Post on 23-Dec-2015
description
Catatan Kuliah Fisika Modern
Oleh: Annisa Aprilia | Konsep Paket Gelombang
1
MODUL 5. KONSEP PAKET GELOMBANG
“Gelombang dan Presentasi Matematikanya”
PRINSIP HUYGENS
Menghipotesakan bahwa cahaya memerlukan zat perantara sebagai wadah perambatannya.
Huygens menerangkan bahwa cahaya merambat menurut garis lurus. Selain itu menerangkan
pula mengenai pembiasan berkas cahaya pada permukaan batas dua zat perantara dengan
indeks bias yang berbeda.
PRINSIP SUPERPOSISI UNTUK GELOMBANG:
Bilamana dua buah gelombang atau lebih, bekerja secara serentak pada suatu titik tertentu
dalam ruang, maka perubahan yang timbul dari hasil kerja sama gelombang-gelombang itu
sama dengan jumlah vektor perubahan yang dihasilkan oleh masing-masing gelombang itu
sendiri di titik tersebut.
Beberapa istilah mengenai zat perantara gelombang disertakan di bawah ini:
Isotropis: Apabila disetiap satu titik kecepatan rapat gelombang sama untuk semua
frekuensi.
Homogen dan Isotropis: Kecepatan rambat gelombang sama untuk semua frekuensi.
Non-dispersif: Bila kecepatan gelombang sama untuk semua frekuensi.
Dispersif: Bila kecepatan rambat gelombang bergantung dari frekuensi. Salah satu
contoh dispersif adalah terurainya cahaya matahari setelah menembus prisma.
MATEMATIKA GELOMBANG
Ungkapan matematika gelombang berjalan dalam satu dimensi dapat diperoleh, dengan
contoh sebagai berikut:
Suatu fungsi dari x dapat diungkapkan dengan notasi (x).
Jika posisi berubah terhadap waktu, dimana x = x0 –vt, maka dapat fungsi gelombang tersebut
ditulis menjadi : (x) = (x-vt)
x = koordinat kedudukan,
Catatan Kuliah Fisika Modern
Oleh: Annisa Aprilia | Konsep Paket Gelombang
2
t = waktu,
dan v = merupakan kecepatan rambat gelombang dalam arah sumbu-x.
Ilustrasi:
Gambar 5.1 Ilustrasi gelombang dengan fungsi (x) = (x-vt) merambat searah sumbu x
positif.
Gelombang harmonik adalah bentuk yang khusus, direpresentasikan sebagai:
(x, t) = A e ) (5.1)
k = vektor gelombang
= frekuensi gelombang
A= Amplitudo gelombang
= cepat rambat gelombang.
Gelombang yang direpresentasikan dengan persamaan tersebut memiliki keberkalaan ruang
x dan waktu t. Sehingga akan terlihat:
(x, t) = A e )e pada t = 0
(x, t) = A e ) (5.2)
Bila pada t = 0 tersebut nilai (x, t) = (x + ) , maka
(x, 0) = (x + , 0)
A e ) = A e ) (5.3)
Memberikan ungkapan bagi panjang gelombang: =
Catatan Kuliah Fisika Modern
Oleh: Annisa Aprilia | Konsep Paket Gelombang
3
Terlihat bahwa di suatu kedudukan x0 dan harga ( , 0) pada saat t, dan T +t, adalah:
e = e ) (5.4)
Memberikan ungkapan bagi perioda gelombang,
= (5.5)
Gelombang harmonik merupakan gelombang yang sangat bermanfaat dalam analisis
gelombang. Selain itu ada pula suatu metode, yaitu metode Fourier. Metode ini adalah suatu
cara superposisi harmonik menjadi fungsi analitik ke dalam deret fungsi harmonik.
Presentasi Fungsi (x, t) = A e )secara grafis:
(x, t) = A e ) = (x, t) = A e )e
Gambar 5.2 Presentasi fungsi gelombang secara grafis.
Fungsi ini merupakan gelombang harmonik murni, artinya
hanya ada satu vektor gelombang k dan satu frekuensi . Maka
dapat diketahui keadaan gelombang tersebut dalam ruang
pada saat t = t0 dengan catatan nilai k0 dan amplitudonya A0
telah diketahui. Keadaan di atas terdiri dari satu komponen
harmonik, bervektor gelombang k0 dengan amplitude A0.
Gambar 5.3
Catatan Kuliah Fisika Modern
Oleh: Annisa Aprilia | Konsep Paket Gelombang
4
Pada superposisi gelombang dengan amplitude yang sama (A0), dengan nilai k0 dan (k0 + k).
Selain itu terdapat kondisi dimana: k<< k0 dan << 0 .
