Modul ke:

Fakultas

Program Studi

MATEMATIKA DASARBilangan bentuk pangkat, akar dan logaritma

Inna Sabily Karima, S.Kom, M.KomFASILKOM

Sistem Informasi

Peta Konsep Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

membahasmeliputi

Pangkat Negatif

Pangkat Nol

Pangkat Bulat

Rasionalisasi Penyebut

Operasi Bentuk Akar

Bentuk Pangkat Bentuk Akar Logaritma

mempelajari

A. Bentuk Pangkat Bulat1. Pangkat Bulat Positif

Definisi:Jika a bilangan real dan n bilangan bulat positif, a pangkat

n (ditulis an) didefinisikan sebagai perkalian berulang

bilangan a sebanyak n faktor.

Dalam notasi matematika, ditulis:

dengan a bilangan pokok (basis), a ≠ 0, dan n adalah pangkat (eksponen), a ≠ 0.

2. Sifat-Sifat Pangkat Bulat

Sifat-sifat umum:

0≠auntuk=aa nm × nm+a

=aa

n

mnma −

=b)(a m× mm ba ×

=)ba( m

m

m

ba

=)(a nm nma ×

1)

2)

3)

Jika a dan b bilangan real tidak nol, serta m dan n bilangan bulat, berlaku sifat-sifat berikut.

Jawab:

Tentukan nilai dari bentuk perpangkatan berikut.

Contoh:

4

32

2

23

158

524

zyx:

zyx

32

4

2

23

85z3

538

yxzyx

⋅⋅⋅×

⋅⋅⋅⋅

yzx=

233 ⋅⋅⋅

yxz=

29

=zyyx

4

32

2

23

158x:

5z24

3. Pangkat Nol dan Pangkat Bulat Negatif

Ketentuan umum:

Berbeda dengan an, bilangan pangkat negatif a-n tidak

dapat didefinisikan sebagai perkalian berulang dari

bilangan yang dipangkatkan. Oleh karena itu, pangkat

ini seringkali dinamakan pangkat tak sebenarnya.

a. Jika a sembarang bilangan real bukan nol maka

a0 = 1.

b. Untuk a ≠ 0 dan n bilangan bulat positif maka

atau .

Contoh : Sederhanakan bentuk-bentuk pangkat .

(-1)3-

)2(2)2(32

)(2

×

−×−−×−

3bccb=

3

4622)(bccb= 3

−−

333

4622×

−−

cbcb=

9346221

c)bcb(= −

94364b1

++ c= − 594b

1c

=

Jawab:

4. Persamaan Pangkat Sederhana

Secara umum, persamaan pangkat dapat diselesaikan

sebagai berikut.

Bagaimana jika bilangan pokok di kedua ruas tidak

sama? Jika demikian maka nilai yang memenuhi

adalah kedua ruas harus sama dengan satu. Untuk

itu, pangkat kedua ruas harus sama dengan nol.

Jika af(x) = ag(x) maka f(x) = g(x).

Jika af(x) = bg(x) maka f(x) = 0 dan g(x) = 0.

Contoh 1 :

Tentukan penyelesaian dari 273x = 318.

183x3 33 =)(⇔189x 33 =⇔

189x =⇔2=x⇔

183273x =

Jawab :

Tentukan nilai m dan n yang memenuhi 322

132

2327

83 ×−

=m

nm

m

nm

)()(= 23

1332

323 −

m

nm

= 6

392

323 −

3962 23 −− ⋅ nmm= 394 23 −− ⋅ nm=32 23 ×=

21 −=m24 =m− ⇔

339 =n − 69 =n 32

=n⇔

Jawab : Cara 1:

m

nm

2

132

2783 −

diperoleh 394 23 −− ⋅ nm

sehingga:

⇔

Contoh 2:

Cara 2:Persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi bentuk berikut.

