Post on 02-Jun-2018
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
1/133
SKRIPSI
SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATASZp
Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta
Untuk Memenuhi Seagian Persyaratan !una Memperoleh !elar
Sarjana Sains
Disusun Oleh :
PUGUH WAHYU PRASETYO
0630!"!0!!
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
#URUSA$ PE$DIDIKA$ MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DA$ ILMU PE$GETAHUA$ ALAM
U$IVERSITAS $EGERI YOGYAKARTA
%0!0
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
2/133
PERSETU#UA$
S&'i(si
Sis)e* K'i()+,'-.i Ku'/- Eli()i& -)-sZp
"elah Disetujui dan Disyahkan pada "anggal # April $%&%
Untuk Dipertahankan Didepan Panitia Penguji Skripsi
Program Studi Matematika'urusan Pendidikan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta
Menyetujui
Pemiming I Pemiming II
Sukirman( M)Pd *aturiyati( M)Si
NIP) &+,# %#&-&+.+ %&&%%& NIP)&+-/&$$%%%%/$%%&
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
3/133
PER$YATAA$
Yang ertanda tangan di a0ah ini 1
Nama Mahasis0a 1 Puguh 2ahyu Prasetyo
NIM 1 %./%3&,&%&&
'urusan4 Prodi 1 Pendidikan Matematika4 Matematika
Fakultas 1 MIPA
'udul "AS 1 Sistem Kriptogra5i Kurva 6liptik atasZp
Menyatakan ah0a skripsi ini adalah hasil pekerjaan saya sendiri dan sepanjang
pengetahuan saya( tidak erisi materi yang dipulikasikan atau ditulis oleh orang lain
atau telah digunakan seagai persyaratan penyelesaian studi di Perguruan "inggi lain
ke7uali pada agian8agian tertentu yang saya amil seagai a7uan)
Apaila ternyata terukti pernyataan ini tidak enar( sepenuhnya menjadi
tanggungja0a saya)
Yogyakarta( & April $%&%
Yang Menyatakan
Puguh 2ahyu Prasetyo
NIM) %./%3&,&%&&
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
4/133
PE$GESAHA$
S&'i(si
Sis)e* K'i()+,'-.i Ku'/- Eli()i& -)-sZp
Disusun 9leh 1
Puguh 2ahyu Prasetyo
%./%3&,&%&&
"elah Dipertahankan Di Depan Panitia Penguji Skripsi Program Studi
Matematika( Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam( Universitas NegeriYogyakarta pada tanggal $% April $%&% dan dinyatakan telah memenuhi syarat guna
memperoleh gelar sarjana sains)
Susunan Panitia Penguji Skripsi
Nama 'aatan "anda "angan "anggal
Sukirman( M)Pd Ketua Penguji
*aturiyati( M)Si Sekretasis Penguji
Dr) :artono Penguji Utama
6mut( M)Si Anggota Penguji
Yogyakarta( April $%&%
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta
Dekan
Dr) Aris0an
NIP) &/&-+&/.-
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
5/133
MOTO
Hai jama'ah jin dan manusia, jika kamu sanggup menembus(melintasi) penjuru langit dan bumi, maka lintasilah, kamu tidakdapat menembusnya kecuali dengan kekuatan (ilmu).
-QS. Ar Rahmaan !!
Hai "rang-"rang beriman, apabila kamu mengadakan pembicaraanrahasia, janganlah kamu membicarakan tentang d"sa, permusuhandan berbuat durhaka kepada Rasul. #an bicarakanlah tentangmembuat kebajikan dan tak$a. #an bertak$alah kepada Allah yang
kepada-%ya kamu akan dikembalikan.-QS. Al &ujaadilah
Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan. &aka apabilakamu telah selesai (dari sesuatu urusan), kerjakanlah dengansungguh-sungguh (urusan) yang lain. #an hanya kepadauhanmulah hendaknya kamu berharap.
-QS. Alam %asyrah - *
Allah menghendaki kemudahan padamu semua dan tidak
menghendaki kesukaran untukmu semua.+
-QS. Al aarah */
Allah &aha lembut terhadap hamba-hamba-%ya0 #ia memberi re1ki
kepada yang di kehendaki-%ya dan #ialah 2ang &aha 3uat lagi
&aha 4erkasa.
QS. Asy Syuura
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
6/133
PERSEMAHA$
3arya kecil ini penulis persembahkan untuk
Ayahanda dan 5bunda ercinta, serta Adik
ersayang.
6uru-guruku.Sahabat-sahabatku dalam menuntut
ilmu, terutama teman-temanku
mahasis$a &atematika Subsidi 7
S$adana 899.
4enulis mengucapkan terimakasih kepada
.5bu 3aryati.8.&as &uhammad :aki Riyant".!.eman-teman &atematika Subsidi 7
S$adana 899 (Husein, 6igin, ;ucie,
au
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
7/133
KATA PE$GA$TAR
Alhamdulillah( puji syukur penulispanjatkan ke hadirat Allah S2" atas
segala limpahan rahmat dan karunia8Nya( sehingga penulis dapat menyelesaikan
penulisan skripsi yang erjudul ;Sistem Kriptografi Kurva Eliptik atas Zp ini)
Penulis menyadari sepenuhnya ah0a dalam penulisan skripsi ini tidak
terlepas dari dukungan( motivasi( kerjasama maupun imingan dari eragai pihak)
9leh karena itu( penulis mengu7apkan terimakasih yang seesar8esarnya kepada 1
&)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
8/133
,)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
9/133
DAFTAR ISI
:alaman 'udul =======================)) i
:alaman Persetujuan ===================== ii
:alaman Pernyataan ===================== iii
:alaman Pengesahan ===================== iv
:alaman Moto =======================) v
:alaman Persemahan ====================)) viKata Pengantar =======================) vii
Da5tar Isi =========================)) i>
Da5tar !amar =======================)) >ii
Da5tar "ael ========================)) >iii
Da5tar ?ampiran ======================= >iv
Da5tar Simol ========================) >v
Da5tar Algoritma ======================)) >vi
Astrak ==========================)) >vii
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
10/133
,) Fungsi Invers ==================== #
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
11/133
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
12/133
DAFTAR GAMAR
!amar $)&) Skema Sistem Kriptogra5i Modern ============ 3.
!amar /)& Sistem Kriptogra5i Kurva 6liptik atasZp=========) -&
!amar /)$1Pengiriman Pesan oleh
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
13/133
DAFTAR TAEL
"ael $)&) Perhitungan g7dC+%($3 dengan menggunakan
Algoritma 6u7lid ============)))===)
"ael /)&) "itik B titik pada kurvay$Ex/x / atasZ11 ====) .+
"ael /)$) Sugrup Siklik dalamy$Ex/x / mod && dengan
generator E C3(& =============== -%
"ael /)/) Konversi Pesan ;mat%.G =============) #&
"ael /),) Proses 6nkripsi ================= #$
"ael /)3) Proses Dekripsi ================= #,
"ael /).) Proses 6nkripsi Pesan Untuk !inanjar ========) ##
"ael /)-) Proses 6nkripsi Pesan Untuk Kholis ========)) ##
"ael /)#) Proses Dekripsi Pesan 9leh !inanjar =====)===) #+
"ael /)+) Proses Dekripsi Pesan 9leh Kholis )========)) +%
"ael /)&%) Konversi Karakter *ontoh /), ====))====== +3
"ael /)&&) Proses 6nkripsi oleh King I ===))=======))) +-
"ael /)&$) Proses Dekripsi Pesan oleh King II ========)) +#
"ael /)&/) Konversi Karakter Pesan ;Seratus 'utaanG ==))=== &%%
"ael /)&,) Proses 6nkripsi Pesan oleh King II ========) &%%
"ael /)&3) Proses Dekripsi Pesan 9leh King II ======== &%&
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
14/133
DAFTAR LAMPIRA$
?ampiran &) Program Maple untuk
ECH/,-1y2= x3+ x + 3 mod/,-=======) &&&
?ampiran $) Prosedur epoints adde! dan elgamal======) &&$
?ampiran /) "itik8titik pada Kurva
ECH/,-1y2
= x3
+ x + 3 mod /,-=======)) &&,
?ampiran ,) Sugrup Siklik dalamECH/,-1y2= x3+ x + 3mod /,-
dengan generator E C%(+3 ========) &&.
?ampiran 3) Konversi Karakter Pesan =========== &
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
15/133
DAFTAR SIMOL
x " 1xanggota"
a # $ 1 amemagi
g7dCa( 1 Faktor Persekutuan "eresar dari adan $
a 1 ilangan ulat teresar yang leih ke7il atau sama dengan a
DCm 1 anyaknya elemen dari himpunan residu sederhana modulo m
=
n
i
ia&
1 penjumlahan naaa +++ ))))$&
n
i
ia&=
1 perkalian naaa ))))) $&
Hp 1 himpunan semua ilangan ulat modulo p
Hp 1 himpunan kelas ilangan ulat modulo p yang saling prima dengan p
6CHp 1 Kurva eliptik atas Hp
1 titik in5inity)1 akhir suatu ukti)
M 1 himpunan semua plainte>t)
* 1 himpunan semua 7hiperte>t)
el 1 5ungsi enkripsi)
dl 1 5ungsi dekripsi)
:@" 1 :impunan @esidu "erke7il)
S@? 1 Sistem @esidu ?engkap)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
16/133
DAFTAR ALGORITMA
Algoritma $)&) Algoritma 6u7lide ===============
Algoritma $)$) Algoritma 6u7lide yang Diperluas ========)) $&
Algoritma $)/) Algoritma "est Miller =============)) /$
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
17/133
Sis)e* K'i()+,'-.i Ku'/- Eli()i& -)-sZp
Oleh :Pu,uh W-h2u P'-se)2+
0630!"!0!!
