SISTEM BILANGAN

PROGRAM STUDI TEKNIK MESIN

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER

ILHAM SAIFUDIN Kamis, 09 Maret 2017 Universitas Muhammadiyah Jember

Outline

SISTEM BILANGAN

1

Sistem Bilangan Ril

Bilangan Kompleks

Pertidaksamaan

Koordinat Kartesius

2

3

4

ILHAM SAIFUDIN TM KALKULUS

Outline

1. SISTEM BILANGAN RIL

Pengertian: Himpunan bilangan ril dan operasi aljabar berupa penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Notasi bilangan Ril yaitu ℝ

a. BILANGAN RIL

ILHAM SAIFUDIN TM KALKULUS

Outline

BILANGAN RIL

Bilangan Ril (R)

Bilangan Rasional (Q)

Bilangan Bulat (J)

Bilangan Pecahan

Bilangan Desimal Berulang

Bilangan Desimal Terbatas

Bilangan Irrasional (I)

Bilangan Negatif (J)

Bilangan Cacah (W)

Bilangan Nol

Bilangan Asli (N)

ILHAM SAIFUDIN TM KALKULUS

Outline

Pengertian: Tempat kedudukan titik-titik, dimana setiap titik menunjukkan satu bilangan ril tertentu yang tersusun secara terurut. Gambarkan contohnya ?

b. Garis Bilangan

ILHAM SAIFUDIN TM KALKULUS

Outline

Jika a, b,dan c merupakan bilangan ril, maka berlaku: 1) a+b bilangan ril 2) a.b bilangan ril 3) a+b=b+a hukum komutatif penjumlahan 4) a.b=b.a hukum komutatif perkalian 5) (a+b)+c=a+(b+c) hukum asosiatif penjumlahan 6) (a.b)c=a(b.c) hukum asosiatif perkalian 7) a(b+c)=ab+ac hukum distributif 8) a+0=0+a=a hukum penjumlahan 0 9) a.1=1.a=a hukum perkalian satu 10) a.0=0.a=0 hukum perkalian 0 11) a+(-a)=-a+a hukum invers penjumlahan 12) a.(1/a)=1, a≠1 hukum invers perkalian

C. Hukum-hukum Bilangan Ril

ILHAM SAIFUDIN TM KALKULUS

Outline

2. BILANGAN KOMPLEKS

Pengertian: Bilangan yang terdiri dari unsur bilangan ril dan imajiner. Bentuk umum: z=a+ib. Komponen a disebut bagian dari ril Re(z) dan b disebut bagian dari imajiner Im(z). Berikan contohnya.....!

ILHAM SAIFUDIN TM KALKULUS

Outline

Misal 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 dan 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2, maka berlaku: 1. 𝑧1= 𝑧2 ↔ 𝑥1 = 𝑥2 dan 𝑦1 = 𝑦2 sf. Kesamaan 2. 𝑧1+ 𝑧2= 𝑥1+ 𝑥2 + 𝑖( 𝑦1+ 𝑦2) sf. Penjumlahan 3. 𝑧1−𝑧2= 𝑥1− 𝑥2 + 𝑖( 𝑦1− 𝑦2) sf. Pengurangan 4. 𝑧1. 𝑧2 = 𝑥1 𝑥2− 𝑦1 𝑦2 + 𝑖 𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦1 sf.

Perkalian

a. Sifat-sifat bilangan kompleks

ILHAM SAIFUDIN TM KALKULUS

Outline

Jika terdapat bilangan kompleks 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, maka konjugat bilangan kompleks tersebut adalah 𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦.

b. Konjugat

c. Perkalian bil komples dan Konjugatnya

Jika terdapat bilangan kompleks 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, maka konjugat bilangan kompleks tersebut adalah 𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦. Berapakah hasil perkaliannya ??? Apakah menghasilkan bilangan Ril???

ILHAM SAIFUDIN TM KALKULUS

Outline

c. Pembagian dua buah Bilangan Kompleks

Jika terdapat bilangan kompleks 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 dan 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2 , berapah hasil pembagiannya? Dapat dicari dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan hasil konjugat dari penyebutnya.

ILHAM SAIFUDIN TM KALKULUS

Outline

3. Pertidaksamaan

Pengertian: Salah satu bentuk pernyataan matematika yang mengandung satu peubah atau lebih yang dihubungkan oleh tanda-tanda <,>,≤,≥.

