Post on 06-Sep-2018
1
Optik ModerenS3 Fisika
2
I. Gelombang EM
II. Interaksi Gelombang EM dengan Materi
III. Refleksi dan Refraksi Gelombang Bidang
IV. MEDIA BERLAPIS ISOTROPIK
V. MEDIA BERLAPIS PERIODIK 1-D
7. GELOMBANG TERPANDU DALAM MEDIA BERLAPIS
8. OPTIK NONLINIER
3
I. Gelombang EM
1.1 Persamaan Maxwell
0)4(
)3(
x)2(
x)1(
=∇
=∇
+∂∂
=∇
∂∂
−=∇
•
•
B
D
JtDH
tBE
r
r
rr
r
rr
ρ
( )HB
EDrr
rr
μ
ε
=
=
)6(
5
muatanrapatkaruslistrirapat
bahanmagnet taspermeabilibahan;dalaminduksimagnetmedanvektor
bahanlistrik taspermittivibahan;dalamlistrikpergeseranvektor
magnetmedanvektor listrik;medanvektor
==
==
==
==
ρ
μ
ε
J
B
D
HE
r
r
r
rr
4
Bahan optik bersifat dielektrik, isolator dan nonmagnetik:
ρ=0, J=0
0)4(
0)3(
x)2(
x)1(
=∇
=∇∂∂
=∇
∂∂
−=∇
•
•
B
DtDH
tBE
r
r
rr
rr
HB
ED
o
rr
rr
μ
ε
=
=
)6(
)5(bahandalamcahayakecepatan,c
bahanbiasindeks;
bahandielektriktetapan;
hamparuangdalamcahayakecepatan;1
dielektrikbahandalamcahayakecepatan;1
n
n
c
r
or
oo
o
=
=
=
=
=
ν
ε
εεε
με
εμν
5
1.2 Syarat Batas di batas dua bahan dielektrik
Divergensi Gauss:
⊥⊥−
⊥⊥−
=→=
=→=
•
•
221121
2121
0)(
0)(
EEDDn
BBBBn
εεrrr
rrr
2 1
n
2 1
n Teorema Stokes:
//2//112
//2//112
0)ˆ(xˆ
0)(xˆ
BBHHn
EEEEn
=→=−
=→=−
r
rr
∫∫ •• =∇ ldFdSnFrrr
ˆx
∫∫ •• =∇ dSnFdVF ˆrr
6
1.3 Persamaan Gelombang dalam bahan dielektrik
0atau0
)3()()x(x
x:)5(&)2(
x)x(x:)6(&)1(
2
2
2
22
2
22
2
22
22
2
2
=∂∂
−∇=∂∂
−∇
∂∂
−=∇−
−∇=∇−∇∇=∇∇
∂∂
=∇∂∂
∇∂∂
−=∇∇
•
tE
cnE
tEE
tEE
EEEE
tEH
t
Ht
E
o
o
o
rr
rr
rr
rrrr
rr
rr
εμ
εμ
ε
μ
7
Gelombang bidang
).(2
).(1
ˆ
ˆrkti
o
rktio
eHuH
eEuErr
rr
r
r
−
−
=
=ω
ω
Eo dan Ho adalah amplitudo kompleks, konstan dalam ruang dan waktu.
0ˆ0
0ˆ0
2
1
=→=∇
=→=∇
••
••
kuH
kuErr
rr
Artinya, amplitudo tegak lurus terhadap arah penjalaran.
Dari pers. Maxwell (1): oo
o EHk
ukuμε
== danˆxˆ 1
2 r
r
kr
1u
2unn o
oo Ω≈==
3771εμ
εμ
η
Adalah impedansi material; impedansi ruangvakum=377Ω
8
1.4 Rapat energi dan Fluks energi
Cahaya membawa energidalam bentuk radiasi gelombang EM.
Dua aspek penting dari elektromagnet:
1. Rapat energi yang tersimpan dalam gelombang EM,
2. Fluks energi terkait dengan gelombang EM tersebut.
Dari pers.Maxwell (2):
DEHEEJ t
rvrvrr∂−∇= ... )x(
Identitas vektor: )x()x()x( ... HEEHHErvrrrr
∇−∇=∇
US
DEBHHEEJ
t
tt
∂−−∇=
∂−∂−−∇=r
rvrrrrrr
..... )x(sehingga:
9
EJUS t
rrr .. −=∂+∇
DEBHUDEBHtU
tt
rvrrrvrr .... +=→∂+∂=∂∂
HESrrr
x=
Rapat energi (Joule/m3)
Fluks energi atau vektorpoynting (Watt/m2).
Sr.∇ merupakan daya EM yang mengalir keluar dari unit volum.
Merupakan persamaan kontinuitas, atau hukumkekekalan energi untuk gelombang EM.
EJUS t
rrr .. −=∂+∇
10
II. Interaksi Gelombang EM dengan Materi
2.1 Konstanta dielektrik, indeks bias
Kehadiran medan listrik dalam bahan menyebabkan pergeseran posisi muatanpositip dan muatan negatif dalam setiap atom.
Dalam bahan dielektrik, pergeseran itu menginduksikan momen dipol:
Eprr α= α=polarizabilitas atom
Jika N=jumlah atom/unit volum, maka polarisasi listrik yang terjadi adalah:
EP
ENpNP
o
rr
rrr
χε
α
=
==
o
Nεαχ = χ=suseptibilitas listrik bahan
Konstanta dielektrik bahan: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+=
ooo
Nεαεχεε 1)1(
Indeks bias: n2=εr=ε/εoo
Nnεαχ +=+= 11
11
2.2 Indeks bias dengan model elektron
Misalkan medan listrik yang mengenai atom: tioeEE ω=
Karena keelastisan elektron, persamaan geraknya:
tioo eeExm
dtdxm
dtxdm ωωγ −=++ 22
2
x=posisi elektron relatif terhadap inti atom, m=massa elektron, ωo= frekuensieigen dari elektron, γ=koefisien redaman.
)( 22 γωωω imeEx
o +−−
=
Momen dipol terinduksi: Eim
eexpo )( 22
2
γωωω +−=−=
Solusi stasioner:
Jadi, polarizabilitas atom:)( 22
2
γωωωα
ime
o +−=
12
Indeks bias bahan:)(
1 22
2
γωωωε imNen
oo +−+=
Jika suku ke dua dalam tanda akar sangat kecil terhadap 1, maka
)(21 22
2
γωωωε imNen
oo +−+≈
1. N dan ωo bergantung pada bahan. Jelas bahwa indeks bias bergantungpada frekuensi cahaya ω.
2. Jika ω dinaikkan mendekati ωo, indeks bias juga akan naik. Ini berlakupada semua bahan transparan. Indeks bias untuk cahaya biru > indeksbias untuk cahaya merah. Fenomena ini disebut dispersi.
3. Karena iγω, indeks bias menjadi kompleks:
4444 34444 2144444 344444 21imajinerril
22222
2
22222
222
)(2)(2)(
1ωγωωε
γωωγωωε
ωω+−
−+−
−+≈
oooo
o
mNei
mNe
n
13
)( kztioeEE −= ω
Tinjau gelombang EM menjalar sepanjang sb-z:
λπ2;)"'( =−== ooo kkinnnkk
Tuliskan: n=n’-in”
Komponen imajiner dari indeks bias menyebabkan atenuasi amplitudosepanjang penjalarannya.
)'(" zkntizkno
oo eeEE −−= ω
14
2.3 Indeks bias logam
Di dalam logam terdapat banyak elektron bebas; dengan medan listrikelektron-elektron bebas bergerak. Jadi ωo=0, dan indeks bias menjadi:
)(1 2
2
γωωε imNen
o −−=
Jika γ<< ω:2
2
1ωω pn −=
mNe
op ε
ω2
= Frekuensi plasma elektron
Untuk ω>ωp: n ril, gelombang menjalar bebas dalam logam.
Untuk ω<ωp: n imajiner murni, gelombang teratenuasi dalam logam.
Aluminium, tembaga, emas dan perak: N~1023/cm3 , ωp~2x1016s-1; jadi untuk sinar tampak ω<ωp sehingga n imajiner.
Secara umum, karena γ finit maka logam memiliki n kompleks.
Emas: n=0,84+ i1,84 pada 0,5 μm
n=0,18+ i6,04 pada 1 μm
15
2.4 Pulsa optik dan kecepatan grup
Dalam berbagai aplikasi, laser diopersikan dalam bentuk pulsa.
Penjalaran pulsa laser dalam bahan linier (P=εoχE), bisa dinyatakan sebagaisuperposisi dari gelombang-gelombang bidang dengan berbagai frekuensi.
Misalkan A(k) menyatakan amplitudo dari komponen gelombang bidangdengan k=bilangan gelombang. Pulsa dapat dituliskan:
∫∞
∞−
−= dkekAtz kzti )()(),( ωψ
di mana dimisalkan k dan ω(k) ril.
Hubungan antara ω dan k disebut hubungan dispersi.
Misalkan ωo= pusat frekuensi dengan ko= bilangan gelombangnya, dan Δωdisekitar ωo adalah pelebaran frekuensi dengan Δk pelebaran bilangangelombangnya. Ekspansi Taylor dari ω(k) adalah:
4434421abaikan
.....................)()(0
+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+= oo kk
dkdk ωωω
16
Substitusikan ke ψ(z,t):
∫∞
∞−
−−−≈ dkekAetz oooo kkztdkdizkti )]()/[()( )(),( ωωψ
∫∞
∞−
−−=− dkekAtdkdzE oo kkztdkdio
)]()/[()(])/([ ωω
Integral di atas merupakan fungsi envelop,
dan dituliskan:
])/([),( )( tdkdzEetz ozkti oo ωψ ω −= −
ψ(z,0)
z
ko k
)(kA
og dk
dv ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=ω
disebut kecepatan grup dari pulsa
o
of k
vω
= disebut kecepatan fasa≠kecepatan grup
17
Dispersi materialBilangan gelombang:
cnk ω
=
og dk
dv ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=ω
ωω ddnncvg /+
=
Jadi, kecepatan fasa > kecepatan grup.
Kecepatan grup bergantung pada frekuensi cahaya.
