Matematica II MAU01

MATEMÁTICA II

Jhonny Ruiz Núñez Saul Matias Caro

Cada autor es responsable del contenido de su propio texto.

De esta edición:

© Universidad Continental S.A.C 2012

Jr. Junin 355, Miraflores, Lima-18

Teléfono: 213 2760

Derechos reservados

ISBN: 978-612-4196-08-9

Hecho el Deposito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú con N°: 2013-09666

Primera Edición: Julio 2013

Tiraje: 500 ejemplares

Autores: Jhonny Ruiz Núñez

Saul Matias Caro

Oficina de Producción de Contenidos y Recursos

Impreso en el Perú por

Inversiones y Representaciones Nakasone E.I.R.L.

Pasaje San Jorge 115 Huancayo

Fondo Editorial de la Universidad Continental

Todos los derechos reservados.

Esta publicación no puede ser reproducida, en todo ni en parte, ni registrada en o trasmitida por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia, o cualquier otro sin el permiso previo por escrito de la Universidad.

ÍNDICE

INDICE

INTRODUCCIÓN

PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA 9

COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA 9

UNIDADES DIDÁCTICAS 9

TIEMPO MÍNIMO DE ESTUDIO 9

UNIDAD I: LA RECTA, CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA 11

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD I 11

ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES 11

TEMA Nº 1: LA RECTA 12

1 Ángulo de inclinación de una recta 12

2 Pendiente de una recta 12

3 Ángulo entre dos rectas 13

4 Distancia de un punto a una recta 13

5 Ecuaciones de la recta 14

5.1 Ecuación punto pendiente 14

5.2 Ecuación pendiente y ordenada 14

5.3 Forma segmentaria de la ecuación de la recta 14

5.4 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos 15

5.5 Ecuación general de la recta 15

6 Rectas paralelas y perpendiculares 15

6.1 Rectas paralelas 15

6.2 Rectas perpendiculares 16

7 Aplicaciones de la recta 16

ACTIVIDAD N°1: PRÁCTICA DE LA RECTA 19

TEMA Nº 2: LA CIRCUNFERENCIA 19

1 Definición y elementos 19

2 Ecuaciones y gráfica de la circunferencia 20

3 Recta tangente a una circunferencia 21

ACTIVIDAD N° 2: PRÁCTICA DE LA CIRCUNFERENCIA 22

TEMA Nº 3: LA PARÁBOLA 22

1 Definición y elementos 22

2 Ecuaciones y gráfica de la parábola 22

3 Recta tangente a una parábola 25

4 Aplicación de la parábola 25

ÍNDICE

ACTIVIDAD N° 3: PRÁCTICA DE LA PARÁBOLA 26

BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD I 26

AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD I 27

UNIDAD II: LA ELIPSE, HIPÉRBOLA, ROTACIÓN DE EJES COORDENADOS Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS 29

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD II 29


TEMA N° 1: LA ELIPSE 30

1 Definición 30

2 Elementos de una elipse 30

3 Ecuaciones canónicas de la elipse 31

4 Excentricidad de una elipse 33

5 Aplicaciones de la elipse 33

ACTIVIDAD N°1: PRÁCTICA SOBRE LA ELIPSE 36

TEMA N° 2: LA HIPÉRBOLA 36

1 Definición 36

2 Elementos de una hipérbola 37

3 Ecuaciones y gráfica de la hipérbola 38

4 Excentricidad y asíntotas de una hipérbola 39

5 Aplicación de la hipérbola 40

ACTIVIDAD N° 2: PRÁCTICA SOBRE LA HIPÉRBOLA 42

TEMA N° 3: ROTACIÓN DE EJES COORDENADOS 42

1 Rotación de ejes coordenados para eliminar el término xy 42

2 Clasificación de las cónicas por el discriminante 43

ACTIVIDAD N° 3: PRÁCTICA SOBRE ROTACIÓN DE EJES COORDENADOS 44

TEMA N° 4: ECUACIONES PARAMÉTRICAS 44

1 Trazo de una curva plana 44

2 Eliminación del parámetro 45

ACTIVIDAD N° 4: PRÁCTICA SOBRE ECUACIONES PARAMÉTRICAS 45

BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD II 45

AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD II 46

UNIDAD III: COORDENADAS POLARES Y MATRICES 47

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD III 47


TEMA N° 1: COORDENADAS POLARES 48

1 Definición 48

2 Sistema de coordenadas polares 48

3 Conversión de coordenadas y ecuaciones 48

4 Resolución de ejercicios 50

ACTIVIDAD N°1: PRÁCTICA DE COORDENADAS POLARES 52

TEMA N° 2: MATRICES 52

1 Definición y orden de una matriz 52

2 Clases de matrices 53

3 Operaciones con matrices 54

4 Aplicación de matrices 56

ACTIVIDAD N° 2: PRÁCTICA DE MATRICES 58

TEMA N° 3: INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA 58

1 Definición de matrices inversas 58

2 Inversa de matrices 58

ACTIVIDAD N° 3: PRÁCTICA DE INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA 60

BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD III 61

AUTOEVALUACIÓN Nº 3 61

UNIDAD IV: DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 63

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD IV 63


TEMA N° 1: DETERMINANTES 64

1 Definición y propiedades 64

2 Cálculo de determinantes de matrices 64

3 Aplicaciones 66

ACTIVIDAD N°1: PRÁCTICA DE DETERMINANTES 68

TEMA N° 2: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 68

1 Definición 68

2 Métodos para resolver los sistemas de ecuaciones Lineales: Gauss-Jordán y regla de Crámer 68

3 Aplicaciones 72

ACTIVIDAD N° 2, 3 Y 4: PRÁCTICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 70

BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD IV 73

AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD IV 73

ANEXO: CLAVE DE LAS AUTOEVALUACIONES 74

La asignatura de Matemática II se desarrolla con una

modalidad de educación virtual, para eso este manual

autoformativo es su material didáctico más importante

dentro de su formación profesional.

La matemática como ciencia es una de las más importantes y po-

derosas herramientas creada por el ser humano. Es así como la

asignatura de Matemática II, trata de temas que permite a los estu-

diantes desarrollar sus habilidades y destrezas que posteriormente

serán aplicadas en temas específicos de su formación profesional.

Para un mejor entendimiento del curso se sugiere al estudiante

revisar temas tratados en el curso de Matemática I como son: nú-

meros reales, funciones, gráfica de funciones y sus aplicaciones.

De esta manera se ha planteado cuatro unidades, las cuales están

debidamente organizadas y sistematizadas teniendo en cuenta

los principios pedagógicos, motivo por el cual en primer lugar

se presenta la teoría, luego ejercicios resueltos, actividades de

autoaprendizaje y finalmente la autoevaluación.

Para el estudio del manual se sugiere la siguiente secuencia en

cada unidad:

• Realizar el estudio de los contenidos. Es necesario la lectura

analítica, la comprensión de los ejemplos y el repaso de los

temas.

• Desarrollar las actividades programadas para cada semana

en el aula virtual, con referencia a los ejemplos resueltos en

los temas, con la asesoría del tutor.

• Desarrollar la autoevaluación, que es una preparación para

la prueba final de la asignatura

Por tanto, Ud. requiere un conocimiento directo y práctico de

la matemática, logrando de esta manera la adquisición de cono-

cimientos de la matemática a través de la aplicación directa de

la teoría sin dejar de lado la motivación y la aplicación de nuevas

metodologías para desarrollar un buen aprendizaje.

INTRODUCCIÓN

8 ModalidadVirtual

MATEMÁTICA IIMANUAL AUTOFORMATIVO 9

Diagrama Objetivos Inicio

Desarrollode contenidos

Actividades Autoevaluación

Lecturasseleccionadas

Glosario Bibliografía

Recordatorio Anotaciones

COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA

Analiza, formula ejercicios y aplica los principios de la geometría analítica (recta y las cónicas), reconociendo su valor intrínseco en su formación profesional. Y utiliza las ecuaciones paramétricas, coordenadas polares, matrices y determinantes, para resolver situaciones de la vida real, valorando sus aplicaciones.

UNIDADES DIDÁCTICAS

UNIDAD I UNIDAD II UNIDAD II UNIDAD IV

La recta, circunfe-rencia y parábola

La elipse, hipérbola, rotación de ejes coordenados y ecuaciones paramétricas

Coordenadas polares y matrices

Determinantes y sistema de ecua-ciones

TIEMPO MÍNIMO DE ESTUDIO:

UNIDAD I UNIDAD II UNIDAD II UNIDAD IV

1a y 2a Semana

16 horas

3a y 4a Semana

16 horas

5a y 6a Semanaa

16 horas

7a y 8a Semana

16 horas







PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA

10 ModalidadVirtual














UNIDAD I: LA RECTA, CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA







DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD I







ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES

CONOCIMIENTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

Tema N° 1: La recta

1. Angulo de inclinación de una recta.

2. Pendiente de una recta.

3. Ángulo entre dos rectas

4. Distancia de un punto a una recta.

5. Ecuaciones de la recta.

6. Rectas paralelas y per-pendiculares.

7. Aplicaciones de la recta

Tema N° 02: La circunfe-rencia

1. Definición y elementos.

2. Ecuaciones y gráfica de la circunferencia.

3. Recta tangente a una circunferencia.

Tema N° 03: La parábola

1. Definición y elementos.

2. Ecuaciones y gráfica de la parábola.

3. Recta tangente a una pa-rábola.

4. Aplicación de la parábo-la.

Autoevaluación N° 1

1. Determina la inclinación de una recta

2. Determina el ángulo en-tre dos rectas

3. Determina la distancia entre un punto y una recta

4. Determina ecuaciones de rectas utilizando las diferentes formas

5. Emplea las propiedades de la recta para modelar y resolver problemas de la vida real.

6. Escribe ecuaciones de la parábola y la circunfe-rencia y las gráficas.

7. Emplea las propiedades de la parábola para mo-delar y resolver proble-mas de la vida real.

Actividad 1: Práctica de la recta

Actividad N° 2: Práctica de la circunferencia

Actividad N° 3: Práctica de la parábola

Control de Lectura N° 01 (cuestionario)

1. Reconoce y valora la uti-lidad de las ciencias ma-temáticas y de los me-dios tecnológicos para realizar cálculos mate-máticos, resolución de problemas, representa-ción de gráficos.

2. Demuestra interés por relacionar las operacio-nes y métodos en la so-lución de un problema matemático.

CONTENIDOS

AUTOEVALUACIÓN

EJEMPLOS

BIBLIOGRAFÍA

ACTIVIDADES

12







ModalidadVirtual

TEMA N°1: LA RECTALa recta es de suma importancia en el estudio de la ciencia, mediante el cual se puede modelar el comportamiento de la naturaleza. Es necesario entonces conocer en detalle sobre el tema. Así es que conozcamos sobre este tema muy interesante.

La recta se define como el lugar geométrico de todos los puntos que tienen una mis-ma pendiente y que pasan por un mismo punto. Una recta representada en el plano cartesiano tiene la forma de una ecuación lineal y sus ecuaciones tienen características particulares para sus posiciones relativas al sistema de coordenadas.

1 ANGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA

La inclinación de una recta es el ángulo que forma el semieje positivo x con la recta cuando está dirigida hacia arriba.

2 PENDIENTE DE UNA RECTA

La pendiente de una recta es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación, la cual la representamos por "m" y se expresa como:

La siguiente tabla muestra las inclinaciones para todas las posiciones que pueden tomar una recta y sus pendientes:

Expresión analítica de la pendiente de una recta

La pendiente de una recta no vertical que pasa por dos puntos dados, es igual al co-ciente entre la diferencia de sus ordenadas y la diferencia de sus abscisas, tomadas ambas en el mismo orden

UNIDAD I: LA RECTA Y PARÁBOLA

TEMA N° 01: LA RECTA

La recta es de suma importancia en el estudio de la ciencia, mediante el cual se puede modelar el comportamiento de la naturaleza. Es necesario entonces conocer en detalle sobre el tema. Así es que conozcamos sobre este tema muy interesante.La recta se define como el lugar geométrico de todos los puntos que tiene una misma pendiente y que pasan por un mismo punto. Una recta representada en el plano cartesiano tiene la forma de una ecuación lineal y sus ecuaciones tienen características particulares para sus posiciones relativas al sistema de coordenadas

1. ANGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA


∝ ∶ 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼ó𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐼𝐼 ∝´ ∶ 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼ó𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐼𝐼´

00 ≤ ∝ ≤ 1800

2. PENDIENTE DE UNA RECTA

La pendiente de una recta es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación, la cual la representamos por "𝑚𝑚" y se expresa como:

𝒎𝒎 = 𝒕𝒕𝒕𝒕 ∝

La siguiente tabla muestra las inclinaciones para todas las posiciones que puedentomar una recta y sus pendientes:

Posición de la Recta Inclinación Pendiente

Horizontal 00 𝑚𝑚 = 0

Inclinación hacia la derecha 00 < ∝ < 900 𝑚𝑚 > 0

Vertical 900 ∄

Inclinación hacia la izquierda 900 < ∝ < 1800 𝑚𝑚 < 0







00 ≤ ∝ ≤ 1800








Vertical 900 ∄








00 ≤ ∝ ≤ 1800








Vertical 900 ∄










3 ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

Para hablar del ángulo entre dos rectas debemos tener en cuenta cual es el ángulo que buscamos, ya que cuando ellas se cortan forman cuatros ángulos iguales de dos en dos. Para saber cuál es el ángulo que deseamos buscar, tenemos que saber cuál es la recta inicial y cuál es la final. Tomando en cuenta el giro anti-horario, la recta inicial es aquella desde donde comienza el giro y la final donde termina el giro. El otro ángulo es el suplementario del encontrado.

4 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTALa determinación de la distancia entre una recta y un punto fuera de la recta es una aplicación de rectas perpendiculares. Esta distancia se define como la longitud del segmento de recta perpendicular que une el punto con la recta dada.


La pendiente de una recta no vertical que pasa por dos puntos dados, es igual al cociente entre la diferencia de sus ordenadas y la diferencia de sus abscisas, tomadas ambas en el mismo orden

De acuerdo a la figura, tenemos:

2 2 1

1 2 1

tan RP y ymPR x x

α −= = =

−

𝑡𝑡𝑡𝑡 ∝= 𝑚𝑚 = 𝑦𝑦2−𝑦𝑦1

𝑥𝑥2−𝑥𝑥1

3. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

Para hablar del ángulo entre dos rectas debemos tener en cuenta cual es el ángulo que buscamos, ya que cuando ellas se cortan forman cuatros ángulos iguales de dos en dos. Para saber cuál es el ángulo que deseamos buscar tenemos que saber cuál es la recta inicial y cuál es la final. Tomando en cuenta el giro anti horario la recta inicial es aquella desde donde comienza el giro y la final donde termina el giro. El otro ángulo es el suplementario del encontrado.

Sean dos rectas 1l y 2l que se cortan según la figura, donde tenemos que:

2 1φ α α= − Luego tenemos:

( ) ( )2 1tan tanφ α α= −

Recordando las funciones del ángulo diferencia, tenemos:

( ) ( ) ( )( ) ( )2 1

1 2

tan tantan

1 tan tanα α

φα α−

=+

Por lo tanto:

( ) 2 1

1 2

tan1m m

m mφ −

=+

4. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

La determinación de la distancia entre una recta y un punto fuera de la recta es una aplicación de rectas perpendiculares. Esta distancia se define como la longitud del segmento de recta perpendicular que une el punto con la recta dada.


La pendiente de una recta no vertical que pasa por dos puntos dados, es igual al cociente entre la diferencia de sus ordenadas y la diferencia de sus abscisas, tomadas ambas en el mismo orden

De acuerdo a la figura, tenemos:

2 2 1

1 2 1

tan RP y ymPR x x

α −= = =

−

𝑡𝑡𝑡𝑡 ∝= 𝑚𝑚 = 𝑦𝑦2−𝑦𝑦1

𝑥𝑥2−𝑥𝑥1

3. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

Para hablar del ángulo entre dos rectas debemos tener en cuenta cual es el ángulo que buscamos, ya que cuando ellas se cortan forman cuatros ángulos iguales de dos en dos. Para saber cuál es el ángulo que deseamos buscar tenemos que saber cuál es la recta inicial y cuál es la final. Tomando en cuenta el giro anti horario la recta inicial es aquella desde donde comienza el giro y la final donde termina el giro. El otro ángulo es el suplementario del encontrado.

Sean dos rectas 1l y 2l que se cortan según la figura, donde tenemos que:

2 1φ α α= − Luego tenemos:

( ) ( )2 1tan tanφ α α= −

Recordando las funciones del ángulo diferencia, tenemos:

( ) ( ) ( )( ) ( )2 1

1 2

tan tantan

1 tan tanα α

φα α−

=+

Por lo tanto:

( ) 2 1

1 2

tan1m m

m mφ −

=+

4. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

La determinación de la distancia entre una recta y un punto fuera de la recta es una aplicación de rectas perpendiculares. Esta distancia se define como la longitud del segmento de recta perpendicular que une el punto con la recta dada.

La distancia entre el punto 𝑃𝑃1( 𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1 ) y la recta 𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑦𝑦 + 𝐶𝐶 = 0 es:

y

𝑑𝑑 = |𝐴𝐴𝑥𝑥1+𝐵𝐵𝑦𝑦1+𝐶𝐶|√𝐴𝐴2+𝐵𝐵2

𝑃𝑃1(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1) x

Ejemplo:

Hallaremos la distancia de la recta 3𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 + 12 = 0 al punto ( 4,−1 ) .

Solución:

La recta y el punto aparecen en la figura

Por tanto, la distancia entre el punto y la recta es:

𝑑𝑑 =|3(4) − 4(−1) + 12|

�32 + (−4)2

𝑑𝑑 =285≈ 5.6 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑑𝑑

5. ECUACIONES DE LA RECTA

5.1 Ecuación Punto Pendiente

La ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃𝑃1(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1) y cuya pendiente es "𝑚𝑚"viene dada por:

𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)

Donde: 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) representa un punto genérico cualquiera de la recta.

Ejemplo:

Hallaremos la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 4.- 1) y tiene un ángulo de inclinación de 135°.

Solución.La recta cuya ecuación se busca es la trazada en la figura.

𝑙𝑙

𝑑𝑑


14







ModalidadVirtual

5 ECUACIONES DE LA RECTA

5.1 Ecuación punto pendiente

La ecuación de la recta que pasa por el punto P1 (x1 , y1) y cuya pendiente es "m" viene dada por

La pendiente de esta recta es: m=tg135°=-1Por tanto, por la propiedad:

y-y1=m(x-x1) y-(-1)=(-1)(x-4) Resolviendo la ecuación de la recta es: x+y-3=0

5.2 Ecuación pendiente y ordenada

La ecuación de la recta que corta al eje de ordenadas en el punto ( 0,b ) y cuya pendiente es "m" viene dada por:

5.3 Forma Segmentaria de la ecuación de la recta

Cuando conocemos las coordenadas, la ecuación de la recta que lo abarca viene dada por:

La distancia entre el punto 𝑃𝑃1( 𝑥𝑥1,𝑦𝑦1 ) y la recta 𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑦𝑦 + 𝐶𝐶 = 0 es:

y

𝑑𝑑 = |𝐴𝐴𝑥𝑥1+𝐵𝐵𝑦𝑦1+𝐶𝐶|√𝐴𝐴2+𝐵𝐵2

𝑃𝑃1(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1) x

Ejemplo:

Hallaremos la distancia de la recta 3𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 + 12 = 0 al punto ( 4,−1 ) .

Solución:

La recta y el punto aparecen en la figura

Por tanto, la distancia entre el punto y la recta es:

𝑑𝑑 =|3(4) − 4(−1) + 12|

�32 + (−4)2

𝑑𝑑 =285≈ 5.6 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑑𝑑

5. ECUACIONES DE LA RECTA

5.1 Ecuación Punto Pendiente

La ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃𝑃1(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1) y cuya pendiente es "𝑚𝑚"viene dada por:

𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)

Donde: 𝑃𝑃(𝑥𝑥,𝑦𝑦) representa un punto genérico cualquiera de la recta.

Ejemplo:

Hallaremos la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 4.- 1) y tiene un ángulo de inclinación de 135°.

Solución.La recta cuya ecuación se busca es la trazada en la figura.

𝑙𝑙

𝑑𝑑

La pendiente de esta recta es: 𝑚𝑚 = 𝑡𝑡𝑡𝑡135° = −1

Por tanto, por la propiedad: 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1) 𝑦𝑦 − (−1) = (−1)(𝑥𝑥 − 4)

Resolviendo la ecuación de la recta es:

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 3 = 0

5.2 Ecuación Pendiente y OrdenadaLa ecuación de la recta que corta al eje de ordenadas en el punto ( 0, 𝑏𝑏 ) y cuya pendiente es "𝑚𝑚" viene dada por:

𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑏𝑏

5.3 Forma Segmentaria de la Ecuación de la RectaCuando conocemos las coordenadas, la ecuación de la recta que lo abarca viene dado por:

𝑥𝑥𝑎𝑎

+ 𝑦𝑦𝑏𝑏

= 1

𝑎𝑎 ≠ 0 ∧ 𝑏𝑏 ≠ 0

5.4 Ecuación de la recta que pasa por dos puntosLa recta que pasa por dos puntos dados: 𝑃𝑃1( 𝑥𝑥1,𝑦𝑦1 ) y 𝑃𝑃2( 𝑥𝑥2,𝑦𝑦2 ) tiene por ecuación

( )2 11 1

2 1

y yy y x xx x

−− = − −









5.4 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

La recta que pasa por dos puntos dados: P1 ( x1,y1 ) y P2 ( x2,y2 ) tiene por ecuación

5.5 Ecuación General de la Recta

La ecuación general de la recta "l" cuya pendiente: m=-A/B es:

Si tomamos en consideración que a partir de la ecuación común de la recta y=mx+b, y que los parámetros "m" y "b" pueden ser fraccionarios, podemos expresar esa ecuación de manera implícita, lo cual si despejamos tenemos que:

Por lo tanto, decimos que ambas expresiones representan la misma recta, por lo que decimos que:

Es la ecuación general de la recta o de forma implícita.

6 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

6.1 Rectas paralelas

Son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Es evidente que dos rectas verti-cales son paralelas, pero por no tener pendiente




𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 3 = 0




𝑥𝑥𝑎𝑎

+ 𝑦𝑦𝑏𝑏

= 1

𝑎𝑎 ≠ 0 ∧ 𝑏𝑏 ≠ 0


( )2 11 1

2 1

y yy y x xx x

−− = − −




𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 3 = 0




𝑥𝑥𝑎𝑎

+ 𝑦𝑦𝑏𝑏

= 1

𝑎𝑎 ≠ 0 ∧ 𝑏𝑏 ≠ 0


( )2 11 1

2 1

y yy y x xx x

−− = − −

5.5 Ecuación General de la RectaLa ecuación general de la recta "𝑙𝑙" cuya pendiente: 𝑚𝑚 = − 𝐴𝐴

𝐵𝐵 es:

𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 = 0

Si tomamos en consideración que a partir de la ecuación común de la recta 𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝐴𝐴 + 𝑏𝑏, y que los parámetros "𝑚𝑚" 𝐵𝐵 "𝑏𝑏" pueden ser fraccionarios, podemos expresar esa ecuación de manera implícita, lo cual si despejamos tenemos que:

𝐵𝐵 = −𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 −

𝐶𝐶𝐵𝐵

Donde:

𝑚𝑚 = −𝐴𝐴𝐵𝐵

𝐵𝐵 𝑏𝑏 = −𝐶𝐶𝐵𝐵

Por lo tanto decimos que ambas expresiones representan la misma recta, por lo que decimos que:

0Ax By C+ + =Es la ecuación general de la recta o de forma implícita.

6. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES


Son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Es evidente que dos rectas verticales son paralelas, pero por no tener pendiente

Si: ∝1=∝2 ⟹ 𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2

6.2 Rectas Perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si la diferencia de sus inclinaciones es un ángulo recto. “Dos rectas, de las cuales ninguna es perpendicular al eje de abscisas, son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es −1”


𝐵𝐵 es:




𝐶𝐶𝐵𝐵

Donde:








Si: ∝1=∝2 ⟹ 𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2




𝐵𝐵 es:




𝐶𝐶𝐵𝐵

Donde:








Si: ∝1=∝2 ⟹ 𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2




16







ModalidadVirtual

6.2 Rectas perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si la diferencia de sus inclinaciones es un ángulo recto. “Dos rectas, de las cuales ninguna es perpendicular al eje de abscisas, son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1”

7 APLICACIONES DE LA RECTA

a) La recta que pasa por los puntos A(6,-4) y B(-3,2) es paralela a la que pasa por C(2,1) y D(0,y). Calcular el valor de la ordenada del punto D.

Solución: Debemos tener en cuenta el concepto de paralela y por tanto tenemos que:

AB CDm m=

b) Si A(7,-1), B(-3,1) y C(-5,5) son tres vértices consecutivos de un paralelogramo, determinar el cuarto vértice D.

Solución:

Primero vamos a graficar los puntos para tener una idea más clara del problema.


𝐵𝐵 es:




𝐶𝐶𝐵𝐵

Donde:








Si: ∝1=∝2 ⟹ 𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2



Podemos decir: 02 1 90α α= +

De donde: ( ) ( )02 1tan tan 90α α= +

Por ser complementario tenemos que: 𝑡𝑡𝑡𝑡 ∝2= −𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡 ∝1= − 1

𝑡𝑡𝑡𝑡∝1

Luego: 𝑚𝑚2 = − 1𝑚𝑚1

⟹ 𝑚𝑚2.𝑚𝑚1 = −1

7. APLICACIONES DE LA RECTA

a). La recta que pasa por los puntos ( )6, 4A − y ( )3,2B − es paralela a la que

pasa por ( )2,1C y ( )0,D y . Calcular el valor de la ordenada del punto D.

Solución:Debemos tener en cuenta el concepto de paralela y por tanto tenemos que:

AB CDm m=Luego:

2 4 6 23 6 9 3ABm +

= = = −− − −

y 1 1

0 2 2CDy ym − −

= =−

Igualando:1 2

2 33 3 4 3 7

7 valor buscado3

y

yy

y

−= −

− = −=

=

b). Si ( )7, 1A − , ( )3,1B − y ( )5,5C − son tres vértices consecutivos de un

paralelogramo, determinar el cuarto vértice D.

Solución:Primero vamos a graficar los puntos para tener una idea más clara del problema.

Podemos decir: 02 1 90α α= +

De donde: ( ) ( )02 1tan tan 90α α= +

Por ser complementario tenemos que: 𝑡𝑡𝑡𝑡 ∝2= −𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡 ∝1= − 1

𝑡𝑡𝑡𝑡∝1

Luego: 𝑚𝑚2 = − 1𝑚𝑚1

⟹ 𝑚𝑚2.𝑚𝑚1 = −1

7. APLICACIONES DE LA RECTA

a). La recta que pasa por los puntos ( )6, 4A − y ( )3,2B − es paralela a la que

pasa por ( )2,1C y ( )0,D y . Calcular el valor de la ordenada del punto D.

Solución:Debemos tener en cuenta el concepto de paralela y por tanto tenemos que:

AB CDm m=Luego:

2 4 6 23 6 9 3ABm +

= = = −− − −

y 1 1

0 2 2CDy ym − −

= =−

Igualando:1 2

2 33 3 4 3 7

7 valor buscado3

y

yy

y

−= −

− = −=

=

b). Si ( )7, 1A − , ( )3,1B − y ( )5,5C − son tres vértices consecutivos de un

paralelogramo, determinar el cuarto vértice D.

Solución:Primero vamos a graficar los puntos para tener una idea más clara del problema.









Ahora resolvemos el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2):

5 202 13x y

x y− =+ =

Resolviendo el sistema por los métodos conocidos tenemos que: 5x = y 3y =Por tanto el punto D es igual a: D(5,3)

c) Calcular el valor del ángulo que forma la recta pasa por los puntos A(-3,1) y B(4,3) con la que pasa por los puntos C(1,-2) y D(6,7) .

Solución:

Graficando los puntos con cada segmento tenemos:

Figura

Según la figura 4 tenemos que //AB DC y //BC AD , por lo tanto AB DCm m=y BC ADm m= .

1 1 2 13 7 10 55 1 4 25 3 2

AB

BC

m

m

+= = = −− − −−

= = = −− + −

55

17

DC

AD

ymx

ymx

−=− −+

=−

Por lo tanto:

( )

5 15 5

25 5 5 5 20.......................................... 1

yxy x

x y

−= −

− −+ = +

+ =

( )

1 27

1 2 142 13........................................... 2

yxy xx y

+= −

−+ = − +

+ =Ahora resolvemos el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2):

5 202 13x y

x y− =+ =

Resolviendo el sistema por los métodos conocidos tenemos que: 5x = y 3y =Por tanto el punto D es igual a:

( )5,3D

c). Calcular el valor del ángulo que forma la recta pasa por los puntos ( )3,1A − y

( )4,3B con la que pasa por los puntos ( )1, 2C − y ( )6,7D .