ILHAM SAIFUDIN TM KALKULUS

Outline

a. Sifat-sifat pertidaksamaan 1. Jika 𝑎 > 𝑏 dan 𝑏 > 𝑐, maka 𝑎 > 𝑐 2. Jika 𝑎 > 𝑏, maka 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐 3. Jika 𝑎 > 𝑏, maka 𝑎 − 𝑐 > 𝑏 − 𝑐 4. Jika 𝑎 > 𝑏 dan 𝑐 bil. Positif, maka 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 5. Jika 𝑎 > 𝑏 dan c bil. Negatif, maka 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 6. 6 Sampai 10 dengan merubah tanda <, maka akan

dihasilkan sifat-sifat 11. 𝑎𝑐 > 0 jika 𝑎 > 0 dan 𝑐 > 0 atau jika 𝑎 < 0 dan 𝑐 < 0 12. 𝑎𝑐 < 0 jika 𝑎 < 0 dan 𝑐 > 0 atau jika 𝑎 > 0 dan 𝑐 < 0

13. 𝑎

𝑐> 0 jika 𝑎 > 0 dan 𝑐 > 0 atau jika 𝑎 < 0 dan 𝑐 < 0

14. 𝑎

𝑐< 0 jika 𝑎 < 0 dan 𝑐 > 0 atau jika 𝑎 > 0 dan 𝑐 < 0

15. Jika 𝑎 < 𝑏, maka −𝑎 < −𝑏

ILHAM SAIFUDIN TM KALKULUS

Outline

a. Sifat-sifat pertidaksamaan

16. Jika 1

𝑎<

1

𝑏, maka 𝑎 > 𝑏

17. Jika 𝑎 < 𝑏 < 𝑐, maka 𝑏 > 𝑎 dan 𝑏 < 𝑐 (ben. komposit) 18. Jika 𝑎 > 𝑏 > 𝑐, maka 𝑏 < 𝑎 dan 𝑏 > 𝑐 (ben. komposit)

ILHAM SAIFUDIN TM KALKULUS

Outline

b. Selang (interval)

ILHAM SAIFUDIN TM KALKULUS

Outline

b. Selang (interval)

Contoh soal: 1. 7𝑥 + 9 < −5

2. 4 <4−2𝑥

5< 2𝑥 − 1

3.1

37𝑥 − 3 < 𝑥 + 1

4.5−2𝑥

3>

2+𝑥

5

5. 6 ≥2−𝑥

9≥ 5

ILHAM SAIFUDIN TM KALKULUS

Outline

b. Nilai Mutlak

Nilai mutlak dari 𝑥 dinyatakan dengan |𝑥| dan didefinisikan:

𝑥 = 𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 0−𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 0

ILHAM SAIFUDIN TM KALKULUS

Outline

b. Nilai Mutlak

ILHAM SAIFUDIN TM KALKULUS

Outline

b. Nilai Mutlak

Contoh : selesaikan pertidaksamaan mutlak 1. |𝑥 − 5| ≤ 4 2. 𝑥 − 7 > 3 3. |6 − 2𝑥| ≥ 7

ILHAM SAIFUDIN TM KALKULUS

Outline

c. Pertidaksamaan linier

Bentuk umum: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 <,>,≤,≥ 𝑐 Gambarlah grafik 1. 𝑥 + 𝑦 < 3 2. 4𝑥 + 5𝑦 ≤ 6 3. 𝑦 + 2𝑥 > 4 4. 5𝑦 + 3𝑥 ≥ 1

d. Sistem Pertidaksamaan linier Gambarlah grafik 1. 𝑥 + 𝑦 < 3 dan 4𝑥 + 5𝑦 ≤ 6 2. 𝑦 + 2𝑥 > 4 dan 5𝑦 + 3𝑥 ≥ 1

ILHAM SAIFUDIN TM KALKULUS

Outline

e. Pertidaksamaan kuadrat

Bentuk umum: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦 + 𝑐 <,>,≤,≥ 0 Gambarlah grafik 1. 𝑥2 − 7𝑥 + 12 > 0

2.10

𝑥−2≤ 2(𝑥 + 2)

ILHAM SAIFUDIN TM KALKULUS

Outline

4. Koordinat Kartesius

ILHAM SAIFUDIN TM KALKULUS

Outline

4. Koordinat Kartesius

Tentukan kuadran dari koordinat-koordinat berikut: 1. 4,−5 2. −3,7 3. (−3,1)

ILHAM SAIFUDIN TM KALKULUS

Outline

“TERIMAKASIH”

ILHAM SAIFUDIN TM KALKULUS