Post on 09-Feb-2018
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
1/33
1
SEJARAH MATEMATIKA
KELOMPOK 9
SUTRIANI HIDRI 1111140010
HASRIANITA HASANUDDIN 1111140003
HARPINA EKA PUTRI 1111140042
HADRIANTY RAMLY 1111140051
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
2013
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
2/33
2
1. PENDAHULUANMeringkas sebuah kalimat/beberapa frasa merupakan ciri/karakteristik dari
matematika. Orang-orang mengatakan bahwa Matematika adalah ilmu
pengetahuan yang tidak terbatas.
Matematika murni merupakan sekumpulan proposisi/pernyataan dari
bentuk p maka q, dimana p dan q adalah proposisi yang masing-masing
memiliki sekurang-kurangnya satu atau lebih variable, mempunyai kesamaan
dalam dua proposisi dan baik p atau q tidak mengandung nilai tetap kecuali nilai
logikanya.
Selama abad ke-20, telah banyak muncul pendapat tentang matematika,
dan banyak perubahan makna matematika berdasarkan siapa yang melakukan
atau menggunakannya dibandingkan sejarah matematika itu sendiri. Beberapa
orang telah mencoba mendefinisikan matematika di masa lalu, tetapi mereka
belum menemukan jawaban layaknya extremist atau belum bersifat
matematika. Mereka adalah Herman Weyl dan Bertrand Russell, namun
jawaban mereka tampaknya masih tergolong jawaban masa lalu. Bahkan tulisan
Alan Turing tentang Bilangan Yang dapat dihitung masih sulit
ditafsirkan/diterjemahkan oleh pembaca modern; karena setelah 70 tahun, nama
Turing telah menghilang. Salah satu strategi awal untuk mengelola materi,
terlebih dahulu kita membagi ke dalam dua bagian, yaitu memperhatikan tulisan
Godel pada tahun 1931 sebagai titik awal yang berguna. Pada bab ini, kita
dihadapkan pada permasalahan utama, tentang krisis pada tahun 1900 sampai
1930; siapa yang merasakannya, bagaimana menghadapinya serta bagaimana
mengakhiri krisis tersebut. Pada saat yang sama, sangat penting untuk diingat,
bahwa krisis tersebut hanyalah masalah bagi beberapa matematikawan, hanyabeberapa dari mereka menganggap masalah krisis tersebut sangat penting. Oleh
karena itu, masalah keseimbangan minat dan juga pertanyaan yang mendasar,
memunculkan beberapa kesempatan yang menyakitkan terhadap gambaran yang
sebaiknya kita anggap parallel dalam pengembangan aljabar dan topologi,
khususnya teori simpulan. Hal tersebut juga merupakan bagian dari cerita,
bahwa jika terdapat pandangan abad ke-20 yang ditandai oleh semakin
banyaknya abstraksi dan bentuk formal, maka akan terlihat menyebar ke seluruh
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
3/33
3
belahan bumi sebagai sebuah simpulan. Secara alami, bagian yang sangat besar
dari bidang matematika telah dikurangi dan bagian tersebut dikerjakan oleh
fisika. Mungkin terdapat banyak kompensasi pada bab ini. Tetapi pembaca harus
memperhatikan bagian-bagian yang dipilih.
Sebagaimana akan kita lihat, awal cerita didahului oleh 30 tahun sebelum
abad ke-20. Dunia matematikawan pada waktu itu ditingkatkan secara
substansial oleh institusi besar pengajaran dan penelitian di Jerman dan Prancis,
serta beberapa institusi kecil di berbagai negara lainnya. Sementara keadaan
masih tetap konstan, hal tersebut seharusnya diingat pada setiap tahap (a) bahwa
orang-orang yang dipekerjakan pada saat itu masih relatif sedikit dibandingkan
saat sekarang dan (b) hal tersebut kurang lebih terus berkembang dalam
menanggapi tuntutan masyarakat, tidak untuk matematikawan tetapi untuk,
engineers, akuntan, statitistikawan dan sejenisnya. Begitulah institusi
berkembang dalam memilih masalah terutama terhadap definisi bilangan atau
dengan menceritakan dua simpulan terpisah, kegiatan/bisnis mereka; salah
satunya dapat berspekulasi tentang hal yang dapat terkait di bidang ekonomi.
Bagaimanapun juga fungsi utama orang-orang yang dipekerjakan tersebut
(karyawan) adalah untuk mengajar dan memberikan prestasi bagi institusi
mereka sendiri.
2. LITERATURMatematika pada awal abad kedua puluh lambat laut diteliti. Karena krisis
dasar menyediakan banyak materi untuk sejarawan, itu lebih mudah tercakup,
penuh dengan sumber buku, disunting oleh van Heijenoort1(1967) dan Mancosu
(1998), sebaik bab dalam Grattan-Guinness (1980). Karya terbaru Corrymengenai asal usul abstraksi (2004), tidak akan dibahas di sini. Ditambahkan
lagi, dan untuk peningkatan volume artikel di jurnal, periode alami telah menjadi
daya tarik bagi penulis yang sering memiliki akses ke mata pelajaran mereka
atau untuk teman dekat;
1Hal ini biasa untuk menunjukkan bahwa Jean van Heijenoort adalah sekretaris Trorsky selama tahun 1930-an, hanya
kemudian menjadi seorang sejarawan yang membedakan logika matematika. Memang sebuah catatan kaki yang menarik.
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
4/33
4
Satu hal yang dapat dikutip Cantor (Dauben 1990), Russell (Russell 1967; Biksu
1997, 2001), Hilbert (Reid 1970), Brouwer (van Dalen 1999), Weyl (Wells
1988), Ramanujan (Kanigel 1991), Noether (Dick 1981), dan seterusnya.
Mereka bukan benar-benar 'sejarah', tetapi mereka dapat menjadi sumber yang
sangat baik. Dua karya fiksi menarik diawal abad dua puluh dimiliki
'matematikawan' sebagai pahlawan mereka Musil's (1953) dan Ford Madox
Ford (2002); Namun, kenyataannya cukup marjinal untuk membentang panjang
dari dua novel.
Karena kesulitan mereka, pernyataan yang dibuat dalam bab 8 berlaku
meskipun lebih lanjut di sini. Hampir tidak ada penemuan matematika abad ke-
dua puluh sebagai syarat menyelesaikan program sarjana mereka, meskipun
setiap kursus pada aljabar linear, atau teori grup, atau analisis akan diajarkan
dengan cara yang hanya diselesaikan sekitar tahun 1950. Matematika modern
tidak mudah meminjamkan dirinya untuk menjadi demokratisasi, Hilbert (1900),
memperkenalkan daftar masalah yang sangat sulit baginya untuk abad
berikutnya, dikaitkan dengan disebutkan namanya sebagai 'matematikawan tua
Perancis' yang mengatakan: "Sebuah teori matematika yang tidak dianggap
lengkap sampai Anda telah membuatnya begitu jelas bahwa Anda dapat
menjelaskannya kepada manusia pertama yang Anda temui di jalan'.
3. OBJEK BARU DALAM MATEMATIKA(Dikutip dalam Dick1981, hal.68)
Sebagai pemimpin dari para profesor Victoria, paman, pertapa dan agak
berantakan, mereka [Dedekind dan Cantor] berkumpul tanpa disadari disekitar
tempat lahir seorang bayi Briar Rose yang suatu hari akan menjadi pembaptisModernisme. (Everdell 1997, hal.31)
Untuk sampai pada bukti nyata teorema (seperti misalnya ),
untuk yang terbaik dari pengetahuan belum pernah dibentuk sebelumnya.
(Dedekind 1948, p.22)
Matematikawan hanya bisa merasa tersanjung oleh William Everdell yang
menempatkan mereka sebagai pelopor Rimbaud, Freud, Joyce, Picasso dkk.,
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
5/33
5
Bahkan jika pernyataan Dedenkind tentang apa yang dia didik tampaknya
sesuatu yang ditolak. Dia menyadari hal itu sendiri:
Mayoritas pembaca saya mungkin akan kecewa saat mempelajarinya bahwa dengan
pernyataan ini rahasia kontinuitas akan terungkap. (Dedekind 1872, di Fauvel dan Gray
18.C.1, hal.575)
Meskipun demikian, karya Richard Dedekind dan teman petualangnya
Georg Cantor pada bilangan, terus menerus dan tak terbatas, tidak
menyebabkan pembentukan kembali matematika jika tidak berdasar pada
seluruh pandangan dunia. Memang, setelah waktu yang relatif singkat itu
membawa tentang 'krisis dasar', yang dimulai beberapa waktu sekitar tahun
1903, menjadi genting pada tahun 1920. Masalah yang muncul adalah tentang
himpunan, dan pertanyaan pertama yang wajar, bagaimana matematika, yang
selama kita kenal sudah berkisar dengan angka dan geometri, datang untuk
menyibukkan dirinya dengan himpunan ? Ini harus dipahami bahwa sekarang
bahkan lebih dari sebelumnya, dunia matematika menjadi terfragmentasi, dan
kekhawatiran ini rata-rata bukan orang-orang dari dosen universitas, apalagi
insinyur atau ahli statistik. Kami prihatin untuk saat ini dengan elit penelitian
yang relatif kecil bekerja terutama di Perancis dan Jerman, dan krisis seperti
yang berkembang keluar dari upaya mereka untuk membuat beberapa rasa
kalkulus yang, seperti telah kita lihat (Bab 7) dibuat dengan sangat sedikit
pengertian sebagai teori meskipun bekerja dengan baik dalam praktek .
