BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk

merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau problem pada dunia riil

dalam pernyataan matematik, sehingga diperoleh pemahaman dari problem dunia

riil menjadi lebih tepat. Representasi matematika yang dihasilkan dari proses ini

dikenal sebagai “Model Matematika”. Konstruksi, analisis dan penggunaan model

matematika dipandang sebagai salah satu aplikasi matematika yang paling penting

[8].

Model matematika digunakan dalam banyak disiplin ilmu dan bidang studi

yang berbeda. Kita dapat mencari aplikasi model matematika di bidang-bidang

seperti fisika, ilmu sosial dan politik, ekonomi, bisnis dan keuangan, problem-

problem jaringan komputer, serta ilmu biologi dan kedokteran. Diantara aplikasi

model matematika pada bidang ilmu biologi dan kedokteran adalah model

matematika yang berkaitan dengan penyakit menular. Pemodelan penyakit

menular mendapat perhatian besar dalam studi epidemiologi. Tujuan utama dari

pemodelan adalah menjawab peran infeksi penyakit dalam mengatur populasi

alami, yaitu mengurangi fluktuasi alami populasi yang terinfeksi. Dalam

epidemiologi, populasi dapat diklasifikasikan menjadi dua kelas, yaitu kelas

rentan (susceptible) dan terinfeksi (infected). Populasi rentan, rentan terhadap

infeksi dan populasi yang terinfeksi dapat memindahkan infeksi ke individu

rentan. Dalam model S-I-S ukuran jumlah populasi adalah N = S + I, dimana S

adalah populasi rentan dan I populasi terinfeksi [3].

Pada model sederhana S-I-S populasi dari kelas rentan bergabung atau

pindah ke kelas yang terinfeksi, tapi dalam prakteknya proses ini tidak tetap.

Individu tetap rentan untuk beberapa jangka waktu tertentu setelah meninggalkan

kelas rentan dan bergabung dengan kelas yang terinfeksi, masa menengah ini

dapat disebut sebagai masa inkubasi [3]. Masa inkubasi didefinisikan masa dari

1

saat penyebab penyakit masuk (saat penularan) sampai ke saat timbulnya penyakit

[10]. Masa inkubasi berguna tidak hanya untuk membuat tebakan hidup bebas

sehingga ditetapkan penyebab dan sumber infeksi, tetapi juga untuk

mengembangkan strategi pengobatan untuk memperpanjang masa inkubasi.

Menjaga pendapat di atas, dalam tulisan ini penulis akan mempelajari peran

masa inkubasi dalam penularan penyakit dengan asumsi sebagai kelas menengah,

yaitu kelas populasi inkubasi antara kelas populasi rentan dan terinfeksi.

1.2 Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah dalam pengerjaan literatur ini dapat diuraikan

sebagai berikut:

1. Bagaimana model matematika yang berkaitan dengan peran masa

inkubasi dalam penularan penyakit?

2. Bagaimana kestabilan model matematika yang berkaitan dengan peran

masa inkubasi dalam penularan penyakit?

1.3 Batasan Masalah

Pembahasan literatur ini hanya mempelajari dan menganalisis peran masa

inkubasi dalam penularan penyakit dimana hanya terdapat 3 kompartement yaitu

populasi rentan (susceptible), inkubasi (incubated), dan infeksi (infected).

Kemudian parameter yang berkaitan dengan model bernilai positif.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penulisan ini dapat diuraikan sebagai berikut:

1. Mempelajari model matematika yang berkaitan dengan peran masa

inkubasi dalam penularan penyakit.

2. Mempelajari dan menjelaskan analisis kestabilan dari model matematika

yang berkaitan dengan peran masa inkubasi dalam penularan penyakit.

2

1.5 Metode Penelitian

Metode penelitian ini hanya melalui pendekatan teoritis atau studi literatur

dari buku-buku yang berkaitan, tesis, skripsi sampai artikel-artikel yang ada di

website untuk menunjang literatur ini.

1.6 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan literatur ini hanya memuat 4 bab. Dengan perincian

sebagai berikut.

BAB I PENDAHULUAN

Pada bab ini akan dipaparkan tentang latar belakang masalah,

rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, metode

penelitian, sistematika penulisan serta kerangka berfikir dari

masalah yang dikaji.

BAB II LANDASAN TEORI

Dalam bab ini akan dipaparkan tentang landasan teori yang

dijadikan ukuran standarisasi dalam pembahasan yang terdiri dari

model matematika epidemi, sistem persamaan diferensial tak

linear, titik kesetimbangan, matriks Jacobi, nilai eigen, kestabilan

titik kesetimbangan, kriteria Routh-Hurwitz, dan bifurkasi Hopf.

BAB III PERAN MASA INKUBASI DALAM PENULARAN PENYAKIT

Dalam bab ini akan dipaparkan hasil kajian yang meliputi analisis

model matematika yang berkaitan dengan masa inkubasi dalam

penularan penyakit yang terdiri dari formulasi model, menentukan

titik kesetimbangan, serta jenis kestabilan dari titik kesetimbangan.