Kecepatan fasa :ncv f =
Kecepatan grup:
serat optik
Pelebaran pulsa
18
III. Refleksi dan Refraksi Gelombang Bidang
).( rktii
ieErrr
−ω
ikr
).( rktir
reErrr
−ω
rkr
tkr
).( rktit
teErrr
−ω
iθrθ tθ
21 nn
x
z cnkk riω
1==rr
cnktω
2=r
tri kkkrrr
,,
yang disebut bidang datang.
Komponen tangensial ketiga medan itusama:
tzrziz
ttrrii
kkk
kkk
==
== θθθ sinsinsinrrr
ttiiri nn θθθθ sinsin; ==
terletak dalam bidang-xz
Hk. Snellius
3.1 Hukum Snellius
19
3.2 Refleksi dan Transmisi
H1
E1
H’1
E’1 H2
E2
21 nn
z
x
TE atau gel-s
H1E1
H’1
E’1
H2
E2
21 nn
z
x
TM atau gel-p
+
1θ2θ
1θ2θ
Solusi umum dari persamaan gelombang dalam setiap medium merupakansuperposisi dari gelombang datang dan gelombang pantul:
H’2E’2 H’2
E’2+
⎪⎩
⎪⎨⎧
>+
<+=
−−
−−
0;)'(
0;)'(.'
2.
2
.'1
.1
22
11
xeeEeE
xeeEeEE
tirkirki
tirkirki
ω
ω
rrrr
rrrr
rr
rrr
EiHo
rrx∇=
ωμ
20
E1
H’1
E’1 H2
E2
21 nnz
x
TE atau gel-s
1θ2θ
H’2E’2
Kontinuitas Ey dan Hz di x=0:
22221111
2211
cos)'(cos)'(:
'':
θθ ssssz
ssssy
EEnEEnH
EEEEE
−=−
+=+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
s
ss
s
ss E
ED
EE
D2
2
1
1
')2(
')1(
2,1;coscos
11)( =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
= inn
iDiiii
s θθ
disebut matriks dinamis dari gel-s.
21
Koefisien refleksi:
iiixxx
xx
Es
ss
nkkkkk
nnnn
EEr
s
θλπ
θθθθ cos2
coscoscoscos
'
21
21
2211
2211
0'1
1
2
=+−
=+−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=
Koefisien transmisi:
xx
x
Es
ss
kkk
nnn
EE
ts
21
1
2211
11
0'1
2
2coscos
cos22
+=
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=
θθθ
Reflektansi:2
ss rR =
Transmittans:x
xss k
ktT
1
22=
22
TM atau gel-p
H1E1
H’1
E’1
H2
E2
21 nn
z
x
+
1θ2θ
H’2E’2+
)'()'(:
cos)'(cos)'(:
222111
222111
ppppy
ppppz
EEnEEnH
EEEEE
−=−
+=+ θθ
Kontinuitas Ez dan Hy di x=0:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
p
pp
p
pp E
ED
E
ED
2
2
1
1
')2(
')1(
2,1;coscos
)( =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
= inn
iDii
iip
θθ
disebut matriks dinamis dari gel-p.
23
Koefisien refleksi:
xx
xx
Ep
pp
knknknkn
nnnn
EE
rp
1222
21
1222
21
1221
1221
0'1
1
coscoscoscos
'
2
+−
=+−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=
θθθθ
Koefisien transmisi:
xx
x
Ep
pp
knknknn
nnn
EE
tp
1222
21
121
1221
11
0'1
2
2coscos
cos22
+=
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=
θθθ
Reflektansi:2
pp rR =
Transmittans:x
xpp k
ktT1
22=
24
n1=1
θ1
7,12 =n
x
z
Reflektans dielektrik-dielektrik, n1<n2.
Reflektans gelombang-s terus naik hingga sudut maksimum.
Reflektans gelombang-p mempunyai harga minimum.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Sudut datang
Ref
lekt
ans
s
p
25
3.3 Refleksi total internal
2211 sinsin θθ nn =
Jika n1>n2: 12 θθ >
Agar θ2=90o, )/(sin 121
1 nnc−=→ θθ
Jika θ1>θc terjadi refleksi total dari semua energi cahaya. Sudut θ2 menjadi:
2
2
1
2
12
11
2
12
cos1sinsin
sinsin
1cos
1sinsin
sinsin
θθθ
θθ
θ
θθ
θθ
ii
nn
cc
c
−=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
>==
θ1
2n
n1>n2
x
zθ2
1kr
'1kr
2kr
Cos θ2 berharga imajiner; transmisi meluruh eksponensial terhadap x.)sin().(
222 θωω zktiqxrkti eeeE −−− =∝
rr
26
Total internal reflection terjadi pada θ1>θc.
oc
c
nn
nnnn
360.1,7.1
;sin
21
211
211
=→==
>⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=> −
θ
θθ
θ1
12 =n
n1=1,7
x
z
Reflektans dielektrik-dielektrik, n1>n2.
θc=55,4o0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sudut datang
Ref
lekt
ans
TIR
ps
θc
Penjalaran gelombang dalam serat optik berlangsung dengan TIR.
27
1
coscoscoscos
;coscoscoscos
1221
1221
2211
2211
==
+−
−−=
−
+=
ps
ps
rr
ninnin
rinninn
rθθθθ
θθθθ
Koefisien refleksi pada saat refleksi total:
Semua energi cahaya direfleksikan secara total.
Perbedaan sinar datang dan sinar terpantulhanya pada fasa.
Misalkan r∼eiφ, maka
2/1
12
21
21
sin1sinsin
2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
= −
φθθ
φ cs tg
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
+−= −
2
2
1
2/1
12
21
21
sin1sinsin
2nn
tg cp φ
θθπφ
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Sudut datang
Fas
a/pi
0.17.1
2
1
==
nn
φs
φp+π
28
3.4 Gelombang evanesen
Berkas cahaya transmisi: ).(2
2 rktieErr
−∝ ω
)cossin(. 2222 θθ xzkrk +=rr
1122 sinsin θθ kk =
1)sin/(sin)sin/(sin1cos 21
212 −−=−= cc i θθθθθ
Saat berlangsung refleksi total:
1122 sinsin θθ nn =
0]1)sin/[(sincos 2/121222 >−== ckikq θθθ
)sin(2
11 θω zktiqx eeE −−∝
E2 menjalar diperbatasan sepanjang sb-z, dengan amplitudo yang mengalamipengecilan eksponensial terhadap x. Gelombang ini disebut gelombangevanesen.
qxe−
mxqxmqnmnn μλ 35.11Untuk.10x388.7630,4.1,7.1 1521 =→==→=== −
x
zE2
29
2222 x1x EkEiHoo
rrrr
ωμωμ=∇=
).(2
2 rktieErr
−∝ ω
qx
o
eEkHES 22
2221 Re
21*]xRe[ −
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡==
rrrrr
ωμ
qx
ox eEkxS 22
22.ˆRe2
1 −
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
rr
ωμ
iqik
kxzxkkx
c −=−−=
=+=
1)sin/(sin
cos)cosˆsinˆ(.ˆ.ˆ2
12
222222
θθ
θθθr
)cosˆsinˆ( 2222 θθ xzkk +=r
0=xS
Harga rata-rata komponen-x dari vektor poynting:
Artinya, pada saat refleksi total tidak ada transmisi cahaya melalui perbatasan.
zx
30
3.5 Reflektans permukaan bahan penyerap
Bahan penyerap seperti logam mempunyai indeks bias kompleks: "' innn −=
"2
'221 ;1 innnn −==
2n
1θ
1n2
"2
'21 sin)(sin θθ inn −=
2θ
x
z
Snellius:
Koefisien refleksi:
1221
1221
coscoscoscos
θθθθ
nnnn
rp +−
=
2211
2211
coscoscoscos
θθθθ
nnnn
rs +−
=
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.96
0.965
0.97
0.975
0.98
0.985
0.99
0.995
1
1.005
Sudut datang
Ref
lekt
ans
p
sn1=1.0
n2=0.05-i 2.87 (Ag 500 nm)
31
Pada sudut di mana reflektansgelombang-p minimum, foton-fotoncahaya dari gelombang evanesenterpakai untuk menggerakkanelektron-elektron bebas di permukaanlogam; dengan itu terbentukgelombang kerapatan elektron.
Gelombang kerapatan elektron inidisebut surface plasmon.
0 20 40 60 800.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
1
Incident angle (degree)
Ref
lect
ance
Karena frekuensi foton sama dengan frekuensi eigen plasmon, makafenomena ini disebut Surface Plasmon Resonance (SPR).
Surface Plasmon
s
p
32
Penjelasan Surface Plasmon
x
n1
ncore
n2
x=-d
x=0
z )()(),,( ztiyy exEtzxE βω −=
β=komponen-z dari vektor gelombang.
Tinjau gelombang-s (TE):Hr
Er
0)(0 22
22
2
2
2
2
2
22 =−+
∂
∂→=
∂
∂−∇ y
yyy E
cn
xE
tE
cnE βω
→<−
→>−
0
0
22
22
22
22
βω
βω
cn
cn Solusi merupakan gelombang menjalar.
Solusi merupakan fungsi eksponensial menurun
Jadi, agar gelombang menjalar dalam teras, maka selain TIR juga harus dipenuhi:
teras
selubung
selubung
2
222
2
222
2
221 ,
cn
cn
cn coreωβ
ωω<<
33
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−<+
<<−−>
=+
−
dxehdhphdCxdhxhphxC
xCexE
dxq
px
y
,]sin)/([cos0],sin)/([cos
0;)(
)(
22
221
222 )/(;)/(;)/( cnpcnqcnh core ωβωββω −=−=−=
Dengan menggunakan syarat kontinuitas di x=0 dan x=-d dari Ey dan Hz, akan diperoleh solusi persamaan gelombang:
)/1(tg 2hpqh
qphd−+
=
34
)()(),,( ztiyy exHtzxH βω −=
Tinjau gelombang-p (TM):
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−<+−
<<−+−>−
=+
−
dxehdhdphCxdhxhxphC
xCephxH
dxq
px
y
,]sincos)/[(0],sincos)/([
0;)/()(
)(
yxz
yzx
HitzxE
HitzxE
∂−=
∂=
ωε
ωε
),,(
),,(
qnnqpnnpqphqphhd corecore
21
222 )/(;)/(;)(tg ==
−+
=
Dengan menggunakan syarat kontinuitas di x=0 dan x=-d dari Hy dan Ez, akan diperoleh solusi persamaan gelombang:
35
Sistem 2-lapisan, d=0:
n1n2
x
z
0qp,karenaterjadimungkintidak0:sGel >=+− qp
;0:pGel 21
22
=+−nq
np
0
cnnnn ωβ
2/1
22
21
22
21
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=2
22
21
412
2
22
21
422 ; ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
=cnn
nq
cnnn
p ωω
00Karena 22
21 <+→> nnβ
(?)imajiner2n→0maka0Karena 22
21 <> nn
36
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
≤=
−−
−
0
0),,(
)(
)(
xeeC
xeeCtzxH
ztipx
ztiqx
yβω
βω
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
≤
=−−
−
0
0),,(
)(22
)(21
xeCen
xeCen
tzxEztipx
o
ztiqx
ox
βω
βω
ωεβωεβ
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥−
≤
=−−
−
0
0),,(
)(22
)(21
xeCen
ip
xeCen
iq
tzxEztipx
o
ztiqx
oz
βω
βω
ωε
ωε
37
Ketiga komponen medan menjalar diperbatasan dielektrik/ logam sepanjang sb-z; amplitudo masing2 mengecil secaraeksponensial di dalam dielektrik dan logam.