Pernyataan Dedekind pada apa yang bisa dia buktikan berdiri sebagai titik
penting. Untuk membahas masalah apa definisinya dimaksudkan untuk
memecahkan akan membawa kita terlalu jauh ke belakang tetapi ide dasarnya
adalah, dalam kata-kata seorang komentator:
Untuk menemukan definisi dari mana teorema dasar pada limit bisa dibuktikan. (R.
Bumm, diGrattan-Guinness (ed.) 1980, hal. 222)
Secara singkat, Anda perlu menentukan batas kedua turunan dan integral dengan
benar, dan karenanya untuk menangani masalah kalkulus, dan dengan berbagai
masalah lain, terutama perilaku deret Fourier, yang telah muncul. Definisi
Dedekind tentang bilangan real, sebagai landasan yang penting untuk limit
kalkulus, diproduksi kembali dalam Lampiran A. Hal ini lebih populer dan lebih
mudah dipahami dibanding Cantor- meskipun masih tidak banyak yang
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
6/33
6
diajarkan pada pelajaran kalkulus dan iklan seperti itu memang pendiri dokumen
modernisme dalam matematika, jika tidak ada tempat lain. Diketahui himpunan
R dari semua bilangan rasional (yaitu pecahan
,
dan sebagainya) yang
untuk sementara waktu kami anggap bermasalah, Dedekind menganggap
masalah mengkarakterisasi, katakanlah, ini tidak rasional-ada lubang,
dibilangan rasional dimana akar kuadrat dari 2 seharusnya. Idenya adalah untuk
menentukan jumlah riil menjadi lubang. Kurang mistis, kita mempertimbangkan
'cut' didefinisikan oleh dua himpunan:
{ } { }
(Lihat Gambar 1.) Segala sesuatu di L kurang dari , segala sesuatu di U lebih
besar; adalah titik antara yang hilang
Gambar 1 Dedekind dipotong. Jumlah tersebut membagi kelas L kiri (yang
berisi bilangan rasional a, b, c) dari kelas kanan(yang berisi d, e, f).
Dalam definisi Dedekind, diambil dan harus dipotong. Hal ini mungkin
dianggap sedikit kabur juga, dan kemudian penulis yang berdasar pada Cantor
menetapkan teori (seperti Russell) didefinisikan sebagai himpunan yang lebih
rendah. Dua poin penting adalah :
a. Setelah definisi telah dibuat, mudah untuk melakukan aritmatika(menambah, mengalikan, bahkan mengambil akar dll) dengan bilangan
tersebut.
b. Lebih lanjut operasi mengambil batas (misalnya dari peningkatan barisanx1, x2, .... yang dibatasi di atas) sama mudahnya.
c. Di sisi lain, bagaimanapun Anda melihatnya, Anda telah 'menetapkan'bilangan untuk menjadi sesuatu yang bukan sekedar angka. Untuk
ratusan tahun, matematika berkisar tentang angka dan angka geometris.
Sekarang, tiba-tiba, adalah tentang sesuatu yang lain.
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
7/33
7
Apakah itu kemudian berubah ? Mendasari semua ini adalah ide-ide yang
datang jauh kemudian : bahwa objek matematika tidak sebenarnya hal -ini -
sendiri (sebagai orang berpikir tentang segitiga, misalnya, atau angka '7'). Setiap
cara membangun benda-benda yang mematuhi aturan yang sama diberkahi
mereka dengan keberadaan, dan dua cara yang berbeda dikonstruksi, jika
hasilnya mematuhi aturan yang sama, bisa dianggap sebagai sama - kita akan
sekarang dalam keadaan yang cocok menggunakan 'isomorfik' kata. Kita telah
melihat ini dalam bab 8, di mana bidang non - Euclidean dibangun sebagai
permukaan dengan aturan baru tentang apa yang merupakan 'garis lurus' dan
'sudut'.
Bahkan saat ini, metafisika tersebut dianggap di luar lingkup siswa SMA
atau (sering) mahasiswi tahun pertama. Pada saat itu mereka baru, baru mulai
dieksplorasi, dan hanya didukung perasaan kuat oleh contoh bahwa ide-ide
intuitif bilangan yang tidak cukup dapat diandalkan melaju ke depan proses.
Tidak ada yang membuat lebih jelas perubahan fundamental yang mendasari
pandangan baru selain fakta bahwa tampaknya segera diperlukan untuk kembali
lebih lanjut dan menetapkan bilangan asli {0,1,2,3,4, ...} pada landasan aman,
meskipun yang mereka miliki sebelumnya tidak ada yang bermasalah. Gottlob
Frege pada tahun 1884 untuk mendefinisikan ini sebagai himpunan juga. 3,
misalnya, berarti himpunan semua himpunan yang dapat dimasukkan ke dalam
korespondensi 1-1 dengan (didefinisikan sebelumnya) himpunan, katakanlah S3,
yang memiliki tiga unsur-sehingga '3' berarti 'himpunan semua himpunan
dengan tiga elemen'. [itu adalah cara Frege mendefinisikan S3 yang berhenti
mendefinisi dari yang melingkar.]
Sedikit demi sedikit, di antara matematikawan-terutama Jerman, tapi untukmenyertakan Peano(Italia), Russell(Inggris), ..- semakin banyak hal-hal yang telah
tampak jelas memerlukan bukti, ketika bagian dari bangunan tampak suara, ada
yang mulai khawatir tentang tiang penyokong, sehingga pada 1920 kita menemukan
Hillbert, mungkin matematikawan paling cakap sepanjang waktu, mengambil waktu
untuk menunjukkan bagaimana seseorang dapat membuktikan bahwa 1+2=2+1. 2
2. Hillbert, "Grounding Baru Matematika', (1992) dimancosu (1998, hal. 201). Implikasi sepele ini tentu saja tidak adil;
Hillbert telah menunjukkan bagaimana sebuah sistem aksioma minimal formal untuk aritmatika dapat digunakan untuk
menetapkan semua hasil yang diperlukan. Semua sama, gambar yang mencolok.
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
8/33
8
Dorongan untuk dasar suara adalah hal kuat, dan secara keseluruhan berbuah,
sangat menarik bahwa itu adalah sebuah episode yang dapat dianggap tertutup,
bahwa matematikawan telah kembali ke kondisi naif asumsi bahwa apa yang
mereka lakukan bekerja (meskipun prosedur fisikawan masih mungkin
mengkhawatirkan mereka). Proses penyidikan, bagaimanapun, membawa dunia
matematika dan filsafat menjadi hubungan yang lebih dekat.
Hubungan itu tidak berarti yang baru, hampir semua filsuf sejak Plato telah
tercermin pada matematika, dan banyak matematikawan (Descartes, Pascal,
Leibniz, Bolzano) adalah filosophers juga. Tapi ketergantungan pada teori
himpunan dan logika memperkenalkan pandangan baru ke keduanya matematika
dan filsafat, dan dalam matematika kembali ragu, untuk mencari yang salah,
Morris Kline bertahun-tahun kemudian menyebut 'hilangnya kepastian' [Kline
1980].
4. KRISIS, KRISIS APA?Tidak layak manusia hidup hanya untuk menghabiskan waktu pada hal-hal
sepele seperti itu. Namun harus bagaimana lagi? Ada sesuatu yang salah, sejak
kontradiksi tersebut tidak dapat dihindari pada premis biasa. (Russell 1967, hal.
147).
Saat ini matematika muncul sebagai bagian dari ekonomi yang
mengerikan. Pada kenyataannya matematika diibaratkan sebagai makanan dalam
ekonomi. Segala sesuatu yang umum, dan semua pernyataan eksistensial secara
tidak langsung mengambil bagian di dalamnya. Namun sebagai matematikawan,
sangat jarang mempertimbangkan hal seperti ini! Bukanlah teorema eksistensial
yang penting, namun penyusunan dilakukan berdasarkan bukti.(Weyl, 'pada
krisis dasar baru dalam matematika' (1921), di Mancosu tahun 1998, hal. 98)
Perilaku banyak matematikawan terkemuka di tahun 19001930 sangat
biasa, pembaca mungkin merasa lebih selaras dengan tujuan matematika Cina
dibandingkan dengan orang-orang seperti Hilbert, Brouwer, Russell dan
sezaman mereka. Mengapa dunia matematika tiba-tiba dipandang sebagai begitu
tidak aman? Bagaimana hal pahit itu terjadi yaitu matematikawan berada dalam
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
9/33
9
persaingan pemikiran, seperti 'Bolshevist' (Hilbert terhadap Brouwer dan Weyl)
atau 'non-Aryan' (Brouwer terhadap lawannya); dan untuk bertengkar tentang
kehadiran pada konferensi dan redaktur jurnal? Tahun 1900 melihat kesimpulan
Hilbert tentang kemajuan matematika, dan daftar masalah terkenalnya
menunggu solusi di abad baru. Suasana hatinya optimis:
Kemampuan meyakinkan ini dari setiap masalah matematika adalah pendorong yang
kuat untuk pekerja.Kita mendengar diantara kita terus-menerus menyebut: ada masalah.