BAB IV PENUTUP

3

Dalam bab ini akan dipaparkan kesimpulan sebagai jawaban dari

rumusan permasalahan yang diajukan serta saran untuk

pengembangan tulisan yang berbeda dimasa yang akan datang.

DAFTAR PUSTAKA

1.7 Kerangka Berfikir

Dalam studi literatur ini penulis akan mempelajari dan menganalisis model

matematika yang berkaitan dengan peran masa inkubasi dalam penularan

penyakit. Analisis yang pertama adalah mengidentifikasi titik kesetimbangan dari

model matematika dengan cara me-nol-kan turunan pertamanya. Analisis yang

kedua adalah mengidentifikasi jenis kestabilan titik kesetimbangan. Kestabilan

titik kesetimbangan dapat ditentukan dengan memperhatikan nilai-nilai eigen

yang diperoleh dari persamaan karakteristik. Jika tanda bagian riil nilai eigen

tidak mudah ditentukan maka digunakan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz.

Berikut diagram dari kerangka berfikir tersebut

Gambar 1.1 Diagram Kerangka Berfikir

4

Analisis model

Menentukan titik kesetimbangan

Formulasi model

Menentukan jenis kestabilan

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Model Matematika Epidemi

Perilaku dinamik dari sistem untuk menganalisis dinamika penyebaran

penyakit terdapat beberapa model matematika yang sering digunakan. Model-

model tersebut memiliki konsep yang sama yaitu compartmental epidemiologi

(pembagian kelas) yang menggambarkan penyebaran penyakit dari masing-

masing kelas. Jadi dalam suatu populasi akan terbagi menjadi beberapa kelas

dimana masing-masing kelas mewakili tahapan yang berbeda. Kelas S

(susceptible) digunakan untuk mewakili individu-individu yang rentan terhadap

infeksi virus, kemudian kelas I (infectious) digunakan untuk mewakili individu-

individu yang telah terinfeksi dan mampu menularkan atau menyebarkan penyakit

ke individu pada populasi rentan, untuk kelas R (recovered) digunakan untuk

mewakili individu-individu terinfeksi yang telah sembuh dari penyakit dan

memiliki kekebalan permanen yang artinya individu tersebut tidak akan terinfeksi

lagi untuk jenis penyakit yang sama. Namun pada model SIRS, kelas

R(recovered) mewakili individu-individu yang telah sembuh dan akan terbebas

dari infeksi virus kemudian akan memasuki populasi rentan (susceptible) kembali.

Pada model-model epidemik yang memperhatikan adanya periode laten(masa

inkubasi) seperti model SEIR, MSEIR terdapat kelas E(exposed) yang digunakan

untuk mewakili individu-individu yang baru terinfeksi dan memasuki periode

latent, dalam periode ini individu tersebut tidak memiliki kemampuan untuk

menularkan penyakit ke individu lain sedangkan kelas M

(Maternallyderivedimmunity) digunakan untuk mewakili individu-individu yang

baru lahir dan memiliki kekebalan pasif yang didapatkan dari ibunya, namun hal

ini hanya berlangsung sementara kemudian individu pada kelas M ini akan

memasuki kelas rentan (susceptible). Model matematika epidemi diantaranya SIR,

SIRS, SEIR,MSEIR dan termasuk model SVID [9].

5

2.2 Sistem Persamaan Diferensial Tak Linear

Definisi 2.1

Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai

ẋ=f ( t , x ) (2.1)

dengan

x=[x1 (t )⋮

xn (t )]dan f (t , x )=[ f 1 (t , x1 , x2 , …, xn )⋮

f n (t , x1 , x2 , …, xn )]diasumsikan fungsi tak linear padax1 , x2 , …, xn. Sistem persamaan (2.1) disebut

sistem persamaan diferensial taklinear [4].

2.3 Titik Kesetimbangan

Definisi 2.2

Diberikan sistem persamaan diferensial

ẋ=f (x ) , xϵ Rn

titik ̅x disebut titik tetap atau titik kritis atau disebut juga titik kesetimbangan jika

f ( (̅ x )=0 [4].

2.4 Matriks Jacobi

Secara umum, matriks transformasi terhadap basis standar, turunan fungsi

y=f(x)¿ ( f 1 ( x1 , …, xn ) , …, f m ( x1 , …, f n ))di titik x adalah

f '( x)=[∂ f 1

∂ x1…

∂ f 1

∂ xn

⋮ ⋱ ⋮∂ f m

∂ x1…

∂ f m

∂ xn

]yaitu matriks yang berukuran m x n. Matriks ini sering kali juga ditulis sebagai

matriks

[ ∂ f i

∂ x j ]i , j

6

dan disebut Matriks Jacobi [2].

Untuk lebih jelasnya lihat contoh di bawah ini [2],

f ( x1 , x2 )=(x13−x2

3 , 3 x12 x2 , 2 x1 x2

2 )maka matriks Jacobiannya adalah

[∂ f 1

∂ x1

∂ f 1

∂ x2

∂ f 2

∂ x1

∂ f 2

∂ x2

∂ f 3

∂ x1

∂ f 3

∂ x2

]=[ 3 x12 −3 x2

2

6 x1 x2 3 x12

2x22 4 x1 x2

]2.5 Nilai Eigen

Definisi 2.3

Jika A adalah matriks n x n, maka vektor tak nol x di dalam Rn dinamakan

vektor eigen (eigenvector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x; yakni,

Ax=λx

untuk suatu skalar λ. Skalar λdinamakan nilai eigen (eigenvalue) dari A dan x

dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ.

Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran n x n maka kita

menuliskan kembali 𝐴𝑥¿ λx sebagai

Ax=λIx

atau secara ekivalen

( A−λI ) x=0

Supayaλ menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan taknol dari

persamaan ini. Persamaan di atas akan mempunyai pemecahan taknol jika dan

hanya jika

det ( A−λI )=0 (2.2)

persamaan (2.2) dinamakan persamaan karakteristik A [1].

Contoh

Carilah nilai-nilai eigen dari matriks

A=[ 3 2−1 0]

Penyelesaian:

7

Oleh karena

A−λI=[ 3 2−1 0]−λ[1 0

0 1]=[3−λ 2−1 −λ]

maka polinom karakteristik dari A adalah

det ( A−λI )=0

|3−λ 2−1 −λ|=0

(3−λ ) (−λ ) — (−2)=0

−3 λ+ λ2+2=0

λ2−3 λ+2=0

( λ−1 ) ( λ−2 )=0

λ1=1 , λ2=2

Jadi, nilai eigen adalah λ1=1 , λ2=2 [1].

2.6 Kestabilan Titik Kesetimbangan

Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial biasa sebarang

ẋ=f (x ) , xϵ Rn dengan ̅ x sebagai titik kesetimbangan. Kestabilan titik

kesetimbangan ̅x dapat ditentukan dengan memperhatikan nilai-nilai eigen, yaitu

λ i , i=1,2 , …, n , yang diperoleh dari persamaan karakteristik. Secara umum,

kestabilan titik kesetimbangan mempunyai perilaku :

1. Stabil, jika:

a. Re(λ i¿<0, untuk setiap i, atau

b. Terdapat Re(λ j ¿=0 untuk sebarang j dan Re(λ i¿<0 untuk setiap i≠j.

Stabil asimtotik terbagi menjadi dua yaitu asimtotik lokal dan

asimtotik global. Titik x dikatakan titik kesetimbangan stabil asimtotik

lokal jika titik pada x stabil dan terdapat ε>0, sedemikian sehingga jika

|x−x0|<ε maka

limt → ∞

x ( t )=¿ x¿

2. Tidak stabil, jika terdapat paling sedikit satu i sehingga Re(λ i¿>0.

3. Saddle, jika perkalian dua buah nilai eigen riil sembarang adalah negatif

(λ i λ j<0 untuk i dan j sembarang).

8

2.7 Kriteria Routh-Hurwitz

Pada permasalahan tertentu kestabilan titik kesetimbangan tidak bisa

diamati karena tanda bagian riil nilai eigen tidak mudah ditentukan, oleh karena

itu perlu digunakan metode lain untuk menentukan tanda bagian riil nilai eigen 𝜆.

Sebagai contoh untuk matrik yang berukuran n x n dengan n > 2 tanda bagian riil

nilai eigen dapat ditentukan dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh-

Hurwitz.

Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz adalah suatu metode untuk menunjukan

kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik

tanpa menghitung akar-akar karakteristik secara langsung [4].

Kriteria Routh-Hurwitz tersebut terdapat pada teorema berikut [4].

Teorema 2.1:

Diberikan persamaan karakteristik

P ( λ )=λk+a1 λk−1+a2 λk−2+…+ak−1 λ+ak=¿0

selanjutnya didefinisikan matriks Hurwitz Hj sebagai berikut:

dengan Hj = (hlm ¿ dan hlm={ a2l−m , untuk 0<2 l−m<k1, untuk 2 l=m

0 , untuk 2 l<matau 2l>k+m

Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik mempunyai bagian riil yang

negatif (titik kesetimbangan ̅x stabil) jika dan hanya jika determinan dari semua

matriks Hurwitz positif, yaitu :

det Hj>0, untuk j=1,2,...,k.

Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz untuk k = 2,3,4 disebutkan bahwa titik

kesetimbangan ̅x stabil jika dan hanya jika

k = 2, a1>0 , a2>0

k = 3, a1>0 , a3>0 , a1 a2¿ a3

k = 4, a1>0 , a3>0 , a4>0 , a1 a2a3>a32+a1

2 a4

9

Untuk kasus k = 3, kriteria Routh-Hurwitz disajikan dalam Teorema 2.2

berikut [4].

Teorema 2.2

Misalkan e0 , e1 , e2 bilangan riil. Bagian riil dari setiap nilai eigen persamaan

karakteristik

P ( λ )=λ3+e0 λ2+e1 λ+e2=0

adalah negatif jika dan hanya jika e0>0 , e2>0 , e0 e1¿e2

Bukti :

Dari persamaan P ( λ )=λ3+e0 λ2+e1 λ+e2, maka a1=e0 , a2=e1 ,dan a3=e2.

