu kesatuan yang utuh

sebagai ilmu matematika. Implikasinya adalah, hukum dan teorema di suatu cabang dapat memiliki

kaitan dengan hukum dan teorema di cabang yang lain.

Pembuktian lintas cabang ilmu dapat menjadi salah satu metode kuat untuk membuktikan

nilai kebenaran suatu pernyataan matematika. Suatu teorema di suatu cabang ilmu dapat dibuktikan

dengan bantuan teorema atau hukum dari cabang yang lain. Contohnya adalah pembuktian luas

segitiga siku-siku. Konsep luas dapat ditemukan baik di cabang geometri maupun cabang kalkulus.

Adanya kedua cabang yang membahas satu persoalan yang sama dapat memberikan solusi untuk

membuktikan persoalan-persoalan tertentu.

Segitiga merupakan bentuk dasar geometris yang dikenal semua orang. Dalam keseharian

banyak dijumpai objek berbentuk segitiga dan permasalahan yang melibatkan bentuk segitiga.

Beberapa permasalahan tersebut menggunakan luas segitiga untuk mencapai penyelesaian. Rumus

luas segitiga yang telah dikenal merupakan rumus luas yang ditemukan dengan pendekatan

geometris yaitu 1

2𝑎𝑡 di mana a adalah alas segitiga dan t adalah tinggi segitiga. Rumus luas tersebut

berlaku di semua cabang matematika, tidak hanya geometri namun juga kalkulus. Makalah ini akan

membahas tentang segitiga siku-siku, sifatnya di dimensi dua dan bidang kartesius serta pembuktian

rumus luas segitiga menggunakan pendekatan kalkulus.

Rumusan masalah yang akan dibahas di makalah ini adalah:

1. Apakah segitiga siku-siku dan luas segitiga siku-siku secara geometris itu?

2

2. Bagaimana penggambaran segitiga siku-siku di bidang kartesius?

3. Bagaimanakah pembuktian rumus luas segitiga siku-siku dengan pendekatan integral?

BAB II

PEMBAHASAN

A. Segitiga siku-siku dan luas segitiga siku-siku.

Segitiga adalah suatu segi-banyak yang memiliki 3 sisi. Terdapat banyak jenis segitiga.

Keragaman ini disebabkan oleh perbedaan perbandingan panjang sisi-sisinya maupun perbedaan

besar sudut dalam segitiga. Jenis-jenis segitiga menurut perbandingan sisi-sisinya adalah sebagai

berikut:

1. Segitiga Sama Kaki

Segitiga ini memiliki dua sisi yang sama panjang.

2. Segitiga Sama Sisi

Segitiga ini memiliki tiga sisi yang sama panjang.

3. Segitiga Sederhana

Segitiga ini sisi-sisinya tidak sama panjang.

Sedangkan jenis-jenis segitiga menurut besar sudutnya adalah sebagai berikut:

1. Segitiga Lancip

Segitiga ini besar masing-masing sudutnya kurang dari 90°

2. Segitiga Tumpul

3. Segitiga Siku-siku.

Jenis yang akan dibahas lebih lanjut adalah segitiga siku-siku. Segitiga ini telah dikenal

sejak beribu-ribu tahun yang lalu. Segitiga siku-siku menjadi objek penemuan besar dalam ilmu

matematika. Menurut Eves (1964) salah satu contoh penggunaan segitiga siku-siku adalah

penghitungan tinggi piramida dengan two shadow observation oleh Thales pada abad ke-6 sebelum

Masehi. Contoh lainnya adalah penerapan tripel Phytagoras di segitiga siku-siku oleh Euclid.

Luas segitiga siku-siku telah dikenal oleh bangsa Babilonia antara tahun 2000 hingga

1600 Sebelum Masehi. Belum diketahui bagaimana bangsa tersebut menemukan luas segitiga siku-

siku. Pendekatan geometris mengenai luas segitiga siku-siku dapat dijelaskan menggunakan luas

3

sebuah jajargenjang (Smart,1969). Pada kasus segitiga siku-siku, dapat digunakan sebuah persegi

panjang (karena persegi panjang merupakan jajargenjang dengan semua sudutnya berukuran 90°).

