Post on 11-Mar-2019
SISTEM JARINGAN SYARAF KABUR
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun oleh:
Sisiria Mardiawati
NIM : 053114006
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2011
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
FUZZY NEURAL NETWORK SYSTEM
Final Assignment
Presented to Fulfill One of the Requirements
To Obtain the Sarjana Sains Degree
Mathematics Study Program
By :
Sisiria Mardiawati
Student Number : 053114006
MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2011
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
HALAMAN PERSEMBAHAN
Bersukacitalah senantiasa
Tetaplah berdoa Mengucap syukurlah dalam segala hal, sebab itulah yang dikehendaki Allah di
dalam Kristus Yesus bagi kamu (2 Tesalonika 16-18) Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang apa pun juga, tetapi nyatakanlah dalam segala hal keinginanmu kepada Allah dalam doa dan permohonan dengan ucapan syukur (Filipi 4:6)
Skripsi ini kupersembahkan kepada : Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu memberkati dan menyertaiku
Mamak dan Bapak yang selalu mendukung dengan cinta kasih yang tiada habisnya Adikku terkasih, Vincentius Mardianto yang selalu mendukung
Diriku sendiri, Sisiria Mardiawati yang sudah mau menyelesaikan skripsi ini
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRAK
Jaringan syaraf kabur adalah suatu model yang dilatih dengan menggunakan
jaringan syaraf, namun struktur jaringannya diinterpretasikan dengan aturan-aturan
kabur. Sistem jaringan syaraf kabur adalah suatu sistem yang mengombinasikan
logika kabur dan jaringan syaraf. Sistem jaringan syaraf kabur dirancang untuk
merealisasikan proses penalaran kabur, di mana bobot-bobot yang terhubung pada
jaringan tersebut berhubungan dengan parameter-parameter penalaran kabur.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRACT
Fuzzy neural networks is a model trained using neural networks, but the
network structures are interpreted by fuzzy rules. Fuzzy neural network system is a
system that combines fuzzy logic and neural networks. Fuzzy neural network system
is designed to realize the fuzzy reasoning process, where the weights connected to the
network are associated with the fuzzy reasoning parameters.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan berkat
dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak yang
memberikan dorongan, bimbingan, petunjuk, nasihat serta dukungan dari permulaan
sampai selesainya penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, pada kesempatan ini dengan
segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terimakasih kepada:
1. Bapak Yosef Agung Cahyanta S.T., M.T., selaku Dekan Fakultas Sains dan
Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
2. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Ketua Program Studi
Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma
Yogyakarta sekaligus selaku Dosen Penguji tugas akhir yang selalu memberikan
semangat kepada penulis.
3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ, selaku Dosen Pembimbing skripsi dan Dosen
Pembimbing akademik yang telah memberikan masukan, bimbingan, nasihat,
dorongan serta saran dalam penulisan skripsi ini.
4. Bapak Y. G. Hartono, S.Si, M.Sc, selaku Dosen Penguji tugas akhir yang telah
memberikan masukan dan saran.
5. Bapak dan Ibu dosen yang telah memberikan bekal ilmu kepada penulis.
6. Bapak Zaerilus Tukija dan Ibu Erma Linda Santyas Rahayu yang telah
memberikan pelayanan administrasi kepada penulis selama masa perkuliahan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL .................................................................................... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS................................. ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING........................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN....................................................................... iv
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA.................................. v
HALAMAN PERSEMBAHAN.................................................................... vi
ABSTRAK...................................................................................................... vii
ABSTRACT.................................................................................................... viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH
UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS....................................................... ix
KATA PENGANTAR..................................................................................... x
DAFTAR ISI................................................................................................... xii
BAB I PENDAHULUAN ............................................................................. 1
A. Latar Belakang ............................................................................. 1
B. Rumusan Masalah ........................................................................ 6
C. Pembatasan Masalah .................................................................... 7
D. Tujuan Penulisan .......................................................................... 7
E. Manfaat Penulisan ........................................................................ 7
F. Metode Penulisan ......................................................................... 8
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
G. Sistematika Penulisan .................................................................. 8
BAB II LOGIKA KABUR, DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR DAN
JARINGAN SYARAF TIRUAN.................................................... 11
A. Logika Kabur .............................................................................. 11
1. Himpunan Kabur .................................................................... 11
2. Fungsi Keanggotaan ............................................................... 18
3. Operasi Baku pada Himpunan Kabur ................................... 23
4. Perambatan Operasi Baku pada Himpunan Kabur ............... 25
5. Relasi Kabur.......................................................................... 28
6. Variabel Linguistik................................................................ 29
7. Proposisi Kabur..................................................................... 29
8. Implikasi Kabur..................................................................... 30
9. Model Kabur Takagi Sugeno Kang (TSK)............................ 34
10. Modus Ponens Rampat.......................................................... 35
11. Sistem Kendali Kabur............................................................ 44
B. Dekomposisi Nilai Singular......................................................... 45
C. Jaringan Syaraf Tiruan................................................................ 52
1. Konsep Dasar Jaringan Syaraf Tiruan................................... 52
2. Arsitektur Jaringan Syaraf..................................................... 55
3. Proses Pembelajaran.............................................................. 57
4. Fungsi Aktivasi...................................................................... 58
5. Model Rambatan Balik.......................................................... 63
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
BAB III SISTEM JARINGAN SYARAF KABUR .................................... 75
A. Jaringan Syaraf dan Logika Kabur.............................................. 75
B. Model Kabur dengan Pembelajaran Jaringan
Syaraf Terbimbing........................................................................ 77
1. Arsitektur Jaringan Syaraf Kabur............................................ 77
2. Pembelajaran Rambatan Balik Pada Model Kabur................. 80
C. Contoh Model Jaringan Syaraf Kabur........................................... 91
BAB IV PENUTUP........................................................................................ 99
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 101
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak hal yang bersifat kompleks dan
rumit untuk dijelaskan secara tepat dan eksak. Sebuah model yang cocok untuk
menggambarkan hal tersebut bisa diperoleh dengan menggunakan himpunan kabur.
Pencapaian dengan menggunakan model tersebut berdasarkan pengamatan bahwa
manusia berpikir menggunakan bahasa yang digunakan seperti “kecil” atau “sangat
besar” dan ungkapan yang lainnya. Oleh karena itu, untuk mendeskripsikan konsep
tersebut ke dalam bahasa yang umum, Zadeh memperkenalkan himpunan kabur
(fuzzy sets) pada tahun 1965. Dalam hal ini Zadeh memperluas konsep “himpunan
klasik” (himpunan tegas, crisp set) menjadi himpunan kabur, dalam arti bahwa him-
punan klasik merupakan kejadian khusus dari himpunan kabur itu. Berdasarkan kon-
sep himpunan kabur itu, Zadeh mengembangkan konsep algoritma kabur (1968),
yang merupakan landasan dari logika kabur (fuzzy logic) dan penalaran hampiran (ap-
proximate reasoning), yaitu penalaran yang melibatkan pernyataan-pernyataan
dengan predikat kabur. Inti dari sistem kabur ini sendiri adalah aturan implikasi jika –
maka (if – then rules), yang menggunakan himpunan kabur sebagai syarat dalam pre-
mis dan kesimpulannya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Sejak manusia bisa melakukan banyak hal yang cukup sulit dibandingkan alat
teknologi yang sangat canggih, otak manusia menjadi hal yang sangat menarik bagi
para ahli. Otak manusia memiliki struktur yang sangat kompleks dan memiliki ke-
mampuan yang luar biasa. Otak terdiri dari neuron-neuron dan penghubung yang
disebut sinapsis. Neuron bekerja berdasarkan impuls/sinyal yang diberikan pada neu-
ron. Setiap sel syaraf (neuron) memiliki 3 komponen penting yaitu soma yang
merupakan inti sel dari neuron yang bertugas untuk melakukan pemrosesan
informasi. Informasi yang datang akan diterima oleh dendrit, selain menerima
informasi dendrit juga menyertai axon sebagai keluaran dari suatu pemrosesan
informasi. Informasi hasil olahan ini akan menjadi masukan bagi neuron lain yang
dihubungkan oleh dua dendrit sel yang dipertemukan oleh sinapsis. Informasi yang
dikirimkan antar neuron ini berupa rangsangan yang dilewatkan melalui beberapa
dendrit. Informasi yang datang dan diterima oleh dendrit akan dijumlahkan dan
dikirim melalui axon ke dendrit akhir yang bersentuhan dengan dendrit dari neuron
yang lain. Informasi ini akan diterima oleh neuron lain jika memenuhi batasan
tertentu, yang sering dikenal dengan nama nilai ambang (treshold).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
Gambar 1.1 Jaringan Syaraf Biologi
Terinspirasi akan sistem jaringan syaraf biologi tersebut, banyak ahli telah
menyelidiki jaringan syaraf tiruan. Jaringan syaraf tiruan adalah suatu sistem
komputasi yang disusun dengan meniru proses alamiah yang terjadi dalam jaringan
syaraf biologis pada otak manusia. Seperti halnya otak manusia, jaringan syaraf tiruan
juga terdiri dari beberapa neuron dan ada hubungan antara neuron-neuron tersebut.
Neuron-neuron tersebut akan mentransformasikan input yang diterima melalui
sambungan keluarnya menuju ke neuron-neuron lainnya. Pada jaringan syaraf tiruan,
hubungan ini dikenal dengan nama bobot (weight). Input tersebut disimpan pada
suatu nilai tertentu pada bobot tersebut. Gambar dibawah ini menunjukkan jaringan
syaraf sederhana.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
Gambar 1.2 Jaringan syaraf sederhana
Sebenarnya cara kerja neuron buatan ini sama saja dengan neuron biologis.
Suatu neuron pada umumnya memiliki n buah input yang dinyatakan dengan
bilangan-bilangan real nxxx ,,, 21 ⋅⋅⋅ , dan sebuah output 1y . Masing-masing input
memiliki bobot yang dinyatakan dengan bilangan real 12111 ,,, nwww ⋅⋅⋅ . Input-input
tersebut akan diproses oleh suatu fungsi perambatan yang akan menjumlahkan nilai-
nilai semua bobot yang masuk. Hasil penjumlahan tersebut akan dibandingkan
dengan suatu nilai ambang tertentu melalui fungsi aktivasi setiap neuron sehingga
mencapai sebuah output y. Pada jaringan syaraf neuron-neuron akan dikumpulkan
dalam lapisan-lapisan (layer) yang sering disebut dengan lapisan neuron (neuron
layers). Biasanya neuron-neuron pada satu lapisan akan dihubungkan dengan lapisan-
lapisan sebelum dan sesudahnya (kecuali lapisan input dan lapisan output). Input
yang dimasukkan pada jaringan syaraf akan dirambatkan mulai dari lapisan input
sampai ke lapisan output melalui lapisan yang lainnya, yang sering dikenal dengan
nama lapisan tersembunyi (hidden layer).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
Gambar 1.3 Jaringan syaraf tiruan dengan lapisan tersembunyi
Jaringan syaraf dan logika kabur merupakan dua teknologi yang
komplementer. Jaringan syaraf dapat mengenali pola masukan yang diterimanya dan
dengan proses pembelajaran dapat menyesuaikan diri dengan masukan itu. Proses
pembelajaran pada suatu jaringan syaraf adalah proses penyesuaian diri jaringan itu
secara bertahap terhadap masukan yang diterimanya sampai akhirnya menghasilkan
keluaran yang diinginkan. Akan tetapi, memahami proses pembelajaran jaringan
syaraf cukup sulit karena sulit untuk menjelaskan makna setiap neuron dan setiap
bobot yang terkait. Sebaliknya, model berbasis aturan kabur mudah untuk dipahami
karena menggunakan istilah-istilah linguistik dan struktur aturan jika-maka. Akan
tetapi, tidak seperti jaringan syaraf, logika kabur tidak mengenal algoritma
pembelajaran. Penggabungan kedua teknologi tersebut menghasilkan istilah baru,
yaitu jaringan syaraf kabur. Sistem jaringan syaraf kabur adalah suatu sistem yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
menggunakan kombinasi logika kabur dan jaringan syaraf. Sistem jaringan syaraf
kabur dirancang untuk merealisasikan proses logika kabur, dimana bobot-bobot yang
terhubung pada jaringan tersebut berhubungan dengan parameter-parameter logika
kabur. Dengan menggunakan algoritma pembelajaran rambatan balik, sistem jaringan
syaraf kabur dapat mengidentifikasi aturan-aturan kabur dan melatih fungsi
keanggotaan dari logika kabur tersebut. Sistem jaringan syaraf kabur dapat
diklasifikasikan ke dalam dua kategori, yaitu:
1. Model berbasis aturan kabur yang dibangun dengan menggunakan teknik
pembelajaran jaringan syaraf terbimbing.
2. Model berbasis aturan kabur yang menggunakan jaringan syaraf untuk
membangun partisi kabur dari ruang masukannya.
Yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah sistem jaringan syaraf kabur kategori
pertama.
B. Rumusan Masalah
Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah:
1. Bagaimana bentuk model sistem jaringan syaraf kabur?
2. Bagaimana mengimplementasikan pembelajaran rambatan balik pada
model kabur?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
C. Pembatasan Masalah
Dalam skripsi ini, penulis membahas tentang sistem jaringan syaraf kabur
yang merupakan interpretasi pembelajaran jaringan syaraf buatan dengan (pada)
model kabur. Pembelajaran yang digunakan adalah pembelajaran rambatan balik, dan
model kabur yang digunakan adalah model kabur Takagi Sugeno Kang (TSK).
D. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah:
1. Mengetahui bagaimana bentuk model sistem jaringan syaraf kabur
2. Mengetahui implementasi pembelajaran rambatan balik pada model kabur
E. Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah dapat mengetahui dan memahami
bagaimana bentuk model sistem jaringan syaraf kabur serta mengetahui implementasi
pembelajaran rambatan balik pada model kabur.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
F. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah metode
studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari materi dari buku-buku acuan
yang berkaitan dengan topik skripsi.