322

132

2327

83 ×−

=m

nm

39

3

26

2

22

333

−× nm

m

=⇔

)m+(m 2623 − )n(= 3932 −−⇔

243 −− m n= 962 −⇔

Berdasarkan sifat persamaan pangkat maka–4m – 2 = 0 dan 6 – 9n = 0.Dengan menyelesaikan persamaan-persamaan di atas, diperoleh m = dan n = .

32

5. Notasi Baku

Bentuk baku bilangan besar adalah

1 ≤ a < 10 dan n bilangan asli.

Bilangan besar diartikan sebagai bilangan yang lebih dari 10.

Bentuk baku bilangan kecil adalah

Bilangan kecil diartikan sebagai bilangan antara 0 dan 1.

1 ≤ a < 10 dan n bilangan asli.

a x 10n

a x 10–n

Contoh:

6. Akar Pangkat Bilangan

Misalnya,

Operasi untuk menentukan bilangan pokok yang dipangkatkan jika diketahui perpangkatannya disebut dengan akar pangkat, ditulis dengan notasi

2 4

3 27

3 64

= 3, dibaca akar pangkat tiga dari dua puluh tujuh adalah 3;

= 4, dibaca akar pangkat tiga dari enam puluh empat adalah 4.

= 2, dibaca akar pangkat dua dari empat adalah 2;

B. Bentuk Akar1. Bilangan Rasional dan Bilangan IrasionalBilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk dengan a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0.

Bilangan rasional dapat dibedakan menjadi dua macama. bilangan bulat, seperti –3, –1, 0, 6;b. bilangan pecahan, seperti , , .Ciri-ciri bilangan rasional: a. Bilangan desimalnya terputus/terbatas, misalnya = 0,25 dan = 1,5.b. Bilangan desimalnya tidak terputus/terbatas, tetapi berulang, misalnya = 0,16666 ... dan = 0,1111....

ba

23−

411−

212

41

23

61

91

Bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk , a dan b

bilangan bulat dan b ≠ 0, disebut bilangan irasional. ba

Tunjukkan bahwa 0,44444….. dapat diubah ke bentuk pecahan biasa.Contoh :

..0,44444...=x

.4,4444.... 10 =x (kedua ruas dikalikan dengan 10)

Dengan mengurangkan 10x dengan x, diperoleh

.4,4444.... 10 =x

..0,44444...=x

49x=

94=x

Jadi, 0,4444... sama dengan .94

Jawab:

2. Pengertian Bentuk Akar

3. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

Buktikan!!

a. Penjumlahan dan Pengurangan

Bentuk akar pada bilangan yang dioperasikan harus sama.Jika a, c ∈ R dan b ≥ 0, berlaku

b c) - (a bc ba

b c) (a bc ba

=−

+=+

b. Perkalian dan PembagianPerhatikan kembali pengertian akar pangkat dua sebuah bilangan, yaitu

Berdasarkan definisi di atas, berlaku sifat-sifat berikut.. 0 , untuk 2 ≥=↔= ba a, b b a

ba

ba

ba b a

a a

=

×=×

=

)3

2)

)1 2

Berdasarkan sifat-sifat di atas, dapat diturunkan sifat-sifat berikut:

Secara lebih luas, sifat-sifat bentuk akar dapat ditampilkan sebagai berikut.

01 ≥= a, a a. n n

02 , a, b b a ab. nnn ≥×=

mnm n a a. =3

04 , b b

a ba.

n

nn ≠=

nnn bc) (a b c b. a ±=±5

bd ac d c b a nnn =×.6

nn

n

db

ca

dcba 7. =

)+)(( 522253 − 522222553253 ×−×−×× +=

1022253103 −×−×+=

10 11 +=

)+)(( 522253 −

Contoh :

Sederhanakan bentuk akar .

Jawab :

c. Mengubah Bentuk Akar ke Bentuk Penjumlahan Akar

Rumus:

Contoh :

Tentukan bentuk penjumlahan dari bentuk akar .