Gambar A.1

Misalkan persegi panjang ABCD. Luas persegi panjang dapat diperoleh dengan

mengalikan panjang alas (dalam gambar sisi CD atau AB) dengan panjang tingginya (dalam gambar

sisi AD atau BC). Untuk meneliti luas segitiga siku-siku, digambar sebuah garis yang

menghubungkan titik A dan titik C seperti pada Gambar A.1. Garis AC membagi dua persegi

panjang ABCD menjadi dua segitiga siku-siku ACD dan ABC. Pembuktian kekongruenan kedua

segitiga adalah sebagai berikut:

1. 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ...(1)

2. ∠𝐴𝐷𝐶 ≅ ∠𝐶𝐵𝐴 (Sudut-sudut dalam persegi panjang besarnya 90° ...(2)

3. 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ (Sisi-sisi persegi panjang yang berhadapan sama besar) ...(3)

Dari pembuktian di atas diperoleh kesimpulan bahwa ∆𝐴𝐶𝐷 ≅ ∆𝐴𝐵𝐶. Jadi luas persegi

panjang ABCD merupakan jumlah dari luas ∆ACD dan ∆ABC. Ekspresi matematisnya adalah

sebagai berikut:

CDADACDL

ABCDLACDL

ABCDLACDL

ABCDLACDLACDL

ABCDLABCLACDL

.2

1.

.2

1.

..2

...

...

AD kemudian disebut tinggi ∆ACD dan CD adalah alas ∆ACD. Luas suatu segitiga siku-

siku adalah setengah dari hasil kali alas dan tingginya, atau dalam ekspresi matematis di mana a

adalah panjang alas dan t adalah panjang tingginya:

𝐿 =1

2𝑎. 𝑡

...(4)

...(5)

...(6)

...(7)

...(8)

...(9)

...(5)

...(6)

...(7)

...(8)

4

B. Segitiga siku-siku di koordinat kartesius dan luas segitiga siku-siku secara analitik

Penggambaran segitiga siku-siku di koordinat kartesius melibatkan garis yang secara

aljabar merupakan persamaan linear berderajat satu. Ada banyak cara menggambarkan segitiga

siku-siku di koordinat kartesius. Tulisan ini akan membahas dua cara penggambaran segitiga siku-

siku di koordinat kartesius:

1. Segitiga dengan sisi-sisi sumbu x, sumbu y dan sebuah garis

Gambar B.1

Segitiga siku-siku AOB dibentuk oleh garis g, sumbu x dan sumbu y. Garis g

memiliki kemiringan m di mana m terletak di interval (-∞,0) dan garis g memotong sumbu y di

B(0,b) serta sumbu x di A(a,0). Hadiwidjojo (1973) mengemukakan bahwa jika dari suatu garis

lurus diketahui 2 buah titiknya, maka persamaan garisnya dapat dicari. Lebih jauh dijelaskan bahwa

persamaan garis lurus yang diketahui dua buah titiknya dapat dicari dengan rumus sebagai berikut:

𝑦 − 𝑦1

𝑦2 − 𝑦1=

𝑥 − 𝑥1

𝑥2 − 𝑥1

dengan x1, y1 dan x2, y2 masing-masing adalah absis dan koordinat dua buah titik di

garis g yang diketahui. Maka persamaan garis g dapat dengan rumus di atas sebagai berikut:

bxa

by

xa

by

a

ax

b

y

a

ax

b

y

xx

xx

yy

yy

)11

(

00

0

12

1

12

1

...(10)

...(5)

...(6)

...(7)

...(8) ...(11)

...(12)

...(13)

...(14)

...(15)

5

Diperoleh persamaan garis g yaitu 𝑦 = −𝑏

𝑎𝑥 + 𝑏. Panjang sisi OB adalah b dan OB

berlaku sebagai sisi tinggi ∆AOB. Panjang sisi OA ialah a dan OA berlaku sebagai sisi alas ∆AOB.

Maka dapat diperoleh luas ∆AOB adalah:

ab

OBOAAOBL

2

1

..2

1.

2. Segitiga siku-siku dengan sisi-sisi sumbu x dan dua buah garis

Gambar B.2

Segitiga siku-siku OAC dibentuk oleh sumbu x, garis h dan garis k. Garis h memiliki

kemiringan m di mana m terletak pada interval (0,∞) dan garis h melalui titik O. Garis k tegak lurus

terhadap garis h dan melalui titik C(c,0). Hadiwidjojo menjelaskan bahwa dua garis saling tegak

lurus jika 1 + 𝑚1𝑚2 = 0 atau 𝑚1 = −1

𝑚2 dengan m1 adalah kemiringan garis pertama dan m2

adalah kemiringan garis kedua. Penjelasan tersebut dapat digunakan untuk mencari kemiringan

garis k. Jika kemiringan garis h adalah m maka kemiringan garis k adalah −1

𝑚.