G. Sistematika Penulisan
BAB I : PENDAHULUAN
A. Latar belakang masalah
B. Perumusan masalah
C. Pembatasan masalah
D. Tujuan penulisan
E. Manfaat penulisan
F. Metode penulisan
G. Sistematika penulisan
BAB II : LOGIKA KABUR DAN JARINGAN SYARAF TIRUAN
A. Logika Kabur
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
1. Himpunan Kabur
2. Fungsi Keanggotaan
3. Operasi Baku Pada Himpunan Kabur
4. Perampatan Operasi Baku Pada Himpunan
Kabur
5. Relasi Kabur
6. Variabel Linguistik
7. Proposisi Kabur
8. Implikasi Kabur
9. Prinsip Perluasan
10. Model Kabur Takagi Sugeno Kang
11. Generalisasi Modus Ponens
12. Sistem Kendali Kabur
B. Dekomposisi Nilai Singular (DNS)
C. Jaringan Syaraf Tiruan
1. Konsep Dasar Jaringan Syaraf Tiruan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
2. Arsitektur Jaringan Syaraf
3. Proses Pembelajaran
4. Fungsi Aktivasi
5. Model Rambatan Balik (Backpropagation)
BAB III : SISTEM JARINGAN SYARAF KABUR
A. Jaringan Syaraf dan Logika Kabur
B. Model Kabur dengan Pembelajaran Jaringan Syaraf
Terbimbing
1. Arsitektur Jaringan Syaraf Kabur
2. Pembelajaran Rambatan Balik Pada Model
Kabur
C. Contoh Model Jaringan Syaraf Kabur
BAB IV : PENUTUP
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
LOGIKA KABUR, DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR DAN
JARINGAN SYARAF TIRUAN
A. Logika Kabur
1. Himpunan Kabur
Andaikan A adalah suatu himpunan tegas dalam semesta pembicaraan U,
maka A dapat didefinisikan dengan mendaftarkan semua anggotanya atau dengan
mendefinisikan kaidah yang harus dipenuhi oleh anggota dari himpunan tersebut. Jika
suatu objek x adalah anggota himpunan A, maka ditulis Ax∈ , dan jika x bukan
anggota A ditulis Ax∉ . Ada tiga metode untuk mendefinisikan suatu himpunan
dalam suatu semesta pembicaraan U, yaitu:
a. Metode pendaftaran, yaitu metode yang mendefinisikan suatu himpunan dengan
menyebut semua anggotanya. Metode ini digunakan hanya untuk himpunan-
himpunan berhingga. Himpunan A yang anggotanya naaa ,...,, 21 , ditulis:
A = ( naaa ,...,, 21 )
b. Metode kaidah, yaitu metode yang mendefinisikan suatu himpunan dengan
menyebutkan syarat keanggotaannya. Dalam metode kaidah, himpunan A
dinyatakan dengan:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
=A )}(|{ xpUx∈
di mana )(xp menyatakan bahwa “x mempunyai sifat p”
c. Metode fungsi keanggotaan (fungsi karakteristik), yaitu metode yang
mendefinisikan suatu himpunan dengan sebuah fungsi yang disebut fungsi
karakteristik, untuk menyatakan bahwa anggota-anggota himpunan semesta U
adalah anggota himpunan itu atau bukan. Himpunan A didefinisikan dengan
fungsi karakteristik }1,0{: →UAχ , sedemikian hingga:
=01
)(xAχ untukuntuk
AxAx
∉∈
Contoh 2.1 Andaikan =U {1, 2, , 11}. Didefinisikan himpunan A yang anggota-
anggotanya adalah bilangan-bilangan genap dalam himpunan semesta U. Maka
berdasarkan tiga metode di atas, himpunan A dapat dinyatakan sebagai berikut:
1. =A {2, 4, 6, 8, 10}
2. xUxA |{ ∈= }genapbilangan
3.
=01
)(xAχ jikajika
xx
ganjilbilangan genapbilangan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Fungsi karakteristik dari himpunan tegas menentukan dengan pasti nilai 0 atau
1 untuk setiap anggota U. Fungsi ini dapat diperumum sedemikian sehingga nilai-
nilai yang ditentukan untuk tiap anggota dari himpunan semesta berada dalam
interval tertutup [0,1] dan menunjukkan derajat keanggotaan dari anggota tersebut.
Nilai-nilai yang lebih besar menunjukkan derajat keanggotaan yang lebih tinggi.
Fungsi yang demikian disebut fungsi keanggotaan dan himpunan yang didefinisikan
berdasarkan fungsi tersebut disebut himpunan kabur.
Definisi 2.1 Suatu himpunan kabur A~ dalam semesta U adalah himpunan yang
dilengkapi dengan fungsi keanggotaan A~µ yang nilainya berada dalam interval [0,1],
yaitu:
]1,0[:~ →UAµ
Nilai )(~ xAµ disebut derajat keanggotaan dari x dalam himpunan kabur A~ .
Secara matematis suatu himpunan kabur A~ dalam himpunan semesta U dapat
dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut:
}|))(,{(~~ UxxxA A ∈= µ
Apabila semesta U adalah himpunan yang kontinu, maka himpunan kabur A~
seringkali dinyatakan dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
xAUx
A /~~∫
∈
= µ
di mana lambang ∫ di sini bukan lambang integral seperti yang dikenal dalam
kalkulus, tetapi melambangkan keseluruhan unsur-unsur Ux∈ dengan derajat
keanggotaan )(~ xAµ .
Apabila semesta U adalah himpunan yang diskret, maka himpunan kabur A~
seringkali dinyatakan dengan
xxAUx
A /)(~~∑
∈
= µ
di mana lambang ∑ di sini bukan lambang penjumlahan, tetapi melambangkan
keseluruhan unsur-unsur Ux∈ dengan derajat keanggotaan )(~ xAµ .
Angggota-anggota dari suatu himpunan kabur A~ yang mempunyai derajat
keanggotaan sama dengan 0, yaitu 0)(~ =xAµ , seringkali tidak ditulis.
Contoh 2.2 Misalkan dalam himpunan semesta semua bilangan real ℝ, A~ adalah
himpunan “bilangan real yang dekat dengan nol”, maka himpunan kabur A~ dapat
dinyatakan sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
xeAx
x /~
R
2
∫∈
−=
Contoh 2.3 Dalam himpunan semesta =U {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},
himpunan kabur A~ dalam Contoh 2.2 di atas dapat dinyatakan sebagai
4/1.03/3.02/5.01/7.00/11/7.02/5.03/3.04/1.0/)(~~ +++++−+−+−+−== ∑
∈
xxAUx
Aµ
Bilangan 5 dan -5 mempunyai derajat keanggotaan 0, sehingga tidak ditulis dalam
penyajian himpunan kabur diskret tersebut.
Berikut akan dibahas beberapa konsep dasar dan istilah-istilah yang
berhubungan dengan himpunan kabur. Misalkan A~ adalah himpunan kabur dalam
himpunan semesta U.
Definisi 2.2 Pendukung (support) dari himpunan kabur A~ adalah himpunan tegas
)~(AP yang memuat semua anggota semesta dengan derajat keanggotaan taknol
dalam A~ , yaitu
}0)(|{)~( ~ >∈= xUxAP Aµ .
Dari Contoh 2.3 di atas, )~(AP ={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}
Definisi 2.3 Himpunan kabur A~ disebut himpunan kabur kosong jika pendukungnya
adalah himpunan kosong.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Definisi 2.4 Himpunan kabur elemen tunggal adalah himpunan kabur yang
pendukungnya adalah himpunan tegas dengan elemen tunggal (singleton).
Definisi 2.5 Tinggi (height) dari himpunan kabur A~ adalah derajat keanggotaan
terbesar yang dicapai oleh anggota-anggota U, yaitu
)}({sup)~( ~ xATinggi AUxµ
∈= .
Dari Contoh 2.3 di atas, )~(ATinggi =1.
Definisi 2.6 Himpunan kabur A~ yang memiliki tinggi sama dengan 1 disebut
himpunan kabur normal.
Definisi 2.7 Himpunan kabur A~ yang memiliki tinggi kurang dari 1 disebut
himpunan kabur subnormal.
Definisi 2.8 Titik silang (crossover point) dari himpunan kabur A~ adalah anggota U
yang mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 0.5 dalam himpunan kabur A~ .
Dalam Contoh 2.3 di atas, titik 2 dan -2 adalah titik silang dari himpunan kabur A~ .
Definisi 2.9 Teras (core) dari himpunan kabur A~ adalah himpunan semua anggota U
yang mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 1, yaitu:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
}1)(|{)~( ~ =∈= xUxATeras Aµ .
Definisi 2.10 Pusat (center) dari himpunan kabur A~ didefinisikan sebagai berikut:
jika nilai rata-rata dari semua titik di mana fungsi keanggotaan himpunan kabur itu
mencapai nilai maksimum adalah berhingga, maka pusat himpunan kabur itu adalah
nilai rata-rata tersebut; jika nilai rata-rata itu takhingga positif (negatif), maka pusat
himpunan kabur itu adalah yang terkecil (terbesar) di antara semua titik yang
mencapai nilai fungsi keanggotaan maksimum.
Definisi 2.11 Potongan-α (α -cut) dari himpunan kabur A~ adalah himpunan tegas
αA yang terdiri dari semua anggota U yang mempunyai derajat keanggotaan dalam
A~ lebih besar dari atau sama dengan α , yaitu:
})(|{ ~ αµα ≥∈= xUxA A .
Definisi 2.12 Potongan-α kuat dari himpunan kabur A~ adalah himpunan tegas αA′
yang terdiri dari semua anggota U yang mempunyai derajat keanggotaan dalam A~
lebih besar dari α , yaitu:
})(|{ ~ αµα >∈=′ xUxA A .
Dari Contoh 2.3 di atas, potongan-α dari A~ dengan α = 0.5 adalah =5.0A {-2, -1, 0,
1, 2}, sedangkan potongan-α kuatnya adalah =′ 5.0A {-1, 0, 1}.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Definisi 2.13 Dua buah himpunan kabur A~ dan B~ dalam himpunan semesta U
dikatakan sama, dilambangkan dengan BA ~~= , bila dan hanya bila
)()( ~~ xx BA µµ = , Ux∈∀ .
Definisi 2.14 Himpunan kabur A~ dikatakan himpunan bagian dari himpunan kabur
B~ , dilambangkan dengan BA ~~⊆ , bila dan hanya bila
)()( ~~ xx BA µµ ≤ , Ux∈∀ .
Contoh 2.4 Jika A~ = 0.2/-3 + 0.3/-2 + 0.7/-1 + 1/0 + 0.7/1 + 0.3/2 + 0.2/3 dan B~ =
0.3/-3 + 0.4/-2 + 0.8/-1 + 1/0 + 0.8/1 + 0.4/2 + 0.3/3, maka BA ~~⊆ .
Definisi 2.15 Himpunan kosong φ dapat dipandang sebagai himpunan kabur dengan
fungsi keanggotaan sama dengan 0, yaitu 0)( =xφµ untuk setiap Ux∈ . Himpunan
semesta U dapat dipandang sebagai himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan
sama dengan 1, yaitu 1)( =xuµ untuk setiap Ux∈ .
2. Fungsi Keanggotaan
Setiap himpunan kabur dapat dinyatakan dengan fungsi keanggotaan.
Beberapa fungsi keanggotaan himpunan kabur yang dinyatakan dalam bentuk suatu
formula matematis adalah sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
a. Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan segitiga
jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu ∈cba ,, ℝ dengan cba << , dan
dinyatakan dengan ),,;( cbaxSegitiga dengan kaidah:
−−−−
=
0
),,;(bcxcabax
cbaxSegitiga
Fungsi keanggotaan ini dapat juga dinyatakan dengan formula sebagai berikut:
−−
−−
= 0,,minmax),,;(bcxc
abaxcbaxSegitiga
Gambar 2.1 Grafik fungsi keanggotaan segitiga
b. Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan trapesium
jika mempunyai empat buah parameter, yaitu ∈dcba ,,, ℝ dengan dcba <<< ,
dan dinyatakan dengan ),,,;( dcbaxTrapesium dengan kaidah:
untuk bxa ≤≤ untuk cxb ≤≤ untuk x lainnya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
−−
−−
=
0
1),,,;(
cdxd
abax
dcbaxTrapesium
Fungsi keanggotaan ini dapat juga dinyatakan dengan formula sebagai berikut:
−−
−−
= 0,,1,minmax),,,;(cdxd
abaxdcbaxTrapesium
Gambar 2.2 Grafik fungsi keanggotaan trapesium
c. Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan Gauss
jika mempunyai dua buah parameter, yaitu ∈ba, ℝ, dinyatakan dengan
),;( baxGauss dan memenuhi:
2
),;(
−
−= b
ax
ebaxGauss
untuk bxa ≤≤ untuk cxb ≤≤ untuk dxc ≤≤ untuk x lainnya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Gambar 2.3 Grafik fungsi keanggotaan Gauss
di mana ax = adalah pusat dan b menentukan lebar dari fungsi keanggotaan
Gauss.
d. Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan Cauchy
jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu ∈cba ,, ℝ, dinyatakan dengan
),,;( cbaxCauchy dan memenuhi:
b
acx
cbaxCauchy 2
1
1),,;(−
+
=
di mana cx = adalah pusat, a menentukan lebar, dan b menentukan kemiringan
(slope) di titik silang dari fungsi keanggotaan Cauchy.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Gambar 2.4 Grafik fungsi keanggotaan Cauchy
e. Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan Sigmoid
jika mempunyai dua buah parameter, yaitu ∈ca, ℝ, dinyatakan dengan
),;( caxSigmoid dan memenuhi:
)(11),;( cxae
caxSigmoid −−+=
di mana a menentukan kemiringan fungsi keanggotaan sigmoid di titik silang
cx = . Untuk 0>a fungsi keanggotaan Sigmoid terbuka ke kanan, dan
sebaliknya untuk 0<a fungsi keanggotaan Sigmoid terbuka ke kiri.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Gambar 2.5 Grafik fungsi keanggotaan Sigmoid yang terbuka ke kanan (gambar
kiri) dan yang terbuka ke kiri (gambar kanan)
3. Operasi Baku pada Himpunan Kabur
Operasi baku pada himpunan kabur yang akan didefinisikan adalah operasi uner
“komplemen” dan operasi-operasi biner “gabungan” dan “irisan”. Komplemen dari
suatu himpunan kabur A~ adalah himpunan kabur A′~ dengan fungsi keanggotaan
)(1)( ~~ xx AA µµ −=′
untuk setiap x ∈ X. Gabungan dua buah himpunan kabur A~ dan B~ adalah himpunan
kabur BA ~~∪ dengan fungsi keanggotaan
=∪
)(~~ xBAµ max )}(),({ ~~ xx BA µµ
untuk setiap Xx∈ . Sedangkan irisan dua buah himpunan kabur A~ dan B~ adalah
himpunan kabur BA ~~∩ dengan fungsi keanggotaan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
=∩
)(~~ xBAµ min )}(),({ ~~ xx BA µµ
untuk setiap Xx∈ .
Teorema 2.1 (Teorema Dekomposisi)
Jika αA adalah potongan-α dari himpunan kabur A~ dalam himpunan semesta U dan
αA~ adalah himpunan kabur dalam U dengan fungsi keanggotaan )(~ xAA αααχµ =
untuk setiap Ux∈ , di mana α
χ A adalah fungsi karakteristik dari himpunan αA ,
maka ]1,0[
~~∈
=a
AA α .
