MATEMATIKA TEKNIK 2

3 SKS

TEKNIK ELEKTRO

1

BAB I

BILANGAN KOMPLEKS

Sistem bilangan real ℝ tidak dapat menyelesaikan

persamaan x2 +1=0. Untuk menyelesaikan persamaan

tersebut dibutuhkan bilangan jenis baru. Bilangan jenis

baru ini dinamakan bilangan imajiner atau bilangan

kompleks.

2

BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA

Definisi 1Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:

a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i2 = –1.

NotasiBilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z. Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).

3

OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS

DEFINISI 2

Bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan bilangan kompleks

z2=x2+iy2 dikatakan sama, z1=z2, jika dan hanya jika

x1=x2 dan y1=y2.

DEFINISI 3

Untuk bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2 jumlah

dan hasil kali mereka berturut-turut didefinisikan sbb:

z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2)

z1 • z2 = (x1x2 –y1y2) + i(x1y2+x2y1)

4

Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi ℂ

Jadi ℂ = { z | z = x + iy, x∈ℝ, y∈ℝ }.

Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadi

bilangan real x, sehingga bilangan real adalah keadaan

khusus dari bilangan kompleks, sehingga ℝ⊂ℂ . Jika

Re(z)=0 dan Im(z)≠0, maka z menjadi iy dan

dinamakan bilangan imajiner murni. Bilangan imajiner

murni dengan y=0, yakni bilanga i, dinamakan satuan

imajiner.

5

Sifat-sifat bilangan kompleks

Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi

penjumlahan dan perkalian (ℂ ,+,•) membentuk bidang

(field) kompleks. Adapun sifat-sifat yang berlaku pada

bidang bilangan kompleks z1, z2 dan z3 adalah sebagai

berikut:

1. z1+z2 ∈ ℂ dan z1•z2 ∈ ℂ . (sifat tertutup)

2. z1+z2 = z2+z1 dan z1•z2 = z2•z1 (sifat komutatif)

3. (z1+z2)+z3 = z1+(z2+z3) dan (z1•z2) •z3= z1•(z2•z3)

(sifat asosiatif)

4. z1•(z2+z3)=(z1•z2)+(z1•z3) (sifat distributif)

5. Ada 0=0+i0 ∈ℂ , sehingga z+0 = z (0 elemen netral

penjumlahan)

6

6. Ada 1=1+i0 ∈ ℂ , sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian)

7. Untuk setiap z = x+iyℂ, ada –z = –x–iy

sehingga z+(–z) = 0

8. Untuk setiap z = x+iyℂ, ada z-1 = 1/z, sehinggaz•z-1 = 1.

Tugas:

Buktikan sifat-sifat 1 – 8 menggunakan definisi yang telah diberikan.

7

Contoh soal:

1. Jika z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2,

Buktikan bahwa: z1 – z2= (x1 – x2)+i(y1 – y2)

2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5–i.

Tentukan z1 + z2, z1 – z2 , z1z2, dan

8

2

1

z

z

Kompleks Sekawan (Konjugat)

Jika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan

kompleks sekawan dari z ditulis , didefinisikan sebagai

= (x,–y) = x – iy.

Contoh:

Sekawan dari 3 + 2i adalah 3 – 2i , dan sekawan

dari 5i adalah –5i.

Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut:

9

z

z

Teorema 1 :

a. Jika z bilangan kompleks, maka :

1.

2.

3.

4.

10

22 )zIm()zRe(zz

)zIm(2zz

)zRe(2zz

zz

b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka :

1.

2.

3.

4. , dengan z2≠0.

11

2121 zzzz

2121 zzzz

2121 zzzz

2

1

2

1

z

zzz

Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks

Karena z = x + iy dapat dinyatakan sebagai z= (x,y),

merupakan pasangan terurut bilangan real, maka z dapat

digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius

sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama untuk sumbu x

diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y diubah menjadi

sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama

bidang Argand atau bidang z. Jika kita hubungkan titik asal

(0,0) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga

bilangan kompleks z = x+iy = (x,y) dapat dipandang sebagai

vektor z. Arti geometris dari penjumlahan dan pengurangan

bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut.

12

13

Re

Im

)y,x(z

O

ArganBidangz

14

Im

Re

2z

1z

O

21 zz

15

Re

Im

2z

2z

1z

21 zz

O

Tugas :

Diketahui z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i.