ASTRAK
Sistem kriptogra5i kurva eliptik atas Zp( merupakan sistem kriptogra5iasimetri( yang merupakan salah satu solusi dari permasalahan keamaan distriusikun7i pada sistem kriptogra5i simetri) "ingkat keamanan sistem kriptogra5i kurva
eliptik didasarkan atas Ellipti! %urve &is!rete 'ogaritm (ro$lem C6*D?P padakurva eliptik modulo prima) Semakin esar ilangan prima dan Ellipti! %urve&is!rete 'ogaritmyang digunakan( maka tingkat keamanan pengiriman pesan denganmenggunakan Sistem kriptogra5i kurva eliptik atasZp semakin tinggi)
Sistem kriptogra5i kurva eliptik atasZp mempunyai kun7i pulik erupa duapasang titik pada kurva eliptik atas Zp dan kun7i rahasia erupa satu ilangan ulat)Sistem kriptogra5i ini melakukan proses enkripsi dan dekripsi pada plaintext dandihasilkan !)ipertext yang masing8masing terdiri dari dua pasang titik pada kurvaeliptik atasZp)
Pada skripsi ini diahas algoritma kriptogra5i kurva eliptik atas Zp yang
digunakan dalam proses pementukan kun7i( proses enkripsi dan proses dekripsi)Proses pementukan kun7i yang terdiri dari proses pementukan kun7i pulik dankun7i rahasia) Pada proses pementukan kun7i dipilih CxyE*ZpCkurva eliptikatas Zp( dengan xy Zp dan dipilih ilangan rahasia kZp,- Kemudian di7ari E*Zp dengan menghitung E k) Kun7i pulik adalah pasangan C( dan kun7i rahasianya adalah ilangan k) Kemudian kun7i pulik dikirim kepadapengirim pesan( agar pengirim pesan dapat melakukan proses enkripsi( yangmenghasikan !)ipertext J!&( !$ dengan !& Esdan !$E s untuk setiap. Cplaintext dan searang ilangan ulat a7ak sZp,- Setelah diperoleh!)ipertext( maka pengirim pesan mengirim pesan terseut kepada penerima pesan(kemudian penerima pesan dapat melakukan proses dekripsi( dengan menggunakan
kun7i rahasia k) Proses dekripsi ini akan menghasilkan Cplaintext denganmenghitung E !$B k,!&( untuk setiap J!&( !$ % C!)ipertext)
K-)- Kuni : kriptogra5i( sistem kriptogra5i( kurva eliptik( plaintext( !)ipertext(kun7i pulik(Ellipti! %urve &is!rete 'ogaritm (ro$lem-
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
18/133
A I
PE$DAHULUA$
A1 L-)-' el-&-n,
Perkemangan ilmu pengetahuan yang sangat pesat menuntut eragai pihak
untuk melakukan penelitian terhadap eragai aspek kehidupan untuk menghasilkan
sesuatu yang aru) Di antaranya adalah perkemangan matematika( terutama
perkemangan aplikasinya dalam teknologi in5ormasi yang sangat erman5aat agi
kehidupan manusia) Salah satu penggunaan teknologi in5ormasi adalah pada
pengiriman pesan) Akan tetapi seiring dengan erkemangannya ilmu pengetahuan
dan teknologi( pengiriman pesan terseut juga mengalami anyak kendala( di
antaranya tentang kerahasiaan suatu pesan( sehingga memutuhkan suatu ilmu untuk
menjaga keamanan dan kerahasiaan pesan terseut) Dengan hal ini erkemanglah
kriptogra5i) Sedangkan de5inisi kriptogra5i adalah ilmu pengetahuan yang
mempelajari suatu sistem matematis untuk menyelesaikan masalah kerahasiaan dan
keaslian CYan( $%%+ 1 $#-) Selain itu juga terdapat de5inisi yang menyatakan ah0a
kriptogra5imerupakan ilmu yang mempelajari enkripsi dan dekripsi suatu in5ormasi
atau pesan CYan( $%%+ 1 $#-) Pesan yang dapat dia7a diseut dengan plaintext-
Proses untuk merahasiakan suatu plaintext diseut dengan enkripsi( dan hasil dari
enkripsi plaintextmerupakan pesan yang tidak dapat dia7a dengan jelas diseut
dengan !)ipertext) 6nkripsi ini digunakan untuk menegaskan ah0a pesan dapat
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
19/133
dijaga kerahasiaannya dan keasliannya) Sedangkan proses kealikan dari enkripsi ini
yaitu menguah !)ipertextmenjadi entukplaintextaslinya diseut dengan dekripsi)
Proses enkripsi dan dekripsi terjadi dalam kerangka suatu sistem kriptogra5i
CSalomaa( &++. 1 /)S=R
A>S=R
=nkripsidengan
#ekripsi
dengan
menggunakan
kunci rahasiaPlainte
xt
Plaintext
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
20/133
Kun7i Pulik
%)ipertext
!amar &)&) Diagram Sistem Kriptogra5i AsimetriKeterangan 1
1- "erdapatplaintextdari userA)2- Kemudianplaintextterseut dienkripsikan dengan kun7i pulik yang terdapat
pada user< menjadi !)ipertext-3- Setelah !)ipertext diperoleh user
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
21/133
atas Hp) DenganZpadalah himpunan ilangan ulat modulopdan padalah ilangan
prima dan Zp merupakan suatu lapangan hingga) Sedangkan himpunan
Hp E &( $( /( ,( )))( p8& adalah himpunan ilangan ulat modulo pyang saling
prima denganp)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
22/133
dan men7ari generator sugrup siklik dalam kurva eliptik) Pada skripsi ini tidak
memahas mengenai pengemangan sistem kriptogra5i yang lain) Selain itu juga
tidak dijelaskan mengenai program dari sistem kriptogra5inya( simulasi sistem
kriptogra5i kurva eliptik atas Hpdengan ahasa pemrograman maupun aplikasinya
dalam keamanan email( keamanan 0e( kartu pintar( atau aplikasinya pada idang
yang lain dan skripsi ini tidak memahas mengenai kesulitan dan 7ara87ara untuk
meme7ahkan mekanisme penyandian)
D1 Tuu-n Peneli)i-n
"ujuan dilaksanakan penelitian ini adalah menjelaskan konsep B konsep
matematis yang melandasi sistem kriptogra5i kurva eliptik atas Hpdan menerapkan
sistem kriptogra5i kurva eliptik atas Hpdalam seuah algoritma pementukan kun7i(
algoritma enkripsi dan dekripsi)
E1 M-n.--) Penulis-n
Dari hasil penelitian ini diharapkan dapat memeri in5ormasi tentang kurva
eliptik atas Hpdan pengemangannya pada sistem kriptogra5i yang erlandaskan teori
ilangan( logaritma diskrit( dan struktur aljaar) Selanjutnya diharapkan dapat
memerikan pemahaman agi pema7a dan pihak B pihak yang erke7impung dalam
kriptogra5i)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
23/133
A II
DASAR TEORI
Pada a ini diahas konsep dasar yang erhuungan dengan 5ungsi( ilangan
ulat seperti keteragian( 5aktor persekutuan teresar( algoritma pemagian pada
ilangan ulat( algoritma 6u7lid( Algoritma 6u7lid yang diperluas( kekongruenan(
perkongruenan linier( eerapa kekongruenan khusus( sisa kuadratik( simol 'a7oi)
Sedangkan pada struktur aljaar diahas mengenai partisi dan ekuivalensi( grup( grup
siklik( gelanggang( dan lapangan serta memahas kriptogra5i seperti de5inisi
kriptogra5i( sejarah kriptogra5i( algoritma kriptogra5i dan sistem kriptogra5i serta
persamaan 2eierstrass)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
24/133
A1 Fun,si
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
25/133
Pemetaan ini surjekti5 sea jika e( maka terdapat ! dengan !
E$
#esedemikian hinggafC! EfC
$
#e E $C
$
#e # E e)
Karena pemetaan ini injekti5 dan surjekti5 maka dapat disimpulkan ah0a pemetaan
ini adalah pemetaan ijekti5)"1 Fun,si In/e's
De.inisi %1"1 7Menees e)1 Al8 !;;< :
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
26/133
melakukan prosesnya) Pada himpunan ini erlaku si5at assosiati5( komutati5 dan
distriuti5 perkalian terhadap operasi penjumlahan)
!1 Ke)e'5-,i-n
De.inisi %11 7Su&i'*-n8 %006 : 339
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
27/133
u&)i :
a#$maka terdapat ilangan ulat msedemikian hingga $ = ma
$#!maka terdapat ilangan ulat nsedemikian hingga ! = n$E n *ma( sehingga ! =
mnadengan mnanggota ilangan ulat( akiatnya a#!)
Te+'e*- %1%) 7Su&i'*-n8 %006 : 3"9
'ika a#$maka a#m$( untuk setiap milangan ulat)
u&)i:
'ika aQ maka terdapat ilangan ulat ksedemikian hingga $ = ka( apaila kedua ruas
dikalikan dengan ilangan ulat mmaka diperoleh m$ = mka) Misalkan ilangan
ulat ndengan n = mk( maka m$ = na( sehingga a#m$)
Apaila a#$ dan a#!( menurut de5inisi $)3( maka diperoleh $ = kadan ! = mauntuk
ilangan B ilangan ulat kdan m)
Dari dua kesamaan ini dapat diperoleh ah0a 1
*i $ + ! = *k+maerartia # *$+!
*ii $ 5 ! = *k 5maerartia # *$!
*iii $-! = *kmaaerartia # $!
Te+'e*- %131 7Su&i'*-n8 %006 : 39
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
28/133
Apaila a#$dan a#!( maka a# *$+!dan a# $!
u&)i :
'ika a#$maka terdapat ilangan ulat msedemikian hingga $ = ma)
'ika a#!maka terdapat ilangan ulat n sedemikian hingga ! = na)
Sehingga $ + ! = ma + na
$ + ! = *m+na
'adi dapat disimpulkan ah0a a#$+!
'ika a#$maka terdapat ilangan ulat m sedemikian hingga $ = ma)
'ika a#!maka terdapat ilangan ulat nsedemikian hingga ! = na)
Sehingga $! = *ma*na
$! = *mnaa
'adi dapat disimpulkan ah0a a#$!
Te+'e*- %1"17Su&i'*-n8 %006 : 39
Apaila a#$dan a#!maka a # *m$ + n!untuk setiap ilangan ulat mdan n)
u&)i :
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
29/133
Menurut "eorema $)$ jika a#$ maka a#m$untuk setiap ilangan ulat m( demikian
juga jika a#!maka a#n! untuk setiap ilangan ulat k) Karena a#m$maka m$ = ka
dengan ilangan ulat k( dan a#n!maka terdapat ilangan ulat l sedemikian sehingga
n! = la) Sehingga diperoleh m$ + n! = ka + la = *k+la( akiatnya a#*m$ + n!)
Te+'e*- %117Su&i'*-n8 %006 : 39
Ci a#auntuk setiap ilangan ulat aCsi5at re5lekti5)
Cii 'ika a#$maka ma#m$untuk setiap ilangan ulat m)
Ciii 'ika ma#m$dengan mR %( maka a#$)
Civ &Qadan aQ%
Cv 'ika %Qamaka aE %
Cvi 'ika a#$dengan $R %( maka #a# 6 #$#
Cvii 'ika a#$dengan $#a( maka Qa# = #$Q)
u&)i :
*i a#a( jelas) Karena a = a
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
30/133
*ii 'ika a#$maka terdapat ilangan ulat n( sedemikian sehingga $ = na) Apaila
kedua ruas dikali dengan manggota ilangan ulat maka diperoleh m$ = mna
atau m$ = n*maakiatnya ma#m$
*iii 'ika ma#m$ dengan m R % maka terdapat ilangan ulat k( sedemikian
sehingga m$ = kma atau m$ = mka) Apaila kedua ruas diagi dengan m
diperoleh $ = ka( akiatnya a#$-
*iv &Qa( jelas) Karena & memagi semua anggota ilangan ulat)
Karena terdapat ilangan ulat k( dengan kE %( sehingga akE %( akiatnya aQ
%)
*v 'ika %Qamaka terdapat ilangan ulat k( dengan nR %( sedemikian sehingga a
= n)%( karena n R % maka kedua ruas dapat diagi dengan n( sehingga
diperolehn
aE %( akiatnya aE %)
*vi 'ika aQdan % ( maka terdapat ilangan ulat p( denganp % sedemikian
sehingga $ = a-p) Akiatnya Q$Q = |a-p# |aQ)
*vii 'ika a#$ dengan $#a) Untuk a#$) Dari pemuktian Cvi diperoleh Qa# 6 #$Q)
Untuk $#a( maka terdapat ilangan ulat 7( dengan 7 0, sedemikian sehingga
a = $-7) akiatnya Qa# = #$7# |$|. Sehingga dapat disimpulkan ah0a Qa# = #
$Q)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
31/133
%1 F-&)+' Pe'se&u)u-n Te'5es-'
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
32/133
Te+'e*- %16 7Su&i'*-n %006 : "09
'ikag!dCa$= d( makag!dCa / d $ / d E &
u&)i :
'ika g!dCa$ E d maka dapat disimpulkan ah0a d adalah ilangan ulat positi5
teresar sedemikian hingga d#adan d#$) Karena d#amaka terdapat ilangan ulat m
sedemikian hingga a = md akiatnya a/d = m) Demikian juga untuk d#$ maka
terdapat n anggota ilangan ulat sedemikian hingga $ = nd akiatnya $/d = n)
Karena dmerupakan 5aktor persekutuan teresar dari adan $( maka ilangan ulat m
dan nsaling prima sehingga g!dCmn E &) 'adi dapat disimpulkan ah0ag!dCa/d
$/d Eg!dCmn E &)
Apaila a dan $ dua ilangan ulat positi5 dengan g!dCa$ E &( maka dikatakan
ah0a adan $saling prima atau aprima relali5 terhadap $)
Misalkan a dan dua ilangan ulat dengan a %( maka diagi oleh a akan
memerikan hasilagi dan sisa pemagian) :al ini dinyatakan seagai teorema
erikut ini dan terkenal dengan nama8lgoritma (em$agian.