Karena p>q>0, maka amplitudo itu lebihcepat padam di dalam logam.
Komponen2 Ex dan Ez membentukpolarisasi ellips di atas bidang-xz dekatdengan batas dielektrik-logam.
E(x<0)
E(x>0)
x
z
x
z
n1
n2
qxe
pxe−
38
Kebanyakan logam memiliki tetapan dielektrik (n2) yang kompleks.
Penjalaran gelombang permukaan pada perbatasan antara logamdan bahan dielektrik mengalami hambatan ohmik.
Oleh sebab itu penjalaran akan mengalami atenuasi sepanjangsumbu-z.
222
22
222222 2 nninnnninn ′′′−′′−′=→′′−′=
βββωβ ′′−′=→⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
= icnn
nn2/1
22
21
22
21
39x
z
n1
n2
qxe
pxe−
[ ] cnnnnn
nnncnnn
nnn ωβωβ 2/1322
22
21
22
22
3122
2/1
22
22
21
22
22
21
))((;
)()(
′′−′+′′−′
′′′=′′⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡′′−′+′′−′
=′
Konstanta penjalaransepanjang sb-z.
Konstanta atenuasisepanjang sb-z.
⎪⎩
⎪⎨⎧
≥
≤∝
−
′′−
00
,,xexe
eEEHpx
qxz
zxyβ
40
3.6 Lapisan homogen dan isotropik
x
n1
n2
n3
x=-d/2
x=d/2z
)()(ˆ),,( ztiyy exEytzxE βω −=
r
β=komponen-z dari vektor gelombang.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
<<−+
−<+
=−
−
−
2/,
2/2/,
2/,
)(3
22
11
dxFe
dxdDeCe
dxBeAe
xExik
xikxik
xikxik
y
x
xx
xx
Tinjau gelombang-s (TE):
iiiix nccnk θωβω cos)/()/( 22 =−=
Medan magnet bisa ditentukan dengan:
yo
EiHrr
x∇=ωμ
)(
)(
)(),,(
;)(),,(
ztiyx
oz
ztiy
ox
exEitzxH
exEtzxH
βω
βω
ωμ
ωμβ
−
−
∂=
−=
Hr
Er
41
)()( )()(),,( ztiz
ztix
oz exHexEitzxH βωβω
ωμ−− =∂=
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
>
<<−−
−<−
=
−
−
−
2/,
2/2/),(
2/),(
)(
3
22
11
3
2
1
dxFek
dxdDeCek
dxBeAek
xH
xik
o
x
xikxik
o
x
xikxik
o
x
z
x
xx
xx
ωμ
ωμ
ωμ
Kontinuitas Ey dan Hz berlaku di x=0 dan x=d:
FkDeCek
FDeCe
DCkBAkDCBA
xdikdik
x
dikdikxx
xx
xx
32
21
)(
)()(
22
22
=−
=+
−=−+=+
−
−
42
dkixxxxxxxx
dikxx
x
x
ekkkkkkkkekk
AF2
2
232213221
21
))(())((4
−
−
−−+++=
dkixxxxxxxx
dkixxxxxxxx
x
x
ekkkkkkkkekkkkkkkk
AB2
2
232213221
232213221
))(())(())(())((
−
−
−−+++−+++−
=
Koefisien refleksi 2-lapisan:xx
xx
xx
xx
kkkk
rkkkk
r32
3223
21
2112 ;
+−
=+−
=
Koefisien transmisi 2-lapisan:xx
x
xx
x
knknknn
tknkn
knnt
2233
22
23223
1222
21
12112
2;
2+
=+
=
Koefisien refleksi dan transmisi sistem 3-lapisan di atas
AFt
ABr == ;
43
dki
dik
dkixxxxxxxx
dikxx
x
x
x
x
errett
ekkkkkkkkekk
AFt
2
2
2
2
22312
2312
232213221
21
1
))(())((4
−
−
−
−
++
=
−−+++==
Jadi untuk sistem 3-lapisan di atas:
dki
dki
dkixxxxxxxx
dkixxxxxxxx
x
x
x
x
errerr
ekkkkkkkkekkkkkkkk
ABr
2
2
2
2
22312
22312
232213221
232213221
1
))(())(())(())((
−
−
−
−
++
=
−−+++−+++−
==
xx
xx
knknknkn
r2
222
21
2222
21
12 +−
=xx
xx
knknknkn
r2
233
22
2233
22
23 +−
=
xx
x
knknknn
t2
233
22
23223
2+
=xx
x
knknknn
t1
222
21
12112
2+
=
Untuk gel-p, rumusan di atas tetap berlaku dengan:
44
Reflektans, transmittans dan absorptans:
)(1;coscos
; 2
11
332 TRAtnn
TrR +−===θθ
332211 sinsinsin θθθ nnn ==
45
2
22312
22312
1
rR
errerr
r ipp
ipp
=
++
= −
−
φ
φ
22 cos2 θλπφ dn=
n1
n2
n3
x
θ2d
θ3
θ1
3.7 Attenuation Total Reflection (ATR)
Gunakan gelombang-p
46
1221
122112 coscos
coscosθθθθ
nnnnr
+−
=
2332
233223 coscos
coscosθθθθ
nnnn
r+−
=
2
23
23 sin1cos ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= θθ
nn
Dengan rumusan di atas telah dibuat program komputer untuk R.
2
22
12 sin1cos ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= θθ
nn
47
Hasil-hasil perhitungan:
d=50nmn3
n1θ1
n2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Sudut datang
Ref
lekt
ans
n1=1.723n2=2.0 n3=1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Sudut datang
Ref
lekt
ans
n1=1.723n2=1.6 n3=1
λ=633 nm
48
0 20 40 60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Incident angle (degree)
Ref
lect
ance
n1=1.723n2=0.173+i 3.422 (Au pada 633nm)d=50 nmn3=1
dn3
n1θ1
n2
Surface plasmon
49
35 36 37 38 39 400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Incident angle (degree)
Ref
lect
ance
n3=1
50
35 36 37 38 39 400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Incident angle (degree)
Ref
lect
ance
n3=1.005
51
IV. MEDIA BERLAPIS ISOTROPIK
4.1 Perumusan Matriks
Perhatikan lapisan medium dielektrik ini.
Karena setiap lapisan itu homogensepanjang sumbu-z, maka gelombangbidang yang memenuhi persamaanMaxwell adalah (untuk gel-s):
)()(),,( ztiyy exEtzxE βω −=
βadalah komponen-z dari vektor gelombang. Untuk gel-p, ganti Ey dengan Hy.
Ey(x) dapat dinayatakan sebagai superposisi gelombang menjalar ke kanan danke kiri; pada setiap lapis berlaku:
)()()( xBxAeLeRxE xikxiky
xx +=+= −
x
z
n1
A1
B1
n2
A’2 A2
B’2 B2
n3
A’3B’3
x=0 x=d
di setiap perbatasan dua medium
52
Sesuai dengan rumusan refleksi-transmisi (hal.19):
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛→⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −'2
'2
12'2
'2
21
11
1'2
'2
21
11
~~~~~B
AD
B
ADD
BA
B
AD
BA
D
Penjalaran:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2
22'
2
'2 ~
BA
PB
A
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛→⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −'3
'3
23'3
'3
31
22
2'3
'3
32
22
~~~~~B
AD
B
ADD
BA
B
AD
BA
D
x
z
n1
A1
B1
n2
A’2 A2
B’2 B2
n3
A’3B’3
x=0 x=d
Secara keseluruhan: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−'3
'3
23212'3
'3
21
2221
11
1 ~~~~~~~~B
ADPD
B
ADDPDD
BA
53
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
− 2
2
0
0~2 φ
φ
i
i
e
eP
3,2,1
pgeluntukcoscos
sgeluntukcoscos11
~
=
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
i
nn
nnD
ii
ii
iiiii θθ
θθ
dkc
nkc
n xiiixii 22,cos,sin === φθωθωβ
54
DCDIDD
T
~det
~~)identitas(~~~ 11 =→= −−
ijij dc darikofaktor=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
333231
232221
131211~Misalkan
ddddddddd
D
Kofaktor dari dij=(-1)i+j Mij; Mij =minor dari dij.
Kofaktor dari d12= - M123331
232112 dd
ddM =
Kofaktor dari d31= M312322
131231 dd
ddM =
Catatan:
( )213331
232112
TCdddd
c =−=
( ) ijjiT cC =
~
( )132322
131231
TCdddd
c ==
CC T ~dariTranpos~=
55
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−=→⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=11coscos~
coscos11~ iiii
iiiii
nnC
nnD
θθθθ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−=→⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=ii
ii
ii
iii
nnC
nnD
θθθθ
coscos~coscos~
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−=
1cos1cos~
ii
iiT
nn
Cθθ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−−=−
1cos1cos
cos21~ 1
ii
ii
iii n
nn
Dθθ
θ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−=
ii
iiT
nn
Cθθ
coscos~
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−−=−
ii
ii
iii n
nn
Dθθ
θ coscos
cos21~ 1
Gel-s:
Gel-p:
Cek: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−
1001~~ 1
ii DD
56
== −2
1112
~~~ DDD sgel
nn
nn
nn
nn
−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
11
22
11
22
11
22
11
22
coscos1
21
coscos1
21
coscos1
21
coscos1
21
θθ
θθ
θθ
θθ
== −2
1112
~~~ DDD pgel
nn
nn
nn
nn
−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
21
12
21
12
21
12
21
12
coscos1
21
coscos1
21
coscos1
21
coscos1
21
θθ
θθ
θθ
θθ
57
4.2 Perumusan untuk Sistem Multilapis
no
Ao
Bo
n1
A1
B1
n2
A2
B2
nN-1
AN-1
BN-1
nN
AN
BN
…….
ns
A’sB’s
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
<<<
<<<<
<
=
−
.,,
....................,,,
)(
1
212
11
xxnxxxn
xxxnxxxn
xxn
xn
Ns
NNN
o
oo
xxo x1 x2 ……. xN-1 xN
1
122
11
....
