RELASIRELASI

Matematika DiskritMatematika Diskrit

Matematika Diskrit 2

Definisi• Relasi (binair) R dari himpunan X ke himpunan Y

adalah sebuah subhimpunan dari hasil kali Cartesius X x Y.

• Notasi :Jika (x,y) ∈ R maka :

x R y x relasi dengan y• Daerah asal (domain) dari R :

{x ∈ X | (x,y) ∈ R untuk beberapa y ∈ Y}• Daerah hasil (range) dari R :

{y ∈ Y | (x,y) ∈ R untuk beberapa x ∈ X}

Matematika Diskrit 3

Contoh 1

• X = {Nani, Rianti, Dudi, Ivan, Candra}

• Y = { Teknik Informatika, Matematika, Manajemen Informatika, Teknik Sipil}

• R = {(Nani, Teknik Informatika), (Rianti, Matematika), (Dudi, Manajemen Informatika), (Ivan, Manajemen Informatika), (Candra, Teknik Sipil)}

X Y

Nani T. Informatika

Rianti Matematika

Dudi Manaj. Informatika

Ivan Manaj. Informatika

Candra T. Sipil

Matematika Diskrit 4

Pasangan terurut dalam relasi R

Matematika Diskrit 5

Contoh 2• X = {2,3,4}• Y = { 3,4,5,6,7}• R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)}

X Y2 42 63 33 64 4

• Domain dari R = {2,3,4}

• Range dari R = { 3,4, 6}

Matematika Diskrit 6

Digraf

• Cara informatif untuk menggambarkan sebuah relasi pada sebuah himpunan

• Memiliki : vertex (ujung) directed edge

(rusuk berarah)

Matematika Diskrit 7

Sifat-sifat Relasi

• Refleksif• Anti refleksif• Simetris• Antisimetris• Transitif • Non transitif

Matematika Diskrit 8

• Relasi R pada himpunan X disebut refleksif jika (x,x) ∈ R untuk setiap x ∈ X

• Digraf dari refleksif mempunyai sebuah loop pada setiap ujungnya.

• Contoh :X = {1,2,3,4}R = {(1,1),(1,2),(1,3), (1,4),(2,2),(2,3), (2,4),(3,3),(3,4), (4,4)}

Refleksif

Matematika Diskrit 9

Tidak Refleksif• Salah satu atau lebih vertex

tidak mempunyai loop• Contoh :

X = {1,2,3,4}R = {(1,1),(2,3),(3,2),(4,4)}

Matematika Diskrit 10

Simetris• Relasi R pada himpunan X disebut

simetris jika untuk semua x, y ∈ X, jika (x,y) ∈ R maka (y,x) ∈ R

• Digraf dari relasi simetris mempunyai sifat bahwa terdapat rusuk berarah dari v ke w, maka juga terdapat rusuk berarah dari w ke v

Matematika Diskrit 11

Simetris (Cont.)• Contoh :

X = {1,2,3,4}R = {(1,1),(2,3),(3,2),(4,4)}

(2,3) di R dan (3,2) di R

Matematika Diskrit 12

Antisimetris (Tidak Simetris)

• Relasi R pada himpunan X disebut antisimetris jika untuk semua x, y ∈ X, jika (x,y) ∈ R dan x ≠ y, maka (y,x) ∉ R

• Digraf dari relasi antisimetris mempunyai sifat bahwa diantara sembarang 2 ujung terdapat rusuk 2 arah

Matematika Diskrit 13

Antisimetris (Cont.)• Contoh :

X = {1,2,3,4}R = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),

(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)}

(2,3) ∈ R tetapi (3,2) ∉ R

Matematika Diskrit 14

Transitif• Relasi R pada himpunan X disebut

transitif jika untuk semua x,y,z ∈X, jika (x,y) dan (y,z) ∈ R, maka (x,z) ∈ R

• Digraf dari relasi transitif mempunyai sifat bahwa apabila terdapat rusuk berarah dari x ke y dan dari y ke z, maka terdapat rusuk berarah dari x ke z.

Matematika Diskrit 15

Transitif (Cont.)