31 Al,+'i)*- Pe*5-,i-n (->- il-n,-n ul-)
De.inisi %1=1 7uh*-nn8 %000 : %9
Untuk setiap ilangan real V R dide5inisikan E ma> L 1 L W V)
Dengan demikian( merupakan ilangan ulat teresar yang leih ke7il atau sama
dengan V)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
33/133
4+n)+h %11
&) .-(&& E &&
$) /$(+ E 8&%
Te+'e*- %1
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
34/133
kontradiksi dengan yang diketahui yaitu 7E
$
a) Selanjutnya( dari hasil terakhir dan
karena $ %) Maka % W r 9 $) Untuk ukti ketunggalannya( misalkan terdapat
7172r1r2H sedemikian hingga a = 71$ + r1dan a = 72$ + r2) Akiatnya diperoleh
C71$ + r1 B C72$ + r2 E % atau $C7172 Cr1r2 E %) Karena 71E
$
adan 72E
$
a(
maka 71 = 72( sehingga 71 72E %) Akiatnya r1r2E % atau r1= r2)
4. Al,+'i)*- Euli>
Untuk menghitung nilai 5aktor persekutuan teresar dari dua ilangan ulat
akan sangat e5isien dengan menggunakan seuah algoritma) Dan algoritna ini diseut
dengan algoritma 6u7lid)
Te+'e*- %1=) 7uh*-nn8 %000 : !%9
Dierikan a $H)
&) 'ika $E %( makag!dCa$ E QaQ)
$) 'ika $R %( makag!dCa$ Eg!dC$ r( dengan rE a B $k untuk suatu ilangan
ulat k)
u&)i:
&) 'elas ah0ag!dCa$ Eg!dCa(% EQaQ
$) Misalkan d E g!dCa$ dan r = a mod $) Menurut "eorema $)-( terdapat 7H
dengan aE 7$ r) Karena rE aB $7maka d#r) Akan ditunjukkan ah0a dE
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
35/133
g!dC$r) Diamil searang ilangan ulat t sedemikian hingga t#$ dan t#r yaitu
terdapatn mH sedemikian hingga $ = ntdan r = mt) Sehingga diperoleh aEnt7 mtE tCn7 m atau tQa) Diketahui dEg!dCa$( karena t#adan t#$maka t 6 d
dan t#d) "erukti ah0a dEg!dCa$ Eg!dC$ r)
Misalkan di7ari 5aktor persekutuan teresar dari a dan $ atau g!dCa$ dengan
algoritma 6u7lid dengan langkah B langkah seagai erikut)
$ = ro = 71-a + r2 ; 9 r29 $
a = r1 = 72-r2+ r3 ; 9 r39 r2
r2 = 73-r3+ r ; 9 r9 r3
r3 = 7-r+ r> ; 9 r>9 r
r = 7>-r>+ r? ; 9 r>9 r
----
rk2 = 7k1-rk1+ rk ; 9 rk9 rk1
rk1 = 7k-rk+ ;/
Dengan menggunakan "eorema $)#) dapat ditunjukan ah0a
g!dCa$ Eg!dCar2 Eg!dCr2r3 E ))))Eg!dCrk2rk1 Eg!dCrk1rk Eg!dCrk(% E rk)
Al,+'i)*- %1!1 Al,+'i)*- Euli>e CMeneLes et al( &++. 1 ..
@nput 1
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
36/133
&)& Set r
$
a a$ $r-
$) Autput Ca)
4+n)+h %16
Akan dihitungg!dC+%($3) Dengan menggunakan algoritma 6u7lide diperoleh 1
?angkah & 1g!dC+%($3 Eg!dC$3(&3( karena +% E /)$3 &3)
?angkah $ 1g!dC$3(&3 Eg!dC&3(&%( karena $3 E &)&% &3)
?angkah / 1g!dC&3(&% Eg!dC&%(3( karena &3 E &)3 &%
?angkah , 1g!dC&%(3 E 3( karena &% E $)3 %)
'adig!dC+%($3 Eg!dC&%(3 E 3
T-5el %1!1 Pe'hi)un,-ngcd7;08%9 >en,-n *en,,un-&-n Al,+'i)*- Euli>
k % & $ / , 3
ak +% $3 &3 &% 3 %7k / & & $
5. Al,+'i)*- Euli> Y-n, Di(e'lu-s
Te+'e*- %1;17Su&i'*-n8 %006 : "39
Apaila adan $ilangan B ilangan ulat tidak nol( maka ada ilangan B ilangan
ulatxdanysedemikian hingga a-x + $-yEg!dCa $)
u&)i :
Dientuk himpunan S( yaitu himpunan semua kominasi linier dari a dan $
yang ernilai positi5)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
37/133
SE au + $v # au + $v % dan u vilangan ulat
Sukan himpunan kosong( karena jika a% dan uE &dengan vE % maka aS danjikaaT %( dengan uE 8& dan vE %( maka QaQ S)
Karena Smemuat ilangan B ilangan ulat positi5( maka Smemuat anggota
yang terke7il( misalnya d) Karena d S( maka ada ilangan B ilangan ulatxdany
sehingga ax + $y = d) Selanjutnya( akan ditunjukan ah0a g!dCa$ E d)
Menurut algoritma 6u7lid maka untuk adan $terdapat ilangan B ilangan
ulat 7dan rsedemikian hingga
a = 7d + rdengan % Wr 9 d)
r = a 5 7d = a 5 7Cax + $y
r = aC1 5 7x+ $C7y
Karena r % dan rmerupakan kominasi linier dari a dan $( maka r S) :al ini
kontradiksi)
'adi rE %( sehingga a = 7datau d#a)
Dengan 7ara yang sama maka diperoleh d#$) Sehingga dapat disimpulkan ah0a d
merupakan 5aktor persekutuan teresar dari a dan $) Kemudian( jika ! adalah
searang 5aktor persekutuan dari adan $( yaitu !#adan !#$( maka !#ax + $yatau !#d(
sehingga ! 6 d):al ini mengakiatkan ax + $y = d Eg!dCa$)
Sedangkan untuk men7ari nilai x dan y dapat di7ari dengan menggunakan
algoritma 6u7lide) Dengan algoritma 6u7lide dapat dihitung nilai 5aktor persekutuan
teresar dari ilangan ulat adan$) Menurut "eorema $)+( terdapat ilangan ulatx
dan y dengan g!dCa$ E ax + $y) Selanjutnya( algoritma 6u7lid dapat diperluas
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
38/133
sedemikian hingga dapat digunakan untuk menghitung nilai x danyterseut) Pada
pemahasan tentang algoritma 6u7lid diketahui ah0a diperoleh arisan sisa yaitu ro
r1 r2 ---rkdan arisan hasil agi 71 72 73--- 7k)
Kemudian( dientuk dua arisan Cxn dan Cyn yang diperoleh dari arisan sisa
dan hasil agi sedemikian hingga pada iterasi terakhir diperoleh xE C8&kxkdan y E C8
&kyk)
Ditentukan nilai a0al yaitu xo E &( x&E %( yo E % dany&E &) Selanjutnya(
dierikan persamaanxn&E 7nxnxn8&danyn&E 7nynyn8&( % W nW k)
Te+'e*- %1!017uh*-nn8 %000 : !69
'ikaxoE &(x&E %(yoE %(y&E & denganxn&E 7nxnxn8&danyn&E 7nynyn8&maka rn
E C8&nxna C8&k+1yk$untuk % W nW k +1)
u&)i:
Akan diuktikan dengan menggunakan induksi matematika)
Untuk kE % diperoleh roE $E C&$BC%aExoa8yo$( selanjutnya
r&E aE 8C%a C& $E 8x&ay&$
Misalkan pernyataan enar untuk nW k( maka pernyataan enar untuk n = kyaitu
rkE C8&nxna C8&
n+1yn$)
Akan diuktikan ah0a pernyataan enar untuk kE n &( yaitu
rk&E C8&n+1xn+1a C8&n+2yn+1$
Dari pemahasan tentang algoritma 6u7lide( diketahui ah0a rk+1 = rk17krk) 9leh
karena itu
rk+1= rk15 7krk
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
39/133
E JC8&k1xk1a + C8&kyk1$ 7kJC8&kxka + C8&k+1yk$
E JC8&k1
xk1 7kC8&k
xka + JC8&k
yk1 7kC8&k+1
yk$
E JC8&k1xk1 XkC8&k+1xka JC8&k+2yk18 7kC8&
k+2yk$
E C8&n+1Jxn1 7kxka C8&n+2Jyk1 7kxk$
E C8&n+1xn+1a C8&n+2-yn+1$
Dengan demikian "eorema $)&%) terukti)
Al,+'i)*- %1%1 Al,+'i)*- Euli>e CMeneLes et al( &++. 1 .-
@nput 1 a( $H( a $-
Autput1 dEg!d Ca($ danxyH yang memenuhi a-x + $-y = d-
?angkah 1
&) 'ika $E %( makaset da x&(y%( outputCd(x(y)
$) Set x$&(x&%(y$%(y&&)
/) B)ile $ : % 1
/)& 7
$
a( r a 7$(x x$ 8 7x&(y y$ 8 7y&
/)$ a$ $ r(x$x&(x&x(y$y&(y&y)
,) Set da xx$ yy$ output Cd x y-
4+n)+h %1e Fast Exponentiation
Misalkan gadalah suatu ilangan ulat dan Dadalah ilangan ulat positi5)
Maka untuk menghitung gD dapat dilakukan dengan langkah B langkah seagai
erikut 1
Dientuk ekspansi iner dari ilangan ulat positi5D( yaituDE =
k
i
i
ia
%
$
KarenaDditulis dengan ekspansi iner( maka ai%(&) Sehingga
gD=g=
k
i
iia
%
$ ==
k
i
aii
g%
$DC E
= &(&
$
aki
i
g
Sehingga diperoleh gD dengan 7ara 7epat yang diseut dengan metode ast
Exponentiation-
4+n)+h %1!;1
Akan dihitung nilai dari 3$+# mod &$/,) Ditentukan ekspansi iner dari $+#( yaitu 1
$+# E &)$# &)$3 &)$/ &)$&
Kemudian dihitung 1
3 %$ E 3
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
50/133
3 &$ E $3
3 $
$ E .$3
3 /$ .$3$ .#& Cmod &$/,
3 ,$ .#&$ &%&& Cmod &$/,
3 3$ &%&&$ /.+ Cmod &$/,
3 .$ /.+$ ,$& Cmod &$/,
3 -$ ,$&$ --+ Cmod &$/,
3 #$ --+$ +,- Cmod &$/,
Sehingga diperoleh 1
3$+# 3 #$ )3
3$ )3 /$ )3
&$ Cmod &$/,
+,-) /.+).#&)$3Cmod &$/,
$$&)+#/ Cmod &$/,
3$+# 3+ Cmod &$/,
'adi( 3$+#mod &$/, adalah 3+
Setelah dijelaskan de5inisi "est Miller( yaitu pada De5inisi $)&3 akan dierikan
algoritma "est Miller seagai erikut)
Al,+'i)*- %131 Al,+'i)*- Tes) Mille'1
@nput 1 Seuah ilangan ulat positi5 ganjilp /)
9utput 1
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
51/133
&) "ulispB & E $s)t( dengan t ilangan ulat positi5 ganjil)
$) Amil searang ilangan ulat positi5 a( $ a p 5 &)/) :itungy atC modp menggunakan metodefast exponentiation)
,) 'ikay &C modp atauy C$ 8&C modp dengan $ C s 5 & makap
suatu ilangan ;kompositG)
3) 'ika 'ika y &C modp atauy C$ 8&C modp dengan $ C s 5 &
makap suatu ilangan ;primaG)
4+n)+h %1%01
Dierikan ilangan ulat positi5 ganjilp E /,-) Akan ditunjukkan ah0a merupakan
ilangan prima) Diamil aE $(sE $( dan t E &-/( sehingga diperoleh $&-/ &C mod
/,- ) 'adi terukti ah0a /,- merupakan ilangan prima)
10. Sis- Ku->'-)i&
De.inisi %1!=1 7R+sen8 !;;3 : 33!9
'ika m adalah ilangan ulat positi5( ilangan ulat a sisa kuadratik dari m( jika
g!dCam E & dan perkongruenan x$ a Cmod m mempunyai seuah solusi) 'ika
perkongruenan x$ a Cmod m tidak mempunyai solusi( maka ilangan ulat a
ukan sisa kuadratik dari m)
4+n)+h %1%!1
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
52/133