Gambarkan pada bidang kompleks (bidang argand):

z1, z2, z1+ z2, z1- z2,

16

212121 zz,zz,z,z

Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks

Definisi 4 :

Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, maka modulus

dari z, ditulis z = x+iy =

Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak

dari titik O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara dua

bilangan kompleks z1 =x1+iy1 dan z2 = x2+iy2 adalah

17

22 yx

221

221 )yy()xx(

Selanjutnya apabila z1 =x1+iy1 dan r real positif,

maka z – z1 = r merupakan lingkaran yang berpusat di

titik z1 dengan jari-jari r.

Bagaimanakah dengan z – z1 < r dan z – z1 > r

Gambarkanlah pada bidang z.

18

Teorema 2 :

A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku :

1.

2.

3.

4.

5.

19

)zIm()zIm(z

)zRe()zRe(z

zzz

zz

)zIm()zRe(z

2

222

B. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku :

1.

2.

3.

4.

5.

Tugas : Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan z = x+iy,

kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga teorema B !

20

2121

2121

2121

2

1

2

1

2121

zzzz

zzzz

zzzz

z

z

zz

zzzz

1. Bukti:

21

2121 zzzz

)iyx()iyx(zz 221121

)yxyx(i)yyxx( 12212121

212121

22

22

212121

22

21

22

21 yyxx2yxyxyyxx2yyxx

21221

22121 )yxyx()yyxx(

)yx()yx( 22

22

21

21

)yx()yx( 22

22

21

21

21 zz

2121 zzzz

2. Bukti:

22

22

22

22

11

2

1

iyxiyx

iyxiyx

zz

22

22

211222

22

2121

yx

yxyxi

yx

yyxx

2

22

22

2112

2

22

22

2121

yx

yxyx

yx

yyxx

222

22

212122

21

21

222121

22

21

22

21

)yx(

yyxx2yxyxyyxx2yyxx

)yx()yx(

)yx()yx(22

22

22

22

22

22

21

21

.terbuktiz

z

yx

yx

2

1

22

22

21

21

3. Bukti:

23

2121 zzzz 2

1221 )yxyx(0

212121

22

22

21 yyxx2yxyx0

21

22

22

212121 yxyxyyxx2

21

22

22

21

22

21

22

212121

22

21

22

21 yxyxyyxxyyxx2yyxx

)yx)(yx()yyxx( 22

22

21

21

22121

)yx)(yx(2)yyxx(2 22

22

21

212121

2221

21

2221

21 yyy2yxxx2x

22

22

22

22

21

21

21

21 yx)yx)(yx(2yx

22222

21

21

221

221 yxyx)yy()xx(

22

22

21

21

221

221 yxyx)yy()xx(

terbukti

zzzz 2121

4. Bukti:

24

2121 zzzz

2121

2121

221

2211

zzzz

zzzz

zzz

zzzz

Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan Kompleks

Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y),

bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam

bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,).

25

Im

Re

),r()y,x(z

rz

O

Adapun hubungan antara keduanya, dan

adalah :

x = r cos , y = r sin,

sehingga = arc tan

adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz

didapat juga

Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalah

z = (r, ) = r(cos + i sin ) = r cis .

dan sekawan dari z adalah = (r, -) = r(cos - i sin ).

26

xy

zyxr 22

)y,x( ),r(

Definisi 5 :

Pada bilangan kompleks z = (r, ) = r(cos + i sin ), sudut disebut

argument dari z, ditulis arg z. Sudut dengan 0 < 2 atau - <

disebut argument utama dari z, ditulis = Arg z. Pembatasan

untuk sudut tersebut dipakai salah satu saja.

Definisi 6 :

Dua bilangan kompleks z1 = r1(cos 1 + i sin 1) dan z2 = r2(cos 2 + i

sin 2) dikatakan sama, jika r1 = r2, dan 1 = 2.

27

Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, ) =

r(cos + i sin ) = r cis , maka anda dapat menuliskan z

dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z = rei, dan

sekawannya adalah re-i.

Tugas: Buktikan bahwa ei = cos + i sin , dengan

menggunakan deret MacLaurin untuk cos , sin dan et

dengan mengganti t = i.

28

Contoh :

Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentukpolar dan eksponen !

Jawab :

z = 1 + i, r = , tan = 1, sehingga = 45⁰=

Jadi z = (cos + i sin ) = cos =

29

2 41

41 2 2

i4e

2 41

41

Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks

Perkalian dan Pemangkatan

Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam

bentuk kutub adalah z = r(cos + i sin ).