Garis h memiliki kemiringan m dan melalui titik O, hal ini membuat persamaan garis

h menjadi

ℎ: 𝑦 = 𝑚𝑥

Sedangkan garis k memotong sumbu x di titik C(c,0) dan memiliki kemiringan −1

𝑚.

Garis yang diketahui satu titiknya dan kemiringannya dapat diketahui persamaan garisnya dengan

rumus berikut:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑔(𝑥 − 𝑥1)

...(16)

...(17)

...(13)

...(14)

...(15)

...(18)

...(17)

...(13)

...(14)

...(15) ...(19)

...(17)

...(13)

...(14)

...(15)

6

dengan x1 dan y1 merupakan absis dan ordinat titik yang dilalui garis tersebut dan g

merupakan kemiringannya. Rumus tersebut akan digunakan untuk mencari persamaan garis k sebagai

berikut:

)(1

)(1

0

)( 11

cxm

y

cxm

y

xxgyy

Garis h tegak lurus dengan garis k maka ruas garis OA dapat disebut tinggi ∆OAC

dan ruas garis AC dapat disebut alas ∆OAC. Sebelum mencari luas ∆OAC, terlebih dahulu akan dicari

koordinat titik A, panjang ruas garis OA dan panjang ruas garis AC. Titik A merupakan titik potong

antara garis h dan garis k, dan absisnya dapat diperoleh dengan cara berikut:

1

)1(

)(1

2

2

2

2

21

m

cx

cxm

cxxm

cxxm

cxm

mx

yy

Ordinat titik A dapat diperoleh dengan mensubstitusikan x ke persamaan garis h

1

1

2

2

m

cmy

m

cmy

mxy

Jadi diperoleh titik A(𝑐

𝑚2+1,

𝑐𝑚

𝑚2+1) dan kini dapat dicari panjang OA dan AC dengan

rumus berikut:

𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

dengan x1, y1 dan x2, y2 merupakan koordinat dua titik yang akan dicari jaraknya.

Maka panjang OA dapat diperoleh yaitu:

...(20)

...(21)

...(22)

...(14)

...(15)

...(23)

...(24)

...(25)

...(26)

...(27)

...(28)

...(29)

...(30)

...(14)

...(15)

...(31)

...(17)

...(13)

...(14)

...(15)

7

1

)1(

)1(

)1(

01

01

),(

2

22

22

22

222

2

2

2

2

m

c

m

cm

m

mcc

m

cm

m

cAOd

dan panjang AC adalah sebagai berikut:

1

)1(

)1(

)1(

11

11

011

),(

2

22

222

22

2242

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

m

cm

m

mmc

m

mcmc

m

cm

m

cm

m

cm

m

ccmc

m

cmc

m

cACd

Dengan diketahuinya panjang OA dan AC maka dapat dicari luas segitiga OAC

menggunakan rumus umum luas segitiga. Luas segitiga OAC adalah:

12

1.

1.

2

1

.2

1.

2

2

22

m

mc

m

cm

m

c

ACOAAOCL

C. Pembuktian rumus luas segitiga siku-siku menggunakan pendekatan integral

...(32)

...(33)

...(34)

...(35)

...(36)

...(37)

...(38)

...(39)

...(40)

...(41)

...(42)

...(43)

...(44)

...(39)

...(40)

...(41)

8

Konsep luas dalam kalkulus diperkenalkan oleh Riemann yang dikenal melalui Jumlah

Riemann. Jumlah Riemann ini lama kelamaan berkaitan dengan Teorema Dasar Kalkulus. Teorema

Dasar Kalkulus berbunyi demikian:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)𝑏

𝑎

Teorema Dasar Kalkulus ini akan sangat membantu dalam pembuktian rumus luas

segitiga siku-siku ini di mana f(x) merupakan kurva yang membatasi suatu daerah yang akan dicari

luasnya.