Berdasarkan teorema 2.1, bagian riil dari setiap akar persamaan karakteristik

P ( λ )=λ3+e0 λ2+e1 λ+e2 adalah negatif jika dan hanya jika det Hj>0, untuk

j=1,2,3, dengan

det H1 = |a1|=|e0|=e0>0 (2.3)

det H2 = |e0 1e2 e1|=e0e1−e2>0 (2.4)

det H3 = |e0 1 0e2 e1 e0

0 0 e2|=e0 e1 e2−e2

2>0 (2.5)

dari (2.3), diperoleh e0>0

dari (2.4), diperoleh e0 e1−e2>0

dari (2.5), diperoleh e0 e1 e2−e22=(e¿¿0e1−e2)e2>0 ¿, karena e0 e1−e2>0

sehingga diperoleh e2>0.

Dengan demikian diperoleh bahwa bagian riil dari semua akar persamaan

karakteristik P ( λ )=λ3+e0 λ2+e1 λ+e2 adalah negatif jika dan hanya jika

e0>0 , e2>0 , dan e0 e1¿e2.

Untuk lebih jelasnya, tinjau contoh di bawah ini.

P ( λ )=λ3+6 λ2+3 λ−6

Selidiki apakah persamaan karakteristik di atas memenuhi kriteria Routh-Hurwitz.

Penyelesaian :

Dari persamaan

10

P ( λ )=λ3+6 λ2+3 λ−6

maka a1=6 , a2=3 , dan a3=−6. Kemudian nilai j dari persamaan

di atas adalah 3. Maka 2j-1 = 2(3)-1 = 5. Sehingga matriks Hurwitznya hanya

sampai a5.

Untuk H1 = (a1¿=6, karena 6 positif, sehingga didapat det H1 = |6|>0.

Untuk H2 = (a1 1a3 a2

)=( 6 1−6 3), sehingga didapat det H2 = | 6 1

−6 3|=24>0.

Untuk H3 = (a1 1 0a3 a2 a1

a5 a4 a3)=( 6 1 0

−6 3 60 0 −6), sehingga didapat det H3 =

| 6 1 0−6 3 60 0 −6|=−144<0.

Oleh karena det H3¿0, maka persamaan karakteristik di atas tidak memenuhi

kriteria Routh-Hurwitz.

2.8 Bifurkasi

Bifurkasi untuk sistem non linier,

X '=Fa ( X )

dengan a adalah parameter riil [7]. Bifurkasi adalah perubahan kualitatif yang

terjadi pada penyelesaian persamaan differensial, perubahan meliputi perubahan

stabilitas dan perubahan letak titik setimbang yang diakibatkan oleh perubahan

parameter. Bifurkasi terjadi pada penyelesaian titik setimbang yang mempunyai

paling sedikit satu nilai eigen sama dengan nol pada bagian riilnya [12].

Jika x0 adalah titik kesetimbangan, maka f a ( x0 )=0. Jika f a' ( x0 ) ≠ 0, perubahan

pada a tidak merubah struktur lokal dekat x0. Bifurkasi persamaan orde pertama

hanya ada pada kasus nonhyperbolic ketika f a' ( x0 )=0 [7].

Menurut Stephen (1964 : 258) ada 4 jenis bifurkasi yaitu [11]:

1. Bifurkasi Saddle-node

2. Bifurkasi Transkritikal

11

3. Bifurkasi Pitchfork

4. Bifurkasi Hopf

Bifurkasi Hopf

Bifurkasi Hopf adalah berubahnya jenis kestabilan suatu titik

kesetimbangan suatu persamaan diferensial, yang terjadi karena munculnya

sepasang nilai eigen yang bernilai imajiner [5]. Syarat-syarat terjadinya bifurkasi

Hopf diberikan pada teorema berikut [5].

Teorema 2.3

Pandang suatu sistem otonomus yang berbentuk

x=Fμ ( x ),

dan bergantung pada parameter μ. Misalkan terdapat titik kesetimbangan xμ

dengan nilai eigen λμ=α μ± i β μ. Bila terdapat μ0, sehingga α μ0=0 dan βμ0

≠ 0, serta

d α μ

d μ∣

μ=μ0

>0, maka jenis kestabilan dari titik kesetimbangan xμ akan berubah bila

μ berubah disekitar μ0.

Untuk lebih jelasnya, tinjau contoh berikut [7] :

Diberikan sistem

x '=ax− y−x ( x2+ y2 ) (1)

y '=x+ay− y ( x2+ y2 ) (2)

Ketika x dan y kecil maka x2 dan y2 juga kecil (x2 , y2 ≈ 0), ada titik

kesetimbangan pada titik asal yaitu (0,0), dengan linearisasi diperoleh sistem :

X '=(a −11 a ) X

12

Persamaan karakteristik

|A−λI|=0

|(a −11 a )−( λ 0

0 λ)|=0

|a−λ −11 a−λ|=0

(a−λ )2−(−1)=0

(a−λ )2+1=0

(a−λ )2=−1

(a−λ )=√−1

a−λ=± i

λ=a± i

diperoleh nilai eigen a ± i, maka bifurkasi ketika a=0.

