OlehIntan Putri Lestari 1208100058

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBERSURABAYA

2012

Dosen PembimbingDrs. M. Setijo Winarko MSi

Bejangkitnya penyakitmenular

Usaha mengendalikanpenyebaran penyakit

Vaksinasi

Dampak buruk bagimasyarakat

Model epidemik SIS dengan vaksinasi

Eksistensi BifurkasiMundur

Pengendalian penyakitmenjadi lebih sulit

• Bagaimana menentukan bilangan reproduksidasar ( ) ?

• Bagaimana menentukan stabilitas danterjadinya bifurkasi mundur ?

Pada tugas akhir ini dikaji dan dianalisis model epidemik SIS dengan kompartemen vaksinasi dalam referensi [4].

Mendapatkan bilangan reproduksi dasar dan mengetahuiterjadinya bifurkasi mundur dari model epidemik SIS.

Dengan demikian tugas akhir ini dapat dijadikanreferensi untuk mengevaluasi metode untuk

mengendalikan penyakit menular

• Menentukan bilangan reproduksi dasar ?

• Menganalisis stabilitas dan terjadinya bifurkasimundur ?

Model Epidemik SIS dengan Vaksinasi1. Model epidemik SIS dengan kompartemen vaksinasi :

denganS adalah populasi individu susceptible yaitu individu yang rentan terhadap

penyakit.I adalah populasi individu infected yaitu individu yang terjangkit dan

dapat menularkan penyakit.V adalah populasi individu vaccinated yaitu individu susceptible

yang divaksinasi.

: laju kelahiran dan laju kematian alami.

: tingkat ketidakefektifan vaksin dengan , dimana

menunjukkan vaksin sangat efektif dan menunjuk-

kan bahwa vaksin tidak berpengaruh.

: laju individu infected menjadi susceptible .

: laju individu susceptible menjadi vaccinated .

: laju individu vaccinated menjadi susceptible.

: koefisien transmisi yang merupakan konstanta yang menunjuk-

kan tingkat kontak sehingga terjadi penularan penyakit.

N : jumlah populasi

2. Jumlah populasi konstan

Bilangan Reproduksi DasarBilangan reproduksi dasar adalah bilangan yang menyatakanbanyaknya rata-rata individu infektif sekunder akibat tertularindividu infektif primer yang berlangsung di dalam populasisusceptible.

Bilangan reproduksi dasar dapat diperoleh dengan menentukannilai eigen (nilai karakteristik) dari matriks Jacobian yang dihitungpada titik kesetimbangan bebas penyakit.

Jika model memiliki dua titik kesetimbangan yaitu titikkesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik,maka tidak terjadi endemik jika dan terjadi endemik jika

Titik Kesetimbangan

Sebuah titik merupakan titik kesetimbangan dari persamaandi atas jika memenuhi :

danKarena turunan suatu konstanta sama dengan nol, maka sepasangfungsi konstan danadalah penyelesaian kesetimbangan dari persamaan di atas.

Pandang persamaan diferensial

Stabil Asimtotik LokalKestabilan asimtotik lokal merupakan kestabilan dari sistem linier ataukestabilan dari linierisasi sistem tak linier .Kestabilan lokal pada titik kesetimbangan ditentukan oleh tanda bagian realdari akar-akar karakteristik sistem dari matriks Jacobian yang dihitung disekitar titik kesetimbangan.

Definisi :Jika J adalah matriks yang berukuran n x n maka vektor tak nol dinamakanvektor karakteristik dari J jika memenuhi :

disebut nilai karakteristik dari J dan dikatakan vektor karakteristik yang bersesuaian dengan .Untuk mencari nilai kakakteristik matriks J yang berukuran n x n, maka dapat dituliskan kembali persamaan di atas sebagai atau ekuivalen dengan , mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika

x

Teorema

Titik setimbang stabil asimtotis jika dan hanya jika nilaikarakteristik matriks

dengan

Mempunyai tanda negatif pada bagian real-nya dan tidak stabil jikasedikitnya satu dari nilai karakteristik mempunyai tanda positifpada bagian real-nya

Bifurkasi Bifurkasi adalah perubahan kualitatif yang meliputi perubahan

stabilitas dan perubahan banyaknya titik setimbang yangdiakibatkan perubahan parameter.