Bukti: Ambil sebarang Ux∈ dan misalkan rxA =)(~µ . Untuk setiap ],0[ r∈α ,
αµ ≥= rxA )(~ , berarti αAx∈ , sehingga αµα
=)(~ xA . Untuk setiap ]1,(r∈α ,
αµ <= rxA )(~ , berarti αAx∉ , sehingga 0)(~ =xAαµ . Maka
]1,0[
~∈α
αµ A = )(sup ~
]1,0[xAα
µα∈
)(
sup
)}(sup),(supmax{
~
],0[
~]1,(
~],0[
xr
xx
A
k
Ar
Ar
µ
α
µµ
α
αα αα
==
=
=
∈
∈∈
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
untuk setiap Ux∈ . Jadi ]1,0[
~~∈
=a
AA α . ■
4. Perampatan Operasi Baku pada Himpunan Kabur
Di atas telah dibahas definisi operasi-operasi baku komplemen, gabungan dan
irisan untuk himpunan-himpunan kabur. Definisi-definisi tersebut dapat dirampatkan
sedemikian sehingga definisi operasi-operasi baku tersebut merupakan kejadian
khususnya. Perampatan tersebut akan didefinisikan secara aksiomatis, kemudian akan
diperlihatkan macam-macam operasi yang memenuhi aksioma-aksioma tersebut.
a. Operasi Komplemen
Definisi 2.17 Suatu pemetaan ]1,0[]1,0[: →k disebut komplemen kabur jika
memenuhi aksioma-aksioma berikut:
K1. 1)0( =k dan 0)1( =k (syarat batas)
K2. Jika yx < , maka )()( ykxk ≥ untuk semua ]1,0[, ∈yx (syarat taknaik)
Suatu kelas pemetaan yang merupakan komplemen kabur adalah kelas Sugeno yang
didefinisikan sebagai berikut:
xxxkλλ +−
=11)(
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
dengan parameter ),1( ∞−∈λ . Untuk 0=λ , diperoleh operasi komplemen baku,
yaitu xxk −=1)(0 , di mana x adalah derajat keanggotaan suatu elemen dalam suatu
himpunan kabur A~ dan )(0 xk adalah derajat keanggotaan elemen tersebut dalam
himpunan kabur A′~ . Kelas pemetaan lain yang merupakan komplemen kabur adalah
kelas Yager yang didefinisikan sebagai berikut:
www xxk /1)1()( −=
dengan parameter ),0( ∞∈w . Untuk 1=w diperoleh operasi komplemen baku, yaitu
xxk −=1)(1 .
b. Operasi Gabungan
Definisi 2.18 Suatu pemetaan ]1,0[]1,0[]1,0[: →×s disebut gabungan kabur (norma-
s) jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:
S1. xxsxs == )0,(),0( dan 1)1,1( =s (syarat batas)
S2. ),(),( xysyxs = (syarat komutatif)
S3. Jika xx ′≤ dan yy ′≤ , maka ),(),( yxsyxs ′′≤ , ]1,0[, ∈∀ yx (syarat takturun)
S4. )),(,()),,(( zysxszyxss = (syarat asosiatif)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Contoh-contoh norma-s:
a) Jumlah aljabar: xyyxyxs ja −+=),(
b) Jumlah Einstein: xyyxyxs je +
+=
1),(
c) Jumlah drastis:
=
1),( y
xyxs jd
lainnya00
jikajikajika
==
xy
c. Operasi Irisan
Definisi 2.19 Suatu pemetaan ]1,0[]1,0[]1,0[: →×t disebut irisan kabur (norma-t)
jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:
T1. xxtxt == ),1()1,( dan 0)0,0( =t (syarat batas)
T2. ),(),( xytyxt = (syarat komutatif)
T3. Jika xx ′≤ dan yy ′≤ , maka ),(),( yxtyxt ′′≤ , ]1,0[, ∈∀ yx (syarat takturun)
T4. )),(,()),,(( zytxtzyxtt = (syarat asosiatif)
Contoh-contoh norma-t:
a) Darab aljabar: xyyxtda =),(
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
b) Darab Einstein: )(2
),(xyyx
xyyxtde −+−=
c) Darab drastis:
=
0),( y
xyxtdd
lainnya11
jikajikajika
==
xy
5. Relasi Kabur
Definisi 2.15 Relasi kabur (biner) R~ antara elemen-elemen dalam himpunan U
dengan elemen-elemen dalam himpunan V didefinisikan sebagai himpunan kabur
dengan semesta VU × , yaitu himpunan kabur
}),(|)),(),,{((~~ VUvuvuvuR R ×∈= µ
Relasi kabur R~ itu juga disebut relasi kabur pada himpunan semesta VU × . Jika
VU = , maka R~ disebut relasi kabur pada himpunan U.
Contoh 2.5 Misalnya U = {20, 45, 106}, V = {35, 58, 210} dan R~ adalah relasi
kabur “jauh lebih kecil” antara elemen-elemen dalam U dengan elemen-elemen
dalam V. Maka relasi R~ dapat disajikan sebagai R~ = 0.1/(20,35) + 0.3/(20,58) +
0.9/(20,210) + 0.1/(45,58) + 0.6/(45,210) + 0.4/(106,210).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
6. Variabel Linguistik
Definisi 2.16 Suatu variabel linguistik adalah suatu rangkap-5 (x, T, U, G, M) di
mana x adalah lambang variabelnya, T adalah himpunan nilai-nilai linguistik yang
dapat menggantikan x, U adalah semesta wacana (numeris) dari nilai-nilai linguistik
dalam T (jadi juga dari variabel x), G adalah himpunan kaidah-kaidah sintaksis yang
mengatur pembentukan istilah-istilah anggota T, dan M adalah himpunan kaidah-
kaidah semantik yang mengaitkan setiap istilah dalam T dengan suatu himpunan
kabur dalam semesta U.
Contoh 2.6 Bila variabel linguistiknya adalah “kecepatan”, maka himpunan nilai-
nilai linguistik dapat diambil himpunan istilah-istilah T = {cepat, sangat cepat, agak
cepat, tidak cepat, lambat, sangat lambat, agak lambat, tidak lambat} dengan semesta
U = [0,100], kaidah sintaksis mengatur pembentukan istilah-istilah dalam T dan
kaidah semantik mengaitkan setiap istilah dalam T dengan suatu himpunan kabur
dalam semesta U.
7. Proposisi Kabur
Definisi 2.17 Proposisi kabur adalah kalimat yang memuat predikat kabur, yaitu
predikat yang dapat direpresentasikan dengan suatu himpunan kabur.
Proposisi kabur yang mempunyai nilai kebenaran tertentu disebut pernyataan
kabur. Nilai kebenaran dari suatu pernyataan kabur disajikan dengan suatu bilangan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
real dalam selang [0,1]. Nilai kebenaran itu disebut juga derajat kebenaran dari
pernyataan kabur itu.
Bentuk umum dari suatu proposisi kabur adalah
x adalah A
di mana x adalah suatu variabel linguistik dan predikat A adalah suatu nilai linguistik
dari x.
Bila A~ adalah himpunan kabur yang dikaitkan dengan nilai linguistik A dan
0x adalah suatu elemen tertentu dalam semesta U dari himpunan kabur A~ , maka 0x
mempunyai derajat keanggotaan )( 0~ xAµ dalam himpunan kabur A~ .
Derajat kebenaran dari pernyataan kabur
0x adalah A~
didefinisikan sama dengan derajat keanggotaan 0x dalam himpunan kabur A~ , yaitu
)( 0~ xAµ .
8. Implikasi Kabur
Bentuk umum implikasi kabur adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Jika u adalah A, maka v adalah B
di mana A dan B adalah predikat-predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan-
himpunan kabur A~ dan B~ dalam semesta U dan V berturut-turut. Implikasi kabur
dilambangkan dengan → .
Implikasi tegas qp → ekuivalen dengan qp ∨¬ . Berdasarkan ekuivalensi
tersebut, implikasi kabur dapat diinterpretasikan sebagai relasi kabur → dalam
VU × dengan fungsi keanggotaan
))(()),(((),( ~~ vuksvu BA µµµ =→
di mana s adalah suatu norma-s dan k adalah suatu komplemen kabur.
Implikasi Dienes-Rescher diperoleh apabila diambil operasi-operasi
gabungan sebagai norma-s dan operasi komplemen baku sebagai komplemen kabur
dengan fungsi keanggotaan
))(),(1max(),( ~~ vuvu BAdr µµµ −=→ .
Karena implikasi tegas qp → juga ekuivalen dengan pqp ¬∨∧ )( , maka
implikasi kabur juga dapat diinterpretasikan sebagai relasi kabur → dalam VU ×
dengan fungsi keanggotaan
)))(()),(),(((),( ~~~ ukvutsvu ABA µµµµ =→
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
di mana s adalah suatu norma-s, t adalah suatu norma-t, dan k adalah suatu
komplemen kabur.
Implikasi Zadeh diperoleh apabila diambil operasi-operasi gabungan, irisan,
dan komplemen baku sebagai norma-s, norma-t, dan komplemen kabur dengan fungsi
keanggotaan
))(1)),(),(max(min(),( ~~~ uvuvu ABAz µµµµ −=→ .
Implikasi Mamdani merupakan salah satu bentuk implikasi kabur yang
digunakan dalam aplikasi sistem kabur. Implikasi ini didasarkan pada asumsi bahwa
implikasi kabur pada dasarnya bersifat lokal, dalam arti bahwa implikasi
Jika u adalah A, maka v adalah B
hanya berbicara mengenai keadaan dimana u adalah A dan v adalah B saja, dan tidak
mengenai keadaan lainnya diluar itu. Berdasarkan asumsi tersebut, implikasi kabur
dapat dipandang sebagai suatu konjungsi kabur, sehingga diperoleh
))(),((),( ~~ vutvu BA µµµ =→
yang disebut implikasi Mamdani. Apabila diambil operasi baku “min” sebagai
norma-t, maka diperoleh
))(),(min(),( ~~ vuvu BAmm µµµ =→ ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
dan bila operasi “darab aljabar” diambil sebagai norma-t, maka diperoleh
)()(),( ~~ vuvu BAmd µµµ =→ .
Contoh 2.7
Misalkan diketahui semesta U = {1, 2, 3, 4} dan V = {60, 70, 80}, dan implikasi
kabur
Jika u banyak, maka v lambat
di mana predikat “banyak” dan “lambat” berturut-turut dikaitkan dengan himpunan
kabur
.80/170/7.060/4.0~4/8.03/6.02/4.01/2.0~
++=
+++=
B
A dan
Maka jika digunakan implikasi Dienes-Rescher, diperoleh
)60,3/(4.0)80,2/(1)70,2/(7.0)60,2/(6.0)80,1/(1)70,1/(8.0)60,1/(8.0 ++++++=→dr
)80,4/(1)70,4/(7.0)60,4/(4.0)80,3/(1)70,3/(7.0 +++++
Jika digunakan implikasi Zadeh, maka diperoleh
)60,3/(4.0)80,2/6.0)70,2/(6.0)60,2/(6.0)80,1/(8.0)70,1/(8.0)60,1/(8.0 ++++++=→ z
)80,4/(8.0)70,4/(7.0)60,4/(4.0)80,3/(6.0)70,3/(6.0 +++++ .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Jika digunakan implikasi Mamdani, maka diperoleh
)80,2/(4.0)70,2/(4.0)60,2/(4.0)80,1/(2.0)70,1/(2.0)60,1/(2.0 +++++=→mm
)80,4/(8.0)70,4/(7.0)60,4/(4.0)80,3/(6.0)70,3/(6.0)60,3/(4.0 ++++++
atau
)80,2/(4.0)70,2/(28.0)60,2/(16.0)80,1/(2.0)70,1/(14.0)60,1/(08.0 +++++=→md
).80,4/(8.0)70,4/(56.0)60,4/(32.0)80,3/(6.0)70,3/(42.0)60,3/(24.0 ++++++
9. Model Kabur Takagi, Sugeno, dan Kang
Model kabur Takagi, Sugeno dan Kang (TSK) dikenal sebagai model kabur
pertama yang dikembangkan untuk menghasilkan kaidah kabur dari himpunan data
masukan-keluaran yang diberikan. Sebuah kaidah kabur yang khas dalam model
tersebut memiliki bentuk sebagai berikut:
Jika x adalah A dan y adalah B , maka cbyaxz ++=
di mana a, b, c merupakan konstanta numerik. Secara umum, kaidah dalam model
TSK memiliki bentuk:
Jika x adalah A dan y adalah B , maka ),( yxfz =
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
di mana A dan B merupakan himpunan kabur dalam anteseden, dan ),( yxfz =
merupakan fungsi tegas dalam konsekuen serta ),( yxfz = merupakan fungsi
polinomial dalam variabel masukan x dan y. Jika ),( yxf adalah fungsi polinomial
ordo satu, hasil sistem inferensi kabur disebut model kabur Takagi Sugeno Kang ordo
satu. Jika f merupakan konstanta, maka disebut model kabur Takagi Sugeno Kang
ordo nol, yang mana merupakan kasus khusus dalam implikasi Mamdani.
10. Modus Ponens Rampat
Untuk melakukan pengambilan keputusan atau penalaran kabur diperlukan
seperangkat implikasi kabur atau suatu fakta yang diketahui (premis). Dalam logika
klasik, pengambilan keputusan didasarkan pada tautologi-tautologi, yaitu proposisi-
proposisi yang selalu benar, tanpa tergantung pada nilai kebenaran proposisi-
proposisi penyusunnya. Salah satu kaidah pengambilan keputusan yang paling sering
digunakan adalah modus ponens, yang didasarkan pada tautologi:
qpqp →∧→ ))(( .
Bentuk umum penalaran modus ponens adalah sebagai berikut:
1. Bila u adalah A, maka v adalah B (Premis 1 / Kaidah)
2. u adalah A (Premis 2 / Fakta)
3. ∴ v adalah B (Kesimpulan)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Kaidah penalaran tegas dapat dirampatkan menjadi kaidah kabur dengan
premis dan kesimpulannya adalah proposisi-proposisi kabur. Secara umum dapat
dirumuskan dengan skema sebagai berikut:
Premis 1 (kaidah) : Bila u adalah A, maka v adalah B
Premis 2 (fakta) : u adalah A′
Kesimpulan : v adalah B′
Penalaran kabur dengan skema seperti di atas disebut modus ponens rampat.
Berikut ini akan dibahas suatu aturan penarikan kesimpulan yang disebut “kaidah
inferensi komposisional” (compositional rule of inference). Sebelumnya akan dibahas
latar belakang kaidah tersebut dalam kasus pemetaan bernilai selang.
Misalkan diketahui suatu pemetaan kontinu VUf →: dengan ==VU ℝ.
Jika diberikan suatu elemen Ua∈ , maka akan diperoleh nilai pemetaan f di a, yaitu
Vafb ∈= )( . Jika f adalah suatu pemetaan yang bernilai selang, dan diberikan suatu
selang ],[ ba di U, maka akan diperoleh nilai pemetaan f di [a,b] yaitu selang
],[]),([ dcbaf = di V. Untuk menggambarkan bagaimana memperoleh selang [c,d]
tersebut, pertama-tama yang dilakukan adalah membuat perluasan silindris dari
selang [a,b] ke bidang VU × , kemudian ditentukan irisan I dari perluasan silindris itu
dengan kurva dari pemetaan f, dan akhirnya irisan I diproyeksikan ke V untuk
memperoleh selang [c,d]. Gambar 2.6 memperlihatkan proses tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Gambar 2.6 Nilai pemetaan f di [a,b], yaitu ],[]),([ dcbaf =
Proses di atas dapat dirampatkan lebih lanjut lagi. Misalkan terdapat sebuah
relasi kabur R~ dalam semesta VU × dan himpunan kabur A~ dalam U. Bila
ditentukan perluasan silindris dari A~ ke VU × , namakan PSA~ , dan irisan perluasan
silindris tersebut dengan R~ , yaitu RAPS~~
∩ , kemudian irisan tersebut diproyeksikan
ke V, maka akan diperoleh himpunan kabur B~ di V. Karena PSA~ adalah perluasan
silindris dari A~ ke VU × , maka
)(),( ~~ uvu AAPSµµ =
sehingga
)),(),,((),( ~~~~ vuvutvu RARA PSPSµµµ =
∩
)),(),(( ~~ vuut RA µµ=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
di mana t adalah suatu norma-t. Kemudian, himpunan kabur B~ di V diperoleh sebagai
proyeksi irisan RAPS~~
∩ ke V, maka
),(sup)(~
~~ vuvRPSA
UuB ∩∈
= µµ
)),(),((sup ~~ vuut RAUu
µµ∈
=
Jika himpunan kabur A~ dipandang sebagai relasi dengan satu argumen, maka
komposisi relasi A~ di U dengan relasi R~ di VU × menghasilkan relasi majemuk
RA ~~ di V dengan fungsi keanggotaan
)),(),((sup)( ~~~~ vuutv RAUu
RA µµµ∈
=
di mana t adalah suatu norma-t. Maka RAB ~~~= , yaitu himpunan kabur B~ itu tidak
lain daripada relasi komposit RA ~~ . Karenanya prosedur untuk memperoleh
himpunan kabur B~ di V dari relasi R~ di VU × dan himpunan kabur A~ di U dengan
cara seperti di atas itu disebut kaidah inferensi komposisional. Kaidah inilah yang
dipakai untuk menarik kesimpulan dalam penalaran kabur.
