Post on 01-Jun-2018
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
1/81
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
2/81
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
3/81
INTRODUCCION
La presente Gua de Ejercicios y Problemas de Matemtica I para el estudiante
representa uno de los objetivos de mejora continua que la Coordinacin Acadmica yel rea de Matemtica vienen realizando en cada semestre acadmico. Su
elaboracin est decididamente orientada a incrementar la calidad del proceso de
enseanza-aprendizaje de la Asignatura de Matemtica I, en la Unidad Acadmica de
Estudios Generales.
Esta Gua que se presenta, contiene ejercicios y problemas de aplicacin de
cada una de las sesiones de aprendizaje que se realizarn en el presente semestre
acadmico 2013 - II, por lo que est dividida en cuatro unidades, de acuerdo al silabo
correspondiente. Estas unidades son: Lgica matemtica y conjuntos, los nmeros
reales, funciones, tpicos de geometra analtica y aplicaciones de la programacin
lineal.
Es nuestra intencin y propsito, que la presente gua sea en un instrumento
bsico de trabajo para el estudiante y que contribuya a la formacin profesional y
acadmica de cada uno de los estudiantes de Estudios Generales que cursan la
Asignatura de Matemtica I, as como tambin el de mejorar los procesos de
enseanza aprendizaje.
La Coordinacin del rea de Matemtica
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
4/81
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
5/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
2
SEMANA 1
LGICA MATEMTICA
1. ENUNCIADO. Es toda oracin o frase que exprese alguna idea, a travs de
afirmaciones, negaciones, preguntas, rdenes, saludos, emociones, etc.
2. ENUNCIADO ABIERTO. Es aquel enunciado que contiene variables o letras, pero no
tiene la propiedad de ser verdadero o falso.
3. PROPOSICIN LGICA. Una proposicin es un enunciado cuya propiedad
fundamental es la de ser verdadera (V) o falsa (F), pero no ambas a la vez. Por tantono puede ser ambigua.
Una proposicin se representa simblicamente por letras minsculas tales como: p ,
q , r, s ,.. llamadas variables proposicionales.
4. VALOR DE VERDAD. Si p es una proposicin, su valor de verdad se denota con
( )V p y escribimos:
( )V p V si el valor de p es verdadero y
( )V p F si el valor de p es falso.
5. PROPOSICIN SIMPLE. Es aquella proposicin lgica que consta de un solo sujeto y
un predicado. Se llaman variables proposicionales.
6. PROPOSICIN COMPUESTA. Es aquella proposicin lgica compuesta de dos o ms
proposiciones simples.
7. OPERADORES LGICOS. Son signos que representan palabras y que son usados
para relacionar proposiciones. Tenemos:
- Conjuncin:
- Disyuncin dbil o inclusiva:
- Disyuncin fuerte o exclusiva:
- Condicional:
- Bicondicional:
- Negacin: ~
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
6/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
3
8. TABLAS DE VERDAD.
9. SIGNOS DE AGRUPACIN. Los signos de agrupacin , , se usan en lgica
cuando se trata de obtener esquemas lgicos ms complejos. Otra finalidad de estos
signos es darle mayor o menor jerarqua a los operadores.
10. FRMULA LGICA. Es una combinacin de variables proposicionales y operadores
lgicos. Se evala mediante tablas de verdad.
Las frmulas lgicas o esquemas moleculares, se evalan mediante tablas de valores
de verdad, el nmero de valores de verdad queda determinado por 2n
, donde n es elnmero de proposiciones.
Si al evaluar una frmula lgica resulta que todos los valores de verdad de su operador
principal son verdaderos, entonces se tiene una TAUTOLOGA.
Si todos estos valores son falsos, es una CONTRADICCIN.
Si es una combinacin entre valores verdaderos y falsos, entonces se tiene una
CONTINGENCIA.
CONJUNCIN
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
DISYUNCINDBIL
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
DISYUNCINFUERTE
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
CONDICIONAL
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
BICONDICIONAL
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
NEGACIN
p ~ p
V
F
F
V
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
7/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
4
EJERCICIOS
I. De las siguientes expresiones, indicar cules son proposiciones lgicas, justificar.
1. El da de hoy es jueves.
2. Hace calor!3. Qu edad tienes?
4. Prohibido fumar.
5. Maana llover.
6. El verano es una estacin playera.
7. Las rosas son hermosas.
8. El cero es un nmero natural.
9. Todo nmero entero es negativo.
10. 5 2 8x 11. 8 4 6x
12. El nmero 2221 es divisible por 2.
13. 3 8 1 2 3
14. 97 es un nmero primo.
15. 3 4 10x y
II. Simbolizar y determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
1. El mes de Marzo tiene 30 das y el mes de febrero 31 das.2. Arequipa no es la Ciudad Blanca o Trujillo es la Capital de la eterna Primavera.
3. El da tiene 24 horas si y slo si, una hora tiene 60 minutos.
4. Mario Vargas Llosa gan el Nobel en el 2011 o Humala es el Presidente del Per.
5. Si, 3 2 5 , entonces 204 es mltiplo de 17.
6. 10 es mltiplo de 3 y 30 es divisor de 600.
7. 99 es mltiplo de 3 4 no es un numero par.
8. No es verdad que, 4 3 6 y que 10 2 8 .
9. Si Junn est en el Per entonces Ro de Janeiro est en Argentina.
10. Es falso que, Alan Garca no sea el actual presidente de la repblica ya que perdien las elecciones generales del 2011.
11. Csar Vallejo escribi El Tungsteno no obstante Mario Vargas Llosa escribi LaFiesta del Chivo.
12. El ao de 1821 se proclam oficialmente la independencia del Per, sin embargo el 2de mayo 1866 se inmortaliz Don Jos Glvez defendiendo al Per de la invasinchilena.
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
8/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
5
III. Establecer la tautologa, la contradiccin y la contingencia de las siguientesproposiciones:
1. ~p q p q p q
2. ~ ~ ~ ~p q p q p q
3. ~ ~ ~p q p r
4. ~p q p r q p
5. p p q r p r
6. ~ p p q r p r
7. ~ ~ ~ ~p q r r p q
8. ~ ~ ~ ~p q r p q r
9. ~ ~ ~ ~p r p q r
10.
~p V q V p q p
11. ~ ~p q p q p q V
12. ~ ~ ~p q V V p V V V
13. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~p q p p q
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
9/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
6
IMPLICACIN LGICA
Dadas las proposiciones A y B; se dice que, A implica a B cuando unidos con la condicional
, resulta una tautologa. Se simboliza: AB y se lee: A implica a B, y si A no implica a B,
entonces se escribe: A
B.
EJERCICIOS:
Demostrar que A implica a B, en los siguientes ejercicios:
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
10/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
7
SEMANA 2
CONJUNTOS
Agrupaciones?, para qu?
En la vida diaria nos encontramos ante situaciones en las cuales de manera natural
agrupamos objetos, personas, proyectos, etc., que tienen alguna cualidad en comn. Por
ejemplo los compaeros de la escuela, las enfermedades del corazn, estudiantes de
matemtica, entre otros. Nos hacemos preguntas respecto a estas agrupaciones y sus
componentes, por eso la matemtica se encarga de estudiarlas y este estudio es conocido
como Teora de Conjuntos.
1. IDEA INTUITIVA DE CONJUNTO. De manera intuitiva diremos que un conjunto es una
coleccin bien definida de objetos. A cada uno de estos objetos le denominamos
elemento del conjunto. Un conjunto se denota por una letra mayscula, sus elementos
se encierran entre llaves y se separan por comas cuando el conjunto esta expresado por
extensin.
2. DETERMINACIN DE CONJUNTOS.
2.1. POR EXTENSIN. Aqu se listan todos los elementos del conjunto. Esta lista deelementos la escribimos entre llaves.
2.2. POR COMPRENSIN. Aqu se escribe una propiedad que cumplen todos los
elementos que estn en el conjunto.
3. RELACIN DE PERTENENCIA. Cuando un elemento se encuentra en un conjunto se
dice que este elemento pertenece al conjunto y se denota por pertenece.
4. SUBCONJUNTO. Es aquel que forma parte de otro. Se denota por y se lee es
subconjunto de est contenido en. Un conjunto A es subconjunto de B si y slo sicada elemento de A tambin es elemento de B y se denota por A B .
El conjunto vaco es subconjunto de todo conjunto A.
5. DIAGRAMA DE VENN-EULER. Son grficos que nos ayudan a ilustrar algunas ideas.
En el caso de la teora de conjuntos se usan diagramas de Venn-Euler. Se usan
generalmente crculos para graficar los conjuntos y un rectngulo para el conjunto
universal.
6. CARDINAL DE UN CONJUNTO. Es la cantidad o nmero de elementos de un conjuntoy se denota por n A .
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
11/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
8
7. CONJUNTOS ESPECIALES.
7.1. CONJUNTO UNIVERSAL. Es aquel formado por todos los elementos con los
cuales estamos trabajando en un problema particular. Se denota por U . Es muy
importante establecer el conjunto universal, ya que eso determinar nuestro marco
de referencia.
7.2. CONJUNTO VACO. Es aquel que carece de elementos. Se denota por .
7.3. CONJUNTOS DISJUNTOS. Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos en
comn.
7.4. CONJUNTO UNITARIO. Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.
7.5. CONJUNTO POTENCIA. El conjunto potencia de un conjunto A , es el conjunto
formado por todos los subconjuntos de A . Se denota por P A y el nmero deelementos de 2nP A , donde n es el nmero de elementos de A .
7.6. CONJUNTO FINITO. Es un conjunto cuya cantidad de elementos es limitada.
7.7. CONJUNTO INFINITO. Es un conjunto cuya cantidad de elementos es ilimitada.
Por ejemplo el conjunto de nmeros reales.