−−=
−=−=
NNN
o
xxd
xxdxxd
d1 d2 dN-1 dN
N=jumlah lapisan
58
)()( ztiexEE βω −=
Misalkan solusi persamaan gelombang adalah gelombang bidang:
Nl
xxeBeA
xxxeBeA
xxeBeA
xE
Nxxxik
sxxxik
s
llxxxik
lxxxik
l
oxxxik
oxxxik
o
ssxssx
llxllx
ooxoox
......,,2,1,
.,''
,
,
)()()(
1)()(
)()(
=⎪⎩
⎪⎨
⎧
<+
<<+
<+
=−−−
−−−−
−−−
sNlc
nc
nk llllx ,....,3,2,1,0,cos 22
=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛== βωθω
;~~1
111
1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
BA
PDDBA
oo
o ;~~1
111
1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
+++
−
l
llll
l
l
BA
PDDBA
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
s
ssN
N
N
BA
DDBA
''~~ 1
59
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛'
'
2221
1211
s
s
o
o
B
AMMMM
BA
slll
N
lo DDPDD
MMMM ~~~~~ 1
1
1
2221
1211⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
=
− ∏
Nl
nn
nnD
ll
ll
llll
l
......,,2,1
pgeluntukcoscos
sgeluntukcoscos11
~
=
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
θθ
θθ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
− l
l
i
i
le
eP
φ
φ
0
0~
llxl dk=φ
60
Untuk 3 lapisan
n1
A1
B1
n2
A2
B2
n3
A3
B3
x
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
3
3
2221
1211
1
1
BA
MMMM
BA
31
2221
12221
1211 ~~~~~ DDPDDMMMM −−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
d
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
22
33
11
22
11
3322
22
33
11
22
11
3321
22
33
11
22
11
3312
22
33
11
22
11
3311
coscos
coscos
sin21cos
coscos
121
coscos
coscossin
21cos
coscos
121
coscos
coscossin
21cos
coscos
121
coscos
coscos
sin21cos
coscos
121
θθ
θθ
φφθθ
θθ
θθ
φφθθ
θθ
θθ
φφθθ
θθ
θθ
φφθθ
nn
nn
inn
M
nn
nni
nn
M
nn
nni
nn
M
nn
nn
inn
M
Gel-s
61
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
12
23
21
32
1
3
1
322
12
23
21
32
1
3
1
321
12
23
21
32
1
3
1
312
12
23
21
32
1
3
1
311
coscos
coscos
sin21cos
coscos
21
coscos
coscos
sin21cos
coscos
21
coscos
coscos
sin21cos
coscos
21
coscos
coscos
sin21cos
coscos
21
θθ
θθ
φφθθ
θθ
θθ
φφθθ
θθ
θθ
φφθθ
θθ
θθ
φφθθ
nn
nn
inn
M
nn
nn
inn
M
nn
nn
inn
M
nn
nn
inn
M
Gel-p
Koefisien refleksi dan transmissi:
1111
11
21
11
21
1coscos1
Mnn
TM
t
MM
RMM
r
oo
ss
θθ
=→=
=→=
62
Sistem lapisan ¼ gelombang
N pasangan lapisan dengan n1d1=n2d2=λ/4
n1 n2 n1 n2
d1 d2 d1 d2
no ns
[ ] sN
o DDPDDPDDMMMM ~~~~~~~~ 1
2221
1111
2221
1211 −−−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
1 2 ……………. N
63
V. MEDIA BERLAPIS PERIODIK 1-D
5.1 Media berlapis periodik 1-dimensi
perioda);()( 21 =+=ΛΛ+= ddxnxn
x
n1 n2 n1 n2 n1 n2
d1 d2 d1 d2 d1 d2
x=nΛx=(n-1)Λx=(n-2)Λ
n1 n2 n1 n2 n1 n2
d1 d2 d1 d2 d1 d2
nnn
nnn
bdb
aca
1
1
−
−
unit sel ke-n
Kristal fotonik 1-D
64
Misalkan solusi persamaan gelombang: )()( ztiexEE βω −=
⎪⎩
⎪⎨⎧
−Λ<<Λ−+
Λ<<−Λ+=
Λ−Λ−−
Λ−Λ−−
1)()(
1)()(
)1(;
;)(
22
11
dnxnedec
nxdnebeaxE
nxikn
nxikn
nxikn
nxikn
xx
xx
2,1;cos22
==−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= i
cn
cnk i
iiix θωβω
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
−
−
n
n
n
n
dc
PDDba
221
11
1 ~~~⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
n
n
n
n
ba
PDDdc
111
2~~
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
− 11
11
0
01 dik
dik
x
x
e
eP ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
− 22
22
0
02 dik
dik
x
x
e
eP
65
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−
−
−
n
n
x
xdik
x
xdik
x
xdik
x
xdik
n
n
dc
kke
kke
kke
kke
ba
xx
xx
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
11
11
21
2222
2222
Untuk gelombang-s:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−
n
n
x
xdik
x
xdik
x
xdik
x
xdik
n
n
ba
kke
kke
kke
kke
dc
xx
xx
2
1
2
1
2
1
2
1
11
11
21
1111
1111
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−
n
n
n
n
ba
DCBA
ba
1
1
66
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
−
−
222
1
1
22
122
222
1
1
22
1
222
1
1
22
1
222
1
1
22
122
sincos
sin
;sin
;sincos
11
11
11
11
dkkk
kkidkeD
dkkk
kkieC
dkkk
kkieB
dkkk
kkidkeA
xx
x
x
xx
dik
xx
x
x
xdik
xx
x
x
xdik
xx
x
x
xx
dik
x
x
x
x
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−
n
n
n
n
ba
DCBA
ba
1
1
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
1=−BCAD
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛DCBA
disebut matriks translasi unit sel
Matriks translasi itu menghubungkan medan-medan dari dua lapisan yang sama maka AD-BC=1.
67
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
−
−
222
21
122
122
221
21
2211
221
22
221
221
122
2111
221
22
221
221
122
2111
222
21
122
122
221
21
2211
sincos
sin
;sin
;sincos
dkknkn
knknidkeD
dkknkn
knknieC
dkknkn
knknieB
dkknkn
knknidkeA
xx
x
x
xx
dxik
xx
x
x
xdxik
xx
x
x
xdxik
xx
x
x
xx
dxik
Untuk gelombang-p:
68
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−
n
n
n
n
ba
DCBA
ba
1
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2
2
1
1
1
1
ba
DCBA
ba
ba
DCBA
ba
o
o
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2
22
ba
DCBA
ba
o
o
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
o
o
ba
DCBA
ba 2
2
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
o
oN
o
oN
N
N
ba
ACBD
ba
DCBA
ba
69
5.2 Gelombang Bloch dan struktur pita
Mengambil konsep zat padat, medium periodik ekivalen dengan kisi 1-dimensi yang invarian terhadap translasi kisi.
perioda);()( =ΛΛ+= xnxn
Berdasarkan teorema Floquet, solusi persamaan gelombang untuk medium berlapis periodik adalah:
iKxziKK eexEzxE −−= β)(),(
di mana
)()( xExE KK =Λ+
Indeks K menyatakan fungsi EK(x) bergantung pada K. Konsanta K disebut bilangan gelombang Bloch.
70
Menentukan K dan EK(x)
iKxziKK eexEzxE −−= β)(),(
Λ−
Λ−−−
Λ+−−
Λ+−−
=
=
=
Λ+=Λ+
iKK
iKiKxziK
xiKziK
xiKziKK
ezxE
eeexE
eexEeexEzxE
),(
)(
)()(),(
)(
)(
β
β
β
Dalam bentuk matriks,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Λ
−
−
−
−Λ−
n
niK
n
n
n
niK
n
n
ba
eba
ba
eba
1
1
1
1 atau
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−
n
n
n
n
ba
DCBA
ba
1
1
Tapi,
71
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Λ
n
niK
n
n
ba
eba
DCBA
Untuk itu berlaku:
0=−
−Λ
Λ
iK
iK
eDCBeA
Jadi, exp(iKΛ) adalah harga eigen dari matriks translasi.
[ ])(cos1)(cos
1)()(
211
21
24
12
1
DAK
DAKDADAeiK
+Λ
=
+=Λ
−+±+=
−
Λ
Jadi, harga-harga eigen itu adalah
72
Selanjutnya, dengan vektor-vektor eigen ditentukan sbb:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Λ
o
oiK
o
o
ba
eba
DCBA
( )AeB
ba
iKo
o
−= Λ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Λ AeB
Qba
iKo
oQ=konstanta
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
o
oN
N
N
ba
ACBD
ba
73
22112
1
1
22
12211
21
24
12
1
sinsincoscos
)(cos
1)()(
dkdkkk
kkdkdk
DAK
DADAe
xxx
x
x
xxx
iK
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
+=Λ
−+±+=Λ
Hubungan dispersi:
imajiner
2,1;cos22
==−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= i
cn
cnk i
iiix θωβω
Harga cos KΛ ditentukan oleh ω dan β. Kurva ω vs βdisebut kurva dispersi.
74
harga K ril, artinya gelombang Bloch dapat menjalar melaluimedium berlapis.