Solución:

Graficando los puntos con cada segmento tenemos:

Por consiguiente

( )9 2 63 10 53 535 7 35 35 35tan 118 35 18 532 9 11

35 35 357 5

φ

−−

= = = = =+ ++

Por lo tanto:

( ) 0arctan 1 45φ = =Es decir que el ángulo que forman las dos rectas es de 45º y el suplementario es igual a 135º.

d). Escribir la ecuación de la recta 2 53 2

y x= − − en forma implícita.

Solución

Si multiplicamos ambos miembros por 6 tenemos que:6 4 15y x= − −

Realizando la transposición de términos tenemos:4 6 15 0x y+ + =

Donde: 4A = ; 6B = y 15C = .

e). Hallar el punto de intersección de la rectas 4 8y x= + y 2 10y x= + .

Solución

El punto de intersección es el punto formado por el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones dada, por tanto hallaremos la solución del sistema usando el método de igualación:

4 8y x= + … … … (1) 2 10y x= + … … … (2)

Igualando (1) y (2) tenemos:

4 8 2 104 2 10 8 2 2 1

x xx x

xx

+ = +− = −

==

Según la figura el ángulo entre las dos rectas viene dado por φ , que es

igual a:

( )tan1

CD AB

AB CD

m mm m

φ −=

+

Donde:

3 1 24 3 7ABm −

= =+


18







ModalidadVirtual

d) Escribir la ecuación de la recta 2 53 2


Solución

Si multiplicamos ambos miembros por 6 tenemos que: 6 4 15y x= − −

Realizando la transposición de términos tenemos: 4 6 15 0x y+ + = Donde: A=4; B=6 y C=15.

e) Hallar el punto de intersección de la rectas 4 8y x= + y 2 10y x= + .

Solución

El punto de intersección es el punto formado por el sistema de ecuaciones for-mado por las ecuaciones dada, por tanto hallaremos la solución del sistema usan-do el método de igualación:

Sustituyendo el valor de x=1 en la expresión (1) tenemos:

( )4 1 8 12

12yy= + =

=

Luego el punto de es (1,12) ver figura.

f) Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-3,5) y B(7,-3).

Solución:

Usaremos la expresión de la ecuación de una recta dados dos puntos, es decir:

Para los datos del problema tenemos que:

Por consiguiente

( )9 2 63 10 53 535 7 35 35 35tan 118 35 18 532 9 11

35 35 357 5

φ

−−

= = = = =+ ++

Por lo tanto:




Solución



Donde: 4A = ; 6B = y 15C = .


Solución


4 8y x= + … … … (1) 2 10y x= + … … … (2)


4 8 2 104 2 10 8 2 2 1

x xx x

xx

+ = +− = −

==


igual a:

( )tan1

CD AB

AB CD

m mm m

φ −=

+

Donde:

3 1 24 3 7ABm −

= =+

Por consiguiente

( )9 2 63 10 53 535 7 35 35 35tan 118 35 18 532 9 11

35 35 357 5

φ

−−

= = = = =+ ++

Por lo tanto:




Solución



Donde: 4A = ; 6B = y 15C = .


Solución


4 8y x= + … … … (1) 2 10y x= + … … … (2)


4 8 2 104 2 10 8 2 2 1

x xx x

xx

+ = +− = −

==


igual a:

( )tan1

CD AB

AB CD

m mm m

φ −=

+

Donde:

3 1 24 3 7ABm −

= =+

( )2 11 1

2 1

y yy y x xx x−

− = −−

( )

( ) ( )( )

( )

( )

3 55 37 3

85 310

45 35

B AA A

B A

y yy y x xx x

y x

y x

y x

−− = −

−− −

− = − −− −

−− = +

− = − +









Despejando y transformándola en forma implícita tenemos que:

5 25 4 124 5 13 0

y xx y− = − −+ − =

Luego la ecuación pedida es igual a: 4 5 13 0x y+ − =

g). Calcular la distancia desde el punto B(5,8) hasta la recta y=2x-12.

Solución

Usando la expresión de la distancia de un punto a una recta en forma punto – pendiente, tenemos que:

El signo positivo del resultado dentro del signo de valor absoluto indica que el punto está por encima de la línea recta.







ACTIVIDAD N° 1: PRÁCTICA DE LA RECTA

Esta actividad puede consultarla en su aula virtual.

TEMA N°02: LA CIRCUNFERENCIA

1 DEFINICIÓN Y ELEMENTOS

Veamos ahora sobre el estudio de la circunferencia.

Una circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro punto fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. Sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que este es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada, es decir, la circunferen-cia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

Los elementos de una circunferencia son:

• Centro, punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;

• Radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;

• Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia y, lógica-mente, pasa por el centro;

• Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;

• Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;

• Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;

• Punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia.

Sustituyendo el valor de 1x = en la expresión (1) tenemos:

( )4 1 8 12

12yy= + =

=Luego el punto de es ( )1,12 ver figura.

f). Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( )3,5A − y

( )7, 3B − .

Solución:

Usaremos la expresión de la ecuación de una recta dados dos puntos, es

decir: ( )2 11 1

2 1

y yy y x xx x−

− = −−

Para los datos del problema tenemos que:

( )

( ) ( )( )

( )

( )

3 55 37 3

85 310

45 35

B AA A

B A

y yy y x xx x

y x

y x

y x

−− = −

−− −

− = − −− −

−− = +

− = − +

Despejando y transformándola en forma implícita tenemos que:5 25 4 124 5 13 0

y xx y− = − −+ − =

Luego la ecuación pedida es igual a: 4 5 13 0x y+ − =

g). Calcular la distancia desde el punto ( )5,8B hasta la recta 2 12y x= − .

SoluciónUsando la expresión de la distancia de un punto a una recta en forma punto – pendiente, tenemos que:

( ) ( )( ) ( )( )

1 12 2

8 2 5 12 8 10 12 10 10 1010 10 101 1 3

y mx bdm

− − −− − − += = = = = =

+ +

10d = Distancia pedida.

El signo positivo del resultado dentro del signo de valor absoluto indica que el punto está por encima de la línea recta.


20







ModalidadVirtual

2 ECUACIONES Y GRÁFICA DE LA CIRCUNFERENCIA

2.1 Ecuación canónica de la circunferencia

Si las coordenadas del centro de la circunferencia es C(0;0) y el radio es "r", la ecuación canónica es:

Ejemplo:

Hallaremos la ecuación de la circunferencia y su gráfica, cuyo centro es el origen y el radio es igual a 3

Solución:

Por dato tenemos que el centro de la circunferencia es el origen C(0,0), por tanto la ecuación es canónica; además el radio es 3.

Remplazando en la ecuación canónica el valor del radio, el resultado es el siguiente:

x ² + y ² = 3²

Y su gráfica es la que se muestra a continuación:

2.2 Ecuación ordinaria o estándar de la circunferencia.

Ahora las coordenadas del centro de la circunferencia ya no es el origen sino es C(h;k) y el radio es "r". La ecuación ordinaria de la circunferencia para este caso es:

Ejemplo:

Hallaremos la ecuación de la circunferencia y su respectiva gráfica, cuyo centro es C(2;6) y con radio r = 4


1. DEFINICIÓN Y ELEMENTOS


Una circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro punto fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. Sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que este es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada, es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.


• Centro, punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia; • Radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia; • Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia y,

lógicamente, pasa por el centro; • Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de

longitud máxima son los diámetros; • Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos; • Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto; • Punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;

2. ECUACIONES Y GRÁFICAS DE LA CIRCUNFERENCIA

2.1 Ecuación Canónica de la Circunferencia


Ejemplo:


Solución:


centro

radio




Una circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro punto fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. Sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que este es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada, es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.


• Centro, punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia; • Radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia; • Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia y,

lógicamente, pasa por el centro; • Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de

longitud máxima son los diámetros; • Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos; • Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto; • Punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;

2. ECUACIONES Y GRÁFICAS DE LA CIRCUNFERENCIA

2.1 Ecuación Canónica de la Circunferencia


Ejemplo:


Solución:


centro

radio


x ² + y ² = 3²


2.2. Ecuación Ordinaria o Estándar de la Circunferencia.


Ejemplo:


Solución:

El centro es C(2,6), quiere decir que el valor de h es 2 y el valor de k es 6. Además el radio es 4. Estos datos los remplazamos en la ecuación ordinaria de la circunferencia y el resultado es el siguiente:

(x - 2)² + (y - 6)² = 4²

Su gráfica queda representada de la siguiente manera:


x ² + y ² = 3²




Ejemplo:


Solución:


(x - 2)² + (y - 6)² = 4²










Solución:

El centro es C(2,6), quiere decir que el valor de h es 2 y el valor de k es 6. Además el radio es 4. Estos datos los remplazamos en la ecuación ordinaria de la circunfe-rencia y el resultado es el siguiente:

(x - 2)² + (y - 6)² = 4²


2.3 Ecuación general de la circunferencia

La ecuación general de una circunferencia es:

Donde se puede determinar las coordenadas del centro (C) y el valor del radio (r) de una circunferencia, utilizando las siguientes relaciones: C (-D/2 ; -E/2)

3 RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA

Sea P1(x1, y1) un punto de la circunferencia de ecuación x2 + y2 = r2.

Ejemplo:

Hallaremos la ecuación de la recta tangente a una circunferencia x2 + y2 = 25 en el punto (3,4)

Solución:

Para determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto (3,4), utilizamos es ecuación:


x ² + y ² = 3²




Ejemplo:


Solución:


(x - 2)² + (y - 6)² = 4²


2.3. Ecuación General de la Circunferencia

La ecuación general de una circunferencia es:

Donde se puede determinar las coordenadas del centro (C) y el valor del radio (r) de una circunferencia, utilizando las siguientes relaciones:

C (-D/2 ; -E/2)

3. RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA

Sea P1(x1, y1) un punto de la circunferencia de ecuación x2 + y2 = r2.

La tangente a la curva x2 + y2 = r2 en el punto P1(x1, y1) tiene por ecuación:

Ejemplo:

Hallaremos la ecuación de la recta tangente a una circunferencia x2 + y2 = 25 en el punto (3,4)

Solución:

Para determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto (3,4), utilizamos es ecuación:

Donde x1=3, y1=4 y r = 5, remplazamos:3x + 4y = 25Siendo el resultado la ecuación: 3x + 4y – 25 = 0


22







ModalidadVirtual

Donde x=3, y=4 y r = 5, remplazamos:

3x + 4y = 25

Siendo el resultado la ecuación: 3x + 4y – 25 = 0Diagrama Objetivos Inicio






ACTIVIDAD N° 2: PRÁCTICA DE LA CIRCUNFERENCIA


TEMA N°03: LA PARÁBOLA

1 DEFINICIÓN Y ELEMENTOS

1.1 Definición

La parábola tiene muchas aplicaciones, una de ellas está en el diseño de superficies reflectoras, donde se puede aprovechar la propiedad de reflexión de las parábolas. A continuación, trataremos sobre este tema muy relevante.

Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.

El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola.

1.2 Elementos:

Los elementos de parábola son:

• Foco: Es el punto fijo F.

• Directriz: Es la recta fija D.

• Parámetro: Es la distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz; se designa con la letra p.

• Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

• Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje.

• Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

En esta gráfica se puede observar que las coordenadas del foco es F(p,0), el vér-tice es V(0,0), la distancia del foco al vértice y del vértice a la directriz se designa con la letra “p”.

2 ECUACIONES Y GRÁFICA DE LA PARÁBOLA

2.1 Ecuaciones canónicas de la parábola

Se les designa ecuaciones canónicas porque su vértice es el origen de coordenadas.

TEMA N°03: LA PARÁBOLA


1.1. Definición

La parábola tiene muchas aplicaciones, una de ellas es en el diseño de superficies reflectoras, en el cual se puede aprovechar la propiedad de reflexión de las parábolas. A continuación trataremos sobre este tema muy relevante.Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola.

1.2. Elementos:

Los elementos de parábola son:

Foco: Es el punto fijo F. Directriz: Es la recta fija D. Parámetro: Es la distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz; se

designa con la letra p. Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje. Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola

con el foco.

En esta gráfica se puede observar que las coordenadas del foco es F(p,0), el vértice es V(0,0), la distancia del foco al vértice y del vértice a la directriz se designa con la letra “p”.

2. ECUACIONES Y GRÁFICA DE LA PARÁBOLA.

2.1. Ecuaciones Canónicas de la Parábola

Se les designa ecuaciones canónicas porque su vértice es el origen de coordenadas. A continuación te presentamos las siguientes formas:









A continuación te presentamos las siguientes formas:

A) Si el eje de simetría de la parábola es horizontal y su vértice coincide con el origen, las coordenadas del foco son F(p,0) la ecuación de la directriz es x=-p Por lo que, si P(x,y) es cualquier punto de la parábola entonces se satisface la siguiente relación: (d(P,F) = d(P,L)) y2 = 4px

B) Si el eje de simetría de la parábola es vertical y su vértice coincide con el origen, las coordenadas del foco son F(0,p) la ecuación de la directriz es y=-p Por lo que, si P(x,y) es cualquier punto de la parábola entonces se satisface la siguiente relación: x2 = 4py

Siendo su gráfica la siguiente:

2.2 Ecuaciones estándar de la parábola

En este caso el vértice de la parábola no es considerado en el origen, y sus formas son:

A) Si el eje de simetría de la parábola es horizontal y su vértice es V(h,k), las coor-denadas del foco son F(h+p,k) y la ecuación de la directriz es x=h-p. Por lo que, si P(x,y) es cualquier punto de la parábola, entonces se satisface la siguiente relación: (y – k)2 = 4p(x – h)

Su gráfica es:

A. Si el eje de simetría de la parábola es horizontal y su vértice coincide con el origen, las coordenadas del foco son F(p,0) la ecuación de la directriz es x=-p Por lo que, si P(x,y) es cualquier punto de la parábola entonces se satisface la siguiente relación: (d(P,F) = d(P,L))

y2 = 4px

Su gráfica es:

B. Si el eje de simetría de la parábola es vertical y su vértice coincide con el origen, las coordenadas del foco son F(0,p) la ecuación de la directriz es y=-p Por lo que, si P(x,y) es cualquier punto de la parábola entonces se satisface la siguiente relación:

x2 = 4py


2.2. Ecuaciones Estándar de la Parábola


A. Si el eje de simetría de la parábola es horizontal y su vértices es V(h,k), las coordenadas del foco son F(h+p,k) y la ecuación de la directriz es x=h-p. Por lo que, si P(x,y) es cualquier punto de la parábola, entonces se satisface la siguiente relación:

(y – k)2 = 4p(x – h)

Su gráfica es:

A. Si el eje de simetría de la parábola es horizontal y su vértice coincide con el origen, las coordenadas del foco son F(p,0) la ecuación de la directriz es x=-p Por lo que, si P(x,y) es cualquier punto de la parábola entonces se satisface la siguiente relación: (d(P,F) = d(P,L))

y2 = 4px

Su gráfica es:

B. Si el eje de simetría de la parábola es vertical y su vértice coincide con el origen, las coordenadas del foco son F(0,p) la ecuación de la directriz es y=-p Por lo que, si P(x,y) es cualquier punto de la parábola entonces se satisface la siguiente relación:

x2 = 4py


2.2. Ecuaciones Estándar de la Parábola


A. Si el eje de simetría de la parábola es horizontal y su vértices es V(h,k), las coordenadas del foco son F(h+p,k) y la ecuación de la directriz es x=h-p. Por lo que, si P(x,y) es cualquier punto de la parábola, entonces se satisface la siguiente relación:

(y – k)2 = 4p(x – h)

Su gráfica es:

B. Si el eje de simetría de la parábola es vertical y su vértice es V(h,k), las coordenadas del foco son F(h,k+p) y la ecuación de la directriz es y = k-p. Por lo que, si P(x,y) es cualquier punto de la parábola, entonces se satisface la siguiente relación:

(x – h)2 = 4p (y – k)

Su gráfica se presenta a continuación:

2.3. Ecuaciones Generales de la Parábola

Si el vértice es el punto V(h,k) y eje focal es paralelo al eje Y, la ecuación general de la parábola es de la forma:

x2 + Dx + Ey + F = 0.Si el vértice es el punto V(h,k) y eje focal es paralelo al eje X, la ecuación general de la parábola es de la forma:

y2 + Dx + Ey + F = 0Ejemplos:

1. Encontraremos la ecuación canónica de la parábola con vértice en el origen y foco (2,0)

Solución:


24







ModalidadVirtual

B) Si el eje de simetría de la parábola es vertical y su vértice es V(h,k), las coorde-nadas del foco son F(h,k+p) y la ecuación de la directriz es y = k-p. Por lo que, si P(x,y) es cualquier punto de la parábola, entonces se satisface la siguiente relación: (x – h)2 = 4p (y – k)

La gráfica se presenta a continuación:

2.3 Ecuaciones generales de la parábola

Si el vértice es el punto V(h,k) y eje focal es paralelo al eje Y, la ecuación general de la parábola es de la forma: x2 + Dx + Ey + F = 0.

Si el vértice es el punto V(h,k) y eje focal es paralelo al eje X, la ecuación general de la parábola es de la forma: y2 + Dx + Ey + F = 0

Ejemplos:


Solución:

Para tener una idea del tipo de ecuación de la parábola, el vértice y el foco lo ubi-camos en el plano, y obtenemos la siguiente gráfica:

Como se observa, el eje de simetría de la parábola es horizontal y su vértice coincide con el origen, por lo que el tipo de ecuación es: y2 = 4px

El valor de “p” que es la distancia del vértice al foco es 2; reemplazamos en la ecua-ción anterior: y2 = 4(2)x

Siendo la ecuación solicitada igual a: y2 = 8x

2. Hallaremos las coordenadas del foco de la parábola dada por: y = -1/2 x2 – x + ½

Solución:

Para determinar el foco, la ecuación de convierte a la forma estándar completando cuadrados, y se obtiene la siguiente ecuación: (x+ 1)2 = -2(y – 1)

B. Si el eje de simetría de la parábola es vertical y su vértice es V(h,k), las coordenadas del foco son F(h,k+p) y la ecuación de la directriz es y = k-p. Por lo que, si P(x,y) es cualquier punto de la parábola, entonces se satisface la siguiente relación:

(x – h)2 = 4p (y – k)

Su gráfica se presenta a continuación:

2.3. Ecuaciones Generales de la Parábola

Si el vértice es el punto V(h,k) y eje focal es paralelo al eje Y, la ecuación general de la parábola es de la forma:

x2 + Dx + Ey + F = 0.Si el vértice es el punto V(h,k) y eje focal es paralelo al eje X, la ecuación general de la parábola es de la forma:

y2 + Dx + Ey + F = 0Ejemplos:


Solución:

Para tener una idea del tipo de ecuación de la parábola, el vértice y el foco ubicamos en el plano, y obtenemos la siguiente gráfica:

Como se observa el eje de simetría de la parábola es horizontal y su vértice coincide con el origen, por lo que el tipo de ecuación es:

y2 = 4pxEl valor de “p” que es la distancia del vértice al foco es 2; reemplazamos en la ecuación anterior:

y2 = 4(2)xSiendo la ecuación solicitada igual a: y2 = 8x

2. Hallaremos el foco de la parábola dada pory = -1/2 x2 – x + ½

Solución:Para determinar el foco, la ecuación de convierte a la forma estándar completando cuadrados, y se obtiene la siguiente ecuación:

(x+ 1)2 = -2(y – 1)

Esta ecuación la comparamos con la parábola cuyo eje de simetría es vertical y su vértice es V(h,k): (x – h)2 = 4p (y – k)

De la comparación se concluye que h=-1, k=1 y p=-1/2. Y como las coordenadas del foco es F(h,k+p), reemplazamos los valores hallados y obtenemos:

F(-1 , 1+(-1/2)) = F(-1 , ½)

ACTIVIDAD N° 3:

1. Trazar la gráfica de las parábolas siguientes: a) x2 = 8 yb) ( y - 3 ) 2 = 6 ( x - 2 )

2. Hallar el vértice, las coordenadas del foco, las ecuaciones de la directriz y trazar la gráfica de las ecuaciones siguientes:a) 2 8 8 64 0y x y− − + =b) 2 10 2 29 0x x y+ + + =

3. Hallar la ecuación estándar y general de la parábola en cada uno de los siguientes casos:a) Vértice en el origen y foco el punto (3,0)b) Vértice en el origen y directriz la recta y – 4/3 = 0









Esta ecuación la comparamos con la parábola cuyo eje de simetría es vertical y su vértice es V(h,k): (x – h)2 = 4p (y – k)

De la comparación se concluye que h=-1, k=1 y p=-1/2. Y como las coordenadas del foco es F(h,k+p), reemplazamos los valores hallados y obtenemos:

F(-1 , 1+(-1/2)) = F(-1 , ½)

3 RECTA TANGENTE A UNA PARÁBOLA

Una recta es tangente a una parábola si la recta y la parábola tiene un punto en común; la recta no interseca a la parábola en el punto. Podemos apreciar a conti-nuación la gráfica de una recta a una parábola.

Podemos observar que la recta tangente a la parábola en el punto P, forma ángulos congruentes con la recta que pasa por P y el foco y con el eje de la parábola.

4 APLICACIÓN DE LA PARÁBOLA

Las parábolas se presentan en una variedad de situaciones. Por ejemplo, un reflec-tor parabólico se puede formar girando una parábola con respecto a su eje. La su-perficie resultante tiene la propiedad de que todos los rayos de entrada, paralelos al eje se reflejan a través del foco de la parábola. Este es el principio en que se sustenta la construcción de espejos parabólicos que se emplean en los telescopios reflejan-tes. En forma inversa, los rayos de luz surgiendo del foco de un reflector parabólico que se emplea en una linterna, son paralelos entre si, como se muestra en la figura:

Ejemplo:

Antena parabólica. Un receptor de una antena cóncava de televisión se encuentra a 1,4 metros del vértice y se ubica en el foco (vea la figura). Escriba una ecuación para una sección transversal del reflector (suponga que la antena parabólica está dirigida hacia arriba y el vértice está en el origen).

3. RECTA TANGENTE A UNA PARÁBOLA.

Una recta es tangente a una parábola si la recta y la parábola tiene un punto en común; la recta no interseca a la parábola en el punto. Podemos apreciar a continuación la gráfica de una recta a una parábola.


4. APLICACIÓN DE LA PARÁBOLA.

Las parábolas se presentan en una variedad de situaciones. Por ejemplo, un reflector parabólico se puede formar girando una parábola con respecto a su eje. La superficie resultante tiene la propiedad de que todos los rayos de entrada, paralelos al eje se reflejan a través del foco de la parábola. Este es el principio en que se sustenta la construcción de espejos parabólicos que se emplean en los telescopios reflejantes. En forma inversa, los rayos de luz surgiendo del foco de un reflector parabólico que se emplea en una linterna, son paralelos entre si, como se muestra en la figura:

Ejemplo:







Ejemplo:



26







ModalidadVirtual

Solución:

El eje de simetría de la parábola es vertical y su vértice coincide con el origen, por tanto la ecuación de la sección transversal del reflector que viene a ser una parábola es: x2 = 4py

Como el receptor se encuentra en el foco, y la distancia del vértice al foco es “p”, se concluye que el valor de p es 1.4. Por tanto reemplazamos en la ecuación y se obtiene: x2 = 4(1,4)y

Siendo la respuesta la ecuación siguiente: x2 = 5,6 yDiagrama Objetivos Inicio






ACTIVIDAD N° 3: PRÁCTICA DE LA PARÁBOLA








BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD I

Larson, H. (2008). Precálculo (7ma. ed.).

México.

E. Haeussler, R. Paul. (2010). Matemática para Administración y Economía (8va.ed.). México.

Demana, F., otros (2007). Precálculo: gráficas, numérico, algebraico (7ma. ed.).

México: Editorial Pearson educación. Biblioteca UCCI: 512.13 D56 2007

Peterson, J. (2001). Matemáticas básicas: Algebra, trigonometría y geometría analítica (3ra. ed.).

México: Editorial CECSA.

Zill, D., Dewar, J. (2008). Precálculo con avances de cálculo (4ta. ed.).

Colombia: Editorial McGraw Hill.

Larner, J., C. Arya, Robin, W. (1992). Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía (3ra. ed.).

Mexico: Editorial Prentice Hall. Biblioteca UCCI: 519 - A78

Lehmann. (1998). Geometría Análitica.

Mexico: Limusa Noriega Editores. Biblioteca UCCI: 516.3 - L41

Figueroa, R. (2006). Geometría Análitica (7ma. ed.).

Lima: Ediciones RFG. Biblioteca UCCI: 516.3 - F49 – 2006

Figueroa, R. (2001). Vectores y Matrices (4ta. ed.).

Lima : Editorial America, pág. 571. Biblioteca UCCI: 512.9434 - F49 – 2001






Ejemplo:
















AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD I

Resuelva los siguientes ejercicios y aplicaciones:

1. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4,10) y forma un ángulo de

45º con la recta 32

y x= .

2. Un triángulo equilátero tiene su base en el eje de las abscisas y su vértice opuesto en el punto C(3,5). Determine las ecuaciones de sus lados.

3. Hallar la distancia del punto P(5,-7) a la recta 3 4 3 0x y+ − − = .

4. Halla la ecuación de una recta paralela a la recta 3x – 5y + 6 = 0, y que pase por el punto (-2, 6).

5. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, -3) y es perpendicular a la recta que une los puntos (2, -3) y (4,2).

6. A partir de los radios que a continuación se te proporcionan, obtén las ecuaciones de la circunferencia con centro en el origen

7. A partir de la siguiente ecuación, obtén el centro y el radio de la circunferencia

x2 + y2 – 8x + 6y + 9 = 0

8. Dada la ecuación de la parábola, trazar su gráfica.

9. Hallar vértice, las coordenadas del foco, las ecuaciones de la directriz y trazar su gráfica de la siguiente ecuación

y2 + 6y + 8x + 25 = 0

10. Hallar la ecuación ordinaria de la parábola:

Foco (2,2), directriz x = -2

11. Ingreso. El ingreso, R (en dólares), generado por la venta de x unidades de un juego de muebles de patio se da por (x – 106)2 = -4/5 (R – 14045)

Determina el número de ventas que hagan el máximo ingreso.

AUTOEVALUACIÓN N° 01:

Resuelva los siguientes ejercicios y aplicaciones:1. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( )4,10 y forma un ángulo

de 45º con la recta 32

y x= .

2. Un triángulo equilátero tiene su base en el eje de las abscisas y su vértice opuesto en el punto ( )3,5C . Determine las ecuaciones de sus lados.

3. Hallar la distancia del punto ( )5, 7P − a la recta 3 4 3 0x y+ − − = .




a) r = 3 7

b) r = 21 15


x2 + y2 – 8x + 6y + 9 = 0


a) x2 = 4 y

b) ( y - 3 ) 2 = 6 ( x - 2 )


y2 + 6y + 8x + 25 = 0



11. Ingreso. El ingreso, R (en dólares), generado por la venta de x unidades de un juego de muebles de patio se da por

(x – 106)2 = -4/5 (R – 14045)


AUTOEVALUACIÓN N° 01:

Resuelva los siguientes ejercicios y aplicaciones:1. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( )4,10 y forma un ángulo

de 45º con la recta 32

y x= .

2. Un triángulo equilátero tiene su base en el eje de las abscisas y su vértice opuesto en el punto ( )3,5C . Determine las ecuaciones de sus lados.

3. Hallar la distancia del punto ( )5, 7P − a la recta 3 4 3 0x y+ − − = .




a) r = 3 7

b) r = 21 15


x2 + y2 – 8x + 6y + 9 = 0


a) x2 = 4 y

b) ( y - 3 ) 2 = 6 ( x - 2 )


y2 + 6y + 8x + 25 = 0



11. Ingreso. El ingreso, R (en dólares), generado por la venta de x unidades de un juego de muebles de patio se da por

(x – 106)2 = -4/5 (R – 14045)



28 ModalidadVirtual














UNIDAD II: LA ELIPSE, HIPÉRBOLA, ROTACIÓN DE EJES COORDENADOS Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS







DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD II









Tema N° 01: La elipse

1. Definición

2. Elementos de una elipse

3. Ecuaciones canónicas de la elipse

4. Excentricidad de una elipse

5. Aplicaciones de una elipse

Tema Nº 2: La hipérbola

1. Definición

2. Elementos de una hipér-bola

3. Ecuaciones y gráfica de la hipérbola

4. Excentricidad y asínto-tas de una hipérbola

5. Aplicación de la hipér-bola

Tema N° 03: Rotación de ejes coordenados

1. Rotación de ejes coorde-nados para eliminar el término xy

2. Clasificación de las cóni-cas por el discriminante

3. Resolución de ejercicios

Tema Nº 4: Ecuaciones pa-ramétricas

1. Trazo de una curva plana

2. Eliminación del pará-metro


1. Reconoce y diferencia las elipses e hipérbola.

2. Resuelve ejercicios sobre la elipse e hipérbola.

3. Se aplica en casos de la vida real la elipse e hi-pérbola.

4. Elimina el término xy gi-rando los ejes un ángulo determinado.

5. Clasifica las cónicas se-gún el discriminante.

Actividad N° 1: Práctica so-bre la elipse

Actividad N° 2: Práctica so-bre la hipérbola.