EJERCICIOS:
I. Expresar por extensin los siguientes conjuntos:
1. 2/ 1 ; ; 1 4A x x n n n
2.3
/ ; ;0 53
nB x x n n
n
3. 2/ 1; ; 2 4C x x n n n
4. / 2 11;D x x x es impar
5. / ; ; 3 33
nA x x n n
n
6. /B x x es un da de la semana
7. / 6C x x es un nmero natural menor que
8. 2/ 1; ; 2 5A x x n n n
9. 2 */ ; ;1 5B x x n n n n
10. / 4 8;D x x x es par
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
12/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
9
II. Resolver:
1. Si / 1 5A x x . Determinar P A .
2. Si * / 0 3A x x . Determinar P A .
3. Cules de las siguientes afirmaciones son falsas:
a) 0 b) 0
c) d)
4. Dado el conjunto 3,4, 6 ,8A , colocar verdadero o falso, segn corresponda:
a) 3 A b) 4 A c) 8 A
d) 3,8 A e) A f) 6 A
g) A h) 6 A i) 6 A
5. Cules de los siguientes conjuntos son vacos:
a) /A x x b) 3/ 3B x x
c) / 1/C x x d) 2/ 4 0D x x
6. Establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) / 6 7A x x es un conjunto vaco.
b) / 3B x x es mltiplo de es un conjunto infinito.
c) 1,2,3A y 1,1,3,2,3B son disjuntos
d) 1,2,3,4E es subconjunto de /1 4F x x
e) * /A x x es par y /B x x es impar son disjuntos.
f) El nmero de elementos de P A es 2n .
g) 3,6,9,12,...,30P es un conjunto finito.
h) / 42N x x es un nmero entero mayor que es un conjunto finito.
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
13/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
10
CUANTIFICADORES
FUNCIN PROPOSICIONAL.La funcin proposicional es un enunciado abierto de la forma
( )P x , es decir, se trata de una expresin que contiene alguna variable que al ser sustituidapor un valor particular se convierte en proposicin.
Por ejemplo:
2( ) : 3 10P x x es un enunciado abierto
2(2) : 2 3 10P es una proposicin falsa
2(3) : 3 3 10P es una proposicin verdadera
CUANTIFICADORES. Los cuantificadores sirven para transformar un enunciado abierto o
funcin proposicional en una proposicin para lo cual su misin es indicar cuntos
elementos de un conjunto dado, cumplen con cierta funcin proposicional.
1. CUANTIFICADOR UNIVERSAL. Representado por , se emplea para afirmar quetodos los elementos de un conjunto cumplen con determinada funcin proposicional.
Notacin: Ax :, se lee: para todox , que pertenece al conjunto A , se cumple
que
2. CUANTIFICADOR EXISTENCIAL. Representado por , se usa para indicar que almenos un elemento de un conjunto cumple con determinada funcin proposicional.
Notacin: Ax /, se lee: existe algn x , que pertenece al conjunto A , tal que secumple que
NEGACIN DE LOS CUANTIFICADORES.
:)(/~ AxxpAx ( )~ p x la negacin de un existencial da un universal
/)(:~ AxxpAx ( )~ p x la negacin de un universal da un existencial
NOTA.
En general, la proposicin universal :x A P x es verdadera si la propiedad ( )P x lo es,
es decir, si cumple con cada uno de los elementos de A y es falso si hay al menos unelemento de A que no cumple la propiedad ( )P x .
En general, la proposicin existencial : ( )x A P x es verdadera si en A hay al menos un
elemento x que cumple ( )P x y es falsa si ningn elemento de A cumple con ( )P x , estoes, todo elemento de A no cumple ( )P x .
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
14/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
11
EJERCICIOS
I. Dado el conjunto { 3, 2, 1, 0,1, 2, 3}A . Determine el valor de verdad de las
siguientes proposiciones.
1) AxAx 5/ 2) 2: 5 6 0x A x x
3) x A /4
82
x 4) x A / 2 10 2x
5) x A : 4 61
x
x
6) x A : 2 4 5x
II. Consideremos el conjunto: / 4 7A x x , diga si son verdaderas o falsas
las siguientes proposiciones, justificando su respuesta.
1) x A : 2 4 8x 2) x A / 4 2 12x
3) x A : 3 2 6x 4) x A / 55
23
x
5) x A : 72
13
x 6) x A : 34 5 6x
7) x A / 2 3 13x 8) x A : 3 9 24x
9) x A / 5
5
2
x 10) x A / 2( 8)( 1) 0x x
III. Dado el conjunto { 2, 1, 0,1, 3, 4,5,7}B . Negar cada una de las siguientesproposiciones y luego establecer su valor de verdad.
1) x B : 2 5 16x 2) x B : 2 3 26x
3) x B / 5 1 38x 4) x B : 4 1 55
x
5) x B / 102 3
2
x
6) x B / 2 2 45x
7) x B : 4 2 30x 8) x B / 5 3 10x
9) x B : 2 24
x
x
10) x B / ( 6)( 9) 0x x
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
15/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
12
SEMANA 3
OPERACIONES CON CONJUNTOS
1. UNIN. Dado dos conjunto A y B, la unin de A y B se define como:
/A B x x A x B
Siempre se cumple que A A
2. INTERSECCIN. Dado dos conjuntos A y B, la interseccin de A y B se define como:
/A B x x A x B
Dos conjuntos son disjuntos si A B . Adems siempre se cumple que A .
3. DIFERENCIA. Dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos A y B se definecomo:
/A B x x A x B
A BU
A BU
A BU
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
16/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
13
4. DIFERENCIA SIMTRICA.Dado dos conjuntos A y B, la diferencia simtrica de A y B sedefine como:
/A B x x A B x B A
5. COMPLEMENTO. Dado un conjunto A y el conjunto universal U, donde A U , sedefine el complemento de A como:
/' cA A x x U x A
Siempre se cumple que: 'U y ' U .
EJERCICIOS
I. Resolver:
1. Sean los conjuntos: / 0 9U x x , / 1 5A x x x y
/ 0 9B x x x es par . Hallar:
a) A B b) ' 'A B c) A B
d) ( )P A e) ( )P B f) ( ) ( )P A P B
2. Sean los conjuntos / 3 6A x x , * / 2 4B x x y U A B ,
determine:
a) B A b) ( ) 'A B A c) A B
A BU
AU
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
17/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
14
3. Sean los conjuntos * / 2 1 0A x x x x ,
2 2/ 1 4 0B x x x y U A B , determine 'E A B
4. Considerando / 4 7U x x , *
/ 0 4A x x x y / 2 7B x x x es par , determinar:
a) A U b) ' 'A B A c) A B
d) P A e) P B f) P A P B
5. Sean los conjuntos * / 2 6A x x y / 1 4B x x , determine:
A B A B B A A B .
6. Sean los conjuntos / 3 1 1 0A x x x x ,
2 2/ 1 9 0B x x x y U A B , determine E A B A B
7. Sean los conjuntos / 5 3A x x , 1,2,3,4,5,6 4,5,6B ,
3,4,5,6C y U A B C , determine E C A A B .
II. APLICACIONES
1. A un grupo de 35 alumnos se les ha tomado un examen de Matemtica y un examende Economa, obtenindose los siguientes resultados: 20 alumnos aprobaronMatemtica; 24 alumnos aprobaron Economa y 14 aprobaron ambas asignaturas.Cuntos alumnos aprobaron por lo menos un curso?, Cuntos alumnos aprobaronslo Matemtica?, Cuntos alumnos no aprobaron ninguna de las dosasignaturas?.
2. De un total de 200 personas sobre su preferencia acerca de dos productos A y B, 50dijeron no consumir el producto A y 40 no consumir el producto B. Si 15 personas
manifestaron no consumir ninguno de ellos. Cuntos consumen los dos productos?
3. De un conjunto de 40 personas se tiene la siguiente informacin: 15 personas que no
estudian ni trabajan, 10 personas que estudian y 3 personas que estudian y trabajan.
Cuntas personas realizan una sola actividad?.
4. En una reunin hay 160 personas de los cuales se tiene la siguiente informacin: los
que toman son el triple de los que fuman, los que fuman y toman son 40 y los que no
fuman ni toman son 12. Cuntos solamente toman?.
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
18/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
15
5. En un aula hay 72 alumnos que gustan de la msica rock o salsa. La cantidad de los
que gustan el rock es el quntuplo de los que slo gustan la salsa; la cantidad de los
que slo gustan el rock es el triple de los que gustan ambos gneros. Cuntos
alumnos slo gustan de un gnero?
6. En un aula de 25 alumnos deportistas hay: 16 alumnos que practican bsquet, 14
ftbol y 11 tenis. 6 alumnos practican los tres deportes, 2 practican ftbol y bsquet
pero no tenis, 1 practica bsquet y tenis pero no ftbol, 3 practican slo tenis.
Cuntos alumnos practican slo un deporte? .
7. Una agencia de Turismo convoc a un concurso para administradores con
conocimientos de algn idioma extranjero. De los que se presentaron, 25 saben
ingls, 21 francs y 17 alemn. Adems 17 saben ingls y francs; 14 ingls y
alemn; 11 francs y alemn y 9 ingls, francs y alemn. Cuntas personas se
presentaron al concurso?.
8. En una encuesta realizada en 100 viviendas de un distrito se obtuvo que:
60 casas tenan aparatos de TV a color
30 casas tenan equipo de sonido
20 casas tenan DVD
21 casas tenan TV a color y equipo de sonido.
15 casas tenan TV a color y DVD
4 casas tenan equipo de sonido y DVD.
Cuntas casas, como mximo, no tenan estos aparatos?
9. Un grupo de alumnos de Administracin ha planeado realizar una investigacin sobre
las respuestas de los espectadores a ciertos aspectos de las pelculas A, B y C.
Despus de encuestar a 50 personas se obtuvo la siguiente informacin: 20 han visto
la pelcula A; 17 han visto la pelcula B; 23 han visto la pelcula C. 6 han visto las
pelculas A y B, 8 han visto las pelculas B y C, 10 han visto las pelculas A y C.
Adems se sabe que 2 han visto las tres pelculas. Cuntas personas han visto una
sola pelcula?, Cuntas personas han visto al menos dos pelculas?
10. En una encuesta realizada a personas adultas de la regin norte del pas, conrespecto al gnero de cine que preferan, se obtuvo la siguiente informacin: 120prefieren la comedia; 100 prefieren el gnero policial; 50 les gusta el suspenso. 10prefieren los gneros policial y comedia; 16 prefieren comedia y suspenso; 16prefieren suspenso y policial. 6 les agrada los tres gneros. Si se entrevist a untotal de 290 personas, Cuntos optan por uno slo de estos gneros? , Cuntosslo prefieren la comedia?