1)(21 <+ DA
1)(21 >+ DA K merupakan kompleks sehingga gelombang mengalami
evanescen; artinya gelombang Bloch tak dapat melaluimedium berlapis atau disebut pita terlarang
Band gap refleksi
75
2π/ΛK
ω
gap
gap
gap
β = 0
Cahaya bisa lewat
Cahaya tak bisa lewat (band gap)
76
⎪⎩
⎪⎨⎧
−Λ<<Λ−+
Λ<<−Λ+=
Λ−Λ−−
Λ−Λ−−
1)()(
1)()(
)1(;
;)(
22
11
dnxnedec
nxdnebeaxE
nxikn
nxikn
nxikn
nxikn
xx
xx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Λ−
−
−Λ−
o
oinK
n
niK
n
n
ba
eba
eba
1
1
( )( )[ ] iKxnxiKnxik
onxik
o
inKnxiko
nxiko
nxikn
nxikn
iKxK
eeebea
eebea
ebeaexE
xx
xx
xx
−Λ−Λ−Λ−−
Λ−Λ−Λ−−
Λ−Λ−−−
+=
+=
+=
)()()(
)()(
)()(
11
11
11)(
⎪⎭
⎪⎬
⎫
Hasil akhir untuk gelombang Bloch dalam lapisan n1 di unit sel ke-nadalah:
periodik
77
5.3 Reflektor Bragg
n2 n1
d2 d1
ao
bo
aN
Λ
N buah unit sel
Medium berlapis dari N buah unit sel.
Jika gelombang Bloch jatuh dalam band gap, gelombang itu terevanesendan tak bisa menjalar dalam medium.
Jadi, gelombang itu terpantul; medium bersifat sebagai reflektor yang disebut reflektor Bragg.
78
Koefisien refleksi:0=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Nbo
oN a
br
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
N
NN
o
o
ba
DCBA
ba
Karena matriks unimodular:
ΛΛ+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−−
−−−
KKNu
uDuCuBuuAu
DCBA
NNNN
NNNN
sin)1sin(,
211
121
[ ])(cos 211 DAK +=Λ −
1221
1
0/ −−−−
−
=−
=−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
NNNN
N
bo
oN uuA
CuAu
Cuabr
N
2
12
2
/ −−−==
NNN uuA
CrR
79
N=15
TE (s); n1=3,0 n2=3,6 d1=d2=2um θo=0o
N=30
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2 .6 2 .8 30
0.1
0.2
0 .3
0 .4
0 .5
0 .6
0 .7
0 .8
0 .9
1
Lam da (um )
Ref
lekt
ans
1 1 .2 1 .4 1 .6 1 .8 2 2 .2 2.4 2 .6 2 .8 30
0.1
0.2
0 .3
0 .4
0 .5
0 .6
0 .7
0 .8
0 .9
1
Lam da (um )
Ref
lekt
ans
80
N=15, n2=3,6 d1=d2=2 um θo=0o
n1=3,0
n1=3,3
1 1 .2 1 .4 1 .6 1 .8 2 2 .2 2 .4 2 .6 2 .8 30
0 .1
0 .2
0 .3
0 .4
0 .5
0 .6
0 .7
0 .8
0 .9
1
L a m d a (um )
Ref
lekt
ans
1 1 .2 1 .4 1 .6 1 .8 2 2 .2 2 .4 2 .6 2 .8 30
0 .1
0 .2
0 .3
0 .4
0 .5
0 .6
0 .7
0 .8
L a m d a (um )
Ref
lekt
ans
81
N=15, n1=3,0 n2=3,6 d1=d2=2 um
θo=0o
1 1 .2 1 .4 1.6 1.8 2 2 .2 2 .4 2 .6 2 .8 30
0 .1
0 .2
0 .3
0 .4
0 .5
0 .6
0 .7
0 .8
0 .9
1
Lam da (um )
Ref
lekt
ans
θo=60o
1 1 .2 1 .4 1 .6 1 .8 2 2 .2 2 .4 2 .6 2 .8 30
0 .1
0 .2
0 .3
0 .4
0 .5
0 .6
0 .7
0 .8
0 .9
1
L a m d a (um )
Ref
lekt
ans
82
Reflektor Bragg dengan Reflektans tinggi
Cermin dengan reflektans tinggi diperlukan dalam berbagai aplikasi. Cermindengan bahan logam bisa memiliki reflektans 99% dan yang 1% diabsorp. Jika cermin dpakai untuk laser daya tinggi, cermin logam menjadi panas.
Untuk mengatasinya, digunakan refektor Bragg dari bahan dielektrik, misalnya dengan lapisan-lapisan n1d1=n2d2=λo/4.
k1xd1=k0n1d1=(2π/λ)(λ/4)=90o→exp(ik1xd1)=i
k2xd2=k0n2d2=(2π/λ)(λ/4)=90o →cos k2xd2=0
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
x
x
x
xx
x
x
x
xx
dxik
knkn
knkndk
knkn
knknidkeA
221
122
122
221
21
222
21
122
122
221
21
2211 sincos
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−=
x
x
x
xx
x
x
x
xdxik
knkn
knkndk
knkn
knknieC
122
221
221
122
21
221
22
221
221
122
2111 sin
( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
−−=
−=
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−−−−
−
=1/ 2
142
22
412
1
22
41
21
422
1
1221
1
0 xx
xx
NNNN
N
Nbo
oN knkn
knknuuA
CuAu
Cuabr
83
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Lamda (um)
Ref
lekt
ans
n1=1.5
n2=2.5
λo=0,6 um
N=30
84
Reflektor Bragg Sinusoida Homogen
Λ
A2(L)=0
B(0)
A(L)A(0)
z=0 z=L
[ ] tizizi eezBezAtzE ωββ )()(),( += −
0)(2
22
2
2
=+ Eczn
dzEd ω
oo nnGGznnzn <<Λ
=+= 11 ;2;cos)( π
Persamaan gelombang:
85
( )[ ] 0)cos(2
22
12
2
2
22
22
2
2
=+++
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−
−
zizioo
zizi
BeAeGznnnc
eBdzdBi
dzBdeA
dzdAi
dzAd
ββ
ββ
ω
ββββ
Asumsikan amplitudo gelombang berubah pelan-pelan (SVA):
dzdB
dzBd
dzdA
dzAd ββ <<<< 2
2
2
2
;
[ ] 0)cos(2
)(2)(2
12
2
222
222
2
2
=++
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−
−
−
zizio
zio
zio
BeAeGznnc
eBncdz
dBieAncdz
dAi
ββ
ββ
ω
βωββωβ
86
Kalikan dengan exp(iβz)
Lakukan perata-rataan spasial:
( ) zGizGizGizi
zi
eeeeGz
Gze
)2(2
1)2()2(2
12
2
)cos(
,0)cos(;0
−−+ ≈+=
==
ββββ
β
[ ] 0)cos(2
22
212
2
2222
222
2
2
=++
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−
zio
zioo
BeAGznnc
eBncdz
dBiAncdz
dAi
β
β
ω
βωββωβ
02 )2(12
222
2
2
=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∂∂
− − zGioo Benn
cAn
czAi βωβωβ
87
02 )2(12
222
2
2
=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+− − zGi
oo Bennc
Ancdz
dAi βωβωβ
Misalkanlah β=G/2=noωB/c; maka dengan cukup kecil diperolehBωω−
)(2
)/)(/(2/ 2222
Boooo
cncncncn
ωωβ
βωβωβ
βωδ −≈
−+=
−=
ωB disebut frekuensi Bragg, dan δ disebut frecuency detuning.
Dengan cara yang sama diperoleh:
0)/(2 )2(2
2
12222 =+−+ − zGi
oo eAc
nnBcndzdBi βωβωβ
Λ==
oo
oB n
cncG πω
2
88
BiAidzdA κδ −=+
Gnncnn
o
o
2/ 1
221 ≈=βω
κ
Λ== oB
B nc 22ωπλ
Parameter kopling
Panjang gelombang Bragg
AiBidzdB κδ =− ⎪
⎭
⎪⎬
⎫disebut persamaan terkopel
Cara penyelesaian persamaan terkopel:
zizi ezBzbezAza δδ −== )()(;)()(
89
zizi eaidzdbebi
dzda δδ κκ 22 ; −=−=
02 22
2
=−− adzdai
dzad κδ
;)sinhcosh( 21zieszCszCa δ+= 022 ≥−= δκs
[ ]{ [ ] } zi
zi
eszCszCszsCszsCidzdaeib
δ
δ
δκ
κ−
−
+−+=
=
sinhcoshcoshsinh 2121
2
90
)sinhcosh()( 21 szCszCzA +=
[ ]{ [ ] }szCszCszsCszsCizB sinhcoshcoshsinh)( 2121 +−+= δκ
Dengan menerapkan syarat batas A (0)=Ao, dan B(L)=0,
sLisLszLsizLssAzA o sinhcosh)(sinh)(cosh)(
δδ
+−+−
=
sLisLszLsiAzB o sinhcosh
)(sinh)(δ
κ+
−=
sLisLssLi
ABr
sinhcoshsinh
)0()0(
δκ
+==
sLsLssLrR 2222
222
sinhcoshsinh
δκ
+==
91
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
-15 -10 -5 0 5 10 15
1=Lκ
R
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
-15 -10 -5 0 5 10 15
2=Lκ
δL
R
δL
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-15 -10 -5 0 5 10 15δL
R
2=Lκ
Side lobe
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-15 -10 -5 0 5 10 15δL
R
6=Lκ
Band gap
92
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-15 -10 -5 0 5 10 15δL
R
6=Lκ
Band gap
μm2,0,1,0,3 1 =Λ== nnoMisalkan:
THz025fμm;2,12 B ==Λ= oB nλ
μm12;μm5,02
11 ==≈ − LGnn
o
κ
δL=-15 sd 15 δ=-1,25 sd 1,25 μm-1
THz20
sx1025,13
ms103xμm25,1)( 1-1418-1
=−
===−→−≈−
B
oBB
o
ff
xn
ccn δωωωωδ
Lebar pita
THz250;THz40THz202 B ===Δ fxf
μm2,1μm;19,0ms103
μm)2,1x(s1040
;
B18
2112
2
===Δ
Δ=Δ→=
−
−
λλ
λλλ
xx
cfcf
93
Side lobe = Refleksi yang bervariasi di luar band gap.
Side lobe itu dapat dihilangkan dengan cara apodisasi.