Dalam model kompartemen penyebaran penyakit, diperlukanbilangan reproduksi dasar untuk mengetahui tingkatpenyebaran suatu penyakit.

Jika , terdapat titik kesetimbangan bebas penyakit yangstabil asimtotik. Jika , terdapat titik kesetimbanganendemik yang stabil asimtotik bifurkasi maju.

Pada bifurkasi mundur , titik kesetimbangan endemik dapatmuncul untuk . Pengendalian penyakit menjadilebih sulit.

Kurva putus-putus menunjukkan kesetimbanganendemik yang tidak stabil dan kurva yang padatmenunjukkan kesetimbangan endemik lokal yang stabil.

Studi literatur

Kajian model epidemik SIS denganvaksinasi

Bilangan Reproduksi Dasar danStabilitas Titik Kesetimbangan

Analisa terjadinya bifurkasi mundur

Kesimpulan

Model Penyebaran Penyakit MenularTanpa Vaksinasi

Model epidemik tipe SIS tanpa vaksinasi mempunyai asumsi-asumsi sebagaiberikut : Populasi dibagi menjadi 2 kelompok yaitu :

S adalah populasi susceptibleI adalah populasi infected

adalah laju kelahiran yang sama dengan laju kematian. Sedangkan Nadalah jumlah populasi susceptible dan infected. Jumlah populasi yanglahir proporsional dengan total populasi . Oleh karena itu, jumlah populasiyang lahir dalam populasi adalah . Jumlah populasi yang lahir tersebutakan memasuki kelompok S .

adalah laju besarnya populasi susceptible yang terinfeksi denganmerupakan konstanta yang menunjukkan tingkat kontak sehingga terjadipenularan penyakit.

Populasi infected kembali menjadi susceptible dengan laju .

Diasumsikan bahwa penyakit yang menyebar dalam populasi adalahpenyakit yang tidak mematikan sehingga dalam model tidak adakematian yang disebabkan penyakit. Jumlah kematian pada kelompok

masing-masing sebesar .

Dari asumsi-asumsi tersebut didapat diagram kompartemen sebagaiberikut

Dari diagram kompartemen diperoleh model epidemik tipe SI (tanpavaksinasi)

Karena N adalah jumlah seluruh populasi

Untuk memudahkan, persamaan (1) dan (2) dianalisa dalam proporsi populasi terhadap N :

dan

atau

Jika sistem dibagi dengan N maka persamaan (4.1) dan (4.2) menjadi

Karena maka s dapat disubstitusikan dalam persamaan (4.4)sehingga

Bilangan Reproduksi Dasar Model Penyebaran Penyakit Menular Tanpa

VaksinasiBilangan reproduksi dasar model penyebaran penyakit menular tanpavaksinasi didapat dari persamaan (4.5)

Maka bilangan reproduksi dasar untuk model penyebaran penyakit menulartanpa vakasinasi adalah

Model Penyebaran Penyakit Menular denganVaksinasi

Model epidemik tipe SIS tanpa vaksinasi mempunyai asumsi-asumsi sebagaiberikut : Populasi dibagi menjadi 3 kelompok yaitu :

S adalah populasi susceptibleI adalah populasi infectedV adalah populasi vaccinated

adalah laju kelahiran yang sama dengan laju kematian. Sedangkan Nadalah jumlah populasi susceptible , infected, dan vaccinated. Jumlah populasiyang lahir proporsional dengan total populasi . Oleh karena itu, jumlahpopulasi yang lahir dalam populasi adalah . Jumlah populasi yang lahirtersebut akan memasuki kelompok S .

adalah laju besarnya populasi susceptible yang terinfeksi denganmerupakan konstanta yang menunjukkan tingkat kontak sehingga terjadipenularan penyakit. Diasumsikan bahwa populasi susceptible divaksinasi(vaccinated) dengan laju konstan dan vaksin berkurang dengan lajukonstan sehingga populasi vaccinated kembali menjadi susceptible.

Tingkat ketidakefektifan vaksin dinyatakan dengan dimana dengan menunjukkan bahwa vaksin efektif dan menunjuk-kan bahwa vaksin tidak efektif. adalah laju besarnya populasivaccinated yang terinfeksi.

