Post on 30-Jan-2018
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk
merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau problem pada dunia riil
dalam pernyataan matematik, sehingga diperoleh pemahaman dari problem dunia
riil menjadi lebih tepat. Representasi matematika yang dihasilkan dari proses ini
dikenal sebagai “Model Matematika”. Konstruksi, analisis dan penggunaan model
matematika dipandang sebagai salah satu aplikasi matematika yang paling penting
[8].
Model matematika digunakan dalam banyak disiplin ilmu dan bidang studi
yang berbeda. Kita dapat mencari aplikasi model matematika di bidang-bidang
seperti fisika, ilmu sosial dan politik, ekonomi, bisnis dan keuangan, problem-
problem jaringan komputer, serta ilmu biologi dan kedokteran. Diantara aplikasi
model matematika pada bidang ilmu biologi dan kedokteran adalah model
matematika yang berkaitan dengan penyakit menular. Pemodelan penyakit
menular mendapat perhatian besar dalam studi epidemiologi. Tujuan utama dari
pemodelan adalah menjawab peran infeksi penyakit dalam mengatur populasi
alami, yaitu mengurangi fluktuasi alami populasi yang terinfeksi. Dalam
epidemiologi, populasi dapat diklasifikasikan menjadi dua kelas, yaitu kelas
rentan (susceptible) dan terinfeksi (infected). Populasi rentan, rentan terhadap
infeksi dan populasi yang terinfeksi dapat memindahkan infeksi ke individu
rentan. Dalam model S-I-S ukuran jumlah populasi adalah N = S + I, dimana S
adalah populasi rentan dan I populasi terinfeksi [3].
Pada model sederhana S-I-S populasi dari kelas rentan bergabung atau
pindah ke kelas yang terinfeksi, tapi dalam prakteknya proses ini tidak tetap.
Individu tetap rentan untuk beberapa jangka waktu tertentu setelah meninggalkan
kelas rentan dan bergabung dengan kelas yang terinfeksi, masa menengah ini
dapat disebut sebagai masa inkubasi [3]. Masa inkubasi didefinisikan masa dari
1
saat penyebab penyakit masuk (saat penularan) sampai ke saat timbulnya penyakit
[10]. Masa inkubasi berguna tidak hanya untuk membuat tebakan hidup bebas
sehingga ditetapkan penyebab dan sumber infeksi, tetapi juga untuk
mengembangkan strategi pengobatan untuk memperpanjang masa inkubasi.
Menjaga pendapat di atas, dalam tulisan ini penulis akan mempelajari peran
masa inkubasi dalam penularan penyakit dengan asumsi sebagai kelas menengah,
yaitu kelas populasi inkubasi antara kelas populasi rentan dan terinfeksi.
1.2 Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah dalam pengerjaan literatur ini dapat diuraikan
sebagai berikut:
1. Bagaimana model matematika yang berkaitan dengan peran masa
inkubasi dalam penularan penyakit?
2. Bagaimana kestabilan model matematika yang berkaitan dengan peran
masa inkubasi dalam penularan penyakit?
1.3 Batasan Masalah
Pembahasan literatur ini hanya mempelajari dan menganalisis peran masa
inkubasi dalam penularan penyakit dimana hanya terdapat 3 kompartement yaitu
populasi rentan (susceptible), inkubasi (incubated), dan infeksi (infected).
Kemudian parameter yang berkaitan dengan model bernilai positif.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penulisan ini dapat diuraikan sebagai berikut:
1. Mempelajari model matematika yang berkaitan dengan peran masa
inkubasi dalam penularan penyakit.
2. Mempelajari dan menjelaskan analisis kestabilan dari model matematika
yang berkaitan dengan peran masa inkubasi dalam penularan penyakit.
2
1.5 Metode Penelitian
Metode penelitian ini hanya melalui pendekatan teoritis atau studi literatur
dari buku-buku yang berkaitan, tesis, skripsi sampai artikel-artikel yang ada di
website untuk menunjang literatur ini.
1.6 Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan literatur ini hanya memuat 4 bab. Dengan perincian
sebagai berikut.
BAB I PENDAHULUAN
Pada bab ini akan dipaparkan tentang latar belakang masalah,
rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, metode
penelitian, sistematika penulisan serta kerangka berfikir dari
masalah yang dikaji.
BAB II LANDASAN TEORI
Dalam bab ini akan dipaparkan tentang landasan teori yang
dijadikan ukuran standarisasi dalam pembahasan yang terdiri dari
model matematika epidemi, sistem persamaan diferensial tak
linear, titik kesetimbangan, matriks Jacobi, nilai eigen, kestabilan
titik kesetimbangan, kriteria Routh-Hurwitz, dan bifurkasi Hopf.
BAB III PERAN MASA INKUBASI DALAM PENULARAN PENYAKIT
Dalam bab ini akan dipaparkan hasil kajian yang meliputi analisis
model matematika yang berkaitan dengan masa inkubasi dalam
penularan penyakit yang terdiri dari formulasi model, menentukan
titik kesetimbangan, serta jenis kestabilan dari titik kesetimbangan.