2)/(1 )(
2)( Lz
oo
o eznn
Gz γκκ −==
zizi eazidzdbebzi
dzda δδ κκ 22 )(;)( −=−=
Misalkan:zie
zazb
zAzBzr δδ 2
)()(
)()(),( == )1(2 2riri
dzdr
++= κδ
ziezzr δρδ 2)(),( = riedzdei
dzd
dzdr zizi δρρδρ δδ 22 22 +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
1,)( 22 <<≈ − rezidzd zi δκρ
Reflektor Bragg sinusoida dengan apodisasi
Gnncnn
o
o
2/ 1
221 ≈=βω
κ
94
∫ −=L
ziezdzi0
2)(),0( δκδρ
∫ −=L
ziezdzir0
2)(),0( δκδ
)(,0(),0( 222
2
0
2)/(22 2
qpeedzrR o
LziLz
o +=== ∫ −− κκδδ δγ
∫
∫
−
−
=
=
LLz
LLz
dzzeq
dzzep
0
)/(
0
)/(
)2sin(
)2cos(
2
2
δ
δ
γ
γ
95
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-15 -10 -5 0 5 10 15
L=10 um
κo=0,5 um-1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
0 .1
0 .2
0 .3
0 .4
0 .5
D e lta
Ref
lekt
ans
- 5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1
D e lta
Ref
lekt
ans
γ=10
γ=5
96
Reflektor Bragg sinusoida dengan chirp
Reflektor Bragg yang memiliki lebar pita yang besar.
Λ= oB n2λ
λB5 λB4 λB3 λB2 λB1
R
Reflektror ini merupakan deretan sejumlah reflektror Bragg yang tersusunmulai dari yang berperioda besar dan diakhiri dengan perioda kecil.
Λ1 Λ2 Λ3 Λ4 Λ5
Λ1 > Λ2 > Λ3 > Λ4 > Λ5
λ
97
oo nnzzGnnzn <<+= 11 ];)([cos)(
02 )2(12
222
2
2
=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+− − zGi
oo Bennc
Ancdz
dAi βωβωβ
)( zieBiAidzdA φκδ −−=+
[ ] zGzGzG oo −=→≈ )()(2 φβ
)( ziAeiBidzdB φκδ =−
02 )2(2
2
12
2
22
=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+ −− zGi
oo eA
cnnB
cn
dzdBi βωβωβ
)](2[ zzieaidzdb φδκ −−=
ziezAza δ)()( = ziezBzb δ−= )()(
)](2[ zziebidzda φδκ −−=
98
Keadaan phase match terjadi jika 2δ z-φ(z)=0.
222 )()( z
LFzz
LFGzG o =→=− φ
Untuk linear chirp:
( )Bo
FcnL
FLz ωωδδ −==
22 22)( Jadi, cahaya berfrekuensi tinggi memerlukanjarak resonansi lebih besar.
F disebut parameter chirp
Λ==
oo
oB n
cncG πω
2
zz=L/2z=-L/2
Bωω =o
B LnFc
4+= ωω
z=0
oB Ln
Fc4
−= ωω
99
)2()(
)()(
)()(),( φδφδ −− == zizi e
zazbe
zAzBzr )1(2 2rir
dzdi
dzdr
++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= κφδ
)2()(),( φδρδ −= ziezzr )2()2( φδφδρ −⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+= zier
dzdi
dzd
dzdr
))(2( zzieidzd φδκρ −−≈ ∫
−
−−=−2/
2/
))(2(),2/(L
L
zziedziL φδκδρ
)(,2/(),2/( 222
22/
2/
))(2(22 qpedzLrLRL
L
zzi +==−=− ∫−
−− κκδδ φδ
∫∫−−
−=−=2/
2/
2/
2/
))(2sin(;))(2cos(L
L
L
L
dzzzqdzzzp φδφδ
∫ −−−−−=− )](2[()]2/(2/2[),2/( zziLLi edzeiLr φδφδκδ
100
L=10 μm
κ=0,5 μm-1
F=40
L=10 μm
κ=0,5 μm-1
F=50
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
D elta
Ref
lekt
ans
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
D elta
Ref
lekt
ans
101
Reflekror Bragg dengan chirp dan apodisasi
∫−
−−−=−2/
2/
))(2()/( 22
),2/(L
L
zzizLo eedziL φδγκδρ
)(,2/(),2/( 222
22/
2/
))(2()/(22 22
qpeedzLrLR o
L
L
zzizLo +==−=− ∫
−
−−− κκδδ φδγ
∫∫−
−
−
− −=−=2/
2/
)/(2/
2/
)/( ))(2sin(;))(2cos(2222
L
L
zLL
L
zL dzzzeqdzzzep φδφδ γγ
∫ −−−−−−=− )](2[()/()]2/(2/2[ 22
),2/( zzizLLLio eedzeiLr φδγφδκδ
102
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Delta
Ref
lekt
ans
L=10 μm
κ=0.5 μm-1
γ=8;
F=40
103
7. GELOMBANG TERPANDU DALAM MEDIA BERLAPIS
7.1 Pandu Gelombang Lapisan
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−<<<−
>=
txnxtn
xnxn
,0,
0,)(
3
2
1
x
zn1
n2
n3-t
0
n1<n3<n2
Persamaan Maxwell: HiEEniH o
rrrrωμωε −=∇=∇ x;x 2
Solusi gelombang bidang:)(
)(
)(),(
)(),(zti
m
ztim
exHtxH
exEtxEβω
βω
−
−
=
=rr
rr
104
Ada dua macam penjalaran gelombang terpandu, TE(s) dan TM(p):
( )[ ] 0/ 22 >−βω cn Solusi adalah periodik, menjalar.
( )[ ] 0/ 22 <−βω cn Solusi adalah eksponensial menurun.
Jadi, agar gelombang terpandu, harus dipenuhi: cncn // 23 ωβω <<
β=komponen-z dari vektor gelombang, m=nomor modus
( ) 0)(/ 222
2
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+ xEcn
dxd
m
rβω
105
Gelombang terpandu TE
)()(),,( ztimy exEtzxE βω −=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≤
≤≤−+≥
=
−
txeDxthxBhxA
xeCxE
px
qx
m
,0,cossin
0,)(
23
221
2222 )/(;)/(;)/( cnpcnqcnh ωβωββω −=−=−=
Untuk A, B, C, D, gunakan syarat kontinuitas Ey dan Hz kontinu di batas-batas lapisan.
xEiH y
z ∂
∂=ωμ
m=bilangan yang menyatakan nomor modus, terkait dengan βm.
106
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−≤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
≤≤−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
≤
=
+
−
txehthqhtC
xthxhqhxC
xeC
xE
txp
qx
m
,sincos
0,sincos
0,
)(
)(
dan
)/1()tan( 2hpqh
qpht−+
=
Ini disebut persamaanmodus.
Dengan suatu set harga n1, n2dan n3 serta tebal t, persamaanmodus memberikan sejumlahharga β. Modus-modus ituortogonal satu sama lain.
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 t/λβ/
(ω/c
)3.2
3.5
1 modus 2 modus{{
TEoTE1
TE2TE3
107
Gelombang terpandu TE
n1=1
n3=3.2 n2=3.5
Eo(x)
E1(x)
E2(x)
x
x
x
108
Normalisasi C dipilih sehingga medan Em(x) sesuai dengan alirandaya 1watt sepanjang sb-z. Jadi, modus Ey=AEm(x) berkaitan dengan aliran daya ⎢A⎢2 W/m.
Syarat normaliasi:
∫∫∫∞
∞−
∞
∞−
==−== 1)]([2
*]xRe[ 2*2
12
1 dxxEdxHEdxHES mm
xyzz ωμβrr
Substitusi Em(x) menghasilkan:2/1
22 ))](/1()/1([2
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+++=
mmmmmmm qhpqt
hCβ
ωμ
Ortonormalisasi modus-modus dituliskan:
mlm
lm dxEE δβωμ
∫∞
∞−
=2*
109
Gelombang terpandu TM
)()(),,( ztimy exHtzxH βω −=
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
≤≤−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
≤−
=
+
−
txehthtqhC
xthxhqhxC
xeqhC
xH
txp
qx
m
,sincos
0,sincos
0,
)(
)(
Syarat kontinuitas Hy dan Ez kontinu di batas-batas lapisan.
xHiE y
z ∂
∂−=ωε
110
2
1
2
2
3
22 ;;)/1(
)tan( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−+
=nnqq
nnpp
hqphqpht
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 t/λ
β/(ω
/c)
3.2
3.5
1 modus 2 modus{{
TEo
TE1TE2 TE3
TMo
TM1 TM2 TM3
111
)()(
1)()]([
2*]xRe[
2
2*
21
21
xnx
dxxxEdxEHdxEHS
o
mmxyzz
εε
εωβ
=
==== ∫∫∫∞
∞−
∞
∞−
rr
Substitusi Hm(x) menghasilkan:
effm
om t
Cβωε2=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
+++
++
=pnhp
hpqnhq
hqnt
qhqteff 2
322
22
21
22
22
22
2
22
)()(
2/1
22 ))](/1()/1([2
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+++=
mmmmmmm qhpqt
hCβ
ωμ
112
βcut off
Dari persyaratan
suatu modus disebut terpandu jika βm>βcut off
cncn // 23 ωβω <<
cncutoff /3ωβ = atau p=0
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
+−
=→−+
= −
2/1
23
22
21
231
23
22
2 tan2
1)/()/1(
)tan(nnnnm
nnt
hpqhqpht TE π
πλ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
+−
=→−+
= −
2/1
23
22
21
23
21
221
23
22
2 tan2
1)/()/1(
)tan(nnnn
nnm
nnt
hqphqpht TM π
πλ
Harga cut off dari t/λ:
113
7.2 Sifat umum pandu gelombang dielektrik
Selama penjalaran gelombang dalam pandu gelombang, aliran energi hanyasepanjang pandu gelombang, tidak pada arah tegak lurus. Untuk itu indeksbias teras > indeks bias cladding.
Jika keseluruhan struktur dielektrik homogen sepanjang sb-z, gelombangbidang adalah:
x
y
z
)(),( ztim eyxEE βω −=rr
Substitusi ke persamaan gelombang: 02
22 =
∂∂
−∇tEE o
rr
εμ
114
0),(),( 22
22
22 =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+∇ yxE
cyxn
mt
rβω
2
2
2
22
yxt ∂∂
+∂∂
=∇
2
222
2
22
cn
cn corecl ωβω
<<
Ada beberapa harga β yang memenuhi; ini disebut modus gelombang.