Cari solusinya. Anda dapat menemukannya dengan alasan berdasarkan teori, karena
dalam matematika tidak ada ignorabimus. (Hilbert 1900)
Namun, perlu dicatat bahwa pertama, dua masalah berkaitan dengan
dasar-dasar: hipotesis kontinum Cantor dan konsistensi aksioma untuk
aritmatika (yang ditentukan). Sehingga, muncul pekerjaan yang perlu dilakukan
pada semua aksioma itu. Ada beberapa perselisihan mengenai apa yang harus
dilakukan, tapi teori himpunan Cantor yang mendasari aritmatika Frege dan
Dedekind tampaknya menyediakan suatu program yang baik.
Meskipun demikian, menurut Gray yang ditunjukkan dalam sebuah artikel
terakhir (2004), ada tanda-tanda sesuatu yang bisa disebut 'kecemasan' tentangdasar-dasar. Mereka dapat ditelusuri kembali lebih awal; pada tahun 1810
Bolzano berkata:
Bagaimanapun para ahli terbesar ilmu ini [yaitu matematika] bahkan selalu menjawab,
tidak hanya, bangunan ilmu pengetahuan mereka masih tidak benar-benar selesai dan
yang terdapat dalam bangunan; tetapi juga, bahwa dinding fondasi bangunan ini
sebaliknya indah sekali namun belum sepenuhnya kokoh dan teratur; atau, untuk
berbicara tanpa gambar, bahwa bahkan dalam pelajaran dasar dari semua disiplin
matematika terdapat banyak kesenjangan dan ketidaksempurnaan ditemukan. (Bolzano,
(1810))
Namun, itu hanya pada penghujung abad yang secara umum optimis
dengan kekuatan matematika yang mulai membuka keraguan dan memang hal
itu akan sulit jika tidak memikirkan pekerjaan yang sedang berjalan dalam upaya
untuk menopang bangunan. Setiap keakraban dengan pekerjaan kritis pada
periode budaya akan menunjukkan bahwa kecemasan dan modernisme bersama-
sama seperti kuda dan kereta. Seberapa jauh matematika dikaitkan dengan
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
10/33
10
infeksi umum, dan seberapa jauh itu memberikan kontribusi untuk pertanyaan
yang belum diselesaikan.
Krisis datang secara alami: tampaknya bahwa teori himpunan (berikutCantor) sudah bebas menggunakan (a) ketidak-konsistenan dan (b) menuntut
tambahan artikel kepercayaan yang sulit untuk diterima. Ketidak konsistenan
diikuti dari apa yang disebut ' paradoks Russell ' 1903.3Masalahnya-jika Anda
belum melihat sebelumnyayakni sebagai berikut. Dedekind dan Cantor telah
memperkenalkan himpunan yang berhubungan dengan angka. Namun, jika
bilangan real 'itu' himpunan, ada juga yang ingin berurusan dengan himpunan
dari himpunan, dan sebagainya (mungkin) tanpa batas. Dalam teori umum
himpunan Cantor, Dia membayangkan bekerja, diberikan setiap properti P yang
memiliki segala sesuatu dengan properti P ('aksioma pemahaman').
Masalahnya adalah, sejak bahasa menjadi hal yang umum, subjek menjadi
wewenang filsuf, yang dapat memilih untuk mengganti bilangan dengan objek
filosofis seperti Gunung Emas atau angsa hitam. Cara ini terbuka lebar untuk
Russell, berdiri di antara matematika dan filsafat, untuk menyusun contoh
properti sederhana:
P:x adalah sebuah himpunan dan x bukan elemen dirinya sendiri (x x)
Sebagai contoh, himpunan dari semua himpunan merupakan elemen
dirinya sendiri (ini sudah menunjukkan tanda-tanda kemunduran tak terbatas).
Jadi himpunan dari segala sesuatu yang bukan-manusia; atau kumpulan segala
sesuatu yang dapat digambarkan dalam bahasa Inggris yang kurang dari 18 kata.
Di sisi lain, kebanyakan himpunan (bilangan, angsa hitam, siswa di kelas) yang
bukan elemen dari dirinya sendiri. Jika S adalah himpunan ditentukan oleh
properti P, maka seseorang dapat memperoleh suatu kontradiksi baik dari S S
dan S S. Pernyataan pertama kami menunjukkan Russell sendiri, terganggu
pada paradoks, merasa keduanya bahwa kehidupan manusia tidak perlu
khawatir dengan hal-hal seperti itu (tapi kemudian siapa?)
3. Pada saat begitu sering, ada prioritas pertanyaan di sini; Zermelo telah menjelaskan paradoks dalam sebuah surat kepada Husserl.
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
11/33
11
dan masih mereka selesaikan. Berbagai upaya dilakukan untuk lebih membatasi
bagaimana himpunan digunakan; mereka menjadi terlalu banyak bagian
sehingga para matematikawan terkemuka diperkirakan akan menyerah sama
sekali.
Zermelo sekitar waktu yang sama mencoba untuk menghasilkan suatu
sistem aksioma untuk Teori himpunan yang akan baik menghindari paradoks
dan melakukan apa yang diperlukan matematikawan. Ia datang dengan
mengejutkan paradoks Russell: 'Aksioma pilihan' (1904). Ini dapat dianggap
sebagai analog modern untuk postulat Euclid 5: tidak ada yang menyukainya,
tapi itu menjadi jelas (dan Zermelo menunjukkan) bahwa orang hebat4, tanpa
pemberitahuan, telah menggunakan itu. Pernyataan biasanya adalah:
Diberikan sebuah himpunan dari himpunan {} dimana , terdapat
fungsi f pada himpunan A sedemikian sehingga untuk setiap ,
Dengan kata lain, mengingat setiap kumpulan dari himpunan, Anda dapat
memilihmenganggapnya sebagai 'pemilihan'satu perwakilan dari masing-
masing. Hal ini mudah untuk setuju jika himpunan A terbatas, meskipun
mungkin rumit jika (katakanlah) itu terdiri dari unsur-unsur 1025. Ini adalah
ketika itu tidak terbatas sehingga ia mulai terlihat meragukan.
Pada titik ini, masalah mungkin sangat menggangu beberapa
matematikawan, tetapi mereka tidak serius membagi mereka. Sekali lagi, Gray
menemukan titik di O. Kuliah perdana 1911 Perron menunjukkan keberadaan
argumen yang memang ragu akan prosedur kecukupan:
Memang, ada satu cabang matematika hari ini di mana pendapat dibagi, dan beberapa
mempertimbangkan apa yang orang lain tolak. Ini yang disebut teori himpunan, di mana
kepastian matematika pengurangan tampaknya menjadi benar-benar hilang. (Perron,
dikutip Gray 2004, hal. 41)
Hal mengejutkan yang diprakarsai oleh L. E. J. Brouwer dengan prinsip yang
jauh lebih mendasar, hukum tiada jalan tengah,
4.Terutama di Perancis, dimana oposisi itu terkuat.
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
12/33
12
yang menciptakan situasi dimana matematikawan melewati batas dan, untuk
jangka pendek, membuat dunia matematika lebih menarik daripada sebelumnyasejak zaman Newton dan Leibniz. Hal ini tidak mengherankan, karena hukum
tiada jalan tengah mendukung jenis matematika yang berasal dari Yunani.
Dari pernyataan sederhana, dan tampaknya pernyataan tidak bermasalah:
Tiap P benar, atau P salah.
diterapkan untuk proposisi P, orang Yunani berdasar pada metode aneh 'bukti
kontradiksi', yang masih difavoritkan. Untuk membuktikan bahwa P benar, anda
andaikan tidak benar. Oleh rangkaian deduksi, Anda memperoleh suatu
kontradiksi ('yang mustahil'). Oleh karena itu asumsi bahwa P tidak benar harus
salah, dan karenanya harus benar.
Prinsip ini digunakan terus-menerus oleh Euclid: untuk mengambil contoh
yang acak, sebagaimana di buku saya dalil 7 pada segitiga samakaki ('jika dalam
sebuah segitiga dua sudut sama satu sama lain, maka sisi berlawanan sudut yang
sama juga sama satu sama lain'). Anda kira salah satu dari dua sisi lebih besar,
dan memperoleh kesimpulan yang masuk akal.