Jika z1 = r1(cos 1 + i sin 1) & z2 = r2(cos 2 + i sin 2),

maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai

berikut :

z1 z2 = [r1(cos 1 + i sin 1)][r2(cos 2 + i sin 2)]

z1 z2 = r1 r2 [(cos 1 cos 2 - sin1sin 2) +

i (sin 1 cos 2 + cos 1sin 2)]

z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)]

30

Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:

arg(z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2

Pertanyaan :

Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn dan

z z z z … z = zn ?

31

Jika diketahui:

z1 = r1(cos 1 + i sin 1)

z2 = r2(cos 2 + i sin 2)

zn = rn(cos n + i sin n), untuk n asli,

maka secara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian z1

z2 … zn = r1 r2 …rn[cos (1 + 2+…+n) + i sin (1 + 2+…+n)] .

Akibatnya jika, z = r(cos + i sin ) maka

zn = rn (cos n + i sin n). . . . . . . . . . .1

Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre

(cos + i sin )n = cos n + i sin n, n asli.

32

Pembagian:

Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai

berikut:

Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan

sekawan penyebut, yaitu r2(cos 2 - i sin 2), maka

diperoleh : [cos (1 - 2 ) + i sin (1 - 2)]

Dari rumus di atas diperoleh:

arg 1-2 = arg z1 – arg z2.

33

)sini(cosr)sini(cosr

zz

222

111

2

1

2

1

2

1

rr

zz

2

1

zz

Akibat lain jika z = r(cos + i sin ),

maka:

Untuk: .

Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan

penyebut, maka didapat :

. . . . . . . 2

34

nsinincosr

1

z

1

)sin(i)cos(r1

z1

nn

)nsin(i)ncos(r

1

z

1nn

Dari 1 dan 2 diperoleh:

Dalil De-Moivre

berlaku untuk semua n bilangan bulat.

35

)nsin(i)ncos(rz nn

Contoh:

Hitunglah :

Jawab :

Misalkan maka

karena z di kuadran IV, maka dipilih

jadi

36

3

1tan

213zr

,i3z

6

6

oo66

oo

2

)01(2

180sini180cos2i3

30sini30cos2i3

o30

6i3

Akar Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari

bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis .

Jika z = (cos +i sin) akar pangkat n dari bilangan

kompleks w = r(cos+i sin), maka dari zn = w diperoleh:

n(cosn +i sinn) = r(cos+i sin), sehingga n = r dan

n= +2k , k bulat.

Akibatnya dan

Jadi . . .

37

n

1

wz

n1

rnk2

Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks

w = r(cos+i sin) adalah:

z = [cos( ) + i sin ( )],

k bulat dan n bilangan asli.

Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda yang

memenuhi persamaan itu.

Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1);

0 < 2, sehingga diperoleh z1,z2,z3,…,zn

sebagai akar ke-n dari z.

38

n

1

rnk2

nk2

nk2

Contoh :

Hitunglah (-81)1/4

Jawab :

Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaian

persamaan z4 = -81.

Tulis z = (cos +i sin) dan –81 = 81(cos1800+i sin1800),

sehingga 4(cos4 +i sin4) = 81(cos1800+i sin1800),

diperoleh 4 = 81, atau = 3 dan .

Jadi z = 3[cos( )+i sin( )]

Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan

mensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir.

39

4k2

4k2

4k2

Latihan Soal Bab I

1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan

z = (x,y) = x + iy.

2. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z2 = 8 – i.

Tentukan z1 + z2, z1 - z2 , z1z2, dan z1 / z2

3. Jika z = -1-i, buktikan z2 + 2z + 2 = 0.

4. Cari bilangan kompleks z yang memenuhi

sifat: a. z-1 = z dan b.

5. Buktikan untuk setiap z bilangan kompleks

berlaku : z1. + .z2 = 2Re(z1. )

6. Hitung jarak antara z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i.

40

zz

1z2z 2z

7.Gambarkan pada diagram argand dan

sebutkan nama kurva yang terjadi :

a. z – 5 = 6 dan z – 5 > 6

b. z + i = z – i

c. 1 < z – i < 3

8.Nyatakan bilangan kompleks z = 2 -2i dalam

bentuk polar dan eksponen !

9. Hitunglah (-2+2i)15

10.Tentukan himpunan penyelesaian dari : z3- i = 0

41