11. Un grupo de 60 chef se presentaron a un Concurso de Cocina en las siguientes
especialidades: postres, cremas y pastas. Obtenindose como resultado que: 30ganaron en la especialidad de pastas. 25 ganaron en la especialidad de postres. 20
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
19/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
16
ganaron en la especialidad de cremas. 5 ganaron en pastas y postres pero no en
cremas. 7 ganaron en pastas y cremas. 1 gan en las tres especialidades. Adems
se sabe que el nmero de los que ganaron slo postres es la mitad de los que
ganaron la especialidad de pastas. Determine cuantos ganaron, al menos, en dos de
las especialidades.
12. Para obtener la licencia de conducir, hay que aprobar necesariamente 3 exmenes:
el mdico, el de manejo y el de reglas de trnsito. En una evaluacin de 80 personas
que solicitaron la licencia de conducir, aprobaron el examen mdico 26, y son tantos
como los que aprobaron el examen de manejo, pero la mitad de los que aprobaron el
examen de reglas de transito. 12 aprobaron el examen mdico y el de manejo; 8
aprobaron el examen mdico y el de reglas, 10 aprobaron el examen de manejo y
reglas. Si ninguno pudo obtener su licencia para conducir (es decir, ninguno aprob
los tres exmenes), determine cuntos aprobaron slo uno de los exmenes.
13. De una encuesta realizada a 130 personas para establecer sus preferencias de
lecturas de las Revistas Magaly TV, Gisela y Caretas, se obtiene el resultado
siguiente: todos leen alguna de las tres revistas, 75 leen Magaly TV , 15 leen
Magaly TV y Gisela pero no Caretas, 11 leen Gisela y Caretas pero no Magaly TV ,
20 leen slo Caretas. El nmero de personas que leen las tres revistas es 12 y el
nmero de los que leen Magaly TV y Caretas es el doble del nmero de los que leen
las 3 revistas. El nmero de los que leen slo Gisela es el mismo que el total de los
que leen Magaly TV y Caretas. Determine:a) El nmero de personas que leen solamente Magaly TV.b) El nmero de personas que leen solo dos revistasc) El nmero de personas que leen solo Magaly TV y Caretas.
14. En la Unidad Acadmica de Estudios Generales, se realiz una encuesta a un grupo
de 200 alumnos, sobre la responsabilidad en el cumplimiento de sus tareas,
puntualidad a clase y confianza en aprobar sus cursos; obteniendo los siguientes
resultados: 100 responden que son responsables con sus tareas, 110 responden
tener confianza en aprobar sus cursos y 120 responden que su asistencia es puntuala clase; 60 responden ser responsables en sus tareas y confan aprobar sus
cursos, 20 responden ser responsables con sus tareas y ser puntuales a clase pero
no confan aprobar sus cursos, 80 responden ser puntuales a clase y confan en
aprobar sus cursos. Adems, segn la respuesta de los alumnos, se estima que 50
alumnos son responsables, puntuales y confan aprobar sus cursos. Cuntos
alumnos son slo puntuales a clase?, Cuntos alumnos no son responsables, no
llegan puntuales a clase y no tienen confianza de aprobar sus cursos?, Cuntos
alumnos cumplen con, por lo menos, dos de las tres preguntas?
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
20/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
17
15. Un grupo de 160 jvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertas
marcas de bebida gaseosa (Coca Cola, Inca Kola y Pepsi) y se obtuvo el resultado
siguiente: los que beben Coca Cola son 59, los que beben Inca Kola 73 y los que
beben Pepsi 77. Los que beben Inca Kola y Pepsi son 22, Pepsi y Coca Cola 17,
solamente Coca Cola 30. Adems, los que beben Inca Kola y Pepsi, pero no CocaCola, son la mitad de los que solamente beben Coca Cola. Cuntos jvenes beben
las tres bebidas?, Cuntos jvenes beben solamente una de las tres bebidas.
16. En un estudio de mercado, para conocer la marca de automvil que prefieren los
peruanos, se realiz una encuesta a 310 personas obtenindose los siguientes
resultados: 140 personas prefieren la marca Nissan; 70 prefieren la marca Volvo y
110 la marca Toyota; 20 personas prefieren las marcas Volvo y Toyota pero no la
marca Nissan; 15 personas prefieren las marcas Volvo y Nissan; 25 personas
prefieren las marcas Nissan y Toyota. Adems se sabe que el nmero de personasque prefieren las tres marcas, es la sptima parte de los que prefieren la marca
Volvo.
a) Cuntas personas no prefieren ninguna de las tres marcas mencionadas de
Automvil?
b) Cuntos personas prefieren, por lo menos, dos de las tres marcas?
c) Cuntas persona prefieren slo dos de las tres marcas de automvil?
17. En una encuesta realizada a 300 personas, se determin que 20 slo leen el diarioA, 10 leen slo los diarios A y B, 40 leen slo los diarios B y C, 20 leen slo los
diarios A y C. Se conoce que, el nmero de personas que leen los tres diarios, es el
cudruplo de los que leen slo el diario C y a la vez es el doble de los que leen slo
el diario B. Si todas leen al menos un diario, halle el nmero de personas que leen al
menos dos diarios.
18. Csar, funcionario de una agencia de viajes, realiza una encuesta a un grupo de
turistas europeos sobre sus preferencias de pasar sus vacaciones en Sudamrica y
se obtuvo que: 13 prefieren Brasil y Per pero no Argentina; 12 prefieren slo Brasil.9 slo prefieren Per. 50 prefieren Per o argentina, de los cuales 7 prefieren Brasil
pero no Per y 4 prefieren Per y argentina pero no Brasil. 40 prefieren Brasil. Si
todos los turistas prefieren por lo menos un pas, determine:
a) El nmero de turistas que prefieren al menos dos pases.
b) El nmero de turistas que prefieren solo un pas.
c) El nmero de turistas que fueron encuestados.
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
21/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
18
SEMANA 4
ECUACIONES LINEALES
Una ecuacin es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Las dos expresiones
que conforman una ecuacin son llamadas lados o miembros, y estn separados por el
signo de igualdad =. Toda ecuacin lineal con una incgnita se puede expresar de la
forma: 0ax b , con 0a .
Resolver una ecuacin consiste en hallar el valor de la variable que hace verdadera
dicha igualdad.
La solucin es tambin llamada raz de la ecuacin siendo expresada por: a
b
x
1. Resolver x
a) 5 ( 4 1) 6 (3 5) ( 2)x x x x x
b) 4 3 ( 2) 2( 8) 4 ( 6)x x x x
c) 6 2 8 3 2 14x x x
d) 2 24 3 (5 4) 3 ( 1)x x x x
e) 2 2 2
3 1 5 3 4 2x x x
f) 64
89
2
37
xx
g)11 4 10
2 33 6
x xx
h) 21
53
14
98
3
72
xxx
i) 4321 2 xxxx
j) 112112 xxxxx
k) 522 22 xx
l) 18
3
3
1
2
1
6
5
xx
xx
m) 012
78
5
6
6
52
5
3
2
13
5
4
xxx
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
22/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
19
APLICACIONES
1. El ingreso mensual total de una guardera por el cuidado de x nios est dado por
450I x , y sus costos mensuales totales estn dados por 380 3500C x . Cuntos
nios se necesitan inscribir mensualmente para llegar al punto de equilibrio?.
2. Una compaa de refinacin de maz produce gluten de maz para alimento de ganado,
con un costo variable de $76 por tonelada. Si los costos fijos son $110000 por mes y el
alimento se vende en $126 por tonelada, cuntas toneladas deben venderse para que
la compaa tenga una utilidad mensual de $540000?
3. Un fabricante de cartuchos para juegos de video, vende cada cartucho en $20. El costo
de fabricacin de cada cartucho es de $12. Los costos fijos mensuales son de $8000.
Durante el primer mes de ventas de un nuevo juego, cuntos cartuchos debe vender
el fabricante para llegar al punto de equilibrio?
4. Un fabricante de lmparas vende nicamente a mayoristas en su sala de exhibicin. El
gasto semanal total, incluyendo seguros, costos de mantenimiento y alquiler de la sala
de exhibicin, es de 5800 dlares. Si cada lmpara es vendida en 172 dlares, y el costo
de produccin de cada lmpara es de 52 dlares, cuntas lmparas deber el
fabricante producir y vender cada semana, si quiere asegurar una ganancia de 4400
dlares?.
5. Para una compaa que fabrica calentadores para acuarios, el costo combinado de
mano de obra y material es de $21 por calentador .Los costos fijos son $70000. Si elprecio de venta de un calentador es $35.
a) Cuntos calentadores debe vender para que la compaa tenga una utilidad de
$140000?
b) Cul ser el ingreso para esa utilidad?
6. La compaa Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 y
un costo unitario de $15. Si los costos fijos son de $60000, determine:
a) El nmero de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de $90000.b) Cul ser el ingreso para esa utilidad?
c) Cul ser el costo total para esa utilidad?
7. Un fabricante de casacas, vende cada casaca a 80 soles. Si el costo de fabricacin
es de 60 soles por unidad, y los costos fijos es de 1200 soles semanal. Halle:
a) El numero de unidades que debe vender el fabricante, semanalmente, para obtener
una utilidad de 2800 soles.
b) El ingreso para esa utilidad
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
23/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
20
8. Una empresa de bebidas energizantes determina que puede vender a un precio de 2.5
soles cada unidad. Si tiene un costo que no depende de la produccin de 2000 soles
semanal, y un costo de produccin de 1,5 soles cada unidad, determine:
a) El nmero de unidades que debe producir y vender la empresa para tener una
utilidad de 4000 soles por semana.
b) El costo total para esa utilidad.
9. Para producir una unidad de un producto nuevo, una compaa determina que el costo
del material es de $ 2,50 y el de mano de obra de $ 4. El gasto general, sin importar el
volumen de ventas es de $ 5000. Si el precio para un mayorista es de $ 7,40 por
unidad, determine el nmero de unidades que debe venderse para que la compaa
tenga utilidades de $6493.
10. Suponga que los consumidores comprarn q unidades de un producto al precio de
10002
q dlares por unidad. Cuntas unidades deber vender para obtener un
ingreso de $5000?.
11. Se sabe que los consumidores comprarn q unidades de un producto si el precio es
de200
10q
dlares por unidad. Cuntas unidades deber vender para obtener un
ingreso de $4000?.