Actividad N° 3: Práctica so-bre rotación de ejes coor-denados

Actividad N° 4: Práctica sobre ecuaciones paramé-tricas

Tarea académica N° 01: (cuestionario)



CONTENIDOS

AUTOEVALUACIÓN

EJEMPLOS

BIBLIOGRAFÍA

ACTIVIDADES

30







ModalidadVirtual

TEMA N° 1: LA ELIPSE1 DEFINICIÓN

Se llama elipse, al lugar geométrico de todos los puntos P del plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos del mismo plano es constante. Los puntos fijos F1 y F2 se llaman focos. Gráficamente esto es:

2 ELEMENTOS DE UNA ELIPSE

En la siguiente gráfica determinamos los elementos que componen en una elipse:

a) Sean F1 y F2 los focos de la elipse, la recta que pasa por los focos se suele llamar eje focal, en donde: F1 (-c;0) y F2 (c;0),c>0

b) El eje focal corta a la curva en dos puntos V1 y V2 llamados vértices, cuyas coor-denadas son: V1 (-a;0) y V2 (a;0)

c) El segmento del eje focal comprendido entre los vértices, V1 V2, se llama eje mayor cuya longitud es 2a. El valor de a se llama semieje mayor

d) El punto medio C del segmento que une los focos, se llama centro de simetría de la curva

e) La recta que pasa por C y es perpendicular al eje focal se llama eje normal

f) El segmento del eje normal comprendido entre los puntos, B1 B2, se llama eje menor cuya longitud es 2b. El valor de b se llama semieje menor.


TEMA N° 01: LA ELIPSE

1. DEFINICIÓN:

Se llama elipse, al lugar geométrico de todos los puntos P del plano, tales que lasuma de sus distancias a dos puntos fijos del mismo plano es constante. Los puntos fijos 𝐹𝐹1 𝑦𝑦 𝐹𝐹2 se llaman focos. Gráficamente esto es:

Entonces por definición: |𝐹𝐹2𝑃𝑃| + |𝐹𝐹1𝑃𝑃| = 𝑑𝑑2 + 𝑑𝑑1 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 2𝑐𝑐

donde “a” representa la medida del semieje mayor de la elipse. 2. ELEMENTOS DE UNA ELIPSE:


a) Sean 𝐹𝐹1 𝑦𝑦 𝐹𝐹2 los focos de la elipse, la recta que pasa por los focos se suele llamar eje focal, en donde: 𝐹𝐹1(−𝑐𝑐; 0) 𝑦𝑦 𝐹𝐹2(𝑐𝑐; 0), 𝑐𝑐 > 0

P

𝐹𝐹1𝐹𝐹2

𝑑𝑑2 𝑑𝑑1

x

y


TEMA N° 01: LA ELIPSE

1. DEFINICIÓN:

Se llama elipse, al lugar geométrico de todos los puntos P del plano, tales que lasuma de sus distancias a dos puntos fijos del mismo plano es constante. Los puntos fijos 𝐹𝐹1 𝑦𝑦 𝐹𝐹2 se llaman focos. Gráficamente esto es:

Entonces por definición: |𝐹𝐹2𝑃𝑃| + |𝐹𝐹1𝑃𝑃| = 𝑑𝑑2 + 𝑑𝑑1 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 2𝑐𝑐

donde “a” representa la medida del semieje mayor de la elipse. 2. ELEMENTOS DE UNA ELIPSE:


a) Sean 𝐹𝐹1 𝑦𝑦 𝐹𝐹2 los focos de la elipse, la recta que pasa por los focos se suele llamar eje focal, en donde: 𝐹𝐹1(−𝑐𝑐; 0) 𝑦𝑦 𝐹𝐹2(𝑐𝑐; 0), 𝑐𝑐 > 0

P

𝐹𝐹1𝐹𝐹2

𝑑𝑑2 𝑑𝑑1

x

y









g) Cualquier recta que pasa por el centro de simetría C, se llama diámetro de la elipse

h) El segmento que pasa por un foco y corta a la elipse en los puntos A1 y A2 se llama cuerda focal.

i) Todo segmento comprendido entre un foco y un punto de la elipse se llama radio focal

j) Una cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje focal se llama lado recto, y su longitud es igual a

3 ECUACIONES CANÓNICAS DE LA ELIPSE

Como podrás darte cuenta, las ideas que subyacen al estudio de la elipse son simila-res a las que se han empleado para estudiar la circunferencia y la parábola. De ma-nera que siguiendo un procedimiento análogo será posible deducir sus ecuaciones canónicas. Pero primero observe el gráfico:

A) Ecuación canónica de la elipse con centro O(0;0) y eje focal horizontal:

Los vértices de la elipse yacen sobre el eje x

b) El eje focal corta a la curva en dos puntos 𝑉𝑉1 𝑦𝑦 𝑉𝑉2 llamados vértices, cuyas

coordenadas son: 𝑉𝑉1(−𝑎𝑎; 0) 𝑦𝑦 𝑉𝑉2(𝑎𝑎; 0)

c) El segmento del eje focal comprendido entre los vértices, 𝑉𝑉1𝑉𝑉2, se llama eje mayor cuya longitud es 2𝑎𝑎. El valor de a se llama semieje mayor

d) El punto medio 𝐶𝐶 del segmento que une los focos, se llama centro de simetría de la curva

e) La recta que pasa por 𝐶𝐶 y es perpendicular al eje focal se llama eje normal

f) El segmento del eje normal comprendido entre los puntos, 𝐵𝐵1𝐵𝐵2, se llama eje menor cuya longitud es 2𝑏𝑏. El valor de b se llama semieje menor.


h) El segmento que pasa por un foco y corta a la elipse en los puntos 𝐴𝐴1 𝑦𝑦 𝐴𝐴2 se llama cuerda focal.


j) Una cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje focal se llama lado

recto, y su longitud es igual a 2𝑏𝑏2

𝑎𝑎

3. ECUACIONES CANONICAS DE LA ELIPSE

Como podrás darte cuenta, las ideas que subyacen al estudio de la elipse son similares a las que se han empleado para estudiar la circunferencia y la parábola. De manera que siguiendo un procedimiento análogo será posible deducir sus ecuaciones canónicas. Pero primero observe el gráfico:

Por la definición obtenemos que: 𝑏𝑏2 = 𝑎𝑎2 − 𝑐𝑐2 luego tenemos:

A. Ecuación canónica de la Elipse con centro 𝑂𝑂(0; 0) y eje focal horizontal:


𝑉𝑉2 𝑉𝑉1

b) El eje focal corta a la curva en dos puntos 𝑉𝑉1 𝑦𝑦 𝑉𝑉2 llamados vértices, cuyas

coordenadas son: 𝑉𝑉1(−𝑎𝑎; 0) 𝑦𝑦 𝑉𝑉2(𝑎𝑎; 0)

c) El segmento del eje focal comprendido entre los vértices, 𝑉𝑉1𝑉𝑉2, se llama eje mayor cuya longitud es 2𝑎𝑎. El valor de a se llama semieje mayor

d) El punto medio 𝐶𝐶 del segmento que une los focos, se llama centro de simetría de la curva

e) La recta que pasa por 𝐶𝐶 y es perpendicular al eje focal se llama eje normal

f) El segmento del eje normal comprendido entre los puntos, 𝐵𝐵1𝐵𝐵2, se llama eje menor cuya longitud es 2𝑏𝑏. El valor de b se llama semieje menor.


h) El segmento que pasa por un foco y corta a la elipse en los puntos 𝐴𝐴1 𝑦𝑦 𝐴𝐴2 se llama cuerda focal.


j) Una cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje focal se llama lado

recto, y su longitud es igual a 2𝑏𝑏2

𝑎𝑎

3. ECUACIONES CANONICAS DE LA ELIPSE

Como podrás darte cuenta, las ideas que subyacen al estudio de la elipse son similares a las que se han empleado para estudiar la circunferencia y la parábola. De manera que siguiendo un procedimiento análogo será posible deducir sus ecuaciones canónicas. Pero primero observe el gráfico:

Por la definición obtenemos que: 𝑏𝑏2 = 𝑎𝑎2 − 𝑐𝑐2 luego tenemos:

A. Ecuación canónica de la Elipse con centro 𝑂𝑂(0; 0) y eje focal horizontal:


𝑉𝑉2 𝑉𝑉1

Cuya ecuación será: 12

2

2

2

=+by

ax

B. Ecuación canónica de la Elipse con centro 𝑂𝑂(0; 0) y eje focal vertical:

Los vértices de la elipse yacen sobre el eje y


2

2

2

=+ay

bx

C. Ecuación canónica de la Elipse con centro 𝑂𝑂(ℎ; 𝑘𝑘) y eje focal horizontal

Su ecuación sería:

P

𝐹𝐹2(𝑐𝑐; 0)𝐹𝐹1(−𝑐𝑐; 0) P

x𝑉𝑉2(𝑎𝑎; 0)𝑉𝑉1(−𝑎𝑎; 0) 𝑂𝑂(0; 0)

𝑉𝑉2

𝑉𝑉1

P

𝐹𝐹2

𝐹𝐹1

x

y

𝑂𝑂(0; 0)


32







ModalidadVirtual

B) Ecuación canónica de la elipse con centro O(0;0) y eje focal vertical:

C) Ecuación canónica de la elipse con centro O(h;k) y eje focal horizontal


Observación: La dirección del eje focal está indicada por el término que tiene el mayor denominador, en este caso ese sería el valor de “a2”. Observe también que a>b.

D) Ecuación canónica de la elipse con centro O(h;k) y eje focal vertical


2

2

2

=+by

ax

B. Ecuación canónica de la Elipse con centro 𝑂𝑂(0; 0) y eje focal vertical:

Los vértices de la elipse yacen sobre el eje y


2

2

2

=+ay

bx

C. Ecuación canónica de la Elipse con centro 𝑂𝑂(ℎ; 𝑘𝑘) y eje focal horizontal


P

𝐹𝐹2(𝑐𝑐; 0)𝐹𝐹1(−𝑐𝑐; 0) P

x𝑉𝑉2(𝑎𝑎; 0)𝑉𝑉1(−𝑎𝑎; 0) 𝑂𝑂(0; 0)

𝑉𝑉2

𝑉𝑉1

P

𝐹𝐹2

𝐹𝐹1

x

y

𝑂𝑂(0; 0)

( ) ( ) 12

2

2

2

=−

+−

bky

ahx

Y su gráfica sería:

Observación: La dirección del eje focal está indicada por el término que tiene el mayor denominador, es este caso ese sería el valor de “a2”. Observe también que 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏.

D. Ecuación canónica de la Elipse con centro 𝑂𝑂(ℎ; 𝑘𝑘) y eje focal vertical


( ) ( ) 12

2

2

2

=−

+−

bhy

akx


4. EXCENTRICIDAD DE UNA ELIPSE

Para cualquier elipse, a la relación que existe entre c y a, se le conoce como excentricidad de una elipse y se denota con la letra e:

( ) ( ) 12

2

2

2

=−

+−

bky

ahx





( ) ( ) 12

2

2

2

=−

+−

bhy

akx












4 EXCENTRICIDAD DE UNA ELIPSE

Para cualquier elipse, a la relación que existe entre c y a, se le conoce como excen-tricidad de una elipse y se denota con la letra e:

La excentricidad indica el grado de achatamiento que posea. Nótese como siem-pre se cumple que: 0<e<1. Esto se explica de la siguiente manera: si a se mantiene constante y el valor de c se hace muy pequeño, el cociente tiende a cero, entonces la elipse tiende a una redondez debido a que la distancia interfocal es muy corta. Por el contrario, si a se sigue manteniendo constante pero c se hace muy grande, el cociente tiende a uno y la elipse toma una forma muy achatada. Gráficamente, esto se observa en las siguientes figuras:

4 APLICACIONES DE LA ELIPSE

Ejemplo 01

Calcular las longitudes de los semiejes mayor y menor, las coordenadas de los vér-tices, extremos del eje menor, la longitud del lado recto y la excentricidad de la siguiente elipse: 9x2+16y2=144

Solución:

Dividiendo toda la ecuación entre 144:

( ) ( ) 12

2

2

2

=−

+−

bky

ahx





( ) ( ) 12

2

2

2

=−

+−

bhy

akx




𝑒𝑒 =𝑐𝑐𝑎𝑎

La excentricidad indica el grado de achatamiento que posea. Nótese como siempre se cumple que: 0 < 𝑒𝑒 < 1. Esto se explica de la siguiente manera: si a se mantiene constante y el valor de c se hace muy pequeño, el cociente tiende a cero, entonces la elipse tiende a una redondez debido a que la distancia interfocal es muy corta. Por el contrario, si a se sigue manteniendo constante pero c se hace muy grande, el cociente tiende a uno y la elipse toma una forma muy achatada. Gráficamente, esto se observa en las siguientes figuras:

5. APLICACIONES DE LA ELIPSE

Ejemplo 01

Calcular las longitudes de los semiejes mayor y menor, las coordenadas de los vértices, extremos del eje menor, la longitud del lado recto y la excentricidad de la siguiente elipse: 9𝑥𝑥2 + 16𝑦𝑦2 = 144

Solución:Dividiendo toda la ecuación entre 144:

9𝑥𝑥2

144+

16𝑦𝑦2

144=

144144

⟹ 𝑥𝑥2

16+𝑦𝑦2

9= 1

𝑎𝑎2 = 16, 𝑏𝑏2 = 9 ⟹ 𝑎𝑎 = 4, 𝑏𝑏 = 3

por lo tanto: 𝑉𝑉1(4; 0) 𝑦𝑦 𝑉𝑉2(−4; 0); 𝐵𝐵1(0; 3) 𝑦𝑦 𝐵𝐵2(0;−3)

por otra parte: 𝑐𝑐 = √𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2 = √16 − 9 = √7

los focos se ubican en: 𝐹𝐹1�√7; 0� 𝑦𝑦 𝐹𝐹2(−√7; 0)

La excentricidad es: 𝑒𝑒 = √74

. La longitud del lado recto es:

𝐿𝐿𝐿𝐿 =2(3)2

4=

2(9)4

=92𝑢𝑢




Ejemplo 01



9𝑥𝑥2

144+

16𝑦𝑦2

144=

144144

⟹ 𝑥𝑥2

16+𝑦𝑦2

9= 1

𝑎𝑎2 = 16, 𝑏𝑏2 = 9 ⟹ 𝑎𝑎 = 4, 𝑏𝑏 = 3






𝐿𝐿𝐿𝐿 =2(3)2

4=

2(9)4

=92𝑢𝑢




Ejemplo 01



9𝑥𝑥2

144+

16𝑦𝑦2

144=

144144

⟹ 𝑥𝑥2

16+𝑦𝑦2

9= 1

𝑎𝑎2 = 16, 𝑏𝑏2 = 9 ⟹ 𝑎𝑎 = 4, 𝑏𝑏 = 3






𝐿𝐿𝐿𝐿 =2(3)2

4=

2(9)4

=92𝑢𝑢


34







ModalidadVirtual

Ejemplo 02

Obtener la ecuación de la elipse y sus características si se sabe que un extremo del eje menor está en (0;-3) y un foco en (2;0)

Solución:

De los datos se deduce que: b=3 y c=2. Obteniendo a:

Ejemplo 03

Graficar la elipse que tiene por ecuación: 25x2+16y2+100x-96y-156=0Indique todos sus elementos.

Solución

La ecuación general dada, la transformamos a la ecuación canónica completando cuadrados:

La última ecuación nos indica que la elipse tiene:

a) Centro: 0(-2,3)b) Eje focal vertical, debido a que el mayor denominador está sobre el termino que

contiene a “y”. Entonces: a2=25 ⇒ a=5c) b2=16 ⇒ b=4d) Lo anterior nos permite calcular el valor de c:

Ejemplo 02

Obtener la ecuación de la elipse y sus características si se sabe que un extremo del eje menor está en (0;−3) y un foco en (2; 0)

Solución:

De los datos se deduce que: 𝑏𝑏 = 3 𝑦𝑦 𝑐𝑐 = 2. Obteniendo a:

𝑎𝑎 = �𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 = �32 + 22 = √9 + 4 = √13

Así que la ecuación buscada es:

𝑥𝑥2

�√13�2 +

𝑦𝑦2

32= 1 ⟹

𝑥𝑥2

13+𝑦𝑦2

9= 1

Los vértices se ubican en: 𝑉𝑉1�√13; 0� 𝑦𝑦 𝑉𝑉2�−√13; 0�

El otro foco está en: 𝐹𝐹2(−2; 0)

La excentricidad es: 𝑒𝑒 = 2√13


𝐿𝐿𝐿𝐿 =2(3)2

√13=

2(9)√13

= 18√13

𝑢𝑢

Ejemplo 03

Graficar la Elipse que tiene por ecuación: 25𝑥𝑥2 + 16𝑦𝑦2 + 100𝑥𝑥 − 96𝑦𝑦 − 156 = 0Indique todos sus elementos.

Solución


25(𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 4) + 16(𝑦𝑦2 − 6𝑦𝑦 + 9) = 156 + 100 + 144

25(𝑥𝑥 + 2)2 + 16(𝑦𝑦 − 3)2 = 400

Ahora dividimos para 400:

25(𝑥𝑥 + 2)2

400+

16(𝑦𝑦 − 3)2

400=

400400

(𝑥𝑥 + 2)2

16+

(𝑦𝑦 − 3)2

25= 1 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑢𝑢𝑎𝑎𝑐𝑐𝐸𝐸ó𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑎 𝐸𝐸𝑙𝑙𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝑒𝑒


a) Centro: 0(−2,3)b) Eje focal vertical, debido a que el mayor denominador está sobre el termino

que contiene a “y”. Entonces: 𝑎𝑎2 = 25 ⟹ 𝑎𝑎 = 5c) 𝑏𝑏2 = 16 ⟹ 𝑏𝑏 = 4d) Lo anterior nos permite calcular el valor de c:

𝑐𝑐 = �𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2 ⟹ 𝑐𝑐 = √25 − 16 ⟹ 𝑐𝑐 = 3

Ejemplo 02


Solución:


𝑎𝑎 = �𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 = �32 + 22 = √9 + 4 = √13


𝑥𝑥2

�√13�2 +

𝑦𝑦2

32= 1 ⟹

𝑥𝑥2

13+𝑦𝑦2

9= 1





𝐿𝐿𝐿𝐿 =2(3)2

√13=

2(9)√13

= 18√13

𝑢𝑢

Ejemplo 03


Solución


25(𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 4) + 16(𝑦𝑦2 − 6𝑦𝑦 + 9) = 156 + 100 + 144

25(𝑥𝑥 + 2)2 + 16(𝑦𝑦 − 3)2 = 400


25(𝑥𝑥 + 2)2

400+

16(𝑦𝑦 − 3)2

400=

400400

(𝑥𝑥 + 2)2

16+

(𝑦𝑦 − 3)2





𝑐𝑐 = �𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2 ⟹ 𝑐𝑐 = √25 − 16 ⟹ 𝑐𝑐 = 3

Ejemplo 02


Solución:


𝑎𝑎 = �𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 = �32 + 22 = √9 + 4 = √13


𝑥𝑥2

�√13�2 +

𝑦𝑦2

32= 1 ⟹

𝑥𝑥2

13+𝑦𝑦2

9= 1





𝐿𝐿𝐿𝐿 =2(3)2

√13=

2(9)√13

= 18√13

𝑢𝑢

Ejemplo 03


Solución


25(𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 4) + 16(𝑦𝑦2 − 6𝑦𝑦 + 9) = 156 + 100 + 144

25(𝑥𝑥 + 2)2 + 16(𝑦𝑦 − 3)2 = 400


25(𝑥𝑥 + 2)2

400+

16(𝑦𝑦 − 3)2

400=

400400

(𝑥𝑥 + 2)2

16+

(𝑦𝑦 − 3)2





𝑐𝑐 = �𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2 ⟹ 𝑐𝑐 = √25 − 16 ⟹ 𝑐𝑐 = 3









Por lo tanto la gráfica sería:

Ejemplo 04

Hallar la ecuación general de la elipse cuyo eje mayor mide 20 unidades y los focos son los puntos de coordenadas (0 , 5√3) y (0 , -5√3)

Solución:

Primero representamos en el plano cartesiano los puntos dados:

Observamos que la elipse tiene como eje focal, el eje y, que c=5√3 . Como nos dicen que el eje mayor mide 20 unidades, entonces a=10. Esto, nos permite calcular b:

Finalmente la ecuación de la elipse sería:

Ejemplo 05

Una pista de carros tiene forma de elipse, el eje mayor mide 10 km. Y el eje menor 6 km. Determine la distancia a que se encuentra un carro del centro de la pista, en el momento en que pasa a la altura de uno de los focos.


Ejemplo 04Hallar la ecuación general de la Elipse cuyo eje mayor mide 20 unidades y los focos son los puntos de coordenadas �0; 5√3� y �0 ; −5√3�

Solución:Primero representamos en el plano cartesiano los puntos dados:

Observamos que la elipse tiene como eje focal, el eje y, que 𝑐𝑐 = 5√3 . Como nos dicen que el eje mayor mide 20 unidades, entonces 𝑎𝑎 = 10. Esto, nos permite calcular b:

𝑏𝑏2 = 𝑎𝑎2 − 𝑐𝑐2

𝑏𝑏2 = (10)2 − �5√3�2

𝑏𝑏2 = 25 ⟹ 𝑏𝑏 = 5







𝑏𝑏2 = (10)2 − �5√3�2

𝑏𝑏2 = 25 ⟹ 𝑏𝑏 = 5







𝑏𝑏2 = (10)2 − �5√3�2

𝑏𝑏2 = 25 ⟹ 𝑏𝑏 = 5


𝑦𝑦2

100+𝑥𝑥2

25= 1

4𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 100

Ejemplo 05

Una pista de carros tiene forma de elipse, el eje mayor mide 10 km. Y el eje menor 6 km. Determine la distancia a que se encuentra un carro del centro de la pista en el momento en que pasa a la altura de uno de los focos.

Solución

Representando en el plano cartesiano la información proporcionada, tenemos:

La ecuación de la elipse sería:

𝑥𝑥2

52+𝑦𝑦2

32= 1

Como: 𝑎𝑎 = 5 𝑦𝑦 𝑏𝑏 = 3 entonces: 𝑐𝑐2 = 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2 = 25 − 9 = 16 ⟹ 𝑐𝑐 = 4

La dimensión de la altura de uno de los focos a la elipse es la mitad de la dimensión del lado recto

Empleando el Teorema de Pitágoras, resulta:

𝑑𝑑 = �42 + �95�2

𝑑𝑑 =√481

5


36







ModalidadVirtual

Solución









ACTIVIDAD N° 1: PRÁCTICA SOBRE LA ELIPSE


TEMA N° 2: LA HIPÉRBOLA

1 DEFINICIÓN

Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de las diferencias de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.

𝑦𝑦2

100+𝑥𝑥2

25= 1

4𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 100

Ejemplo 05


Solución



𝑥𝑥2

52+𝑦𝑦2

32= 1




𝑑𝑑 = �42 + �95�2

𝑑𝑑 =√481

5

𝑦𝑦2

100+𝑥𝑥2

25= 1

4𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 100

Ejemplo 05


Solución



𝑥𝑥2

52+𝑦𝑦2

32= 1




𝑑𝑑 = �42 + �95�2

𝑑𝑑 =√481

5

TEMA N° 02: LA HIPERBOLA

1. DEFINICIÓN:


A diferencia de las curvas analizadas anteriormente, una hipérbola se representa mediante un par de gráficas disconexas llamadas ramas. La línea recta que une al par de focos se denomina eje de la hipérbola y la cruza en un par de puntos denominados vértices.

El punto ubicado sobre el eje de la hipérbola y justo a la mitad de la distancia entre los focos se denomina centro.

(0; 0)









A diferencia de las curvas analizadas anteriormente, una hipérbola se representa mediante un par de gráficas disconexas llamadas ramas. La línea recta que une al par de focos se denomina eje de la hipérbola y la cruza en un par de puntos deno-minados vértices.


Relación matemática entre a, b y c

Es posible comprobar geométricamente que la distancia del centro a cualquiera de los focos es exactamente igual a la distancia de un vértice a cualquiera de los extre-mos del eje imaginario. Observe la figura siguiente:

2 ELEMENTOS DE UNA HIPÉRBOLA

En la siguiente gráfica es posible encontrar los elementos siguientes:

TEMA N° 02: LA HIPERBOLA

1. DEFINICIÓN:


A diferencia de las curvas analizadas anteriormente, una hipérbola se representa mediante un par de gráficas disconexas llamadas ramas. La línea recta que une al par de focos se denomina eje de la hipérbola y la cruza en un par de puntos denominados vértices.


(0; 0)


Es posible comprobar geométricamente que la distancia del centro a cualquiera de los focos es exactamente igual a la distancia de un vértice a cualquiera de los extremos del eje imaginario. Observe la figura siguiente:

De la figura se puede ver que: 𝑐𝑐2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2

2. ELEMENTOS DE UNA HIPERBOLA


a) Sean 𝐹𝐹1 𝑦𝑦 𝐹𝐹2 los focos de la hipérbola, la recta que pasa por los focos se suele llamar eje real o trasverso, en donde 𝐹𝐹1(−𝑐𝑐 ; 0) 𝑦𝑦 𝐹𝐹2(𝑐𝑐 ; 0), 𝑐𝑐 > 0

b) El eje real corta a la curva en dos puntos 𝑉𝑉1 𝑦𝑦 𝑉𝑉2 llamados vértices, cuyas coordenadas son: 𝑉𝑉1(−𝑎𝑎 ; 0) 𝑦𝑦 𝑉𝑉2(𝑎𝑎 ; 0).

c) El valor de a se llama semieje real. El valor de b se conoce por semieje conjugado o imaginario.

d) El punto C del segmento que une los focos, se llama centro de simetría de la curva.


Es posible comprobar geométricamente que la distancia del centro a cualquiera de los focos es exactamente igual a la distancia de un vértice a cualquiera de los extremos del eje imaginario. Observe la figura siguiente:

De la figura se puede ver que: 𝑐𝑐2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2

2. ELEMENTOS DE UNA HIPERBOLA


a) Sean 𝐹𝐹1 𝑦𝑦 𝐹𝐹2 los focos de la hipérbola, la recta que pasa por los focos se suele llamar eje real o trasverso, en donde 𝐹𝐹1(−𝑐𝑐 ; 0) 𝑦𝑦 𝐹𝐹2(𝑐𝑐 ; 0), 𝑐𝑐 > 0

b) El eje real corta a la curva en dos puntos 𝑉𝑉1 𝑦𝑦 𝑉𝑉2 llamados vértices, cuyas coordenadas son: 𝑉𝑉1(−𝑎𝑎 ; 0) 𝑦𝑦 𝑉𝑉2(𝑎𝑎 ; 0).




38







ModalidadVirtual

a) Sean F1 y F2 los focos de la hipérbola, la recta que pasa por los focos se suele llamar eje real o trasverso, en donde F1 (-c ;0) y F2 (c ;0), c>0

b) El eje real corta a la curva en dos puntos V1 y V2 llamados vértices, cuyas coor-denadas son: V1 (-a ;0) y V2 (a ;0).



e) La recta que pasa por C y es perpendicular al eje real se llama eje imaginario.

f) Cualquier recta que pasa por el centro de simetría C, se llama diámetro de la hipérbola.

g) El segmento que pasa por un foco y corta a la hipérbola en los puntos A1 y A2 se llama cuerda focal.

h) Todo segmento comprendido entre un foco y un punto de la hipérbola se llama radio focal.

i) Una cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje focal se llama lado

recto, y su longitud es igual a:

3 ECUACIONES Y GRÁFICA DE LA HIPÉRBOLA

A continuación te mostramos las ecuaciones canónicas de las hipérbolas, horizontal y vertical, con centro en el origen y fuera de ella y sus gráficas correspondientes.