Misalkan dan adalah dua modus sebagai solusi.1Er
2Er
22222
22
22
12
112
22
22
),(
),(
EEc
yxn
EEc
yxn
t
t
rr
rr
βω
βω
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+∇
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+∇
( ) 122
1221
222
21 EEEEEE tt
rrrrrr•−=∇•−∇• ββ
( ) ( ) dydxEEdydxEEEE tt ∫∫ •−=∇•−∇• 122
1221
222
21
rrrrrrββ
115
Gunakan teorema Green:
( ) ( ) dydxEEdlEEEEC
ttC ∫∫ •−=∇•−∇•∞→ 12
21
221221lim
rrrrrrββ
Untuk keadaan terpandu baik, E1 dan E2 →0 maka fihak kiri=0
( ) 0122
122 =•−∫ dydxEE
rrββ
Karena β1≠β2 maka 012 =•∫ dydxEErr
Untuk keadaan degenerate, β1=β2, lakukan ortogonalisasi Schmidt
→ E1 dan E2 ortogonal
dydxEE
dydxEEc
dydxEEEcEE
22
21
2'121
'1 0
•
•−=
=•→+=
∫∫
∫
r
r
rrrrr
Normalisasi: lmm
ml dydxEE δβωμ
∫ =•2rr
116
7.3 Teori Perturbasi dan kopling modus
Modus-modus terpandu bisa dijalarkan secara bebas satu sama lain sepanjang pandu gelombang (sb-z) jika fungsi dielektrik ε(x,y)=εon2(x,y)tidak bergantung pada z.
Jika ada ketidak sempurnaan dielektrik Δε(x,y,z) maka modus-modus akanterkopel satu sama lain. Oleh sebab itu, terjadi perpindahan daya dari satumodus ke modus lainnya.
Misalkan: ε(x,y,z)=εo(x,y)+Δε(x,y,z)
Misalkan pula, di z=0 dimasukkan sembarang medan berfrekuensi ω, makagelombang yang menjalar dalam pandu gelombang yang tak sempurna itudapat dinyatakan sebagai:
∑ −=m
ztimm eyxEzAE )(),()( βωrr
Am(z)=amplitudo modus yang berganung z.
117
02
22 =
∂∂
−∇tEE o
rr
εμ
[ ]{ } 0),(),(22 =Δ++∇ Eyxyxo
rεεμω
Tetapi Em(x,y) ei(ωt-βz) memenuhi pers.gelombang juga:
[ ] 0),(),( 222 =−+∇ yxEyx mmot
rβμεω
Jadi:
0),,(),(2 22
2
=Δ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−− ∑∑zi
mmm
zim
m
mm
m mm eEAzyxeyxEdz
dAidz
Ad ββ εμωβrr
118
Andaikan perturbasi itu lemah sehingga variasi amplitudo sepanjangsb-z agak pelan dan memenuhi:
dzdA
dzAd m
mm β<<2
2
Slow varying amplitude (SVA)
0),,(),(2 2 =Δ+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−− ∑∑zi
mmm
zim
m
mm
mm eEAzyxeyxEdz
dAiββ εμωβ
rr
0),(),,(
),(2
)(*2
)(*
=Δ+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
∑ ∫
∫∑−−
−−
m
zimkm
zimk
m
mm
km
km
edydxyxEzyxEA
edydxyxEEdz
dAi
ββ
ββ
εμω
β
r
r
Kalikan dengan lalu diintegralzik
keE β*r
119
∑ ∫ −−Δ−=m
zimkm
k
kk kmedydxyxEzyxEAidz
dA )(* ),(),,(4
ββεββω r
Ini menggambarkan evolusi amplitudo Ak(z) sepanjang sb-z. Persamaanitu merupakan suatu set persamaan-persamaan differensial yang terkopel.
7.3.1 Perturbasi uniform
Δε=Δε(x,y); ∂(Δε)/∂z=0
Misalkan modus-modus tanpa perturbasi: )(),( ztim eyxEE βω −=rr
dengan Em(x,y) memenuhi: [ ] 0),(),( 222 =−+∇ yxEyx mmot
rβμεω
Modus-modus ini memebentuk set ortonormal.
Selanjutnya, andaikan dampak perturbasi Δε=Δε(x,y) hanya menimbulkanperubahan δEm pada Em dan δβm
2 pada βm2.
120
[ ] ))(()( 22222mmmmmmot EEEErrrr
δδββδεμωμεω ++=+Δ++∇
[ ] 0),(),( 222 =−+∇ yxEyx mmot
rβμεω
[ ] mmmmmmot EEEErrrr
22222 δβδβεμωδμεω +=Δ++∇
Karena
serta abaikan mmm EErr
δδβεδ 2,Δ maka
Untuk menyelesaikannya, misalkan ∑=l
lmlm EaErr
δ
[ ]
mml
lmlml
mml
lmlmml
lotml
EEa
EEaEEa
rr
rrrr
)()( 2222
22222
εμωδβββ
δββεμωμεω
Δ−=−
+=Δ++∇
∑
∑∑
Kalikan dari kiri dengan Em* lalu diintegral:
121
dxdyEE
dxdyEE
dxdyEE
dxdyEEdxdyEEa
mmm
mm
mmm
mmml
lmmlml
∫∫∫
∫∑ ∫
Δ=
Δ=
Δ−=−
rr
rr
rr
rrrr
εωβ
εμωδβ
εμωδβββ
*2
1
*
*22
22**22 )()(
Karena βm → βm+ δβm dan 222mmm δβββ +→
maka mmm δββδβ 22 =
Jadi dxdyEE mmm ∫ Δ=rr
εωδβ *4
1
122
mml
lmlml EEarr
)()( 2222 εμωδβββ Δ−=−∑
Untuk memperoleh δEm kalikan Ek* dengan k≠m pada persamaan:
∫
∫∑ ∫
Δ−
=
Δ−=−
dxdyEEa
dxdyEEdxdyEEa
mkkm
kmk
mmkl
lkmlml
rr
rrrr
εββ
βω
εμωδβββ
*22
22**22
)(2
)()(
∑ ∫∑ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
−==
kkmk
km
k
kkmkm EdxdyEEEaE
rrrrrε
ββωβδ *
22 )(2
dxdyEE mkkm ∫ Δ=rr
εωκ *4
1Didefenisikan sebagai koefisien kopling, maka
∑≠
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=)(
22 )(2
mkk
km
kmkm EE
rr
ββκβδ
mmm κδβ =
123
7.3.2 Perturbasi dielektrik secara periodik
Misalkan sepanjang pandu gelombang ada perturbasi dielektrik dalambentuk sinusoida:
Kzcos1εε =Δ
di mana ε1 adalah amplitudo perturbasi dan bisa sebagai fungsi x dan y, sedangkan K adalah:
Λ=
π2K
Λadalah perioda perturbasi. Substitusi ke persamaan terkoppel yang lalu:
∑ ∫ −−Δ−=m
zimkm
k
kk kmedydxyxEzyxEAidz
dA )(* ),(),,(4
ββεββω r
[ ] zi
mmkm
k
kk kmeKzdydxyxEEAidz
dA )(1
* )cos(),(4
ββεββω −−∑ ∫−=
r
124
Terlihat, kopling menjadi signifikan jika:
Jika ini tak terpenuhi, maka fasa akan berubah cepat dan kontribusinyaterhadap terhadap integal menjadi hilang.
Oleh sebab itu βm-βk±K=0 disebut keadaan phase-matching.
Untuk dua modus, dengan mengabaikan yang lain:
0=±− Kkm ββ
[ ][ ]zKizKi
mmkm
k kmkm eedydxyxEEAidz
dA )()(1
* ),(8
−−−+−− +−= ∑ ∫ ββββεω r
zi
zi
eAidzdA
eAidzdA
β
β
κββ
κββ
Δ−
Δ
−=
−=
1*12
2
22
2121
11
KdxdyEE −−=Δ= ∫ 2121*112 ;
4βββεωκ
rr
125
Tanda dari faktor dalam persamaan terkopel penting danmenentukan sifat dari kopling.
2211 /dan/ ββββ
Tanda ini menentukan aah penjalaran dari modus-modus terkopel. Adadua kategori:
1. Codirectional coupling, kedua modus searah,
2. Contra directional coupling, kedua modus berlawanan.
126
7.4 Kopling antara dua pandugelombang
x
ns na ns nb ns
d
),(),(),(),( 2222 yxnyxnyxnyxn bas Δ+Δ+=
)()( ),(;),( ztib
ztia
ba eyxEeyxE βωβω −−
Misalkan gelombang pada masing-masingpandugelombang jika jarak cukup berjauhan :
dan berlaku persamaan gelombang pada masing-masing pandugelombag:
[ ] 0),(),(),( 2222
2
2
2
2
2
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−Δ++∂∂
+∂∂ yxEyxnyxn
cyx s ααα βω
d
z
α= a, b
127
Jika kedua pandugelombang berdekatan, terjadi kopelantara kedua gelombang. Gelombang di pandugelombang a mengalami perturbasi dielektrik demikian pula sebaliknya, sehingga total gelombang menjadi:
)()( ),()(),()(),,,( ztib
ztia
ba eyxEzBeyxEzAtzyxE βωβω −− +=x
ns na ns nb ns
d d
z
sGelombang ini memenuhi persamaan gelombang:
),(2 yxnboΔε
[ ] 0),,,(),(),(),( 2222
2
2
2
2
2
2
2
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Δ+Δ++∂∂
+∂∂
+∂∂ tzyxEyxnyxnyxn
czyx basω
0)(2
)(2
2222
22
2
2
2
2
2
2
2222
22
2
2
2
2
2
2
=Δ+Δ++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
∂∂
−∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+
Δ+Δ++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
∂∂
−∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
−−−
−−−
zibbas
zibbb
zibb
ziabas
ziaaa
ziaa
bbb
aaa
eBEnnnc
eEBzBi
zBBe
yE
xE
eAEnnnc
eEAzAi
zAAe
yE
xE
βββ
βββ
ωββ
ωββ
128
0)(2)(2 22
22
2
2
=Δ+−Δ+− −−−− ziba
zibb
ziab
ziaa
bbaa eBEnc
eEdzdBieAEn
ceE
dzdAi ββββ ωβωβ
Kalikan dengan lalu integral:zia
aeE β*
0)(2
)(2
2*)(2
2*)(
2*2
2*
=Δ+−
Δ+−
∫∫
∫∫−−−− dxdyEnEBe
cdxdyEEe
dzdBi
dxdyEnEAc
dxdyEEdzdAi
baazi
bazi
b
abaaaa
abab ββββ ωβ
ωβ
dxdyEEdxdyEEdxdyEE aabaa
oaa ∫∫∫ <<= *** :2
βωμ Ea Eb
129
0)()(2 2*)(2
22*
2
2
=Δ+Δ+∂∂
− ∫∫ −− dxdyEnEBec
dxdyEnEAcz
Ai baazi
abaa
oa
ab ββωωβωμβ
∫
∫
Δ=
Δ=−−= −−
dxdyEyxnE
dxdyEyxnEBeiAidzdA
baao
ab
abao
aazi
abaaab
),(4
;),(4
;
2*
2*)(
ωεκ
ωεκκκ ββ
Jika dikalikan dengan lalu diintegral: zib
beE β*
∫
∫
Δ=
Δ=−−= −
dxdyEyxnE
dxdyEyxnEAeiBidzdB
abbo
ba
babo
bbzi
babbab
),(4
;),(4
;
2*
2*)(
ωεκ
ωεκκκ ββ
130
ziab
ziabaa vei
dzduBeiAi
dzdA
ab βββ κκκ Δ−− −=→−−= )(
ziba
zibabb uei
dzdvAeiBi
dzdB
ab βββ κκκ Δ−− −=→−−= )(
Misalkan: zizi bbaa eBveAu κκ == dan
)()( bbbaaa κβκββ +−+=Δ
022
2
22
2
=+Δ−
−=−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ−→−= Δ−Δ−Δ−
udzdui
dzud
uedzdvie
dzdui
dzudvie
dzdu zizizi
κβ
κκβκ βββ
22
221 2
;)cossin()( κββ
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ=+=
Δ
seszCszCzuzi
2/2121 )]sincos()cossin(
2[
)/)(/(
zi
zi
eszsCszsCiszCszC
edzduiv
β
β
κκβκ
Δ−
Δ−
−++Δ
−=
=
Misalkan κab=κba=κ
131
Misalkan, A(0)=Ao dan B(0)=0.