12. Un comerciante vende, mensualmente, q unidades de un artculo de su tienda al precio
de323
15q
dlares por unidad. Si tiene un costo que no depende de la produccin de
$600 y un costo de produccin unitario de $8, determine el nmero de unidades que
debe vender, para que sus utilidades sean de $1200 mensuales.
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
24/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
21
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
ECUACION DE SEGUNDO GRADO
Definicin.
Una ecuacin de segundo grado es aquella expresin en la que el exponente mximo es 2,
siendo adems racional y entera y, de la forma: 2 0ax bx c ; donde , ,a b c , son
nmeros reales y 0a .
Clases:
Completas: 2 0ax bx c
Incompletas: 2 0ax bx , donde 0c ; 2 0ax c , donde 0b
METODOS DE SOLUCION
Los mtodos para resolver una ecuacin de segundo grado son:
a) Por Factorizacin.
Se factoriza a travs del aspa simple. Para obtener las soluciones o races se
iguala cada factor a cero:
Ejemplo:
Resolver: 032 2 xx
Factorizando por aspa simple: 032 2 xx
x2 3
x 1
Los factores son: (2 3)( 1) 0x x
Igualando a cero cada factor: 01;032 xx
Resolviendo se obtiene: 1;2
3 xx
El conjunto solucin es: 32
. ; 1C S
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
25/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
22
b) Por la Formula General:
Una ecuacin de segundo grado puede resolverse utilizando la formula general:
2
42b b acx a donde cba , y son los coeficientes de la ecuacin.
Procedimiento
a) Se halla el valor de los coeficientes: cba , y .
b) Se reemplaza el valor de los coeficientes en la frmula general.
c) Se reducen los trminos semejantes en cada miembro
d) Se despeja la incgnita.
Adems, de acuerdo al valor del discriminante se tiene:
Si, 2 4 0b ac , entonces las races son reales y diferentes.
Si, 2 4 0b ac , entonces las races son complejas.
Si, 2 4 0b ac , entonces las races son reales e iguales.
Ejemplo:
Resolver: 0682 2 xx
Los valores de cba , y son: 2 , 8 , 6a b c
Reemplazando en la formula general (F.G.), se tiene:
2( 8) ( 8) 4(2)(6)
2(2)x
=
8 64 48
4
=
8 16
4
=
4
48
Entonces:4
48
1
x y4
48
2
x 31
x y 12
x
El conjunto solucin es: 1;3. SC
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
26/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
23
EJERCICIOS
Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 2 6 55 0x x b) 025102 xx
c) 26 13 5 0x x d) 2 2 9 0x x
e) 2 22 6 6 8x x x x f) 22 3 0x x
g) 214 28 0x h) 25 2
03 7
x x
i)
2
24 2
x x
j)2
0,3 1,3 1 0x x
k) 25 1 2 2 7 8x x x x l) 2(2 1) (3 2)x x x
m) 2(3 2) (2 3)x x x n) 22( 1)(2 1) 6( 1) 10 5 1x x x x x
o) 643 xx p) 24 4 1 0x x
EJERCICIOS DE REPASO
Resolver las siguientes ecuaciones:
1) 2 81x 2) 214 28 0x
3) ( 6)( 6) 13x x 4) (2 5)(2 5) 119 0x x
5) ( 11)( 11) 23x x 6) 2 7x x
7) 221 100 5x 8) 2 22 6 6 8x x x x
9) 2 2( 3) (2 5) 16x x 10) (4 1)(2 3) ( 3)( 1)x x x x
11) 2 12 35 0x x 12) 2 3 2 0x x
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
27/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
24
APLICACIONES
1. Un terreno rectangular de 4x8 m. se usa como jardn. Se decide poner una vereda en
toda la orilla interior de modo que 12 m2del terreno se dejen para flores. Cul debe ser
el ancho de la vereda?
2. Una compaa determina que si produce y vende q unidades de un producto, el ingreso
total por las ventas ser q100 . Si el costo variable por unidad es de S/. 2 y el costo
fijo es S/. 1200, determine los valores de q para que la utilidad sea cero.
3. La ecuacin de ingresos de cierta compaa es: 2340 4I p p ; donde p es el precio
en dlares del producto que fabrica esa compaa. Cul ser el precio para que el
ingreso sea de $ 6000, si el precio debe ser mayor de $ 40?
4. El ingreso mensual de cierta compaa est dado por
2
800 7 ,R p p donde p es elprecio en nuevos soles del producto que fabrica esa compaa. A que precio el ingresoser de S/. 10,000, si el precio debe ser mayor de S/. 50?
5. Cuando el precio de un producto es de p dlares por unidad, suponga que un fabricante
suministrar 23 4p p unidades del producto al mercado y que los consumidores
demandarn 224 p unidades. Si el valor de p para el cual la oferta es igual a lademanda, se dice que el mercado esta en equilibrio, halle el valor de p .
6. Una compaa de muebles para computadoras tiene la ecuacin de ingresos mensuales
dada por: 2450 9I p p , donde p es el precio en dlares de cada mueble. Determinee precio de cada mueble para que el ingreso mensual sea de 5400 dlares, si el precio
debe ser mayor que 20 dlares.
7. Suponga que un comerciante vender q unidades de un producto, cuando el precio es
de )110( q dlares por unidad. Determine el nmero de unidades que debe vender a fin
de obtener un ingreso por ventas de 3000 dlares, si debe vender ms de 50 unidades.
8. Un fabricante de camisas puede vender q unidades semanales al precio de p dlares
por unidad, en donde qp 150 . El costo total de producir q unidades de camisas esde )401800( q dlares. Halle el nmero de camisas que debe vender a la semana para
obtener una utilidad de 1200 dlares, si el nmero de camisas debe ser mayor que 50.
9. Un fabricante de pantalones puede vender q unidades semanales al precio de
p dlares por unidad, en donde qp 185 . El costo total de producir q unidades depantalones es de )452800( q dlares. Halle el nmero de camisas que debe vender a
la semana para obtener una utilidad de 2000 dlares, si el nmero de camisas debe ser
mayor que 60.
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
28/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
25
10. El ingreso obtenido al vender q unidades de un producto est dado por 400 900I q
y el costo total para producir q unidades de este producto es 210 400 5000CT q q .
Halle el menor nmero de unidades que se debe vender para obtener una utilidad de
S/. 11650.
11.AGROEXPORT vende q toneladas mensuales de mangos al precio de p dlares
por tonelada, en donde 690p q . El costo total de producir q toneladas es de(18100 250 )q dlares. Halle el nmero de toneladas que debe vender al mes para
obtener una utilidad de 23900 dlares, si debe ser mayor que 280.
12. El ingreso obtenido en soles al vender q unidades de un producto est dado por2300I q q . Si y el costo de produccin de una unidad de este producto es S/.200 y
los costos sin importar el volumen de ventas es S/.1000, cuntas unidades debe
venderse , para que la utilidad sea de S/. 600, si el numero de unidades debe ser mayor
que 70?.
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
29/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
26
SEMANA 5
DESIGUALDADES LINEALES
Propiedades de las desigualdades
1) Si a b a c b c
2) Si 0 a b
a b y c ac bc yc c
3) Si 0 a b
a b y c ac bc yc c
Desigualdades Lineales
0ax b , a y b son constantes y 0a
se lee menor que
se lee menor o igual que
se lee mayor que
se lee mayor o igual que
Ejemplo 1:
Resolver: 4 8 3 5x x
Pasando las variables al primer miembro: 4 3 5 8x x
Simplificando: 7 13x
Dividiendo entre 7: 13
7x
El conjunto solucin es: 13,7
CS
Ejemplo 2:
Resolver: 2 6 6 9x x
Pasando las variables al primer miembro: 2 6 9 6x x
Simplificando: 8 3x
Multiplicando por ( 1) y dividiendo entre 8: 38
x
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
30/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
27
El conjunto solucin es: 3,8
CS
Ejemplo 3:
Resolver: 4 3 22 3 2 4x x
Multiplicando por 12 (MCD): 24 16 18 6x x
Pasando las variables al primer miembro: 16 6 18 24x x
Simplificando: 22 6x
Multiplicando por ( 1) y dividiendo entre 6: 311
x
El conjunto solucin es: 3 ;11CS
EJERCICIOS:
I. Resolver:
1. 3 5 5 1x x 2. 4 5 6 13x x
3. 0,1(0,03 4) 0,02 0,434x x 4.1 3
42 2
x x
5.7 8
4 3x x 6.
5 1 7( 1)
3 2
x x
7.2 0,01
9 0,10,2
xx
8.
3 5 2 9
3 4 12 15
x x x
9.3(2 2) 6 3
2 5 10
x x x 10.
6 3 3(2 6)
2 4
x xx
11.2 4
(4 2) ( 2) (4 5)3 13
x x x 12.6 3 11 14
22 5 4 5 5
x xx
13.3 1 9
11 (5 14) (2 )2 3 5
x x x 14.2 15 10 5 2
(8 5 )2 3 3
x xx
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
31/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
28
APLICACIONES DE DESIGUALDADES LINEALES
Obtener ganancia: 0U ; 0t tI C No obtener prdida: 0U ; 0t tI C
1. Si al doble de la edad de Juan se resta 17 aos resulta menor que 35, pero mayor que31. Cul es la edad de Juan?.
2. Miguel tiene S/.520 para gastar en ropa. Si compra un terno que cuesta S/. 250 y elprecio de unas camisas es de S/. 30 cada una, determine el mayor nmero de camisasque l puede comprar.
3. Una empresa produce jarras de vidrio. Las jarras tienen un precio unitario de venta de
S/. 18 y un costo unitario de S/. 13. Si los costos fijos son de S/. 300000, determine elnmero mnimo de jarras que deben venderse para que la empresa tenga utilidades.
4. Ricardo, se dedica a la venta de sndwich de pollo. El precio de venta al pblico es deS/. 1,50 cada uno. Si el costo unitario de S/. 0,80 y los costos fijos de S/. 20,0 determineel nmero de sndwich de pollo que deben venderse para que Ricardo no tengaprdidas.
5. En la produccin del peridico La Voz se tiene que los costos de materia prima es deS/. 0,20 y el costo de mano de obra es S/. 0,30, por unidad. El costo que se tiene sin
importar el volumen de ventas, es de S/. 1000 mensual. El precio de cada peridico esS/. 1,00. Determine el nmero de peridicos que se deben vender para que la empresaeditorial obtenga utilidades.