A) Ecuación canónica de la hipérbola con centro O(0;0) y eje focal horizontal:

Sean F1 (-c ;0) y F2 (c ;0), observe el gráfico:

B) Ecuación canónica de la hipérbola con centro O(0;0) y eje focal vertical:

Sean F1 (0 ; -c) y F2 (0 ;c), observe el gráfico:



g) El segmento que pasa por un foco y corta a la hipérbola en los puntos 𝐴𝐴1 𝑦𝑦 𝐴𝐴2se llama cuerda focal.


i) Una cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje focal se llama lado recto, y su longitud es igual a:

𝐿𝐿𝐿𝐿 =2𝑏𝑏2

𝑎𝑎

3. ECUACIONES Y GRÁFICA DE LA HIPERBOLA


A. Ecuación canónica de la Hipérbola con centro 𝑂𝑂(0; 0) y eje focal horizontal:

Sean 𝐹𝐹1(−𝑐𝑐 ; 0) 𝑦𝑦 𝐹𝐹2(𝑐𝑐 ; 0), observe el gráfico:


2

2

2

=−by

ax



g) El segmento que pasa por un foco y corta a la hipérbola en los puntos 𝐴𝐴1 𝑦𝑦 𝐴𝐴2se llama cuerda focal.


i) Una cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje focal se llama lado recto, y su longitud es igual a:

𝐿𝐿𝐿𝐿 =2𝑏𝑏2

𝑎𝑎

3. ECUACIONES Y GRÁFICA DE LA HIPERBOLA


A. Ecuación canónica de la Hipérbola con centro 𝑂𝑂(0; 0) y eje focal horizontal:

Sean 𝐹𝐹1(−𝑐𝑐 ; 0) 𝑦𝑦 𝐹𝐹2(𝑐𝑐 ; 0), observe el gráfico:


2

2

2

=−by

ax

B. Ecuación canónica de la Hipérbola con centro 𝑂𝑂(0; 0) y eje focal vertical:

Sean 𝐹𝐹1(0 ; −𝑐𝑐) 𝑦𝑦 𝐹𝐹2(0 ; 𝑐𝑐), observe el gráfico:


2

2

2

=−bx

ay

C. Ecuación canónica de la Hipérbola con centro 𝑂𝑂(𝒉𝒉 ;𝒌𝒌) y eje focal horizontal:

Suponga que el centro es el punto 𝑶𝑶(𝒉𝒉 ;𝒌𝒌) y que el eje focal sea horizontal, entonces su ecuación sería:

(𝑥𝑥 − ℎ)2

𝑎𝑎2−

(𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2

𝑏𝑏2= 1










C) Ecuación canónica de la Hipérbola con centro O(h ;k) y eje focal horizontal:

Suponga que el centro es el punto O(h ;k) y que el eje focal sea horizontal, en-tonces su ecuación sería:

D) Ecuación canónica de la hipérbola con centro O(h ;k) y eje focal horizontal:

Suponga que el centro es el punto O(h ;k) y que el eje focal sea vertical, entonces su ecuación sería:

4 EXCENTRICIDAD Y ASÍNTOTAS DE UNA HIPÉRBOLA

Excentricidad

Se define por excentricidad de la hipérbola, al cociente entre la distancia desde un foco al centro de simetría y la longitud del semieje mayor, es decir:




2

2

2

=−bx

ay



(𝑥𝑥 − ℎ)2

𝑎𝑎2−


𝑏𝑏2= 1





2

2

2

=−bx

ay



(𝑥𝑥 − ℎ)2

𝑎𝑎2−


𝑏𝑏2= 1


D. Ecuación canónica de la Hipérbola con centro 𝑂𝑂(𝒉𝒉 ;𝒌𝒌) y eje focal vertical:

Suponga que el centro es el punto 𝑶𝑶(𝒉𝒉 ;𝒌𝒌) y que el eje focal sea vertical, entonces su ecuación sería:


𝑎𝑎2−

(𝑥𝑥 − ℎ)2

𝑏𝑏2= 1

Y su grafica sería:

4. EXCENTRICIDAD Y ASINTOTAS DE UNA HIPERBOLA

Excentricidad



𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑒𝑒 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒 𝑒𝑒 > 1

Asíntotas

Estudiaremos el comportamiento de la ecuación:

12

2

2

2

=−by

ax

Si despejamos y de la ecuación, con el propósito de ver la forma en la que se relacionan las dos variables, especialmente cuando x toma valores muy grandes, obtenemos:




𝑎𝑎2−

(𝑥𝑥 − ℎ)2

𝑏𝑏2= 1



Excentricidad




Asíntotas


12

2

2

2

=−by

ax



40







ModalidadVirtual

Asíntotas


Si despejamos y de la ecuación, con el propósito de ver la forma en la que se rela-cionan las dos variables, especialmente cuando x toma valores muy grandes, obte-nemos:

Para valores grandes de x, la expresión tiende a cero, lo cual significa que la

expresión dentro del radical tiende a uno, por lo tanto lo que prevalece es la expre-sión ubicada fuera de éste:

¿Y esta ecuación qué significa?

Lo que nos indica es que para valores muy grandes de x, la hipérbola se aproxima cada vez más a las rectas:

Estas rectas se denominan asíntotas de la hipérbola. Observa que su pendiente que-da determinada por el cociente de la longitud del semieje menor y la longitud del semieje mayor, además de pasar por el centro de la hipérbola.

Las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola se deducen de manera similar y son las siguientes:

5 APLICACIONES DE LA HIPÉRBOLA

Ejemplo 01

Determine: vértices, focos y las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola:

Solución:

Para llevar esa ecuación general de la hipérbola a la canónica, debemos usar el método completando cuadrados y se obtiene:

Y a partir de esta ecuación deducimos que: a=√2 , b=2 y c=√6 con lo que

Y las ecuaciones de sus asíntotas:




𝑎𝑎2−

(𝑥𝑥 − ℎ)2

𝑏𝑏2= 1



Excentricidad




Asíntotas


12

2

2

2

=−by

ax


𝑦𝑦 = ±𝑏𝑏𝑏𝑏𝑎𝑎�1 −

𝑎𝑎2

𝑏𝑏2

Para valores grandes de x, la expresión 𝑎𝑎2

𝑥𝑥2tiende a cero, lo cual significa que la

expresión dentro del radical tiende a uno, por lo tanto lo que prevalece es la expresión ubicada fuera de éste:

𝑦𝑦 = ±𝑏𝑏𝑏𝑏𝑎𝑎



𝑦𝑦 =𝑏𝑏𝑏𝑏𝑎𝑎

𝑦𝑦 𝑦𝑦 = −𝑏𝑏𝑏𝑏𝑎𝑎

Estas rectas se denominan asíntotas de la hipérbola. Observa que su pendiente queda determinada por el cociente de la longitud del semieje menor y la longitud del semieje mayor, además de pasar por el centro de la hipérbola.


Hipérbola horizontal con centro en el origen

Hipérbola horizontal concentro fuera del origen

Hipérbola vertical con centro en el origen

Hipérbola vertical con centro fuera del origen

xaby ±= )()( hx

abky −±=− x

bay ±= )()( hx

baky −±=−

5. APLICACIONES DE LA HIPERBOLA

Ejemplo 01


2𝑏𝑏2 − 𝑦𝑦2 − 8𝑏𝑏 + 2𝑦𝑦 + 3 = 0Solución:


(𝑏𝑏 − 2)2

2−

(𝑦𝑦 − 1)2

4= 1

Y a partir de esta ecuación deducimos que: 𝑎𝑎 = √2 , 𝑏𝑏 = 2 𝑦𝑦 𝑐𝑐 = √6 con lo que

𝑉𝑉1�2 − √2 ; 1�, 𝑉𝑉2�2 + √2 ; 1�, 𝐹𝐹1�2 − √6 ; 1� 𝑦𝑦 𝐹𝐹2�2 + √6 ; 1�

Y las ecuaciones de sus asíntotas: 𝑦𝑦 − 1 = ±√2(𝑏𝑏 − 2)


𝑎𝑎2

𝑏𝑏2















xaby ±= )()( hx

abky −±=− x

bay ±= )()( hx

baky −±=−


Ejemplo 01




(𝑏𝑏 − 2)2

2−

(𝑦𝑦 − 1)2

4= 1


𝑉𝑉1�2 − √2 ; 1�, 𝑉𝑉2�2 + √2 ; 1�, 𝐹𝐹1�2 − √6 ; 1� 𝑦𝑦 𝐹𝐹2�2 + √6 ; 1�



𝑎𝑎2

𝑏𝑏2















xaby ±= )()( hx

abky −±=− x

bay ±= )()( hx

baky −±=−


Ejemplo 01




(𝑏𝑏 − 2)2

2−

(𝑦𝑦 − 1)2

4= 1


𝑉𝑉1�2 − √2 ; 1�, 𝑉𝑉2�2 + √2 ; 1�, 𝐹𝐹1�2 − √6 ; 1� 𝑦𝑦 𝐹𝐹2�2 + √6 ; 1�



𝑎𝑎2

𝑏𝑏2















xaby ±= )()( hx

abky −±=− x

bay ±= )()( hx

baky −±=−


Ejemplo 01




(𝑏𝑏 − 2)2

2−

(𝑦𝑦 − 1)2

4= 1


𝑉𝑉1�2 − √2 ; 1�, 𝑉𝑉2�2 + √2 ; 1�, 𝐹𝐹1�2 − √6 ; 1� 𝑦𝑦 𝐹𝐹2�2 + √6 ; 1�



𝑎𝑎2

𝑏𝑏2















xaby ±= )()( hx

abky −±=− x

bay ±= )()( hx

baky −±=−


Ejemplo 01




(𝑏𝑏 − 2)2

2−

(𝑦𝑦 − 1)2

4= 1


𝑉𝑉1�2 − √2 ; 1�, 𝑉𝑉2�2 + √2 ; 1�, 𝐹𝐹1�2 − √6 ; 1� 𝑦𝑦 𝐹𝐹2�2 + √6 ; 1�



𝑎𝑎2

𝑏𝑏2















xaby ±= )()( hx

abky −±=− x

bay ±= )()( hx

baky −±=−


Ejemplo 01




(𝑏𝑏 − 2)2

2−

(𝑦𝑦 − 1)2

4= 1


𝑉𝑉1�2 − √2 ; 1�, 𝑉𝑉2�2 + √2 ; 1�, 𝐹𝐹1�2 − √6 ; 1� 𝑦𝑦 𝐹𝐹2�2 + √6 ; 1�



𝑎𝑎2

𝑏𝑏2















xaby ±= )()( hx

abky −±=− x

bay ±= )()( hx

baky −±=−


Ejemplo 01




(𝑏𝑏 − 2)2

2−

(𝑦𝑦 − 1)2

4= 1


𝑉𝑉1�2 − √2 ; 1�, 𝑉𝑉2�2 + √2 ; 1�, 𝐹𝐹1�2 − √6 ; 1� 𝑦𝑦 𝐹𝐹2�2 + √6 ; 1�



𝑎𝑎2

𝑏𝑏2















xaby ±= )()( hx

abky −±=− x

bay ±= )()( hx

baky −±=−


Ejemplo 01




(𝑏𝑏 − 2)2

2−

(𝑦𝑦 − 1)2

4= 1


𝑉𝑉1�2 − √2 ; 1�, 𝑉𝑉2�2 + √2 ; 1�, 𝐹𝐹1�2 − √6 ; 1� 𝑦𝑦 𝐹𝐹2�2 + √6 ; 1�



𝑎𝑎2

𝑏𝑏2















xaby ±= )()( hx

abky −±=− x

bay ±= )()( hx

baky −±=−


Ejemplo 01




(𝑏𝑏 − 2)2

2−

(𝑦𝑦 − 1)2

4= 1


𝑉𝑉1�2 − √2 ; 1�, 𝑉𝑉2�2 + √2 ; 1�, 𝐹𝐹1�2 − √6 ; 1� 𝑦𝑦 𝐹𝐹2�2 + √6 ; 1�










Ejemplo 02

La ecuación de la hipérbola es: se pide obtener sus elementos y bos-

quejar su gráfica.

Solución:

Ejemplo 03

Hallar la ecuación de la hipérbola, dados:

Solución:

La forma buscada será:

En la que: Por lo tanto:

Nos da:

Ejemplo 04

Obtener la ecuación de la hipérbola con centro C(5 ;2), foco F(5 ;7), excentricidad

y bosquejar su gráfica

Solución:

De acuerdo con los datos del problema, la ecuación de la hipérbola es de la forma:

Entonces la ecuación de la hipérbola será:

Ejemplo 02

La ecuación de la hipérbola es: 1916

22

=−xy

se pide obtener sus elementos y

bosquejar su gráfica.

Solución:

Ejemplo 03


2𝑎𝑎 = 4 ; 𝐹𝐹1(−3 ; 0) ; 𝐹𝐹2(3 ; 0)

Solución:

La forma buscada será: 12

2

2

2

=−by

ax

En la que: 𝑎𝑎 = 2 ; 2𝑐𝑐 = 6 ⟹ 𝑐𝑐 = 3. Por lo tanto: 𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐2 − 𝑎𝑎2 = 9 − 4 = 5

Nos da:

𝑥𝑥2

4−𝑦𝑦2

5= 1

Ejemplo 04

Obtener la ecuación de la hipérbola con centro 𝐶𝐶(5 ; 2), foco 𝐹𝐹(5 ; 7), excentricidad 𝑒𝑒 = 5

3y bosquejar su gráfica

Ejemplo 02


22

=−xy



Solución:

Ejemplo 03


2𝑎𝑎 = 4 ; 𝐹𝐹1(−3 ; 0) ; 𝐹𝐹2(3 ; 0)

Solución:


2

2

2

=−by

ax


Nos da:

𝑥𝑥2

4−𝑦𝑦2

5= 1

Ejemplo 04



Ejemplo 02


22

=−xy



Solución:

Ejemplo 03


2𝑎𝑎 = 4 ; 𝐹𝐹1(−3 ; 0) ; 𝐹𝐹2(3 ; 0)

Solución:


2

2

2

=−by

ax


Nos da:

𝑥𝑥2

4−𝑦𝑦2

5= 1

Ejemplo 04



Ejemplo 02


22

=−xy



Solución:

Ejemplo 03


2𝑎𝑎 = 4 ; 𝐹𝐹1(−3 ; 0) ; 𝐹𝐹2(3 ; 0)

Solución:


2

2

2

=−by

ax


Nos da:

𝑥𝑥2

4−𝑦𝑦2

5= 1

Ejemplo 04



Ejemplo 02


22

=−xy



Solución:

Ejemplo 03


2𝑎𝑎 = 4 ; 𝐹𝐹1(−3 ; 0) ; 𝐹𝐹2(3 ; 0)

Solución:


2

2

2

=−by

ax


Nos da:

𝑥𝑥2

4−𝑦𝑦2

5= 1

Ejemplo 04



Ejemplo 02


22

=−xy



Solución:

Ejemplo 03


2𝑎𝑎 = 4 ; 𝐹𝐹1(−3 ; 0) ; 𝐹𝐹2(3 ; 0)

Solución:


2

2

2

=−by

ax


Nos da:

𝑥𝑥2

4−𝑦𝑦2

5= 1

Ejemplo 04



Ejemplo 02


22

=−xy



Solución:

Ejemplo 03


2𝑎𝑎 = 4 ; 𝐹𝐹1(−3 ; 0) ; 𝐹𝐹2(3 ; 0)

Solución:


2

2

2

=−by

ax


Nos da:

𝑥𝑥2

4−𝑦𝑦2

5= 1

Ejemplo 04



Ejemplo 02


22

=−xy



Solución:

Ejemplo 03


2𝑎𝑎 = 4 ; 𝐹𝐹1(−3 ; 0) ; 𝐹𝐹2(3 ; 0)

Solución:


2

2

2

=−by

ax


Nos da:

𝑥𝑥2

4−𝑦𝑦2

5= 1

Ejemplo 04



Solución:



𝑎𝑎2−

(𝑥𝑥 − ℎ)2

𝑏𝑏2= 1 (ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎 𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖𝑣𝑣𝑖𝑖𝑣𝑣𝑎𝑎𝑖𝑖)

El segmento: 𝑣𝑣 = 7 − 2 ⟹ 𝑣𝑣 = 5

Si: 4;16925;335 222 ==−=−==⇒== bacba

ace


(𝑦𝑦 − 2)2

9−

(𝑥𝑥 − 5)2

16= 1

Elementos:

𝐶𝐶(5 ; 2), 𝐴𝐴(5 ; 5), 𝐵𝐵(9; 2), 𝐹𝐹(5 ; 7), 𝐿𝐿 �313

; 7�

Por simetría:

𝐴𝐴´(5 ; −1), 𝐵𝐵´( 1 ; 2), 𝐹𝐹´(5 ; −3), 𝐿𝐿´ �313

; −103� , 𝑅𝑅 �−

13

; 7�,

𝑅𝑅´ �−13

; −103�

Bosquejo del gráfico:

Ecuación asíntotas:

𝑦𝑦 − 2 = ±34

(𝑥𝑥 − 5)

Ecuación eje transverso: 𝑥𝑥 = 5Ecuación eje conjugado: 𝑦𝑦 = 2

Excentricidad: 35

=e

Solución:



𝑎𝑎2−

(𝑥𝑥 − ℎ)2



Si: 4;16925;335 222 ==−=−==⇒== bacba

ace


(𝑦𝑦 − 2)2

9−

(𝑥𝑥 − 5)2

16= 1

Elementos:

𝐶𝐶(5 ; 2), 𝐴𝐴(5 ; 5), 𝐵𝐵(9; 2), 𝐹𝐹(5 ; 7), 𝐿𝐿 �313

; 7�

Por simetría:

𝐴𝐴´(5 ; −1), 𝐵𝐵´( 1 ; 2), 𝐹𝐹´(5 ; −3), 𝐿𝐿´ �313

; −103� , 𝑅𝑅 �−

13

; 7�,

𝑅𝑅´ �−13

; −103�



𝑦𝑦 − 2 = ±34

(𝑥𝑥 − 5)


Excentricidad: 35

=e


42







ModalidadVirtual

Elementos:







ACTIVIDAD N° 2: PRÁCTICA SOBRE LA HIPÉRBOLA


TEMA N° 3: ROTACIÓN DE EJES COORDENADOS

1 ROTACION DE EJES COORDENADOS PARA ELIMINAR EL TERMINO XY

Para identificar la gráfica de una ecuación general de segundo grado se utiliza la rotación de ejes coordenados.

En esta sección se estudian ecuaciones de cónicas donde sus ejes no son paralelos al eje x o al eje y.

La ecuación general de esas cónicas contienen un término xy.

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Para eliminar el término xy y escribir la ecuación como:

A´(x´)2 + C´(y´)2 + D´x´ + Eý´ + F´ = 0

Se hacer rotar los ejes un ángulo θ, donde:

Además los coeficientes de la nueva ecuación se obtienen haciendo las sustitucio-nes siguientes:

Ejemplo:

Escribiremos la ecuación xy - 1 = 0 en la forma estándar.

Solución:



𝑎𝑎2−

(𝑥𝑥 − ℎ)2



Si: 4;16925;335 222 ==−=−==⇒== bacba

ace


(𝑦𝑦 − 2)2

9−

(𝑥𝑥 − 5)2

16= 1

Elementos:

𝐶𝐶(5 ; 2), 𝐴𝐴(5 ; 5), 𝐵𝐵(9; 2), 𝐹𝐹(5 ; 7), 𝐿𝐿 �313

; 7�

Por simetría:

𝐴𝐴´(5 ; −1), 𝐵𝐵´( 1 ; 2), 𝐹𝐹´(5 ; −3), 𝐿𝐿´ �313

; −103� , 𝑅𝑅 �−

13

; 7�,

𝑅𝑅´ �−13

; −103�



𝑦𝑦 − 2 = ±34

(𝑥𝑥 − 5)


Excentricidad: 35

=e


1. ROTACION DE EJES COORDENADOS PARA ELIMINAR EL TERMINO xy

Para identificar la gráfica de una ecuación general de segundo grado se utiliza la rotación de ejes coordenados.En esta sección se estudian ecuaciones de cónicas donde sus ejes no son paralelos al eje x o al eje y.


Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0


A´(x´)2 + C´(y´)2 + D´x´ + Eý´ + F´ = 0


BCA −

=θ2cot

Además los coeficientes de la nueva ecuación se obtienen haciendo las sustituciones siguientes:

x = xćosθ - y´senθy = x´senθ + yćosθ

Ejemplo:


Solución:

Hallamos los valores de A, B y C: A=0, B=1, C=0. Remplazamos en la fórmula para hallar el ángulo de giro:

1002cot −

=−

=B

CAθ

22 πθ =

4πθ =

Luego, remplazamos en:x = xćosθ - y´senθ

x = xćosπ/4 - y´senπ/4

resolviendo tenemos: 2

´´ yxx −= ………………….…1

Asimismo en:y = x´senθ + yćosθ

y = x´senπ/4 + yćosπ/4









Solución:


Luego, remplazamos en:

resolviendo tenemos:

Asimismo en:

resolviendo tenemos:

Luego 1 y 2 reemplazamos en la ecuación inicial:

Siendo esta la ecuación en la forma estándar de una hipérbola con centro en el origen con vértices en (±√2,0), como se muestra en la gráfica siguiente:

2 CLASIFICACIÓN DE LAS CÓNICAS POR EL DISCRIMINANTE

Si hay un término xy en la ecuación de una cónica está rotada. Antes de rotar los ejes, debemos emplear el discriminante para clasificar las cónicas.

Si:

a) B2 – 4AC < 0 Se trata de una elipse o circunferencia

b) B2 – 4AC = 0 Se trata de una parábola

c) B2 – 4AC > 0 Se trata de una hipérbola





Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0


A´(x´)2 + C´(y´)2 + D´x´ + Eý´ + F´ = 0


BCA −

=θ2cot



Ejemplo:


Solución:


1002cot −

=−

=B

CAθ

22 πθ =

4πθ =




´´ yxx −= ………………….…1







Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0


A´(x´)2 + C´(y´)2 + D´x´ + Eý´ + F´ = 0


BCA −

=θ2cot



Ejemplo:


Solución:


1002cot −

=−

=B

CAθ

22 πθ =

4πθ =




´´ yxx −= ………………….…1







Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0


A´(x´)2 + C´(y´)2 + D´x´ + Eý´ + F´ = 0


BCA −

=θ2cot



Ejemplo:


Solución:


1002cot −

=−

=B

CAθ

22 πθ =

4πθ =




´´ yxx −= ………………….…1







Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0


A´(x´)2 + C´(y´)2 + D´x´ + Eý´ + F´ = 0


BCA −

=θ2cot



Ejemplo:


Solución:


1002cot −

=−

=B

CAθ

22 πθ =

4πθ =




´´ yxx −= ………………….…1




´´ yxx += …………………….2

Luego 1 y 2 reemplazamos en la ecuación inicial:xy - 1 = 0

012

´´2

´´=−

+

− yxyx

1)2(

´)()2(

´)(2

2

2

2

=−yx


2. CLASIFICACIÓN DE LAS CÓNICAS POR EL DISCRIMINANTE

Si hay un término xy en la ecuación de una cónica está rotada. Antes de rotar los ejes, debemos emplear el discriminante para clasificar las cónicas.Si:

a) B2 – 4AC < 0 Se trata de una elipse o circunferenciab) B2 – 4AC = 0 Se trata de una parábolac) B2 – 4AC > 0 Se trata de una hipérbola

Ejemplo:Utilizaremos el discriminante para clasificar la siguiente cónica:

3x2 + 7xy + 5y2 – 6x – 7y + 15 = 0Solución:Hallamos los valores de A = 3, B = 7 y C = 5. Remplazamos en la determinante:

B2 – 4AC72 – 4(3)(5)

-11Como -11 < 0, la gráfica de la ecuación es una elipse o una circunferencia.


´´ yxx += …………………….2


012

´´2

´´=−

+

− yxyx

1)2(

´)()2(

´)(2

2

2

2

=−yx







B2 – 4AC72 – 4(3)(5)



´´ yxx += …………………….2


012

´´2

´´=−

+

− yxyx

1)2(

´)()2(

´)(2

2

2

2

=−yx







B2 – 4AC72 – 4(3)(5)



44







ModalidadVirtual

Ejemplo:

Utilizaremos el discriminante para clasificar la siguiente cónica:

3x2 + 7xy + 5y2 – 6x – 7y + 15 = 0Solución:

Hallamos los valores de A = 3, B = 7 y C = 5. Remplazamos en la determinante:

Como -11 < 0, la gráfica de la ecuación es una elipse o una circunferencia.







ACTIVIDAD N° 3: PRÁCTICA SOBRE ROTACIÓN DE EJES COORDINADOS


TEMA N° 04: ECUACIONES PARAMÉTRICASLas ecuaciones paramétricas son útiles para modelar la trayectoria de un objeto. Por ejemplo, para modelar la trayectoria de una pelota de béisbol se utiliza un conjunto de ecuaciones paramétricas.

1 TRAZO DE UNA CURVA PLANA

Para iniciar el estudio veremos sobre una curva plana.

Si f y g son funciones contínuas de t en un intervalo I, el conjunto de pares ordena-dos (f(t), g(t)) es una curva plana, C. Las ecuaciones

x = f(t) y y = g(t)

Son ecuaciones paramétricas de C y t es el parámetro.

Para trazar una curva plana los pares ordenados (x,y) se determina a partir de un valor del parámetro t, tomando como base las ecuaciones paramétricas.

Ejemplo:

Trazaremos la curva dada por las ecuaciones paramétricas:

x = t2 – 4 y y =t/2,

Los valores para t es : -2≤t≤3, desde -2 hasta 3

Solución:

Asignaremos valores a t en el intervalo dado y remplazamos en las ecuaciones para-métricas, obteniendo los resultados siguientes:

Luego graficaremos estos puntos en orden creciente de t y se obtiene la curva C que se muestra a continuación. Las flechas en la curva indican su orientación, si t aumenta de -2 a 3.


´´ yxx += …………………….2


012

´´2

´´=−

+

− yxyx

1)2(

´)()2(

´)(2

2

2

2

=−yx







B2 – 4AC72 – 4(3)(5)


TEMA N° 04: ECUACIONES PARAMÉTRICAS

Las ecuaciones paramétricas son útiles para modelar la trayectoria de un objeto. Por ejemplo para modelar la trayectoria de una pelota de beisbol se utiliza un conjunto de ecuaciones paramétricas.

1. TRAZO DE UNA CURVA PLANA

Para iniciar el estudio veremos sobre una curva plana.

Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I el conjunto de pares ordenados (f(t), g(t)) es una curva plana, C. Las ecuaciones

x = f(t) y y = g(t)

Son ecuaciones paramétricas de C y t es el parámetro.

Para trazar una curva plana los pares ordenados (x,y) se determina a partir de un valor del parámetro t, tomando como base las ecuaciones paramétricas.

Ejemplo:Trazaremos la curva dada por las ecuaciones paramétricas:x = t2 – 4 y y =t/2,Los valores para t es : -2≤t≤3, desde -2 hasta 3

Solución:Asignaremos valores a t en el intervalo dado y remplazamos en las ecuaciones paramétricas, obteniendo los resultados siguientes:

Luego graficaremos estos puntos en orden creciente de t y se obtiene la curva C que se muestra a continuación. Las flechas en la curva indican su orientación, si t aumenta de -2 a 3.









2 ELIMINACIÓN DEL PARÁMETROEn el ejemplo anterior se localizaron y grafiamos puntos para trazar la curva, pero este proceso es tedioso, se puede simplificar éstos cálculos determinando una ecua-ción rectangular (en x y y) que tenga la misma gráfica. Este proceso de denomina eliminación del parámetro.

Ejemplo:

Eliminaremos el parámetro y escribiremos la ecuación rectangular correspondien-te de las ecuaciones paramétricas:

x = 3t – 3y = 2t + 1

Solución:

Sea:

x = 3t – 3…….(1)y = 2t + 1………(2)

Despejamos de la ecuación (1) t:

Y remplazamos en la ecuación (2) tenemos:

Y la ecuación rectangular es: 2x – 3y + 9 = 0Diagrama Objetivos Inicio






ACTIVIDAD N° 4: PRÁCTICA SOBRE ECUACIONES PARAMÉTRICAS








BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD II


México.

Haeussler, R. Paul (2010). Matemática para Administración y Economía (8va. ed.).

México, pág. 1100.


México: Editorial Pearson educación, Biblioteca UCCI: 512.13 D56.

Peterson, J. (2001). Matemáticas básicas: Algebra, trigonometría y geometría analítica (3ra. ed.).

México: Editorial CECSA.

2. ELIMINACIÓN DEL PARÁMETRO

En el ejemplo anterior se localizaron y grafiamos puntos para trazar la curva, pero este proceso es tedioso, se puede simplificar éstos cálculos determinando una ecuación rectangular (en x y y) que tenga la misma gráfica. Este proceso de denomina eliminación del parámetro.