Dalam modus ponens rampat kaidah tersebut diterapkan sebagai berikut:
Premis 1 : Bila u adalah A, maka v adalah B
(yang merupakan relasi/implikasi kabur → di VU × )
Premis 2 : u adalah A′
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
(yang dapat direpresentasikan dengan himpunan kabur A~′ dalam U)
Kesimpulan : v adalah B′
diperoleh dengan menentukan himpunan kabur AB ′=′~~ dalam V
dengan fungsi keanggotaan )),(),((sup)( ~~ vuutv AUu
B →′∈
′ = µµµ ,
dimana t adalah suatu norma-t.
Bila A′ adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan kabur A~′ ,
untuk norma-t misalnya diambil operasi baku “min”, dan untuk implikasi kabur
dipakai implikasi Mamdani mm→ , maka kesimpulan “v adalah B′ ” di atas dapat
diperoleh dengan menentukan himpunan kabur B ′~ dengan fungsi keanggotaan
))}(),(min(),(min{sup)( ~~~~ vuuv BAAUu
B µµµµ ′∈
′ =
)}(,min{
)}()),(),(min(supmin{
)}(),(),(min{sup
~
~~~
~~~
vw
vuu
vuu
B
BAAUu
BAAUu
µ
µµµ
µµµ
=
=
=
′∈
′∈
di mana )~~(sup)}(),(min{sup ~~ AAuuwUu
AAUu
∩′==∈
′∈
µµ yang menyatakan derajat
keserasian (degree of compatibility) antara predikat A′ dengan A. Jadi untuk
memperoleh himpunan kabur B ′~ tersebut, pertama-tama ditentukan derajat
keserasian w, yaitu supremum dari irisan himpunan kabur A′~ dan A~ , dan kemudian
diperoleh B ′~ sebagai irisan w dengan himpunan kabur B~ , seperti terlihat dalam
Gambar 2.7.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Gambar 2.7 Penarikan kesimpulan dalam modus ponens rampat
Modus ponens rampat dapat digeneralisasikan menjadi modus ponens rampat
multikondisional, yang terdiri dari m buah premis kabur berupa kaidah, sebuah
premis kabur berupa fakta, dan sebuah kesimpulan. Skema umumnya adalah sebagai
berikut:
di mana ijA dan jA′ adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan kabur
ijA~ dan jA~′ dalam semesta jU , dan iB adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan
himpunan kabur iB~ dalam semesta V (i = 1, ,⋅⋅⋅ m; j = 1, ,⋅⋅⋅ n). Masing-masing
premis tersebut dapat dipandang sebagai suatu relasi kabur iR~ (i = 1, ,⋅⋅⋅ m) dalam
Premis 1 : Bila 1u adalah 11A dan ⋅⋅⋅ dan nu adalah nA1 , maka v adalah 1B
Premis 2 : Bila 1u adalah 21A dan ⋅⋅⋅ dan nu adalah nA2 , maka v adalah 2B
…
…
Premis m : Bila 1u adalah 1mA dan ⋅⋅⋅ dan nu adalah mnA , maka v adalah mB
…
Fakta : 1u adalah 1A′dan ⋅⋅⋅ dan nu adalah nA′
Kesimpulan : v adalah B′
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
VUU n ××⋅⋅⋅×1 dan faktanya sebagai himpunan kabur nAAA ′×⋅⋅⋅×′=′~~~
1 dalam
nUU ×⋅⋅⋅×1 . Premis-premis iR~ tersebut biasanya diperlakukan secara disjungtif,
sehingga semua premis itu dapat digabung menjadi satu premis R~ , yaitu .~~1m
iiRR
=
=
Maka kesimpulan “v adalah B′ ” dapat diperoleh dengan kaidah inferensi
komposisional untuk menentukan himpunan kabur RAB ~~~′=′ dalam semesta V
dengan fungsi keanggotaan (dengan mengambil operasi baku “min” untuk norma-t
dan “max” untuk gabungan kabur)
)(~ vB′µ )(~~ vRA ′= µ
)(
}~~{max
)},,,(),,,(min{supmax
)},,,(),,,(min{maxsup
))},,,((max),,,(min{sup
)},,,(),,,(min{sup
1
11
)~~(
},,1{
1~1~},,1{
1~1~},,1{
1~},,1{1~
1~1~),,(
v
RA
vuuuu
vuuuu
vuuuu
vuuuu
m
ii
ijj
ijj
ijj
nn
RA
imi
nRnAUumi
nRnAmiUu
nRminAUu
nRnAUUuu
=
′
⋅⋅⋅∈
′∈⋅⋅⋅∈
′⋅⋅⋅∈∈
⋅⋅⋅∈′∈
′×⋅⋅⋅×∈⋅⋅⋅
=
′=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
µ
µµ
µµ
µµ
µµ
untuk setiap Vv∈ . Jadi ,~)~~(~~~11 1 m
ii
m
i
m
ii BRARAB
== =
′=′′=′=′ di mana iRAB ~~~′=′ .
Jika untuk implikasi kabur iR~ tersebut diambil implikasi Mamdani mm→ ,
sehingga fungsi keanggotaannya adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
)},(),,,(min{),,,( ~1~~1~1
vuuvuuiinii BnAAnR µµµ ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
×⋅⋅⋅×
maka fungsi keanggotaan B′~ adalah
)(~ vB′µ )(1
~~vm
iiRA
=
′= µ
)}(,min{max
)}()),(),((minsupminmin{max
))}()),((min)),((minmin{supmax
))}(),,,(min(),,,(min{supmax
~},,1{
~~~},,1{},,1{},,1{
~~},,1{
~},,1{},,1{
~1~~1~~},,1{ 11
vw
vuu
vuu
vuuuu
i
iijjjj
iijjjj
iininjj
Bimi
BjAjAnjUunjmi
BjAnjjAnjUumi
BnAAnAAUumi
µ
µµµ
µµµ
µµµ
⋅⋅⋅∈
′′⋅⋅⋅∈∈⋅⋅⋅∈⋅⋅⋅∈
′⋅⋅⋅∈′⋅⋅⋅∈∈⋅⋅⋅∈
′×⋅⋅⋅×′′×⋅⋅⋅×′∈⋅⋅⋅∈
=
=
=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
di mana ijnji ww},,1{
min⋅⋅⋅∈
= , dan ))(),((minsup ~~},,1{ jAjAnjUu
ij uuwijj
jj
µµ ′⋅⋅⋅∈∈= , i = 1, ,⋅⋅⋅ m.
)~~(sup ijjUu
ij AAwjj
∩′=∈
merupakan derajat keserasian (degree of compatibility)
antara fakta jA′~ dari premis/kaidah iR~ , sedangkan iw yang merupakan minimum dari
semua ijw untuk j = 1, ,⋅⋅⋅ n seringkali disebut daya sulut (firing strength) yang
menyatakan sejauh mana anteseden dari kaidah iR~ dipenuhi oleh fakta A′~ yang
diberikan dan menyulut konsekuen dari kaidah tersebut. Dengan demikian
kesimpulan B′~ ditentukan dengan empat langkah sebagai berikut:
Langkah 1 : Tentukan derajat keserasian ijw , yaitu supremum dari ijj AA ~~∩′ untuk
setiap i = 1, ,⋅⋅⋅ m dan j = 1, ,⋅⋅⋅ n.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Langkah 2 : Untuk setiap i, tentukan daya sulut iw sebagai minimum dari semua
derajat keserasian ijw untuk j = 1, ,⋅⋅⋅ n.
Langkah 3 : Untuk setiap i, tentukan irisan iw dengan iB~ .
Langkah 4 : Gabungkanlah semua irisan tersebut untuk memperoleh B′~ .
Gambar 2.7 Melukiskan langkah-langkah tersebut untuk m = n = 2.
Gambar 2.8 Penarikan kesimpulan dalam modus ponens rampat multikondisional
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
11. Sistem Kendali Kabur
Sistem kendali kabur berfungsi untuk mengendalikan proses tertentu dengan
mempergunakan kaidah inferensi kabur berdasarkan logika kabur. Pada dasarnya
sistem kendali semacam itu terdiri dari empat unit, yaitu:
a. Unit pengaburan (fuzzification unit)
b. Unit penalaran logika (fuzzy logic reasoning unit)
c. Unit basis pengetahuan (knowledge base unit), yang terdiri dari dua
bagian:
1. Basis data (data base), yang memuat fungsi-fungsi keanggotaan dari
himpunan-himpunan kabur yang terkait dengan nilai dari variabel-
variabel linguistik yang dipakai.
2. Basis kaidah (rule base), yang memuat kaidah-kaidah berupa
implikasi kabur.
d. Unit penegasan (defuzzification unit).
Suatu sistem kendali semacam itu mula-mula mengukur nilai-nilai tegas dari
semua variabel masukan yang terkait dalam proses yang akan dikendalikan. Nilai-
nilai tersebut kemudian dikonversikan oleh unit pengaburan ke nilai kabur yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
sesuai. Hasil pengukuran yang telah dikaburkan kemudian diproses oleh unit
penalaran, yang dengan menggunakan unit basis pengetahuan, menghasilkan
himpunan kabur sebagai keluarannya. Langkah terakhir dikerjakan oleh unit
penegasan, yaitu menerjemahkan himpunan kabur keluaran itu ke dalam nilai yang
tegas. Nilai tegas inilah yang kemudian direalisasikan dalan bentuk suatu tindakan
yang dilaksanakan dalam proses pengendalian itu. Gambar 2.6 menunjukkan skema
langkah-langkah tersebut.
Gambar 2.9 Struktur dasar sistem kendali kabur
B. Dekomposisi Nilai Singular (DNS)
Dekomposisi nilai singular (DNS) dari suatu matriks nmA × adalah faktorisasi
dari A menjadi hasil kali dari 3 buah matriks, yaitu ∑= TVUA , di mana mmRU ×∈
dan nnRV ×∈ adalah matriks-matriks orthogonal, dan
masukan (tegas)
unit basis pengetahuan
keluaran (tegas)
iny _
basis data
basis Kaidah
unit penalaran
unit pengaburan
(kabur) (kabur) unit penegasan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
( ) }),min{(,,, 21 nmpRdiag nmp =∈⋅⋅⋅= ×∑ σσσ adalah matriks diagonal dengan
021 ≥≥⋅⋅⋅≥≥ pσσσ . iσ disebut nilai singular dari A dan merupakan akar-akar
positif dari nilai-nilai eigen dari AAT . Kolom-kolom dari U disebut vektor singular
kiri dari A (vektor eigen orthonormal dari TAA ), sedangkan kolom-kolom dari V
disebut vektor singular kanan dari A (vektor eigen orthonormal dari AAT ).
Untuk mengilustrasikan prinsip dasar penggunaan DNS untuk seleksi kaidah
kabur akan digunakan model kabur dengan konsekuen konstanta sebagai contoh.
Model kabur tersebut adalah model Takagi Sugeno Kang (TSK) yang memiliki
bentuk sebagai berikut:
Jika 1x adalah 1iA dan 2x adalah 2iA dan ⋅⋅⋅ dan mx adalah imA
maka y adalah ic , i = 1, 2, ⋅⋅⋅ , M (2.1)
di mana ic adalah konstanta. Keluaran akhir dari model tersebut dihitung dengan
persamaan berikut:
∑
∑
=
== M
ii
M
iii
w
cwy
1
1 (2.2)
di mana iw adalah derajat kesesuaian (daya sulut) kaidah ke-i yang didefinisikan
dengan persamaan 2.3 atau 2.4
( ))(,),(),(min 21 21 mAAAi aaawimii
µµµ ⋅⋅⋅= (2.3)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
atau
)()()( 21 21 mAAAi aaawimii
µµµ ×⋅⋅⋅××= (2.4)
Daya sulut kaidah ke-i yang dinormalisasikan adalah :
∑=
= M
ii
ii
w
wN
1
(2.5)
Persamaan 2.2 dapat ditulis kembali menjadi
∑=
=M
iiicNy
1
(2.6)
Persamaan tersebut dapat dipandang sebagai kasus khusus dari model regresi linear:
∑=
+=M
iii epy
1θ (2.7)
dengan ip dan iθ adalah
iiii cNp ≡≡ θ, (2.8)
di mana ip adalah regresor, iθ adalah parameter, dan e adalah sinyal galat yang
diasumsikan tidak berkorelasi dengan regresor ip . Jika diberikan N pasang masukan-
keluaran ,,,2,1)},(),({ Nkkykx ⋅⋅⋅= di mana Tm kxkxkxkx )](,),(),([)( 21 ⋅⋅⋅= , maka
persamaan 2.7 dapat dinyatakan ke dalam bentuk matriks
ePy += θ (2.9)
di mana ,)](,),1([ NT RNyyy ∈⋅⋅⋅=
MNm RppP ×∈⋅⋅⋅= ],,[ 1 dengan ,)](,),1([ NT
iii RNppp ∈⋅⋅⋅=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
,],,[ 1MT
M R∈⋅⋅⋅= θθθ
dan
.)](,),1([ NT RNeee ∈⋅⋅⋅=
Masing-masing kolom P berkorespondensi dengan satu kaidah kabur dalam basis
kaidah. Matriks P disebut matriks daya sulut dan θ
P disebut prediktor dari y .
Dalam membangun sebuah model kabur, jumlah data pelatihan biasanya lebih besar
daripada jumlah kaidah kabur dalam basis kaidah. Maka dimensi baris matriks P
lebih besar daripada dimensi kolomnya, yaitu MN > .
Matriks daya sulut P bisa singular (atau mendekati singular) karena adanya
kaidah kabur yang kurang penting atau yang berlebihan dalam basis kaidah. Kaidah
kabur yang kurang penting berarti kontribusi kaidah-kaidah tersebut pada keluaran
akhir adalah kecil, dan kaidah kabur yang berlebihan berarti kontribusi kaidah-kaidah
tersebut dapat digantikan dengan kaidah-kaidah yang lain. Sebuah kaidah yang
kurang penting dapat muncul dalam basis kaidah jika daya sulut yang
dinormalisasikan dari kaidah tersebut adalah nol atau mendekati nol dalam
keseluruhan ruang masukan, sedangkan kaidah yang berlebihan dapat muncul dalam
basis kaidah jika daya sulut yang dinormalisasikan dari kaidah tersebut sama dengan
atau bergantung linear pada satu atau lebih kaidah-kaidah yang lain.