BAB IV PENUTUP
3
Dalam bab ini akan dipaparkan kesimpulan sebagai jawaban dari
rumusan permasalahan yang diajukan serta saran untuk
pengembangan tulisan yang berbeda dimasa yang akan datang.
DAFTAR PUSTAKA
1.7 Kerangka Berfikir
Dalam studi literatur ini penulis akan mempelajari dan menganalisis model
matematika yang berkaitan dengan peran masa inkubasi dalam penularan
penyakit. Analisis yang pertama adalah mengidentifikasi titik kesetimbangan dari
model matematika dengan cara me-nol-kan turunan pertamanya. Analisis yang
kedua adalah mengidentifikasi jenis kestabilan titik kesetimbangan. Kestabilan
titik kesetimbangan dapat ditentukan dengan memperhatikan nilai-nilai eigen
yang diperoleh dari persamaan karakteristik. Jika tanda bagian riil nilai eigen
tidak mudah ditentukan maka digunakan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz.
Berikut diagram dari kerangka berfikir tersebut
Gambar 1.1 Diagram Kerangka Berfikir
4
Analisis model
Menentukan titik kesetimbangan
Formulasi model
Menentukan jenis kestabilan
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Model Matematika Epidemi
Perilaku dinamik dari sistem untuk menganalisis dinamika penyebaran
penyakit terdapat beberapa model matematika yang sering digunakan. Model-
model tersebut memiliki konsep yang sama yaitu compartmental epidemiologi
(pembagian kelas) yang menggambarkan penyebaran penyakit dari masing-
masing kelas. Jadi dalam suatu populasi akan terbagi menjadi beberapa kelas
dimana masing-masing kelas mewakili tahapan yang berbeda. Kelas S
(susceptible) digunakan untuk mewakili individu-individu yang rentan terhadap
infeksi virus, kemudian kelas I (infectious) digunakan untuk mewakili individu-
individu yang telah terinfeksi dan mampu menularkan atau menyebarkan penyakit
ke individu pada populasi rentan, untuk kelas R (recovered) digunakan untuk
mewakili individu-individu terinfeksi yang telah sembuh dari penyakit dan
memiliki kekebalan permanen yang artinya individu tersebut tidak akan terinfeksi
lagi untuk jenis penyakit yang sama. Namun pada model SIRS, kelas
R(recovered) mewakili individu-individu yang telah sembuh dan akan terbebas
dari infeksi virus kemudian akan memasuki populasi rentan (susceptible) kembali.
Pada model-model epidemik yang memperhatikan adanya periode laten(masa
inkubasi) seperti model SEIR, MSEIR terdapat kelas E(exposed) yang digunakan
untuk mewakili individu-individu yang baru terinfeksi dan memasuki periode
latent, dalam periode ini individu tersebut tidak memiliki kemampuan untuk
menularkan penyakit ke individu lain sedangkan kelas M
(Maternallyderivedimmunity) digunakan untuk mewakili individu-individu yang
baru lahir dan memiliki kekebalan pasif yang didapatkan dari ibunya, namun hal
ini hanya berlangsung sementara kemudian individu pada kelas M ini akan
memasuki kelas rentan (susceptible). Model matematika epidemi diantaranya SIR,
SIRS, SEIR,MSEIR dan termasuk model SVID [9].
5
2.2 Sistem Persamaan Diferensial Tak Linear
Definisi 2.1
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai
ẋ=f ( t , x ) (2.1)
dengan
x=[x1 (t )⋮
xn (t )]dan f (t , x )=[ f 1 (t , x1 , x2 , …, xn )⋮
f n (t , x1 , x2 , …, xn )]diasumsikan fungsi tak linear padax1 , x2 , …, xn. Sistem persamaan (2.1) disebut
sistem persamaan diferensial taklinear [4].
2.3 Titik Kesetimbangan
Definisi 2.2
Diberikan sistem persamaan diferensial
ẋ=f (x ) , xϵ Rn
titik ̅x disebut titik tetap atau titik kritis atau disebut juga titik kesetimbangan jika
f ( (̅ x )=0 [4].
2.4 Matriks Jacobi
Secara umum, matriks transformasi terhadap basis standar, turunan fungsi
y=f(x)¿ ( f 1 ( x1 , …, xn ) , …, f m ( x1 , …, f n ))di titik x adalah
f '( x)=[∂ f 1
∂ x1…
∂ f 1
∂ xn
⋮ ⋱ ⋮∂ f m
∂ x1…
∂ f m
∂ xn
]yaitu matriks yang berukuran m x n. Matriks ini sering kali juga ditulis sebagai
matriks
[ ∂ f i
∂ x j ]i , j
6
dan disebut Matriks Jacobi [2].
Untuk lebih jelasnya lihat contoh di bawah ini [2],
f ( x1 , x2 )=(x13−x2
3 , 3 x12 x2 , 2 x1 x2
2 )maka matriks Jacobiannya adalah
[∂ f 1
∂ x1
∂ f 1
∂ x2
∂ f 2
∂ x1
∂ f 2
∂ x2
∂ f 3
∂ x1
∂ f 3
∂ x2
]=[ 3 x12 −3 x2
2
6 x1 x2 3 x12
2x22 4 x1 x2
]2.5 Nilai Eigen
Definisi 2.3
Jika A adalah matriks n x n, maka vektor tak nol x di dalam Rn dinamakan
vektor eigen (eigenvector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x; yakni,
Ax=λx
untuk suatu skalar λ. Skalar λdinamakan nilai eigen (eigenvalue) dari A dan x
dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ.
Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran n x n maka kita
menuliskan kembali 𝐴𝑥¿ λx sebagai
Ax=λIx
atau secara ekivalen
( A−λI ) x=0
Supayaλ menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan taknol dari
persamaan ini. Persamaan di atas akan mempunyai pemecahan taknol jika dan
hanya jika
det ( A−λI )=0 (2.2)
persamaan (2.2) dinamakan persamaan karakteristik A [1].
Contoh
Carilah nilai-nilai eigen dari matriks
A=[ 3 2−1 0]
Penyelesaian:
7
Oleh karena
A−λI=[ 3 2−1 0]−λ[1 0
0 1]=[3−λ 2−1 −λ]
maka polinom karakteristik dari A adalah
det ( A−λI )=0
|3−λ 2−1 −λ|=0
(3−λ ) (−λ ) — (−2)=0
−3 λ+ λ2+2=0
λ2−3 λ+2=0
( λ−1 ) ( λ−2 )=0
λ1=1 , λ2=2
Jadi, nilai eigen adalah λ1=1 , λ2=2 [1].
2.6 Kestabilan Titik Kesetimbangan
Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial biasa sebarang
ẋ=f (x ) , xϵ Rn dengan ̅ x sebagai titik kesetimbangan. Kestabilan titik
kesetimbangan ̅x dapat ditentukan dengan memperhatikan nilai-nilai eigen, yaitu
λ i , i=1,2 , …, n , yang diperoleh dari persamaan karakteristik. Secara umum,
kestabilan titik kesetimbangan mempunyai perilaku :
1. Stabil, jika:
a. Re(λ i¿<0, untuk setiap i, atau
b. Terdapat Re(λ j ¿=0 untuk sebarang j dan Re(λ i¿<0 untuk setiap i≠j.
Stabil asimtotik terbagi menjadi dua yaitu asimtotik lokal dan
asimtotik global. Titik x dikatakan titik kesetimbangan stabil asimtotik
lokal jika titik pada x stabil dan terdapat ε>0, sedemikian sehingga jika
|x−x0|<ε maka
limt → ∞
x ( t )=¿ x¿
2. Tidak stabil, jika terdapat paling sedikit satu i sehingga Re(λ i¿>0.
3. Saddle, jika perkalian dua buah nilai eigen riil sembarang adalah negatif
(λ i λ j<0 untuk i dan j sembarang).
8
2.7 Kriteria Routh-Hurwitz
Pada permasalahan tertentu kestabilan titik kesetimbangan tidak bisa
diamati karena tanda bagian riil nilai eigen tidak mudah ditentukan, oleh karena
itu perlu digunakan metode lain untuk menentukan tanda bagian riil nilai eigen 𝜆.
Sebagai contoh untuk matrik yang berukuran n x n dengan n > 2 tanda bagian riil
nilai eigen dapat ditentukan dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh-
Hurwitz.
Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz adalah suatu metode untuk menunjukan
kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik
tanpa menghitung akar-akar karakteristik secara langsung [4].
Kriteria Routh-Hurwitz tersebut terdapat pada teorema berikut [4].
Teorema 2.1:
Diberikan persamaan karakteristik
P ( λ )=λk+a1 λk−1+a2 λk−2+…+ak−1 λ+ak=¿0
selanjutnya didefinisikan matriks Hurwitz Hj sebagai berikut:
dengan Hj = (hlm ¿ dan hlm={ a2l−m , untuk 0<2 l−m<k1, untuk 2 l=m
0 , untuk 2 l<matau 2l>k+m
Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik mempunyai bagian riil yang
negatif (titik kesetimbangan ̅x stabil) jika dan hanya jika determinan dari semua
matriks Hurwitz positif, yaitu :
det Hj>0, untuk j=1,2,...,k.
Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz untuk k = 2,3,4 disebutkan bahwa titik
kesetimbangan ̅x stabil jika dan hanya jika
k = 2, a1>0 , a2>0
k = 3, a1>0 , a3>0 , a1 a2¿ a3
k = 4, a1>0 , a3>0 , a4>0 , a1 a2a3>a32+a1
2 a4
9
Untuk kasus k = 3, kriteria Routh-Hurwitz disajikan dalam Teorema 2.2
berikut [4].
Teorema 2.2
Misalkan e0 , e1 , e2 bilangan riil. Bagian riil dari setiap nilai eigen persamaan
karakteristik
P ( λ )=λ3+e0 λ2+e1 λ+e2=0
adalah negatif jika dan hanya jika e0>0 , e2>0 , e0 e1¿e2
Bukti :
Dari persamaan P ( λ )=λ3+e0 λ2+e1 λ+e2, maka a1=e0 , a2=e1 ,dan a3=e2.