Jawab :

1227 + 43243 ×+)+(=

43 +=

23 +=

1227+

Penyebut-penyebut pecahan dapat dirasionalkan dengan pedoman berikut.

a. Pecahan berpenyebut dikalikan dengan

b. Pecahan berpenyebut dikalikan dengan

Pecahan berpenyebut dikalikan dengan

c. Pecahan berpenyebut dikalikan dengan

Pecahan berpenyebut dikalikan dengan

bbb

baba

−−ba+

ba−baba

++

baba

−−ba+

ba−baba

++

4. Merasionalkan Penyebut

223 +=89223

−+=

223223

2231

++= ×

−

2231

−=

223223223

−− ))(+(

=

223

223

223

223

−

−×−

+=

223

223

−

+

223

223

−

+

Sederhanakan pecahan dengan merasionalkan penyebutnya.Contoh :

Jawab :

C. Pangkat Pecahan

Secara umum, pangkat pecahan dapat didefinisikan sebagai berikut.

Untuk a ≥ 0 dan m, n bilangan bulat bukan nol, berlaku

=an m nm

a

Operasi-operasi yang berlaku pada pangkat bulat

juga berlaku pada pangkat pecahan.

Contoh 1:Sederhanakan bentuk pangkat pecahan

32

6

664⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−yx

Jawab :

( )32

6664 yx=

( )32

6662 yx=

326

326

326

2×××

yx=4442 yx=

4416 yx=

32

6

664⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−yx

722=⇔ x

2248 +=+ xx4

262 +=+ xx

42

32 2)2(+

+ =x

x⇔

42

62 22+

+ =⇔x

x

4 23 24 ++ = xx

⇔

⇔

Contoh 2:Tunjukkan nilai x yang memenuhi persamaan 4 23 24 ++ = xx

Jawab:

D. Logaritma1. Pengertian Logaritma

Untuk a > 0, b > 0, dan a ≠ 1, logaritma b dengan

basis a, ditulis alog b adalah

alog b = c sama artinya dengan ac = b

Operasi logaritma merupakan kebalikan (invers) dari

perpangkatan dan didefinisikan sebagai berikut.

• Bilangan a disebut bilangan pokok (basis).

• Bilangan b disebut bilangan yang dicari

logaritmanya (numerus).

• Bilangan c disebut bilangan hasil logaritma.

Perhatikan !!!5log 5 = 15log 25 = 5log 52 = 25log 125 = 5log 53 = 3

Diagram Cartesiusx y

525

125

123

(5, 1)

(25, 2)

(125, 3)

X

Y

Diagram Cartesius xlog5

Buktikan!!!

b=ba

=n=a

a

a

na

log01 log

log

xlog5

2. Sifat-Sifat Logaritmaa. Sifat 1:

Bukti :

Misal

x = alog b ⇔ b = ax

y = alog c ⇔ c = ay

...................................... (terbukti)

alog (b x c) = alog b + alog c

alog (b x c) = alog (ax x ay)= alog (ax + y)= x + y = alog b + alog c

b. Sifat 2:

cb)=cb( aaa logloglog −..

Buktikan !!!

Buktikan!!!!

c. Sifat 3:

.. bn=b ana log log

d. Sifat 4:

e. Sifat 5:

ab=b c

ca

logloglog .. , c > 0, c ≠1

c=cb aba log log log × ..

f. Sifat 6:

a=b b

a

log1log

g. Sifat 7:

bmn=b anma loglog ..

Contoh :

Jika diketahui log 2 = a, log 3 = b, dan log 5 = c, tentukan

150log2 21

2 log150 =

)(= 235log21 22 ××

)++(= log2log3log521 2222

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 1log2log3

log2log52

21 ++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 12c

21 +

ab+

a=

2a2c+b+a=

150log2

Jawab :

3. Menentukan Nilai Logaritma dengan Alat Bantu

a. Dengan Tabel

Tabel LogaritmaN 0 1 2 ...... 9

1.0 0.0000 0.0043 0.0086 .... 0.0374

1.1 0.4140 0.0453 0.0492 .... 0.0756

.... .... .... .... .... ....