Secara matematis, singularitas dari sebuah matriks ditunjukkan oleh adanya
nilai singular nol atau mendekati nol dalam matriks. Jadi, kaidah kurang penting atau
kaidah berlebihan dalam basis kaidah dapat ditentukan dengan memeriksa nilai-nilai
singular dari matriks daya sulut P. Lebih spesifik, DNS dari P dapat dihitung dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
∑=P
TPP VUP di mana banyak nilai singular nol atau mendekati nol dalam ∑P
mengindikasikan banyaknya kaidah kabur kurang penting atau kaidah kabur
berlebihan dalam basis kaidah. Menghilangkan kaidah kabur kurang penting atau
kaidah kabur berlebihan dari basis kaidah untuk menghasilkan prediktor θ
P , di
mana θ
memiliki paling banyak r komponen taknol, dengan r adalah banyaknya
kaidah kabur yang tinggal dalam basis kaidah setelah kaidah kabur kurang penting
atau kaidah kabur berlebihan dihilangkan. Letak dari entri-entri taknol menentukan
kolom-kolom P, yaitu kaidah-kaidah dalam basis kaidah, yang digunakan dalam
membangun model dan mendekati vektor observasi y .
Berikut ini akan diperkenalkan sebuah metode yang digunakan untuk
menyeleksi r kaidah penting (atau M-r kaidah kurang penting atau kaidah berlebihan)
dalam basis kaidah. Metode tersebut diawali dengan menghitung DNS dari P, yaitu:
∑=P
TPP VUP . (2.10)
Partisikan PV menjadi
rMr
VVVV
VP −
=
2221
1211 (2.11)
r M-r
Gunakan algortima QR dengan faktorisasi pivot kolom pada ][ 2111TT VV untuk
menghasilkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
][][ 12112111 RRVVQ TTT =∏ (2.12)
r M-r
di mana rrRQ ×∈ adalah matriks orthogonal, rrRR ×∈11 adalah matriks segitiga atas,
dan MMR ×∈∏ adalah matriks permutasi. Didefinisikan:
∏≡− PPP rMr ][ (2.13)
di mana rNr RP ×∈ terdiri atas kolom-kolom yang diinginkan dari P yang letak
aslinya dalam P mengindikasikan letak kaidah yang bersesuaian dalam basis kaidah.
Kunci dari metode ini adalah menemukan matriks permutasi ∏ dan
kemudian mendapatkan subset rP yang diinginkan. Matriks permutasi adalah matriks
identitas yang baris-barisnya disusun kembali dan salah satu fungsinya adalah
menukar tempat kolom-kolom dari suatu matriks. Misalnya:
=
333231
232221
131211
ppppppppp
P (2.14)
dan kolom yang kedua dan ketiga dari P akan ditukar tempat. Jika bisa ditemukan
matriks permutasi
=∏
010100001
(2.15)
dan mengalikannya dari sebelah kanan dengan P, diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
=∏
323331
222321
121311
ppppppppp
P (2.16)
Prinsip dasar di balik metode ini dapat dimengerti melalui observasi berikut
ini. Jika kolom ke-j dari P terdiri atas entri-entri nol atau mendekati nol, maka nilai
singular nol atau mendekati nol akan muncul pada diagonal utama di kolom ke-j dari
matriks segitiga. Jika kolom ke-j dari P terdiri atas entri-entri yang sama dengan atau
bergantung linear terhadap salah satu atau lebih kolom yang lain, katakan kolom ke-l,
maka nilai singular nol akan muncul pada diagonal utama di kolom ke-j atau kolom
ke-l dari matriks segitiga. Hal tersebut akan diilustrasikan dengan menggunakan
matriks P yang diberikan dalam 2.14. Misalnya entri-entri pada kolom kedua dari P
semuanya adalah nol, maka nilai-nilai singular pada diagonal utama dari matriks
segitiga terlihat seperti berikut ini:
*0
*
di mana * adalah sebarang konstanta real taknegatif. Jika misalnya entri-entri pada
kolom kedua sama dengan kolom ketiga, maka nilai-nilai singular pada diagonal
utama matriks segitiga akan terlihat seperti berikut ini:
*0
*
atau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
0*
*
Dalam prakteknya, nilai singular dari matriks daya sulut P biasanya tidak
jelas. Khususnya, sejumlah nilai singular akan berupa bilangan positif kecil yang
hampir sama. Maka beberapa kriteria atau kaidah praktis diadakan untuk menentukan
apakah bilangan-bilangan kecil itu berbeda secara signifikan dari nol. Metode seleksi
kaidah berbasis DNS dapat menghilangkan kaidah kurang penting dan kaidah
berlebihan dari sebuah basis kaidah, tetapi tidak dapat mengidentifikasikan mana
kaidah yang kurang penting dan mana kaidah yang berlebihan di antara kaidah-kaidah
yang dihilangkan.
C. Jaringan Syaraf Tiruan
1. Konsep Dasar Jaringan Syaraf Tiruan
Jaringan syaraf tiruan adalah suatu sistem pengolahan informasi yang
memiliki karakteristik kinerja yang mirip dengan jaringan syaraf biologis. Jaringan
syaraf tiruan dibentuk sebagai generalisasi model matematika dari jaringan syaraf
biologis, dengan asumsi:
• Pengolahan informasi terjadi di dalam neuron.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
• Sinyal dikirim di antara neuron-neuron melalui suatu penghubung yang
disebut sinapsis.
• Penghubung antar neuron memiliki bobot yang dapat memperkuat atau
memperlemah sinyal yang diterima. Bobot merupakan nilai matematis dari
koneksi, yang mentransfer data dari satu lapisan ke lapisan lainnya
• Untuk menentukan keluaran, setiap neuron menggunakan fungsi aktivasi
tertentu yang sesuai dengan masukan yang diterima.
Prinsip kerja jaringan syaraf tiruan ditentukan oleh tiga hal, yaitu:
a. Neuron dan arsitektur (pola penghubung antar neuron)
b. Metode untuk menentukan bobot penghubung (pelatihan/proses
pembelajaran). Proses pembelajaran merupakan cara berlangsungnya
pembelajaran atau pelatihan jaringan syaraf tiruan.
c. Fungsi aktivasi. Fungsi aktivasi adalah fungsi yang menggambarkan
hubungan antara tingkat aktivasi internal yang mungkin berbentuk linear
atau nonlinear.
Gambar 2.10 menunjukkan diagram model matematis jaringan syaraf tiruan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Gambar 2.10 Model matematis jaringan syaraf tiruan
Pada Gambar 2.10 di atas sebuah neuron akan mengolah n buah masukan
},,,{ 21 nxxx ⋅⋅⋅ , yang masing-masing memiliki bobot nwww ,,, 21 ⋅⋅⋅ , dengan rumus
∑=
=n
iii xwnet
1
. Kemudian fungsi aktivasi f akan mengaktivasi net menjadi keluaran
jaringan )(netfy = .
Kadang-kadang dalam jaringan ditambahkan sebuah unit masukan yang
nilainya selalu sama dengan 1. Unit yang demikian disebut bias. Jika jaringan syaraf
dilengkapi dengan bias, maka proses komputasi menjadi:
bwxnetn
iii += ∑
=1
dengan b adalah bias.
•••
•••
net
1x
2x
nx
∑=
n
iii xw
1
1w
2w
nw
f iny _
)(netfy =
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
2. Arsitektur Jaringan Syaraf
Hubungan antar neuron dalam jaringan syaraf mengikuti pola tertentu
tergantung pada arsitektur jaringan syarafnya. Beberapa arsitektur yang sering
dipakai dalam jaringan syaraf tiruan antara lain:
a. Model jaringan syaraf dengan satu lapisan (single layer network)
Dalam model jaringan syaraf dengan satu lapisan ini, semua neuron masukan
dihubungkan langsung dengan neuron keluar. Tidak ada neuron masukan yang
dihubungkan dengan neuron masukan lainnya, demikian pula dengan neuron
keluaran. Gambar 2.11 menunjukkan arsitektur jaringan dengan tiga buah unit
input ( 321 ,, xxx ) dan dua buah unit output ( 21 , yy ).
Gambar 2.11 Model jaringan syaraf dengan satu lapisan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
b. Model jaringan syaraf dengan banyak lapisan (multilayer network)
Model jaringan syaraf dengan banyak lapisan merupakan perluasan dari
model jaringan syaraf dengan satu lapisan dengan penambahan unit-unit lain
dalam lapisan tersembunyi (hidden layer). Lapisan tersembunyi ini bersifat
variabel, dapat digunakan lebih dari satu lapisan. Unit dalam lapisan masukan
dihubungkan ke lapisan tersembunyi dan unit-unit pada lapisan tersembunyi
terakhir dihubungkan ke lapisan keluaran. Gambar berikut ini menunjukkan
model jaringan syaraf dengan satu lapisan tersembunyi (neuron f).
Gambar 2.12 Model jaringan syaraf dengan satu lapisan tersembunyi
Gambar 2.12 merupakan jaringan dengan tiga buah unit masukan ( 321 ,, xxx )
dan dua buah unit keluaran ( 21 , yy ), dan sebuah lapisan tersembunyi ( 21 , ff ).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
c. Model jaringan syaraf banyak lapisan dengan umpan balik
Model banyak lapisan dengan umpan balik (recurrent network) mirip dengan
model jaringan syaraf dengan satu lapisan dan model jaringan syaraf dengan
banyak lapisan, hanya saja ada neuron keluaran yang diumpanbalikkan
(feedback loop).
Gambar 2.13 Model banyak lapisan dengan umpan balik
3. Proses Pembelajaran
Berdasarkan cara memodifikasi bobotnya, ada dua macam proses
pembelajaran/pelatihan yang dikenal, yaitu proses pembelajaran terbimbing
(supervised learning) dan proses pembelajaran tidak terbimbing (unsupervised). Pada
proses pembelajaran terbimbing, terdapat sejumlah pasangan data (masukan dan
target keluaran) yang dipakai untuk melatih jaringan hingga diperoleh bobot yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
diinginkan. Sebaliknya, pada proses pembelajaran tidak terbimbing, tidak ada
pasangan data yang dijadikan acuan perubahan bobot.
4. Fungsi Aktivasi
Dalam jaringan syaraf tiruan, fungsi aktivasi dipakai untuk menentukan
keluaran suatu neuron. Argumen fungsi aktivasi adalah net masukan (kombinasi
linear masukan dan bobotnya). Jika ∑=
=n
iii wxnet
1
, maka fungsi aktivasinya adalah
=)(netf )(1∑=
n
iii wxf . Beberapa fungsi aktivasi yang sering dipakai adalah sebagai
berikut:
a. Fungsi identitas
Untuk unit masukan, fungsi ini adalah fungsi identitas. Fungsi identitas sering
dipakai apabila keluaran yang diinginkan berupa bilangan real, bukan hanya pada
interval [0,1] atau [-1,1]. Persamaan dari fungsi identitas adalah:
xxf =)(
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Gambar 2.14 Grafik fungsi identitas
b. Fungsi biner dengan ambang )(α
Model jaringan syaraf dengan satu lapisan sering menggunakan fungsi ini untuk
mengubah masukan yang masuk ke dalam jaringan, di mana nilai variabel
terhadap sebuah unit keluaran (0 atau 1) dan persamaan dari fungsi tersebut
adalah:
=01
)(xf αα
<≥
xx
jika jika
Gambar 2.15 Grafik fungsi biner dengan ambang α
1
α 0
f(x)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
Untuk beberapa kasus, fungsi ambang yang dibuat tidak memiliki keluaran yang
bernilai 0 atau 1, tetapi bernilai -1 atau 1 (sering disebut fungsi ambang bipolar).
Jadi:
−
=1
1)(xf
αα
<≥
xx
jika jika
Gambar 2.16 Grafik fungsi ambang bipolar
c. Fungsi biner sigmoid
Persamaan dari fungsi biner sigmoid adalah sebagai berikut:
)](1)[()(1
1)( )(
xfxfxfe
xf x
−=′+
= −
α x
-1
1
f(x)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Fungsi biner sigmoid sering digunakan karena nilai fungsinya yang terletak pada
interval [0,1] dan dapat didiferensialkan dengan mudah seperti dalam persamaan
di atas.
Gambar 2.17 Grafik fungsi biner sigmoid
d. Fungsi bipolar sigmoid
Fungsi bipolar sigmoid hampir sama dengan fungsi biner sigmoid, hanya saja
keluaran dari fungsi ini berada dalam interval [-1,1]. Fungsi bipolar sigmoid
dirumuskan sebagai berikut
)](1)][(1[21)(
111
121)(2)(
xgxgxg
ee
exfxg x
x
x
−+=′
+−
=−+
=−= −
−
−
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Gambar 2.18 Grafik fungsi bipolar sigmoid
Fungsi bipolar sigmoid berhubungan erat dengan fungsi tangen hiperbolik yang juga
sering digunakan sebagai fungsi aktivasi ketika jangkauan yang diharapkan dari nilai
keluaran antara -1 dan 1. Fungsi tangens hiperbolik dirumuskan sebagai berikut:
xx
xx
eeeexh −
−
+−
=)( .
Persamaan tangens hiperbolik dapat disederhanakan menjadi
)2(
)2(
11)( x
x
eexh −
−
+−
=
dengan:
)](1)][(1[)( xhxhxh −+=′ .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
5. Model Rambatan Balik
Model rambatan balik (backpropagation) melatih jaringan untuk mendapatkan
keseimbangan antara kemampuan jaringan untuk mengenali pola yang digunakan
selama pelatihan serta kemampuan jaringan untuk memberikan respon yang benar
terhadap pola masukan yang serupa (tetapi tidak sama) dengan pola yang dipakai
selama pelatihan.
a. Arsitektur Rambatan Balik
Model rambatan balik memiliki beberapa unit yang ada dalam satu atau lebih
lapisan tersembunyi. Gambar 2.19 adalah arsitektur rambatan balik dengan n buah
masukan (ditambah sebuah bias), sebuah lapisan tersembunyi yang terdiri p unit
(ditambah sebuah bias), serta m buah unit keluaran.
Gambar 2.19 Arsitektur rambatan balik dengan satu lapisan tersembunyi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
ijv merupakan bobot garis dari unit masukan ix ke unit lapisan tersembunyi (
merupakan bobot garis yang menghubungkan bias di unit masukan ke unit lapisan
tersembunyi ). merupakan bobot dari unit lapisan tersembunyi ke unit
keluaran ky ( kw0 merupakan bobot dari bias di lapisan tersembunyi ke unit keluaran
ky ).
b. Fungsi Aktivasi
Dalam model rambatan balik, fungsi aktivasi yang dipakai harus memenuhi
beberapa syarat, yaitu kontinu, terdiferensial dengan mudah dan merupakan fungsi
tak turun. Salah satu fungsi aktivasi yang memenuhi ketiga syarat tersebut dan sering
digunakan adalah fungsi biner sigmoid yang memiliki jangkauan (0,1). Selain fungsi
biner sigmoid, fungsi lain yang sering digunakan adalah fungsi bipolar sigmoid
dengan interval [-1,1].
c. Algoritma Pelatihan Rambatan Balik
Pelatihan jaringan dengan menggunakan model rambatan balik terdiri dari 3
fase. Fase pertama adalah fase maju atau sering dikenal dengan rambatan maju. Pola
masukan dihitung maju mulai dari lapisan masukan hingga lapisan keluaran
menggunakan fungsi aktivasi yang ditentukan. Fase kedua adalah fase mundur atau
sering dikenal dengan rambatan mundur. Selisih antara keluaran jaringan dengan
keluaran yang diinginkan merupakan galat yang terjadi. Kesalahan tersebut
jz jv0
jz jkw jz
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
dirambatkan mundur, dimulai dari garis yang berhubungan langsung dengan unit-unit
di lapisan keluaran. Fase ketiga adalah modifikasi bobot untuk menurunkan kesalahan
yang terjadi.