Ejemplo:

Eliminaremos el parámetro y escribiremos la ecuación rectangular correspondiente de las ecuaciones paramétricas:

x = 3t – 3y = 2t + 1

Solución:

Sea:

x = 3t – 3…….(1)y = 2t + 1………(2)


33+

=xt


13

)3(2+

+=

xy

Y la ecuación rectangular es:2x – 3y + 9 = 0



Ejemplo:


x = 3t – 3y = 2t + 1

Solución:

Sea:

x = 3t – 3…….(1)y = 2t + 1………(2)


33+

=xt


13

)3(2+

+=

xy




Ejemplo:


x = 3t – 3y = 2t + 1

Solución:

Sea:

x = 3t – 3…….(1)y = 2t + 1………(2)


33+

=xt


13

)3(2+

+=

xy



46







ModalidadVirtual



Larner, J., C. Arya, Robin, W. (1992). Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía (3ra. ed.).

Mexico: Editorial Prentice Hall. Biblioteca UCCI: 519 - A78.

Lehmann, (1998). Geometría Análitica.

Mexico: Limusa Noriega Editores. Biblioteca UCCI: 516.3 - L41.

Figueroa, R. (2006). Geometría Análitica (7ma. ed.).

Lima: Ediciones RFG. Biblioteca UCCI: 516.3 - F49.


Lima: Editorial America, pág. 571. Biblioteca UCCI: 512.9434 - F49.







AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD II

1. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto y tiene una excentri-cidad de

2. Los puntos (3 ;0) y (-3 ;0) son los focos de una elipse y la longitud de cualquiera de sus lados rectos es 9. Hallar la ecuación de la elipse.

3. Una elipse está centrada en el origen y su eje mayor coincide con el eje x. Hallar su ecuación sabiendo que pasa por los puntos (√6 ; -1) y (2 ; √2)

4. El centro de una elipse es el punto (2 ; -4), el vértice y el foco de un mismo lado del centro son los puntos (-2 ; -4) y (-1 ; -4) respectivamente. Hallar la ecuación de la elipse, su excentricidad, la longitud de su eje menor y la de cada lado recto,

5. Dada la elipse: x2+4y2-6x+16y+21=0, determine: la ecuación canónica, su centro de simetría, vértices, focos, longitudes de sus ejes mayor y menor, longitud de su lado recto y excentricidad.

6. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos (3 ; -2) y (7:6), tiene su centro en el origen y el eje transverso coincide con el eje x

7. Los vértices de una hipérbola son los puntos (2 ;0) y (-2 ;0) si sus focos son (3 ;0) y (-3 ;0). Hallar su ecuación y su excentricidad.

8. Dada la hipérbola 25x2-36y2=900 Determine: los focos, sus asíntotas y el área del triangulo determinado por las asíntotas y la tangente en el vértice V( 6 ;0)

9. Dada la hipérbola: x2-4y2-6x+16y+21=0, determine: Su ecuación canónica, su centro de simetría, vértices, focos, asíntotas, longitud de su lado recto y excentricidad.

10. Gire los ejes para eliminar el término xy en las ecuaciones. Después escriba la ecua-ción en la forma estándar y trace la gráfica de la ecuación resultante.

x2 – 2xy + y2 – 1 = 011. Utilice el discriminante para clasificar las ecuación:

12x2 – 6xy + 7y2 – 45 = 012. Trace la curva representada por las ecuaciones paramétricas. Elimine el parámetro

y escriba la ecuación rectangular correspondiente cuya grafica representa la curva.

ACTIVIDAD N° 04:Trace la curva representada por las ecuaciones paramétricas. Elimine el parámetro y escriba la ecuación rectangular correspondiente cuya gráfica representa la curva.

1. x = 3t – 3y = 2t+1

2. x = 3 – 2ty = 2 + 3t

3. x = ty = t3

4. x = t + 2y = t2

5. x = t - 1y = 𝑡𝑡

𝑡𝑡−1

AUTOEVALUACIÓN N° 21. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto �1 ; 3

2√3� y tiene una

excentricidad de 2√5

2. Los puntos (3 ; 0) 𝑦𝑦 (−3 ; 0) son los focos de una elipse y la longitud de cualquiera de sus lados rectos es 9. Hallar la ecuación de la elipse.

3. Una elipse está centrada en el origen y su eje mayor coincide con el eje x. Hallar su ecuación sabiendo que pasa por los puntos �√6 ; −1� 𝑦𝑦 �2 ; √2�

4. El centro de una elipse es el punto (2 ; −4), el vértice y el foco de un mismo lado del centro son los puntos (−2 ; −4) 𝑦𝑦 (−1 ; −4) respectivamente. Hallar la ecuación de la elipse, su excentricidad, la longitud de su eje menor y la de cada lado recto,

5. Dada la elipse: 𝑥𝑥2 + 4𝑦𝑦2 − 6𝑥𝑥 + 16𝑦𝑦 + 21 = 0, determine: la ecuación canónica, su centro de simetría, vértices, focos, longitudes de sus ejes mayor y menor, longitud de su lado recto y excentricidad.

6. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos (3 ; −2) 𝑦𝑦 (7 ∶ 6), tiene su centro en el origen y el eje transverso coincide con el eje x

7. Los vértices de una hipérbola son los puntos (2 ; 0) 𝑦𝑦 (−2 ; 0) si sus focos son (3 ; 0) 𝑦𝑦 (−3 ; 0). Hallar su ecuación y su excentricidad.

8. Dada la hipérbola 25𝑥𝑥2 − 36𝑦𝑦2 = 900 Determine: los focos, sus asíntotas y el área del triangulo determinado por las asíntotas y la tangente en el vértice 𝑉𝑉( 6 ; 0)

9. Dada la hipérbola: 𝑥𝑥2 − 4𝑦𝑦2 − 6𝑥𝑥 + 16𝑦𝑦 + 21 = 0, determine: Su ecuación canónica, su centro de simetría, vértices, focos, asíntotas, longitud de su lado recto y excentricidad.

10.Gire los ejes para eliminar el término xy en las ecuaciones. Después escriba la ecuación en la forma estándar y trace la gráfica de la ecuación resultante.x2 – 2xy + y2 – 1 = 0

11.Utilice el discriminante para clasificar las ecuación:12x2 – 6xy + 7y2 – 45 = 0

12. Trace la curva representada por las ecuaciones paramétricas. Elimine el parámetro y escriba la ecuación rectangular correspondiente cuya grafica representa la curva.

x = t + 1y = 𝑡𝑡

𝑡𝑡+1


1. x = 3t – 3y = 2t+1

2. x = 3 – 2ty = 2 + 3t

3. x = ty = t3

4. x = t + 2y = t2

5. x = t - 1y = 𝑡𝑡

𝑡𝑡−1















x = t + 1y = 𝑡𝑡

𝑡𝑡+1


1. x = 3t – 3y = 2t+1

2. x = 3 – 2ty = 2 + 3t

3. x = ty = t3

4. x = t + 2y = t2

5. x = t - 1y = 𝑡𝑡

𝑡𝑡−1















x = t + 1y = 𝑡𝑡

𝑡𝑡+1















UNIDAD III: COORDENADAS POLARES Y MATRICES







DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD III









Tema N° 01: Coordenadas polares

1. Definición

2. Sistema de coordenadas polares

3. Conversión de coorde-nadas y ecuaciones

4. Resolución de ejercicios

Tema N° 02: Matrices

1. Definición y orden de una matriz.

2. Clases de matrices.

3. Operaciones con matri-ces.

4. Aplicación de matrices.

Tema N° 03: Inversa de una matriz cuadrada

1. Definición de matrices inversas

2. Inversa de matrices


1. Traza puntos en el sistema de coordenadas polares.

2. Convierte puntos de la forma rectangular a la polar y viceversa.

3. Convierte ecuaciones de forma rectangular a po-lar y viceversa.

4. Reconoce y diferencia las relaciones entre dos o más matrices.

5. Efectúa operaciones con matrices aplicando las propiedades y teoremas.

6. Aplica la matriz en la solución de ejercicios y problemas.

7. Determina la inversa de matrices utilizando el método de cofactores.

8. Resuelve inversa de ma-trices de orden 2x2 y 3x3.

Actividad N° 1: Práctica de coordenadas polares

Actividad N° 2: Práctica de matrices

Actividad N° 3: Práctica de inversa de una matriz cua-drada

Control de Lectura N° 02

(cuestionario)



CONTENIDOS

AUTOEVALUACIÓN

EJEMPLOS

BIBLIOGRAFÍA

ACTIVIDADES

48







ModalidadVirtual

TEMA N° 1: COORDENADAS POLARESEn nuestro estudio de propiedades geométricas por métodos analíticos, hemos utiliza-do un solo sistema de coordenadas. Ahora vamos a introducir y emplear otro sistema conocido como sistema de coordenadas polares. En vista de la utilidad demostrada del sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, el lector puede pensar que no hay ne-cesidad de considerar otro sistema. Pero veremos, sin embargo, que para ciertas curvas y tipos de lugares geométricos el uso de coordenadas polares presenta algunas ventajas sobre las coordenadas rectangulares.

1 DEFINICIÓN

Es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia

2 SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

En el sistema de las coordenadas polares se necesita un ángulo θ y una distancia r. Para medir el ángulo necesitamos los siguientes elementos de referencia: un punto fijo llamado polo y denotado con la letra O y una semirrecta dirigida que parte del origen, llamada rayo inicial (eje polar), como se muestra en la figura:

A la distancia dirigida del polo al punto P(r, θ) se le llama radio vector del punto y al ángulo θ ángulo polar, o bien argumento.

Sería suficiente, para denotar al punto de esta manera, mencionar el valor de r y el valor de θ. Esto se lo va a hacer indicando el par ordenado (r ; θ), en este caso se dice que son las coordenadas polares del punto. Observe la gráfica:

3 CONVERSIÓN DE COORDENADAS Y ECUACIONES

Para establecer la relación entre las coordenadas polares y las rectangulares, haga-mos coincidir el eje polar con el semieje x positivo y el polo con el origen, puesto que (x, y) está sobre una circunferencia de radio r:

UNIDAD III: “COORDENADAS POLARES Y MATRICES”

TEMA N° 01: COORDENADAS POLARES

En nuestro estudio de propiedades geométricas por métodos analíticos, hemosutilizado un solo sistema de coordenadas. Ahora vamos a introducir y emplear otro sistema conocido como sistema de coordenadas polares. En vista de la utilidaddemostrada del sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, el lector puede pensar que no hay necesidad de considerar otro sistema. Pero veremos, sin embargo, que para ciertas curvas y tipos de lugares geométricos el uso de coordenadas polares presenta algunas ventajas sobre las coordenadas rectangulares.

1. DEFINICION


2. SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

En el sistema de las coordenadas polares se necesita un ángulo θ y una distanciar. Para medir el ángulo necesitamos los siguientes elementos de referencia: unpunto fijo llamado polo y denotado con la letra O y una semirrecta dirigida queparte del origen, llamada rayo inicial (eje polar), como se muestra en la figura:

A la distancia dirigida del polo al punto P(r, θ) se le llama radio vector del puntoy al ángulo 𝜃𝜃 ángulo polar, o bien argumento.

Sería suficiente, para denotar al punto de esta manera, mencionar el valor der y el valor de θ. Esto se lo va a hacer indicando el par ordenado (𝑟𝑟 ; 𝜃𝜃), en este caso se dice que son las coordenadas polares del punto. Observe la grafica:

UNIDAD III: “COORDENADAS POLARES Y MATRICES”

TEMA N° 01: COORDENADAS POLARES

En nuestro estudio de propiedades geométricas por métodos analíticos, hemosutilizado un solo sistema de coordenadas. Ahora vamos a introducir y emplear otro sistema conocido como sistema de coordenadas polares. En vista de la utilidaddemostrada del sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, el lector puede pensar que no hay necesidad de considerar otro sistema. Pero veremos, sin embargo, que para ciertas curvas y tipos de lugares geométricos el uso de coordenadas polares presenta algunas ventajas sobre las coordenadas rectangulares.

1. DEFINICION


2. SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

En el sistema de las coordenadas polares se necesita un ángulo θ y una distanciar. Para medir el ángulo necesitamos los siguientes elementos de referencia: unpunto fijo llamado polo y denotado con la letra O y una semirrecta dirigida queparte del origen, llamada rayo inicial (eje polar), como se muestra en la figura:

A la distancia dirigida del polo al punto P(r, θ) se le llama radio vector del puntoy al ángulo 𝜃𝜃 ángulo polar, o bien argumento.

Sería suficiente, para denotar al punto de esta manera, mencionar el valor der y el valor de θ. Esto se lo va a hacer indicando el par ordenado (𝑟𝑟 ; 𝜃𝜃), en este caso se dice que son las coordenadas polares del punto. Observe la grafica:

3. CONVERSIÓN DE COORDENADAS Y ECUACIONES

Para establecer la relación entre las coordenadas polares y las rectangulares, hagamos coincidir el eje polar con el semieje x positivo y el polo con el origen, puesto que (x, y) está sobre una circunferencia de radio r:

Se deducen las siguientes transformaciones:

a) De rectangulares a polares:

𝑟𝑟 = �𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2

𝜃𝜃 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑦𝑦𝑥𝑥

b) De polares a rectangulares:

𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃

𝑦𝑦 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃

Una utilidad de lo anterior la observamos ahora:

Ejemplo:

Encuentre las coordenadas polares del punto 𝑃𝑃(1 , 1)

Solución: Representando el punto en el plano cartesiano, tenemos:

( 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ) ( 𝑟𝑟,𝜃𝜃 )

UNIDAD III: COORDENADAS POLARES Y MATRICES UNIDAD III: COORDENADAS POLARES Y MATRICES












Ejemplo:

Encuentre las coordenadas polares del punto P(1 ,1)

Solución:

Representando el punto en el plano cartesiano, tenemos:

Utilizando las transformaciones respectivas obtenemos directamente:

Luego, el punto en coordenadas polares será:

Además se podría utilizar otras equivalencias polares:

Para representar un punto en el plano, conociendo sus coordenadas polares, no es necesario hallar sus coordenadas rectangulares; se lo puede hacer directamente. Este trabajo puede ser muy sencillo si se dispone de un plano que tenga como refe-rencia ángulos y magnitudes.

Un plano con estas características se le llama sistema polar o plano polar. Consiste de circunferencias concéntricas al origen y rectas concurrentes al origen con dife-rentes ángulos de inclinación.

Al eje horizontal se le llama “eje polar”, al eje vertical se le llama “Eje ”. El punto de intersección entre estos dos ejes se llama “Polo”. Que a continuación se puede observar en la siguiente gráfica:











Ejemplo:














Ejemplo:














Ejemplo:





𝑟𝑟 = �12 + 12 = √2

𝜃𝜃 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎11

= 45° =𝜋𝜋4

Luego, el punto en coordenadas polares será: 𝑃𝑃 �√2; 𝜋𝜋4�


�√2, 𝜋𝜋4� = �√2,−7 𝜋𝜋

4� = �−√2, 5 𝜋𝜋

4� = �−√2,−3 𝜋𝜋

4� (Analícelas)

Para representar un punto en el plano, conociendo sus coordenadas polares, no es necesario hallar sus coordenadas rectangulares; se lo puede hacer directamente. Este trabajo puede ser muy sencillo si se dispone de un plano que tenga como referencia ángulos y magnitudes.

Un plano con estas características se le llama Sistema Polar o Plano Polar. Consiste de circunferencias concéntricas al origen y rectas concurrentes al origen con diferentes ángulos de inclinación.

Al eje horizontal se le llama “Eje Polar”, al eje vertical se le llama “Eje 𝝅𝝅𝟐𝟐”. El

punto de intersección entre estos dos ejes se llama “Polo”. Que a continuación se puede observar en la siguiente grafica:

Gráfica: Sistema Polar o Plano Polar o Roseta Polar


𝑟𝑟 = �12 + 12 = √2


= 45° =𝜋𝜋4



�√2, 𝜋𝜋4� = �√2,−7 𝜋𝜋

4� = �−√2, 5 𝜋𝜋

4� = �−√2,−3 𝜋𝜋

4� (Analícelas)







𝑟𝑟 = �12 + 12 = √2


= 45° =𝜋𝜋4



�√2, 𝜋𝜋4� = �√2,−7 𝜋𝜋

4� = �−√2, 5 𝜋𝜋

4� = �−√2,−3 𝜋𝜋

4� (Analícelas)







𝑟𝑟 = �12 + 12 = √2


= 45° =𝜋𝜋4



�√2, 𝜋𝜋4� = �√2,−7 𝜋𝜋

4� = �−√2, 5 𝜋𝜋

4� = �−√2,−3 𝜋𝜋

4� (Analícelas)







50







ModalidadVirtual

Gráfica: Sistema polar o plano polar o roseta polar

4 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS

Ejemplo 01

Las coordenadas polares de un punto son r = 5.5 m y θ = 240°. ¿Cuáles son las coor-denadas cartesianas de este punto?

Solución:

Utilizando la siguiente relación: x=rcosθ ⇒ x=(5.5)cos240 ⇒ x=-2.75

De igual modo para: y=rsenθ ⇒ y=(5.5)sen240 ⇒ y=-4.76

Entonces las coordenadas cartesianas de este punto será: P(-2.75 ; -4.76)

En forma gráfica se puede representar:

Ejemplo 02

Las coordenadas cartesianas de un punto del plano xy son (x,y)=(-3.25,-2.5) m, como se ve en la figura. Hallese las coordenadas polares de este punto


𝑟𝑟 = �12 + 12 = √2


= 45° =𝜋𝜋4



�√2, 𝜋𝜋4� = �√2,−7 𝜋𝜋

4� = �−√2, 5 𝜋𝜋

4� = �−√2,−3 𝜋𝜋

4� (Analícelas)






4. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS

Ejemplo 01

Las coordenadas polares de un punto son r = 5.5 m y θ = 240°. ¿Cuáles son las coordenadas cartesianas de este punto?

Solución:

Utilizando la siguiente relación: 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ⟹ 𝑥𝑥 = (5.5)𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟240 ⟹ 𝑥𝑥 = −2.75

De igual modo para: 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ⟹ 𝑦𝑦 = (5.5)𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟240 ⟹ 𝑦𝑦 = −4.76

Entonces las coordenadas cartesianas de este punto será: 𝑃𝑃(−2.75 ; −4.76)

En forma grafica se puede representar:

Ejemplo 02

Las coordenadas cartesianas de un punto del plano xy son (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = (−3.25,−2.5) m, como se ve en la figura. Hallese las coordenadas polares de este punto

Solución:

Sabemos que: 𝑟𝑟 = �𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 luego reemplazando los valores dados, tenemos:

𝑟𝑟 = �(−3.5)2 + (−2.5)2 ⟹ 𝑟𝑟 = √12.25 + 6.25 ⟹ 𝑟𝑟 = 4.3

De igual modo calculamos 𝑟𝑟:

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 =𝑦𝑦𝑥𝑥

=−2.5−3.5

= 0.714 ⟹ 𝑡𝑡 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡0.174 ⟹ 𝑡𝑡 = 35.52

Finalmente calculamos 𝑟𝑟: 𝑟𝑟 = 180 + 𝑡𝑡 ⟹ 𝑟𝑟 = 180 + 35.52 ⟹ 𝑟𝑟 = 215.52°Las coordenadas polares de este punto será: 𝑃𝑃(4.3 ; 215.52°)


Ejemplo 01


Solución:





Ejemplo 02


Solución:


𝑟𝑟 = �(−3.5)2 + (−2.5)2 ⟹ 𝑟𝑟 = √12.25 + 6.25 ⟹ 𝑟𝑟 = 4.3



=−2.5−3.5

= 0.714 ⟹ 𝑡𝑡 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡0.174 ⟹ 𝑡𝑡 = 35.52










Solución:

Sabemos que: luego reemplazando los valores dados, tenemos:

De igual modo calculamos θ:

Finalmente calculamos θ: θ=180+β ⇒ θ=180+35.52 ⇒ θ=215.52°Las coordenadas polares de este punto será: P(4.3 ;215.52°)

Ejemplo 03

Dada la ecuación: 2x-3y=5 ; expresarla en coordenadas polares

Solución:

Sabemos que: x=rcosθ e y=rsenθ

Reemplazándolas tendremos: 2(rcosθ)-3(rsenθ)=5 r(2cosθ-3senθ)=5

Expresado en coordenadas polares será:

Ejemplo 04

Pasar la ecuación polar: r=4senθ a coordenadas cartesianas.

Solución:

Sabemos que: también:

Sustituyendo en la ecuación inicial tendremos:

Operando obtenemos: x2+y2=4y (ecuación que representa una circunferencia)

Ejemplo 05

Una mosca se para en la pared de un cuarto. La esquina inferior izquierda de la pared se selecciona como el origen de un sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones. Si la mosca está parada en el punto que tiene coordenadas (2, 1) (a) ¿Qué tan lejos está de la esquina del cuarto? (b) ¿Cuál es su posición?

Solución:

Interpretamos en forma gráfica el problema:


Ejemplo 01


Solución:





Ejemplo 02


Solución:


𝑟𝑟 = �(−3.5)2 + (−2.5)2 ⟹ 𝑟𝑟 = √12.25 + 6.25 ⟹ 𝑟𝑟 = 4.3



=−2.5−3.5

= 0.714 ⟹ 𝑡𝑡 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡0.174 ⟹ 𝑡𝑡 = 35.52



Ejemplo 01


Solución:





Ejemplo 02

Las coordenadas cartesianas de un punto del plano xy son (𝑥𝑥,𝑦𝑦) = (−3.25,−2.5) m, como se ve en la figura. Hallese las coordenadas polares de este punto

Solución:


𝑟𝑟 = �(−3.5)2 + (−2.5)2 ⟹ 𝑟𝑟 = √12.25 + 6.25 ⟹ 𝑟𝑟 = 4.3



=−2.5−3.5

= 0.714 ⟹ 𝑡𝑡 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡0.174 ⟹ 𝑡𝑡 = 35.52



Ejemplo 01


Solución:





Ejemplo 02

Las coordenadas cartesianas de un punto del plano xy son (𝑥𝑥,𝑦𝑦) = (−3.25,−2.5) m, como se ve en la figura. Hallese las coordenadas polares de este punto

Solución:


𝑟𝑟 = �(−3.5)2 + (−2.5)2 ⟹ 𝑟𝑟 = √12.25 + 6.25 ⟹ 𝑟𝑟 = 4.3



=−2.5−3.5

= 0.714 ⟹ 𝑡𝑡 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡0.174 ⟹ 𝑡𝑡 = 35.52


Ejemplo 03

Dada la ecuación: 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 5 ; expresarla en coordenadas polares

Solución:

Sabemos que: 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟

Reemplazándolas tendremos: 2(𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟) − 3(𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟) = 5

𝑟𝑟(2𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 − 3𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟) = 5


𝑟𝑟 =5

(2𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 − 3𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟)

Ejemplo 04

Pasar la ecuación polar: 𝑟𝑟 = 4𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟 a coordenadas cartesianas.

Solución:

Sabemos que: 𝑟𝑟 = �𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 también: 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟 → 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑦𝑦𝑟𝑟

𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟 =𝑦𝑦

�𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2


�𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 4.𝑦𝑦


��𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2� ��𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2� = 4𝑦𝑦

Operando obtenemos: 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 4𝑦𝑦 (ecuación que representa una circunferencia)

Ejemplo 05

Una mosca se para en la pared de un cuarto. La esquina inferior izquierda de la pared se selecciona como el origen de un sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones. Si la mosca está parada en el punto que tiene coordenadas (2 ; 1) m. (a) ¿Qué tan lejos está de la esquina del cuarto? (b) ¿Cuál es su posición?

Solución:


Ejemplo 03


Solución:





𝑟𝑟 =5


Ejemplo 04


Solución:





�𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 4.𝑦𝑦


��𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2� ��𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2� = 4𝑦𝑦


Ejemplo 05


Solución:


Ejemplo 03


Solución:





𝑟𝑟 =5


Ejemplo 04


Solución:





�𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 4.𝑦𝑦


��𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2� ��𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2� = 4𝑦𝑦


Ejemplo 05


Solución:


Ejemplo 03


Solución:





𝑟𝑟 =5


Ejemplo 04


Solución:





�𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 4.𝑦𝑦


��𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2� ��𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2� = 4𝑦𝑦


Ejemplo 05


Solución:


Ejemplo 03


Solución:





𝑟𝑟 =5


Ejemplo 04


Solución:





�𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 4.𝑦𝑦


��𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2� ��𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2� = 4𝑦𝑦


Ejemplo 05


Solución:


• Para hallar que tan lejos esta de la esquina del cuarto, solo bastara hallar “r”, sabemos que:

𝑟𝑟 = �𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2Luego:

𝑟𝑟 = �(2)2 + (1)2 ⟹ 𝑟𝑟 = √4 + 1 ⟹ 𝑟𝑟 = √5 ⟹ 𝑟𝑟 = 2.23

Rpta: Está a unos 2.23 mts

• Sabemos que : 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑦𝑦𝑥𝑥⟹ 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 1

2⟹ 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 0.5

𝑡𝑡 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡0.5 ⟹ 𝑡𝑡 = 26.56°

Su posición será: 𝑃𝑃(2.23 ; 26.56°)

ACTIVIDAD N° 1

1. Expresar las coordenadas del punto (−2 ;−2) en polares

2. Expresar las coordenadas del punto (6; 120°)en coordenadas rectangulares

3. Escribir la ecuación: 𝑟𝑟(1 − 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡) = 1 a coordenadas rectangulares

4. Pasar la ecuación: 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 0 a coordenadas polares

5. Hallar la distancia entre los puntos 𝑃𝑃(6; 15°) 𝑦𝑦 𝑄𝑄(8; 75°)


52







ModalidadVirtual

• Para hallar que tan lejos está de la esquina del cuarto, solo bastará hallar “r”, sabemos que:

• Sabemos que :

Su posición será: P(2.23 ;26.56°)







ACTIVIDAD N° 1: PRÁCTICA DE COORDENADAS POLARES


TEMA N° 2: MATRICES1 DEFINICIÓN Y ORDEN DE UNA MATRIZ

Una matriz es una ordenación rectangular de elementos en filas y columnas ence-rrados entre paréntesis, del modo:

Las matrices se nombran con letras mayúsculas A, B, C, …. y sus elementos con minúsculas con dos subíndices ai j , que indican: el primero de ellos "i" la fila en que se encuentra el elemento, el segundo, "j" , la columna. Así el elemento a36 está en la fila 3 y columna 6.

Abreviadamente una matriz se puede representar como:

Una matriz de "n" filas y "m" columnas se dice que es una matriz de orden nxm y se representa por Anxm siendo "n" el n° de filas y "m" el n° de columnas.

Definimos dimensión de una matriz como el número nxm de elementos que tiene; bien claro que, no será una matriz nxm que una matriz mxn , aunque tengan igual dimensión, por ejemplo:



𝑟𝑟 = �(2)2 + (1)2 ⟹ 𝑟𝑟 = √4 + 1 ⟹ 𝑟𝑟 = √5 ⟹ 𝑟𝑟 = 2.23






ACTIVIDAD N° 1








𝑟𝑟 = �(2)2 + (1)2 ⟹ 𝑟𝑟 = √4 + 1 ⟹ 𝑟𝑟 = √5 ⟹ 𝑟𝑟 = 2.23






ACTIVIDAD N° 1






TEMA N° 02: MATRICES

1. DEFINICIÓN Y ORDEN DE UNA MATRIZ:

Una matriz es una ordenación rectangular de elementos en filas y columnas encerrados entre paréntesis, del modo:

Las matrices se nombran con letras mayúsculas A, B, C, …. y sus elementos con minúsculas con dos subíndices 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 , que indican: el primero de ellos "𝑖𝑖" la fila en que se encuentra el elemento, el segundo, "𝑗𝑗" , la columna. Así el elemento 𝑎𝑎36 está en la fila 3 y columna 6.


𝐴𝐴 = �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖�

𝐴𝐴 = �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖� = �

𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 … 𝑎𝑎1𝑚𝑚𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 … 𝑎𝑎2𝑚𝑚… … … …𝑎𝑎𝑛𝑛1 𝑎𝑎𝑛𝑛2 … 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑚𝑚

� ←←←←

� 𝐹𝐹𝑖𝑖𝐹𝐹𝑎𝑎𝐹𝐹 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐹𝐹𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑖𝑖𝑚𝑚 𝐴𝐴

↓ ↓ ↓ ↓ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐹𝐹𝐶𝐶𝑚𝑚𝑛𝑛𝑎𝑎𝐹𝐹 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐹𝐹𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑖𝑖𝑚𝑚 𝐴𝐴

Una matriz de "𝑛𝑛" filas y "𝑚𝑚" columnas se dice que es una matriz de orden 𝒏𝒏x𝒎𝒎y se representa por 𝐴𝐴𝑛𝑛𝑛𝑛𝑚𝑚 siendo "𝑛𝑛" el n° de filas y "𝑚𝑚" el n° de columnas.