Banyak siswa, untuk memastikannya, merasa tidak nyaman dengan bukti
semacam ini, tetapi mereka belajar untuk mempertimbangkannya. Apa yang
dianggap meragukan, bahkan salah, yang Weyl (di bawah bayang-bayang
mendekati hiper-inflasi German) digambarkan sebagai ' uang kertas' yang
menggunakan hukum pada keberadaan bukti yang diterapkan untuk himpunan
tak terbatas. Ironisnya, salah satu contoh rapi dari bukti tersebut adalah hak
Brouwer sendiri, dan masih merupakan unsur penting dalam memulai pelajaran
topologi. Ini adalah teorema titik tetap Brouwer, yang menyatakan:
Misalkan D menjadi disk {(x, y): x2+y
2 1}, dan f menjadi pemetaan kontinu dari D ke
D (yaitu untuk (x, y) D, f (x, y) juga dalam D, dan terus-menerus tergantung pada (x,
y)). Kemudian ada titik tetap: untuk beberapa (x0, y0), f (x0, y0) = (x0, y0).
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
13/33
13
Bukti proses ini diandaikan bahwa tidak ada titik tetap (Gbr. 2); kami
mengaitkan setiap f (A) ke A, dan kontinu pada batas lingkaran C, yang
menyinggung di g(A). Pemetaan G, yang menentukan C, ditunjukkan ' mustahil
' dengan metode yang sedikit telah dikembangkan sebelumnya (Lihat 'topologi'
di bawah ini).
Gb 2. Teorema Titik Tetap Brower
Oleh karena itu kami memiliki suatu kontradiksi dari pengandaian bahwa
tidak ada titik tetap. Apakah kita diperbolehkan untuk menyimpulkan bahwa ada
satu? Brouwer sebagai penemu teorema akan mengatakan ya, tapi Brouwer
sebagai filsuf dengan tegas menentang gagasan ini. Teorema (lihat Weyl di atas)
tidak memberi anda ide dimana titik tetap berada.
Tidak seperti aksioma pilihan, hukum tiada jalan tengah patut dimuliakan
dan akan sulit untuk menyerah. Namun hal itu sederhana untuk intuisi
menemukan contoh dimana itu tampaknya tidak bekerja, sering berkaitan
dengan dugaan yang belum terpecahkan seperti teorema terakhir Fermat; contoh
dari Weyl diberikan dalam Apendiks B(i). Hal ini menarik sejak dugaan
digambarkan (apakah bilangan dari 22n
+1 prima untuk n>4) masih belum
terselesaikan, dan obyek dari pencarian yang mengambil tahun waktu komputer
dan program pencarian yang sangat cepat. Oleh karena itu bisa dikatakan masih
ada pertanyaan keyakinan untuk matematikawan, setidaknya untuk mereka yang
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
14/33
14
tertarik: hal itu terjadi bahwa setiap pernyataan tidak ada bilangan prima atau '
salah satu bilangan adalah prima ' benar? Intuitionist akan mengatakan bahwa
Anda tidak dapat menegaskan hal tersebut benar / tidak, karena secara implisit
itu berarti bahwa Anda dapat mencari melalui semua bilangan bulat dan
memutuskan pertanyaan.
Penting untuk menyadari bagaimana radikal intuitionis berada pada
tujuannya. Ketika pekerjaan membuat kalkulus dengan teliti meninggalkan
semua hasil di tempat, hanya mengubah bukti sehingga mereka masuk akal
sedikit tidak terbatas, Brouwer dan Weyl dipaksa ke dalam situasi di mana
mereka menyatakan sebagian besar matematika jaman sekarang tidak dapat
diterima dan tidak berarti. Program formulasi ringkas Brower, yang ia beri nama
'intuitionist' beberapa waktu setelah tahun 1907, dalam Apendiks B(ii). Catatan
bahwa ia melarang dua hal: penggunaan bebas himpunan dan hukum tiada jalan
tengah.
Masalah bagi intuitionists, seiring berjalannya waktu, adalah bahwa
program mereka merusak yang jauh lebih mudah untuk dipahami daripada
mereka berbagai upaya yang bersifat membangun. Weyl sepakat bahwa bilangan
real 'jujur' adalah sesuatu yang bisa dihitung dengan prosedur yang terdefinisi
dengan baik; contoh yang termasuk 2, , cos(0.5), atau bahkan i=0(1/is)
untuk s rasional; kira-kira apa Turing tidak lama setelah menyebutkan bilangan
yang dapat dihitung'. Namun dia juga ingin untuk menjaga, dalam kata-katanya,
'berkelanjutan ' spasial sup' yang dituangkan antara titik-titik ini [Euclidian]'
(dalam Mancosu tahun 1998, hal. 132). Berhenti dalam upaya untuk
mempertahankan sesuatu yang 'kontinum', bahkan tak terbatas, intuitionistmatematika, yang dipandang sebagai jalan masa depan oleh banyak orang di
tahun 1920-an, menjadi sulit dan agak misterius pada studi tahun 1930an dan
bertahan seperti itu.
Ada percobaan analogi dengan studi terkenal fisika Jerman tahun 1920-an
oleh Paul Forman (1971). Forman berpendapat bahwa fisika, di Republik
Weimar, harus beradaptasi dengan lingkungan di mana presisi dan abstraksi
dipandang sebagai bentuk-bentuk yang miskin berpikir, terkait dengan
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
15/33
15
kekalahan Jerman; dan bahwa stres pada ketidakpastian dan subjektivitas dalam
Fisika baru Heisenberg dan Schrdinger dibelokkan seperti kritik. Intuisi-yang
bahkan sudah mulai pada beberapa waktu sebelumnya mungkin
memperlihatkan beberapa popularitas untuk reaksi serupa.
5. HILBERTSaya ingat bagaimana terpesonanya saya pada kelas pertama matematika yang
pernah saya hadiri [di Universitas]... Itu adalah pelajaran terkenal Hilbert pada
transendensi e dan . (Weyl, dikutip dalam Reid 1970, hal. 201)
Dalam matematika... .kita menemukan kehadiran dua kecenderungan. Di
satu sisi, kecenderungan ke arah abstraksi berusaha untuk crystallise hubungan
logis yang melekat dalam materi... yang sedang dipelajari, dan untuk
mengkorelasikan materi secara sistematis dan tertib. Di sisi lain, kecenderungan
ke arah pemahaman intuitif menumbuhkan pemahaman yang lebih langsung ke
objek suatu studi, hubungan langsung dengan mereka, sehingga untuk berbicara,
yang menekankan arti konkrit hubungan mereka. (Hilbert 1999)
Kami telah tertunda menyebutkan David Hilbert mungkin lebih lamadaripada yang seharusnya, karena meskipun tokoh sentral dalam krisis, ternyata
ia lebih dari itu. Luas prestasi dan pengaruh besar-nya telah membuat dia
menjadi seorang pahlawan rakyat, setidaknya diantara matematikawan,
meskipun tidak mungkin untuk melihat sebuah film yang hidupnya relatif lancar.
Selama 30 tahun ia mendominasi matematika di Gttingen, dan membuat
Gttingen menjadi pusat dunia; dan seseorang harus pergi jauh hari untuk
menemukan seorang guru yang bisa mengajarkan siswa pada subjek
transendensi e dan , 5terutama pada akhir abad kesembilan belas ketika subjek
tersebut masih diajarkan. Ia telah terlayani baik oleh biografi Constance Reid
(1970), dengan bagian matematika sangat baik oleh murid favorit Weyl. Ramah,
produktif, liberal, ia memberi gaya baru pada matematika dalam aljabar
(khususnya), dan dalam perselisihan dasar yang menjadi sebuah keasyikan, ia
berdiri dalam penentangan intuitionists
5. Itu adalah, bahwa tak satu pun dari mereka memenuhi persamaan aljabar anxn+an1xn1 a0mana,..., a0adalah bilangan bulat.
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
16/33
16
dan di sini peninggalan Weyl akan menjadi penyebab kesusahan, jika tidak
secara permanen begitu.