6. Los nios de una escuela compran q unidades de galletas Dulcesabor al precio de
102
q por unidad. Cul es el nmero mnimo de unidades de galletas que deben
venderse para que el ingreso sea mayor que S/. 130?
7. Hoy, un fabricante tiene 2 500 unidades de un producto. El precio unitario del producto
es S/. 4,0. El prximo mes el precio por unidad se incrementar en S/. 0,50. El fabricantequiere que el ingreso total recibido por la venta de las 2500 unidades no sea menor queS/. 10750, Cul es el nmero mximo de unidades que pueden venderse este mes?
8. Lupita prepara marcianos de fruta para vender en su barrio. Gasta S/. 0,20 en fruta yS/. 0,20 en otros insumos (como azcar, bolsas de marcianos, etc...) por unidad.Adems, debe aportar S/. 20,0 mensual por consumo de luz, agua y gas que utiliza parala preparacin de los mismos. Si los vende a S/. 0,50 cada uno. Cuntos marcianosdebe elaborar y vender para obtener utilidades?
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
32/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
29
SEMANA 6
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Procedimiento:
Resolver la inecuacin como si fuera una ecuacin, las races o soluciones de la ecuacin,
sern los extremos del intervalo o los intervalos correspondientes al conjunto solucin.
Depende de la relacin de orden que tenga la inecuacin, para establecer el conjunto
solucin.
Sea la inecuacin: 2 0ax bx c , entonces:
1) 2 0ax bx c , al resolver supongamos que obtenemos como soluciones 1x m
y 2x n
2) Como la relacin de orden es , entonces el conjunto solucin ser
; ;x m n y m< n
Nota:
Si la desigualdad hubiera sido solo>el conjunto solucin sera: ; ;x m n
Si la inecuacin fuera: 2 0ax bx c se procede de la misma forma pero el conjuntosolucin estara dado por ,m n , en el caso de ser solo
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
33/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
30
Para analizar:
Si la inecuacin es de la forma 2( ) 0ax b el conjunto solucin es:
.
Si la inecuacin es de la forma 2( ) 0ax b el conjunto solucin es:
Cul sera el conjunto solucin si en las desigualdades cuadrticas anteriores no existe el
igual?
EJERCICIOS
Resolver:
1.2
11 28 0x x 2.2
3 8 5 0x x
3. 23 14 5 0x x 4. 24 0x
5. 24 81 0x 6. 24 4 3 0x x
7. 212 0x x 8. 2 3 5 0x x
9. 2 0x x 10. 23 8 5 0x x
11. 25 14 55x x 12. 2 6 9 0x x
13. 2 8 16 0x x 14. 1211)2)(3( xxx
15. 2 7 10 2 4x x x 16. )3)(2(3)3(2 xxx
17. 2 23 2 5 1x x x x 18. 23 8 4 0x x
19. 2( 4) 0x 20. 2(2 5) 0x
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
34/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
31
SEMANA 7
APLICACIONES DE DESIGUALDADES CUADRTICAS
(Produccin y utilidades). Las ventas mensuales x de cierto artculo cuando su precio esp dlares estn dadas por xp 3200 . El costo de producir x unidades al mes delartculo es )5650( xC dlares. Cuntas unidades de este articulo debern producirse
y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 2200 dlares?
Solucin.
( ) ( )I unidades vendidas precio por unidad
)3200( xxI
23200 xxI
El costo C (en dlares) de fabricar x unidades es xC 5650 , la utilidad U (mensual)obtenida por producir y vender x unidades est dada por:
CIU
)5650()3200( 2 xxxU
2 195 3 650U x x
Dado que la utilidad U debe ser al menos de $2200, tenemos que
2200U
2195 3 650 2200x x
Al escribir esto en la forma estndar y dividir todo entre -3 (notando que el signo de la
desigualdad se invierte), se obtiene la desigualdad:
2 65 950 0x x
Que es una inecuacin cuadrtica, por lo tanto, el conjunto solucin de la desigualdad es elintervalo cerrado 8.42;2.22
Rpta.
Para alcanzar la meta requerida el nmero de unidades producidas y vendidas por mes
debe estar entre 23 y 42 inclusive.
xpI
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
35/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
32
(Decisin de precios). Una peluquera tiene un promedio de 120 clientes semanales a un
costo actual de $8 por corte de cabello. Por cada incremento del 75% en el precio, la
peluquera perder 10 clientes. Cul debe ser el precio mximo que puede cobrarse de
modo que los ingresos semanales no sean menores que los actuales?
Solucin.
Sea x el nmero de incremento de 75% por encima de $8. Entonces el precio por corte decabello es (8 0,75 )x dlares, y el nmero de clientes ser de (120 10 )x por semana.
Entonces: Ingresos totales semanales= numero de clientesprecio por corte
)75.08)(10120( xxI
Los ingresos por los 120 clientes actuales son 960$8120 por tanto los nuevos ingresos
deben ser al menos $960
(120 10 )(8 0,75 ) 960x x
Simplificando
210 7,5 0x x
Por tanto la solucin de la desigualdad es el intervalo 4/3,0
Esto es, el precio de un corte de cabello debe estar entre $8 y $( 8 + 0,75(4/3) ) = $9,00
Rpta. El precio mximo que puede cobrarse es $9,00
(Ingresos del fabricante). Al precio de p dlares por unidad, x unidades de cierto articulo
pueden venderse al mes en el mercado con xp 5500 . Cuntas unidades debern
venderse cada mes con el objeto de obtener ingresos de por lo menos $12500?
Solucin.
Ingresos totales semanales = numero de unidades x precio
; 12500I
(500 5 ) 12500x x 2500 5 12500x x 25 500 12500 0x x
2 100 2500 0x x 2( 50) 0x
La solucin de la desigualdad es 50x
Rpta. Al mes se deben venderse 50 unidades.
)5-(500 xxI
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
36/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
33
EJERCICIOS
1. La fbrica de cierto artculo ha estimado que su ganancia en miles de dlares est
dado por la expresin 2( ) 6 582 76G x x x donde (x en miles) es el nmero de
unidades producidas. Qu nivel de produccin le permitir obtener una ganancia deal menos S/. 14000?
2. La demanda mensual de un cierto artculo cuando su precio es de p dlares viene
dada por200
3
p
unidades. Los costos generales de la planta son 650 dlares
mensuales y el costo de produccin de cada unidad es de 46 dlares. Qu
producciones garantizan que el beneficio mensual sea de por lo menos 1325 dlares?
3. El costo de producir x lmparas esta dado 2300 70C x x . Si estas se pueden
vender a
140 soles. Cuntas deben producirse y venderse para obtener utilidadessemanales de al menos 900 soles?
4. Juguetes BASA puede vender al mes, a un precio de p dlares por unidad, x
unidades de cierto artculo, con 120p x . Si los costos totales son de (950 15 )x
dlares, Cuntas unidades debern producirse y venderse cada mes para obtener
una utilidad de al menos $1800?
5. Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $25 cada una. El
costo C (en dlares) de producir x unidades cada semana, est dado por
2 300 26400C x x . Cuntas unidades debern producirse y venderse a lasemana para obtener alguna utilidad?
6. Las ventas mensuales x de ciertoproducto cuando su precio es p dlares est
dada por: 240 4p x . El costo de producir x unidades del mismo
artculo es 700 20C x dlares. Cuntas unidades de ste artculo debernproducirse y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de $2300?
7. Si el precio p de cierto articulo depende de la cantidad demandada q y est dado
por 120 2p q , y adems se tienen costos fijos de $300 y el costo de produccin de
cada unidad es de $20. Cuntas unidades deben producirse y venderse para obtenerutilidades de al menos $900?
8. Al precio de p dlares por unidad, x unidades de cierto artculo pueden venderse
al mes en el mercado con 600 5p x . Cuntas unidades debern venderse
cada mes con el objeto de obtener ingresos de por lo menos $18000?
9. En el ejercicio anterior, si cuesta (3500 75 )x dlares producir x unidades.
Cuntas unidades debern producirse y venderse con el objeto de obtener una
utilidad de al menos $10000?
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
37/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
34
10. En el ejercicio 8, si cuesta (2800 45 )x dlares producir x unidades. A qu preciop deber venderse cada unidad para generar una utilidad mensual de por lo menos
$12500?
11. UNIQUE vende 300 unidades de un cosmtico cuando su precio unitario es de $60.Por cada disminucin de $5 en el precio se vendern 45 unidades ms. Qu precio
mximo deber fijar para obtener ingresos de al menos $19500?
12. Un editor puede vender 12000 ejemplares de un libro al precio de $25 cada uno; por
cada dlar de incremento en el precio, las ventas bajan en 400 ejemplares. Qu
precio mximo deber fijarse a cada ejemplar con el objeto de lograr ingresos de por lo
menos de $ 300000?
13. Un peluquero atiende en promedio a 120 clientes a la semana cobrndoles $4 por
corte. Por cada incremento de 50% en el precio el peluquero pierde 8 clientes. Quprecio mximo deber fijar para obtener ingresos semanales de al menos $520?
14. Un estilista cobra $20 por cortar el cabello, con ese precio tiene 120 clientes por
semana. Si sabe que por cada dlar que aumente el precio, perder cuatro clientes,
Qu precio mximo deber fijar para obtener ingresos semanales de al menos
$2500?
15. Un comerciante puede vender 8 electrodomsticos a $15 cada uno. Por cada
incremento de $2 en el precio, deja de vender 1 electrodomstico. Cadaelectrodomstico le cost al comerciante $7, quien desea generar utilidades de al
menos $64. Qu precio mximo podr fijar y qu cantidad se vender a este precio?
16. Un supermercado se encuentra con grandes existencias de manzanas que debevender rpidamente. El gerente sabe que si las manzanas se ofrecen a p cntimos
por kilo, vender x kilos, con 1000 20x p . Qu precio deber fijar con el fin de
obtener ingresos de por lo menos $12000?
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
38/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
35
SEMANA 8
FUNCIONES
I. SISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULARES
A continuacin se indica como asignar un par ordenado, ),( ba de nmeros reales a
cada punto de un plano.
Se representa un sistema de coordenadas rectangulares, o cartesiano, en un plano
mediante dos rectas perpendiculares, llamados ejes coordenados, que se intersectan en
el origen O. A la lnea horizontal se le llama eje x (eje de abscisas), y a la lnea vertical,eje y (eje de las ordenadas).