Gambar 5.4
Ungkapan matematis kedua gelombang itu adalah,
(x, t) = A e ) (5.6)
(x, t) = A e [( ] (5.7)
Superposisi keduanya menghasilkan:
(x, t) = 2 A cos e , , ) (5.8)
dengan,
, + mengingat nilai maka suku itu diabaikan, sehingga
,
Begitu pula untuk frekuensi,
, + , sehingga, , .
Maka dari itu persamaan matematis superposisi dari kedua gelombang itu adalah:
(x, t) = 2 A cos e ) (5.9)
Catatan Kuliah Fisika Modern
Oleh: Annisa Aprilia | Konsep Paket Gelombang
5
Gambar 5.5
Jika diperhatikan suatu gelombang pada persamaan 5.5, dimana gelombang besar berasal
dari gelombang kecil pembangunnya dengan nilai amplitude yang berubah terhadap waktu,
yaitu merupakan konsekuensi dari superposisi dua gelombang. Seandainya jarak antara titik
simpul satu ke berikutnya diungkapkan oleh x, dimana nilai-nya adalah setengah dari
panjang gelombang hasil superposisi, maka
12 = 1
2 = (5.10)
Penjelasan lebih lanjut mengenai persamaan gelombang, dapat dilihat berikut ini. Misal
Gelombang dengan frekuensi tunggal k0 dan 0, direpresentasikan oleh persamaan berikut
ini,
(x, t) = A e ) imaginer
(x, t) = A cos( ) riil
Pada salah satu titik dimana fasanya tetap, misal P maka hal itu memiliki kondisi sebagai
berikut:
= konstan
Catatan Kuliah Fisika Modern
Oleh: Annisa Aprilia | Konsep Paket Gelombang
6
( ) = 0
=
= ;
= (5.11)
adalah kecepatan fasa, yaitu kecepatan rambat dari titik berfasa tetap di dalam ruang.
Gelombang merepresentasikan perilaku gelombang suatu partikel melalui besaran panjang
gelombang = .
Namun bagaimanakan kedudukan partikel dipresentasikan dalam gambaran gelombang
tentang partikel itu? Jawabannya adalah pada gelombang yang memiliki lebih dari satu
vektor gelombang k dan/atau lebih dari satu frekuensi yaitu gelombang superposisi.
Tinjau kasus sebelumnya:
+ ; , = +
(x, t) = 2 A cos2 2
e )
Amplitudo gelombang
Representasi secara grafis berada pada gambar 5.6:
= kecepatan fasa grup dari hasil superposisi gelombang (kecepatan kelompok).
Pada kondisi di bawah ini, maka berlaku hubungan seperti pada persamaan 5.10:
12 = 1
2 =
Jika pada titik d (gambar 5.6), maka keadaannya memenuhi:
Catatan Kuliah Fisika Modern
Oleh: Annisa Aprilia | Konsep Paket Gelombang
7
2 2= konstan
2=
2
= = (5.12)
Ungkapan adalah perbedaan ataupun perubahan frekuensi dari 2 gelombang dibagi
dengan perubahan vektor gelombang .
Gambar 5.6 Gambar di atas menerangkan letak dari kecepatan vasa dan kecepatan grup dari
hasil superposisi gelombang.
Telah diketahui bahwa kecepatan fasa untuk gelombang gabungan yang berbeda kecil dalam
vektor gelombang k dan frekuensi radial , diungkapkan oleh persamaan 5.11 ( = ).
Sedangkan di titik tertentu dengan nilai tetap pada selubung amplitude gelombang gabungan
itu bergerak dengan apa yang diistilahkan sebagai kecepatan kelompok (persamaan 5.12):
= atau =
Catatan Kuliah Fisika Modern
Oleh: Annisa Aprilia | Konsep Paket Gelombang
8
Kecepatan kelompok bukanlah sifat gelombang komponennya melainkan merupakan sifat zat
perantara dalam, yang mana paket gelombang tersebut bergerak.
=
Kecepatan sebuah partikel materi sama dengan kecepatan grup paket gelombang yang
bersangkutan. Sehingga sebuah partikel yang geraknya terbatas dalam suatu bagian ruang
dilukiskan oleh sebuah paket gelombang yang adalah superposisi dari gelombang-gelombang
de Broglie.
Panjang daerah antara dua titik bersebelahan yang dimiliki harga nol untuk besar selubung
amplitude sama dengan nol adalah:
= 12
=2
12
=
= 4 (5.13)
Berdasarkan persamaan 5.13 dapat diketahui bahwa jika nilai besar, maka nilai
akan menjadi kecil, begitu pula sebaliknya.