Populasi infected kembali menjadi susceptible dengan laju .

Diasumsikan bahwa penyakit yang menyebar dalam populasi adalahpenyakit yang tidak mematikan. Jumlah populasi yang mati pada setiapkelompok proporsional dengan jumlah populasi pada masing-masingkelompok. Oleh karena itu, jumlah kematian pada kelompokmasing-masing sebesar .

Dari asumsi-asumsi tersebut didapat diagram kompartemen model epidemiktipe SIS dengan vaksinasi sebagai berikut :

Dari diagram kompartemen diperoleh model epidemik tipe SIS denganvaksinasi :

Karena adalah jumlah seluruh populasi dan , maka

Akan dianalisa proporsi populasi terhadap N seperti pada model penyebaranpenyakit tanpa vaksinasi, dengan ditambah kompartemen vaksinasi.Jika V adalah individu vaccinated dalam total populasi tiap satuan waktu

dan Jika sistem dibagi dengan N maka persamaan (2.1)-(2.3) menjadi

Karena maka s dapat disubstitusikan dalam persamaan(4.8) dan (4.9)

Titik Kesetimbangan Bebas PenyakitTitik kesetimbangan model dapat diperoleh dengan mengambildan . Sehingga didapat

Titik kesetimbangan bebas penyakit didapatkan pada saat . yaitukeadaan dimana tidak terjadi infeksi/penularan pada populasi. Daripersamaan (15) dan (16) didapat

Jadi titik kesetimbangan bebas penyakit adalah

Kestabilan Titik Kesetimbangan BebasPenyakit

Kestabilan titik kesetimbangan ditentukan oleh nilai eigen matriksJacobian dari persamaan (4.10) dan (4.11).

Pada titik kesetimbangan bebas penyakit matriks Jacobiannya adalah :

Dari matriks Jacobian didapatkan nilai eigen

sedangkan untuk belum dapat ditentukan tandanya (dapatbernilai positif atau negatif). Oleh karena itu akan dicari bilanganreproduksi dasar model epidemik SIS dengan vaksinasi terlebihdahulu. Bilangan reproduksi dasar diperlukan untuk mengetahuidinamika penyebaran penyakit.

Berdasarkan nilai eigen dapat dianalisa sebagai berikut :

akan bernilai negatif jika

atau

maka diperoleh bilangan reproduksi dasar dari model penyebaranpenyakit menular dengan vaksinasi adalah :

Dari nilai maka didapatkan nilai sebagai berikut :• Jika

Akan didapatkan bahwa nilai eigen dan , maka titikkesetimbangan bebas penyakit stabil asimtotik.

• Jika Akan didapatkan bahwa nilai eigen dan , maka titikkesetimbangan tidak stabil.

Jika bilangan reproduksi dasar dari model penyebaran penyakit tanpavaksinasi dibandingkan dengan model penyebaran penyakit menulardengan vaksinasi, maka

atau

Titik Kesetimbangan EndemikTitik kesetimbangan endemik adalah suatu keadaan dimana terjadipenyebaran penyakit di dalam populasi. Dari persamaan (4.12) dengan

didapat

Persamaan (4.14) disubstitusikan ke (4.13) didapat

dengan

maka dari persamaan (18) didapat :a. Jika maka , sehingga mempunyai penyelesaian positif

tunggal.b. Jika maka , sehingga mempunyai penyelesaian positif

tunggal untuk .c. Jika maka , sehingga

○ Jika mempunyai dua penyelesaian positif yang berbeda.

○ Jika mempunyai penyelesaian positif tunggal .

○ Jika tidak mempunyai penyelesaian positif.

.

Kestabilan Titik Kesetimbangan EndemikPada titik kesetimbangan endemik matriks Jacobiannya adalah :

Titik setimbang stabil asimtotis jika dan hanya jika nilai eigenmatriks J mempunyai tanda negatif pada bagian real-nya dan tidak stabiljika sedikitnya satu dari nilai eigen mempunyai tanda positif pada bagianrealnya.