Cada punto p en un plano xy debe tener asignado un par ordenado ( , )P a b . a sellama abscisa de p y b ordenada de p . Se dice que p tiene las coordenadas ),( ba .
EJERCICIOS
Ubicar los puntos en un sistema de coordenadas rectangulares y si es posible, indique el
cuadrante al que pertenece cada punto.
a) ( 2, 6) (1, 1) (5, 7) (6, 3)
b) )9,2()11,0()0,2()8,1(
c) (0, 3) ( 2, 1) (3,5) ( 4,6)
d) (0,0) (3, 3) ( 4, 5) ( 1, 6)
y
x
I
CUADRANTE
II
CUADRANTE
IIICUADRANTE
IVCUADRANTE
(eje de las ordenadas)
( eje de las abscisas)
y
xa
b
( , )a b
o
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
39/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
36
II. FUNCIONES
Definicin de Funcin
Una funcin de A en B , es una relacin BAf que hace corresponder a cada
elemento ""x del conjunto A a lo ms un elemento ""y del conjunto .B
La notacin de una funcin es )(xfy que se lee y es igual a fde x , donde ""x es la variable independiente e ""y la variable dependiente.
El conjunto de valores que puede tomar ""x se denomina dominiode una funcin, y al
conjunto de valores que puede tomar ""y se le denomina rango de la funcin.
Formas de Representar una Funcin
Con el fin de describir una funcin especfica podemos usar las siguientes formas:
a) Verbal (mediante una descripcin con palabras).
El inters bancario producido por un capital, est en funcin del tiempo que est
depositado.
b) Algebraica (por medio de una frmula explcita).
Con una frmula: 2( ) .A r r que es el rea de un crculo.
c) Visual (con una grfica).
d) Numrica (a travs de una tabla de valores).
Con una tabla de valores.
w(kilos) C(w) (dlares)
0 < w 1
1 < w 2
2 < w 3
3 < w 4
4
6.5
8.5
10
Costo de enviar por correo de primera clase una encomienda.
x
y
( )f x
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
40/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
37
e) Diagrama Sagital
Dominio Rango
f) Conjunto de Pares Ordenados
1 2
4, 2 ; ,3 ; 0,1 ; 6,0 ; , 32 5
g
ges una funcin.
EJERCICIOS
1) Analiza cules de las siguientes correspondencias son funciones y cules no.
Fundamenta tus respuestas.
a) A cada nmero real se le asocia su doble.
b) El costo del servicio de luz del distrito de Miraflores y los vecinos.
c) El peso de un estudiante y el nmero de estudiantes de un saln.
d) Las personas y la huella digital de su dedo ndice de la mano derecha.
e) El nmero de latidos del corazn de una persona y las personas a las que se les
tomo las medidas.
2) Determine si la correspondencia dada por el conjunto de pares ordenados es unafuncin.
a) (2; 3), (3;4), ( 3;1), (4;5)
b) (1;2), (2;2), (3;3)
c) (1;1), (2;7), (1;4), ( 2;7)
d) (1;2),(5;2),(3; ),( ; 2),( ,5)a a a
e)6
(0;2),( 1;3),(0; ),( 1;2),(1, 6)3
f) ( 2;1),(6; 2),(3; 16),(4;1),(3, 4) g) 3( 3;0),(0;0),(2; 8),(5;3),(2; 2)
h) 2 2(3;2),( 3 ;7),( 1;2 ),(0;2),(9;7)
i)1 4
1;3 ,(2;1), ;2 ,( , )3 3
a a
A B
f
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
41/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
38
3) Si fes una funcin determinar ba, e indicar su dominio y rango.
a) (3;4),(7;8),(3; ),(7; )f b a
b) (2;4), (3;5), (2;3 2), (4;6), (3, 1)f a b
c) ( ; ), ( ;14), ( ; ), ( ;4)f a a b a b b a b
d) (1; ), ( 3;2), (1;5 ), (1,6)f a b a
e) 2(3; 1), (2; ), (3; ), (2;2)f b a b
f) 2 3( 1;2 ), (2;5 ), (3;5), (2, 625), ( 1;64)a b a bf
g) 2 2(5;7), ( 1; ), ( ;2 ), (5; 2 ), ( 1;2)f a b a b b a a b
h) 2(1;27),(7;2),(2;4 ),(1,3 ),(2;16)a b a bf
4) Cul de los siguientes diagramas representa una funcin? Justifique su respuesta.
b)
d)
a)A B
A B
AB
c) A B
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
42/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
39
5) De los siguientes grficos, determinar cules son funciones. Justifique su respuesta.
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
(g) (h)
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
43/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
40
EJERCICIOS
1. Evala las siguientes funciones en los valores indicados:
Funcin )4(f )32(f )1(f )(af )2( af
53)( xxf
xxf 1)(
33)( xxf
21)( xxf
2. Determinar el valor de la funcin, para cada una de las siguientes funciones:
a) 9)( xf , )5(;)(;)4( fhff
b)2
( ) 3 5f x x , ( 1) ; ( ) ; ( )f f a f x h
c)5
( )3
xf x
x
, ( 1) ; (0) ; ( )f f f x h
d) 42)( 2 xxxf , ( ) ; (0) ; ( 3)f h f f
e) 163)( 2 xxxf , )11(;)31( ff
f)2
1( ) 6
2f x x
,1
( ) ; (0) ; ( 1)3
f f f
g) 27)( xxf , 1( ) ; ( 5) ; (0)3
f f f
h) 371)( xxxf ,
)3(;)(;)3
1( ftff
i)
2,86
2,25)(
2
xx
xxxxf
)0(;)6(;)3
1( fff ; )2(f
j)
84;16
44;)(
2
2
xx
xxxf ,
62)1(3
4233
ff
ffH
k)
;11;
10,5;
5,0;
)(
xab
xba
xa
xf
af
ffH
12
4312
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
44/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
41
3. Dada la grfica de la funcin:
a) Hallar(8) ( 3)
(5) (3) ( 5)
f f
f f f
b) Hallar los valores de x para los cuales se cumple que: .0)( xf
y
x1
3
5
6
3 8
1
38
3
2
5 6
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
45/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
42
SEMANA 10
FUNCIONES ESPECIALES
Funciones especiales
1. Funcin constante.
( )f x c , donde c es una constante, Dom f , cfRan
2. Funcin lineal
,)( baxxf con 0a , Dom f .
3. Funcin cuadrtica2( ) ,f x ax bx c con 0a , Dom f .
4. Funcin polinomial
),()( xpxf donde )(xp es un polinomio, Dom f
5. Funcin Racional
( )( )
( )
p xf x
q x , donde )()( xqyxp son funciones polinomiales.
/ ( ) 0Dom f x q x
6. Funcin Raz Cuadrada
( ) ( )f x p x , entonces: 0)(: xpfDom
7. Funcin por partes o tramos
1 1
2 2
3 3
( ) ,
( ) ( ) ,
( ) ,
f x x Dom f
f x f x x Dom f
f x x Dom f
21 fDomfDomfDom 3fDom .
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
46/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
43
DOMINIO DE UNA FUNCIN f: RR
Hallar el dominio de las siguientes funciones:
1.2
4( )
xf x
x x
04 x x4
02 xx
10
0)1(
xx
xx
,4 0,1Dom f
2. 6 3 3( )3 4
xf xx
036 x x2
043 x 43x
3/4 ,2Dom f
EJERCICIOS
Determine el dominio de las siguientes funciones:
1. 9)( xf
2. xxxf 22
3. 2518)( xxxf
4. 216)( xxf
5. xxf 25)(
6.xx
xxf
2
3)(
2
7.232
25)(
2
4
xx
xxxf
8.x
xxxf
24)(
2
9.12
3)(2
xx
xxf
10.16
252)(
2
2
x
xxf
11.1
326)(
2
x
xxf
12. 6)( 2 xx
xxf
13. 214
7)(
x
xxf
14. xx
xxf 5
32
49)(
15.21
2)(
x
xxf
16.x
xxf
26
32)(
17.12
1054)(
2
2
xx
xxxf
18. 65)( 2
xxxf
19.4
65)(
2
x
xxxf
20.
0;1
2;2)(
3 xx
xxxf
4 23 4
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
47/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
44
Hallar el dominio y el rango de cada funcin representada en los grficos siguientes:
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
y
x( 3,0)
(0,3) (2,3)
y
x
y
x
( 3,5)
(0,1)
y
x
1( , 2)2
4
y
x(0, 1)
(3,6)
(0,4)(4,4)
y
x3
3
35
4
1 2
x
4
3 1 3
y
4
2
5
y
x
6
5 21
2
3
2
(g) (h)
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
48/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
45
Intersecciones con los ejes coordenados
- Interseccin con el eje x
Hacemos 0)( xfy , y hallamos el valor dex .
- Interseccin con el eje y
Hacemos 0x , y hallamos el valor dey .
Ejemplo
Dada la siguiente grfica )(xfy
Tenemos:
Dominio:
, 8 6 5,0 1,8domf
Rango:
, 4 3 2,3Ranf
Puntos deinterseccin conel eje x
(3,0), (7,0)
Punto deinterseccin conel eje y
(0, 4)
y
x1
3
5 5 7
4
3 8
1
68
3 2
2
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
49/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
46
OPERACIONES CON FUNCIONES
1. Suma de funciones
f g x f x g x , gDomfDomgfDom )(
2. Diferencia de funciones
f g x f x g x , gDomfDomgfDom )(
3. Multiplicacin de funciones
xgxfxfg . , gDomfDomgfDom ).(
4. Divisin de funciones
f f xxg g x
, gDomfDomgfDom )( 0)(/ xgx
5. Composicin de funciones
,)()( xgfxgf ( ) ( ) ( ) ( )Dom f g x Dom g g x Dom f
,)()( xfgxfg ( ) ( ) ( ) ( )Dom g f x Dom f f x Dom g
Observacin
Las operaciones entre funciones estn definidas siempre y cuando el dominio de lasnuevas funciones sea distinto de vaco.