Dibanding film Hilbert yang bisa membuat subjek yang baik untuk sebuah
tragedi Yunani, keruntuhan akibat ambisi besar. Kita sudah melihat
pengumuman pada 1900 keyakinannya bahwa masalah dapat diselesaikan, tapi
Brouwer mengambil pengecualian tersebut. Serangan intuitionists dan
kelemahan penting dalam teori himpunan memaksa dia menyusun posisi yang
cerdik; Tapi seseorang yang melihat ke belakang lebih ambisius daripada orang
sebelumnya atau sejak dianggap/mungkin diperlukan. Proposal tersebut adalah
sebagai berikut. Satu akan mendefinisikan matematika untuk (a) sebuah
himpunan rumus dibangun pada garis-garis sederhana dan (b) terbatas
serangkaian axioma yang ditandai beberapa formula tersebut benar; ditambah
standar aturan untuk pengurangan. Jika Anda mengambil semua aksioma
menjadi hal yang menentukan sifat-sifat dasar bilangan asli (dan Hilbert
lakukan, seperti Russell dan Whitehead di Principia matematika (19101913)),
kemudian Anda tentu saja dapat simpulkan aritmatika jenis sederhana; dan jika
Anda menambahkan beberapa proses yang tak terbatas, Anda dapat menetapkan
bilangan real a la Dedekind dan menyimpulkan kalkulus dan geometri. Sampai
batas tertentu, Anda tidak peduli apa aksioma, atau merujuk formula.
Pertanyaannya adalah bukan tentang apa bilangan tersebut, tetapi tentang
bagaimana mereka berperilaku; dan ini adalah mengapa Hilbert (oleh orang lain)
disebut 'Formalist'. 'Sebagai tanda permulaan, ada sebuah kutipan yang khas,
yang telah diterjemahkan dalam berbagai cara. (Bagian) pernyataan tujuan, yangpada waktu itu ia tampaknya percaya selesai, terdapat pada Lampiran C.
Sekarang, pada program Hilbert, beralih ke register yang berbeda yang
disebut 'Metamatematika'. (Sesuatu yang bisa membuat paralel dengan pelajaran
sekitar abad ke-20 dimana aktivitas, sekali dikejar demi kebaikan mereka
sendiri, menjadi objek studi.) Melihat proses pembentukan bukti formula, Anda
mengajukan dua pertanyaan:
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
17/33
17
1. Kelengkapan. Apakah mungkin, diberikan P formula apapun, untukmenentukan bahwa itu benar atau salah? Contoh nyata adalah rumus:
Ada bilangan asli x, y, z dan p> 2 sehingga xp+yp= zp
harus mampu menjadi bukti benar atau salah? (Benar, kita tahu
jawabannya sekarang, tapi Hilbert tidak.) Jika demikian, sistem disebut
lengkap.
2. Konsistensi. Itu tidak mungkin, dalam sistem, untuk menyimpulkan Pdan 'bukan P'? Jika demikian, sistem disebut 'konsisten'.
Kita telah menekankan ambisi besar program ini, tetapi bidang ini benar-benar baru dan Hilbert memiliki kepercayaan yang sering dibenarkan pada
kemajuan pesat matematika. Di sekitar 1929, muridnya von Neumann
tampaknya memiliki bukti, yang hanya membutuhkan sedikit tambahan untuk
membuatnya bekerja.
Bagian selanjutnya dari cerita terkenal. Pada tahun 1931 seorang Austria
muda, Kurt Gdel, mengumumkan bukti kelengkapan maupun konsistensi yang
dibuktikan; lebih ketat, bahwa mereka tidak dapat dibentuk oleh metode terbatas
(di bawah tekanan dari intuitionists)yang dipandang sebagai hal yang
diperlukan. Itu adalah bagian sempurna golongan matematika-Hilbert dan
Gdel jauh lebih formalist daripada intuitionist- tapi itu secara efektif
memusnahkan program.
Pensiun, dan dengan upaya terakhir nya membuat matematika kokoh
setidaknya mengalahkan untuk sementara, Hilbert harus menonton pada
ketidakpercayaan sebagai rekan dan mahasiswa terbaik Courant, Landau,
Noether, Weyl dan von Neumann, yang dipaksa keluar dari Gttingen oleh Nazi
atau pergi karena mereka tidak dapat bertahan hidup di bawah Reich Ketiga. Ia
bertahan beberapa tahun lagi di Gttingen diantara reruntuhan:
Duduk di samping Nazi baru diangkat menjadi Menteri Pendidikan di
Perjamuan, ia ditanya, 'Dan bagaimana matematika di Gttingen sekarang yang
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
18/33
18
telah dibebaskan dari pengaruh Yahudi?' 'Matematika di Gttingen?' Hilbert
menjawab. 'Benar-benar tidak ada lagi'. (Reid 1970, halaman 205).
6.
TOPOLOGI
Dalam upaya untuk menunjukkan beberapa hal pada dunia diluar sengketa
yang mendasar, kita mempertimbangkan munculnya topologi. Dapat dikatakan
kisah sukses matematika abad ke-20, hampir tidak ada pada permulaan abad dan
mengganggu ke bidang lainnya sampai akhir. Sementara jelas ada beberapa
alasan untuk ini, hal ini dibagi menjadi dua: pertama, bahwa masalah yang
memerlukan bagian dari pernyataan lokal sederhana sampai hal mengglobal
yang lebih sulit (apa yang membuat medan elektromagnetik menjadi seperti
pada keberadaan arus? apa bentuk ruang-waktu yang dimiliki relativitas
Einstein?) adalah pertanyaan topologi; dan kedua, bahwa sebuah mesin atau bisa
dikembangkan misalnya untuk memecahkan masalah. Banyak masalah besar
dalam topologi yang sulit, tetapi tidak sesulit hipotesis kontinum, atau Dugaan
Langlands pada bentuk-bentuk automorphic; dan banyak matematikawan
berbakat telah mengabdikan waktu mereka untuk itu. Oleh karena itu dapat
dilihat sebagai domain optimisme Hilbertian, di mana pertanyaan berturut-turutdiangkat dan diselesaikan.
Waktu sekarang telah tiba ketika topologis mempertimbangkan subjek
mereka, batapapun muda, memiliki sejarah dan untungnya ada dua pesaing yang
substansial, Dieudonn (1989) dan James (1999). Ini memberikan dasar yang
lebih sejarawan profesional. Normal untuk mempertimbangkan subjek, dianggap
benar, lebih dari seratus tahun. Selain dua penjelajahan terkenal oleh Euler,
yang berasal dari dan diberi nama oleh Mobius dan Listing, mengklasifikasi
permukaan di pertengahan abad kesembilanbelas; tapi studi metode serius
menjadi tersedia pada akhir abad dengan Poincar, yang memperluas lapangan
untuk dimensi yang lebih tinggi dan memberikannya teorema utama yang
pertama ('dualitas Poincar') dan masalah yang paling abadi ('dugaan Poincar').
Pada titik ini, metode argumen tidak seperti yang telah diakui di tempat
lain, misalnya, dalam aljabar; dan topologi mungkin beruntung memiliki
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
19/33
19
Poincar sebagai pencetus, yang lebih tertarik untuk mencari hasil daripada
dalam mendefinisikan tentang apa yang sedang ia bicarakan. Tujuan studinya
adalah:
(1)arti Riemann akan disebut (dan sekarang kita sebut) 'manifold' kurva,permukaan,... sampai dengan jumlah dimensi (memikirkan bidang unit
dalam Rn+1) 6
(2)di bawah hubungan 'homeomorphisma' (bentuk yang sama); kontinuitasdijaga, tapi tidak untuk jarak.
diberikan contoh-contoh standar: (a) manifold dari dimensi yang berbeda tidak
homeomorphic (misalnya lingkaran C dan torus T dalam Fig. 3); (b) tidak
terdapat lingkup S dan T; (c) tetapi T dan torus diikat T (gambar 4). metode
Poincar's ini menguraikan manifold ke dalam 'sel', agak nampak seperti
polyhedron; dan untuk mendapatkan angka dari dekomposisi sel.
Gbr 4 Sebuah torus dan diikat torus (yang, kebetulan terhubung), adalah
homeomorphic.
6. Bidang benda-benda yang dapat diterima yang kemudian akan secara substansial diperpanjang; tidak lagi manifold, tidak
lagi terbatas dimensi...
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
20/33
20
Sekali lagi, ini sangat tidak seperti matematika Gttingen. Depan tampak
(tidak seperti yang telah dilakukan sebelumnya) dan belakang (hal ini melawan
peningkatan arus abstraksi dan kebutuhan untuk kepastian).
Bagaimana seseorang yakin bahwa dua sel dekomposisi berbeda
memberikan bilangan yang sama? Butuh beberapa waktu untuk memunculkan
bukti yang memuaskan, tetapi sementara itu beberapa yang tertarik dengan
topologi gembira untuk membuat permulaan dengan ide-ide dan metode
Poincar's, dan 'invarian'nya. Menarik dan penting, pengikut utamanya datang
bukan dari Prancis, tetapi dari Amerika (Veblen, dan kemudian Alexander) dan
Jerman (Dehn, Heegaard, dan kemudian Reidemeister). Di bawah pengaruh
mereka, dan bahwa Alexandrov Rusia, rekan dekat Noether, topologi di tahun
1920-an dan 1930-an menjadi 'aljabar topologi'. Dalam diskusi dengan Noether,
Alexandrov menyadari bahwa Poincare adalah invariants tersembunyi group.7
subjek persamaan intuitif yang bagus telah dipaksa untuk mendefinisikannya
sendiri. Seperti yang akan kita lihat, lebih buruk lagi yang akan datang. Semua
sama, karena kita bertemu di Seifert dan klasik Threlfall's Lehrbuch der
Topologie tahun 1934 (dicetak ulang tahun 1980), bahasa mungkin tampak
aneh, dan hampir semua metode hari ini hilang (grup homotopy , barisan eksak,
Ruang serat,...) tetapi objek dasar dalam tempat.8 apa mungkin yang paling
mengejutkan pembaca hari ini adalah bahwa Lehrbuch dikemas penuh dengan
gambar yang menarik dan mencerahkan (Lihat gambar 5). Sebagai gambaran
jenis pekerjaan yang topologists lakukan (memotong knot dan menempelkan
mereka dengan sebuah simpulan, katakanlah), mereka adalah undangan untuk
membaca lebih lanjut, walaupun teks ini tidak selalu mudah. Sementara topologi
lebih banyak abstrak, itu masih yang paling grafis dari kegiatan matematika.