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
53/133
Dierikanpseuah ilangan prima ganjil dan aseuah ilangan ulat positi5 yang
tidak teragi olehp1 Maka
pa E aCp8&4$ Cmodp
u&)i :
Pertama( diasumsikan ah0a
p
aE &) Maka perkongruenan x$a Cmod p
mempunyai seuah solusixE xo) Dengan antuan teorema 5ermat maka diperoleh 1
aCp8&E Cxo$Cp8&4$Exo
p8&E & Cmodp
9leh sea itu( jika
p
aE &( maka dapat dikatakan
p
aE aCp8&4$Cmodp
Kedua( diasumsikan ah0a
p
aE 8&) Maka perkongruenan x$ a Cmod p tidak
mempunyai solusi) Dengan teorema $) untuk setiap ilangan ulat i sedemikian
hingga & W iWpB &( terdapat dengan tunggal seuah ilangan ulat Cdengan & W
iWpB &( sedemikian hingga iC aCmodp) Selanjutnya( karena perkongruenanx$
aCmodp tidak mempunyai solusi( dapat dikatakan ah0a iRC) 9leh sea itu
ilangan B ilangan ulat &( $( /( )))( p8& dapat dipasangkan menjadi$
&ppasang
dengan perkalian dari a) Dengan mengalikan pasangan8pasangan ini diperoleh Cp8&
aCp8&4$Cmodp
Dengan antuan "eorema 2ilson diperoleh 8& aCp8&4$Cmodp)
Akiatnya
p
a aCp8&4$Cmodp)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
54/133
Te+'e*- %1%=17 R+sen8 !;;3 : 33"9
Misalkanpadalah ilangan prima ganjil( a dan $adalah ilangan B ilangan ulat
yang tidak teragi olehp) Maka
Ci 'ika a $Cmodp( maka
p
aE
p
$
Cii
p
a)
p
$E
p
a$
Ciii
p
a $
E &
u&)i :
Ci 'ika a $ Cmodp( maka perkongruenanx$ a Cmodp mempunyai seuah
solusi jika dan hanya jikax$ $Cmodp mempunyai seuah solusi) 9leh sea
itu
p
aE
p
$)
Cii Dengan antuanEulerFs %riteriondiperoleh 1
p
a aCp8&4$Cmodp(
p
$ $Cp8&4$Cmodp(
p
a$ Ca$Cp8&4$Cmodp)
p
a
p
$ aCp8&4$) $Cp8&4$Cmodp
p
a
p
$
Ca$Cp8&4$Cmodp
Sehingga dapat disimpulkan ah0a 1
p
a
p
$E
p
a$
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
55/133
Ciii Karena
p
aE &( sehingga dari Cii diperoleh 1
p
a$
E
p
a
p
aE &
Te+'e*- %1%;1 7R+sen8 !;;3 : 339'ikapadalah seuah ilangan prima ganjil( maka
p
&E
D,Cmod&jika&
D,Cmod&jika&
p
p
u&)i :
Dengan 6ulerZs *riterion diperoleh 1
p
& C8&Cp8&4$Cmodp
'ikap & Cmod ,( makapE ,k & untuk ilangan ulat k) sehingga diperoleh 1
C8&Cp8&4$E C8&$kE &( akiatnya
p
&E&)
'ikap / Cmod ,( makapE ,k / untuk ilangan ulatp)
sehingga diperoleh 1
C8&Cp8&4$
E C8&$k&
E 8&( akiatnya
p
&
E 8&)
!!1 Si*5+l #-+5i
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
56/133
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
57/133
Civ
n
$E C8&Cn
$ 8&4#)
u&)i :
Dengan 5aktorisasi prima nEp&t&p$
t$ )))pmtm )
Ci Dari 5aktorisasi prima terseut diketahui ah0a p adalah 5aktor atau pemagi
prima dari n( maka a $ Cmod n) 9leh sea itu dengan "eorema $)$# Ci
diperoleh
p
a
E
p
$
) :al ini juga erlaku untuk na
dan n$
( yaitu 1
n
aE
&
&
t
p
a
$
$
t
p
a
))))
mt
mp
a
E
&
&
t
p
$
$
$
t
p
$
))))
mt
mp
$
E
n
$
Cii "eorema $)$# Cii menyatakan ah0a
ip
a$E
ip
a
ip
$( sehingga 1
n
a$E
&
&
t
p
a$
$
$
t
p
a$
))))
mt
mp
a$
E&
&
t
p
a
$
$
t
p
a
))))
mt
mp
a
&
&
t
p
$
$
$
t
p
$
))))
mt
mp
$
n
a$E
n
a
n
$
Ciii "eorema $)$- menyatakan ah0a
p
& C8&Cp8&4$( denganp adalah ilangan
prima) Sehingga 1
n
&E
&
&
&t
p
$
$
&t
p
))))
mt
mp
&
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
58/133
n
&E C8&
+ $4D&&
C& pt
+ $4D&
$C
$ pt $4D&C)))) +
mp
mt
Dengan 5aktorisasi prima dari n( diperoleh 1
nE C&Cp&8& &t C&Cp$8& $t )))) C&Cpm8& mt
Karena CpiB & suatu ilangan genap( maka
C&Cpi8& &t &tiCpi8& Cmod ,
Dan
C&tiCpi8& C&tjCpj8& &tiCpi8& &tjCpj8& Cmod ,
9leh sea itu(
n &t&Cp&8& t&Cp$8& ))) tmCpm8& Cmod ,
akiatnya(
$
D&C nE t&Cp&8&4$ t&Cp$8&4$ ))) tmCpm8&4$ Cmod $
Sehingga diperoleh
n
&E C8&
$
D&C n
Civ 'ikapadalah ilangan prima( maka
p
$E C8&
#4D&C $ p) 9leh sea itu
n
$E
&
&
$t
p
$
$
$t
p
))))
mt
mp
$
n
$E C8&
+ #4D&C $
&& pt ++ ))))#4D&C $
$$ pt + #4D&C $
&& pt #4D&C $
mm pt
Dari pemuktian teorema $)/% Ciii diperoleh 1
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
59/133
n$E C&Cp&$8& &t C&Cp$$8& $t ))) C&Cpm$8& mt )
Karenapj$
B & % Cmod #( sehingga diperoleh 1
C&Cpi$8& it & tiCpi$B & Cmod .,
dan
C& tiCpi$B & C& tjCpj$B & & tiCpi$B & tjCpj$B & Cmod .,
9leh sea itu
n &t&Cp&$8& t&Cp$$8& ))) tmCpm$8& Cmod .,
sehingga
#
D&C $ n
t&Cp&$8&4# t&Cp$$8&4# ))) tmCpm$8&4# Cmod #
Atau
n
$
E C8& #
D&C $ n
41 S)'u&)u' Al-5-'
Pada sua ini dijelaskan eerapa konsep dasar struktur aljaar seperti
Partisi dan relasi ekuivalensi( grup( grup siklik( grup 5aktor( homomor5isma(
gelanggang dan lapangan) Konsep ini penting( karena pada pemahasan selanjutnya
mengenai sistem kriptogra5i kurva eliptik( perhitungan8perhitungannya dilakukan di
dalam suatu struktur aljaar)
1. P-')isi >-n Rel-si E&ui/-lensi
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
60/133
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
61/133
De.inisi1 %1%31 7Su&i'*-n8 %003 : "!9
Misalkan H adalah himpunan yang tidak kosong dan operasi pada Hadalah suatu
operasi iner) :impunan Hersama B sama dengan operasi iner ditulis CH(
adalah suatu grup( ila memenuhi aksioma B aksioma erikut( yaitu 1
Ci
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
62/133
De.inisi %1%"17Su&i'*-n8 %003 : 39
Misalkan Hsuatu grup( apailaI HdanI ,makaIdiseut kompleks dari H)
Apaila(CH adalah himpunan kuasa dari H( yaitu himpunan dari semua himpunan
agian dari H( maka dapat dide5inisikan operasi B operasi iner pada (CH( misalnya
irisan C ( gaungan C ( selisih C8)
De.inisi %1%1 7Su&i'*-n8 %003 : 39
MisalkanIdanKadalah kompleks B kompleks dari grup H( maka
Ci IKE a$Q aIdan $K
Cii I8& E a8&Q aI
Te+'e*- %13!1 7Su&i'*-n8 %003 : 69
'ikaIsuatu kompleks dari !rup H( makaI merupakan sugrup H jika dan hanya
jika a$I( a$8&
I)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
63/133
MisalkanJsugrup dari grup H( makaJdiseut sugrup normal dari HditulisJ
Hjika dan hanya jika gH gJ = Jg dengan gN E gnQ nJ dan JgEngQ nJ)
De.inisi %1%
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
64/133
!rup terhadap perkalian dariZnadalahZn E a ZnQg!dCan E &) 'ikapilangan
primaZp E aZp Qg!dCap E & E aQ & a p 8&)
De.inisi %13!1 7Menees e)1 -l8 !;;< : 6;9
9rder dariZn dide5inisikan seagai anyaknya elemenZn yang dinotasikan dengan Q
ZnQ)
Dari de5inisi $)$+ dan $)/% dapat disimpulkan ah0a order dariZp adalahp8&)
Menurut de5inisi $)$+( Zp denganpilangan prima adalah himpunan kelas
ilangan ulat modulop yang saling prima denganp) :impunanZp terhadap operasi
perkalian modulopmementuk struktur grup siklik)
Misalkanp merupakan ilangan prima( maka himpunanZp E &( $( /( )))( p 8& darip
8& ilangan ulat positi5 pertama adalah grup aelian erhingga dengan order p 8&(
dengan perkalian modulo pseagai komposisinya)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
65/133
$) Akan diuktikan Hp ersi5at asosiati5 terhadap operasi perkalian modulop)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
66/133
Amil searang a$ Zp) Misalkan r a-$ Cmod p dengan r adalah residu
terke7il tak negati5 modulop( sedemikian hingga kp + r = a$( untuk k anggota
ilangan ulat) Karena a $merupakan anggota ilangan ulat maka erlaku si5at
komutasti5( sehingga kp + r = $a r $-a Cmodp) 'adi terukti ah0aZp
ersi5at komutati5 terhadap operasi perkalian modulop)
Dari pemuktian diatas dapat disimpulkan ah0a Zp adalah grup aelian dengan
orderp8&)
4. H+*+*+'.is*- G'u(
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
67/133
HZ) :omomorpisme dari suatu grup ke grup itu sendiri diseut endomorpisme)
6ndomorpisme yang ijekti5 diseut dengan automorpisme)
De.inisi %13317Su&i'*-n8 %003 : !0!9
'ikafsuatu homomorpisme dari !rup Hke grup H ( maka kernel Cinti darifCdieri
simol@ dide5inisikan oleh@E xHQfCx E e )
Te+'e*- %13317Su&i'*-n8 %003 : !069
Apailafsuatu homomorpisme dari grup Honto grup HZ dengan kernel@( maka @H
6?
Te+'e*- %13"17Su&i'*-n8 %003 : !0=9
Misalkan f suatu homomorpisme dari grup H onto HZ dengan kernel @ ) IZ suatu
sugrup dari HZ dan I E aHQfCaIZ yaitu himpunan semua prapeta dari
elemen B elemenIF( makaIsugrup dari H I @( dan@
I :Z)
Te+'e*- %1317Su&i'*-n8 %003 : !0=9
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
68/133
Misalkan suatu homomorpisme dari grup Honto grup HZ dengan kernel@) JZ
HZ danJE a HQ Ca JZ( yaitu himpunan semua prapeta dari elemen B
elemenJZ) MakaJ
H dan )
@J
@H
5. Gel-n,,-n,
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
69/133
C( 1 suatu semigrup( yaitu 1*i Si5at tertutup terhadap perkalian)
a$ *a.$ )*ii Si5at asosiati5) a$! *a.$.! = a.*$.!