Ejemplos
1. Si ( ) 1 ( ) 2,f x x y g x x hallar ))(( xgf y ( )( )f
xg
Solucin
Como ;1Dom f y Dom g , entonces:
;1Dom f g , ;1 2f
Domg
Luego: ( ) ( ) ( ) 1 2f g x f x g x x x
( ) 1( )
( ) 2
f f x xx
g g x x
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
50/81
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
51/81
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
52/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
49
SEMANA 11
FUNCIN LINEAL
RECTAS
Pendiente de una recta
Sean 1 1 2 2( , ) ( , )x y y x y dos puntos diferentes sobre una recta no vertical. La pendiente de la
recta se define como:2 1
2 1
y ym
x x
cambio vertical
cambio horizontal
Podemos caracterizar la orientacin de una recta por su pendiente:
Pendiente cero Recta horizontal
Pendiente indefinida Recta vertical
Pendiente positiva Recta que sube de izquierda a derecha
Pendiente negativa Recta que desciende de izquierda a derecha
ECUACIONES DE RECTAS
Ecuacin puntopendiente
Sea la recta L con pendiente m que pasa por el punto 0 0( , )x y , tiene por ecuacin:
0 0( )y y m x x . Siempre debemos dejar la ecuacin de la recta de la forma y = mx+b.
Ejemplo 1:Hallar la recta que pasa por (1,4) que tiene pendiente 5.
Solucin.Tenemos punto de paso (1,4) y 5m luego la ecuacin de la recta es 4 5( 1)y x
simplificando : 5 1L y x .
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
53/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
50
Ecuacin que pasa por dos puntos
Sea la recta L que pasa por los puntos 1 1 2 2( , ) ( , )x y y x y . Entonces la ecuacin de
recta es: 0 0( )y y m x x . Primero hallamos la pendiente m y luego tomando comopunto de paso a uno de los puntos dados se obtiene la ecuacin de la recta. Recordar
que siempre debemos dejar la ecuacin de la recta de la forma y = mx+b.
Ejemplo 2: Hallar la ecuacin de la recta L que pasa por: 1;2 y 3;5 .
Solucin.
Es claro que5 2 3
3 ( 1) 4m
y tomando como punto de paso cualquiera de ellos,
digamos el punto 3;5 , se tiene la ecuacin: 3
5 34
y x . Reduciendo tenemos:
3 11:4 4
L y x .
Ejercicios
1) Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos:
a) 1;1 y 2;5 b)1 3
,3 5,2 4
y
c) 2; 3 y 0;6
2) En cada uno de los ejercicios siguientes, hallar la ecuacin de la recta con las
condiciones dadas:
a) Pasa por el punto 2;1 con pendiente 3m .
b) Pasa por4
2;5
y 5m .
c) Pasa por (-1,3) y (2,5)
d) Pasa por el origen y de pendiente -4.
e) Corta al eje x en 3, de pendiente 2.
f) Corta al eje y en 5 de pendiente 4.
g) Corta al eje x en 6 y al eje y en 3.
h) Pasa por 1;5 y tiene la misma pendiente que la recta: 3y x .
i) Pasa por el punto 2; 4 y tiene la misma pendiente que la recta que pasa por los
puntos: 0; 2 y 1;5 .
j) Que pasa por 0; 4 y tiene la misma pendiente que la recta L : 2 1x y .
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
54/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
51
APLICACIONES
Demanda Lineal Oferta Lineal
mes cantidad de equilibrio
nes precio de equilibrio.
Ejemplo
Supongamos que la demanda por semana de un producto es de 150 unidades a un precio
de $ 40 por unidad y de 300 unid. A un precio de $ 35 por unidad. Hallar la ecuacin de
demanda, si dicha ecuacin es lineal.
Solucin.
Segn los datos, es claro que 150q y 40p ; tambin 300q y 35p . Por el hechoque es lineal, el precio p y la cantidad q estn relacionados linealmente, de modo que
podemos representar en un plano cartesiano de ejes q y p , los puntos
150,40 300,35y , hallando as la ecuacin de la recta que pasa por dichos puntos.
Hallando la pendiente, tenemos que35 40 1
300 150 30m
, y tomando como punto de paso,
cualquiera de ellos, digamos (40, 150) tenemos la recta1 454
30 3p q
, que es la ecuacin
de demanda.
q
pPendiente
negativa
q
p
Pendientepositiva
q
p
m
n (m,n) Punto de equilibrio
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
55/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
52
EJERCICIOS
1) (Ecuacin de demanda). Suponga que los clientes demandaran 60 unidades de un
producto cuando el precio es de $ 20 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de
$ 40 cada una. hallar la ecuacin de la demanda, suponiendo que es lineal. Hallar elprecio por unidad cuando se requiere 35 unidades.
2) (Ecuacin de demanda). La demanda semanal para un libro que se vende mucho es de
30000 ejemplares cuando el precio es de $ 15 c/u y de 20000 libros cuando el precio es
de $ 25 c/u. hallar la ecuacin de demanda para el libro, sabiendo que es lineal.
3) (Ecuacin de oferta). Un fabricante de cocinas produce 200 unidades cuando el precio
es de $ 800 y de 300 cocinas cuando el precio es de $ 1500. Hallar la ecuacin de
oferta, sabiendo que es lineal.
4) (Ecuacin de oferta). Suponga que un fabricante de zapatos colocara en el mercado
50 mil pares cuando el precio es $ 35 el par y 35 mil pares de zapatos cuando el precioes de $ 30. determine la ecuacin de oferta, sabiendo que p y q estn relacionados
linealmente.
5) (Funcin de demanda). Sea la funcin de demanda de un producto:551
( )4
qp f q
.
Si la demanda de un producto es de 255, Cul ser el precio unitario (en dlares) del
producto?
6) (Funcin de demanda). Sea la funcin de demanda de un producto:2200 2
( )3
qp f q
. Si la demanda de un producto es de 350, Cul ser el precio
unitario (en dlares) del producto?
7) (Funcin de demanda). Se tienen dos bienes B1, B2, cuyas funciones de demanda
son:90 3
( )5
pq f q
y ( ) 140 12q f q p , respectivamente, donde p est
expresado en dlares.
Si el precio unitario de ambos bienes es de $ 5,75, Cul de los dos bienes tendr
mayor demanda?.
Existe algn precio del mercado para el cual la demanda de ambos bienes sea la
misma?
8) (Funcin de oferta). Se tienen dos bienes A, B, con ecuaciones de oferta dadas por( ) 5 20p f q q y ( ) 15 120p f q q respectivamente. Un consumidor acude al
mercado con las intenciones de comprar uno, cualquiera de dichos bienes. Si el
consumidor esta dispuesto a pagar $ 12 por cada unidad del bien comprado, Cul delos bienes debera comprar?
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
56/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
53
9) (Funcin de oferta) Una compaa va a entregar mensualmente 5000 linternas de
bolsillo a un precio de S/.50 la unidad; si el precio unitario es de S/.35, ofrece 2000
unidades. Suponiendo que la funcin de la oferta es lineal. Obtenga la funcin de la
oferta.
10) (Punto de equilibrio) Si las ecuaciones de la demanda y de la oferta de un determinado
bien son, respectivamente:
180 15 6 18
2
pq s p
y . Obtenga el punto de equilibrio.
11) (Ecuacin de costo). Suponga que el costo para producir 10 unidades de un producto
es de $ 40 y el costo para 20 unidades es de $ 70. Si el costo C esta relacionado deforma lineal con la produccin q , determine el costo de producir 35 unidades.
12) (Ecuacin de demanda). Una compaa ha analizado sus ventas y ha encontrado que
sus clientes compran 10 artculos mas de sus productos por cada S/. 2,50 de reduccin
en el precio unitario. Cuando el precio es de S/. 12,75 la compaa vende 500 unidades.Asumiendo que la relacin entre la cantidad demandada q y el precio unitario p es
lineal. Cul es la ecuacin de la demanda?
13) (Ecuacin de oferta). En un cierto mercado se sabe que cuando el precio de una
lmpara es de S/. 2000, no hay lmparas disponibles, sin embargo, por cada S/. 1000 de
aumento en el precio, se dispone de 20 lmparas ms para el mercado. Asumiendo quela relacin entre la cantidad ofrecida q y el precio unitario p es lineal. Cul es la
ecuacin de la oferta?
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
57/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
54
SEMANA 12
FUNCIN CUADRTICA
FUNCIN CUADRTICA
fes una funcin cuadrtica si y slo si puede escribirse en la forma 2( )f x ax bx c ;
donde a , b y c son constantes, con 0a .
Representacin grfica de una funcin cuadrtica.
Su grfica es una curva, llamada parbola, y es simtrica respecto a la recta vertical
hx , llamada eje de simetra y con vrtice khV , .
si 0a , 2 y ax bx c si 0a ; cbxaxy 2
la parbola se abre hacia arriba. la parbola se abre hacia abajo.
( )Dom f R ; ( ) ,Ran f k ( )Dom f R ; ( ) ,Ran f k
k valor mnimo de la funcin k valor mximo de la funcin
Coordenadas del vrtice
Las coordenadas del vrtice son: , ,2 2
b bV h k f
a a
y
xh
k ( h ; k )
y
xh
k( h ; k )
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
58/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
55
Ejemplo 1
Determinar dominio, rango y grfica de 2( ) 2 5 3y f x x x
Solucin:
Primero hallamos el vrtice
Como ,2a 5b y 3c , luego8
22 2(2)
bh
a
y
2(2) 2(2) 5(2) 3 1f
Entonces el vrtice es: (2,1)V
Como 02a , entonces la parbola se abre hacia arriba
Grfica
Ejemplo 2
Determinar dominio, rango y grfica de 2342)( xxxfy
Solucin:
Primero hallamos el vrtice
Como ,3a 4b y 2c , luego h= 1)3(2
6
2
a
b y
4)1(3)1(42)1( 2
f
Entonces el vrtice es: )4,1(V
Como 03 a , entonces la parbola se abre hacia abajo
Grfica
( )Dom f R
( ) 1,Ran f
( )Dom f
( ) , 4Ran f
3
x2
1 ( 2 ; 1 )
y
y
x
( 1;4)4
1
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
59/81
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
60/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
57
APLICACIN DE LA FUNCIN CUADRTICA
Recuerda:
Ejemplo:
El ingreso de una empresa algodonera se estima a travs del tiempo de acuerdo a la
siguiente funcin2
24 288 64I t t , donde I es el ingreso en miles de dlares y tes eltiempo medido en aos.
a) En que ao se alcanzar el mximo ingreso y cunto ser
b) Grafique la funcin ingreso.