Berdasarkan teorema 2.1, bagian riil dari setiap akar persamaan karakteristik
P ( λ )=λ3+e0 λ2+e1 λ+e2 adalah negatif jika dan hanya jika det Hj>0, untuk
j=1,2,3, dengan
det H1 = |a1|=|e0|=e0>0 (2.3)
det H2 = |e0 1e2 e1|=e0e1−e2>0 (2.4)
det H3 = |e0 1 0e2 e1 e0
0 0 e2|=e0 e1 e2−e2
2>0 (2.5)
dari (2.3), diperoleh e0>0
dari (2.4), diperoleh e0 e1−e2>0
dari (2.5), diperoleh e0 e1 e2−e22=(e¿¿0e1−e2)e2>0 ¿, karena e0 e1−e2>0
sehingga diperoleh e2>0.
Dengan demikian diperoleh bahwa bagian riil dari semua akar persamaan
karakteristik P ( λ )=λ3+e0 λ2+e1 λ+e2 adalah negatif jika dan hanya jika
e0>0 , e2>0 , dan e0 e1¿e2.
Untuk lebih jelasnya, tinjau contoh di bawah ini.
P ( λ )=λ3+6 λ2+3 λ−6
Selidiki apakah persamaan karakteristik di atas memenuhi kriteria Routh-Hurwitz.
Penyelesaian :
Dari persamaan
10
P ( λ )=λ3+6 λ2+3 λ−6
maka a1=6 , a2=3 , dan a3=−6. Kemudian nilai j dari persamaan
di atas adalah 3. Maka 2j-1 = 2(3)-1 = 5. Sehingga matriks Hurwitznya hanya
sampai a5.
Untuk H1 = (a1¿=6, karena 6 positif, sehingga didapat det H1 = |6|>0.
Untuk H2 = (a1 1a3 a2
)=( 6 1−6 3), sehingga didapat det H2 = | 6 1
−6 3|=24>0.
Untuk H3 = (a1 1 0a3 a2 a1
a5 a4 a3)=( 6 1 0
−6 3 60 0 −6), sehingga didapat det H3 =
| 6 1 0−6 3 60 0 −6|=−144<0.
Oleh karena det H3¿0, maka persamaan karakteristik di atas tidak memenuhi
kriteria Routh-Hurwitz.
2.8 Bifurkasi
Bifurkasi untuk sistem non linier,
X '=Fa ( X )
dengan a adalah parameter riil [7]. Bifurkasi adalah perubahan kualitatif yang
terjadi pada penyelesaian persamaan differensial, perubahan meliputi perubahan
stabilitas dan perubahan letak titik setimbang yang diakibatkan oleh perubahan
parameter. Bifurkasi terjadi pada penyelesaian titik setimbang yang mempunyai
paling sedikit satu nilai eigen sama dengan nol pada bagian riilnya [12].
Jika x0 adalah titik kesetimbangan, maka f a ( x0 )=0. Jika f a' ( x0 ) ≠ 0, perubahan
pada a tidak merubah struktur lokal dekat x0. Bifurkasi persamaan orde pertama
hanya ada pada kasus nonhyperbolic ketika f a' ( x0 )=0 [7].
Menurut Stephen (1964 : 258) ada 4 jenis bifurkasi yaitu [11]:
1. Bifurkasi Saddle-node
2. Bifurkasi Transkritikal
11
3. Bifurkasi Pitchfork
4. Bifurkasi Hopf
Bifurkasi Hopf
Bifurkasi Hopf adalah berubahnya jenis kestabilan suatu titik
kesetimbangan suatu persamaan diferensial, yang terjadi karena munculnya
sepasang nilai eigen yang bernilai imajiner [5]. Syarat-syarat terjadinya bifurkasi
Hopf diberikan pada teorema berikut [5].
Teorema 2.3
Pandang suatu sistem otonomus yang berbentuk
x=Fμ ( x ),
dan bergantung pada parameter μ. Misalkan terdapat titik kesetimbangan xμ
dengan nilai eigen λμ=α μ± i β μ. Bila terdapat μ0, sehingga α μ0=0 dan βμ0
≠ 0, serta
d α μ
d μ∣
μ=μ0
>0, maka jenis kestabilan dari titik kesetimbangan xμ akan berubah bila
μ berubah disekitar μ0.
Untuk lebih jelasnya, tinjau contoh berikut [7] :
Diberikan sistem
x '=ax− y−x ( x2+ y2 ) (1)
y '=x+ay− y ( x2+ y2 ) (2)
Ketika x dan y kecil maka x2 dan y2 juga kecil (x2 , y2 ≈ 0), ada titik
kesetimbangan pada titik asal yaitu (0,0), dengan linearisasi diperoleh sistem :
X '=(a −11 a ) X
12
Persamaan karakteristik
|A−λI|=0
|(a −11 a )−( λ 0
0 λ)|=0
|a−λ −11 a−λ|=0
(a−λ )2−(−1)=0
(a−λ )2+1=0
(a−λ )2=−1
(a−λ )=√−1
a−λ=± i
λ=a± i
diperoleh nilai eigen a ± i, maka bifurkasi ketika a=0.