Tanda dari nilai eigen suatu matriks dapat ditentukan oleh tandadeterminan dan trace matriks tersebut, dengan

Dari matriks didapat

sehingga

Jika maka

Karena nilai eigen matriks mempunyai tanda negatif maka titikkesetimbangan endemik stabil.

makaKarena satu dari nilai eigen mempunyai tanda positif maka sistemtidak stabil.

makaDari (19) didapat

sehingga Jika atau

maka deterimannya positif dan titik kesetimbangan stabil asimtotik. Jika atau

maka determinannya negatif dan titik kesetimbangan tidak stabil. Jika atau maka determinannya nol dan titik ini disebut

titik bifurkasi.

Kurva Bifurkasi

Untuk menggambar kurva bifurkasi, diasumsikan sebagai variabeldengan parameter konstan. dipandang sebagai variabelkarena menentukan besar kecilnya penyebaran penyakit.Deferensial implisit dari (18) terhadap adalah

Karena maka Kurva bifurkasi mempunyai kemiringan positif jika atau

kurva bifurkasi mempunyai kemiringan positif jika atau

Dengan menggabungkan pembahahasan (4.2.4) dan kemiringan kurvadidapat Jika maka kemiringan kurva positif dan

determinannya positif maka titik kesetimbangan endemik stabil asimtotik.

Jika maka kemiringan kurva negatif dan determinannya negatif maka titik kesetimbangan endemik tidak stabil.

Sehingga didapat kurva bifurkasi sebagai berikut

Efektivitas Vaksin

Dalam model epidemik pada tugas akhir ini, menyatakan tingkatketidakefektifan vaksin dengan dimana menunjukkanbahwa vaksin efektif dan menunjukkan bahwa vaksin tidak efektif.Jika vaksin efektif atau maka persamaan (4.15) menjadi

atau

sehingga tidak terdapat titik kesetimbangan endemik terdapat satu titik kesetimbangan endemik

jika vaksin efektif , maka tidak terjadi bifurkasi mundur.

Simulasi dan Interpretasi

Dari persamaan (4.15) dicari persamaan yang mengandung i :

Dengan

Misal adalah titik puncak dari kurva, maka

dan

Agar maka haruslah

dengan

Diagram Bifurkasi Mundur Diagram Bifurkasi Maju

Diagram Bifurkasi Mundur Diagram Bifurkasi Maju

Beberapa input nilai parameter lain dan terjadinya bifurkasi mundurtercantum dalam tabel berikut :

Kesimpulan

1. Bilangan reproduksi dasar dari model penyebaran penyakit menulardengan vaksinasi adalah

Titik setimbang bebas penyakit adalah stabil asimtotik jikadan tidak akan stabil jika . Hal ini menunjukkan bahwa tidakterjadi infeksi ketika kurang dari .

2. Bifurkasi mundur terjadi pada saat dimana terdapat satu titiksetimbang endemik jika dan terdapat dua titik setimbangendemik jika . Fenomena bifurkasi mundur menunjukkanbahwa pada saat daya infeksi tinggi yang menyebabkanpopulasi manusia yang terinfeksi meningkat namun pada saatmasih ada penyakit yang menyerang populasi manusia

Saran

Dalam tugas akhir ini dianalisa eksistensi bifurkasi mundur padamodel penyebaran penyakit menular SIS yang ditambah dengankompartemen vaksinasi, untuk penelitian selanjutnya disarankanuntuk menganalisa terjadinya bifurkasi mundur pada modelpenyebaran penyakit menular dengan menambahkankompartemen isolasi.

[1] Chengjun. S dan Wei, Y. (2010). “Global Results for an SIRS Model with Vaccination and Isolation”. Nonlinear Analysis. Hal. 418-431.

[2] Chengjun. S. Wei, Y. Julien A. (2010). “Global Analysis for a GeneralEpidemiological Model with Vaccination and Varying Population”. Mathematical Analysis and Applications. Hal 208-223.

[3] Djasuli, M. (2009). “Eksistensi Bifurkasi Mundur pada Model Penyebaran Penyakit Makroparasitis”. Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, Tugas Akhir S2 Jurusan Matematika

[4] X, Jorge, C.M. Kribs-Zaleta, Velasco-Hernández. (2000). “A Simple Vaccination Model with Multiple Endemic States”, Mathematical. Biosciences. Hal.183–201.