Dengan menggunakan koordinat polar

x=r cosθ → x'=r ' cosθ−r sin θ θ' (3)

y=rsin θ → y '=r ' sin θ+r cosθ θ' (4)

Kemudian substitusi persamaan (3)-(4) ke persamaan (1)-(2) diperoleh sistem

r '=ar−r3

θ'=1

Untuk a<0 sink ketika ar−r3<0,∀ r>0.

Ketika a>0 source. Ketika a>0, r '=0 jika r=√a. Lingkaran pada radius √a

adalah solusi periodik dengan periode 2π. r '>0 jika 0<r<√a, r '<0 jika r>√a.

13

Gambar 2.1 Bifurkasi Hopf untuk a<0dan a>0.

14

BAB III

PERAN MASA INKUBASI DALAM PENULARAN PENYAKIT

Untuk menjadi sakit, seseorang harus terpajan patogen yang sifatnya

infeksius. Dengan kata lain, seseorang harus diinokulasikan dengan penyakit.

Contohnya seekor nyamuk Anopheles yang menggigit (inokulasi melalui gigitan)

korban yang tidak menyangka dirinya rentan di sore hari yang hangat, yang

kemudian menulari orang tersebut dengan penyakit, seperti malaria. Masa

inkubasi adalah rentang waktu yang berlalu di antara waktu inokulasi dan waktu

penampakan tanda atau gegala pertama penyakit itu [6].

Gambar 3.1 dapat membantu memahami dengan lebih baik peran yang

dimainkan masa inkubasi dalam perjalanan suatu penyakit. Perjalanan suatu

penyakit pernapasan dan masa inkubasinya juga diperlihatkan dalam gambar ini.

Masa inkubasi berbagai penyakit sangat bervariasi, hal ini bisa dilihat pada

lampiran. Masa inkubasi juga berbeda pada orang yang memiliki sistem kekebalan

lebih aktif sehingga dapat menahan pertumbuhkembangan patogen di dalam

tubuh, yang akhirnya memperpanjang masa inkubasi. Dari hasil pengamatan

diketahui bahwa penyakit yang masa inkubasinya pendek biasanya menyebabkan

kesakitan yang lebih akut dan parah, sedangkan penyakit yang masa inkubasinya

panjang menyebabkan kesakitan yang tidak terlalu parah [6].

15

Gambar 3.1 Perjalanan suatu penyakit pernapasan infeksius.

3.1 Model Matematika yang Berkaitan dengan Peran Inkubasi dalam Penularan

Penyakit

Model matematika dari populasi ‘rentan-infeksi’ adalah sebagai berikut :

dSdt

=rS(1− SK )−bSD+ᵞ D (3.1)

dDdt

=bSD−δ D (3.2)

dengan

S (t) : jumlah individu rentan pada waktu t

D (t) : jumlah individu terinfeksi pada waktu t

r : laju pertumbuhan intrinsik

K : daya dukung (carrying capacity)

γ : perpindahan sebagian kecil dari kelas terinfeksi ke kelas rentan

b : laju hubungan penyakit

16

δ : kematian karena penyakit

Dalam studi literatur ini, sebelum individu masuk ke kelas infeksi, individu

tersebut masuk ke kelas menengah yang disebut kelas inkubasi. Masa inkubasi

didefinisikan sebagai masa dari saat penyebab penyakit masuk ke dalam tubuh

(saat penularan) sampai ke saat timbulnya penyakit [10].

Gambar 3.2 Bagan model inkubasi dalam penularan penyakit

Deskripsi dari gambar 3.2 :

Tanda ( ) menunjukkan penambahan populasi pada kelas rentan terhadap

penyakit dan pertumbuhannya logistik, dengan laju pertumbuhan intrinsik r dan

carrying capacity K. Disini diasumsikan bahwa tidak ada perpindahan secara

vertikal dari suatu penyakit (semua individu yang lahir merupakan individu yang

sehat dan rentan). Kemudian tanda ( ) menunjukkan pengurangan jumlah

individu pada kelas rentan karena adanya laju hubungan penyakit α , yaitu kontak

individu rentan dengan individu terinfeksi yang mengakibatkan individu tersebut

pindah dari kelas rentan ke kelas inkubasi. Hal ini merupakan penambahan

populasi pada kelas inkubasi. Pada kelas inkubasi akan terjadi pengurangan

populasi yang ditunjukkan dengan tanda ( ) dan ( ), yaitu kematian alami ᵝ

dan adanya perpindahan populasi dari kelas inkubasi ke kelas infeksi ᵝ 1 . Tanda (

) juga menunjukkan penambahan populasi pada kelas infeksi. Pada kelas ini akan

terjadi pengurangan populasi yang ditunjukkan dengan tanda ( ) dan ( )

17

yaitu kematian akibat penyakit δ dan perpindahan populasi dari kelas terinfeksi ke

kelas rentan ᵞ1.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa model matematika yang

berkaitan dengan peran inkubasi dalam penularan penyakit adalah :

dSdt

=rS(1− SK )−αSD+ᵞ1 D (3.3)

dIdt

=αSD−ᵝI (3.4)

dDdt

=ᵝ 1 I−δD (3.5)

dengan

S(t) : jumlah individu rentan pada waktu t

I(t) : jumlah individu kelas inkubasi pada waktu t

D(t) : jumlah individu terinfeksi pada waktu t

r : laju pertumbuhan intrinsik

K : daya dukung (carrying capacity)