Dengan menggunakan koordinat polar
x=r cosθ → x'=r ' cosθ−r sin θ θ' (3)
y=rsin θ → y '=r ' sin θ+r cosθ θ' (4)
Kemudian substitusi persamaan (3)-(4) ke persamaan (1)-(2) diperoleh sistem
r '=ar−r3
θ'=1
Untuk a<0 sink ketika ar−r3<0,∀ r>0.
Ketika a>0 source. Ketika a>0, r '=0 jika r=√a. Lingkaran pada radius √a
adalah solusi periodik dengan periode 2π. r '>0 jika 0<r<√a, r '<0 jika r>√a.
13
BAB III
PERAN MASA INKUBASI DALAM PENULARAN PENYAKIT
Untuk menjadi sakit, seseorang harus terpajan patogen yang sifatnya
infeksius. Dengan kata lain, seseorang harus diinokulasikan dengan penyakit.
Contohnya seekor nyamuk Anopheles yang menggigit (inokulasi melalui gigitan)
korban yang tidak menyangka dirinya rentan di sore hari yang hangat, yang
kemudian menulari orang tersebut dengan penyakit, seperti malaria. Masa
inkubasi adalah rentang waktu yang berlalu di antara waktu inokulasi dan waktu
penampakan tanda atau gegala pertama penyakit itu [6].
Gambar 3.1 dapat membantu memahami dengan lebih baik peran yang
dimainkan masa inkubasi dalam perjalanan suatu penyakit. Perjalanan suatu
penyakit pernapasan dan masa inkubasinya juga diperlihatkan dalam gambar ini.
Masa inkubasi berbagai penyakit sangat bervariasi, hal ini bisa dilihat pada
lampiran. Masa inkubasi juga berbeda pada orang yang memiliki sistem kekebalan
lebih aktif sehingga dapat menahan pertumbuhkembangan patogen di dalam
tubuh, yang akhirnya memperpanjang masa inkubasi. Dari hasil pengamatan
diketahui bahwa penyakit yang masa inkubasinya pendek biasanya menyebabkan
kesakitan yang lebih akut dan parah, sedangkan penyakit yang masa inkubasinya
panjang menyebabkan kesakitan yang tidak terlalu parah [6].
15
Gambar 3.1 Perjalanan suatu penyakit pernapasan infeksius.
3.1 Model Matematika yang Berkaitan dengan Peran Inkubasi dalam Penularan
Penyakit
Model matematika dari populasi ‘rentan-infeksi’ adalah sebagai berikut :
dSdt
=rS(1− SK )−bSD+ᵞ D (3.1)
dDdt
=bSD−δ D (3.2)
dengan
S (t) : jumlah individu rentan pada waktu t
D (t) : jumlah individu terinfeksi pada waktu t
r : laju pertumbuhan intrinsik
K : daya dukung (carrying capacity)
γ : perpindahan sebagian kecil dari kelas terinfeksi ke kelas rentan
b : laju hubungan penyakit
16
δ : kematian karena penyakit
Dalam studi literatur ini, sebelum individu masuk ke kelas infeksi, individu
tersebut masuk ke kelas menengah yang disebut kelas inkubasi. Masa inkubasi
didefinisikan sebagai masa dari saat penyebab penyakit masuk ke dalam tubuh
(saat penularan) sampai ke saat timbulnya penyakit [10].
Gambar 3.2 Bagan model inkubasi dalam penularan penyakit
Deskripsi dari gambar 3.2 :
Tanda ( ) menunjukkan penambahan populasi pada kelas rentan terhadap
penyakit dan pertumbuhannya logistik, dengan laju pertumbuhan intrinsik r dan
carrying capacity K. Disini diasumsikan bahwa tidak ada perpindahan secara
vertikal dari suatu penyakit (semua individu yang lahir merupakan individu yang
sehat dan rentan). Kemudian tanda ( ) menunjukkan pengurangan jumlah
individu pada kelas rentan karena adanya laju hubungan penyakit α , yaitu kontak
individu rentan dengan individu terinfeksi yang mengakibatkan individu tersebut
pindah dari kelas rentan ke kelas inkubasi. Hal ini merupakan penambahan
populasi pada kelas inkubasi. Pada kelas inkubasi akan terjadi pengurangan
populasi yang ditunjukkan dengan tanda ( ) dan ( ), yaitu kematian alami ᵝ
dan adanya perpindahan populasi dari kelas inkubasi ke kelas infeksi ᵝ 1 . Tanda (
) juga menunjukkan penambahan populasi pada kelas infeksi. Pada kelas ini akan
terjadi pengurangan populasi yang ditunjukkan dengan tanda ( ) dan ( )
17
yaitu kematian akibat penyakit δ dan perpindahan populasi dari kelas terinfeksi ke
kelas rentan ᵞ1.
