STATISTIKA

DR. DRS. SARDIYATMO,MSI

Buku

• Probabilitas dan Statistik dalam Ilmu Probabilitas dan Statistik dalam Ilmu Rekayasa dan ManajemenRekayasa dan ManajemenWilliam W.Hines , Douglas C MontgomeryPenerbit Universitas Indonesia, UI-Press, 1990

• Teori dan Aplikasi Statistika dan ProbabilitasTeori dan Aplikasi Statistika dan ProbabilitasDr. Boediono, Dr. Ir. Wayan Koster, MMPenerbit PT. Remaja Rosdakarya, Bandung

• Metode StatistikMetode StatistikAndi Hakim Nasution, Sudjana

Pengertian Dasar Statistika• Kumpulan bilangan atau non bilangan, hasil

pengamatan atau pengukuran baik menggunakan alat atau tidak, yang disebut "data"

• Ilmu yang mempelajari konsep-konsep atau metoda-metoda dalam pengumpulakn data, pengolahan (analisis) data sampai pengambilan kesimpulan dimana ada ketidakpastian dan keragaman (variance)

• Ciri atau nilai dari contoh yang diambil dari sebuah populasi dan digunakan untuk menduga ciri atau nilai dari populasi tersebut yang dikenal sebagai parameter

Populasi

• Universum

• Himpunan semua kajadian

• Himpunan semua nilai yang mungkin dari sebuah peubah (variable)

Contoh :• Sample• Sebagian dari sebuah populasi• Tujuan penarikan contoh dari sebuah populasi

untuk menggunakan informasi dalam contoh, untuk mengambil kesimpulan mengenal populasi tersebut. Karenanya contoh harus dapat mewakili populasi (keacakan). Keacakan, hasil proses untuk menjamin bias, baik yang diketahui atau tidak. Sehingga tidak mempengaruhi pemilihan contoh.

Fungsi Statistika

1. Menjelaskan, menggambarkan, menguraikan – Statistika DeskriptifStatistika Deskriptif

2. Menduga, memprediksi – Statistika Statistika InferensialInferensial

DATA

Berdasarkan skala pengukuran

1. Skala nominal

2. Skala Ordinal

3. Skala interval

4. Skala rasio

FAKTORIAL

Hasil kali dari bilangan-bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n adalah

1.2.3.....(n-2)(n-1)n dalam matematika diberi notasi n!n! (baca n faktorialn faktorial)

n! = 1.2.3.....(n-2)(n-1)n

= n (n-1)(n-2) .... 3.2.1

dengan catatan 1! = 1 dan 0! = 1

Contoh : 3 ! = 1.2.3 = 6 atau 3! =3.2.1 = 6

PERMUTASI

Suatu susunan dari sekumpulan n obyek dalam suatu urutan tertentu disebut suatu permutasi dari obyek tersebut.Jika dari sebarang r < n dari obyek dalam urutan tertentu disebut suatu permutasi r obyek dari n obyek yang diketahui.

PERMUTASI

Banyaknya permutasi r obyek dari n obyek diberi notasi

P(n, r) = n (n - 1) (n - 2) … (n - r + 1)

Contoh : Berapakah permutasi dari 3 obyek ? misalkan ketiga obyek a, b dan c3! = 3.2.1 = 6ada 6 permutasi yaitu : abc, acb, bac, bca, cab,abc, acb, bac, bca, cab, dan cbacba

r)!(n

n!r)P(n,

Permutasi dengan Pengulangan

Kadang-kadang kita ingin mengetahui banyaknya permutasi dari obyek-obyek yang beberapa diantaranya sama.

TeoremaTeorema : banyaknya permutasi dari n obyek yang diantaranya n1 obyek sama dan n2 obyek sama … nr obyek sama adalah

!n ... !n . !n

n!

r21

Permutasi dengan Pengulangan

Contoh : banyaknya permutasi dari kata EKSAKTA

Banyaknya huruf ada 7, huruf yang sama A ada 2 dan K ada 2 jadi banyaknya permutasi

12602! 2!