Si5at distriuti5 kiri dan kanan perkalian terhadap penjumlahan( yaitu 1
a$!erlaku 1*i Distriuti5 kiri)
*a + $.! = a.! + $.!*ii Distriuti5 kanan)
a.*$ + ! = a.$ + a.!De.inisi %1317Su&i'*-n8 %006 : 39
Misalkan C( ( 1 suatu gelanggang) Apaila S S dan CS( ( 1 adalah suatu
gelanggang( maka dikatakan ah0a S adalah suring Canak gelanggang dari
dengan operasi B operasi padadan Sharus sama)Te+'e*- %13617Su&i'*-n8 %006 : 369
Misalkansuatu gelanggang dan S S - Sadalah anak gelanggang darijika
dan hanya jika a$Serlaku*i a 5 $ S*ii a.$S
De.inisi %13617Su&i'*-n8 %006 : 09Misalkansuatu gelanggang dan Sanak gelanggang darimaka 1
*i S diseut ideal kanan dari( jika aS rerlaku a.rS-*ii S diseut ideal kiri dari( jika aS rerlaku r.aS-*iii S diseut ideal dua sisi Cideal dari jika aS( rerlaku
a.rSdan r.aS-
!elanggang komutati5 dengan elemen kesatuan dan tanpa elemen pemagi nol
diseut >-e'-h in)e,'-l) !elanggang komutati5 dengan elemen kesatuan dan setiap
elemen yang ukan nol mempunyai invers terhadap perkalian diseut *e>-n atau
l-(-n,-nCfield) !elanggang dengan elemen kesatuan dan setiap elemen yang ukan
elemen nol memiliki invers terhadap perkalian diseut ,el-n,,-n, (e*5-,i-n
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
70/133
Cdivision ringL skeM field atau *e>-n *i'in, atau l-(-n,-n *i'in,) 'adi
gelanggang pemagian komutati5 adalah suatu medan CSukirman( $%%. 1 &.)
Te+'e*- %13
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
71/133
is+*+'(is*e dari ke Z) Apaila ada suatu is+*+'(is*e dari gelanggang ke
gelanggangZ dan ditulis F) H+*+*+'(is*edari suatu gelanggang kedirinya
sendiri diseut en>+*+'(is*e) En>+*+'(is*e yang ijekti5 diseut
-u)+*+'(is*e)
D1 K'i()+,'-.i
Kriptografi C!ryptograp)y erasal dari ahasa Yunani( terdiri dari dua suku
kata yaitu kriptos dan grap)ein) Kriptos artinya menyemunyikan( sedangkan
grap)einartinya menulis) Kriptogra5i adalah ilmu yang mempelajari prinsip B prinsip
dan teknik B teknik sedemikian hingga dapat menyemunyikan suatu in5ormasi atau
pesan Cpesan asli plaintext menjadi seuah teks tersemunyi atau !)ipertexts dan
kemudian 7hiperte>t terseut diuah menjadi pesan asli atauplaintext oleh pengguna
resmi dengan menggunakan kun7i rahasia atause!ret key CYan( $%%$ 1 //$) Sehingga
dapat disimpulkan ah0a kriptogra5i erperan penting dalam pengirimanan in5ormasi
atau pesan terutama pada masalah keamanan) Akan tetapi tidak semua aspek
keamanan in5ormasi dapat diselesaikan dengan kriptogra5i) Ketika suatu pesan
dikirim dari suatu tempat ke tempat lain( isi pesan terseut mungkin dapat disadap
oleh pihak yang tidak resmi yang tidak erhak untuk mengetahui isi pesan terseut)
Untuk menjaga pesan( maka pesan terseut dapat diuah menjadi suatu teks atau
seuah kode yang sukar dimengerti C!)ipertext) Enkripsi adalah seuah proses
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
72/133
pengkodean yang melakukan peruahan seuah kode atau pesan asli dari yang mudah
dimengerti Cplainteks menjadi seuah teks atau kode yang sukar dimengerti
C!ip)erteks) Sedangkan proses untuk menguah !ip)ertextmenjadiplaintextdiseut
dekripsi) Proses enkripsi dan dekripsi memerlukan suatu mekanisme dan kun7i
tertentu) (laintext iasa disimolkan seagai . C.essage) Sedangkan !)ipertext
iasanya disimolkan seagai %C%)ipertext)
Kriptoanalisis C!ryptanalysis erasal dari ahasa Yunani yang terdiri dari dua
suku kata yaitu kriptos yang artinya menyemunyikan dan analyein yang artinya
meme7ahkan( sehingga kriptoanalisis adalah kealikan dari kriptogra5i( yaitu suatu
ilmu untuk meme7ahkan mekanisme kriptogra5i dengan 7ara mendapatkan kun7i dari
!ip)ertextyang digunakan untuk mendapatkan plainteks) Akan tetapi kritogra5i dan
kritoanalisis ter7akup dalam suatu ilmu yang diseut dengan Kriptologi C!ryptology
CYan( $%%$ 1 //$) Yaitu(
Kriptologidef
= Kriptogra5i Kriptoanalisis( dan
Kriptogra5i 6nkripsi Dekripsi)
Pada kriptogra5i modern( kriptogra5i dapat diartikan seagai ilmu yang
mempelajari sistem B sistem yang ersi5at matematis untuk meme7ahkan dua masalah
keamaan( yaitu 1
Ci Kerahasiaan ataupriva!y)
Cii Autentikasi atau aut)enti!ation)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
73/133
Kerahasiaan adalah aspek yang erhuungan dengan penjagaan isi in5ormasi dari
siapapun ke7uali yang memiliki otoritas atau kun7i rahasia untuk memuka in5ormasi
yang telah dienkripsi) Sedangkan Autentikasi adalah aspek yang erhuungan dengan
identi5ikasi atau pengenalan( aik se7ara kesatuan sistem maupun in5ormasi itu
sendiri) Dua pihak yang saling erkomunikasi harus saling memperkenalkan diri)
In5ormasi yang dikirimkan harus diautentikasi keaslian( isi datanya( 0aktu
pengiriman( dan lain8lain)
!1 Se-'-h K'i()+,'-.i
Kriptogra5i sudah digunakan sekitar ,% aad yang lalu oleh orang8orang Mesir
untuk mengirim pesan ke pasukan yang erada di medan perang dan agar pesan
terseut tidak tera7a oleh pihak musuh 0alaupun pema0a pesan terseut
tertangkap oleh musuh) Sekitar ,%% SM( kriptogra5i digunakan oleh angsa Spartan
dalam entuk sepotong papirus atau perkamen yang diungkus dengan atang kayu)
Pada Laman @oma0i kuno( ketika 'ulius *aesar ingin mengirimkan pesan rahasia
pada seorang 'endral di medan perang) Pesan terseut harus dikirimkan melalui
seorang prajurit( tetapi karena pesan terseut mengandung rahasia( 'ulius *aesar tidak
ingin pesan terseut teruka di tengah jalan) Di sini 'ulius *aesar memikirkan
agaimana mengatasinya yaitu dengan menga7ak isi pesan terseut menjadi suatu
pesan yang tidak dapat dipahami oleh siapapun ke7uali hanya dapat dipahami oleh
'endralnya saja) "entu sang 'endral telah dieri tahu seelumnya agaimana 7ara
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
74/133
mema7a pesan yang tera7ak terseut( karena telah mengetahui kun7inya) Konversi
karakter ajad padaNulius %aesarFs %)iperadalah seperti erikut)
A < * D ===== 2 ] Y H
D 6 F ! =====) H A < *
Pada perang dunia kedua( 'erman menggunakan mesin enigma yang
digunakan :itler untuk mengirim pesan kepada tentaranya di medan perang) 'erman
sangat per7aya ah0a pesan yang dienkripsi menggunakan enigma tidak dapat
dipe7ahkan) "api anggapan itu keliru( setelah ertahun8tahun sekutu mempelajarinya
dan erhasil meme7ahkan kode8kode terseut) Kun7i yang digunakan untuk
meme7ahkan kode B kode enigmaadalah.ilton Keynes) Setelah 'erman mengetahui
ah0a enigmadapat dipe7ahkan( maka enigmamengalami eerapa kali peruahan)
Pengemangan paling mengejutkan dalam sejarah kriptogra5i terjadi pada
&+-. saat Di55ie dan :ellman mempulikasikan JeM &ire!tions in %ryptograp)y)
"ulisan ini memperkenalkan konsep revolusioner kriptogra5i kun7i pulik dan juga
memerikan metode aru untuk pertukaran kun7i( keamanan yang erdasarkan
masalah logaritma diskret) Meskipun Di55ie dan :ellman tidak memiliki realisasi
praktis pada ide enkripsi kun7i pulik saat itu( idenya sangat jelas dan menumuhkan
ketertarikan yang luas pada komunitas kriptogra5i) Pada &+-# @ivest( Shamir dan
Adleman menemukan ran7angan enkripsi kun7i pulik yang sekarang diseut @SA)
"ahun #%8an terjadi peningkatan luas di area ini( sistem @SA masih aman) Sedangkan
pada tahun &+#3( i7tor Miller dan Neil KolitL mengusulkan Ellipti! %urve (u$li!