;)cossin()( )2/(21
zi aaeszCszCzA κβ −Δ+=
zi bbeszsCszsCiszCszCzB )2/(2121 )]sincos()cossin(
2[)( κβ
κκβ +Δ−−++
Δ−=
C2=A0; C1= -iAo(Δβ/2s)
zio
aaeszs
iszAzA )2/()sin2
(cos)( κββ −ΔΔ−=
zio
bbeszs
iAzB )2/(sin)( κβκ +Δ−−=
Daya: P(0)∼Ao2
[ ]{ }zPzP
zPPzP
ob
boa
21222
22
2
)2/(sin)2/(
)(
)()(
βκβκ
κΔ+
Δ+=
−=
132
[ ]{ }zPzP
zPPzP
ob
boa
21222
22
2
)2/(sin)2/(
)(
)()(
βκβκ
κΔ+
Δ+=
−=
Pa
Pb
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
z (cm)
P/P
o
}Δβ=5 cm-1
Δβ=0
Pa
Pb}
Directional coupler
κ=4 cm-1
Divider
133
8. OPTIK NONLINIER8.1 Pengertian Nonlinier Optik
Sifat optik nonlinier suatu bahan diungkapkan melalui hubungan antara polarisasilistrik terinduksi dalam bahan dengan medan listrik cahaya yang melalui bahan itu.
),(),( ωχεω zEzP effo=
εo – permittivitas ruang hampa, χeff- susseptibilitas listrik efektif.
Secara umum, susseptibilitas listrik efektif adalah :
........),(),( 2)3()2()1( +++= ωχωχχχ zEzEeff
Jadi, secara umum hubungan antara polarizabilitas listrik dan medan listrik adalah:
[ ] ),(.........),(),(),( 2)3()2()1( ωωχωχχεω zEzEzEzP o +++=
Jika intensitas cahaya cukup kecil:
→= ),(),( )1( ωχεω zEzP o Bahan disebut linier
134
Jadi sifat nonlinier bahan muncul jika intensitas cahaya cukup tinggi.
χ(2) dan χ(3)……disebut suseptibilitas order-2 dan order-3, yang menyebabkan nonlinieritas; dampaknya hanya teramati jika intensitascahaya cukup tinggi.
Pada tingkat molekuler, dikenal polarizabilitas order-1(α), polarizabilitasorder-2 (β), dan polarizabilitas order-3 (γ). Dengan itu maka:
γχ
βχ
αχ
NNN
∝
∝
∝
)3(
)2(
)1(
N adalah kerapatan molekul dalam bahan. α, β, γ dari suatu molekul dapatdihitung dengan menggunakan sesuatu metoda perhitung kuantum molekul.
Indeks bias bahan:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=Δ
Δ+=
2)3(
)2(2
222
),(3
,(
ωχ
ωχ
zE
zEn
nnn o
Bahan nonlinier order-2Bahan nonlinier order-3
Bahan linierBahan nonlinier order-2Bahan nonlinier order-3
135
Untuk order tiga, bisa juga dituliskan:
Intensitas cahaya:
oo
oo
nzE
nn
nzE
nn
2),(3
2),(
2)3(
)2(
ωχ
ωχ
+≅
+≅ Bahan nonlinier order-2
Bahan nonlinier order-3
2),(2
),( tzEcntzI o
π=
Berdasarkan:22 ),(2),(),(),( ωω ω zEtzEccezEtzE ti =→+=
2),(),( ωπ
zEcntzI o=
)3(222
)3(22
23;
3
χπ
χπ
cnnInnn
Icn
nn
oo
oo
=+≅
+=
136
8.2 Efek Pockel dan Efek Kerr (elektro-optik)
2)3(2)3(
)2()2(
23
2),(3
22),(
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=+≅
+=+≅
dV
nn
nzE
nn
dV
nn
nzE
nn
oo
oo
oo
oo
χωχ
χωχ
VddVE =
Efek Pockel
Efek Kerr} Elektro-optik
Elektro-optik: perubahan indeks bias bahan karena teganganlistrik dc ataufrekuensi rendah.
Contoh bahan: NH4H2PO4 (ADP), KH2PO4(KDP)
LiNbO3, LiTaO3, CdTe
137
φi φo
L
ooi
io
nn
dVnnL
nL
2;2
2
)2(
11 χ
λπφ
λπφφ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
+=
Modulator
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==→=
=+=
VndLTTII
IIII
io
iiio
122
22
12
1
cos2/cos
)2/(coscos
λπϕ
ϕϕ
Vd
½Ii
½Ii
Io
Ii
V
BS
BSM
Mno
no+n1V/dL
L
Interferometer Mach-Zehnder
138
V
T
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Vo
Modulasi: Tegangan diatur pada posisi linier, yakni V=Vo
Tegangan itu dimodulasi dengan informasi, maka T mengalami modulasi
139
Fungsi Logika XOR
Polarisasi cahaya ┴ bidang
Polariasi cahaya // bidanga
b
c
+
-011
110
101000zba
z
Untuk clock saja: tegangan diatur agar beda fasa di z samadengan 180o
sehingga tidak ada keluaran.
Jika ada pulsa di a, tidak di b: intensitas pulsa a menambah indeks bias cabangatas; pulsa clock keluar di z karena beda fasa tak samadengan 180o. Demikiansebaliknya.
Jika ada pulsa di a dan di b: tambahan indeks bias, sama di kedua cabangsehingga pulsa clock mengalami beda fasa 180o tak bisa keluar.
140
8.3 Proses Optik-optik
[ ] ),(.........),(),(),( 2)3()2()1( ωωχωχχεω zEzEzEzP o +++=
Misalkan: tzEzE ωω cos)(),( =
)3coscos3)(()2cos1)((
cos)(
cos)(cos)(cos)(),(
2)3(4
12)2(2
1
)1(
32)3(22)2()1(
ttzEtzE
tzE
tzEtzEtzEzP
oo
o
ooo
ωωχεωχε
ωχε
ωχεωχεωχεω
++++
=
++=
ωωω2ω3
Jadi, suatu bahan optik nonlinier dapat melipatgandakan frekuensi.
SHG
THG
Second and third harmonics generation
141
Penguat Optik
),(),(),( 2)2()1( ωχεωχεω zEzEzP oo +=
Misalkan: spppss tzEtzEzE ωωωωω >+= ;cos)(cos)(),(
])cos()()()cos()()(
)2cos1)(()2cos1)(([
]cos)(cos)([
]coscos)()(2cos)(cos)([
]cos)(cos)([),(
22
12)2(2
1
)1(
2222)2(
)1(
tzEzEtzEzE
tzEtzE
tzEtzE
ttzEzEtzEtzE
tzEtzEzP
pspsspps
ppsso
ppsso
pspsppsso
ppsso
ωωωω
ωωχε
ωωχε
ωωωωχε
ωωχεω
++−+
++++
+=
+++
++=
142
Medan2 yang dihasilkan oleh komponen2 polarisasi
tEEP spspoI )cos()2(2
1)2( ωωχε −=
akan berinteraksi didalam bahan dan menghasilkan polarisasi yang baru:
dantEP ppop ωχε cos)1()1( =
tEEC
tEECP
sspo
sppspob
ωχε
ωωωχε
cos
)](cos[2)2(
2
2)2(2
)2(
=
−−=
Jadi, bahan itu akan menghasilakan cahaya berfrekuensi ωs yang diperkuatdengan faktor penguatan yang sebanding intensitas sinar-p.
ωs ωs
χ(2)
ωp
143
Switching
Ii
Io
Ii
Io
Febry-Perot
Bahan nonlinier
Susah diaplikasikan pada serat optik.
Distributed feed back
2)cos()( EGzz o ηεεε +Δ+=
144
( )( ) BFBFBz
FBFBFz
EEEEEi
EEEEEi22
22
2
2
++=∂
++=∂−
ακ
ακ
Solusinya:
( ){ }
LE
EEE
IE
EI
LILmLIR
mRndII
cc
BFo
c
Fi
oo
io
α
κκκ
32;;
)0(
)(/()(;)(2
12
2
22
2
2
22222
=−
==
+=+=
+=
ziB
ziF eEeEzE ββ −+=)(
2/12
2
2
2
2;
2;
2 oBo
BB GcGcGc ε
ωηεωαεωκ ==Δ=
κL
Ii
Io
145