Selama rambatan maju, sinyal masukan ix dirambatkan ke lapisan
tersembunyi menggunakan fungsi aktivasi yang ditentukan. Keluaran dari setiap unit
lapisan tersembunyi iz tersebut selanjutnya dirambatkan maju lagi ke lapisan
tersembunyi di atasnya menggunakan fungsi aktivasi yang ditentukan. Demikian
seterusnya hingga menghasilkan keluaran jaringan ky . Berikutnya keluaran jaringan
ky dibandingkan dengan keluaran yang harus dicapai, kt . Selisih kk yt − adalah galat
yang terjadi. Jika galat yang ada lebih kecil dari batas toleransi yang ditentukan, maka
iterasi dihentikan. Tetapi, bila galat yang ada lebih besar dari batas toleransinya,
maka bobot setiap garis dalam jaringan akan dimodifikasi untuk mengurangi
kesalahan yang terjadi.
Berdasarkan galat kk yt − , dihitung faktor kδ (k = 1, 2, ,⋅⋅⋅ m) yang dipakai
untuk mendistribusikan galat di unit keluaran ky ke semua unit lapisan tersembunyi
yang terhubung langsung dengan ky . Faktor kδ juga dipakai untuk mengubah bobot
garis yang berhubungan langsung dengan unit keluaran. Dengan cara yang sama,
dihitung faktor jδ (j = 1, 2, ,⋅⋅⋅ p) di setiap unit lapisan tersembunyi sebagai dasar
perubahan bobot semua garis yang berasal dari unit lapisan tersembunyi di lapisan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
bawahnya. Demikian seterusnya hingga semua faktor δ di unit lapisan tersembunyi
yang berhubungan langsung dengan unit masukan dihitung.
Pada perubahan bobot, semua faktor δ dihitung, bobot semua garis
dimodifikasi secara bersamaan. Perubahan bobot suatu garis didasarkan atas faktor δ
unit lapisan di atasnya.
Ketiga fase tersebut diulang-ulang terus hingga kondisi penghentian dipenuhi.
Umumnya kondisi penghentian yang sering dipakai adalah jumlah iterasi atau nilai
galat yang didapat. Iterasi akan dihentikan jika jumlah iterasi yang dilakukan sudah
melebihi jumlah maksimum iterasi yang ditetapkan, atau jika nilai galat yang didapat
sudah lebih kecil dari batas toleransi yang ditentukan.
Algoritma pelatihan untuk model jaringan rambatan balik dengan satu lapisan
tersembunyi dan dengan fungsi aktivasi biner sigmoid adalah sebagai berikut:
0. Inisialisasi semua bobot dengan bilangan acak kecil.
1. Jika kondisi penghentian belum terpenuhi, lakukan proses 2-9.
2. Untuk setiap pasang data pelatihan, lakukan langkah 3-8.
Fase I : Rambatan maju
3. Tiap unit masukan menerima sinyal dan meneruskannya ke unit lapisan
tersembunyi di atasnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
4. Hitung semua keluaran di unit lapisan tersembunyi jz( , j = 1, 2, ,⋅⋅⋅ p)
jnetzjj
n
iijijj
enetzfz
vxvnetz
_
10
11)_(
_
−
=
+==
+= ∑
5. Hitung semua keluaran di unit ky (k = 1, 2, ,⋅⋅⋅ m)
knetykk
p
jjkjkk
enetyfy
wzwnety
_
10
11)_(
_
−
=
+==
+= ∑
Fase II : Rambatan mundur
6. Hitung faktor δ unit keluaran berdasarkan galat di setiap unit keluaran ky (k = 1,
2, ,⋅⋅⋅ m)
)1()()_()(k kkkkkkk yyytnetyfyt −−=′−=δ
Hitung suku perubahan bobot jkw dengan laju percepatan α
kjjk zw δα=∆
7. Hitung faktor δ unit tersembunyi berdasarkan galat di setiap unit tersembunyi jz
( 1=j , 2, ⋅⋅⋅ , p)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
∑=
=m
kjkkj wnet
1_ δδ
Faktor δ unit tersembunyi:
)1(_)_()_( jjjjjj zznetnetzfnet −=′= δδδ
Hitung semua perubahan bobot jiv
jiij xv δα=∆ ; i = 1, 2, ⋅⋅⋅ , n
Fase III : Perubahan Bobot
8. Hitung semua perubahan bobot
Perubahan bobot garis yang menuju ke unit keluaran:
jkjkjk www ∆+= (lama) (baru)
Perubahan bobot garis yang menuju ke unit tersembunyi:
ijijij vvv ∆+= (lama) (baru)
9. Proses berhenti.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
Sedangkan untuk jaringan syaraf dengan lebih dari satu lapisan tersembunyi
nilai δ dihitung di setiap lapisan tersembunyi yang ada secara bergantian dan
kemudian nilai δ tersebut dijumlahkan dengan nilai δ pada lapisan di bawahnya.
Contoh 2.8 Gunakan rambatan balik dengan sebuah lapisan tersembunyi (dengan tiga
unit) untuk mengenali fungsi logika ‘atau’ dengan dua masukan 1x dan 2x . Buatlah
iterasi untuk menghitung bobot jaringan masukan pertama ( 11 =x , 12 =x dan 0=t ),
serta gunakan 2.0=α
Penyelesaian:
Gambar 2.20 menunjukkan arsitektur rambatan balik dengan satu lapisan tersembunyi
yang terdiri dari tiga unit.
Gambar 2.20 Arsitektur rambatan balik dengan satu lapisan tersembunyi
1x 2x
iny _
1
1z 2z 3z 1
01v 02v
03v 11v 12v
13v 21v
22v 23v
y
01w 11w
21w
31w
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
Mula-mula bobot diberi nilai acak yang kecil (pada interval [-1,1]). Misalnya didapat
bobot seperti Tabel 2.1 (bobot dari lapisan masukan ke lapisan tersembunyi = ijv ),
dan Tabel 2.2 (bobot dari lapisan tersembunyi ke lapisan keluaran = jkw ).
Tabel 2.1
1z 2z 3z
1x 0.2 0.3 -0.1
2x 0.3 0.1 -0.1
-0.3 0.3 0.3
Tabel 2.2
y
1z 0.5
2z -0.3
3z -0.4
1 -0.1
Langkah 4: Hitung keluaran unit di lapisan tersembunyi ( jz )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
∑=
+=n
iijijj vxvnetz
10_
1.0)1.0(1)1.0(13.0_7.0)1.0(1)3.0(13.0_
2.0)3.0(1)2.0(13.0_
3
2
1
=−+−+==++==++−=
netznetznetz
jnetzjj enetzfz _1
1)_( −+==
52.01
1
67.01
1
55.01
1
1.03
7.02
2.01
=+
=
=+
=
=+
=
−
−
−
ez
ez
ez
Langkah 5: Hitung keluaran di unit ky
Karena keluaran hanya memiliki satu buah unit, maka :
24.0)4.0(52.0)3.0(67.0)5.0(55.01.0__3
101 −=−+−++−=+== ∑
=jjkjk wzwnetynety
44.01
11
1)_( 24.0_ =+
=+
== − eenetyfy nety
Langkah 6: Hitung faktor δ di unit keluaran ky
Karena jaringan hanya memiliki sebuah keluaran maka :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
11.0)44.01)(44.0)(44.00()1()( −=−−=−−== yyytk δδ
Suku perubahan bobot jkw (dengan 2.0=α ):
δαδα jkjjk zzw ==∆ ; =j 0, 1, 2, 3
01.0)11.0)(52.0(2.001.0)11.0)(67.0(2.001.0)11.0)(55.0(2.0
02.0)11.0)(1(2.0
13
12
11
10
−=−=∆−=−=∆−=−=∆
−=−=∆
wwww
Langkah 7: Hitung penjumlahan galat dari unit tersembunyi
Karena jaringan hanya memiliki sebuah unit keluaran maka δδ =jnet_ 1jw
04.0)4.0)(11.0(_03.0)3.0)(11.0(_05.0)5.0)(11.0(_
3
2
1
=−−==−−=−=−=
netnetnet
δδδ
Faktor galat δ di unit tersembunyi:
)1(_)_()_( jjjjjj zznetnetzfnet −=′= δδδ
01.0)52.01)(52.0(04.001.0)67.01)(67.0(03.0
01.0)55.01)(55.0(05.0
3
2
1
=−==−=
−=−−=
δδδ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
Suku perubahan bobot ke unit tersembunyi : jiij xv δα=∆ (i = 0, 1, 2; j = 1, 2, 3)
Tabel 2.3
1z 2z 3z
1x 0)1)(01.0)(2.0(11 =−=∆v 0)1)(01.0)(2.0(12 ==∆v 0)1)(01.0)(2.0(13 ==∆v
2x 0)1)(01.0)(2.0(21 =−=∆v 0)1)(01.0)(2.0(22 ==∆v 0)1)(01.0)(2.0(23 ==∆v
0)1)(01.0)(2.0(31 =−=∆v 0)1)(01.0)(2.0(32 ==∆v 0)1)(01.0)(2.0(33 ==∆v
Langkah 8: Hitung semua perubahan bobot
Perubahan bobot unit keluaran:
jkjkjk www ∆+= (lama) (baru) (k = 1; j = 0, 1, 2, 3)
12.002.05.0 (baru)41.001.04.0 (baru)31.001.03.0 (baru)
49.001.05.0 (baru)
01
31
21
11
−=−−=−=−−=−=−−=
=−=
wwww
Perubahan bobot tersembunyi:
ijijij vvv ∆+= (lama) (baru) (j = 1, 2, 3; i = 0, 1, 2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
Tabel 2.4
1z 2z 3z
1x 2.002.0 (baru)11 =+=v 3.003.0 (baru)12 =+=v 1.001.0 (baru)13 −=+−=v
2x 3.003.0 (baru)21 =+=v 1.001.0 (baru)22 =+=v 1.001.0 (baru)23 −=+−=v
3.003.0 (baru)31 −=+−=v 3.003.0 (baru)32 =+=v 3.003.0 (baru)33 =+=v
Langkah 9: Proses berhenti
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III
SISTEM JARINGAN SYARAF KABUR
A. Jaringan Syaraf dan Logika Kabur
Jaringan syaraf dan logika kabur merupakan dua teknologi yang
komplementer. Jaringan syaraf dapat mengenali pola masukan yang diterimanya dan
dengan proses pembelajaran dapat menyesuaikan diri dengan masukan itu. Proses
pembelajaran pada suatu jaringan syaraf adalah proses penyesuaian diri jaringan itu
secara bertahap terhadap masukan yang diterimanya sampai akhirnya menghasilkan
keluaran yang diinginkan. Akan tetapi, memahami proses pembelajaran jaringan
syaraf cukup sulit karena sulit untuk menjelaskan makna setiap neuron dan setiap
bobot yang terkait.
Sebaliknya, model berbasis kaidah kabur mudah untuk dipahami karena
menggunakan istilah-istilah linguistik dan struktur kaidah jika-maka. Akan tetapi,
tidak seperti jaringan syaraf, logika kabur tidak mengenal algoritma pembelajaran.
Karena jaringan syaraf bisa mempelajari, maka masuk akal untuk menggabungkan
kedua teknologi tersebut. Penggabungan itu menghasilkan sebuah istilah baru, yaitu
jaringan syaraf kabur. Sistem jaringan syaraf kabur adalah suatu sistem yang
menggunakan kombinasi logika kabur dan jaringan syaraf.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
Sistem jaringan syaraf kabur dapat diklasifikasikan ke dalam dua kategori,
yaitu:
1. Model berbasis kaidah kabur yang dibangun dengan menggunakan teknik
pembelajaran jaringan syaraf terbimbing.
2. Model berbasis kaidah kabur yang menggunakan jaringan syaraf untuk
membangun partisi kabur dari ruang masukannya.
Yang akan dibahas dalam bab ini adalah sistem jaringan syaraf kabur kategori
pertama.
Masing-masing neuron dalam arsitektur jaringan syaraf umpanmaju
menampilkan dua langkah operasi sederhana. Pertama, menghitung jumlahan
terbobot dari semua sinyal masukan. Sebagai contoh, neuron jn menghitung
jumlahan terbobot sebagai berikut:
∑=
×=k
iiijj xws
1
. (3.1)
Dalam langkah kedua, jumlahan terbobot yang telah dihitung itu dimasukkan ke suatu
fungsi f (biasanya suatu fungsi sigmoid) untuk menghasilkan sinyal keluaran dari
neuron. Dengan mengombinasi kedua langkah tersebut, dihasilkan:
×== ∑
=
k
iiijjj xwfsfx
1)( . (3.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
Untuk menerapkan pembelajaran rambatan balik, fungsi f tersebut haruslah fungsi
yang kontinu dan dapat diturunkan.
B. Model Kabur dengan Pembelajaran Jaringan Syaraf Terbimbing
1. Arsitektur Jaringan Syaraf Kabur
Sistem jaringan syaraf kabur adalah suatu model berbasis kaidah kabur
dengan struktur jaringan syaraf tiruan. Sebuah sistem jaringan syaraf kabur berbeda
dengan jaringan syaraf tiruan dalam tiga hal berikut ini. Pertama, neuron dan sinapsis
dalam sistem jaringan syaraf kabur biasanya dapat dipahami karena masing-masing
neuron dan sinapsis itu berkorespondensi dengan bagian tertentu dari suatu sistem
kabur. Sebagai contoh, lapisan pertama dari sebuah arsitektur jaringan syaraf kabur,
seperti yang terlihat dalam Gambar 3.1, menunjukkan fungsi keanggotaan anteseden
dari variabel masukan. Kedua, sebuah neuron dalam sistem jaringan syaraf kabur
biasanya tidak semuanya terhubung ke neuron pada lapisan yang terdekat. Dalam
kenyataannya hubungan antara neuron dalam sebuah sistem jaringan syaraf kabur
menggambarkan struktur kaidah dari sistem. Sebagai contoh, neuron pada lapisan
kedua dalam Gambar 3.1 hanya terhubung ke dua neuron dari lapisan pertama, di
mana masing-masing neuron menggambarkan kondisi sebuah variabel masukan.