2.4 0.3802 0.3820 0.3838 .... 0.3962

.... .... .... .... .... ....

9.9 0.9956 0.9961 0.9965 .... 0.9996

Pada tabel ini, bilangan pokok (basis) yang digunakan adalah 10.

Misalkan kalian ingin menentukan nilai log 2,49.Dapat ditentukan bahwa log 2,49 = 0.3962

Untuk menentukan nilai x yang memenuhi persamaan log x = b

jika b diketahui, gunakan tabel antilogaritma b, ditulis antilog b.

Langkah-langkah menentukan antilogaritma suatu bilangan:

a. Ubahlah bilangan b (nilai logaritma) sehingga dapat ditentu-

kan bagian bulat (karakteristik) dan bagian desimal (mantis).

b. Pada kolom paling kiri, carilah dua angka desimal pertama.

c. Pada baris angka tersebut, carilah bilangan yang berada

tepat di bawah kolom angka desimal ke-3.

d. Tentukan letak koma desimal dengan aturan sebagai

berikut.

1) Jika bagian bulat n = 0, letak koma desimal di belakang

angka pertama desimal.

2) Jika bagian bulat n > 0, letak koma desimal bergeser n

angka ke kanan dari bentuk baku (ilmiah).

3) Jika bagian bulat n < 0, letak koma desimal bergeser n

angka ke kiri dari bentuk baku (ilmiah).

16 April 2015

Perhatikan tabel antilogaritma berikut:

X 0 1 2 3 ......

.... .... .... .... .... ....

.74 550 551 552 553 ....

.75 562 564 565 566 ....

.... .... .... .... .... ....

Karena bagian bulat 0 maka antilog 0,743 = 5,53.

Bilangan 0,743 memiliki bagian bulat 0 dan bagian desimal 743.Cari angka”.74” di kolom pertama (paling kiri). Kemudian, caribilangan yang berada di bawah angka 3 pada baris tersebut maka akan kalian peroleh bilangan 553.

log x = 0,743

x = 5,53

b. Dengan Kalkulator

• Menentukan nilai logaritma dengan menggunakan

kalkulator hasilnya agak lebih baik dibandingkan dengan

menggunakan tabel.

• Pada kalkulator, bilangan pokok yang digunakan adalah

10 dan e. Bilangan e memiliki nilai 2,7182818....

• Bentuk logaritma dengan bilangan pokok e, yaitu e log x,

ditulis ln x. Perhatikan dengan saksama petunjuk cara

menentukan nilai logaritma ataupun menentukan bilangan

yang dicari nilai logaritmanya.

4. Memecahkan Masalah-Masalah Logaritma

Contoh:

Pertambahan penduduk di suatu wilayah dirumuskan dengan Pt = P0 (1 + r)t untuk Pt = jumlah penduduk pada tahun ke-t, r = persentase pertumbuhan penduduk, dan P0= jumlah penduduk semula. Jika pada tahun 2007 wilayah itu mempunyai penduduk 10.000 jiwa dan pertumbuhan penduduknya 2% per tahun, tentukan jumlah penduduk wilayah itu pada tahun 2011.

Jawab:

Diketahui P0 = 10.000 = 104 jiwa

Dengan demikian, diperoleh

r = 2 % = 0,02

t = 4 tahun

Pt = P0 (1 + r) t P4 = 104 (1 + 0,02) 4 P4 = 104 (1,02)4⇔ ⇔

Jika kedua ruas dilogaritmakan, diperoleh

P4 dapat ditentukan dengan menggunakan antilog 4,0344 = 10.824,3.Oleh karena itu, jumlah penduduk di wilayah itu pada tahun 2011 adalah 10.824 jiwa.

log P4 = log (104 (1,02) 4)

= log 104 + log (1,02)4

= 4 + 4 log 1,02

= 4 + 4(0,0086)

= 4,0344