α : laju hubungan penyakit

γ1 : perpindahan sebagian kecil dari kelas terinfeksi ke kelas rentan

β : penghapusan dari kelas inkubasi

β1 : perpindahan sebagian kecil dari kelas inkubasi ke kelas terinfeksi

δ : penghapusan dari kelas terinfeksi

dimana S(0) > 0, I(0) > 0,dan D(0) > 0 dan total populasi pada waktu t adalah

N(t) = S(t)+I(t)+D(t)

dengan r, K, α , γ1, β, β1, δ >0.

18

untuk menyederhanakan sistem (3.3)-(3.5), dengan menggunakan

x= SK

; y= IK

; z=DK

;τ=rt ,

diperoleh sistem

dxdτ

=x (1−x )−axz+cz (3.6)

dydτ

=axz−dy (3.7)

dzdτ

=d1 y−ez (3.8)

dengan

a=αKr

;c=γ 1

r;d= β

r;d1=

β1

r; e= δ

r

dan x (0 )>0 , y (0 )>0 , z (0 )>0.

3.2 Titik Kesetimbangan

Untuk menentukan titik kesetimbangan adalah me-nol-kan ruas kiri pada

sistem (3.6)-(3.8) sehingga turunan pertamanya bernilai nol.

0=x (1−x )−axz+cz (3.9)

0=axz−dy (3.10)

0=d1 y−ez (3.11)

lakukan eliminasi persamaan (3.9) dan (3.10)

0=x (1−x )−axz+cz

0=axz−dy

+

x (1−x )+cz−dy=0 (3.12)

19

kemudian lakukan eliminasi (3.11) dan (3.12)

x (1−x )+cz−dy=0

d1 y−e z=0

x (1−x ) = 0

x=0 atau x=1

substitusi x=0 ke persamaan (3.10) diperoleh y=0. Dengan substitusi y=0 ke

persamaan (3.11) diperoleh z=0. Sehingga diperoleh titik kesetimbangan

E0=(0,0,0 ) , dan E1= (1,0,0 ). E0 disebut titik kesetimbangan trivial, artinya ketika

tidak ada populasi rentan maka tidak akan ada populasi inkubasi dan infeksi.

Sedangkan E1 disebut kesetimbangan bebas penyakit, yaitu tidak adanya individu

yang terinfeksi.

Dari persamaan axz−dy=0

axz=dy

z=dyax

dari persamaan d1 y−ez=0

d1 y=ez

y= ezd1

dengan cara substitusi y= ezd1

ke z=dyax

z=d ( ez

d1 )ax

20

z= dezd1 ax

d1 axz=dez

x¿= ded1 a (3.13)

kemudian dengan cara substitusi (3.13) ke persamaan (3.6)

x (1−x )−axz+cz=0

x−x2+ (c−ax ) z=0

ded1a

−( ded1 a

)2

+ (c−ax ) z=0

ded1a

−( ded1 a )

2

+(c−aded1a )z=0

( c d1−ded1

)z= d2 e2

d12 a2 −

ded1a

z=(d¿¿2e2 d1 a−de d1

2 a2)d1

(d1 a ) (d12 a2 )(c d1−de)

¿

z=d2 e2d12 a−ded1

3 a2¿ ¿(d1 a ) (d1

2 a2 ) (c d1−de )

z=d1

2 a(d2 e2−ded1 a)

(d1 a ) (d12 a2 ) (c d1−de )

z=d2 e2−de d1 ad1 a2 ( cd1−de)

z=de (de−d1 a)

d1 a2 ( cd1−de)

21

diperoleh z¿=

de (d1 a−de)d1 a2 (de−d1 c )

(3.14)

Dengan cara substitusi (3.14) ke persamaan

y= ezd1

y=e(de (d1 a−de)

d1 a2 (de−d1 c )) 1

d1

diperoleh y¿=d e2 ( d1a−de )

d12 a2 (de−d1 c )

Jadi ada tiga kesetimbangan untuk sistem (3.6)-(3.8), yaitu

(i) E0 = (0,0,0) adalah kesetimbangan trivial.

(ii) E1 = (1,0,0) adalah kesetimbangan bebas penyakit.

(iii) E* = (x*,y*,z*) adalah kesetimbangan endemik, dimana

x¿= ded1 a

; y¿=d e2 (d1 a−de)

d12a2 ( de−d1c )

;danz¿=de ( d1a−de )

d1a2 ( de−d1c )

E¿ merupakan titik kesetimbangan endemik,artinya terjadi wabah dalam suatu

populasi. Oleh karena jumlah populasi E¿selalu bernilai positif maka x¿ , y¿ , z¿>0.

Agar hal itu terjadi maka

d1 a−de>0

d1 a>de

a> ded1

dan

de−d1 c>0

de>d1 c

22

ded1

>c

dari ekspresi di atas jelas bahwa E¿∈ R+¿3 ,¿ jika a> de

d1>c .