(x,y) (y,z) (x,z) (x,y) (y,z) (x,z)(1,1) (1,1) (1,1) (2,2) (2,2) (2,2)(1,1) (1,2) (1,2) (2,2) (2,3) (2,3)(1,1) (1,3) (1,3) (2,2) (2,4) (2,4)(1,1) (1,4) (1,4) (2,3) (3,3) (2,3)(1,2) (2,2) (1,2) (2,3) (3,4) (2,4)(1,2) (2,3) (1,3) (2,4) (4,4) (2,4)(1,2) (2,4) (1,4) (3,3) (3,3) (3,3)(1,3) (3,3) (1,3) (3,3) (3,4) (3,4)(1,3) (3,4) (1,4) (3,4) (4,4) (3,4)(1,4) (4,4) (1,4) (4,4) (4,4) (4,4)

Pasangan berbentuk Pasangan berbentuk

Matematika Diskrit 16

Transitif (Cont.)

• Penentuan sebuah relasi R transitif :1. jika (x,y) dan (y,z) ∈ R, maka (x,z) ∈ R2. x = y dan (x,z) = (y,z) di R

• Contoh : R1 = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,1),(4,4)} tidak transitif R2 = {(1,1),(1,2),(2,1)} tidak transitif R3 = {(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)} tidak transitif R4 = {(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)} transitif

Matematika Diskrit 17

Urutan Parsial (Partial Orders)

• Relasi R pada himpunan X disebut urutan parsial jika R refleksif, antisimetris dan transitif

• Ketiga persyaratan tersebut harus dipenuhi

Matematika Diskrit 18

Invers• Misalkan R adalah relasi dari X ke Y maka

invers dari R adalah relasi dari Y ke X• Notasi : R-1 • Invers didefinisikan :

R-1 = {(y,x) | (x,y) ∈ R}• Digambarkan relasi ini sebagai “terbagi

oleh”• Contoh :

R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)} R-1 = {(4,2), (6,2), (3,3), (6,3), (4,4)}

Matematika Diskrit 19

Komposisi (Composite)

• Misalkan R1 adalah relasi dari X ke Y dan R2 adalah relasi dari Y ke Z, maka komposisi dari R1 dan R2 adalah relasi dari X ke Z

• Notasi : R2 ° R1 • Komposisi didefinisikan :

R2 ° R1 = {(x,z) | (x,y) ∈ R1 dan (y,z)∈ R2 untuk beberapa y ∈ Y}

• Contoh : R1 = {(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} R2 = {(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} R2 ° R1 = {(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u)}

Matematika Diskrit 20

Relasi Keekuivalenan• Teorema 1 :

Misalkan S adalah partisi dari himpunan X. Definisikan xRy untuk mengartikan bahwa untuk beberapa himpunan S di S, baik x maupun y berada di S, maka R refleksif, simetris dan transitif

• Sebuah relasi yang refleksif, simetris dan transitif pada himpunan X disebut relasi keekuivalenan pada X (equivalence relation on X)

Matematika Diskrit 21

• Contoh :S = {{1,3,5},{2,6},{4}}X = {1,2,3,4,5,6}R = {(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),(2,2),

(2,6),(6,2),(6,6),(4,4)}• Digraf relasi dari R harus :Refleksif :

terdapat sebuah loop pada setiap ujungnyaSimetris :

untuk setiap rusuk berarah dari v ke w juga terdapat

rusuk berarah dari w ke vTransitif :

jika terdapat sebuah rusuk berarah dari x ke y dan rusuk berarah dari y ke z maka terdapat rusuk

berarah dari x ke z

Relasi Keekuivalenan (Cont.)

Matematika Diskrit 22

Relasi Keekuivalenan (Cont.)

Matematika Diskrit 23

Teorema 2• Misalkan R sebuah relasi keekuivalenan pada

himpunan X. Untuk setiap a ∈ X, misalkan :{a} = {x ∈ X | xRa}

Sehingga :S = {[a] | a ∈ X}

adalah partisi dari X• Misalkan R adalah relasi keekuivalenan pada

himpunan X. Himpunan-himpunan [a] yang didefinisikan pada Teorema 2 disebut kelas keekuivalenan dari X yang diberikan oleh relasi R

Matematika Diskrit 24

Contoh • S = {{1,3,5},{2,6},{4}}

X = {1,2,3,4,5,6}R = {(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1), (5,3),(5,5),(2,2),(2,6),(6,2),(6,6),(4,4)}Kelas keekuivalenan [1] yang mengandung 1 terdiri dari semua y sehingga (1,y) ∈ R. Oleh karena itu :

[1] = {1,3,5}Kelas ekuivalenan yang tersisa didapatkan dengan cara yang sama :

[3] = [5] = {1,3,5}[2] = [6] = {2,6}[4] = {4}

Matematika Diskrit 25

Teorema 3

• Misalkan R adalah relasi keekuivalenan pada himpunan terhingga X. Jika setiap kelas keeukuivalenan mempunyai r unsur, maka terdapat |X| / r kelas keekuivalenan