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa model matematika yang
berkaitan dengan peran inkubasi dalam penularan penyakit adalah :
dSdt
=rS(1− SK )−αSD+ᵞ1 D (3.3)
dIdt
=αSD−ᵝI (3.4)
dDdt
=ᵝ 1 I−δD (3.5)
dengan
S(t) : jumlah individu rentan pada waktu t
I(t) : jumlah individu kelas inkubasi pada waktu t
D(t) : jumlah individu terinfeksi pada waktu t
r : laju pertumbuhan intrinsik
K : daya dukung (carrying capacity)
α : laju hubungan penyakit
γ1 : perpindahan sebagian kecil dari kelas terinfeksi ke kelas rentan
β : penghapusan dari kelas inkubasi
β1 : perpindahan sebagian kecil dari kelas inkubasi ke kelas terinfeksi
δ : penghapusan dari kelas terinfeksi
dimana S(0) > 0, I(0) > 0,dan D(0) > 0 dan total populasi pada waktu t adalah
N(t) = S(t)+I(t)+D(t)
dengan r, K, α , γ1, β, β1, δ >0.
18
untuk menyederhanakan sistem (3.3)-(3.5), dengan menggunakan
x= SK
; y= IK
; z=DK
;τ=rt ,
diperoleh sistem
dxdτ
=x (1−x )−axz+cz (3.6)
dydτ
=axz−dy (3.7)
dzdτ
=d1 y−ez (3.8)
dengan
a=αKr
;c=γ 1
r;d= β
r;d1=
β1
r; e= δ
r
dan x (0 )>0 , y (0 )>0 , z (0 )>0.
3.2 Titik Kesetimbangan
Untuk menentukan titik kesetimbangan adalah me-nol-kan ruas kiri pada
sistem (3.6)-(3.8) sehingga turunan pertamanya bernilai nol.
0=x (1−x )−axz+cz (3.9)
0=axz−dy (3.10)
0=d1 y−ez (3.11)
lakukan eliminasi persamaan (3.9) dan (3.10)
0=x (1−x )−axz+cz
0=axz−dy
+
x (1−x )+cz−dy=0 (3.12)
19
kemudian lakukan eliminasi (3.11) dan (3.12)
x (1−x )+cz−dy=0
d1 y−e z=0
x (1−x ) = 0
x=0 atau x=1
substitusi x=0 ke persamaan (3.10) diperoleh y=0. Dengan substitusi y=0 ke
persamaan (3.11) diperoleh z=0. Sehingga diperoleh titik kesetimbangan
E0=(0,0,0 ) , dan E1= (1,0,0 ). E0 disebut titik kesetimbangan trivial, artinya ketika
tidak ada populasi rentan maka tidak akan ada populasi inkubasi dan infeksi.
Sedangkan E1 disebut kesetimbangan bebas penyakit, yaitu tidak adanya individu
yang terinfeksi.
Dari persamaan axz−dy=0
axz=dy
z=dyax
dari persamaan d1 y−ez=0
d1 y=ez
y= ezd1
dengan cara substitusi y= ezd1
ke z=dyax
z=d ( ez
d1 )ax
20
z= dezd1 ax
d1 axz=dez
x¿= ded1 a (3.13)
kemudian dengan cara substitusi (3.13) ke persamaan (3.6)
x (1−x )−axz+cz=0
x−x2+ (c−ax ) z=0
ded1a
−( ded1 a
)2
+ (c−ax ) z=0
ded1a
−( ded1 a )
2
+(c−aded1a )z=0
( c d1−ded1
)z= d2 e2
d12 a2 −
ded1a
z=(d¿¿2e2 d1 a−de d1
2 a2)d1
(d1 a ) (d12 a2 )(c d1−de)
¿
z=d2 e2d12 a−ded1
3 a2¿ ¿(d1 a ) (d1
2 a2 ) (c d1−de )
z=d1
2 a(d2 e2−ded1 a)
(d1 a ) (d12 a2 ) (c d1−de )
z=d2 e2−de d1 ad1 a2 ( cd1−de)
z=de (de−d1 a)
d1 a2 ( cd1−de)
21
diperoleh z¿=
de (d1 a−de)d1 a2 (de−d1 c )
(3.14)
Dengan cara substitusi (3.14) ke persamaan
y= ezd1
y=e(de (d1 a−de)
d1 a2 (de−d1 c )) 1
d1
diperoleh y¿=d e2 ( d1a−de )
d12 a2 (de−d1 c )
Jadi ada tiga kesetimbangan untuk sistem (3.6)-(3.8), yaitu
(i) E0 = (0,0,0) adalah kesetimbangan trivial.
(ii) E1 = (1,0,0) adalah kesetimbangan bebas penyakit.
(iii) E* = (x*,y*,z*) adalah kesetimbangan endemik, dimana
x¿= ded1 a
; y¿=d e2 (d1 a−de)
d12a2 ( de−d1c )
;danz¿=de ( d1a−de )
d1a2 ( de−d1c )
E¿ merupakan titik kesetimbangan endemik,artinya terjadi wabah dalam suatu
populasi. Oleh karena jumlah populasi E¿selalu bernilai positif maka x¿ , y¿ , z¿>0.
Agar hal itu terjadi maka
d1 a−de>0
d1 a>de
a> ded1
dan
de−d1 c>0
de>d1 c
22
ded1
>c
dari ekspresi di atas jelas bahwa E¿∈ R+¿3 ,¿ jika a> de
d1>c .