Definimos dimensión de una matriz como el número 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑚𝑚 de elementos que tiene; bien claro que, no será una matriz 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑚𝑚 que una matriz 𝑚𝑚𝑛𝑛𝑛𝑛 , aunque tengan igual dimensión, por ejemplo:









� ←←←←













� ←←←←













� ←←←←













2 CLASES DE MATRICES

Atendiendo al orden de una matriz, podemos definir:

a) Matriz cuadrada, matriz que verifica n=m en este caso se escribe An o Anxm y se dice que es una matriz de orden n. Ejemplos

b) Matriz rectangular, matriz en la que n≠m

CASOS NOTABLES:

a) Matriz fila, es una matriz de orden (1xm) A1x4=[ 2 4 8 1 ]

b) Matriz columna, es una matriz de orden (nx1)

c) Matriz nula, es una matriz que tiene todos los elementos cero

d) Matriz diagonal es aquella matriz cuadrada cuyos elementos no diagonales son todos nulos. Es decir: aij=0 si i≠j. Ejemplo:

e) Matriz escalar es aquella matriz diagonal cuyos elementos diagonales son todos iguales. Ejemplo:

f) Matriz unidad o Identidad de orden n a aquella matriz escalar cuyos elementos diagonales son todos unos. Es decir,

g) Matriz Triangular Superior (Inferior) a aquella matriz cuadrada cuyos elemen-tos situados por debajo (encima) de su diagonal principal son todos nulos. Ejemplos:

Triangular superior: aij=0 si i>j Triangular inferior: aij=0 si i>j

2. CLASES DE MATRICES


a) Matriz cuadrada, matriz que verifica 𝒏𝒏 = 𝒎𝒎 en este caso se escribe 𝑨𝑨𝒏𝒏 𝒐𝒐 𝑨𝑨𝒏𝒏𝒏𝒏𝒎𝒎 y se dice que es una matriz de orden 𝑛𝑛. Ejemplos

𝐴𝐴2 = � 2 61 3 � 𝐴𝐴3 = �

1 5 93 2 74 6 9

�

b) Matriz rectangular, matriz en la que 𝒏𝒏 ≠ 𝒎𝒎

𝐴𝐴2𝑥𝑥3 = � 1 −4 0−3 2 0 � 𝐴𝐴4𝑥𝑥3 = �

1 5 60 7 43 8 01 3 2

�

Casos notables:

− Matriz fila, es una matriz de orden (𝟏𝟏𝒏𝒏𝒎𝒎)

𝐴𝐴1𝑥𝑥4 = [ 2 4 8 1 ]

− Matriz columna, es una matriz de orden (𝒏𝒏𝒏𝒏𝟏𝟏)

𝐴𝐴3𝑥𝑥1 = � 2 5−4

�


𝐴𝐴 = �0 00 0� B=�

0 00 00 0

� 𝑂𝑂 = � 0 0 00 0 00 0 0

�

d) Matriz diagonal es aquella matriz cuadrada cuyos elementos no diagonales son todos nulos. Es decir: 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ≠ 𝑗𝑗. Ejemplo:

𝐴𝐴 = �

2 0 0 00 4 0 00 0 −3 00 0 0 12

�


𝐴𝐴 = �

2 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 2

�




𝐴𝐴2 = � 2 61 3 � 𝐴𝐴3 = �

1 5 93 2 74 6 9

�


𝐴𝐴2𝑥𝑥3 = � 1 −4 0−3 2 0 � 𝐴𝐴4𝑥𝑥3 = �

1 5 60 7 43 8 01 3 2

�

Casos notables:


𝐴𝐴1𝑥𝑥4 = [ 2 4 8 1 ]


𝐴𝐴3𝑥𝑥1 = � 2 5−4

�


𝐴𝐴 = �0 00 0� B=�

0 00 00 0

� 𝑂𝑂 = � 0 0 00 0 00 0 0

�


𝐴𝐴 = �

2 0 0 00 4 0 00 0 −3 00 0 0 12

�


𝐴𝐴 = �

2 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 2

�




𝐴𝐴2 = � 2 61 3 � 𝐴𝐴3 = �

1 5 93 2 74 6 9

�


𝐴𝐴2𝑥𝑥3 = � 1 −4 0−3 2 0 � 𝐴𝐴4𝑥𝑥3 = �

1 5 60 7 43 8 01 3 2

�

Casos notables:


𝐴𝐴1𝑥𝑥4 = [ 2 4 8 1 ]


𝐴𝐴3𝑥𝑥1 = � 2 5−4

�


𝐴𝐴 = �0 00 0� B=�

0 00 00 0

� 𝑂𝑂 = � 0 0 00 0 00 0 0

�


𝐴𝐴 = �

2 0 0 00 4 0 00 0 −3 00 0 0 12

�


𝐴𝐴 = �

2 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 2

�




𝐴𝐴2 = � 2 61 3 � 𝐴𝐴3 = �

1 5 93 2 74 6 9

�


𝐴𝐴2𝑥𝑥3 = � 1 −4 0−3 2 0 � 𝐴𝐴4𝑥𝑥3 = �

1 5 60 7 43 8 01 3 2

�

Casos notables:


𝐴𝐴1𝑥𝑥4 = [ 2 4 8 1 ]


𝐴𝐴3𝑥𝑥1 = � 2 5−4

�


𝐴𝐴 = �0 00 0� B=�

0 00 00 0

� 𝑂𝑂 = � 0 0 00 0 00 0 0

�


𝐴𝐴 = �

2 0 0 00 4 0 00 0 −3 00 0 0 12

�


𝐴𝐴 = �

2 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 2

�




𝐴𝐴2 = � 2 61 3 � 𝐴𝐴3 = �

1 5 93 2 74 6 9

�


𝐴𝐴2𝑥𝑥3 = � 1 −4 0−3 2 0 � 𝐴𝐴4𝑥𝑥3 = �

1 5 60 7 43 8 01 3 2

�

Casos notables:


𝐴𝐴1𝑥𝑥4 = [ 2 4 8 1 ]


𝐴𝐴3𝑥𝑥1 = � 2 5−4

�


𝐴𝐴 = �0 00 0� B=�

0 00 00 0

� 𝑂𝑂 = � 0 0 00 0 00 0 0

�


𝐴𝐴 = �

2 0 0 00 4 0 00 0 −3 00 0 0 12

�


𝐴𝐴 = �

2 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 2

�




𝐴𝐴2 = � 2 61 3 � 𝐴𝐴3 = �

1 5 93 2 74 6 9

�


𝐴𝐴2𝑥𝑥3 = � 1 −4 0−3 2 0 � 𝐴𝐴4𝑥𝑥3 = �

1 5 60 7 43 8 01 3 2

�

Casos notables:


𝐴𝐴1𝑥𝑥4 = [ 2 4 8 1 ]


𝐴𝐴3𝑥𝑥1 = � 2 5−4

�


𝐴𝐴 = �0 00 0� B=�

0 00 00 0

� 𝑂𝑂 = � 0 0 00 0 00 0 0

�


𝐴𝐴 = �

2 0 0 00 4 0 00 0 −3 00 0 0 12

�


𝐴𝐴 = �

2 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 2

�f) Matriz unidad o Identidad de orden n a aquella matriz escalar

cuyos elementos diagonales son todos unos. Es decir,

𝐴𝐴 = �

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

�

g) Matriz Triangular Superior (Inferior) a aquella matriz cuadrada cuyos elementos situados por debajo (encima) de su diagonal principal son todos nulos. Ejemplos:

𝐴𝐴 = �

12 6 11 40 1 4 80 0 2 −10 0 0 −2

� 𝐵𝐵 = �

−5 0 0 0−6 4 0 0 12 −4 2 0 3 7 2 −1

�

Triangular superior: 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 > 𝑗𝑗 Triangular inferior: 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 > 𝑗𝑗

3. OPERACIONES CON MATRICES

3.1 SUMA Y DIFERENCIA

Dadas dos matrices A y B podemos realizar su suma o diferencia de acuerdo a la siguiente regla:

Para sumar o restar dos matrices del mismo tamaño, se suman o restan los elementos que se encuentran en la misma posición, resultando otra matriz de igual tamaño.

Por ejemplo: Dadas las siguientes matrices:

𝐴𝐴2𝑥𝑥3 = � 4 2 7−8 5 1 � 𝑦𝑦 𝐵𝐵2𝑥𝑥3 = � 2 0 4

3 2 5 �

Hallar: 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 𝑦𝑦 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵

Resolviendo tenemos:

a) 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = � 4 2 7−8 5 1 � + � 2 0 4

3 2 5 � = � 4 + 2 2 + 0 7 + 4 −8 + 3 5 + 2 1 + 5 �

𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = � 6 2 11−5 7 6 �

b) 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = � 4 2 7−8 5 1 � − � 2 0 4

3 2 5 � = � 4− 2 2− 0 7− 4 −8− 3 5− 2 1− 5 �


𝐴𝐴 = �

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

�


𝐴𝐴 = �

12 6 11 40 1 4 80 0 2 −10 0 0 −2

� 𝐵𝐵 = �

−5 0 0 0−6 4 0 0 12 −4 2 0 3 7 2 −1

�







𝐴𝐴2𝑥𝑥3 = � 4 2 7−8 5 1 � 𝑦𝑦 𝐵𝐵2𝑥𝑥3 = � 2 0 4

3 2 5 �



a) 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = � 4 2 7−8 5 1 � + � 2 0 4

3 2 5 � = � 4 + 2 2 + 0 7 + 4 −8 + 3 5 + 2 1 + 5 �

𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = � 6 2 11−5 7 6 �

b) 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = � 4 2 7−8 5 1 � − � 2 0 4

3 2 5 � = � 4− 2 2− 0 7− 4 −8− 3 5− 2 1− 5 �


54







ModalidadVirtual

3 OPERACIONES CON MATRICES



Para sumar o restar dos matrices del mismo tamaño, se suman o restan los ele-mentos que se encuentran en la misma posición, resultando otra matriz de igual tamaño.


Hallar: A+B y A-BResolviendo tenemos:

Si las matrices tienen diferente tamaño, no se pueden sumar o restar entre sí.

Propiedades de la suma (y diferencia) de matrices:

a) Conmutativa: A+B=B+A

b) Asociativa: A+(B+C)=(A+B)+Cc) Elemento neutro: la matriz nula del tamaño correspondiente

d) Elemento opuesto de A: la matriz –A, que resulta de cambiar de signo a los ele-mentos de A. Ejemplo:

3.2 PRODUCTO POR UN ESCALAR

Dada una matriz cualquiera A y un número real k, el producto k.A se realiza mul-tiplicando todos los elementos de A por k, resultando otra matriz de igual tamaño. (Evidentemente la misma regla sirve para dividir una matriz por un número real). Por ejemplo

Propiedades:

a) Distributiva respecto de la suma de matrices: k•(A + B) = k•A + k•Bb) Distributiva respecto de la suma de números: (k + d)•A= k•A + d•Ad) Asociativa: k•(d•A)=(k•d)•Ae) Elemento neutro, el número 1: 1•A=A


𝐴𝐴 = �

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

�


𝐴𝐴 = �

12 6 11 40 1 4 80 0 2 −10 0 0 −2

� 𝐵𝐵 = �

−5 0 0 0−6 4 0 0 12 −4 2 0 3 7 2 −1

�







𝐴𝐴2𝑥𝑥3 = � 4 2 7−8 5 1 � 𝑦𝑦 𝐵𝐵2𝑥𝑥3 = � 2 0 4

3 2 5 �



a) 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = � 4 2 7−8 5 1 � + � 2 0 4

3 2 5 � = � 4 + 2 2 + 0 7 + 4 −8 + 3 5 + 2 1 + 5 �

𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = � 6 2 11−5 7 6 �

b) 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = � 4 2 7−8 5 1 � − � 2 0 4

3 2 5 � = � 4− 2 2− 0 7− 4 −8− 3 5− 2 1− 5 �


𝐴𝐴 = �

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

�


𝐴𝐴 = �

12 6 11 40 1 4 80 0 2 −10 0 0 −2

� 𝐵𝐵 = �

−5 0 0 0−6 4 0 0 12 −4 2 0 3 7 2 −1

�







𝐴𝐴2𝑥𝑥3 = � 4 2 7−8 5 1 � 𝑦𝑦 𝐵𝐵2𝑥𝑥3 = � 2 0 4

3 2 5 �



a) 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = � 4 2 7−8 5 1 � + � 2 0 4

3 2 5 � = � 4 + 2 2 + 0 7 + 4 −8 + 3 5 + 2 1 + 5 �

𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = � 6 2 11−5 7 6 �

b) 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = � 4 2 7−8 5 1 � − � 2 0 4

3 2 5 � = � 4− 2 2− 0 7− 4 −8− 3 5− 2 1− 5 �

𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = � 2 2 3 −11 3 −4 �



a). Conmutativa: 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 + 𝐴𝐴b). Asociativa: 𝐴𝐴 + (𝐵𝐵 + 𝐶𝐶) = (𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) + 𝐶𝐶c). Elemento neutro: la matriz nula del tamaño correspondiented). Elemento opuesto de 𝐴𝐴: la matriz –𝐴𝐴, que resulta de cambiar de

signo a los elementos de 𝐴𝐴. Ejemplo:

Si: 𝐴𝐴 = � 0 −1−4 −2 3 −9

� ⟹ −𝐴𝐴 = � 0 1 4 2−3 9

�

Porque: � 0 −1−4 −2 3 −9

� + � 0 1 4 2−3 9

� = � 0 0 0 0 0 0

�


Dada una matriz cualquiera A y un número real k, el producto 𝑘𝑘.𝐴𝐴 se realiza multiplicando todos los elementos de A por k, resultando otra matriz de igual tamaño. (Evidentemente la misma regla sirve para dividir una matriz por un número real). Por ejemplo

−4 . � 2 4 7−3 7 12 1 −1 −2

� = � −8 −16 −28 12 −28 −48 −4 4 8

�

Propiedades:

a). Distributiva respecto de la suma de matrices: k·(A + B) = k·A + k·Bb). Distributiva respecto de la suma de números: (k + d)·A= k·A + d·Ac). Asociativa: k·(d·A)=(k·d)·Ad). Elemento neutro, el número 1: 1·A=A

3.3 PRODUCTO DE MATRICES

Dos matrices se pueden multiplicarse cuando se cumple la siguiente condición:

“Para multiplicar dos matrices A y B, en este orden, A·B, es condición indispensable que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B”

𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = � 2 2 3 −11 3 −4 �





Si: 𝐴𝐴 = � 0 −1−4 −2 3 −9

� ⟹ −𝐴𝐴 = � 0 1 4 2−3 9

�

Porque: � 0 −1−4 −2 3 −9

� + � 0 1 4 2−3 9

� = � 0 0 0 0 0 0

�



−4 . � 2 4 7−3 7 12 1 −1 −2

� = � −8 −16 −28 12 −28 −48 −4 4 8

�

Propiedades:





𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = � 2 2 3 −11 3 −4 �





Si: 𝐴𝐴 = � 0 −1−4 −2 3 −9

� ⟹ −𝐴𝐴 = � 0 1 4 2−3 9

�

Porque: � 0 −1−4 −2 3 −9

� + � 0 1 4 2−3 9

� = � 0 0 0 0 0 0

�



−4 . � 2 4 7−3 7 12 1 −1 −2

� = � −8 −16 −28 12 −28 −48 −4 4 8

�

Propiedades:















“Para multiplicar dos matrices A y B, en este orden, A•B, es condición indispensable que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B”

Si no se cumple esta condición, el producto A•B no puede realizarse, de modo que esta es una condición que debemos comprobar previamente a la propia multiplica-ción. Por ejemplo, dadas las siguientes matrices:

Primero comprobamos que se puede realizar el producto A•B, pues el Nº de colum-nas de A es 4 y el Nº de filas de B también es 4, entonces cumple con la condición:

entonces llegamos a la conclusión que se puede multiplicar esas dos matrices y el resultado será una matriz de orden 2 x 3 ( 2 filas y 3 columnas):

Para multiplicar procedemos de la siguiente manera:

“El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz C=A•B, se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados”

Para nuestro ejemplo, sólo nos falta completar los elementos de la matriz producto. Para ello, seguimos la regla anterior:

El elemento de la fila 1 y columna 1 de A•B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A por la columna 1 de B y sumar, es decir:

en forma gráfica:

o en forma aritmética: (2)(0)+(-8)(1)+ (9)(2)+(1)(3)=0-8+18+3=13

luego así conseguimos el primer elemento de la matriz producto:

Si no se cumple esta condición, el producto A·B no puede realizarse, de modo que esta es una condición que debemos comprobar previamente a la propia multiplicación. Por ejemplo, dadas las siguientes matrices:

2 4 = 2 −8 9 15 −4 0 −3 4 3 =

0 −4 11 −2 12 0 33 4 0

Primero comprobamos que se puede realizar el producto A·B, pues el Nºde columnas de A es 4 y el Nº de filas de B también es 4, entonces cumple con la condición:

2 4 = 2 −8 9 15 −4 0 −3 4 3 =

0 −4 11 −2 12 0 33 4 0


2 −8 9 15 −4 0 −3 .

0 −4 11 −2 12 0 33 4 0

=


“El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz C=A·B, se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados”


El elemento de la fila 1 y columna 1 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A por la columna 1 de B y sumar, es decir:en forma gráfica:

2 −8 9 15 −4 0 −3 .

0 −4 11 −2 12 0 33 4 0

=

2 x 44 x 3

2 x 3


2 4 = 2 −8 9 15 −4 0 −3 4 3 =

0 −4 11 −2 12 0 33 4 0


2 4 = 2 −8 9 15 −4 0 −3 4 3 =

0 −4 11 −2 12 0 33 4 0


2 −8 9 15 −4 0 −3 .

0 −4 11 −2 12 0 33 4 0

=





2 −8 9 15 −4 0 −3 .

0 −4 11 −2 12 0 33 4 0

=

2 x 44 x 3

2 x 3


2 4 = 2 −8 9 15 −4 0 −3 4 3 =

0 −4 11 −2 12 0 33 4 0


2 4 = 2 −8 9 15 −4 0 −3 4 3 =

0 −4 11 −2 12 0 33 4 0


2 −8 9 15 −4 0 −3 .

0 −4 11 −2 12 0 33 4 0

=





2 −8 9 15 −4 0 −3 .

0 −4 11 −2 12 0 33 4 0

=

2 x 44 x 3

2 x 3


2 4 = 2 −8 9 15 −4 0 −3 4 3 =

0 −4 11 −2 12 0 33 4 0


2 4 = 2 −8 9 15 −4 0 −3 4 3 =

0 −4 11 −2 12 0 33 4 0


2 −8 9 15 −4 0 −3 .

0 −4 11 −2 12 0 33 4 0

=





2 −8 9 15 −4 0 −3 .

0 −4 11 −2 12 0 33 4 0

=

2 x 44 x 3

2 x 3

o en forma aritmética:

(2)(0) + (−8)(1) + (9)(2) + (1)(3) = 0 − 8 + 18 + 3 = 13


� 2 −8 9 15 −4 0 −3 � . �

0 −4 11 −2 12 0 33 4 0

� = � 13 �

Seguimos:

• El elemento de la fila 1 y columna 2 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A y la columna 2 de B y sumar:

(2)(−4) + (−8)(−2) + (9)(0) + (1)(4) = −8 + 16 + 0 + 4 = 12


(2)(1) + (−8)(1) + (9)(3) + (1)(0) = 2 − 8 + 27 + 0 = 21

• Así sucesivamente se obtienen (comprueba):

� 2 −8 9 15 −4 0 −3 � . �

0 −4 11 −2 12 0 33 4 0

� = � 13 12 21−13 −24 1 �

Ejemplo

Dado las siguientes matrices: 𝐴𝐴 = �1 2 34 5 6� y 𝐵𝐵 = �

1 22 31 2

�. Hallar: 𝐵𝐵.𝐴𝐴

Solución:

Para calcular la multiplicación tenemos en cuenta lo operado en el ejemplo anterior:

𝐵𝐵.𝐴𝐴 = �1 22 31 2

� . �1 2 34 5 6� = �

1.1 + 2.4 1.2 + 2.5 1.3 + 2.62.1 + 3.4 2.2 + 3.5 2.3 + 3.61.1 + 2.4 1.2 + 2.5 1.3 + 2.6

� = �9 12 15

15 19 249 1|2 15

�

PROPIEDADES DE PRODUCTO DE MATRICES

a) 𝐴𝐴. (𝐵𝐵.𝐶𝐶) = (𝐴𝐴.𝐵𝐵).𝐶𝐶b) El producto de matrices en general no es conmutativo (A.B no

necesariamente es igual a B.A)c) Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene: 𝐴𝐴. 𝐼𝐼𝑛𝑛 = 𝐼𝐼𝑛𝑛 .𝐴𝐴 = 𝐴𝐴


56







ModalidadVirtual

Seguimos:

• El elemento de la fila 1 y columna 2 de A•B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A y la columna 2 de B y sumar:

(2)(-4)+(-8)(-2)+ (9)(0)+(1)(4)=-8+16+0+4=12

• El elemento de la fila 1 y columna 3 de A•B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A y la columna 3 de B y sumar:

(2)(1)+(-8)(1)+ (9)(3)+(1)(0)=2-8+27+0=21


Ejemplo

Dado las siguientes matrices:

Solución:

Para calcular la multiplicación tenemos en cuenta lo operado en el ejemplo ante-rior:


a) A.(B.C)=(A.B).Cb) El producto de matrices en general no es conmutativo (A.B no necesariamente

es igual a B.A)

c) Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene: A.In=In.A=Ad) Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal

que A.B=B.A=In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A-1.

e) El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A.(B+C)=A.B+A.C

Consecuencias de las propiedades

a) Si A.B=0 no implica que A=0 ó B=0b) Si A.B=A.C no implica que B=Cc) En general (A+B)2=A2+B2+2AB, ya que A.B≠B.Ad) En general (A+B)(A-B)=A2-B2, ya que A.B≠B.A

4 APLICACIÓN DE MATRICES1. Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). To-

dos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en soles) indicado por la tabla siguiente:


(2)(0) + (−8)(1) + (9)(2) + (1)(3) = 0 − 8 + 18 + 3 = 13


� 2 −8 9 15 −4 0 −3 � . �

0 −4 11 −2 12 0 33 4 0

� = � 13 �

Seguimos:


(2)(−4) + (−8)(−2) + (9)(0) + (1)(4) = −8 + 16 + 0 + 4 = 12


(2)(1) + (−8)(1) + (9)(3) + (1)(0) = 2 − 8 + 27 + 0 = 21


� 2 −8 9 15 −4 0 −3 � . �

0 −4 11 −2 12 0 33 4 0

� = � 13 12 21−13 −24 1 �

Ejemplo


1 22 31 2


Solución:


𝐵𝐵.𝐴𝐴 = �1 22 31 2

� . �1 2 34 5 6� = �

1.1 + 2.4 1.2 + 2.5 1.3 + 2.62.1 + 3.4 2.2 + 3.5 2.3 + 3.61.1 + 2.4 1.2 + 2.5 1.3 + 2.6

� = �9 12 15

15 19 249 1|2 15

�





(2)(0) + (−8)(1) + (9)(2) + (1)(3) = 0 − 8 + 18 + 3 = 13


� 2 −8 9 15 −4 0 −3 � . �

0 −4 11 −2 12 0 33 4 0

� = � 13 �

Seguimos:


(2)(−4) + (−8)(−2) + (9)(0) + (1)(4) = −8 + 16 + 0 + 4 = 12


(2)(1) + (−8)(1) + (9)(3) + (1)(0) = 2 − 8 + 27 + 0 = 21


� 2 −8 9 15 −4 0 −3 � . �

0 −4 11 −2 12 0 33 4 0

� = � 13 12 21−13 −24 1 �

Ejemplo


1 22 31 2


Solución:


𝐵𝐵.𝐴𝐴 = �1 22 31 2

� . �1 2 34 5 6� = �

1.1 + 2.4 1.2 + 2.5 1.3 + 2.62.1 + 3.4 2.2 + 3.5 2.3 + 3.61.1 + 2.4 1.2 + 2.5 1.3 + 2.6

� = �9 12 15

15 19 249 1|2 15

�





(2)(0) + (−8)(1) + (9)(2) + (1)(3) = 0 − 8 + 18 + 3 = 13


� 2 −8 9 15 −4 0 −3 � . �

0 −4 11 −2 12 0 33 4 0

� = � 13 �

Seguimos:


(2)(−4) + (−8)(−2) + (9)(0) + (1)(4) = −8 + 16 + 0 + 4 = 12


(2)(1) + (−8)(1) + (9)(3) + (1)(0) = 2 − 8 + 27 + 0 = 21


� 2 −8 9 15 −4 0 −3 � . �

0 −4 11 −2 12 0 33 4 0

� = � 13 12 21−13 −24 1 �

Ejemplo


1 22 31 2


Solución:


𝐵𝐵.𝐴𝐴 = �1 22 31 2

� . �1 2 34 5 6� = �

1.1 + 2.4 1.2 + 2.5 1.3 + 2.62.1 + 3.4 2.2 + 3.5 2.3 + 3.61.1 + 2.4 1.2 + 2.5 1.3 + 2.6

� = �9 12 15

15 19 249 1|2 15

�




d) Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que 𝐴𝐴.𝐵𝐵 = 𝐵𝐵.𝐴𝐴 = 𝐼𝐼𝑛𝑛. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por 𝐴𝐴−1.

e) El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: 𝐴𝐴. (𝐵𝐵 + 𝐶𝐶) = 𝐴𝐴.𝐵𝐵 + 𝐴𝐴.𝐶𝐶


a) Si 𝐴𝐴.𝐵𝐵 = 0 no implica que 𝐴𝐴 = 0 ó 𝐵𝐵 = 0b) Si 𝐴𝐴.𝐵𝐵 = 𝐴𝐴.𝐶𝐶 no implica que 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶c) En general (𝐴𝐴 + 𝐵𝐵)2 = 𝐴𝐴2 + 𝐵𝐵2 + 2𝐴𝐴𝐵𝐵, ya que 𝐴𝐴.𝐵𝐵 ≠ 𝐵𝐵.𝐴𝐴d) En general (𝐴𝐴 + 𝐵𝐵)(𝐴𝐴 − 𝐵𝐵) = 𝐴𝐴2 − 𝐵𝐵2, ya que 𝐴𝐴.𝐵𝐵 ≠ 𝐵𝐵.𝐴𝐴

4. APLICACIÓN DE MATRICES.

1. Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en soles) indicado por la tabla siguiente:

2 unid. 5 unid. 10 unid.

Color N 0.04 0.08 0.12

Color F 0.03 0.05 0.08

Sabiendo que en un año se venden el siguiente número de paquetes:

Color N Color F

2 unid. 700000 50000

5 unid. 600000 40000

10 unid. 500000 500000

Resumir la información anterior en 2 matrices A y B, de tamaño respectivo 2x3 y 3x2 que recojan las ventas en un año (A) y los precios (B).

Solución:

Nos piden que organicemos la información anterior en dos matrices detamaño concreto. Si nos fijamos en las tablas, es sencillo obtener las matrices:

𝐴𝐴 = �700000 600000 50000050000 40000 500000� 𝐵𝐵 = �

0.04 0.030.08 0.05 0.12 0.08

�

Estas matrices se denominan matrices de información, y simplemente recogen los datos numéricos del problema en cuestión.

2 unid. 5 unid. 10 unid. N F

NF

2 unid.5 unid.10 unid.











Solución:

Nos piden que organicemos la información anterior en dos matrices de tamaño concreto. Si nos fijamos en las tablas, es sencillo obtener las matrices:


2. Una compañía tiene cuatro fábricas, cada una emplea administradores (A), su-pervisores (S) y trabajadores calificados(T) en la forma siguiente:

Si los administradores ganan S/. 350 (PA) a la semana, los supervisores S/. 275 (PB) y los trabajadores S/. 200 (PT). ¿Cuál es la nomina de cada fábrica?

Solución:

Lo que se pide es el monto pagado por cada fábrica, el cual es igual al número de cada empleado por su respectivo ingreso salarial.