3.3 Kestabilan Titik Kesetimbangan

Sistem (3.6)-(3.8) mempunyai tiga titik kesetimbangan, yaitu E0 = (0, 0, 0),

E1 = (1, 0, 0) dan E* = (x*,y*,z*).

Kestabilan dari suatu titik kesetimbangan dapat dilihat dari nilai eigennya.

Apabila semua nilai eigennya bernilai negatif, maka titik tersebut stabil. Nilai

eigen sendiri dapat dicari dari persamaan karakteristik yang merupakan

determinan dari matriks Jacobi.

Matriks Jacobi dari sistem (3.6)-(3.8) adalah

J=[1−2 x−az 0 −ax+caz −d ax0 d1 −e ] (3.15)

3.3.1 Kestabilan dari Titik E0

Untuk mengetahui kestabilan titik kesetimbangan E0. Langkah pertama

adalah substitusi nilai E0=(0,0,0 ) ke (3.15), diperoleh

J (E0)=(1 0 c0 −d 00 d1 −e)

kemudian langkah kedua adalah menentukan persamaan karakteristik dengan cara

det (J (E0)−λI )=0

|(1 0 c0 −d 00 d1 −e)−(λ 0 0

0 λ 00 0 λ)|=0

23

|1− λ 0 c0 −d−λ 00 d1 −e− λ|=0

(1− λ ) (−d−λ ) (−e−λ )=0

λ=1 , λ=−d , λ=−e

diperoleh nilai eigen λ i=1 ,−d ,−e i=1,2,3. Oleh karena itu E0 adalah saddle

point. Yaitu adanya perkalian dua nilai eigen riil berbeda yang menghasilkan

negatif.

3.3.2 Kestabilan dari Titik E1

Substitusi nilai E1= (1,0,0 ) ke (3.15) diperoleh

J (E1)=(−1 0 −a+c0 −d a0 d1 −e )

kemudian menentukan persamaan karakteristik

det (J (E1)−λI )=0

|(−1 0 −a+c0 −d a0 d1 −e )−(λ 0 0

0 λ 00 0 λ)|=0

|−1−λ 0 −a+c0 −d−λ a0 d1 −e− λ|=0

(−1− λ ) (−d− λ ) (−e−λ )−a d1 (−1−λ )=0

(−1− λ ) [ (−d− λ ) (−e−λ )−ad1 ]=0

24

λ=−1 atau

[ (−d−λ ) (−e−λ )−a d1 ]=0

λ2+( d+e ) λ+( de−ad1 )=0

diperoleh nilai eigen λ=−1 dan persamaan karakteristik

λ2+( d+e ) λ+( de−a d1 )=0 (3.16)

agar E1= (1,0,0 ) stabil maka akar dari (3.16) harus negatif. Berikut ini akan

ditunjukkan kondisi sehingga akar-akar dari (3.16) bernilai negatif .

λ1+ λ2=−ba

=−(d+e)

1=−d−e<0 dengan d , e>0. Ada dua kemungkinan untuk

perkalian kedua akar persamaan (3.16) yaitu keduanya riil negatif atau riil berbeda

tanda. Untuk itu dilakukan pengecekan sebagai berikut

i. Untuk λ1 , λ2<0 maka λ1 . λ2>0 sehingga de−ad1>0 akibatnya de>a d1.

ii. Untuk λ1<0<λ2 maka λ1 . λ2<0 sehingga de−ad1<0 akibatnya de<a d1

.

Ternyata akar-akar yang negatif terdapat pada pernyataan i. Jadii akar-akar

dari persamaan (3.16) bernilai negatif ketika de>d1 a. Oleh karena itu titik

kesetimbangan E1 = (1, 0, 0) adalah lokal stabil.

3.3.3 Kestabilan dari Titik E*

Substitusi nilai E* = (x*,y*,z*) ke (3.15) diperoleh

J ¿E*¿=[1−2 x∗−az∗¿0 −a x∗+ca z∗¿−d ¿

d1¿−e¿ ]kemudian menentukan persamaan karakteristik

det ¿

25

|(1−2 x∗−a z∗¿0 −a x∗+ca z∗¿−d ¿

d1¿−e¿)−(λ 0 00 λ 00 0 λ)|=0

|(1−2 x∗−az∗−λ 0 −a+ca z∗¿−d−λ a x∗¿0 ¿

−e−λ¿)|=0

setelah dilakukan penyederhanaan diperoleh persamaan karakteristik untuk titik

kesetimbangan E* adalah [3]

P ( λ )=λ3+ A1 λ2+ A2 λ+ A3=0 (3.17)

dimana

A1=2 x¿+a z¿+d+e−1

A2= (d+e ) (2 x¿+a z¿−1 )

A3=d1a z¿ (a x¿−c )

dengan substitusi nilai x¿ dan z¿, dapat mepermudah menguji bahwa Ai>0, untuk i

= 1,2,3. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, syarat perlu dan cukup untuk semua

akar persamaan (3.17) memiliki riil negatif ketika Ai>0 ,i = 1,2,3 dan A1 A2>A3.