3.3 Kestabilan Titik Kesetimbangan
Sistem (3.6)-(3.8) mempunyai tiga titik kesetimbangan, yaitu E0 = (0, 0, 0),
E1 = (1, 0, 0) dan E* = (x*,y*,z*).
Kestabilan dari suatu titik kesetimbangan dapat dilihat dari nilai eigennya.
Apabila semua nilai eigennya bernilai negatif, maka titik tersebut stabil. Nilai
eigen sendiri dapat dicari dari persamaan karakteristik yang merupakan
determinan dari matriks Jacobi.
Matriks Jacobi dari sistem (3.6)-(3.8) adalah
J=[1−2 x−az 0 −ax+caz −d ax0 d1 −e ] (3.15)
3.3.1 Kestabilan dari Titik E0
Untuk mengetahui kestabilan titik kesetimbangan E0. Langkah pertama
adalah substitusi nilai E0=(0,0,0 ) ke (3.15), diperoleh
J (E0)=(1 0 c0 −d 00 d1 −e)
kemudian langkah kedua adalah menentukan persamaan karakteristik dengan cara
det (J (E0)−λI )=0
|(1 0 c0 −d 00 d1 −e)−(λ 0 0
0 λ 00 0 λ)|=0
23
|1− λ 0 c0 −d−λ 00 d1 −e− λ|=0
(1− λ ) (−d−λ ) (−e−λ )=0
λ=1 , λ=−d , λ=−e
diperoleh nilai eigen λ i=1 ,−d ,−e i=1,2,3. Oleh karena itu E0 adalah saddle
point. Yaitu adanya perkalian dua nilai eigen riil berbeda yang menghasilkan
negatif.
3.3.2 Kestabilan dari Titik E1
Substitusi nilai E1= (1,0,0 ) ke (3.15) diperoleh
J (E1)=(−1 0 −a+c0 −d a0 d1 −e )
kemudian menentukan persamaan karakteristik
det (J (E1)−λI )=0
|(−1 0 −a+c0 −d a0 d1 −e )−(λ 0 0
0 λ 00 0 λ)|=0
|−1−λ 0 −a+c0 −d−λ a0 d1 −e− λ|=0
(−1− λ ) (−d− λ ) (−e−λ )−a d1 (−1−λ )=0
(−1− λ ) [ (−d− λ ) (−e−λ )−ad1 ]=0
24
λ=−1 atau
[ (−d−λ ) (−e−λ )−a d1 ]=0
λ2+( d+e ) λ+( de−ad1 )=0
diperoleh nilai eigen λ=−1 dan persamaan karakteristik
λ2+( d+e ) λ+( de−a d1 )=0 (3.16)
agar E1= (1,0,0 ) stabil maka akar dari (3.16) harus negatif. Berikut ini akan
ditunjukkan kondisi sehingga akar-akar dari (3.16) bernilai negatif .
λ1+ λ2=−ba
=−(d+e)
1=−d−e<0 dengan d , e>0. Ada dua kemungkinan untuk
perkalian kedua akar persamaan (3.16) yaitu keduanya riil negatif atau riil berbeda
tanda. Untuk itu dilakukan pengecekan sebagai berikut
i. Untuk λ1 , λ2<0 maka λ1 . λ2>0 sehingga de−ad1>0 akibatnya de>a d1.
ii. Untuk λ1<0<λ2 maka λ1 . λ2<0 sehingga de−ad1<0 akibatnya de<a d1
.
Ternyata akar-akar yang negatif terdapat pada pernyataan i. Jadii akar-akar
dari persamaan (3.16) bernilai negatif ketika de>d1 a. Oleh karena itu titik
kesetimbangan E1 = (1, 0, 0) adalah lokal stabil.
3.3.3 Kestabilan dari Titik E*
Substitusi nilai E* = (x*,y*,z*) ke (3.15) diperoleh
J ¿E*¿=[1−2 x∗−az∗¿0 −a x∗+ca z∗¿−d ¿
d1¿−e¿ ]kemudian menentukan persamaan karakteristik
det ¿
25
|(1−2 x∗−a z∗¿0 −a x∗+ca z∗¿−d ¿
d1¿−e¿)−(λ 0 00 λ 00 0 λ)|=0
|(1−2 x∗−az∗−λ 0 −a+ca z∗¿−d−λ a x∗¿0 ¿
−e−λ¿)|=0
setelah dilakukan penyederhanaan diperoleh persamaan karakteristik untuk titik
kesetimbangan E* adalah [3]
P ( λ )=λ3+ A1 λ2+ A2 λ+ A3=0 (3.17)
dimana
A1=2 x¿+a z¿+d+e−1
A2= (d+e ) (2 x¿+a z¿−1 )
A3=d1a z¿ (a x¿−c )
dengan substitusi nilai x¿ dan z¿, dapat mepermudah menguji bahwa Ai>0, untuk i
= 1,2,3. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, syarat perlu dan cukup untuk semua
akar persamaan (3.17) memiliki riil negatif ketika Ai>0 ,i = 1,2,3 dan A1 A2>A3.