7!

KOMBINASI

Misalkan kita mempunyai sekumpulan n obyek.

Suatu kombinasi r obyek dari n obyek adalah sebarang pemilihan r obyek dari n obyek dimana urutan tidak diperhatikan jadi abab dianggap sama dengan baba.

r)!(nr!

n!r)C(n,

n

r

KOMBINASI

Contoh : Jika dari suatu kepengurusan suatu organisasi yang terdiri dari 8 orang ingin membentuk pengurus inti 3 orang sebagai Ketua Sekretaris dan Bendahara maka dapat dibentuk :

berbeda inti pengurus 563)!(83!

8!C(8,3)

PROBABILITAS

A. Ruang Sampel dan Kejadian

Probabilitas atau peluang terjadinya suatu peristiwa atau kejadian adalah nilai yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan peristiwa itu terjadi.

Konsep probabilitas peluang berkaitan dengan pengertian eksperimen yang menghasilkan "hasil" yang tidak pasti.

Artinya eksperimen yang diulang-ulang dalam kondisi yang sama akan memberikan hasil yang berbeda.

Pengertian / Definisi

Ruang SampelRuang Sampel : misal dadu mempunyai 6 sisi dan masing masing sisi bermata satu, dua, tiga, empat, lima, dan enam.

Himpunan semua hasil yang mungkin dari lambungan adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Jadi ruang sampelnya S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Pengertian / Definisi

Titik SampelTitik Sampel : Titik sampel merupakan suatu elemen dari ruang sampel S.

Elemen-elemen dari S adalah : 1, 2, 3, 4, 5, 6 1, 2, 3, 4, 5, 6

Jadi titik sampelnya adalah : 1 atau 2 atau 31 atau 2 atau 3 atau 4 atau 5 atau 64 atau 5 atau 6

Pengertian / Definisi

Kejadian Kejadian : Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.

Misalnya A = kejadian muncul mata genap

B = kejadian muncul mata ganjil

Maka A = { 2, 4, 6 }A = { 2, 4, 6 }

B = { 1, 3, 5 }B = { 1, 3, 5 }

1. A B merupakan kejadian/peristiwa yang terjadi jika A terjadi atau B terjadi atau keduanya terjadi

2. A B merupakan kejadian yang terjadi jika A terjadi dan B terjadi

3. AC yaitu komplemen dari A adalah kejadian yang terjadi jika A tidak terjadi

Definisi Peluang / Probabilitas / Kemungkinan

Misal ruang sampel S S mempunyai elemen yang banyaknya berhingga, yaitu n(S) = n(S) = NN adalah suatu kejadian (himpunan bagian dari S) yang mempunyai elemen sebanyak n(A).

Maka peluang P bahwa kejadian A akan terjadi adalah

n(S)

n(A)P(A)

• KEJADIAN BEBAS• Kejadian A dan B dikatakan Bebas / Independen

jika P(A n B) = P(A) . P(B)• KEJADIAN TERGANTUNG• Kejadian A dan B TERGANTUNG / dependen

jika P( A n B) /= P(A) . P(B)

Probabilitas Bersyarat

Suatu kejadian dapat bergantung pada terjadi atau tidaknya suatu kejadian lain.

Untuk kejadian yang bergantung pada kejadian lain nilai probabilitasnya dicari dengan menggunakan probabilitas bersyarat.

Difinisi : Misalkan B sebarang kejadian dalam ruang sampel S dengan P(B) > 0

Probabilitas Bersyarat

Probabilitas bersyarat dari kejadian A dengan syarat B terjadi ditulis P(A / B) didifinisikan sebagai berikut

P(B)

B)P(AP(A/B)

B dalam elemen banyaknya

B)(A dalam elemen banyaknyaP(A/B)

atau

Probabilitas Bersyarat

Contoh :

Misalkan sepasang dadu yang setimbang dilambungkan satu kali. Dilihat jumlah mata dadu yang muncul.