X1

(r unsur)

X2

(r unsur)

……. Xk

(r unsur)|X| = r k

|X| = |X1| + |X2| + … + |Xk|

= r + r + … + r = r k

Matematika Diskrit 26

Matriks Relasi• Dikenal dengan adjacency matrix• Contoh :

R = {(1,b),(1,d),(2,c),(3,c),(3,b),(4,a)}X = {1,2,3,4}Y = {a,b,c,d}

0001

0110

0100

1010

4

3

2

1

dcba

Matematika Diskrit 27

Klosur Relasi• Klosur relasi terjadi jika :Relasi tidak refleksif menjadi refleksif

Klosur refleksif (Reflexive Closure)Relasi tidak simetris menjadi simetris

Klosur simetris (Symmetric Closure)Relasi tidak transitif menjadi transitif

Klosur transitif (Transitive Closure)

Matematika Diskrit 28

Klosur refleksif (Reflexive Closure)• Klosur refleksif dari R adalah :

R ∪ ∆ , dimana ∆ = {(a,a)|a ∈ A}

• Contoh :1. A = {1, 2, 3}

R = {(1,1), (1,3), (2,3), (3,2)} tidak refleksifSupaya bersifat refleksif maka ∆ = {(1,1), (2,2), (3,3)} Sehingga klosur refleksif dari R adalah : R ∪ ∆ = {(1,1), (1,3), (2,3), (3,2)} ∪ (1,1), (2,2), (3,3)} = {(1,1), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)}

2. R = {(a,b)|a ≠ b} pada himpunan bilangan bulatMaka klosur refleksif dari R adalah : R ∪ ∆ = {(a,b)|a ≠ b} ∪ {(a,a)|a ∈ Z} = {(a,b)|a ∈ Z}

Matematika Diskrit 29

Klosur Simetris (Symmetric Closure)• Klosur simetris dari R adalah :

R ∪ R-1 , dimana R-1 = {(a,b)| (b,a) a ∈ R}

• Contoh :1. A = {1, 2, 3}

R = {(1,3), (1,2), (2,1), (3,2), (3,3)}Supaya bersifat simetris maka R-1 = {(3,1), (2,1), (1,2), (2,3), (3,3)}Sehingga klosur simetris adalah :

R ∪ R-1 = {(1,3), (1,2), (2,1), (3,2), (3,3)} ∪ {(3,1), (2,1), (1,2), (2,3), (3,3)}= {(1,3), (3,1), (1,2), (2,1), (3,2), (2,3), (3,3)}

2. R = {(a,b)|a habis membagi b} pada himpunan bilangan bulatMaka klosur simteris dari R adalah :

R ∪ R-1 = {(a,b)|a habis membagi b} ∪ {(b,a)|b habis membagi a} = {(a,b)|a habis membagi b atau b habis membagi a}

Matematika Diskrit 30

Klosur Transitif (Transitive Closure)

• Klosur transitif dari R adalah :

*]3[]2[*

32

1

*

RRRRR

n

n

n

MMMMM

atau

RRRRR

∨∨∨∨=

∪∪==∞

=

Matematika Diskrit 31

Contoh A = {1, 2, 3}R = {(1,1), (1,3), (2,2), (3,1), (3,2)}Matriks yang merepresentasikan relasi R adalah :

=

011

010

101

RM

Klosur transitif dari R adalah :]3[]2[* RRRR

MMMM ∨∨=Karena

Maka

]3[]2[* RRRRMMMM ∨∨=

==

==

111

010

111

.

111

010

111

. ]2[]3[]2[ RRRRRRMMMdanMMM

Sehingga klosur transitif R* : {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3)}

Matematika Diskrit 32

Latihan

Jika diketahui X = {1,2,3,4}Tentukan relasi berikut memiliki sifat transitif atau

tidak :1. R1 = {(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(4,2)}2. R2 = {(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(4,4)}3. R3 = {(1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2)}4. R4 = {(1,3),(2,1),(2,3),(3,2),(3,3)}5. R5 = {(1,2),(1,4),(2,2),(2,3),(3,4),(3,2),(4,1)}

Matematika Diskrit 33

Latihan Jika A = {0, 1, 2, 3}R = {(0,1), (1,1), (1,2),(2,0), (2,2)}Tentukan :6. Klosur transitif7. Klosur simetris

Jika A = {1, 2, 3,4}R = {(2,1), (2,3), (3,1), (3,4), (4,1), (4,3)}Tentukan :8. Klosur refleksif9. Klosur simetris10. Klosur transitif