Dari pertidaksamaan terakhir syarat cukup untuk kestabilan yaitu d1 c (d+e)>1.

Oleh karena itu dapat dinyatakan teorema berikut [3]:

Teorema 3.1

Sistem (3.6)-(3.8) adalah stabil lokal sekitar titik kesetimbangan endemik E¿,

ketika d1 c (d+e)>1.

26

BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Persamaan diferensial digunakan untuk merepresentasikan fenomena-fenomena yang terjadi di kehidupan sehari-hari pada interval waktu kontinu dalam suatu model matematika. Berikut model matematika yang berkaitan dengan peran masa inkubasi dalam penularan penyakit.

dSdt

=rS(1− SK )−αSD+ᵞ1 D

dIdt

=αSD−ᵝ I

27

dDdt

=ᵝ 1 I−δD

dengan

S(t) : jumlah individu rentan pada waktu t

I(t) : jumlah individu kelas inkubasi pada waktu t

D(t) : jumlah individu terinfeksi pada waktu t

r : laju pertumbuhan intrinsik

K : daya dukung (carrying capacity)

α : laju hubungan penyakit

γ1 : perpindahan sebagian kecil dari kelas terinfeksi ke kelas rentan

β : penghapusan dari kelas inkubasi

β1 : perpindahan sebagian kecil dari kelas inkubasi ke kelas terinfeksi

δ : penghapusan dari kelas terinfeksi

dimana S(0) > 0, I(0) > 0,dan D(0) > 0 dan total populasi pada waktu t adalah

N(t) = S(t)+I(t)+D(t)

dengan r, K, α , γ1, β, β1, δ >0.

untuk menyederhanakan sistem di atas, dengan menggunakan

x= SK

; y= IK

; z=DK

;τ=rt ,

diperoleh sistem

dxdτ

=x (1−x )−axz+cz

dydτ

=axz−dy

28

dzdτ

=d1 y−ez

dengan

a=αKr

;c=γ 1

r;d= β

r;d1=

β1

r; e= δ

r

dan x (0 )>0 , y (0 )>0 , z (0 )>0.

Analisis model matematika yang berkaitan dengan peran masa inkubasi

dalam penularan penyakit menghasilkan

Ada tiga kesetimbangan untuk sistem, yaitu

(i) E0 = (0,0,0) adalah kesetimbangan trivial. Jenis kestabilan dari E0

adalah saddle point.

(ii) E1 = (1,0,0) adalah kesetimbangan bebas penyakit. Jenis kestabilan dari

E1 adalah stabil lokal ketika de>d1 a.

(iii) E* = (x*,y*,z*) adalah kesetimbangan endemik, dimana

x¿= ded1 a

; y¿=d e2 (d1 a−de )

d12a2 ( de−d1c )

;dan z¿=de ( d1a−de )

d1a2 ( de−d1c ) .

Jenis kestabilan dari E* adalah stabil lokal ketika d1 c (d+e)>1.

4.2 Saran

Pada literatur ini hanya mengkaji model matematika yang berkaitan dengan

peran masa inkubasi dalam penularan penyakit. Dengan membagi populasi

menjadi tiga kelas, yaitu kelas rentan (Susceptible), inkubasi (incubated), dan

infeksi (infected atau diseased). Untuk penulisan literatur selanjutnya dapat

dilakukan dengan penambahan kelas yaitu kelas sehat (recovered).

29

DAFTAR PUSTAKA

[1] Anton, Howard, Aljabar Linear Elementer, Edisi 5, Jakarta: Erlangga, 1987.

[2] Budhi, Wono Setya, Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunaannya, Institut

Teknologi Bandung, 2001.

[3] Joydif Dhar, Anuj Kumar Sharma, The Role Of The Incubation Period In A

Disease Model, Applied Mathematics E-Notes, 9: 146-153, 2009.

30

[4] Jumadi, Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue,

Institut Pertanian Bogor, 2008.

[5] Nur Atikah, Siti, Analisis Kestabilan Model Matematika Penyakit Chronic

Myelogenous Leukemia dengan Delay, Universitas Brawijaya, 2008.

[6] Timmreck, Thomas C, Epidemiologi Suatu Pengantar (terjemahan), Jakarta:

Penerbit Buku Kedokteran EGC, 2001. Diakses 19 Sept 2012.

[7] W. Hirsch, Morris, Stephen Smale, Robert L. Devaney, Differential

Equations, Dynamical System,and an Introduction to Chaos, Elsevier (USA),

2004.

[8] Widowati, M.Si., Sutimin, M.Si., Buku Ajar Pemodelan Matematika,

Universitas Diponegoro, 2007.

[9] http://eprints.undip.ac.id/29786/2/4_Pendahuluan.pdf, diakses 3 Agustus 2012

[10] http://artikata.com/arti-330779-inkubasi.html, diakses 6 Agusts 2012

[11] http://lib.uin-malang.ac.id/thesis/chapter_ii/07610071-khoirotul-isfiyanti.ps,

diakses 23 November 2012.

[12] http://digilib.its.ac.id/public/ITS-Master-15117-Presentation-381209.pdf,

diakses 23 November 2012

31