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
75/133
Key %ryptosystems C6*PK* yang selanjutnya diseut dengan Ellipti! %urve
%ryptosystemsC6**)
%1 Al,+'i)*- >-n Kuni
Suatu 5ungsi matematis yang digunakan untuk melakukan proses enkripsi dan
proses dekripsi diseut dengan algoritma kriptogra5i atau !)iper dengan
menggunakan kun7i Ckey yang disimolkan seagai K)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
76/133
kun7i aik kun7i enkripsi maupun kun7i dekripsi( dan algoritma kriptogra5i termuat
dalam suatu sistem yang diseut dengan sistem kriptogra5i)
31 Sis)e* K'i()+,'-.i
De.inisi %13;1 7Y-n8 %00; : %==9
Sistem kriptogra5iC!ryptosystem adalah suatu sistem matematis .8 tuple
OE C( %( ( ( e d 1
&).adalah himpunan plainteks(
$) %adalah himpunan 7ipherteks(
/) eadalah himpunan dari kun7i B kun7i enkripsi(
,) dadalah himpunan dari kun7i B kun7i dekripsi(
3) adalah proses enkripsi dengan menggunakan e
el1M %
?- adalah proses dekripsi dengan menggunakan d
dl1 %\ & )
dan adalah sepasang 5ungsi yang inverti$le dan harus memenuhi diC eiC
E ( M ( eie did- 'ika e = d( maka " adalah seuah sistem kriptogra5i
simetri( sealiknya jika e d( maka " diseut dengan seuah sistem kriptogra5i
asimetri atau dapat dikatakan apaila dalam suatu sistem kriptogra5i digunakan
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
77/133
algoritma simetri maka sistem kriptogra5i terseut adalah sistem kriptogra5i simetri(
sedangkan apaila menggunakan algoritma asimetri( maka sistem kriptogra5i terseut
adalah sistem kriptogra5i asimetri)
Khalayak umum dan Kriptanalis
Saluran aman .Z
(u$li! Key (rivate Key
G-*5-' %131Skema sistem kriptogra5i modern CYan( $%%+ 1 $+&
Suatu sistem kriptogra5i terdiri dari seuah algoritma( seluruh kemungkinan
plainteks( 7ipherteks dan kun7i8kun7inya) Sistem kriptogra5i merupakan suatu
5asilitas untuk mengkonversikan plainteks menjadi 7ipherteks( dan sealiknya)
Pada seuah sistem kriptogra5i asimetri( kun7i enkripsi ekereda dengan
kun7i dekripsi dk)Sistem kriptogra5i asimetri mempunyai eerapa keleihan apaila
diandingkan dengan sistem kriptogra5i simetri( salah satunya adalah keuntungan
pada pendistriusian kun7i B kun7i)
"1 Pe's-*--n Weie's)'-ss
Pada pemahasan skripsi ini yang dimaksud dengan kurva eliptik E adalah
seuah gra5ik dari seuah persamaan 1
4esan=nkripsi
C =
Eel(M)
#ekripsi
M =
Ddl(C)
4esan
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
78/133
y$Ex/ax + $ C$)&
dengan suatu konstanta adan $) Persamaan C$)& merupakan persamaan 2eierstrass
untuk seuah kurva eliptik yang dide5inisikan atas lapangan( misalnya kurva eliptik
atas ilangan real( kurva eliptik atas ilangan kompleks( kurva eliptik atas lapangan
hingga)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
79/133
depressed !u$i! e7uation) Solusi persamaan terseut telah ditemukan oleh !irolamo
*ardano)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
80/133
A III
PEMAHASA$
Suatu sistem kriptogra5i terdiri dari algoritma kriptogra5i( seluruh
kemungkinan plainteks( 7ipherteks dan kun7i8kun7inya) Sistem kriptogra5i kurva
eliptik merupakan sistem kriptogra5i asimetri atau sistem kriptogra5i kun7i pulik)
Sistem kriptogra5i kurva eliptik( yaitu suatu sistem kriptogra5i yang menggunakan
algoritma kriptogra5i kurva eliptik( de5inisi himpunanBhimpunanplaintext !)ipertext(
dan kun7i( sertaproses pementukan kun7i( proses enkripsi dan dekripsi)Untuk saat ini terdapat tiga permasalahan matematika yang menjadi dasar
sistem kriptogra5i asimetri yang dianggap aman dan e5isien) Sistem8sistem kriptogra5i
terseut apaila diklasi5ikasikan menurut permasalahan matematikanya adalah 1&) @nteger a!toriDation (ro$lemCIFP( 7ontoh 1 sistem kriptogra5i @SA C@ivest B
Shamir8Adleman) Dalam sistem kriptogra5i @SA( kun7i pulik merupakan
pasangan ilangan ulat Cn e( sedangkan kun7i rahasianya adalah pasangan
ilangan ulat Cn d)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
81/133
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
82/133
algoritma kriptogra5i kurva eliptik atasZp( akan diahas mengenai kurva eliptik atas
Zperikut ini)
1. Ku'/- Eli()i& -)-sZpKurva 6liptik yang dide5inisikan atasZpmerupakan materi terpenting dalam
sistem kriptogra5i kurva eliptik atas Zp( karena proses pementukan kun7i( proses
enkripsi( dan dekripsi menggunakan titik8titik pada kurva eliptik atas Zp eserta
dengan operasi8operasi yang perlaku pada kurva eliptik atasZp)De.inisi 31!1 7S)ins+n8 %006 : %=9
Misalkan padalah seuah ilangan prima yang leih esar dari /) Kurva eliptik
atas Hp dide5inisikan oleh 1E CZp E CxyZp>ZpQy$ x/ ax $Cmodp
dengan a($Zp sedemikian hingga ,a/ $-$$ % Cmod p) "itik diseut dengan
titik infinity atau titikin5initas)
1.1 O(e'-si @ O(e'-si (->- Ku'/- Eli()i& -)-s pDierikan suatu kurva eliptik atas Hp( yaitu E*Zp 1 y
2= x3 + ax + $modp
dengan titik infinity seagai elemen identitas terhadap operasi penjumlahan)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
83/133
E&$
&$
xx
yy
C/)$
danv = $$&& xyxy = )
Untuk mendapatkan titik8titik pada ECZp yang dilalui garis '( sustitusi
persamaan /)& kedalam persamaan kurva eliptik y2= x3 + ax + $( sehingga
diperoleh 1Cx v$ = x3 + ax + $
%D$C $$$/ =++ v$xvaxx C/)/
'ika x&( x$( x/ merupakan solusi dari persamaan y2 = x3 + ax + $ maka
erlaku 1
%DCDCDC /$&/$/&$&$
/$
/& =+++++ xxxxxxxxxxxxxxx C/),
Dari persamaan /)/ dan /), diperoleh
$&
$
/ xxx = C/)3Untuk men7ari nilai y/( harus dihitung kemiringan dari suatu garis yang
melalui titik Cx&(y& dan C /x ( /y ( yaitu 1
&/
&/
xx
yy
= C/).
Dari persamaan /). diperoleh&/&/ DC yxxy = C/)-
Dari penjaaran diatas dapat disimpulkan ah0a pada kasus I( untuk
penjumlahan dua titik( P ECZp dengan( = Cx&(y& dan P = Cx$(y$) 'ikax&
x$makaCx&(y& Cx$(y$ E Cx/(y/ C/)#
dengan
$&
$
/ xxx = C/)+
&/&/ DC yxxy = C/)&%dan
E&$
&$
xx
yy
C/)&&
51 K-sus II
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
84/133
Apailax& Ex$ dany&E $y atau dengan kata lain( untuk penjumlahan dua
titik( P ECZp dengan( = Cx&(y& dan P = C && ( yx makaC && (yx C && ( yx E C D( // yx
Untuk men7ari x/ dany/( maka harus di7ari kemiringan garis '( yaitu suatu
garis yang memotong kurva eliptik ECZp( dan melalui titik( = Cx&(y& dan
P = C && ( yx yaitu 1
&$
&$
xx
yy
= E =+
=$$
$$
xx
yy
Kemudian sustitusi = ke persamaan /)+ dan /)&%( sehingga diperoleh 1
x/ Ey/ Eatau
Cx/(y/ E
Dari penjaaran diatas dapat disimpulkan ah0a Cxy C D( yx E (
DCD(C pZEyx )
1 K-sus III
Apailax&E x$dany&E y$atau dengan kata lain( apaila dierikan suatu titik
( = Cx&(y& ECZp( maka penggandaan atas titik(( yaitu(( adalah 1Cx&(y& Cx&(y& E Cx/(y/
Untuk men7ari x/ dany/( maka harus di7ari kemiringan garis '( yaitu suatu
garis yang memotong kurva eliptikECZp dan melalui titik( = Cx&(y&( dengan
men7ari turunan pertama dari persamaan kurva eliptik 1 y2 = x3 + ax + $
terhadapx) "urunan pertama dari persamaan kurva eliptik terseut adalah 1
axdx
dyy += $/$ C/)&$
Atau
y
ax
dx
dy
$
/ $ +
= C/)&/
Karenadx
dy= ( maka dari persamaan /)&/ diperoleh
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
85/133
y
ax
$
/ $ +=
SustitusixEx&danyEy&( sehingga diperoleh 1
&
$
&
$
/
y
ax += C/)&,
Untuk mendapatkan titik8titik pada ECZp yang dilalui garis '( sustitusi
persamaan /)& kedalam persamaan kurva eliptik y2= x3 + ax + $( sehingga
diperoleh 1
%D$C $$$/ =++ v$xvaxx C/)&3
'ikax&(x$(x/ merupakan solusi dari persamaan C/)&3 maka erlaku 1
%DCDCDC /$&/$/&$&$
/$
/&
=+++++ xxxxxxxxxxxxxxx C/)&.Dari persamaan /)&3 dan /)&. diperoleh
$&
$
/ xxx = C/)&-Untuk men7ari nilai y/( harus dihitung kemiringan dari suatu garis yang
melalui titik Cx&(y& dan Cx/(8y/( yaitu 1
&/
&/
xx
yy
= C/)
Dari persamaan /) diperoleh
&/&/ DC yxxy = C/)&+
Dari penjaaran diatas dapat disimpulkan ah0a pada kasus III( untuk
penggandaan atas titik(ECZp dengan( = Cx&(y&( makaCx&(y& Cx&(y& E Cx/(y/ C/)$%
dengan
$&
$
/ xxx = C/)$&
&/&/ DC yxxy = C/)$$dan
&
$
&
$
/
y
ax += C/)$/
Dari penjaaran diatas( maka dapat disimpulkan ah0a operasi8operasi yang erlaku
pada kurva 6liptikECZp 1y2= x3 + ax + $atas Hp antara lain 1
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
86/133
&) Kurva 6liptik ECZp mempunyai elemen identitas terhadap operasi
penjumlahan( yaitu titik ( sehingga ( +=+ ( = ( untuk semua
(ECZp)$) Untuk setiap titik pada kurva 6liptik ECZp mempunyai invers
terhadap operasi penjumlahan atau se7ara matematis
=+== DCD(CD(CD(CD(C ((ZEyx(ZEyx( pp )/) Penjumlahan titik)
Misalkan D(CD(CdD(CD(C $$&& pp ZEyxPanZEyx( == dengan ( P(
maka D(C // yxP( =+ ( dengan
$&
$
&$
&$
/ xxxx
yyx
= dan )DC &/&&$
&$
/ yxxxx
yyy
=
,) Penggandaan titik)
Misalkan DCD(C && pZEyx( = ( dengan (( ) Maka $( = (+( =Cx/(y/(
dengan
&
$
&
$
&/ $
$
/x
y
axx
+= dan )DC
$
// &/&
&
$
& yxxy
axy
+=
Untuk leih jelasnya( erikut dierikan seuah 7ontoh men7ari titik B titik pada
kurva eliptik dan salah satu titik pada kurva eliptik terseut ditentukan seagai
generator suatu sugrup siklik dalam kurva eliptik)
4+n)+h 31!
MisalkanECZ11 adalah seuah kurva 6liptiky$Ex/x / atasZ11) Akan di7ari titik8
titik padaECZ11)
T-5el 31!1 Ti)i& @ )i)i& (->- &u'/-"%Bx3CxC 3 -)-sZ11
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
87/133
x x/x / mod &&Sisa
Kuadratik y *x y
% / Ada 3 dan . C%(3 dan C%(.& 3 Ada , dan - C&(, dan C&(-
$ $ "idak Ada 8 8
/ % Ada % C/(%
, 3 Ada , dan - C,(, dan C,(-
3 & Ada & dan &% C3(& dan C3(&%
. 3 Ada , dan - C.(, dan C.(-
- & Ada & dan &% C-(& dan C-(&%
# . "idak Ada 8 -
+ , Ada $ dan + C+($ dan C+(+
&% & Ada & dan &% C&%(& dan C&%(&%
'adi titik8titiknya adalah 1 (&C%(3_($C%(._(/C&(,_(,C&(-_(3C/(%_(.C,(,_(-C,(-_
(#C3(&_(+C3(&%_(&%C.(,_(&&C.(-_(&$C-(&_(&/C-(&%_(&,C+($_(&3C+(+_ (&.
C&%(&_(&-C&%(&%)
Kurva 6liptikECZ111y
$
Ex
/
x / atasZ11mempunyai titik)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
88/133
x/ By&( dengan E 3( x1E 3(y1E &(x2E 3 (y2E &( maka diperolehx/E ,( dany/E
,)
Sehingga( + PE E C3(& C3(& E C,(, E $ ) Se7ara analog diperoleh 1
T-5el 31%1 Su5,'u( Si&li& >-l-*"%Bx3CxC 3 *+> !! >en,-n ,ene'-)+'
B 78!9.
& E C3(& - E C+($ &/ E C&%(&
$ E C,(, # E C.(- &, E C-(&%
/ E C%(. + E C/(% &3 E C%(3, E C-(& &% E C.(, &. E C,(-
3 E C&%(&% && E C+(+ &- E C3(&%
. E C&(, &$ E C&(- E
Setelah dijelaskan tentang kurva eliptik atas Zp erikut akan dijelaskan
algoritma kurva eliptik atas Zp( yaitu suatu algoritma yang digunakan dalam sistem
kriptogra5i kurva eliptik atasZp)
2. Al,+'i)*- Ku'/- Eli()i& A)-sZp
Dalam algoritma kriptogra5i terdapat tiga proses yaitu proses pementukan
kun7i( proses enkripsi( dan proses dekripsi) Untuk leih jelasnya mengenai algoritma
kurva eliptik AtasZperikut ini dierikan suatu gamaran singkat proses pengiriman
pesan dengan menggunakan sistem kriptogra5i kurva eliptik atasZp)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
89/133
Penerima
Pesan
Pengirim
Pesan
"idak
Ya
Penerima "idak
Pesan
Ya
G-*5-' 31!Sistem Kriptogra5i Kurva 6liptik atasZp-
MU?AI
Proses 6nkripsi 1
el*s=*s , + s, = *!
1!
2
Proses Dekripsi 1
dlC!
1!
2E !
2 k , !