En general, será: Ii=PA Ai+PS Si+PT Ti, donde Ii es el monto de la fabrica i. Por ejemplo, el monto de la fábrica 1 será:

I1=PA A1+PS S1+PT T1=(350)(1)+(4)(275)+(80)(200)=17450

Con este sencillo cálculo pueden obtenerse fácilmente los tres montos restantes. Sin embargo, si hubiera más tipos de empleados o un mayor número de fábricas el cálculo se complicaría. Existe otra forma para calcular directamente los montos de todas las fábricas. El cuadro anterior equivale a cantidades de especialistas de cada fábrica. Entonces, si estas cantidades son multiplicadas por su salario respectivo, debería entonces obtenerse la nomina de cada fábrica. Llevando esto a matrices:

Si se multiplica ambas matrices (en ese orden) debería obtenerse lo solicitado. Sin em-bargo, esta multiplicación matricial no está definida. Note que la primera matriz es de orden 3x4 mientras la segunda es 3x1 (las cifras de negro debería ser iguales). La solu-ción es transponer la primera matriz a fin de obtener una matriz de orden 4x3 y así, po-derla multiplicar por la segunda (3x1), con lo cual es posible multiplicar ambas matrices y la matriz resultante sería del orden 4x1, la cual brindaría los cuatro montos solicitados.








Color N 0.04 0.08 0.12

Color F 0.03 0.05 0.08


Color N Color F

2 unid. 700000 50000

5 unid. 600000 40000

10 unid. 500000 500000


Solución:


𝐴𝐴 = �700000 600000 50000050000 40000 500000� 𝐵𝐵 = �

0.04 0.030.08 0.05 0.12 0.08

�



NF









Color N 0.04 0.08 0.12

Color F 0.03 0.05 0.08


Color N Color F

2 unid. 700000 50000

5 unid. 600000 40000

10 unid. 500000 500000


Solución:


𝐴𝐴 = �700000 600000 50000050000 40000 500000� 𝐵𝐵 = �

0.04 0.030.08 0.05 0.12 0.08

�



NF


2. Una compañía tiene 4 fabricas, cada una emplea administradores (A), supervisores (S) y trabajadores calificados(T) en la forma siguiente:

Si los administradores ganan S/. 350 (𝑃𝑃𝐴𝐴) a la semana, los supervisores S/ 275 (𝑃𝑃𝐵𝐵) y los trabajadores S/ 200 (𝑃𝑃𝑇𝑇). ¿Cuál es la nomina de cada fábrica?

Solución:

Lo que se pide es el monto pagado por cada fabrica el cual es igual al número de cada empleado por su respectivo ingreso salarial. En general, será: 𝐼𝐼𝑖𝑖 = 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖 + 𝑃𝑃𝑆𝑆𝑆𝑆𝑖𝑖 + 𝑃𝑃𝑇𝑇𝑇𝑇𝑖𝑖, donde 𝐼𝐼𝑖𝑖 es el monto de la fabrica 𝑖𝑖. Por ejemplo, el monto de la fábrica 1 será:

𝐼𝐼1 = 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴1 + 𝑃𝑃𝑆𝑆𝑆𝑆1 + 𝑃𝑃𝑇𝑇𝑇𝑇1 = (350)(1) + (4)(275) + (80)(200) = 17450

Con este sencillo cálculo puede obtenerse fácilmente los 3 montos restantes. Sin embargo, si hubiera más tipos de empleados o un mayor número de fábricas el cálculo se complicaría. Existe otra forma para calcular directamente los montos de todas las fábricas. El cuadro anterior equivale a cantidades de especialistas de cada fábrica. Entonces, si estas cantidades son multiplicadas por su salario respectivo debería entonces obtenerse la nomina de cada fábrica. Llevando esto a matrices:

Si se multiplica ambas matrices (en ese orden) debería obtenerse lo solicitado. Sin embargo, esta multiplicación matricial no está definida. Note que la primera matriz es de orden 3x4 mientras la segunda es 3x1 (las cifras de negro debería ser iguales). La solución es transponer la primera matriz a fin de obtener una matriz de orden 4x3 y así, poderla multiplicar por la segunda (3x1), con lo cual es posible multiplicar ambas matrices y la matriz resultante sería del orden 4x1, la cual brindaría los 4 montossolicitados.

Así, los montos de la fábrica 1, 2, 3 y 4 son: S/. 17450, S/. 21550, S/. 14575, y S/.16450, respectivamente.

2. Una compañía tiene 4 fabricas, cada una emplea administradores (A), supervisores (S) y trabajadores calificados(T) en la forma siguiente:

Si los administradores ganan S/. 350 (𝑃𝑃𝐴𝐴) a la semana, los supervisores S/ 275 (𝑃𝑃𝐵𝐵) y los trabajadores S/ 200 (𝑃𝑃𝑇𝑇). ¿Cuál es la nomina de cada fábrica?

Solución:

Lo que se pide es el monto pagado por cada fabrica el cual es igual al número de cada empleado por su respectivo ingreso salarial. En general, será: 𝐼𝐼𝑖𝑖 = 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖 + 𝑃𝑃𝑆𝑆𝑆𝑆𝑖𝑖 + 𝑃𝑃𝑇𝑇𝑇𝑇𝑖𝑖, donde 𝐼𝐼𝑖𝑖 es el monto de la fabrica 𝑖𝑖. Por ejemplo, el monto de la fábrica 1 será:

𝐼𝐼1 = 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴1 + 𝑃𝑃𝑆𝑆𝑆𝑆1 + 𝑃𝑃𝑇𝑇𝑇𝑇1 = (350)(1) + (4)(275) + (80)(200) = 17450

Con este sencillo cálculo puede obtenerse fácilmente los 3 montos restantes. Sin embargo, si hubiera más tipos de empleados o un mayor número de fábricas el cálculo se complicaría. Existe otra forma para calcular directamente los montos de todas las fábricas. El cuadro anterior equivale a cantidades de especialistas de cada fábrica. Entonces, si estas cantidades son multiplicadas por su salario respectivo debería entonces obtenerse la nomina de cada fábrica. Llevando esto a matrices:

Si se multiplica ambas matrices (en ese orden) debería obtenerse lo solicitado. Sin embargo, esta multiplicación matricial no está definida. Note que la primera matriz es de orden 3x4 mientras la segunda es 3x1 (las cifras de negro debería ser iguales). La solución es transponer la primera matriz a fin de obtener una matriz de orden 4x3 y así, poderla multiplicar por la segunda (3x1), con lo cual es posible multiplicar ambas matrices y la matriz resultante sería del orden 4x1, la cual brindaría los 4 montossolicitados.



58







ModalidadVirtual








ACTIVIDAD N° 2: PRÁCTICA DE MATRICES


TEMA N° 03: INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADALas matrices inversas se pueden emplear para modelar y resolver problemas de la vida real. En esta parte veremos acerca de las matrices inversas resolviendo diversos ejercicios.

1 DEFINICIÓN DE MATRICES INVERSAS

Una matriz cuadrada A, se llama invertible, si existe una matriz cuadrada B tal que:

AB = BA = I

entonces la matriz B se llama inversa de A y se denota por B = A-1

Ejemplo:

Justificaremos que la matriz B es la inversa de la matriz A.

Sean:

Solución:

Para justificar que B es la inversa de A se probaremos que AB = I De donde:

Multiplicamos y obtenemos:

Como se puede observar, AB = IPor lo tanto se puede decir que B es la Inversa de A.

2 INVERSA DE MATRICES

Si una matriz tiene inversa se denomina invertible (o no singular); de lo contrario A se denomina singular. Una matriz que no es cuadrada no puede inversa.

Para calcular las inversas de matrices se realiza lo siguiente:

2.1 INVERSA DE MATRICES DE ORDEN 2 X 2 Para determinar la inversa de matrices de orden 2x2, se realiza lo siguiente:

Y si la Determinante: D = ad – bc no es igual a cero. Entonces A-1 existe y está dado por:

TEMA N° 03: INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA

Las matrices inversas se pueden emplear para modelar y resolver problemas de la vida real. En esta parte veremos acerca de las matrices inversas resolviendo diversos ejercicios.

1. DEFINICIÓN DE MATRICES INVERSAS

Una matriz cuadrada A, se llama invertible, si existe una matriz cuadrada B tal que:AB = BA = I


Ejemplo:


Sean:

−−

=1121

A y

−−

=1121

B

Solución:Para justificar que B es la inversa de A se probaremos que AB = I De donde:

AB =

−−

−−

1121

1121


AB =

1001

Como se puede observar, AB = I

Por lo tanto se puede decir que B es la Inversa de A.

2. INVERSA DE MATRICES



2.1 INVERSA DE MATRICES DE ORDEN 2x2Para determinar la inversa de matrices de orden 2x2, se realiza lo siguiente:

Sea la matriz A =

dcba







Ejemplo:


Sean:

−−

=1121

A y

−−

=1121

B


AB =

−−

−−

1121

1121


AB =

1001







Sea la matriz A =

dcba







Ejemplo:


Sean:

−−

=1121

A y

−−

=1121

B


AB =

−−

−−

1121

1121


AB =

1001







Sea la matriz A =

dcba


A-1 =D1

−

−acbd

Ejemplo:

Hallaremos la inversa de la matriz A =

4321

Solución:

Hallamos la determinante:

D = (1)(4)-(2)(3) = -2

Como la determinante es diferente de cero, entonces la matriz A si tiene

inversa:

Aplicamos la formula, y remplazamos :

A-1 =D1

−

−acbd

A-1 =2

1−

−

−1324

A-1 =2

1−

−

−1324

Siendo la inversa el siguiente:

A-1 =

−

−2/12/3

12

2.2 INVERSA DE MATRICES DE ORDEN 3x3

Para determinar la inversa de matrices 3x3 se utiliza la siguiente fórmula:

A-1 = adj(A)/detA

Siendo:

adj(A): matriz adjunta de AdetA: determinante de la matriz A

La matriz adjunta de A, es igual a la transpuesta de la matriz de cofactor de A (COF(A)).

Adj(A) = (COF(A))T

Donde la matriz de cofactores (COF(A)) se resuelve como sigue:









Ejemplo:

Hallaremos la inversa de la matriz

Solución:

Hallamos la determinante: D = (1)(4)-(2)(3) = -2Como la determinante es diferente de cero, entonces la matriz A si tiene inversa:




A-1 = adj(A)/detA

Siendo:

adj(A): matriz adjunta de A

detA: determinante de la matriz A


Adj(A) = (COF(A))T


Sea la matriz A:

Entonces la matriz de cofactores de A será:

que se resuelve así:

Por lo que para hallar la inversa de una matriz se utiliza la siguiente fórmula:

A-1 = (COF(A))t/detA

A-1 =D1

−

−acbd

Ejemplo:


4321

Solución:


D = (1)(4)-(2)(3) = -2


inversa:


A-1 =D1

−

−acbd

A-1 =2

1−

−

−1324

A-1 =2

1−

−

−1324


A-1 =

−

−2/12/3

12



A-1 = adj(A)/detA

Siendo:



Adj(A) = (COF(A))T


A-1 =D1

−

−acbd

Ejemplo:


4321

Solución:


D = (1)(4)-(2)(3) = -2


inversa:


A-1 =D1

−

−acbd

A-1 =2

1−

−

−1324

A-1 =2

1−

−

−1324


A-1 =

−

−2/12/3

12



A-1 = adj(A)/detA

Siendo:



Adj(A) = (COF(A))T


333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A=Sea la matriz A:





Donde: (COF(A))t es la matriz de la transpuesta de la matriz de cofactores de A.

Ejemplo: Hallaremos la inversa de la siguiente matriz:

=

143232521

A

Solución:Según la formula

A-1 = (COF(A))t/detA …………(1)

Lo que tenemos que hallar es la matriz de cofactores (COF(A))

Donde la matriz cofactor de A será:

2221

1211

2321

1311

2322

1312

3231

1211

3331

1311

3332

1312

3231

2221

3331

2321

3332

2322

)(

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

ACOF

+−+

−+−

+−+

=

−+−−−+−−−+−−−+−−−+

=)()()()()()()()()(

)(

211222112113231122132312

311232113113331132133312

312232213123332132233322

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

ACOF

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A=Sea la matriz A:







=

143232521

A


A-1 = (COF(A))t/detA …………(1)



2221

1211

2321

1311

2322

1312

3231

1211

3331

1311

3332

1312

3231

2221

3331

2321

3332

2322

)(

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

ACOF

+−+

−+−

+−+

=

−+−−−+−−−+−−−+−−−+

=)()()()()()()()()(

)(

211222112113231122132312

311232113113331132133312

312232213123332132233322


ACOF

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A=Sea la matriz A:







=

143232521

A


A-1 = (COF(A))t/detA …………(1)



2221

1211

2321

1311

2322

1312

3231

1211

3331

1311

3332

1312

3231

2221

3331

2321

3332

2322

)(

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

ACOF

+−+

−+−

+−+

=

−+−−−+−−−+−−−+−−−+

=)()()()()()()()()(

)(

211222112113231122132312

311232113113331132133312

312232213123332132233322


ACOF


60







ModalidadVirtual

Donde:

(COF(A))t es la matriz de la transpuesta de la matriz de cofactores de A.


Solución:

Según la formula

A-1 = (COF(A))t/detA …………(1)



y la (COF(A))t

Además el determinante de la matriz A es:

Reemplazamos en la fórmula (1)

Luego la matriz inversa de A será:







ACTIVIDAD N° 3: PRÁCTICA DE INVERSA DE UNA MATRÍZ CUADRADA


333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A=Sea la matriz A:







=

143232521

A


A-1 = (COF(A))t/detA …………(1)



2221

1211

2321

1311

2322

1312

3231

1211

3331

1311

3332

1312

3231

2221

3331

2321

3332

2322

)(

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

ACOF

+−+

−+−

+−+

=

−+−−−+−−−+−−−+−−−+

=)()()()()()()()()(

)(

211222112113231122132312

311232113113331132133312

312232213123332132233322


ACOF

y la (COF(A))t



2121

81 441 11 85

)d e t())((1

−

−−−

−−

==−

AAC O FA

t


−−−

−=−

2/112/14722/1192/5

1A

ACTIVIDAD N° 3

1. Muestre que las matrices son inversas entre sí, haciendo ver que su producto es la matriz identidad I.

a)

−−

−−

1132

2131

y

b)

−

−

2125

63

3254

y

−−−

−−=

+−+

−+−

+−+

=1811

21418145

3221

2251

2352

4321

1351

1452

4332

1322

1423

)(ACOF

2143232521

)det( −==A

−−−

−=

1218144

11185))(( tACOF

y la (COF(A))t



2121

81 441 11 85

)d e t())((1

−

−−−

−−

==−

AAC O FA

t


−−−

−=−

2/112/14722/1192/5

1A

ACTIVIDAD N° 3


a)

−−

−−

1132

2131

y

b)

−

−

2125

63

3254

y

−−−

−−=

+−+

−+−

+−+

=1811

21418145

3221

2251

2352

4321

1351

1452

4332

1322

1423

)(ACOF

2143232521

)det( −==A

−−−

−=

1218144

11185))(( tACOF

y la (COF(A))t



2121

81 441 11 85

)d e t())((1

−

−−−

−−

==−

AAC O FA

t


−−−

−=−

2/112/14722/1192/5

1A

ACTIVIDAD N° 3


a)

−−

−−

1132

2131

y

b)

−

−

2125

63

3254

y

−−−

−−=

+−+

−+−

+−+

=1811

21418145

3221

2251

2352

4321

1351

1452

4332

1322

1423

)(ACOF

2143232521

)det( −==A

−−−

−=

1218144

11185))(( tACOF

y la (COF(A))t



2121

81 441 11 85

)d e t())((1

−

−−−

−−

==−

AAC O FA

t


−−−

−=−

2/112/14722/1192/5

1A

ACTIVIDAD N° 3


a)

−−

−−

1132

2131

y

b)

−

−

2125

63

3254

y

−−−

−−=

+−+

−+−

+−+

=1811

21418145

3221

2251

2352

4321

1351

1452

4332

1322

1423

)(ACOF

2143232521

)det( −==A

−−−

−=

1218144

11185))(( tACOF

y la (COF(A))t



2121

81 441 11 85

)d e t())((1

−

−−−

−−

==−

AAC O FA

t


−−−

−=−

2/112/14722/1192/5

1A

ACTIVIDAD N° 3


a)

−−

−−

1132

2131

y

b)

−

−

2125

63

3254

y

−−−

−−=

+−+

−+−

+−+

=1811

21418145

3221

2251

2352

4321

1351

1452

4332

1322

1423

)(ACOF

2143232521

)det( −==A

−−−

−=

1218144

11185))(( tACOF















BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD III


México.

Haeussler, R. Paul (2010). Matemática para Administración y Economía (8va. ed.).

México: pág. 1100.


México: Editorial Pearson educación. Biblioteca UCCI: 512.13 D56.

Peterson, J. (2001). Matemáticas básicas: Algebra, trigonometría y geometría analítica (3ra. ed.). México: Editorial CECSA.



Larner, J., C. Arya, Robin W. (1992). Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Eco-nomía (3ra. ed.).

Mexico: Editorial Prentice Hall. Biblioteca UCCI: 519 - A78.




62







ModalidadVirtual







AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD N° III

1. Represente la siguiente ecuación cartesiana (x2+y2 )2=ax2 y en su forma polar:

2. Indique la ecuación en coordenadas rectangulares de la siguiente ecuación polar:

r=asenθ-bcosθ

3. Calcule x,y,z en la suma:

Dar como respuesta: x-y+z

4. Si Hallar una matriz X que verifique la ecuación:

2.X-4.A=B

5. Hallar la matriz X, para que se cumpla: AX=B. Donde:

6. Hallar la inversa de las siguientes matrices:


76

AUTOEVALUACION Nº 03:

1. Representa la siguiente ecuación cartesiana (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)2 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2𝑦𝑦 en su forma polar:


𝑟𝑟 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑎𝑎𝑎𝑎

3. Calcula 𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧 en la suma:

� 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 −1 2

1 𝑦𝑦 −𝑥𝑥 0 𝑧𝑧 2

� + � 𝑦𝑦 0 𝑧𝑧−𝑧𝑧 2 3 −2 3 𝑥𝑥

� = � −1 −1 3 0 4 4 −2 4 1

�

Dar como respuesta: 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧

4. Si 𝐴𝐴 = � 1 10 1 � 𝑦𝑦 𝐵𝐵 = � −1 0

0 2 � Hallar una matriz X que verifique la ecuación:

2.𝑋𝑋 − 4.𝐴𝐴 = 𝐵𝐵

5. Hallar la matriz X, para que se cumpla: 𝐴𝐴𝑋𝑋 = 𝐵𝐵. Donde:

𝐴𝐴 = � 1 10 1 � 𝐵𝐵 = � 1 1 0

−1 0 1 �


a)

−−

=3221

A

b)

=

8442

B

c)

−−

=1211

C


a)

=

563453111

A

b)

=

552043001

A

76






� 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 −1 2


� + � 𝑦𝑦 0 𝑧𝑧−𝑧𝑧 2 3 −2 3 𝑥𝑥

� = � −1 −1 3 0 4 4 −2 4 1

�


4. Si 𝐴𝐴 = � 1 10 1 � 𝑦𝑦 𝐵𝐵 = � −1 0


2.𝑋𝑋 − 4.𝐴𝐴 = 𝐵𝐵


𝐴𝐴 = � 1 10 1 � 𝐵𝐵 = � 1 1 0

−1 0 1 �


a)

−−

=3221

A

b)

=

8442

B

c)

−−

=1211

C


a)

=

563453111

A

b)

=

552043001

A

76






� 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 −1 2


� + � 𝑦𝑦 0 𝑧𝑧−𝑧𝑧 2 3 −2 3 𝑥𝑥

� = � −1 −1 3 0 4 4 −2 4 1

�


4. Si 𝐴𝐴 = � 1 10 1 � 𝑦𝑦 𝐵𝐵 = � −1 0


2.𝑋𝑋 − 4.𝐴𝐴 = 𝐵𝐵


𝐴𝐴 = � 1 10 1 � 𝐵𝐵 = � 1 1 0

−1 0 1 �


a)

−−

=3221

A

b)

=

8442

B

c)

−−

=1211

C


a)

=

563453111

A

b)

=

552043001

A

76






� 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 −1 2


� + � 𝑦𝑦 0 𝑧𝑧−𝑧𝑧 2 3 −2 3 𝑥𝑥

� = � −1 −1 3 0 4 4 −2 4 1

�


4. Si 𝐴𝐴 = � 1 10 1 � 𝑦𝑦 𝐵𝐵 = � −1 0


2.𝑋𝑋 − 4.𝐴𝐴 = 𝐵𝐵


𝐴𝐴 = � 1 10 1 � 𝐵𝐵 = � 1 1 0

−1 0 1 �


a)

−−

=3221

A

b)

=

8442

B

c)

−−

=1211

C


a)

=

563453111

A

b)

=

552043001

A

76






� 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 −1 2


� + � 𝑦𝑦 0 𝑧𝑧−𝑧𝑧 2 3 −2 3 𝑥𝑥

� = � −1 −1 3 0 4 4 −2 4 1

�


4. Si 𝐴𝐴 = � 1 10 1 � 𝑦𝑦 𝐵𝐵 = � −1 0


2.𝑋𝑋 − 4.𝐴𝐴 = 𝐵𝐵


𝐴𝐴 = � 1 10 1 � 𝐵𝐵 = � 1 1 0

−1 0 1 �


a)

−−

=3221

A

b)

=

8442

B

c)

−−

=1211

C


a)

=

563453111

A

b)

=

552043001

A















UNIDAD IV: DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES







DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD IV









Tema N°01: Determinan-tes

1. Definición y propiedades.

2. Calculo de determinan-tes de matrices.

Tema N°02: Sistema de ecuaciones lineales.

1. Definición: sistemas compatibles e incompa-tibles.

2. Métodos para resolver los sistemas de ecua-ciones Lineales: Gauss – Jordán y regla de Crámer.

3. Aplicaciones.


1. Define la determinante de una matriz cuadrada

2. Efectúa operaciones con determinantes aplican-do las propiedades y teo-remas.

3. Aplica la determinante en la solución de ejerci-cios y problemas.

4. Define un sistema de ecuaciones lineales.

5. Emplea matrices y elimi-nación de Gauss – Jor-dán para resolver siste-mas de ecuaciones.

6. Emplea matrices y la re-gla de Crámer para re-solver sistemas de ecua-ciones.

7. Aplica la sistema de ecuaciones lineales con sus propiedades en la solución de ejercicios y problemas.

Actividad N° 1: Práctica de determinantes

Actividades N° 2, 3, y 4: Práctica de sistemas de ecuaciones lineales

Tarea académica N° 02: (cuestionario)

1. Reconoce y valora la utilidad de las ciencias matemáticas y de los medios tecnológicos para realizar cálculos matemáticos, resolu-ción de problemas, representación de gráficos.

2. Demuestra interés por relacionar las opera-ciones y métodos en la solución de un proble-ma matemático.

CONTENIDOS

AUTOEVALUACIÓN

EJEMPLOS

BIBLIOGRAFÍA

ACTIVIDADES

64







ModalidadVirtual

TEMA N° 1: DETERMINANTESIntroduciremos a continuación el concepto de determinante asociado a una matriz cua-drada. Este concepto permite simplificar operaciones matriciales tales como el cálculo del rango o de la matriz inversa.

1 DEFINICIÓN Y PROPIEDADES

1.1 DEFINICIÓN

A cada matriz cuadrada de orden n puede asociársele un número real, llamado determinante de la matriz, que se obtiene a partir de los términos de la misma.

Si la matriz es A, entonces su determinante se expresa como:

det (A) ó |A|

1.2 PROPIEDADES

Algunas propiedades importantes que tienen los determinantes, y que se enun-cian sin demostración son:

a) Si una matriz tiene una línea (fila o columna) de ceros, el determinante vale cero.

b) Si una matriz tiene dos filas iguales o proporcionales, su determinante es nulo.

c) Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo, por ejemplo:

d) Si multiplicamos todos los elementos de una línea de un determinante por un numero, el determinante queda multiplicado por ese número. Por ejemplo:

e) Si a una línea de una matriz se le suma otra línea multiplicada por un núme-ro, el determinante no cambia.

Esta propiedad permite utilizar un método más sencillo para calcular deter-minante de orden mayor que 3.

f) El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta,

|A|=|At |

g) Si A tiene matriz inversa, A-1, se verifica que:

2 CÁLCULO DE DETERMINANTES DE MATRICES

2.1 DETERMINANTES DE ORDEN 1 , 2 y 3

Veamos el cálculo de los determinantes de las matrices de orden uno, dos y tres:

Determinante de orden uno (n=1)Si A es una matriz de orden 1, A=[a] entonces: |A|=a

79

UNIDAD IV: “DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES”

TEMA N° 01: DETERMINANTES

Introduciremos a continuación el concepto de determinante asociado a una matriz cuadrada. Este concepto permite simplificar operaciones matriciales tales como el cálculo del rango o de la matriz inversa.

1. DEFINICION Y PROPIEDADES

1.1. DEFINICION



det(𝐴𝐴) ó |𝐴𝐴|

1.2. PROPIEDADES

Algunas propiedades importantes que tienen los determinantes, y que se enuncian sin demostración son:




�

0 1 2 −31 3 2 −52 4 3 13 −2 −8 1

� = 91 ⟹ �

0 1 2 −31 3 2 −53 −2 −8 12 4 3 1

� = −91


�

0 1 2 −31 3 2 −52 4 3 13 −2 −8 1

� = 91 ⟹ �

0 1 2 −32 6 4 −102 4 3 12 −2 −8 1

� = 182

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 �

0 2 4 −62 6 4 −104 8 6 26 −4 −16 2

� = 16𝑥𝑥91 = 1456

79

UNIDAD IV: “DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES”

TEMA N° 01: DETERMINANTES

Introduciremos a continuación el concepto de determinante asociado a una matriz cuadrada. Este concepto permite simplificar operaciones matriciales tales como el cálculo del rango o de la matriz inversa.

1. DEFINICION Y PROPIEDADES

1.1. DEFINICION



det(𝐴𝐴) ó |𝐴𝐴|

1.2. PROPIEDADES

Algunas propiedades importantes que tienen los determinantes, y que se enuncian sin demostración son:




�

0 1 2 −31 3 2 −52 4 3 13 −2 −8 1

� = 91 ⟹ �

0 1 2 −31 3 2 −53 −2 −8 12 4 3 1

� = −91


�

0 1 2 −31 3 2 −52 4 3 13 −2 −8 1

� = 91 ⟹ �

0 1 2 −32 6 4 −102 4 3 12 −2 −8 1

� = 182

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 �

0 2 4 −62 6 4 −104 8 6 26 −4 −16 2

� = 16𝑥𝑥91 = 1456

80

e) Si a una línea de una matriz se le suma otra línea multiplicada por un número, el determinante no cambia.

Esta propiedad permite utilizar un método más sencillo para calcular determinante de orden mayor que 3.


|𝐴𝐴| = |𝐴𝐴𝑡𝑡|

g) Si A tiene matriz inversa, 𝐴𝐴−1, se verifica que:

|𝐴𝐴−1| =1

|𝐴𝐴|

2. CALCULO DE DETERMINANTES DE MATRICES

2.1. DETERMINANTES DE ORDEN 1 , 2 y 3


Determinante de orden uno (𝒏𝒏 = 𝟏𝟏)

Si A es una matriz de orden 1, 𝐴𝐴 = [𝑎𝑎] entonces: |𝐴𝐴| = 𝑎𝑎

Determinante de orden dos (𝒏𝒏 = 𝟐𝟐)

Si A es una matriz de orden 2, 𝐴𝐴 = �𝑎𝑎11 𝑎𝑎12𝑎𝑎21 𝑎𝑎22� su determinante se calcula

utilizando la siguiente fórmula:

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝐴𝐴) = |𝐴𝐴| = �𝑎𝑎11 𝑎𝑎12𝑎𝑎21 𝑎𝑎22� = 𝑎𝑎11𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎12𝑎𝑎21

es decir, mediante la diferencia entre los productos de la diagonal principal y la diagonal secundaria.

Ejemplos:

Hallaremos las determinantes de las siguientes matrices:

𝐴𝐴 = � 1 3−1 4 � 𝑦𝑦 𝐵𝐵 = � −2 −3

2 5 �

- Calculamos sus determinantes de cada matriz cuadrada:

|𝐴𝐴| = � 1 3−1 4� = (1)(4) − (3)(−1) = 7 ⟹ |𝐴𝐴| = 7

|𝐵𝐵| = �−2 −32 5 � = (−2)(5) − (−3)(2) = −4 ⟹ |𝐵𝐵| = −4









Determinante de orden dos (n=2)Si A es una matriz de orden 2, su determinante se calcula utilizando la siguiente fórmula:


Ejemplos:


Calculamos sus determinantes de cada matriz cuadrada:

Determinante de orden tres (n=3)

Si A es una matriz de orden 3, su determinante se calcula uti-

lizando la siguiente fórmula, llamada regla de Sarrus, consistente en la suma de

los productos de tres factores:

Ejemplos:

Hallaremos el determinantes de las siguientes matrices:

Los métodos anteriormente vistos para el cálculo de las matrices de (lxl), (2x2) y (3x3), solamente son válidos para las matrices que tienen esas dimensiones

2.2 DETERMINANTES DE ORDEN MAYOR A 4

Una estrategia a tener en cuenta en este caso de determinantes de orden 4 o superior, es el método de “hacer ceros”, puesto que el valor del determinante no varía al realizar a la matriz ciertas transformaciones elementales en filas, como indica la propiedad, si bien hemos de ser cuidadosos al aplicarlo.