Terakhir, sistem jaringan syaraf kabur biasanya memiliki lebih banyak lapisan
dibandingkan jaringan syaraf tiruan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
Biasanya, sebuah arsitektur jaringan syaraf kabur memiliki lima sampai enam
lapisan neuron. Kemampuan masing-masing lapisan biasanya meliputi hal-hal berikut
ini:
a. Mengkomputasikan derajat kesesuaian dengan suatu kondisi kabur yang
melibatkan satu variabel.
b. Mengkomputasikan derajat kesesuaian dengan suatu kondisi kabur konjungtif
yang melibatkan banyak variabel.
c. Mengkomputasikan derajat kesesuaian yang dinormalkan
d. Mengkomputasikan kesimpulan yang diambil dari suatu kaidah kabur
e. Menggabungkan kesimpulan dari semua kaidah kabur dalam sebuah model.
Hal-hal tersebut secara bersama-sama merupakan penarikan kesimpulan
berdasarkan kaidah kabur. Gambar 3.1 menggambarkan suatu arsitektur jaringan
syaraf kabur yang disebut ANFIS, yang kelima lapisannya berkaitan dengan lima
kemampuan tersebut di atas. Alasan langkah normalisasi (lapisan 3) terpisah dari
langkah kombinasi (lapisan 5) dalam arsitektur jaringan syaraf kabur adalah karena
adanya kendala bahwa neuron-neuron pada arsitektur jaringan syaraf tiruan umpan
maju multilapis pada sebuah lapisan hanya dapat menerima sinyal masukan dari
lapisan terdekat sebelah kirinya. Jika tugas-tugas yang dikerjakan oleh lapisan 3 dan
lapisan 5 digabungkan, lapisan gabungan akan membutuhkan masukan dari dua
lapisan, yaitu lapisan 2 dan lapisan 4. Hal ini akan melanggar prinsip konektivitas
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
untuk jaringan syaraf umpan maju multilapis dan menimbulkan kesulitan dalam
menerapkan pembelajaran rambatan balik pada sistem jaringan syaraf kabur.
Gambar 3.1 (a) Arsitektur ANFIS untuk model kabur Sugeno dengan dua buah
masukan serta sembilan kaidah; (b) Ruang masukan dipartisi ke dalam sembilan
bagian
Arsitektur ANFIS menerapkan model Takagi Sugeno Kang (TSK) yang
mempartisi ruang masukan menggunakan fungsi keanggotaan yang terdiferensial.
Baik model TSK maupun fungsi keanggotaan terdiferensial umum digunakan dalam
arsitektur jaringan syaraf kabur. Syarat untuk menerapkan pembelajaran rambatan
balik terhadap jaringan syaraf umpanbalik adalah bahwa fungsi yang digunakan
merupakan fungsi yang terdiferensial. Fungsi keanggotaan Gauss merupakan fungsi
yang cocok untuk sistem jaringan syaraf kabur.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
2. Pembelajaran Rambatan Balik Pada Model Kabur
Dalam subbab ini akan dibahas bagaimana menggunakan kemampuan
pembelajaran jaringan syaraf pada model kabur. Secara khusus, akan diterapkan salah
satu algoritma pembelajaran jaringan syaraf, yang dikenal dengan nama “Algoritma
Rambatan Balik”, untuk estimasi parameter pada model kabur. Sebelum menerapkan
rambatan balik ke model kabur, pertama-tama akan dibahas kembali bagaimana
algoritma rambatan balik bekerja dalam jaringan syaraf. Pada dasarnya, algoritma
rambatan balik terdiri atas dua langkah melalui lapisan yang berbeda pada jaringan
syaraf, yaitu langkah maju dan langkah mundur. Dalam langkah maju, sebuah vektor
masukan dipakai untuk neuron masukan dari jaringan syaraf, dan hasilnya
dirambatkan melalui jaringan syaraf, lapisan demi lapisan. Akhirnya, himpunan
keluaran dihasilkan sebagai reaksi dari jaringan. Selama langkah maju semua bobot
sinapsis jaringan syaraf tetap. Langkah kedua merupakan langkah mundur, semua
bobot sinapsis diatur sesuai dengan kaidah koreksi galat. Sinyal galat merupakan
selisih antara keluaran yang sesungguhnya dari jaringan dengan keluaran yang
diinginkan (keluaran target). Pengkaidah bobot ini diulang terus menerus sampai
bobot tidak lagi berubah. Hal ini disebut konvergensi algoritma pembelajaran. Sinyal
galat ini kemudian dirambatkan mundur melewati jaringan syaraf, berlawanan arah
dengan koneksi sinapsis. Bobot sinapsis disesuaikan agar keluaran sesungguhnya dari
jaringan semakin mendekati keluaran yang diinginkan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
Ada dua cara untuk menyesuaikan bobot menggunakan rambatan balik.
Pendekatan pertama menyesuaikan bobot berdasarkan sinyal galat dari sepasang
masukan-keluaran dalam data pelatihan. Oleh karena itu, penyesuaian tersebut
dilakukan segera setelah masing-masing data pelatihan diberikan ke jaringan syaraf.
Sebagai contoh, jika digunakan sekumpulan data pelatihan yang terdiri atas 500
pasang masukan-keluaran, cara algoritma rambatan balik ini menyesuaikan bobot 500
kali untuk setiap kali algoritma itu merambat melalui himpunan pelatihan tersebut.
Misalkan algoritma tersebut konvergen setelah 1000 rambatan, masing-masing bobot
disesuaikan 500,000 kali. Pendekatan ini disebut “Cara Pola” pembelajaran rambatan
balik.
Pendekatan lainnya, yang dikenal sebagai “Cara Kelompok” pembelajaran
rambatan balik, menyesuaikan bobot berdasarkan sinyal galat dari keseluruhan
himpunan pelatihan. Oleh karena itu, bobot hanya disesuaikan satu kali setelah semua
data pelatihan diproses oleh jaringan syaraf. Pada contoh di atas, masing-masing
bobot pada jaringan syaraf disesuaikan 1000 kali dengan cara kelompok algoritma
pembelajaran rambatan balik.
Cara kelompok rambatan balik dilaksanakan dengan menerapkan metode
gradien turun untuk meminimalkan galat antara keluaran jaringan syaraf dan keluaran
sasaran dari keseluruhan himpunan pelatihan. Galat ini dihitung dengan fungsi galat
global berikut ini:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
∑=
−=N
iii yyE
1)ˆ(
21 (3.3)
di mana iy merupakan keluaran dari data pelatihan ke-i, iy merupakan keluaran
jaringan syaraf yang sesungguhnya untuk masukan yang sama, dan N menunjukkan
jumlah total pasangan-pasangan masukan-keluaran dalam himpunan pelatihan. Cara
pola rambatan balik menerapkan gradien turun terhadap fungsi galat yang berbeda:
( )2ˆ21
iii yyE −= i = 1, 2, …, N (3.4)
Di bawah ini diuraikan pembelajaran rambatan balik cara pola. Pertama-tama
dihitung gradien iE dalam persamaan 3.4 terhadap bobot jw dari sebuah hubungan
dari suatu neuron di lapisan tengah ke neuron di lapisan keluaran:
( )j
iii
j
i
dwyd
yydwdE ˆ
ˆ −= (3.5)
Menggunakan persamaan 3.2 untuk menggambarkan proses dari lapisan keluaran,
diperoleh:
×== ∑
=
k
ijji xwfsfy
1)(ˆ (3.6)
Kemudian bisa diterapkan kaidah rantai untuk menghitung turunan j
i
dwydˆ
:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
dsdfx
dsdf
dwds
dwyd
jjj
i ×=×=ˆ
(3.7)
Substitusikan ke dalam persamaan 3.5, maka diperoleh:
( )dsdfxyy
dwdE
jiij
i ××−= ˆ (3.8)
Metode gradien turun meminimalkan fungsi ( iE ) dengan cara menyesuaikan
masing-masing parameter ( jw ) dengan besaran yang proporsional dengan turunan
fungsi itu terhadap parameter tersebut. Penerapan prinsip tersebut untuk
meminimalkan iE dengan menyesuaikan bobot jw , menghasilkan:
j
ijjj dw
dEwww α−=∆=−′ (3.9)
di mana α adalah suatu parameter yang disebut “laju pembelajaran”. Substitusi
persamaan 3.8 ke dalam persamaan 3.9, menghasilkan rumusan untuk
memperbaharui bobot dalam pembelajaran rambatan balik cara pola:
( )dsdfxyyw jiij ××−−=∆ ˆα (3.10)
Jumlah penyesuaian bobot untuk tiap-tiap hubungan antara lapisan
tersembunyi dan lapisan keluaran dapat dilihat sebagai sinyal galat untuk lapisan
tersembunyi. Menggunakan cara serupa dengan yang sudah digambarkan di atas,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
dapat diperoleh rumusan untuk memperbaharui bobot yang terkait dengan lapisan
masukan.
Algoritma ini menjadi sederhana jika diterapkan ke model kabur yang
dinyatakan dalam persamaan 3.12, karena model kabur mempunyai struktur yang
relatif lebih sederhana dan tetap dibandingkan dengan jaringan syaraf. Berikut ini
akan diterapkan pembelajaran rambatan balik pada identifikasi parameter model
kabur Takagi Sugeno Kang yang fungsi keanggotaan antesedennya bertipe Gauss.
Secara lebih khusus, dalam langkah maju, untuk pola masukan yang diberikan,
respon nyata dari model tersebut langsung dihitung dari persamaan 3.14, dan hasil
dari masukan ke keluarannya diperoleh hanya dengan satu langkah rambatan. Selama
proses, parameter-parameter anteseden ( ijm dan ijσ ) dan konsekuen )( ic , yang sama
dengan bobot pada jaringan syaraf, semuanya tetap. Dalam langkah mundur, sinyal
galat yang dihasilkan dari perbedaan antara keluaran yang sebenarnya dan keluaran
yang diinginkan dari model dirambatkan mundur dan parameter-parameter ijm , ijσ
serta ic disesuaikan dengan menggunakan kaidah koreksi galat. Fungsi galat pada
iterasi ke-k akan dinotasikan dengan )(kJ :
( )2ˆ21)( ii yykJ −= (3.11)
Kaidah koreksi galat untuk ijm , ijσ serta ic diberikan oleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
,)()1()()1(
1−=
∂∂
−−=kcci
ii
iickJkckc η i = 1, 2, …, M (3.12)
,)()1()()1(
2
−=∂∂
−−=kmmij
ijij
ijijm
kJkmkm η i = 1, 2, …, M, j = 1, 2, …, m (3.13)
,)()1()()1(
3
−=∂∂
−−=kij
ijij
ijij
kJkkσσ
σησσ i = 1, 2, …, M, j = 1, 2, …, m (3.14)
di mana 21,ηη , dan 3η merupakan parameter-parameter laju pembelajaran.
Untuk memberikan gambaran yang jelas yang menunjukkan bagaimana
gradien ,)(,)(
iji mkJ
ckJ
∂∂
∂∂ dan
ij
kJσ∂
∂ )( terbentuk, )(ˆ ky , keluaran sesungguhnya dari
model pada observasi ke-k, akan ditulis ulang dalam bentuk perpanjangannya
∑=
≡=M
iii ckvkpky
1)()()(ˆ θ
(3.15)
di mana
( )
( )∑∏
∏
∑∏
∏
= =
=
= =
=
−
−
==M
i
s
j ij
ijj
s
j ij
ijj
M
ij
s
jA
s
jjA
imkx
mkx
kx
kxkv
ij
ij
1 12
2
12
2
1 1
1
)(exp
)(exp
))((
))(()(
σ
σ
µ
µ (3.16)
Maka, sinyal galat menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
∑=
−≡−=M
iii ckvkykykyke
1)()()(ˆ)()( (3.17)
Turunkan J(k) terhadap θ
, samakan hasilnya dengan nol, dan dengan menggunakan
kaidah rantai, diperoleh:
)()(2)()()()( kvke
cke
kekJ
ckJ
iii
−=∂∂
∂∂
=∂∂ (3.18)
−
−−=
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂ ∑
=2
1
)()()()(2
)()()(
)()()(
ij
ijjM
lllii
ij
i
iij
mkxckvckvke
kvkvke
kekJkJ
σσσ (3.19)
( )
−
−−=
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂ ∑
=3
2
1
)()()()(2
)()()(
)()()(
ij
ijjM
lllii
ij
i
iij
mkxckvckvke
mkv
kvke
kekJ
mkJ
σ (3.20)
Substitusikan persamaan-persamaan 3.18, 3.19, dan 3.20 masing-masing ke dalam
persamaan-persamaan 3.12, 3.13, dan 3.14, maka diperoleh:
),()(2)1()( 1 kvkekckc iii η+−= i = 1, 2, …, M (3.21)
−
−+−= ∑
= )()()(
)()()()()(2)1()( 21
2 kkmkx
kckvkckvkekmkmij
ijjM
llliiijij σ
η (3.22)
i = 1, 2, …, M, j = 1, 2, …, s
( )
−
−+−= ∑
= )()()(
)()()()()(2)1()( 3
2
13 k
kmkxkckvkckvkekk
ij
ijjM
llliiijij σ
ησσ (3.23)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
i = 1, 2, …, M, j = 1, 2, …, s
di mana )(kvi dihitung dengan menggunakan persamaan 3.16 dengan ijm dan ijσ
berturut-turut diganti dengan )1( −kmij dan )1( −kijσ , dan )(ke dihitung dengan
persamaan 3.17 dengan ic diganti dengan )1( −kci .
Ketiga persamaan terakhir ini merupakan algoritma rambatan balik untuk
estimasi parameter dalam model kabur TSK menggunakan fungsi keanggotaan
anteseden tipe Gauss. Pilihan parameter-parameter laju pembelajaran 21 ,ηη , dan 3η
dapat mempunyai pengaruh yang besar pada kinerja algoritma rambatan balik. Nilai
21 ,ηη , dan 3η yang lebih kecil dapat membuat perubahan parameter dari satu iterasi
ke iterasi berikutnya menjadi lebih halus, namun hal ini biasanya dicapai dengan laju
konvergensi yang rendah. Sebaliknya, nilai yang lebih besar untuk 21,ηη , dan 3η
dapat meningkatkan laju konvergensi, tetapi perubahan parameter yang besar dari
satu iterasi ke iterasi selanjutnya dapat menyebabkan algoritma menjadi tidak stabil.
Oleh karena itu, pemilihan parameter pembelajaran haruslah dilakukan dengan sangat
cermat. Sayangnya, tidak ada kriteria yang terumuskan dengan baik untuk memilih
parameter-parameter tersebut. Hal itu biasanya ditentukan dengan mencoba-coba.