Bila = 0 maka nilai = , hal ini menyatakan bahwa partikel bisa dalam
kedudukan antara < 0 < yang berarti bahwa kedudukan tersebut tidaklah
bernilai pasti. Jika = 0 berarti gelombang memiliki karakteristik dengan nilai k dan
tunggal.
Jadi dengan superposisi dua gelombang bervektor gelomabng k dan frekuensi radial
yang berbeda kecil, diperoleh selubung amplitude yang berbeda dan bernilai konstan di
seluruh interval x, namun terkelompok secara periodik dengan lebar x, di seluruh
interval. Hasilnyapun tidak memadai, kedudukan x partikel tidaklah tentu.
Catatan Kuliah Fisika Modern
Oleh: Annisa Aprilia | Konsep Paket Gelombang
9
Sehingga langkah selanjutnya adalah melakukan superposisi dari n-gelombang
beramplitudo sama A0, namun masing-masing memiliki vektor gelombang yang besarnya
bervariasi antara k0 dan + ) dengan nilai n = 1, 2, 3, ……N-1.
Sketsa:
Anggap nilai frekuensi angularnya bernilai sama yaitu 0. Maka gelombang superposisi
tersebut dapat dituliskan dengan persamaan:
(x, t) = A e )[1 + e + e + e + … … … ]
1 + e + e + e + … … … =e 1e 1
Sehingga,
(x, t) = A e ( ) e 1e 1
(5.14)
dengan nilai frekuensi angular dan vektor gelombang antara dan , maka
persamaan 5.14 menjadi,
(x, t) = A esin 2
sin(1N 2 )
Apabila N besar, maka : sin( )
Sehingga persamaan 5.14, menjadi
(x, t) N A2
e ( ) sin2
(5.15)
Catatan Kuliah Fisika Modern
Oleh: Annisa Aprilia | Konsep Paket Gelombang
10
Perhatikan kondisi berikut ini:
Nilai dari | (x, t)| akan berharga maksimum bila = 0, = 0
(x, t) akan bernilai nol, bila , dengan nilai n= 1, 2, 3……..
besar x, yakni harga bersebelahan dikiri kanan x = 0 dengan (x, t) = 0 adalah
= 2 =
. = 4
ternyata ungkapan ini didapatkan kembali seperti dengan persamaan 5.13.
Sketsa dari hasil superposisi N gelombang, dapat dilihat pada gambar 5.8 berikut.
Gambar 5.8 Sketsa dari hasil superposisi N gelombang.
Catatan Kuliah Fisika Modern
Oleh: Annisa Aprilia | Konsep Paket Gelombang
11
Gambar5.9
Dapat dilihat dari grafik | (x, t)| pada gambar 5.9 bahwa amplitude gabungan | (x, t)|
diangkat untuk merepresentasikan kedudukan partikel, maka kedudukan itu lebih tentu
dibandingkan dengan kasus satu bilangan gelombang k =k0. Atau dengan kasus dua
gelombang dengan vektor gelombang k0 dan (k0 + k).
Seandainya nilai x sebagai ukuran ketidakpastian kedudukan partikel. Untuk nilai x yang
kecil, maka nilai k harus besar, karena ada hubungan antar keduanya, yaitu . = 4 .
Berdasarkan analisa Fourier tentang penjabaran kedalam deret fungsi harmonik, diperoleh
bahwa harga terkecil dikalikan dengan adalah :
. =12
(5.16)
Spektrum k itu sendiri bentuk sebarannya adalah berupa fungsi Gauss:
Catatan Kuliah Fisika Modern
Oleh: Annisa Aprilia | Konsep Paket Gelombang
12
Gambar 5.10 Sebaran spektrum k, dengan bentuk distribusi Gauss.
Untuk sebaran lain berlaku bahwa : . >
Sehingga secara umum berlaku : . (5.17)
Bila dikalikan dengan tetapan :
.12
Mengingat = , maka
=
= =
= (perubahan momentum).
Sehingga,
.2
(5.18)
Ungkapan bagi adalah ketidakpastian dalam harga kedudukan partikel dan adalah
ketidakpastian dalam harga momentum linier.
Hubungan di atas dinamakan dengan ketidakpastian Heisenberg. Pandanannya untuk
pergerakan sumbu y dan z:
Catatan Kuliah Fisika Modern
Oleh: Annisa Aprilia | Konsep Paket Gelombang
13
.2
(5.19)
.2
(5.20)
Hubungan ini didapat dari penggabungan gelombang dari berbagai nilai k. Bila dilakukan
untuk gelombang dari berbagai nilai frekuensi angular ( ) akan diperoleh hubungan:
.12
(5.21)
.2
(5.22)