7. Ada account ini di Corry (2004, ms. 245), dengan menyebutkan mungkin klaim oleh Mayer.
8. Seiring berjalannya waktu aplikasi dimensi- tinggi menjadi lebih penting, sehingga Seifert-Threlfall adalah masih referensi
'termudah' untuk dua dan tiga dimensi.
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
21/33
21
Gb. 5 'Ruang dodecahedral' dari Seifert dan Threlfall di buku. Ini
diperoleh dari Stackable Piramida padat dengan menempelkan wajah
berlawanan (ditandai I, II, III, IV, V) seperti ditunjukkan pada gambar.
Gb.6. bebal simpul ('pecinta sejati simpul') dengan delapanpenyeberangan.
Perubahan yang terjadi dapat diilustrasikan oleh kasus spesifik knot. Tidak
seperti subjek-materi topologi secara umum, ini mudah dimengerti, dan mereka
adalah, dalam istilah dasar, tetap sama sejak mereka pertama kali secara
sistematis dipelajari oleh Tait (sebagai tanggapan terhadap teori gagal Tuan
Kelvin) di 1870s.9 untuk alasan itu, mereka menyediakan sebuah indeks yang
sangat menarik dari yang berubah. Orang berpikir tentang (gambar 6) simpul
kurva tertutup (' lingkaran') dalam tiga dimensi, dan mendefinisikan dua knot
sama jika satu dapat berubah bentuk ke yang lain; begitu banyak kurang lebih
jelas. Juga segera jelas Tait, dan mungkin pembaca, adalah bahwa satu dapat
mewakili simpul jelas dengan memproyeksikan turun kedalam bidang (seperti
pada gambar) menggunakan garis putus untuk menandai untai yang berjalan di
bawah pada setiap persimpangan.
9. Tait disebutkan sebelumnya bekerja dengan Gauss dan Listing, namun ia biasanya dianggap sebagai pendiri.
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
22/33
22
Tentu saja, 'diagram' ini adalah jauh dari unik, dan pertanyaan sangat sederhana
adalah bagaimana seseorang memberitahu apakah dua diagram menentukan
simpul sama. Karena itu memerlukan bahasa diagram, hal ini sudah mungkin
terlalu sulit. Tait menentukan semua knots yang memiliki diagram hingga
delapan penyeberangan, dan membuat beberapa dugaan yang penting dan keras.
Ini, harus diingat, tanpa menggunakan alat masih ditemukan alat topologi.
Sekitar tahun 1910, Dehn Wirtinger menyadari tabel knot (atau simpul-proyeksi)
yang disusun oleh Tait dan bisa melihat bahwa di bawah mereka pertanyaan
topologi, bisa dipecahkan dengan metode baru Poincar's, mungkin bohong.
Masalahnya adalah bahwa simpul K hanya lingkaran, daerah ruang hanya R3.
Jawabannya adalah untuk mempertimbangkan 'perbedaan', R3 K. Tidak
'manifold' dalam arti Poincar's, karena itu adalah terbatas, ini masih tampak
subjek yang baik untuk perlakuan. Hal ini menarik dalam falsafah istilah untuk
dicatat bahwa langkah pertama ke depan (agak seperti Dedekind?) diganti
belajar simpul dengan mempelajari lubang yang tersisa ketika Anda menghapus
itu.
Salah satu Poincar's invariants paling menarik adalah grup, yang kini kita
sebut 'grup dasar' X, 1(X); dan dia telah memberikan sarana komputasi dari
dekomposisi sel. Meskipun 'sel' pada R3 K yang tidak jelas, Dehn and
Wirtinger sampai pada pendeskripsian Generator dan relasi untuk grup 1(R3
K).10 tahap pertama yang baik, berlari menghadapi masalah serius yang
berhubungan dengan bagaimana kecilnya yang diketahui tentang presentasi
tersebut.kapan mendefinisikan 2 grup yang sama? Masalahkah ketika (dalam
intuitionist, atau Gdelian syarat) dpat diputuskan? (Hal ini tidak.) Informasidapat dikumpulkan tentang grup ketika Anda beruntung, tetapi bagaimana Anda
menerapkan keberuntungan?
Kemajuan besar berikutnya adalah Alexander dan Reidemeister tahun 1920-an.
Mungkin ada berbagai pertanyaan prioritas untuk menguraikan di sini, di mana
Epple telah berkomentar (2004), tetapi mereka tidak perlu kita perhatikan di sini.
10. Itu adalah, 1 adalah himpunan semua ekspresi (katakanlah) x 1, x1 1,..., xk, x1 k (Generator), hanya tunduk kepada aturan-
aturan yang mengikuti dari memerlukan ekspresi tertentu R1,..., Rl di xs (hubungan) untuk sama dengan 1. Lihat buku teori grup.
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
23/33
23
Titik pertama adalah bahwa definisi baru dari simpul ditemukan berguna.
'Simplexes' (segitiga, tetrahedra, dll) dilihat, benar, cara yang lebih tepat untuk
menemukan jalan sekitar Anda daripada Poincar's lebih umum 'sel'; dan
sehingga simpul K didefinisikan sebagai sebuah poligon tertutup dalam tiga
dimensi. ' Dasar kesetaraan ' didefinisikan sebagai salah satu jenis yang
ditunjukkan pada gambar 7 dimana Anda menggantikan sisi segitiga AB dengan
sisi AC, CB, atau sebaliknya-asalkan K tidak memenuhi interior segitiga. Dan,
akhirnya, K dan K equivalen jika Anda bisa mendapatkan dari satu ke yang lain
oleh barisan kesamaan dasar.
Ini adalah perubahan besar. Apakah terbukti setara dengan definisi
sebelumnya? Saya tidak yakin, dan dengan cara ini tidak begitu penting sebagai
bahasa baru. Sementara knot baru terlihat cukup banyak seperti yang lama, dan
sebenarnya gambar topologists sering keluar sudut untuk alasan estetika atau
kemalasan, masih ada lebih presisi yang terlibat khusus dalam ' dasar kesetaraan
'. Diberi definisi ini, Reidemeister mampu menunjukkan bahwa dua simpul
proyeksi setara jika dan hanya jika Anda bisa pergi dari satu ke yang lain dengan
serangkaian ' gerak Reidemeister ', seperti ditunjukkan pada gambar 8.
Gb.7 dasar kesetaraan. Bagian segitiga ABC tidak memenuhi untaian
lain dari simpul, sehingga AB dapat digantikan oleh dua sisi AC, CB.
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
24/33
24
Gb. 8 tiga Reidemeister bergerak. Jenis I membalik loop atas; tipe II menarik
untai diulang satu atas yang lain; Tipe III mengambil seuntai melalui
persimpangan.
Permukaan itu adalah hasil yang agak tidak ambisius; dan memang itu
agak dasar kecil untuk pembangunan lebih banyak dan lebih mudah invariants
oleh Reidemeister dan Alexander. Namun, sekali lagi itu menggambarkan
perubahan besar dalam cara matematikawan memperlakukan subjek-materi
mereka. Untuk Tait, simpul jelas; ia diwakili oleh gambar, dan kita tahu apa
artinya untuk mengatakan bahwa dua knot yang sama. Untuk Reidemeister, kita
harus membangun teliti (dan finitistic!) definisi kedua objek 'simpul' dan
hubungan 'sama'. Akibanya adalah suatu hubungan antara diagram yang
menjamin kesamaan. Ini juga tidak boleh dengan mudah diterima; Namun, jika
kita membangun fungsi dari sebuah diagram simpul (seperti beberapa penulis
yang dilakukan di 1980-an), kita dapat menunjukkan bahwa kita memiliki
'simpul invarian' dengan menunjukkan bahwa fungsi tidak berubah di bawah tiga
Reidemeister bergerak. Studi knot telah menjadi semacam aljabar.
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
25/33
25
Gb. 9 dua knot, masing-masing dengan empat penyeberangan.