Solucin:
a) 224 288 64I t t
Luego 2(6) 24(6) 288(6) 64I
(6) 800I
El mximo ingreso se alcanzar en el 6to ao.
El mximo ingreso ser de 800 mil dlares.
b) Grfica:
T TU I C ; TI pq donde: p precio unitario y q cantidad.
( , ) ,2 2
b bV h k f
a a
es el vrtice de una parbola.
I
t6
800(6,800)
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
61/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
58
APLICACIONES
1. La funcin de demanda de un fabricante de muebles es qqfp 71400)( , dondep es el precio (en euros) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana).
a) Encuentre el nivel de produccin que maximiza el ingreso total del fabricante.b) Determine el ingreso mximo.
2. La funcin de demanda para una compaa de seguros para autos esqqfp 132600)( , donde p es el precio (en dlares) por unidad cuando se
demandan q unidades (semanales).
a) Determine el nivel de produccin que maximizar el ingreso total del fabricante.
b) Determine el ingreso mximo.
c) Grafique la funcin ingreso.
3. La funcin de demanda para el fabricante de un producto es ,31200)( qqfp endonde p es el precio por unidad cuando los consumidores demandan q unidades.
a) Determine el nivel de produccin que maximizar el ingreso.
b) Determine este ingreso mximo.
c) Grafique la funcin ingreso.
4. La utilidad diaria por la venta de rboles de jardinera de un almacn, esta dada por2
( ) 169 16P x x x , en donde x es el numero de rboles vendidos.
a) Determine la cantidad de rboles vendidos que maximizar la utilidad.
b) Determine dicha utilidad mxima.
5. El ingreso mensual por conceptos de venta de q unidades de cierto artculo est dado
por 201.012)( qqqI soles. Determine el nmero de unidades que debe vendersecada mes con el propsito de maximizar el ingreso. Cul es el mximo ingresocorrespondiente?
6. Para una empresa dedicada a la venta de materiales de construccin se tiene que lafuncin ingreso se expresa como 2 100 2500I p p , determinar el ingresomximo de dicha empresa.
7. Un grupo de inversionistas le encarg a una compaa de investigacin de mercadoque estimara los ( )f t miles de alumnos que estudiaron en cierta universidad entre los
aos 2000 y 2008, donde 20082000,)12(9
10)( ttttf . Estime el nmero
mximo de alumnos que estudiaron en la universidad entre esos aos. Indique el aoen que se obtuvo la mxima cantidad de alumnos.
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
62/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
59
8. Una compaa de productos de belleza estima que t meses despus de la introduccinde un nuevo perfume, ( )h t miles de mujeres lo usarn, donde
2( ) 18 3600, 0 12.h t t t Estime el nmero mximo de mujeres que usarnel producto.
9. Una fbrica vende 300 carteras al mes, a $15 cada una. Se desea aumentar el precio yse estima que por cada incremento de $1 en el precio de venta, se vendern 4 carterasmenos. Si el costo de cada cartera es de $10.
a) Hallar la funcin utilidad mensual.
b) Determinar el nmero de carteras que se deben vender para obtener la utilidadmxima.
c) Graficar la funcin utilidad.
10. Los costos de produccin de una empresa que ensambla computadoras se expresa
mediante la funcin 2( ) 3 780 60000C q q , en donde q representa el nmero decomputadoras ensambladas.
a) Determinar la cantidad de computadoras que se deben ensamblar para que elcosto sea mnimo.
b) Determinar dicho costo.
c) Graficar la funcin costo.
11. Se estima que, de aqu a t aos, el nmero de personas que visitarn el parque de
las leyendas ser dado por la funcin 2( ) 30 120 3000N t t t .
a) Actualmente Cul es el nmero de personas que visitan el parque de lasleyendas
b) Determinar el ao en que ser registrado el menor nmero de visitantes.
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
63/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
61
SEMANA 13
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES
Sistema de Ecuaciones Lineales.
Al conjunto de ecuaciones:
253
542
yx
yx se le llama sistema de 2 ecuaciones lineales
con 2 variables. Las variables o incgnitas son x e y. el problema consiste en encontrar
valores para x e y para los cuales ambas ecuaciones sean verdaderas (de manera
simultnea). a estos valores se les llama soluciones del sistema.
Interpretacin Geomtrica.
Como las ecuaciones del sistema son lineales, sus grficas son rectas. Si los dibujamos en
un mismo plano, existen slo 3 posibilidades:
1 .
2.
3.
y
L1
L 2
(xo;yo)
xo x
L 1
L2
y
x
Un slo punto de interseccin.El sistema tiene solucin nica:
0
0
x x
y y
No hay interseccin.El sistema no tiene solucin.
Infinitos puntos de interseccin.El sistema tiene infinitas soluciones.Se le llama Solucin paramtrica.
( )
x rr R
y f r
y
x
L 1 L 2
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
64/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
62
Mtodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, antes de usar uno de los mtodos, es
conveniente alinear los trminos en x y en y:
A. Mtodo de eliminacin por adicin
Ilustramos este mtodo para el sistema:
)2.....(253
)1.....(542
yx
yx
Busquemos que los coeficientes de la variable x sean iguales, excepto por el signo, para
esto multiplicamos a la ecuacin (1) por 3 y a la ecuacin (2) por -2, as queda un sistema
equivalente:
4106
15126
yx
yx
Luego sumamos ambas ecuaciones, miembro a miembro, obtenemos: 112 y que es unaecuacin lineal en la variable y, fcil de resolver: 2/11y
Para obtener el valor de x, reemplazamos 2/11y en cualquiera de las ecuaciones
originales (1) (2), para este caso elegimos la ecuacin (1):
2/11
542
y
yx
5)2/11(42 x
que es una ecuacin lineal en la variable x, fcil de resolver, as 2/17x . Por lo tanto, la
solucin del sistema es nica: 2/11,2/17 yx
Esta solucin cumple en ambas ecuaciones.
B. Mtodo de eliminacin por sustitucin
Ilustramos este mtodo, con el sistema:
)2.....(253
)1.....(542
yx
yx
Primero escogemos una de las ecuaciones, en este caso (1) y despejamos una de lasvariables, en este caso despejamos la variable y, as obtenemos:
2534
25
yx
xy
Luego sustituimos el valor de y en la ecuacin (2), resultando una ecuacin lineal, de una
variable, fcil de resolver:
2)4
25(53
xx , luego 2/17x .
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
65/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
63
(0,0)
(-1,1)
x + y = 0x
y
Reemplazamos, el valor hallado de x en la ecuacin (1) se obtiene una ecuacin lineal en la
variable y, fcil de resolver:
54)2
17(2
y , luego 2/11y .
Por lo tanto, la solucin del sistema es nica: 2/11,2/17 yx .
Esta solucin cumple en ambas ecuaciones. Se pudo haber elegido la ecuacin (2) y
despejar la variable x, y proceder de manera similar.
SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES.
Un sistema de ecuaciones no lineales es aquel sistema en el que al menos una ecuacin noes lineal. Se puede resolver un sistema no lineal, por el Mtodo de eliminacin por
sustitucin.
Ejemplos:
1. Resolver:
0
2
yx
xy
Despejamos una variable (cualquiera) de la ecuacin lineal.
Por ejemplo y, as:
0
2
yx
xy
luego reemplazamos en la ecuacin no lineal: 2xx , la cual es una ecuacincuadrtica, que al resolver se obtiene: 10 xx .
Para hallar los valores de y, hacemos los reemplazos respectivos:
s 0x entonces 0y ; s 1x entonces 1y .
Por lo tanto, las soluciones del sistema no lineal son:
0
0
y
x
1
1
y
x
Forma Grfica
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
66/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
64
2. Resolver:
1
1
xy
xy
Observamos que en la ecuacin lineal, la variable y est despejado. Slo queda sustituir
en la ecuacin no lineal: 1 1 x x , la cual es una ecuacin con radical que nos lleva auna ecuacin cuadrtica. Resolviendo se obtiene: 1)1( 2 xx , entonces resolviendose tiene: 10 xx
Para hallar los valores de y, hacemos los reemplazos respectivos:
s 0x entonces 1y ; s 1x entonces 0y
Por lo tanto las soluciones del sistema no lineal son:
1
0
y
x
0
1
y
x
Forma Grfica
I. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a)
5123
34
yx
yx b)
5438
3625
wv
wv
c)
2
11
6
5
8
3
22
1
3
2
yx
yx
d)
3
2
2
1
6
1
4
1
2
1
wz
wz
e)
326
6124
pq
qp f)
1932
3
pq
qp
II. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:
a)
03
4y 2
yx
x b)
18
6
22 xy
yx c)
0
8
2
2
xy
yx
d)
2
2
qp
qp
e)
2 0
3 2 1 0
p q
q p
f)
25
1
p q
p q
(0,1)(-1,0)
y = x+1
x
y
1 y x
8/9/2019 Matematica I (para Universidad)
67/81
MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II
65
APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES.
1. En los problemas siguientes, se proporciona una ecuacin de oferta y una de demandapara un producto. Si p representa el precio por unidad en dlares y q el nmero de
unidades por unidad de tiempo, encuentre el punto de equilibrio.
a) Oferta:3
2100
p q ; demanda:7
12100
p q
b) Oferta: 35 2 250 0q p ; demanda: 65 785 0q p
c) Oferta : 2 20p q ; demanda : 2200 2p q
2. En los problemas a) , b) y c) se representa el ingreso total en T
I dlares yT
C el
costo total en dlares para un fabricante. si q representa tanto el nmero de unidades
producidas como el nmero de unidades vendidas. Encuentre la cantidad de equilibrio.
Esquematice un diagrama de equilibrio
qI
qCa
T
T
3
45002)
60085.0
05.0)
qC
qIb
T
T
303
)10()
2
qC
qIc
T
T
3. Si las ecuaciones de oferta y demanda de cierto producto son: 125 250 0p p y100 1100 0p q respectivamente, encuentre el precio de equilibrio y la cantidad de
equilibrio.
5. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son;6
5150
p q y9
20 0150
p q
respectivamente, donde p representa el precio por unidad en dlares y q el nmero
de unidades, encuentre el punto de equilibrio y mustrelo grficamente.
6. Si las ecuaciones de oferta y de demanda s