1. Pembuktian rumus luas segitiga siku-siku yang dibatasi garis g, sumbu x dan

sumbu y

Gambar B.1 menunjukkan daerah segitiga AOB yang dibatasi garis g, sumbu x dan

sumbu y. Misalkan g: y=g(x) adalah suatu fungsi kontinu, maka luas daerah yang dibatasi garis g,

sumbu x, dan sumbu y adalah integral tentu g(x) terhadap x dari 0 sampai a, atau ekspresi

matematisnya:

ab

abab

baaa

b

bxxa

b

bdxxa

b

dxxgAOBL

a

a

a

2

1

2

2

2

)(.

2

0

2

0

0

Terbukti bahwa rumus luas segitiga siku-siku benar.

2. Pembuktian rumus luas segitiga siku-siku yang dibatasi garis h, garis k dan sumbu

x

Gambar B.2 menunjukkan daerah yang dibatasi oleh garis h, garis k dan sumbu x.

Misalkan h: y=h(x) dan k: y=k(x) adalah fungsi kontinu dan terdapat suatu titik B yang merupakan

proyeksi titik A di sumbu x, maka luas daerah yang dibatasi garis h, garis k dan sumbu x adalah

gabungan luas dua daerah yang dipartisi oleh garis x= 𝑐

𝑚2+1 yaitu integral tentu h(x) terhadap x dari

...(45)

...(43)

...(44)

...(39)

...(40)

...(41)

...(46)

...(47)

...(48)

...(49)

...(50)

...(51)

9

0 sampai 𝑐

𝑚2+1 dan integral tentu k(x) terhadap x dari

𝑐

𝑚2+1 sampai c. Perhitungan dalam ekspresi

matematisnya adalah sebagai berikut:

)1(2

)1(2

)1(

)1(2)1(2

)1(2)1(2

)1(2

1212

)1(2

)1(2

)12(

)1(2

)1(

)1(2

)1(2

)12(

)1(2

)1(

)1(2

)1(2

2

2)1(2

)1(2

22

2)1(2

)1(2

)1(2

2)1(2

)1()1(22)1(2

112

1.

2

1

12

2

1

2

1

)()(.

2

2

22

222

22

42

22

22

22

42

22

2

22

2242

22

2

22

2

22

222

22

2

22

22

22

222

22

2

22

2222

22

2

22

22222

22

2

22

2222

22

2

2

2

22

222

22

2

2

2

2

2

2

2

1

21

0

2

1

1

0

1

1

0

2

2

2

2

2

2

m

mc

mm

mmc

mm

mc

mm

mc

mm

mc

m

mc

mm

mmmc

m

mc

mm

m

mm

mc

m

mc

mm

mc

mm

mc

m

mc

mm

cmc

m

c

m

mc

mm

cmcc

m

c

m

mc

mm

mcc

m

c

m

mc

mm

c

mm

c

m

c

m

c

m

mc

m

c

m

c

m

c

mc

m

cc

mm

cm

xm

cx

mx

m

dxm

cx

mmxdx

dxxkdxxhAOCL

c

m

c

m

c

c

m

c

m

c

c

m

c

m

c

...(52)

...(53)

...(54)

...(55)

...(56)

...(57)

...(58)

...(59)

...(60)

...(61)

...(62)

...(63)

...(64)

...(65)

...(66)

10

Jadi terbukti bahwa perhitungan luas segitiga siku-siku secara geometri dan secara

kalkulus memberikan hasil yang sama.

BAB III

PENUTUP

Kesimpulan yang dapat diambil dari pembahasan di atas adalah bahwa luas segitiga

siku-siku yang dicari menggunakan rumus luas segitiga secara geometris dan menggunakan

teorema dasar kalkulus memberikan hasil yang sama dan merupakan bukti bahwa rumus luas

segitiga siku-siku berlaku secara universal baik di geometri maupun kalkulus..

DAFTAR PUSTAKA

Smart, James R. 1964. Introductory Geometry: An Informal Approach. California: Brooks & Cole.

Eves, Howard. 1969. An Introduction To The History Of Mathematics. New York: Holt, Reinhart

and Winston, Inc.

Hadiwidjojo, Moeharti. 1973. Ilmu Ukur Analitik. Yogyakarta: Yayasan FKIE IKIP Yogyakarta.

Purcell, Edwin, dkk. 2010. Kalkulus Jilid 1.Jakarta: Erlangga.