Penyeberangan di simpul 1 dilabel 1, 2, 3, 4 (dan jelas mereka pada simpul 2
bisa dicap sama).
7. ORANG LUARSaya tidak melalui kursus Universitas konvensional, tapi saya mengambil
jalan baru untuk diriku sendiri. Saya telah membuat penyelidikan khusus
seri berbeda secara umum dan hasil yang saya Dapatkan disebut oleh
matematikawan lokal sebagai 'mengejutkan'. (Ramanujan untuk Hardy,
Juli 1958).
Jika salah satu membuktikan kesetaraan dua bilang a dan b denganmenunjukkan pertama bahwa a b dan kemudian bahwa a b itu tidak adil;
sebaliknya harus menunjukkan bahwa mereka benar-benar sama dengan
mengungkapkan kesetaraan mereka. (Noether, dikutip pada tahun 1935 Weyl)
Komunitas matematikawan tahun 1900 dibatasi hampir seluruhnya laki-
laki putih, seperti yang diharapkan. Hari ini, pembatasan kurang lengkap,
meskipun seseorang tidak akan membuat klaim apapun tentang kemajuan yang
telah dicapai. Pada permulaan abad yang berdiri dua angka yang sangat berbeda,
Srinivasa Ramanujan dan Emmy Noether, cerita yang sering diceritakan sebagai
teladan, dan yang pasti menunjukkan cara yang berbeda di mana individu-
individu yang tidak biasa bisa masuk ke dalam dunia tertutup matematikawan;
apa yang bisa mereka capai dan apa batas yang diperlukan untuk pencapaian itu.
Mereka berdua cukup luar biasadan akan menjadi hari ini-untuk alasan yang
sama sekali berbeda.
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
26/33
26
Ketika Ramanujan datang dari Madras untuk belajar dengan teori bilangan
yang telah terkenal G. H. Hardy di Cambridge pada tahun 1914, ia datang dari
situasi di mana penelitian matematika itu tidak jauh canggih, dan orang India
memiliki sedikit kesempatan untuk membuat kemajuan di dalamnya. (Meskipun
ini, ia telah memiliki artikel yang dipublikasikan dalam Jurnal matematika
masyarakat India.) Dalam cerita terkenal, Dia terpaksa meninggalkan istrinya,
membuat penyesuaian yang tidak diinginkan di Cambridge suasana bermusuhan
dan makanan yang tidak bisa dimakan, dan akhirnya merusak kesehatannya,
untuk belajar bersama matematikawan yang mengambil kesulitan untuk
menanggapi tulisannya yang luar biasa. Alih-alih melihat kembali diluar status
yang ia miliki untuk bertahan sebagai sesuatu termasuk waktu lalu, satu hal yang
bisa mengherankan bagaimana mungkin hari ini bahwa petugas tanpa gelar
sarjana, menulis kepada seorang profesor di Princeton (katakanlah) dalam
istilah-istilah tersebut akan cukup beruntung untuk mendapatkan respons yang
sama.
Itu adalah klise dalam menulis tentang Ramanujan untuk menggambarkan
kesulitan menilai apa yang ia konstribusikan untuk matematika modern
cukup selain kesulitan matematika sendiri.
Untuk mengambil 'tepat' sejarah, pandangan seseorang harus memiliki
beberapa pemahaman apa karyanya dimaksudkan untuk dia, apa artinya teori
bilangan di Cambridge pada waktu itu, dan mengapa hal itu tetap menjadi
penting.11
Dalam kutipan di atas, ia menjelaskan ketertarikannya pada deret
divergen'. Hal ini setidaknya sedikit membatasi bidang, dan membantu untuk
memperbaiki ide-ide (jika tidak ada ide dilingkup pikirannya) untuk mengingatbahwa pada usia 17 ia sedang menyelidiki hal paling sederhana seperti deret,
1/n (Lihat Oresme, Bab 6), dan telah menghitung konstanta Euler
sampai 15 tempat desimal. Sesuatu terlihat menarik tanpa batas, dan kontrol;
dalam keteraturan dengan tak terhingga mendekati. Dan Usaha Hardy
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
27/33
27
memahami pemikiran temannya antara sekolah umum ateis Cambridge dan
saleh Brahmin menyampaikan gambar Infinity yang mampu menghasilkan
semua bilangan prima.
Ide-ide atau tradisi apa pun mungkin telah mendasari pikiran Ramanujan,
prakteknya tangguh dalam keberhasilan tradisi abad kesembilan belas dari teori
bilangan (modular fungsi) yang kembali ke Dirichlet. Memang, kelemahannya
dalam menyediakan bukti tidak pasti sebagai dugaan dalam waktu Dirichlet
seperti seratus tahun kemudian. Namun, ia memiliki keuntungan khusus bekerja
dengan Hardy (tidak diragukan lagi salah satu yang terbaik di bidangnya) dan
'intuisi'nya sendiri. Kedua hal ini memungkinkan dia untuk pergi lebih jauh
daripada sezamannya. Hal ini juga membantu bahwa bukan petunjuknya, pada
umumnya, orang lain telah memikirkan atau membayangkan hal berharga untuk
dikejar. Contoh terkenal, sejarah pasti yang masih tampak tidak pasti, adalah
rumus untuk jumlah partisi; dan karena ini (tidak seperti beberapa karyanya
yang lain) mudah untuk dijelaskan, itu patut disebutkan.
Setiap bilangan asli n, p(n) fungsi partisi didefinisikan sebagai cara-cara di
mana n dapat ditulis sebagai jumlah dari bilangan asli (tidak terurut): seperti,
p(1) = 1 ((1)), p(2) = 2 ((2), (1, 1)), p(3) = 3 ((3), (2, 1), (1, 1, 1)), dan p(4) = 5
((4), (3,1), (2,2), (2,1,1), (1,1,1,1) notasi jelas). Pekerjaan telah dilakukan sejak
zaman Euler menemukan formula untuk p(n); dan Ramanujan mengklaim bahwa
ia memiliki rumus yang tepat. Hardy tidak bisa percaya ini dengan harapan
terbaik untuk ' formula asimtotik ', yang menggambarkan perilaku yang
membatasi. Tentu saja, juga, Ramanujan tidak mampu menjelaskan, jika dia
tahu, mengapa formula-nya adalah benar. Akibatnya, apa yang kita milikisekarang dikenal sebagai bukti kaku 'HardyRamanujan formula asimtotik ',
ditemukan di 191617:
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
28/33
28
Di sini 'anbn' berarti bahwa an/bn 1 dimana n . Rumus
setidaknya relatif sederhana, dan memberikan gambaran seberapa cepat
pertumbuhan partisi fungsi. Banyak fungsi yang lebih rumit, yang mungkin atau
tidak mungkin apa yang ditemukan Ramanujan, dibuktikan oleh Rademacher
pada tahun 1937.
Untuk mengatakan bahwa Ramanujan di matematika adalah tangensial,
apalagi marjinal untuk matematika abad 20 akan mustahil memberikan pengaruh
dari terbitan, dugaannya tidak terbukti, apalagi notebook nya diedit. Mungkin
karyanya harus agak berdiri sebagai gambar kapasitas matematika modern untuk
menyerap sesuatu namun 'beda' dan pengaturan untuk bekerja di pabrik teorema
yang luas.
Sementara Ramanujan harus menerima pendidikan yang dipercepat dalam
apa yang kemudian dihitung sebagai hal terbaru teori bilangan, dan banyak lagi,
dari Littlewood dan Hardy, Emmy Noether adalah dalam jauh lebih biasa situasi
di Eropa; terlatih dalam pendekatan yang agak kuno untuk topik utama-kasar,
hubungan aljabar untuk geometridia datang ke dalam kontak dengan Hilbert
dan orang lain yang sedang dalam proses transformasi ini, meninggalkan baris
sebelumnya dia bekerja dan mengambil ide-ide yang dia telah diterima begitu
jauh untuk memiliki pengaruh penting pada generasi berikutnya. Itu akan mudah
untuk menunjukkan seberapa jauh ia adalah menerima semacam pengakuan
yang seorang pria akan menerima dalam kariernya, dan menjadi seorang Yahudi
dan Komunis tidak membantu di tahun 1920-an Jerman. Dipaksa keluar dari
posisinya untenured di Gttingen oleh Nazi, dia menemukan perlindungan di
kampus perempuan Bryn Mawr, dan pada saat kematiannya telah membuatdampak yang menentukan pada perjalanan sejarah matematika. Sekali lagi, ide-
ide sentral tidak mudah untuk dijelaskan; Namun, seseorang harus mencoba
karena mereka begitu banyak di pusat dari apa yang terjadi dalam abad
matematika (dan setidaknya mereka lebih mudah daripada Ramanujan).
Sebagian mereka datang dari pengeditan makalah anumerta Dedekind dengan
itu, sebagian dari saat ini bekerja pada polinomial, tapi dia bersatu dua menjadi
apa, sebagai hasil dari karyanya telah menjadi dikenal sebagai teori umum
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
29/33
29
'cincin' dan -'cita', yang terakhir yang didefinisikan oleh Dedekind dengan.