Dari pertidaksamaan terakhir syarat cukup untuk kestabilan yaitu d1 c (d+e)>1.
Oleh karena itu dapat dinyatakan teorema berikut [3]:
Teorema 3.1
Sistem (3.6)-(3.8) adalah stabil lokal sekitar titik kesetimbangan endemik E¿,
ketika d1 c (d+e)>1.
26
BAB IV
PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Persamaan diferensial digunakan untuk merepresentasikan fenomena-fenomena yang terjadi di kehidupan sehari-hari pada interval waktu kontinu dalam suatu model matematika. Berikut model matematika yang berkaitan dengan peran masa inkubasi dalam penularan penyakit.
dSdt
=rS(1− SK )−αSD+ᵞ1 D
dIdt
=αSD−ᵝ I
27
dDdt
=ᵝ 1 I−δD
dengan
S(t) : jumlah individu rentan pada waktu t
I(t) : jumlah individu kelas inkubasi pada waktu t
D(t) : jumlah individu terinfeksi pada waktu t
r : laju pertumbuhan intrinsik
K : daya dukung (carrying capacity)
α : laju hubungan penyakit
γ1 : perpindahan sebagian kecil dari kelas terinfeksi ke kelas rentan
β : penghapusan dari kelas inkubasi
β1 : perpindahan sebagian kecil dari kelas inkubasi ke kelas terinfeksi
δ : penghapusan dari kelas terinfeksi
dimana S(0) > 0, I(0) > 0,dan D(0) > 0 dan total populasi pada waktu t adalah
N(t) = S(t)+I(t)+D(t)
dengan r, K, α , γ1, β, β1, δ >0.
untuk menyederhanakan sistem di atas, dengan menggunakan
x= SK
; y= IK
; z=DK
;τ=rt ,
diperoleh sistem
dxdτ
=x (1−x )−axz+cz
dydτ
=axz−dy
28
dzdτ
=d1 y−ez
dengan
a=αKr
;c=γ 1
r;d= β
r;d1=
β1
r; e= δ
r
dan x (0 )>0 , y (0 )>0 , z (0 )>0.
Analisis model matematika yang berkaitan dengan peran masa inkubasi
dalam penularan penyakit menghasilkan
Ada tiga kesetimbangan untuk sistem, yaitu
(i) E0 = (0,0,0) adalah kesetimbangan trivial. Jenis kestabilan dari E0
adalah saddle point.
(ii) E1 = (1,0,0) adalah kesetimbangan bebas penyakit. Jenis kestabilan dari
E1 adalah stabil lokal ketika de>d1 a.
(iii) E* = (x*,y*,z*) adalah kesetimbangan endemik, dimana
x¿= ded1 a
; y¿=d e2 (d1 a−de )
d12a2 ( de−d1c )
;dan z¿=de ( d1a−de )
d1a2 ( de−d1c ) .
Jenis kestabilan dari E* adalah stabil lokal ketika d1 c (d+e)>1.
4.2 Saran
Pada literatur ini hanya mengkaji model matematika yang berkaitan dengan
peran masa inkubasi dalam penularan penyakit. Dengan membagi populasi
menjadi tiga kelas, yaitu kelas rentan (Susceptible), inkubasi (incubated), dan
infeksi (infected atau diseased). Untuk penulisan literatur selanjutnya dapat
dilakukan dengan penambahan kelas yaitu kelas sehat (recovered).
29
DAFTAR PUSTAKA
[1] Anton, Howard, Aljabar Linear Elementer, Edisi 5, Jakarta: Erlangga, 1987.
[2] Budhi, Wono Setya, Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunaannya, Institut
Teknologi Bandung, 2001.
[3] Joydif Dhar, Anuj Kumar Sharma, The Role Of The Incubation Period In A
Disease Model, Applied Mathematics E-Notes, 9: 146-153, 2009.
30
[4] Jumadi, Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue,
Institut Pertanian Bogor, 2008.
[5] Nur Atikah, Siti, Analisis Kestabilan Model Matematika Penyakit Chronic
Myelogenous Leukemia dengan Delay, Universitas Brawijaya, 2008.
[6] Timmreck, Thomas C, Epidemiologi Suatu Pengantar (terjemahan), Jakarta:
Penerbit Buku Kedokteran EGC, 2001. Diakses 19 Sept 2012.
[7] W. Hirsch, Morris, Stephen Smale, Robert L. Devaney, Differential
Equations, Dynamical System,and an Introduction to Chaos, Elsevier (USA),
2004.
[8] Widowati, M.Si., Sutimin, M.Si., Buku Ajar Pemodelan Matematika,
Universitas Diponegoro, 2007.
[9] http://eprints.undip.ac.id/29786/2/4_Pendahuluan.pdf, diakses 3 Agustus 2012
[10] http://artikata.com/arti-330779-inkubasi.html, diakses 6 Agusts 2012
[11] http://lib.uin-malang.ac.id/thesis/chapter_ii/07610071-khoirotul-isfiyanti.ps,
diakses 23 November 2012.
[12] http://digilib.its.ac.id/public/ITS-Master-15117-Presentation-381209.pdf,
diakses 23 November 2012
31