Perhatikan bahwa pembaharuan parameter di sini dilakukan setelah
pelaksanaan masing-masing contoh pelatihan. Oleh sebab itu, cara operasi ini disebut
“pembelajaran pola”. Kemungkinan lain, proses pembaharuan dapat juga dilakukan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
setelah pelaksanaan seluruh contoh pelatihan yang merupakan kelompok. Cara
operasi ini disebut “Pembelajaran Kelompok”. Untuk sebuah kelompok tertentu
didefinisikan fungsi tujuan bJ sebagai kuadrat rata-rata galat )(ke , yaitu:
∑=
=N
kb keJ
1
2 )( . (3.24)
Misalkan )1( −kci , )1( −kmij dan )1( −kijσ adalah estimasi parameter pada
kelompok ke n-1. Dengan cara yang sama seperti pada rambatan balik cara pola,
dapat diperoleh estimasi )(nci , )(nmij dan )(nijσ pada kelompok ke n, seperti
berikut ini:
,)()(2)()1(1
1∑=
+=+N
kiii kvkencnc η i = 1, 2, …, M (3.25)
−
−+=+ ∑∑
== )()()(
)()()()()(2)()1( 211
2 nnmkx
nckvnckvkenmnmij
ijjM
llli
N
kiijij σ
η
(3.26)
i = 1, 2, …, M, j = 1, 2, …, s
( )
−
−+=+ ∑∑
== )()()(
)()()()()(2)()1( 3
2
113 n
nmkxnckvnckvkenn
ij
ijjM
llli
N
kiijij σ
ησσ
(3.27)
i = 1, 2, …, M, j = 1, 2, …, s
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
di mana )(kvi dihitung dengan menggunakan persamaan 3.16 dengan ijm dan ijσ
berturut-turut diganti dengan )1( −nmij dan )1( −nijσ , dan )(ke dihitung dengan
persamaan 3.17 dengan ic diganti dengan )1( −nci .
Cara pola lebih disukai daripada cara kelompok karena cara pola
membutuhkan lebih sedikit tempat penyimpanan untuk memperbaharui tiap
parameter. Sebaliknya, pembelajaran cara kelompok memberikan estimasi gradien
yang lebih tepat. Meskipun belum jelas apakah kedua cara pembelajaran tersebut
akan selalu menghasilkan model yang sama, ada bukti yang menunjukkan bahwa
pembelajaran cara pola mendekati pembelajaran cara kelompok asalkan parameter
laju pembelajarannya kecil.
Berikut berturut-turut diberikan algoritma rambatan balik dengan cara pola
dan algoritma rambatan balik dengan cara kelompok.
Algoritma rambatan balik cara pola diaplikasikan pada model TSK dengan
fungsi keanggotaan Gauss
Langkah 1 : Tentukan )0(ic , )0(ijm , dan )0(ijσ dengan bilangan
acak kecil.
Langkah 2 : Untuk k = 1,2, …, N, lakukan langkah berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
Langkah 3 : (Langkah maju) Hitung ikv menggunakan persamaan
3.8, di mana ijm dan ijσ berturut-turut diganti dengan
)1( −kmij , dan )1( −kijσ . Hitung )(ˆ ky menggunakan
persamaan 3.17, di mana ic diganti dengan )1( −kci .
Langkah 4 : (Langkah mundur) Bentuk sinyal galat
)(ˆ)()( kykyke −= ; perbaharui ic , ijm dan ijσ berturut-
turut menggunakan persamaan 3.13, 3.14 dan 3.15.
Langkah5 : Jika kriteria penghentian telah dicapai, maka proses
berhenti. Jika belum tercapai, misalkan k = k + 1 dan
lanjutkan ke langkah 2.
Algoritma rambatan balik cara kelompok diaplikasikan pada model TSK
dengan fungsi keanggotaan Gauss
Langkah 1 : Tentukan )0(ic , )0(ijm , dan )0(ijσ dengan bilangan
acak kecil, dan misalkan n = 1
Langkah 2 : (Langkah maju) Hitung ikv menggunakan persamaan 3.8
untuk k = 1,2, …, N, di mana ijm dan ijσ berturut-turut
diganti dengan )1( −nmij , dan )1( −nijσ . Hitung )(ˆ ky
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
menggunakan persamaan 3.7 untuk k = 1,2, …, N, di
mana ic diganti dengan )1( −nci .
Langkah 3 : (Langkah mundur) Bentuk sinyal galat )(ˆ)()( kykyke −=
untuk k = 1,2, …, N; perbaharui ic , ijm dan ijσ berturut-
turut dengan menggunakan persamaan 3.17, 3.18 dan
3.19.
Langkah 4 : Jika kriteria penghentian telah dicapai, maka proses
berhenti. Jika belum tercapai, misalkan n = n + 1 dan
lanjutkan ke langkah 2.
C. Contoh Model Jaringan Syaraf Kabur
Dalam subbab ini akan diberikan sebuah contoh untuk menunjukkan
bagaimana algoritma rambatan balik digunakan untuk mengestimasi parameter-
parameter suatu model kabur. Diasumsikan model kabur memiliki konsekuen
konstanta, yaitu:
Jika 1x adalah 1iA dan 2x adalah 2iA dan ⋅⋅⋅ dan mx adalah imA
maka y adalah ic , i = 1, 2, ⋅⋅⋅ , M (3.28)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
di mana ic adalah konstanta. Fungsi-fungsi keanggotaan anteseden adalah fungsi
Gauss, yang didefinisikan sebagai berikut:
−−= 2
2)(exp
ij
ijjij
mxA
σ. (3.29)
Untuk menentukan struktur (terutama jumlah kaidah kabur yang membentuk
model dasar) dan parameter-parameter model secara terintegrasi, algoritma rambatan
balik dikombinasikan dengan DNS dengan algoritma pivot kolom. Langkah-langkah
pokok prosesnya ditunjukkan pada Gambar 3.2. Pertama-tama, sebuah calon model
kabur dipertimbangkan, yang mungkin modelnya terlalu besar (memiliki basis kaidah
yang besar) tetapi tidak terlalu kecil. Parameter-parameter dalam model tersebut
dilatih dengan menggunakan algoritma rambatan balik. Kedua, jumlah kaidah kabur
penting dalam basis kaidah ditentukan dengan menggunakan DNS. Ketiga, posisi
kaidah-kaidah dalam basis kaidah diidentifikasikan dengan menggunakan algoritma
seleksi subset, yaitu algoritma pivot kolom. Terakhir, kaidah-kaidah kabur yang
penting disimpan dan kaidah-kaidah kabur yang kurang penting atau berlebihan
dikeluarkan dari basis kaidah. Sebuah model kabur yang kompak kemudian dibangun
dengan menggunakan kaidah-kaidah kabur yang disimpan yang parameter-
parameternya dilatih kembali menggunakan rambatan balik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
Gambar 3.2 Identifikasi model kabur menggunakan kombinasi rambatan balik dan
DNS
Contoh 3.1
Diberikan fungsi nonlinear sebagai berikut
xxy sin
=
Akan dilakukan pendekatan terhadap fungsi tersebut dengan menggunakan model
kabur yang dijelaskan dalam 3.28. Untuk itu, ditentukan 100 titik data pelatihan
dengan menggunakan nilai-nilai berjarak sama dalam interval [-10,10].
Latih model kabur yang terlalu besar menggunakan rambatan balik
Tentukan jumlah kaidah yang penting menggunakan DNS
Identifikasikan posisi kaidah yang penting menggunakan DNS-QR
Latih model kabur yang kompak menggunakan rambatan balik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
Pertama-tama, dibangun sebuah model kabur dengan 30 kaidah yang
parameter anteseden dan konsekuennya dilatih menggunakan algoritma rambatan
balik dengan nilai parameter awal ],1,1[)0( −∈ic ],10,10[)0( −∈ijm dan
].2,1[)0( ∈ijσ Kaidah-kaidah kabur tersebut diberi label 1, 2, ,⋅⋅⋅ 30 untuk
menunjukkan posisi mereka dalam basis kaidah. Untuk masing-masing dari 100 titik
data masukan 100,,2,1),( ⋅⋅⋅=kkx pada model, dihitung daya sulut yang
dinormalisasikan dari 30 kaidah menggunakan persamaan 2.5. Maka matriks daya
sulut P berukuran 30100× terbentuk.
Gunakan DNS ke P sehingga dihasilkan nilai-nilai singular yang ditunjukkan
dalam Gambar 3.3. Berdasarkan distribusi nilai-nilai singular, 12 kaidah
dipertahankan untuk digunakan membangun model kabur yang direduksi. Posisi
kaidah-kaidah yang dipertahankan dalam basis kaidah diidentifikasikan menggunakan
DNS-QR dengan algoritma pivot kolom sebagai 3, 5, 30, 16, 1, 13, 8, 24, 19, 29, 23,
14. Urutan posisi dari kaidah-kaidah tersebut juga menunjukkan pentingnya kaidah
kabur itu dalam basis kaidah.
Parameter anteseden dan konsekuen dari model kabur yang telah direduksi
menjadi model dengan 12 kaidah kabur itu dilatih kembali menggunakan algoritma
rambatan balik dengan nilai-nilai parameter awal yang telah ditentukan dalam model
kabur dengan 30 kaidah tadi.
Gambar 3.4 menunjukkan grafik log-MSE (Mean Squared Error) dari model
kabur dengan 30 kaidah dan model kabur dengan 12 kaidah dalam 1000 epoh dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
pelatihan rambatan balik. Sebagai perbandingan, Gambar 3.3 juga menunjukkan
model kabur dengan 12 kaidah yang dilatih menggunakan algoritma rambatan balik
dengan nilai parameter awal acak ],1,1[)0( −∈ic ],10,10[)0( −∈ijm dan ].2,1[)0( ∈ijσ
Tabel 3.3 memberikan nilai-nilai MSE dari ketiga model kabur setelah 1000 epoh.
Dari gambar 3.2 dan tabel 3.3 diketahui bahwa model yang direduksi menjadi 12
kaidah dengan nilai-nilai parameter awal yang ditentukan sebelumnya telah mencapai
keadaan layaknya jauh lebih cepat daripada yang menggunakan nilai parameter awal
acak. Hal ini disebabkan karena algoritma rambatan balik merupakan algoritma
optimisasi nonlinear dan kekonvergenannya sangat bergantung pada pemilihan nilai
parameter awal. Model kabur semula dengan 30 kaidah memberikan nilai MSE yang
kecil dibandingkan dengan kedua model kabur yang direduksi menjadi 12 kaidah. Hal
tersebut tidak mengherankan karena model yang semula memuat lebih banyak kaidah
kabur. Tetapi, titik-titik data pelatihan yang baik tidak selalu menjamin kinerja yang
baik pada titik-titik yang tidak dilatih. Sebuah model kabur dengan jumlah kaidah
yang besar memiliki tingkat resiko yang tinggi dalam hal kelebihan kecocokan:
mampu mencocokkan titik-titik data pelatihan secara lengkap, tetapi tidak mampu
menggeneralisasikannya secara memuaskan pada titik-titik data yang tidak terlatih.
Hal tersebut dapat dilihat pada Gambar 3.5 yang menunjukkan keluaran sebenarnya
dari fungsi nonlinear dan keluaran model kabur 30 kaidah dan model kabur 12 kaidah
dengan nilai-nilai parameter awal yang telah ditentukan sebelumnya. Gambar 3.6
menunjukkan fungsi keanggotaan variabel masukan x dalam model kabur 30 kaidah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
dan dalam model kabur 12 kaidah dengan nilai parameter awal yang terlah
didefinisikan.
Gambar 3.3 Distribusi nilai singular dari matriks daya sulut berukuran 30100×
Gambar 3.4 Grafik log-MSE untuk tiga model kabur yang dilatih
menggunakan algoritma rambatan balik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
Tabel 3.3 Nilai MSE tiga model kabur setelah 1000 epoh dari pelatihan
rambatan balik
Model Kabur MSE
Model sebenarnya (30 kaidah) 2.7902e-6
Model direduksi (12 kaidah, dengan nilai
awal yang terdefinisi)
2.8342e-6
Model direduksi (12 kaidah, dengan nilai
awal acak)
6.8712e-6
Gambar 3.5 Perbandingan keluaran dari model kabur semula dan model
kabur yang direduksi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
Model kabur semula dengan 30 kaidah
Model kabur yang direduksi dengan 12 kaidah
Gambar 3.6 Fungsi keanggotaan masukan x dalam model semula dan model
yang direduksi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
PENUTUP
Sistem jaringan syaraf kabur adalah suatu sistem yang menggunakan
kombinasi logika kabur dan jaringan syaraf. Sistem jaringan syaraf kabur
dirancang untuk merealisasikan proses penalaran kabur, di mana bobot-bobot
yang terhubung pada jaringan tersebut berhubungan dengan parameter-parameter
penalaran kabur. Dengan algoritma pembelajaran rambatan balik, sistem jaringan
syaraf kabur dapat mengidentifikasi aturan-aturan kabur dan melatih fungsi
keanggotaan dari penalaran kabur tersebut. Sistem jaringan syaraf kabur berupa
jaringan dengan banyak lapisan yang digunakan untuk menentukan relasi
masukan-keluaran pada sistem kabur. Biasanya, sebuah arsitektur jaringan syaraf
kabur memiliki lima sampai enam lapisan neuron.
Arsitektur ANFIS menerapkan model Takagi Sugeno Kang (TSK) yang
mempartisi ruang masukan menggunakan fungsi keanggotaan yang terdiferensial.
Baik model TSK maupun fungsi keanggotaan terdiferensial umum digunakan
dalam arsitektur jaringan syaraf kabur. Syarat untuk menerapkan pembelajaran
rambatan balik terhadap jaringan syaraf umpanbalik adalah bahwa fungsi yang
digunakan merupakan fungsi yang terdiferensial.
Ada dua cara untuk menyesuaikan bobot menggunakan rambatan balik.
Pendekatan pertama menyesuaikan bobot berdasarkan sinyal galat dari sepasang
masukan-keluaran dalam data pelatihan. Pendekatan ini disebut “Cara Pola”
pembelajaran rambatan balik. Pendekatan kedua, dikenal sebagai “Cara
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
Kelompok” pembelajaran rambatan balik, menyesuaikan bobot berdasarkan sinyal
galat dari keseluruhan himpunan pelatihan. Cara pola lebih disukai daripada cara
kelompok karena cara pola membutuhkan lebih sedikit tempat penyimpanan untuk
memperbaharui tiap parameter. Sebaliknya, pembelajaran cara kelompok
memberikan estimasi gradien yang lebih tepat.
Model kabur yang digunakan untuk menunjukkan bagaimana algoritma
rambatan balik digunakan untuk mengestimasi parameter-parameter suatu model
kabur adalah model kabur yang memiliki konsukuen konstanta, dan fungsi-fungsi
keanggotaan anteseden adalah fungsi Gauss. Untuk menentukan struktur
(terutama jumlah kaidah kabur yang membentuk dasar model) dan parameter-
parameter model secara terintegrasi, digunakan algoritma rambatan balik yang
dikombinasikan dengan DNS dengan algoritma pivot kolom.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
Daftar Pustaka:
Czogała, Ernest and Jacek Łęski. (2000). Fuzzy and Neuro Fuzzy Intelligent Systems. New York: Physica–Verlag Heidelberg
Fullѐr, Robert. (2000). Introduction to Neuro-Fuzzy Systems. New York: Physica–Verlag
Jang, J. S. R, C. T Sun and E. Mizutani. (1997). Neuro-Fuzzy and Soft Computing. London: Prentice Hall.
Kusumadewi, Sri dan Sri Hartati. (2006). Neuro-Fuzzy. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Lin, Chin-Teng and C. S. George Lee. (1996). Neural Fuzzy Systems. London: Prentice Hall.
Siang, J. J. (2005). Jaringan Syaraf Tiruan dan Pemrogramannya Menggunakan MATLAB. Yogyakarta: ANDI.
Susilo, Frans. (2006). Himpunan & Logika Kabur serta Aplikasinya. Yogyakarta: Graha Ilmu
Yen, J. and Langari, R. (1999). Fuzzy Logic, Intelligence, Control, and Information. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI