Post on 06-Jul-2018
MODEL STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED
(SIR)
oleh
FELIN YUNITA
M0109028
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2013
i
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ABSTRAK
Felin Yunita. 2013. MODEL STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTEDRECOVERED (SIR). Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Uni-versitas Sebelas Maret.
Model susceptible infected recovered (SIR) menjelaskan penyebaran penya-kit dari individu susceptible menjadi infected, kemudian individu infected akansembuh (recovered) dan tidak terinfeksi kembali karena memiliki kekebalan. Pe-nyebaran penyakit dapat dipandang sebagai kejadian random yang bergantungpada variabel waktu sehingga disebut proses stokastik. Perubahan banyaknyaindividu susceptible, infected, dan recovered merupakan proses stokastik dalamselang waktu dan variabel random kontinu sehingga dapat dijelaskan dengan mo-del stokastik SIR.
Tujuan penulisan ini adalah menurunkan model stokastik SIR. Penyelesa-ian model stokastik SIR diperoleh dengan formula Ito dan fungsi probabilitasvariabel random dari model stokastik SIR harus memenuhi persamaan diferensialKolmogorov maju.
Model stokastik SIR disimulasikan dengan mengambil laju kontak β, lajukesembuhan γ, dan individu awal yang terinfeksi I(0) yang berbeda. Hasil simu-lasi menunjukkan bahwa jika semakin besar nilai β maka puncak epidemi semakintinggi dan semakin besar nilai I(0) maka puncak epidemi juga semakin tinggi.Akan tetapi jika semakin besar nilai γ maka puncak epidemi semakin rendah.Kata kunci : formula Ito, model SIR, model stokastik, persamaan diferensial
Kolmogorov
iii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ABSTRACT
Felin Yunita, 2013. SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR)STOCHASTIC MODEL. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, SebelasMaret University.
The susceptible infected recovered (SIR) model explains the spread of adisease from the susceptible individuals become infected individuals, then theinfected individuals will be recovered and will be not re-infected because theyhave immunity. The spread of disease is considered as random events whichdepend on the time variable so it is called a stochastic process. The changes ofthe number of susceptible, infected, and recovered individuals are a stochasticprocess with continuous time interval and random variable that can be explainedby a SIR stochastic model
The purpose of this research is to construct the SIR stochastic model. Thesolution of the SIR stochastic model is obtained by the Ito formula and theprobability function of random variables from the SIR stochastic model mustsatisfy the Kolmogorov forward differential equations.
The SIR stochastic model is simulated by taking the various values of thecontact rate β, the recovery rate γ, and the initial value of infected I(0). Theresults of simulation show the more value of β, the higher of outbreak, and themore value of I(0), the higher of outbreak. On the other hand the more value ofγ, the lower of outbreak.Key words : Ito formula, Kolmogorov differential equations, SIR model, sto-
chastic model
iv
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk
Bapak dan Ibu atas doa, cinta dan pengorbanan yang diberikan
v
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, yang telah
melimpahkan kasih dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skrip-
si ini. Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak, oleh
karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang
telah membantu dalam penulisan skripsi ini, khususnya kepada
1. Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc sebagai Pembimbing 1 yang telah
memberikan bimbingan dan arahan baik penulisan skripsi maupun materi
dalam hal penurunan model stokastik SIR dan simulasi numerik,
2. Dra. Respatiwulan, M.Si sebagai Pembimbing II yang telah memberikan
bimbingan dan arahan baik penulisan skripsi maupun materi dalam hal
penurunan model stokastik SIR dan penyelesaian model,
3. Sri Kuntari, M.Si yang telah memberikan masukan dan saran dalam hal
penyelesaian model, dan
4. Silvia Kristanti, Dyah Wardiyani, dan Maftuhah Qurrotul Aini atas kerja-
sama dan masukan dalam hal penurunan model.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat.
Surakarta, Juli 2013
Penulis
vi
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Daftar Isi
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
I PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II LANDASAN TEORI 4
2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.1 Model SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2 Proses Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.3 Proses Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.4 Model Stokastik SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.5 Persamaan Diferensial Kolmogorov Maju . . . . . . . . . . 9
2.3 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
IIIMETODE PENELITIAN 11
vii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
IVPEMBAHASAN 12
4.1 Model Stokastik SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Penyelesaian Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 Penerapan dan Simulasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
V PENUTUP 26
5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
DAFTAR PUSTAKA 28
viii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Daftar Gambar
2.1 Skema Model SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.1 Banyaknya individu infected pada selang waktu 0 ≤ t ≤ 40 . . . . 22
4.2 Banyaknya individu infected dengan I(0) = 2, γ = 0.3, dan β =
0.55 (biru), 0.65 (merah), dan 0.75 (hijau) pada selang waktu 0 ≤
t ≤ 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 Banyaknya individu infected dengan I(0) = 2, γ = 0.2(biru),
0.3(merah), 0.4(hijau) dan β = 0.65 pada selang waktu 0 ≤ t ≤ 40 24
4.4 Banyaknya individu infected dengan I(0) = 2 (biru), 5 (merah), 8
(hijau), γ = 0.3, dan β = 0.65 pada selang waktu 0 ≤ t ≤ 40 . . . 25
ix
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user