1
S6?6SAI
Proses Pementukan Kun7i
Penerima Pesan Mengirim Kun7i Pulik Kepada Pengirim Pesan
Melakukan enkripsi pada
plaintext
Mengetahui Kun7i
@ahasia k
Mendapatkan kun7i pulik
Mendapat(laintext
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
90/133
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
91/133
tetapi tidak dapat mengetahui isi dari pesan terseut( karena tidak memiliki kun7i
rahasia)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
92/133
Dalam proses enkripsi sendiri terdapat aturan enkripsi elECZp yaitu 5ungsi
el 1.
% yang memetakan setiapplaintext ke !)ipertext dengan 5ungsi ijekti5)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
93/133
Karena *s, merupakan elemen sugrup siklik dalam kurva eliptik atas Zp
maka terdapat invers *s,
yaitu 8*s,
sedemikian hingga
* s , + ** s , = -
Maka persamaan C/), menjadi)
+ * s , + ** s , = + * s , + + ** s ,
+ = +
=
'adi terukti ah0a elmerupakan 5ungsi injekti5)
ii Diuktikan el merupakan 5ungsi surjekti5 yaitu harus diuktikan ah0a
*!1!2 % . el C s = *!1!2
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
94/133
$- Memilih ilangan ulats Zpse7ara a7ak)!- Menghitung !1= s , dan !2= Is+ -
d- Mengirim plaintext
dalam entuk !)ipertext J!1!2 kepada penerima
pesan)
Setelah dijelaskan tentang proses enkripsi( yaitu suatu proses yang menguah
plaintext menjadi !)ipertext agar terjaga kerahasiaannya( maka erikut akan
dijelaskan tentang proses dekripsi( yaitu suatu proses yang menguah !)ipertext
menjadiplaintext)
31 P'+ses De&'i(si
Setiap penerima pesan menguah !)ipertext yang telah diterimanya menjadi
plaintext dengan menggunakan kun7i priadi yang telah dimilikinya) Proses ini
dinamakan proses dekripsi( sehingga penerima pesan dapat mengetahui isi dari pesan
yang dikirim oleh pengirim pesan)Dalam sistem kriptogra5i terdapat aturan dekripsi yaitu 5ungsi dl 1 % .
yang memetakan setiap !)ipertext ke plaintext 5ungsi ini merupakan 5ungsi invers
dari 5ungsi el 1. % yang digunakan pada proses enkripsi)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
95/133
Menurut de5inisi 5ungsi dekripsi diperoleh 1
dlC!1!2 E !2 k , !1 dlC!1!2 E + s, 8 k , s,
dlC!1!2 E *s, + **s,
dlC!1!2 E
dlC!1!2 E
'adi terukti ah0a dl merupakan 5ungsi invers dari el
Dari penjelasan yang telah dierikan tentang proses dekripsi( maka untuk melakukan
dekripsi pesan harus melakukan algoritma dekripsi seagai erikut)
a) Menggunakan kun7i priadi k untuk menghitung !25 k ,!1)) Mendapatkanplaintext dengan menghitung !25 k ,!1)
Setelah dijelaskan mengenai sistem kriptogra5i kurva eliptik atasZp(erikut
akan dijelaskan Pengiriman Pesan dengan Menggunakan Sistem Kriptogra5i Kurva
6liptik atas Zpyang erisi 7ontoh87ontoh pengiriman pesan dengan menggunakan
sistem kriptogra5i kurva eliptik atasZp
#. Pen,i'i*-n Pes-n >en,-n Men,,un-&-n Sis)e* K'i()+,'-.i Ku'/- Eli()i&
-)-sZp1
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
96/133
Pengiriman pesan dengan menggunakan sistem kriptogra5i kurva eliptik atas
Zp telah diper7aya dapat memerikan jaminan akan kerahasiaan pesan yang dikirim
oleh pihak pengirim pesan) Pesan terseut dikirim kepada pihak8pihak penerima
pesan yang resmi erkomunikasi dengan pihak pengirim pesan) Misalkan pihak8
pihak yang erkomunikasi dalam 7ontoh pengiriman pesan dengan menggunakan
sistem kriptogra5i kurva eliptik atas Zp telah menyepakati ilangan prima yang
digunakan adalah ilangan ulatp E /,- dan kurva eliptik yang digunakan adalah
E 1y2= x3+ x + 3-
Pada *ontoh $)$% telah ditunjukkan ah0a ilangan p E /,- merupakan
ilangan prima( selain itu juga dapat diuji dengan antuan program komputer) Untuk
menguji apakah ilangan ulat p yang digunakan merupakan ilangan prima(
menguji apakah kurva eliptik yang digunakan sesuai dengan De5inisi /)&( untuk
men7ari titik8titik pada kurva eliptik terseut( menentukan generator dan sugrup
siklik dalam kurva eliptik yang diangun serta operasi8operasi penjumlahan titik8titik
pada kurva eliptik digunakan suatu program komputer( yaitu program Maple +)3
dengan perintah8perintahnya terdapat pada ?ampiran &) Selain itu juga dierikan
prosedur epoints( adde!( dan elgamal pada ?ampiran $) Prosedur8prosedur terseut
disimpan seagai text file pada dire!tory( dimana Maple +)3 dijalankan) Sedangkan
titik8titik pada kurva eliptik terseut dapat dilihat pada ?ampiran /)
Setelah diperoleh generator dan sugrup siklik dalam kurva eliptik( yang
dapat dilihat pada ?ampiran ,( maka pihak8pihak penerima pesan dapat melakukan
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
97/133
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
98/133
:usein %)ipertext Aulia
G-*5-' 31%1Pengiriman Pesan oleh :usein Kepada Aulia
!1 P'+ses Pe*5en)u&-n Kuni
Misalkan salah satu kun7i pulik yang dipilih oleh Aulia adalah E C%(+3 dan
kun7i rahasia yang dipilih adalah k E /( maka E /E / )
Untuk hasil perkalian /E /E C&-( &$#( dapat dilihat pada ?ampiran ,) Sugrup
Siklik Dalam Kurva 6liptikE 1y2= x3+ x + 3 atasZ3Qdengan !enerator E C%(+3)
Dari proses pementukan kun7i diperoleh kun7i pulik J( E JC%(+3(C&-(&$#
dan kun7i rahasia kE /) Kemudian kun7i pulik terseut dikirim kepada :usein( agar
:usein dapat melakukan proses enkripsi)
%1 P'+ses En&'i(si
:usein memperoleh kun7i pulik JC%(+3(C&-(&$#) Kemudian pesan CpassMord
yang akan dikirim kepada Aulia adalah ;mat%.G( maka pesan terseut harus
dienkripsi untuk menjaga kerahasiaannya) Seelum proses enkripsi( setiap karakter
pesan terseut dikonversikan menjadi titik8titik pada kurva eliptik yang telah
ditentukan) Pada ?ampiran 3 dapat dilihat konversi B konversi karakter terseut)
T-5el 3131 K+n/e'si Pes-n *-)06
Proses Dekripsi
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
99/133
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
100/133
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
101/133
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
102/133
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
103/133
Penyelesaian)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
104/133
Kholis proses pementukan kun7i( Kholis memilih $ E E C%(+3( dan
kun7i rahasianya k2 E 3( maka diperoleh $ E 3E C+,($$3) Kemudian
kun7i pulik J $ ( $ E JC%(+3( C+,($$3 dikirim kepada :usein)
Setelah :usein menerima kun7i pulik dari !inanjar dan Kholis( maka proses
selanjutnya adalah proses enkripsi) Proses enkripsi terseut dijelaskan seperti erikut)%1 P'+ses En&'i(si
Seperti pada *ontoh /)$( karakter plaintextdikonversikan terleih dahulu(
konversiplaintext terseut dapat dilihat pada "ael /)/( akan tetapi pada *ontoh
/)/ :usein akan melakukan dua kali proses enkripsi( yang pertama yaitu proses
enkripsi pada pesan yang akan dikirim kepada !inanjar( dalam proses enkripsi ini
:usein memilih ilangan a7ak s1 E $( sedangkan yang kedua adalah proses
enkripsi pada pesan yang akan dikirim kepada Kholis( dan pada proses enkripsi
ini( :usein memilih ilangan a7aks2E ,) Proses8proses enkripsi pada pesan yang
akan dikirim !inanjar dan Kholis erturut8turut dapat dilihat pada "ael /). dan
"ael /)-)T-5el 3161 P'+ses En&'i(si Pes-n Un)u& Gin-n-'
i (laintext i !1i =s1, s1 !2i E i s1
%)ipertext R!1i!2i
& C/$+(&&$ C$+(#$ C$--( $./ C$#-( -/ JC$+(#$( C$#-( -/
$ C%(+3 C$+(#$ C$--( $./ C,#( &3+ JC$+(#$( C,#( &3+
/ C&$+($#/ C$+(#$ C$--( $./ C/&( /$ JC$+(#$( C/&( /$, C$#-(-/ C$+(#$ C$--( $./ C&&$( +- JC$+(#$( C&&$( +-
3 C3#( $ C$+(#$ C$--( $./ C&33( /%3 JC$+(#$( C&33( /%3
T-5el 31
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
105/133
i (laintext i !1i =s2, s2 !2iE i s %)ipertext R!1i!2i
& C/$+(&&$ C,$(,# C&$+( $#/ C3#( $ JC,$(,#( C3#( $$ C%(+3 C,$(,# C&$+( $#/ C//-( ,. JC,$(,#( C//-( ,.
/ C&$+($#/ C,$(,# C&$+( $#/ C$#.( &3& JC,$(,#( C$#.( &3&
, C$#-(-/ C,$(,# C&$+( $#/ C&33( /%3 JC,$(,#( C&33( /%3
3 C3#( $ C,$(,# C&$+( $#/ C&/#( /$% JC,$(,#( C&/#( /$%
Setelah mendapatkan !)ipertext dari proses enkripsi( :usein mengirim
!)ipertext terseut kepada !inanjar( dan :usein) %)ipertext terseut se7ara erturut8
turut adalah %1 = JC$+(#$( C$#-( -/_ JC$+(#$( C,#( &3+_ JC$+(#$( C/&( /$_
JC$+(#$( C&&$( +-_ JC$+(#$( C&33( /%3 dan %2 = JC,$(,#( C3#( $_ JC,$(,#(
C//-( ,._ JC,$(,#( C$#.( &3&_ JC,$(,#( C&33( /%3_ JC,$(,#( C&33( /%3)
Setelah !inanjar dan Kholis menerima !)ipertext yang dikirim oleh :usein(
maka proses selanjutnya adalah proses dekripsi) Proses8proses dekripsi terseut
dijelaskan seperti erikut)
31 P'+ses De&'i(si
Untuk mengetahuiplaintext yang dikirimkan oleh :usein( maka !inanjar dan
Kholis harus melakukan proses dekripsi) Pada proses dekripsi( !inanjar
menggunakan kun7i rahasia k1= Q sedangkan Kholis menggunakan kun7i rahasia
k2= >- Proses8proses dekripsi yang dilakukan oleh !inanjar dan Kholis erturut8turut
dapat dilihat pada "ael /)# dan /)+)
T-5el 31=1 P'+ses De&'i(si Pes-n Oleh Gin-n-'
i %)ipertext R!1i!2i k1,*!1i i E !2i C8 *!1i Karakter
& JC$+(#$( C$#-( -/ C$--(#, C/$+(&&$ m
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
106/133
$ JC$+(#$( C,#( &3+ C$--(#, C%(+3 a
/ JC$+(#$( C/&( /$ C$--(#, C&$+($#/ t
i %)ipertext R!1i!2i k1,*!1i i E !2i C8 *!1i Karakter, JC$+(#$( C&&$( +- C$--(#, C$#-(-/ %