B kejadian bahwa jumlah mata yang muncul pada kedua dadu sama dengan 6.

A kejadian muncul mata 2 pada paling sedikit satu dadu maka :

Probabilitas Bersyarat

S = {(1,1), (1,2), … (5,6), (6,6)} n(S) = 36B = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} n(B) = 5 P(B) = 5/36 A = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

(1,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2)} n(A) = 11A B = {(2,4), (4,2)} P(A B ) = 2/36

Jadi probabilitas bersyarat dari A dengan syarat B ialah

atau banyaknya elemen dalam

A B = n ( A B ) = 2 dan n (B) = 5

jadi P(A/B) = 2/5

Jadi probabilitas terjadinya muncul mata 2 pada paling sedikit satu dadu jika diketahui bahwa jumlah mata yang muncul pada kedua dadu sama dengan 6 adalah 2/5 2/5

2/55/36

2/36

P(B)

B)P(AP(A/B)

Kejadian Kejadian Yang Bebas

Suatu kejadian B dikatakan independen (bebas) dari kejadian A jika probabilitas terjadinya B tidak terpengaruh oleh terjadinya atau tidaknya kejadian A atau jika probabilitas dari B sama dengan probabilitas bersyarat dari B dengan syarat A yaitu

P(B) = P(B / A)P(B) = P(B / A)

Distribusi Peluang

1. Dikenal pula sebagai distribusi frekuensi relatif

2. Dapat diungkapkan dalam bentuk tabel atau grafik

3. Kebanyakan distribusi peluang yang umum digunakan dapat dicerminkan dalam bentuk fungsi.

Distribusi BinomialDigunakan pada data dalam skala nominal yang

hanya mempunyai dua kategori (bi);

jenis kelamin jantan dan betina; mati dan hidup; hadir dan absen; sisi muka dan sisi belakang dan seterusnya

Bila peluang satu katagori adalah p, maka peluang katagori yang lain adalah q = 1 - pq = 1 - p

Digunakan untuk menentukan peluang sebuah nilai dari sebuah contoh berukuran n pada sebuah kategori …..

P(X=x)= C(n,x) px (1-p)n-x, untuk

x = 0,1,2,3…,n

Dimana C(n,x) adalah koefisien binomial

Sedangkan mean dan ragamnya adalah

, = n.p , 2 = n.p.q

x)!(nx!

n!

Contoh : Diharapkan hanya 30% telur ikan yang akan ditetaskan gagal untuk menetas. Dalam sebuah contoh yang terdiri dari 5 butir telor ikan, berapa peluang bahwa tidak ada telur yang gagal menetas, satu telur yang gagal menetas, dua telur yang gagal menetas, tiga telur yang gagal menetas, empat telur yang gagal menetas, empat telur yang gagal menetas dan lima telur yang gagal menetas :

P(x = 0) = C(5,0) (0,3)0 (0,7)5-0

P(x = 1) = C(5,1) (0,3)1 (1-0,3)5-1

P(x = 2) = C(5,2) (0,3)2 (1-0,3)5-2

P(x = 3) = C(5,3) (0,3)3 (1-0,3)5-3

P(x = 4) = C(5,4) (0,3)4 (1-0,3)5-4

P(x = 5) = C(5,5) (0,3)5 (1-0,3)5-5

• Seorang penjual mengatakan 25% dari seluruh dagangannya rusak akibat truk yang membawa barang mengalami kecelakaan

• Jika seorang membeli barang dagangan sebanyak 10 buah

• Tentukan :• a. Prob orang itu akan mendapat 5 barang cacat• b. Prob orang itu mendapat paling banyak 3

cacat• c. Rata-rata dan Simpangan baku

Distribusi Poison1. Distribusi Poison menjelaskan kejadian-kejadian

acak, baik kejadian-kejadian menurut ruang maupun waktu.

Misalnya : distribusi jumlah bintik hitam pada udang yang baru dipanen dari 1 ha tambak udang, distribusi jumlah phytoplankton pada ruang contoh seluas 1 m2 (bujur sangkar). Distribusi kecelakaan kapal-kapal penangkap ikan perhari di perairan Indonesia. Distribusi jumlah kepiting pada setiap terumbu karang diperairan Indonesia.

2. Distribusi Poisson merupakan distribusi binimial dengan n sangat besar dan peluang kejadiannya sangat –sangat kecil. Dari contoh pertama di atas n adalah jumlah keseluruhan udang dari panenan tambak seluas 1 hektar, dan p adalah peluang ditemuinya bintik hitam di tubuh udang.

Distribusi Poison

3. Untuk menghitung peluang distribusi Poison tidak perlu diketahui baik nn maupun p-nyap-nya. Yang perlu diketahui adalah jumlah rata-rata kejadian per unit ruang atau waktu

4. Bila m adalah jumlah rata-rata dari objek atau kejadian per unit ruang atau waktu yang dapat diduga dari jumlah rata-rata contoh maka peluang untuk mendapatkan jumlah tertentu :

Untuk x = 0,1,2,3,…dst dengan e = 2,71828 ..

x!

μex)P(x

xμ

Contoh : Jumlah rata-rata kepiting yang menyebar secara acak diterumbu karang adalah 2 ekor per meter persegi. Berapa peluang bahwa secara random 1 meter persegi terumbu karang tidak ada kepitingnya sama sekali, ada satu ekor kepiting; ada 2 ekor kepiting dst.nya

0!

.2e0)P(x

02

1!

.2e1)P(x

12

2!

.2e2)P(x

22

• Prob seorang menderita reaksi buruk thd suntikan suatu jenis serum adalah 0,001

• Bila suatu daerah diberikan suntikan jenis serum kepada 2000 penduduknya

• Tentukan :

• a. Prob tepat 3 orang yang akan menderita reaksi buruk

• b. Prob lebih dari 2 orang

Distribusi Normal

1. Distribusi peluang kontinu yang pada umumnya menjelaskan berbagai macam kejadian alam.

2. Membentuk kurva yang tidak terputus-putus, yang merupakan histogram frekuensi relatif dimana jumlah pengamatannya (n) banyak sekali dan lebar kelas intervalnya sangat sempit.

3. Merupakan kurva simetris berbentuk lonceng (genta) dengan 68,3% luas area dibawahnya berada diantara 1 (simpangan baku) dari (mean); 95,44% diantara 2 (simpangan baku) dari (mean) dan 99,74% diantaranya 3 (simpangan baku) dari (mean).

Catatan : 95% luas area dibawah kurva normal diantara 1,96 (simpangan baku dari mean)

4. Kurva normal dapat berupa kurva normal baku bila mean () =0 (nol) dan simpangan baku () = akar dari ragam (2) = 1 dan dapat disebut distribusi Z

5. Total luas area dibawah kurva = 1 (sesuai dengan hukum peluang)

6. Setiap distribusi normal dapat ditransformasi kedalam distribusi normal baku (z) dengan cara

dimana z merupakan jarak antara dan

x, yang diukur dalam simpangan baku (). Nilai z dikenal sebagai nilai baku, dimana peluang z antara nol (0) dan sebuah nilai z tertentu (z0) telah tersusun dalam sebuah tabel statistika.

x

z

7. Sebuah variabel x menyebar normal ditulis x ~ n ( , 2)

8. Distribusi normal yang merupakan distribusi peluang kontinu disebut pula distribusi Gaussian akan menghasilkan kurva normal yang dibatasi oleh

persamaan :

Dimana = mean, = simpangan baku, = 3,14159 dan e = 2,71828..

22 /σμ)(x2

1

e2πσ

1y

9. Luas area dibawah kurva dan sumbu x adalah satu; berarti luas area dibawah kurva dan sumbu x pada ordinat x = a dan x = b, dimana a lebih kecil dari b ( a < b), menunjukkan peluang bahwa x berada diantara a dan b dan ditulis P (a < x < b).

10. Apabila variabel x ditulis dalam satuan yang baku yaitu z, maka z = (x - ) / , dan persamaan di atas menjadi :

Dimana z merupakan distribusi normal baku dimana meannya sama dengan nol dan ragamnya sama dengan satu.

2z 2

1

e2πσ

1y

Soal prob bersyarat

Suatu Perusahaan memp. 3 buah mesin M1, M2 dan M3. Hasil prod. Masing-ma sing H1, H2 dan H3.

Mesin M1 menghasilkan 60% dr sel.prodMesin M2 menghasilkan 25% dr sel.prodSedang sisanya dihasilkan mesin M3Diket 5% dr H1, 2%dr H2 dan 8% dr H3 cacat1. Bila kita pilih 1 prod ternyata baik, brp prob produk tsb

dihasilkan dari mesin 1, mesin 2 dan mesin 3 ?2. Bila suatu waktu dihasilkan 10.000 produk, berapa

banyaknya yang cacat ?

Rumah makan menggolongkan langganannya sbb : Pedagang, Pegawai dan Mahasiswa dg perb. 10, 15, 5

Pob seorang Ped pesan kue 0,3 mak 0,5 min 0,8Prob seorang Peg pesan kue 0,45 mak 0,40 min

0,85Prob seorang Mhs pesan kue 0,50 mak 0,20 min

0,85Pert: Bila suatu hari ada yang pesan kue, brp prob

pemesan itu seorang Mhs ?

Soal distribusi Normal

4. Ujian Statistik yang diikuti 100 mahasiswa mendekati distribusi normal, dengan nilai rata-rata 7,0 dan standart deviasi nilai 1,20

Pertanyaan : a. berapa jumlah mhs yang nilai ujiannya antara 6,5 sampai

dengan 7,5 ?b. jika untuk lulus ujian dengan nilai minimum 6,0 berapa

mahasiswa yang mengulang ? Tabel Z ( 0,42 ) Luas = 0,1628 Z ( 0,83 ) Luas = 0,2967c. Hitung nilai dari 30 mhs terbaik (nil minimum)

1. Z merup var stand normal, carilah prob atau luas kurva normal

a. p ( z> 1,23 ) b. p ( z < - 2,12 ) c. p ( z > 1,17 ) d. p ( z > - 1,62 ) e. p ( - 1,56 < z < 0,64 )

2. Z merup var stand normal, carilah nilai c

a. p ( z < c ) = 0,0250

b. p ( z > c ) = 0,0280

c. p (-c < z < c ) = 0,9500

d. p (-c < z < c ) = 0,9800

3. Hitunglah berapa prob bila 120

pelemparan sebuah mata uang akan

muncul antara :

a. 40% sampai 60% muncul gambar

b. 62 ½ atau lebih muncul gambar

c. Paling sedikit 60% muncul gambar

• 5. Nilai rata-rata ujian masuk Undip 67,75 dengan simpangan baku 6,25, jika dist, normal dan banyak calon 10.000 orang

Tentukan : a. Brp % banyak calon yang nilainya lebih dari 70 ? b. Brp calon yang nilainya antara 70 dan 80 ? c. Brp orang calon yang nilainya lebih besar atau sama dengan 75 ?

• Bila dalam suatu kelompok terdapat 4 kimiawan dan 3 fisikawan. Buatlah panitia 3 orang yang terdiri atas 2 kimiawan dan 1 fisikawan ?

• Hitung n : a. n C 2 = 45

b. n C 2 = n C 3

c. n P 4 / n-1 C 3 = 60

• Sepasang mata uang dilemparkan 3 kali A adalah kejadian pada lemparan pertama muncul angka. B adalah kejadian pada lemparan kedua muncul angka. C adalah kejadian dua angka muncul berurutan. Buktikan bahwa kejadian A dan B bebas dan kejadian B dan C tergantung.