[Cincin R terletak di mana penambahan dan perkalian dapat didefinisikan,
memuaskan (untuk menyederhanakan) masuk akal sama aturan seperti yang
mereka lakukan untuk bilangan bulat; subset saya R disebut ideal jika b ()
saya ketika dan b saya, dan (b) ab saya ketika saya (tidak selalu b).
Contoh: kumpulan semua kelipatan dari 6 di Z adalah tempat yang ideal,
biasanya ditulis (6).] Ide-ide ini masuk ke dalam dua wilayah yang tampaknya
berbeda matematika.
1. Dalam geometri aljabar, telah menjadi umum untuk mempertimbangkantidak begitu banyak kurva C (misalnya) didefinisikan oleh persamaan
seperti a2x
2 b2y2 1 = 0 (gambar 10), tapi cincin fungsi polinom semua
di x dan y; fungsi-fungsi yang menghilang pada C yang kemudian yang
ideal. Demikian pula untuk aljabar manifold (varietas) dimensi yang
lebih tinggi. Bukannya belajar objek geometris, (itu datang ke terwujud)
satu sama baiknya dapat belajar yang ideal.
2. Dalam Teori Bilangan, kebiasaan mempertimbangkan Ring bilangan,seperti himpunan semua , dimana m dan n adalah bilangan
bulat. Hal itu untuk mempelajari pembagian dan sifat faktorisasi,
sehingga untuk memecahkan masalah aritmatika yang Kummer dan
Dedekind telah perkenalkan dengan baik, atau bilangan ideal pada
tempat pertama.
Apa yang Noether amati jelas dari uraian di atas- tapi hanya karena
Deskripsi telah dibingkai dalam istilah-istilah yang ia susun: bahwa pertanyaan
dua keluarga ini berkenaan dengan struktur cita-cita pada jenis cincin tertentu(sekarang disebut 'Noetherian').
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
30/33
30
Gagasan tentang struktur bersatu, dua tampaknya berbeda dari bidang
matematika. Itu menjadi lebih dan lebih penting melalui orang-orang yang
menarik inspirasi dari tulisannya.
Seperti yang telah kita lihat sebelumnya, Noether adalah tokoh aneh dalam
akal 'khas' dalam daftar pendek perempuan dalam matematika. Wanita muncul
untuk mengambil tempat sebagai tokoh-tokoh utama dalam sejarah ini hampir
pada saat yang terakhir. Dan sementara salah satu dapat dan harus menemukan
ruang untuk amatir terampil Ada Byron, Countess of Lovelace sebagai 'perintis
bersama' komputer, atau untuk Sofia Kovalevskaya sebagai penyumbang
berkualitas tinggi analisis abad kesembilan belas, tempat Noether, seperti
Ramanujan, melampaui kategori hadiah dan penghargaan dalam kategori khusus
orang luar. Tanpa dia, dorongan untuk abstraksi yang kita akan rencanakan
kemudian mungkin juga telah mengembangkan ketidakberhentian, tapi
pekerjaannya tahun 1920-an pasti menetapkan bentuk tertentu di atasnya.
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
31/33
31
Lampiran A. Definisi Potongan
(Dari 'Kontinuitas dan Bilangan irasional' direproduksi dalam Fauvel dan Gray ms.
5756.)
Dari pernyataan terakhir itu adalah cukup jelas bagaimana domain bilangan rasional Rof
diskontinu mungkin diterjemahkan lengkap dalam bentuk domain kontinu. Hal itu
menunjukkan bahwa setiap bilangan rasional a efek pemisahan dari sistem R menjadi
dua kelas seperti bilangan a1pada kelas pertama A1yang kurang dari setiap bilangan a2
pada kelas kedua A2; bilangan a adalah salah satu bilangan terbesar dari kelas A1atau
setidaknya kurang dari kelas A2. Jika sekarang setiap pemisahan dua sistem R ke dalam
kelas A1, A2, hanya memiliki properti karakteristik ini bahwa setiap bilangan a 1di A1
kurang dari a2 di A2, maka untuk singkatnya kami akan menyebutnya seperti
pemisahan dan ditunjukkan oleh (A1, A2). Kita kemudian bisa mengatakan bahwa setiap
bilangan rasional menghasilkan satu bagian atau, tepatnya, dua pemotongan, yang,
bagaimanapun, kita akan tidak memandang sebagai dasar yang berbeda; proses
pemotongan ini, Selain itu, properti yang baik antara anggota kelas pertama terdapat
terbesar atau paling sedikit di antara bilangan kelas kedua. Dan sebaliknya, jika
potongan memiliki properti, kemudian dihasilkan oleh bilangan rasional terbesar atau
terkecil. Tetapi sangat mudah untuk melihat bahwa tak terbatas potongan yang tidak
dihasilkan oleh bilangan rasional.
Lampiran B. Intuisi
(Weyl, di Mancosu tahun 1998, MS 97)
(i) [Weyl] marilah kita, sebagai contoh, anggap bahwa 'n memiliki properti E'berarti bahwa 22n+4 +1 adalah bilangan prima, dan properti itu berarti
sebaliknya (22n+4+1 adalah bilangan komposit). Sekarang pertimbangkan hal
berikut. Pandang bahwa itu sendiri ditentukan Apakah ada bilangan dengan
properti E, atau tidak, tapi didasarkan pada gagasan berikut: bilangan 1, 2,
3,.. .mungkin diuji, satu demi satu, untuk properti E. Jika bilangan tersebut
dengan properti E ditemukan, jawabannya adalah ya. Tetapi jika akhirnya
hal tersebut tidak terjadi, yang mengatakan, setelah selesai berjalan melalui
barisan bilangan yang tak terbatas, tidak ada bilangan semacam E
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
32/33
32
ditemukan, maka jawabannya adalah tidak. Namun ini pandang jalan
sempurna melalui urutan tak terbatas yang tidak masuk akal.
(ii) (ii) [Brouwer] 1. Aksioma pemahaman, berdasarkan segala sesuatu denganproperti tertentu bergabung menjadi satu himpunan... tidak dapat diterima
dan tidak dapat digunakan sebagai dasar teori himpunan. Sebuah dasar yang
dapat diandalkan adalah hanya menemukannya di dalam definisi konstruktif
himpunan. 2. Aksioma kemampuan semua masalah yang dirumuskan oleh
Hilbert tahun 1900 setara dengan prinsip Logis tiada jalan tengah; oleh
karena itu, sejak tidak ada cukup alasan untuk aksioma ini dan sejak logika
mendasari matematika- dan bukan sebaliknya-tidak dibolehkan
menggunakan prinsip tiada jalan tengah sebagai bagian dari pembuktian
matematika. Prinsip tiada jalan tengah hanya memiliki nilai skolastik dan
heuristic, sehingga teorema bahwa dalam bukti mereka tidak dapat
menghindari penggunaan prinsip ini pada semua konten matematika.
Lampiran C. Program Hilbert
(Hilbert, 'Grounding Baru matematika', di Mancosu tahun 1998, p. 204)
Tetapi kita dapat mencapai sudut pandang analog jika kita bergerak ke tingkat yang
lebih tinggi dari perencanaan, dari mana aksioma, rumus, dan bukti teori matematika
sendiri adalah objek penyelidikan yang saling berhubungan. Tapi untuk tujuan biasanya
kandungan ide teori matematika harus digantikan oleh formula dan aturan, dan ditiru
oleh formalisme. Dengan kata lain, kita perlu memiliki Formalisasi ketat dari seluruh
teori matematika, termasuk bukti-bukti, sehingga mengikuti contoh dari logika
kalkuluskesimpulan matematika dan definisi menjadi bagian formal dari bangunan
matematika. Aksioma, formula, dan bukti-bukti yang menyusun bangunan formal ini
justru menandakan bilangan berada dalam konstruksi dasar teori bilangan... dan dengan
mereka sendiri, seperti dengan tanda bilangan dalam teori bilangan, pemikiran yang
saling berhubungan mengambil tempat-yang hanya dengan mereka sebenarnya
dipraktekkan. Dalam cara berpikir seperti ini (yang tentu saja kita tidak pernah
sepenuhnya dapat melakukan tanpa) dikeluarkan di tempat lain-bidang yang lebih
tinggi, disana; dan pada saat yang sama itu menjadi mungkin untuk menggambar
7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya
33/33
perbedaan tajam dan sistematis dalam matematika antara formula dan bukti-bukti
formal di satu sisi, dan ide-ide contentual lainnya.
Dalam tulisan ini tugas saya adalah untuk menunjukkan bagaimana tugas dasar ini dapatdilakukan secara teliti dan disetujui, dan untuk menunjukkan bahwa masalah kita dalam
membuktikan konsistensi aksioma aritmatika dan analisis telah diselesaikan.