3 JC$+(#$( C&33( /%3 C$--(#, C3#( $ .
T-5el 31;1 P'+ses De&'i(si Pes-n Oleh Kh+lis
i %)ipertext R!1i!2i k2,*!1i i E !2i C8 *!1i Karakter
& JC,$(,#( C3#( $ C&$+( ., C/$+(&&$ m
$ JC,$(,#( C//-( ,. C&$+( ., C%(+3 a/ JC,$(,#( C$#.( &3& C&$+( ., C&$+($#/ t
, JC,$(,#( C&33( /%3 C&$+( ., C$#-(-/ %
3 JC,$(,#( C&/#( /$% C&$+( ., C3#( $ .
Dari proses8proses dekripsi yang dilakukan oleh !inanjar dan Kholis( maka
diperoleh pesan yang sama yaitu ;mat%.G) Pesan terseut merupakan seuah
passMord yang digunakan untuk menjalankan suatu program komputer yang diuat
oleh :usein) *ontoh /)/ merupakan simulasi pengiriman pesan dengan
menggunakan sistem kriptogra5i kurva eliptiky2= x3+ x + 3 atasZ3Q( pada 7ontoh
terseut pengirim pesan erjumlah satu orang dan penerima pesan erjumlah dua
orang( yaitu :usein seagai pihak pengirim pesan( sedangkan pihak penerima pesan
adalah !inanjar dan Kholis) Se7ara singkat *ontoh /)$ dapat dijelaskan seperti
erikut)
:usein ingin mengirim pesan kepada !inanjar dan Kholis( pesan terseut
sama dengan pesan pada *ontoh /)$( yaitu ;mat%.G yang dikonversikan menjadi
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
107/133
plaintext. = C/$+(&&$_ C%(+3_ C&$+($#/_ C$#-(-/_ C3#( $) Seperti halnya
pada *ontoh /)$( pihak penerima pesan( yaitu !inanjar dan Kholis mementuk kun7i)
Kun7i pulik yang terentuk masing8masing adalah JC%(+3(C/$.($# dan JC%(+3(
C+,($$3) Kun7i rahasia yang dientuk oleh !inanjar adalah k&E -( sedangkan kun7i
rahasia yang dientuk oleh Kholis adalah k$E 3) Kemudian masing8masing kun7i
pulik dikirim kepada :usein( agar :usein dapat melakukan proses enkripsi) Dengan
menggunakan kun7i pulik yang dientuk oleh !inanjar( yaitu JC%(+3(C/$.($#(
:usein menguahplaintext . = C/$+(&&$_ C%(+3_ C&$+($#/_ C$#-(-/_ C3#( $
menjadi !)ipertext %1 = JC$+(#$( C$#-( -/_ JC$+(#$( C,#( &3+_ JC$+(#$( C/&(
/$_ JC$+(#$( C&&$( +-_ JC$+(#$( C&33( /%3( kemudian !)ipertext terseut dikirim
kepada !inanjar) Dengan menggunakan kun7i pulik yang dientuk oleh Kholis(
yaitu JC%(+3(C+,($$3( :usein menguah plaintext . = C/$+(&&$_ C%(+3_
C&$+($#/_ C$#-(-/_ C3#( $ menjadi !)ipertext %2 = JC,$(,#( C3#( $_
JC,$(,#( C//-( ,._ JC,$(,#( C$#.( &3&_ JC,$(,#( C&33( /%3_ JC,$(,#( C&33(
/%3( dan kemudian dikirim kepada Kholis) Dari proses enkripsi yang dilakukan
oleh :usein dapat disimpulkan ah0a( apaila pada proses enkripsi menggunakan
kun7i pulik yang ereda( maka diperoleh !)ipertext yang ereda( meskipun
plaintext yang digunakan sama) Setelah menerima !)ipertext %1 = JC$+(#$( C$#-(
-/_ JC$+(#$( C,#( &3+_ JC$+(#$( C/&( /$_ JC$+(#$( C&&$( +-_ JC$+(#$( C&33(
/%3( maka !inanjar dapat melakukan proses dekripsi) Proses dekripsi yang
dilakukan oleh !inanjar menggunakan kun7i rahasia k&E - dan diperolehplaintext .
= C/$+(&&$_ C%(+3_ C&$+($#/_ C$#-(-/_ C3#( $) Sedangkan Proses dekripsi
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
108/133
yang dilakukan oleh Kholis menggunakan kun7i rahasia k&E 3 menguah !)ipertext
%2 = JC,$(,#( C3#( $_ JC,$(,#( C//-( ,._ JC,$(,#( C$#.( &3&_ JC,$(,#( C&33(
/%3_ JC,$(,#( C&33( /%3 menjadi plaintext . = C/$+(&&$_ C%(+3_ C&$+($#/_
C$#-(-/_ C3#( $) Dari proses dekripsi yang dilakukan oleh !inanjar dan Kholis
diperoleh plaintext yang sama( meskipun !)ipertext yang dikirim oleh :usein
ereda)
Dari *ontoh /)$ dan *ontoh /)/ maka dapat disimpulkan ah0a apaila pihak
penerima pesan hanya satu orang maka proses enkripsi hanya satu kali dengan
menggunakan satu kun7i pulik yang telah dientuk oleh pihak penerima pesan)
Apaila pihak penerima pesan erjumlah norang( maka proses enkripsi dilakukan
seanyak n kali dengan menggunakan nkun7i pulik yang ereda) Dari proses
enkripsi diperoleh n !)ipertext yang ereda- Akan tetapi dari proses dekripsi
diperolehplaintextyang sama)
Dengan menggunakan kurva eliptik dan ilangan prima yang sama seperti
pada *ontoh /)$ dan *ontoh /)/ erikut akan dierikan *ontoh /),( dengan
permasalahan dua erkomunikasi dan menjaga kerahasiaan komunikasi mereka
dengan menggunakan sistem kriptogra5i kurva eliptikE 1y2= x3+ x + 3 atasZ3Q)
Misalkan Dua orang yang erkomunikasi adalah dua orang @aja( yaitu King I
dan King II) Kedua raja terseut seringkali menggunakan kekayaan kerajaan hanya
untuk kepentingan priadinya( ukan untuk kepentingan rakyatnya)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
109/133
4+n)+h 31"
Pada suatu ketika( King I ingin mengirim pesan kepada King II) Pesan terseut
erunyi ;
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
110/133
!1 P'+ses Pe*5en)u&-n Kuni1
-1 P'+ses Pe*5en)u&-n Kuni +leh Kin, I1
Misalkan salah satu kun7i pulik yang dipilih oleh King I adalah & E E
C%(+3 dan kun7i rahasia yang dipilih adalah k1E &%( maka & E &%E &% )
Untuk hasil perkalian &%E &%E C&//( $-+( dapat dilihat pada ?ampiran ,)
Sugrup Siklik Dalam Kurva 6liptik E 1 y2 = x3 + x + 3 atas Z3Q dengan
!enerator E C%(+3)
Dari proses pementukan kun7i diperoleh kun7i pulik J & ( & E JC%(+3( C&//(
$-+ dan kun7i rahasia k&E &%) Kun7i pulik terseut dikirim kepada King II
sedangkan kun7i rahasia tetap dirahasiakan oleh King I)
51 P'+ses Pe*5en)u&-n Kuni +leh Kin, II1
Misalkan salah satu kun7i pulik yang dipilih oleh King II adalah =$ E C%(+3
dan kun7i rahasia yang dipilih adalah k2E &&( maka $ E && $ E && $ Untuk
hasil perkalian &&E &&E C&,.( $--( dapat dilihat pada ?ampiran ,)
Sugrup Siklik Dalam Kurva 6liptik E 1 y2 = x3 + x + 3 atas Z3Q dengan
!enerator E C%(+3)
Dari proses pementukan kun7i diperoleh kun7i pulik J $ ( $ E JC%(+3(
C&,.( $-- dan kun7i rahasia k$E &&) Kun7i pulik terseut dikirim kepada King I
sedangkan kun7i rahasia tetap dirahasiakan oleh King II)
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
111/133
Setelah King I menerima kun7i pulik dari King II( maka King I dapat melakukan
proses enkripsi pada pesan yang akan dikirim) Akan tetapi( seelum proses
enkripsi( karakter pesan dikonversikan terleih dahulu( seperti ditunjukkan pada
"ael /)+ erikut ini)
T-5el 31!01 K+n/e'si K-'-&)e' 4+n)+h 31"
i Karakter Plainte>t i&
& < C$+( #$$ 6 C+,( $$3
/ @ C$#/( /%%
, A C%( +3
3 P C&%#( &%#
. A C%( +3
- Spasi C/%#( /$&
# D C,$( ,#
+ U C//-( ,.
&% I C$3/( &,#
&& " C&$+( $#/
&$ Spasi C/%#( /$&
&/ Y C%( $.-
&, ! C/$.( $#
i Karakter Plainte>t i&
&3 Spasi C/%#( /$&
&. M C/$+( &&$
&- A C%( +3
S C//+( /
&+ U C//-( ,.
$% K C&,.( $--$& Spasi C/%#( /$&
$$ K C&,.( $--
$/ A C%( +3
$, N C$--( $./
$3 " C&$+( $#/
$. 9 C,#( &3+
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
112/133
$- N C$--( $./
$# ! C/$.( $#
$+ M C/$+( &&$/% U C//-( ,.
/& C&33( /%3
%1 P'+ses En&'i(si Pes-n +leh Kin, I
Dari "ael /)+ diperoleh plaintext erupa titik8titik pada kurva eliptik
E 1 y2 = x3 + x + 3 atas Z3Q- Kemudian plaintext terseut dienkripsikan) Proses
enkripsi yang dilakukan oleh King I dengan menggunakan kun7i pulik J
$ ( $ E JC%(+3( C&,.( $-- dan ilangan a7ak s1E /( proses enkripsi terseut
dapat dilihat pada "ael /)&% erikut ini)
T-5el 31!!1 P'+ses En&'i(si +leh Kin, I
i
(laintext
i& !1i =s1, $
s1 $ !2iE i& s1
$%)ipertext J!1i!2i
& C$+( #$ C&-( &$# C3#( $ C$&%( $#- JC&-( &$#_C$&%( $#-
$ C+,( $$3 C&-( &$# C3#( $ C/$$( #& JC&-( &$#_C/$$( #&
/ C$#/( /%% C&-( &$# C3#( $ C/( &/# JC&-( &$#_C/( &/#, C%( +3 C&-( &$# C3#( $ C/&( /$ JC&-( &$#_C/&( /$
3 C&%#( &%# C&-( &$# C3#( $ C/%-( &/& JC&-( &$#_C/%-( &/&
. C%( +3 C&-( &$# C3#( $ C/&( /$ JC&-( &$#_C/&( /$
- C/%#( /$& C&-( &$# C3#( $ C+&( /- JC&-( &$#_C+&( /-
# C,$( ,# C&-( &$# C3#( $ C#,( /, JC&-( &$#_C#,( /,
8/10/2019 SISTEM KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ATAS Zp_PUGUH W P_063051410.doc
113/133
+ C//-( ,. C&-( &$# C3#( $ C/%/( $$ JC&-( &$#_C/%/( $$
&% C$3/( &,# C&-( &$# C3#( $ C&%-( . JC&-( &$#_C&%-( .
&& C&$+( $#/ C&-( &$# C3#( $ C&/#( /$% JC&-( &$#_C&/#( /$%&$ C/%#( /$& C&-( &$# C3#( $ C+&( /- JC&-( &$#_C+&( /-
&/ C%( $.- C&-( &$# C3#( $ C/&-( $/$ JC&-( &$#_C/&-( $/$
&, C/$.( $# C&-( &$# C3#( $ C$#.( &3& JC&-( &$#_C$#.( &3&
&3 C/%#( /$& C&-( &$# C3#( $ C+&( /- JC&-( &$#_C+&( /-
&. C/$+( &&$ C&-( &$# C3#( $ C&&$( +- JC&-( &$#_C&&$( +-
&- C%( +3 C&-( &$# C3#( $ C/&( /$ JC&-( &$#_C/&( /$
C//+( / C&-( &$# C3#( $ C&,-( +# JC&-( &$#_C&,-( +#
&+ C//-( ,. C&-( &$# C3#( $ C/%/( $$ JC&-( &$#_C/%/( $$
$% C&,.( $-- C&-( &$# C3#( $ C$%( $-- JC&-( &$#_C$%( $--
$& C/%#( /$& C&-( &$# C