Así pues la mejor forma de calcular un determinante es hacer ceros en una fila o columna y desarrollar por fila o columna, porque entonces sólo tendremos que calcular un adjunto. Por ejemplo, si calculamos:

Desarrollando por la columna 1

80






|𝐴𝐴−1| =1

|𝐴𝐴|











Ejemplos:


𝐴𝐴 = � 1 3−1 4 � 𝑦𝑦 𝐵𝐵 = � −2 −3

2 5 �


|𝐴𝐴| = � 1 3−1 4� = (1)(4) − (3)(−1) = 7 ⟹ |𝐴𝐴| = 7

|𝐵𝐵| = �−2 −32 5 � = (−2)(5) − (−3)(2) = −4 ⟹ |𝐵𝐵| = −4

80






|𝐴𝐴−1| =1

|𝐴𝐴|











Ejemplos:


𝐴𝐴 = � 1 3−1 4 � 𝑦𝑦 𝐵𝐵 = � −2 −3

2 5 �


|𝐴𝐴| = � 1 3−1 4� = (1)(4) − (3)(−1) = 7 ⟹ |𝐴𝐴| = 7

|𝐵𝐵| = �−2 −32 5 � = (−2)(5) − (−3)(2) = −4 ⟹ |𝐵𝐵| = −4

80






|𝐴𝐴−1| =1

|𝐴𝐴|











Ejemplos:


𝐴𝐴 = � 1 3−1 4 � 𝑦𝑦 𝐵𝐵 = � −2 −3

2 5 �


|𝐴𝐴| = � 1 3−1 4� = (1)(4) − (3)(−1) = 7 ⟹ |𝐴𝐴| = 7

|𝐵𝐵| = �−2 −32 5 � = (−2)(5) − (−3)(2) = −4 ⟹ |𝐵𝐵| = −4

80






|𝐴𝐴−1| =1

|𝐴𝐴|











Ejemplos:


𝐴𝐴 = � 1 3−1 4 � 𝑦𝑦 𝐵𝐵 = � −2 −3

2 5 �


|𝐴𝐴| = � 1 3−1 4� = (1)(4) − (3)(−1) = 7 ⟹ |𝐴𝐴| = 7

|𝐵𝐵| = �−2 −32 5 � = (−2)(5) − (−3)(2) = −4 ⟹ |𝐵𝐵| = −4

81

Determinante de orden tres ( = )

Si A es una matriz de orden 3, =11 12 13

21 22 23

31 32 33

, su determinante se

calcula utilizando la siguiente fórmula, llamada regla de Sarrus, consistente en la suma de los productos de tres factores:

Ejemplos:Hallaremos el determinantes de las siguientes matrices:

1.

2.


2.2. DETERMINANTES DE ORDEN MAYOR A 4



0 1 2 −31 3 2 −52 4 3 13 −2 −8 1

3 − 2 2

0 1 2 −31 3 2 −50 −2 −1 113 −2 −8 1 4 − 3 2

0 1 2 −31 3 2 −50 −2 −1 110 −11 −14 16

81



21 22 23

31 32 33




1.

2.





0 1 2 −31 3 2 −52 4 3 13 −2 −8 1

3 − 2 2

0 1 2 −31 3 2 −50 −2 −1 113 −2 −8 1 4 − 3 2

0 1 2 −31 3 2 −50 −2 −1 110 −11 −14 16

81



21 22 23

31 32 33




1.

2.





0 1 2 −31 3 2 −52 4 3 13 −2 −8 1

3 − 2 2

0 1 2 −31 3 2 −50 −2 −1 113 −2 −8 1 4 − 3 2

0 1 2 −31 3 2 −50 −2 −1 110 −11 −14 16

82


= 1.�− �1 2 3−2 −1 11−11 −14 16

�� = −�−16 − 242 − 84 − (−33 − 154 − 64)� = 91

2.3. DETERMINANTES DE MATRICES ESPECIALES

3. APLICACIONES

1. Calcular el determinante de la siguiente matriz:

𝐴𝐴 = �1 −1 23 1 40 −2 5

�

Solución:

|𝐴𝐴| = 1. � 1 4−2 5� + 1. �3 4

0 5� + 2. �3 10 −2�

|𝐴𝐴| = 13 + 15 − 12

|𝐴𝐴| = 16


66







ModalidadVirtual

2.3 DETERMINANTES DE MATRICES ESPECIALES

3 APLICACIONES


Solución:

2. Calcular el determinante de la siguiente matriz aplicando propiedad:

Solución:

Ahora multiplico solo los elementos de la diagonal principal de la matriz

|A|=1.1.2 |A|=2


82


= 1.�− �1 2 3−2 −1 11−11 −14 16

�� = −�−16 − 242 − 84 − (−33 − 154 − 64)� = 91


3. APLICACIONES


𝐴𝐴 = �1 −1 23 1 40 −2 5

�

Solución:

|𝐴𝐴| = 1. � 1 4−2 5� + 1. �3 4

0 5� + 2. �3 10 −2�

|𝐴𝐴| = 13 + 15 − 12

|𝐴𝐴| = 16

82


= 1.�− �1 2 3−2 −1 11−11 −14 16

�� = −�−16 − 242 − 84 − (−33 − 154 − 64)� = 91


3. APLICACIONES


𝐴𝐴 = �1 −1 23 1 40 −2 5

�

Solución:

|𝐴𝐴| = 1. � 1 4−2 5� + 1. �3 4

0 5� + 2. �3 10 −2�

|𝐴𝐴| = 13 + 15 − 12

|𝐴𝐴| = 16

82


= 1.�− �1 2 3−2 −1 11−11 −14 16

�� = −�−16 − 242 − 84 − (−33 − 154 − 64)� = 91


3. APLICACIONES


𝐴𝐴 = �1 −1 23 1 40 −2 5

�

Solución:

|𝐴𝐴| = 1. � 1 4−2 5� + 1. �3 4

0 5� + 2. �3 10 −2�

|𝐴𝐴| = 13 + 15 − 12

|𝐴𝐴| = 16

83


𝐴𝐴 = �1 2 30 1 −31 1 8

�

Solución:

�1 2 30 1 −31 1 8

� 𝐴𝐴13(−1) �1 2 30 1 −30 −1 5

� 𝐴𝐴23 �1 2 30 1 −30 0 2

�

Ahora multiplico solo los elementos de la diagonal principal de la matriz |𝐴𝐴| = 1.1.2

|𝐴𝐴| = 2


𝐹𝐹 = �

1 3 5 60 −1 3 42 1 9 63 2 4 8

�

Solución:

�

1 3 5 60 −1 3 42 1 9 63 2 4 8

� 𝐴𝐴13(−2)

𝐴𝐴14(−3) �

1 3 5 60 −1 3 40 −5 −1 −60 −7 −11 −10

� 𝐴𝐴23(−2)𝐴𝐴24(−3) �

1 3 5 60 −1 3 40 0 −16 −260 0 −32 −38

�

𝐴𝐴34(−2) �

1 3 5 60 −1 3 40 0 −16 −260 0 0 14

�


|𝐴𝐴| = 1(−1)(−16)(14)

|𝐴𝐴| = 224

4. Consideremos el siguiente grafico

83


𝐴𝐴 = �1 2 30 1 −31 1 8

�

Solución:

�1 2 30 1 −31 1 8

� 𝐴𝐴13(−1) �1 2 30 1 −30 −1 5

� 𝐴𝐴23 �1 2 30 1 −30 0 2

�


|𝐴𝐴| = 2


𝐹𝐹 = �

1 3 5 60 −1 3 42 1 9 63 2 4 8

�

Solución:

�

1 3 5 60 −1 3 42 1 9 63 2 4 8

� 𝐴𝐴13(−2)

𝐴𝐴14(−3) �

1 3 5 60 −1 3 40 −5 −1 −60 −7 −11 −10

� 𝐴𝐴23(−2)𝐴𝐴24(−3) �

1 3 5 60 −1 3 40 0 −16 −260 0 −32 −38

�

𝐴𝐴34(−2) �

1 3 5 60 −1 3 40 0 −16 −260 0 0 14

�


|𝐴𝐴| = 1(−1)(−16)(14)

|𝐴𝐴| = 224


83


𝐴𝐴 = �1 2 30 1 −31 1 8

�

Solución:

�1 2 30 1 −31 1 8

� 𝐴𝐴13(−1) �1 2 30 1 −30 −1 5

� 𝐴𝐴23 �1 2 30 1 −30 0 2

�


|𝐴𝐴| = 2


𝐹𝐹 = �

1 3 5 60 −1 3 42 1 9 63 2 4 8

�

Solución:

�

1 3 5 60 −1 3 42 1 9 63 2 4 8

� 𝐴𝐴13(−2)

𝐴𝐴14(−3) �

1 3 5 60 −1 3 40 −5 −1 −60 −7 −11 −10

� 𝐴𝐴23(−2)𝐴𝐴24(−3) �

1 3 5 60 −1 3 40 0 −16 −260 0 −32 −38

�

𝐴𝐴34(−2) �

1 3 5 60 −1 3 40 0 −16 −260 0 0 14

�


|𝐴𝐴| = 1(−1)(−16)(14)

|𝐴𝐴| = 224










Solución:


|A|=1(-1)(-16)(14) |A|=224

4. Consideremos el siguiente gráfico

Hallar el área del triangulo sombreado.

Solución

Podemos encontrar el área del triangulo usando los puntos

Elaborando de esta tabla los determinantes tenemos

Es posible que consiga un determinante negativo, como hicimos aquí. No se preocupe. Esto es por la selección del orden de los puntos y puede ser cambiado fácilmente apenas cambiando dos filas del determinante. El área, por una parte, no puede ser negativo, así que si usted consigue un negativo, solo cambie el signo. Finalmente, divídalo por 2 para encontrar el área

83


𝐴𝐴 = �1 2 30 1 −31 1 8

�

Solución:

�1 2 30 1 −31 1 8

� 𝐴𝐴13(−1) �1 2 30 1 −30 −1 5

� 𝐴𝐴23 �1 2 30 1 −30 0 2

�


|𝐴𝐴| = 2


𝐹𝐹 = �

1 3 5 60 −1 3 42 1 9 63 2 4 8

�

Solución:

�

1 3 5 60 −1 3 42 1 9 63 2 4 8

� 𝐴𝐴13(−2)

𝐴𝐴14(−3) �

1 3 5 60 −1 3 40 −5 −1 −60 −7 −11 −10

� 𝐴𝐴23(−2)𝐴𝐴24(−3) �

1 3 5 60 −1 3 40 0 −16 −260 0 −32 −38

�

𝐴𝐴34(−2) �

1 3 5 60 −1 3 40 0 −16 −260 0 0 14

�


|𝐴𝐴| = 1(−1)(−16)(14)

|𝐴𝐴| = 224


83


𝐴𝐴 = �1 2 30 1 −31 1 8

�

Solución:

�1 2 30 1 −31 1 8

� 𝐴𝐴13(−1) �1 2 30 1 −30 −1 5

� 𝐴𝐴23 �1 2 30 1 −30 0 2

�


|𝐴𝐴| = 2


𝐹𝐹 = �

1 3 5 60 −1 3 42 1 9 63 2 4 8

�

Solución:

�

1 3 5 60 −1 3 42 1 9 63 2 4 8

� 𝐴𝐴13(−2)

𝐴𝐴14(−3) �

1 3 5 60 −1 3 40 −5 −1 −60 −7 −11 −10

� 𝐴𝐴23(−2)𝐴𝐴24(−3) �

1 3 5 60 −1 3 40 0 −16 −260 0 −32 −38

�

𝐴𝐴34(−2) �

1 3 5 60 −1 3 40 0 −16 −260 0 0 14

�


|𝐴𝐴| = 1(−1)(−16)(14)

|𝐴𝐴| = 224


84


SoluciónPodemos encontrar el área del triangulo usando los puntos


�−2 2 11 5 16 −1 1

� = (−2) � 5 1−1 1� − 1 � 2 1

−1 1� + 6 �2 15 1�

= −2(5 + 1) − 1(2 + 1) + 6(2 − 5) = −2(6) − 1(3) + 6(−3) = −12 − 3 − 18 = −𝟑𝟑𝟑𝟑


𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑑𝑑𝐴𝐴𝑑𝑑 𝑡𝑡𝐴𝐴𝑡𝑡𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡 =332

= 16.5 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑑𝑑.2

ACTIVIDAD N°01:

1. Calcula el determinante de las siguientes matrices y di cuáles de ellas son regulares (tienen determinante distinto de cero):

𝐴𝐴) 𝐴𝐴 = �−13

53

0 −6� 𝑏𝑏) 𝐵𝐵 = � 1 −1

−2 −2� 𝑐𝑐) 𝐶𝐶 = �11 3−7 −2�

2. Calcula los determinantes de las siguientes matrices:

𝐴𝐴) 𝐴𝐴 = �2 5 01 −1 2−3 3 6

� 𝑏𝑏) 𝐵𝐵 = �1 0 0−1 3 −4−1 2 5

�

X Y 1

Punto 1 -2 2 1

Punto 2 1 5 1

Punto 3 6 -1 1

84




�−2 2 11 5 16 −1 1

� = (−2) � 5 1−1 1� − 1 � 2 1

−1 1� + 6 �2 15 1�

= −2(5 + 1) − 1(2 + 1) + 6(2 − 5) = −2(6) − 1(3) + 6(−3) = −12 − 3 − 18 = −𝟑𝟑𝟑𝟑




ACTIVIDAD N°01:


𝐴𝐴) 𝐴𝐴 = �−13

53

0 −6� 𝑏𝑏) 𝐵𝐵 = � 1 −1

−2 −2� 𝑐𝑐) 𝐶𝐶 = �11 3−7 −2�


𝐴𝐴) 𝐴𝐴 = �2 5 01 −1 2−3 3 6

� 𝑏𝑏) 𝐵𝐵 = �1 0 0−1 3 −4−1 2 5

�

X Y 1

Punto 1 -2 2 1

Punto 2 1 5 1

Punto 3 6 -1 1

84




�−2 2 11 5 16 −1 1

� = (−2) � 5 1−1 1� − 1 � 2 1

−1 1� + 6 �2 15 1�

= −2(5 + 1) − 1(2 + 1) + 6(2 − 5) = −2(6) − 1(3) + 6(−3) = −12 − 3 − 18 = −𝟑𝟑𝟑𝟑




ACTIVIDAD N°01:


𝐴𝐴) 𝐴𝐴 = �−13

53

0 −6� 𝑏𝑏) 𝐵𝐵 = � 1 −1

−2 −2� 𝑐𝑐) 𝐶𝐶 = �11 3−7 −2�


𝐴𝐴) 𝐴𝐴 = �2 5 01 −1 2−3 3 6

� 𝑏𝑏) 𝐵𝐵 = �1 0 0−1 3 −4−1 2 5

�

X Y 1

Punto 1 -2 2 1

Punto 2 1 5 1

Punto 3 6 -1 1


68







ModalidadVirtual







ACTIVIDAD N° 1: PRÁCTICA DE DETERMINANTES


TEMA N° 2: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALESMediante los sistemas de ecuaciones se resuelven diversos problemas aplicados a la rea-lidad, como es el caso en finanzas, donde una empresa recibe un préstamo a diferentes intereses y desea conocer cuánto debe pagar a cada tasa ó en el caso de física para en-contrar la ecuación de la trayectoria de una pelota lanzada con un determinado ángulo de inclinación.

1 DEFINICIÓN

Un sistema de “m” ecuaciones con “n” incógnitas, es un conjunto de ecuaciones de la forma:

Se puede observar que hay “n” variables.

Ahora veremos algunos ejemplos de sistema de ecuaciones lineales:

a) x - 3z = -2 3x + y – 2z = 5 2x + 2y + z = 4

b) 3x + 3y + 12z = 6 x + y + 4z = 2 2x + 5y + 20z = 10 -x + 2y + 8z = 4

Los sistema de ecuaciones se pueden clasificar de acuerdo al número de soluciones que pueda tener. De acuerdo a esto se pueden presentar los siguientes casos:

• Sistema incompatible:

Cuando el sistema de ecuaciones no tiene solución

• Sistema compatible:

Si el sistema de ecuaciones tiene solución; éstos sistemas a la vez se clasifican en:

- Sistema compatible determinado: cuando tiene una solución única

- Sistema compatible indeterminado: cuando admite un conjunto infinito de soluciones.

2 MÉTODOS PARA RESOLVER LOS SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES: GAUSS – JORDAN Y REGLA DE CRÁMER

2.1 MÉTODO DE GAUSS – JORDAN (por operaciones elementales)

Para utilizar el método Gauss – Jordan en un sistema de ecuaciones de la forma:

86

TEMA N° 02: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Mediante los sistemas de ecuaciones se resuelven diversos problemas aplicados a la realidad como es el caso en finanzas donde una empresa recibe un préstamo a diferentes intereses y desea conocer cuánto debe pagar a cada tasa ó en el caso de física para encontrar la ecuación de la trayectoria de una pelota lanzada con un determinado ángulo de inclinación.

1. DEFINICIÓN:

Un sistema de “m” ecuaciones con “n” incógnitas, es un conjunto de ecuaciones de la forma:

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

...............

...............

...............

2211

22222121

11212111

Se puede observar que hay “n” variables.

Ahora veremos algunos ejemplos de sistema de ecuaciones lineales:a) x - 3z = -2

3x + y – 2z = 5 2x + 2y + z = 4

b) 3x + 3y + 12z = 6 x + y + 4z = 2 2x + 5y + 20z = 10 -x + 2y + 8z = 4

Los sistema de ecuaciones se pueden clasificar de acuerdo al número de soluciones que pueda tener. De acuerdo a esto se pueden presentar los siguientes casos:• Sistema incompatible:

Cuando el sistema de ecuaciones no tiene solución• Sistema compatible:

Si el sistema de ecuaciones tiene solución; éstos sistemas a la vez se clasifican en:- Sistema compatible determinado: cuando tiene una solución única- Sistema compatible indeterminado: cuando admite un conjunto infinito de

soluciones.

.

.

.

.

.

.

.

.

.









Primero se obtiene la matriz de coeficientes “A”:

Luego la matriz de términos independientes “B”:

Después se obtiene la MATRIZ AUMENTADA O AMPLIADA A/B del sistema:

Una vez que se obtiene la matriz aumentada se procede con las operaciones elementales para obtener una matriz escalonada, en la cual las filas inferiores deben ser ceros a excepción de una y las filas siguientes también deben tener ceros pero la cantidad de ceros irá disminuyendo de abajo hacia arriba.

Las operaciones elementales con filas son:

a) Intercambio de dos filas

b) Multiplicar una fila por una constante distinta de cero

c) Suma o restar un fila con el múltiplo de otra fila

Ejemplo:

Resolveremos un sistema de ecuaciones con 3 variables utilizando el método de Gauss - Jordan:

Sea la ecuación:

x - 2y + 3z = 9-x + 3y = -42x – 5y + 5z = 17

Hallar x, y, z.

Solución:

Primero obtenemos la matriz de coeficiente “A” y la matriz de términos inde-pendientes “B”

87

2. MÉTODOS PARA RESOLVER LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: GAUUS – JORDAN Y REGLA DE CRÁMER

2.1 METODO DE GAUSS – JORDAN (por operaciones elementales)Para utilizar el método Gauss – Jordan en un sistema de ecuaciones de la forma:

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

...............

...............

...............

2211

22222121

11212111


+++

++++++

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

...............

...............

...............

21

22221

11211


=

mb

bb

B 2

1


+++

++++++

=

nmnmm

n

n

baaa

baaabaaa

BA

...............

...............

...............

/

21

222221

111211

Una vez que se obtiene la matriz aumentada se procede con las operaciones elementales para obtener una matriz escalonada, en la cual las filas inferiores deben ser ceros a excepción de una y las filas siguientes también deben tener ceros pero la cantidad de ceros irá disminuyendo de abajo hacia arriba.Las operaciones elementales con filas son:a) Intercambio de dos filasb) Multiplicar una fila por una constante distinta de ceroc) Suma o restar un fila con el múltiplo de otra fila

Ejemplo:

Resolveremos un sistema de ecuaciones con 3 variables utilizando el método de Gauss Jordan:

Sea la ecuación:x - 2y + 3z = 9-x + 3y = -42x – 5y + 5z = 17

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

87



mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

...............

...............

...............

2211

22222121

11212111


+++

++++++

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

...............

...............

...............

21

22221

11211


=

mb

bb

B 2

1


+++

++++++

=

nmnmm

n

n

baaa

baaabaaa

BA

...............

...............

...............

/

21

222221

111211


Ejemplo:



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

87



mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

...............

...............

...............

2211

22222121

11212111


+++

++++++

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

...............

...............

...............

21

22221

11211


=

mb

bb

B 2

1


+++

++++++

=

nmnmm

n

n

baaa

baaabaaa

BA

...............

...............

...............

/

21

222221

111211


Ejemplo:



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

87



mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

...............

...............

...............

2211

22222121

11212111


+++

++++++

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

...............

...............

...............

21

22221

11211


=

mb

bb

B 2

1


+++

++++++

=

nmnmm

n

n

baaa

baaabaaa

BA

...............

...............

...............

/

21

222221

111211


Ejemplo:



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

88

Hallar x, y, z.Solución:

Primero obtenemos la matriz de coeficiente “A” y la matriz de términos independientes “B”

−−

−=

552031321

A

−=17

49

B

Luego la matriz aumentada

175524031

9321/

−−−

−=BA

Y se aplica las operaciones elementales a las filas:

→−

−−−

+ 12

175524031

9321FF

→ + 12 FF Significa que se tiene que sumar todos los elementos de la fila 2 con los respectivos elementos de la fila 1. Así:

-1 + 1 =03 + (-2) = 1

0 + 3 = 3-4 + 9 = 5

Por tanto quedaría de la forma siguiente:

1755253109321

−

−

Ahora se realiza las operaciones siguientes:

420053109321

111053109321

1755253109321

2313 2

−

→−−−

−

→−

−

+− FFFF

En este punto se puede utilizar la sustitución hacia atrás para determinar x, y z.

• 2z = 4 z = 2

• y + 3 z = 5 y + 3(2) = 5 y = -1

• x – 2y + 3z = 9x – 2(-1) + 3(2) = 9x = 1


70







ModalidadVirtual



Significa que se tiene que sumar todos los elementos de la fila 2 con los respectivos elementos de la fila 1. Así:

-1 + 1 =03 + (-2) = 10 + 3 = 3-4 + 9 = 5




• 2z = 4 z = 2• y + 3 z = 5 y + 3(2) = 5 y = -1• x – 2y + 3z = 9 x – 2(-1) + 3(2) = 9 x = 1

Por tanto:

x = 1y = -1z = 2







ACTIVIDAD N° 2: PRÁCTICA DE ECUACIONES LINEALES


88



−−

−=

552031321

A

−=17

49

B


175524031

9321/

−−−

−=BA


→−

−−−

+ 12

175524031

9321FF


-1 + 1 =03 + (-2) = 1

0 + 3 = 3-4 + 9 = 5


1755253109321

−

−


420053109321

111053109321

1755253109321

2313 2

−

→−−−

−

→−

−

+− FFFF


• 2z = 4 z = 2

• y + 3 z = 5 y + 3(2) = 5 y = -1

• x – 2y + 3z = 9x – 2(-1) + 3(2) = 9x = 1

88



−−

−=

552031321

A

−=17

49

B


175524031

9321/

−−−

−=BA


→−

−−−

+ 12

175524031

9321FF


-1 + 1 =03 + (-2) = 1

0 + 3 = 3-4 + 9 = 5


1755253109321

−

−


420053109321

111053109321

1755253109321

2313 2

−

→−−−

−

→−

−

+− FFFF


• 2z = 4 z = 2

• y + 3 z = 5 y + 3(2) = 5 y = -1

• x – 2y + 3z = 9x – 2(-1) + 3(2) = 9x = 1

88



−−

−=

552031321

A

−=17

49

B


175524031

9321/

−−−

−=BA


→−

−−−

+ 12

175524031

9321FF


-1 + 1 =03 + (-2) = 1

0 + 3 = 3-4 + 9 = 5


1755253109321

−

−


420053109321

111053109321

1755253109321

2313 2

−

→−−−

−

→−

−

+− FFFF


• 2z = 4 z = 2

• y + 3 z = 5 y + 3(2) = 5 y = -1

• x – 2y + 3z = 9x – 2(-1) + 3(2) = 9x = 1

88



−−

−=

552031321

A

−=17

49

B


175524031

9321/

−−−

−=BA


→−

−−−

+ 12

175524031

9321FF


-1 + 1 =03 + (-2) = 1

0 + 3 = 3-4 + 9 = 5


1755253109321

−

−


420053109321

111053109321

1755253109321

2313 2

−

→−−−

−

→−

−

+− FFFF


• 2z = 4 z = 2

• y + 3 z = 5 y + 3(2) = 5 y = -1

• x – 2y + 3z = 9x – 2(-1) + 3(2) = 9x = 1

88



−−

−=

552031321

A

−=17

49

B


175524031

9321/

−−−

−=BA


→−

−−−

+ 12

175524031

9321FF


-1 + 1 =03 + (-2) = 1

0 + 3 = 3-4 + 9 = 5


1755253109321

−

−


420053109321

111053109321

1755253109321

2313 2

−

→−−−

−

→−

−

+− FFFF


• 2z = 4 z = 2

• y + 3 z = 5 y + 3(2) = 5 y = -1

• x – 2y + 3z = 9x – 2(-1) + 3(2) = 9x = 1









2.2 REGLA DE CRÁMER

Si un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas tiene matriz de coeficien-tes A y determinantes distinto de cero |A|, entonces la solución del sistema es:

Donde la í-ésima columna de Ai es la columna de constantes en el sistema de ecuaciones. Si el denominador de la matriz de coeficientes es cero, el sistema no tiene solución, o bien, tiene un número infinito de soluciones.

Ejemplo:

Desarrollaremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando la Regla de Crámer:

Sea:

-x + 2y - 3z = 12x + z = 03x - 4y + 4z = 2

Solución:

Primero hallaremos el determinante de la matriz de coeficientes:

Donde se puede comprobar que la determinante es 10

Como el determinante no es cero, entonces se puede aplicar la regla de Crámer:

La solución es:

x = 4/5, y = -3/2, z = -8/5

89

Por tanto: x = 1y = -1z = 2

ACTIVIDAD N° 02:

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones con el método de Gauss Jordan

1. x – 2y + 3z = 9-x + 3y = -42x – 5y + 5z = 17

2. x - 3z = -23x + y – 2z = 5 2x + 2y + z = 4

3. -x + y - z = -142x - y + z = 213x + 2y + z = 19

4. 3x - 2y + z = 15-x + y + 2z = -10x - y - 4z = 14

5. 3x + 3y + 12z = 6 x + y + 4z = 2 2x + 5y + 20z = 10 -x + 2y + 8z = 4

2.2 REGLA DE CRAMERSi un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas tiene matriz de coeficientes A y determinantes distinto de cero |A|, entonces la solución del sistema es:

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

...............

...............

...............

2211

22222121

11212111

..,.........||||,

||||,

|||| 3

32

21

1 AAx

AAx

AAx ===

Donde la í-ésima columna de Ai es la columna de constantes en el sistema de ecuaciones. Si el denominador de la matriz de coeficientes es cero, el sistema no tiene solución, o bien, tiene un número infinito de soluciones.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

90

Ejemplo:Desarrollaremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando la Regla de Cramer:

Sea:

-x + 2y - 3z = 12x + z = 03x - 4y + 4z = 2

Solución:


443102321

||−

−−=A

Donde se puede comprobar que la determinante es 1010|| =A


58

1016

||243002121

||||

23

1015

||423102311

||||

54

108

||442100321

||||

−=−

=−

−

==

−=−

=

−−

==

==−

−

==

AAAz

AAA

y

AAAx

z

y

x

La solución es:x = 4/5, y = -3/2, z = -8/5

ACTIVIDAD N° 03

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando la regla de Cramer.

1. 4x - y + z = -52x + 2y + 3z = 105x - 2y + 6z = 1

90


Sea:

-x + 2y - 3z = 12x + z = 03x - 4y + 4z = 2

Solución:


443102321

||−

−−=A



58

1016

||243002121

||||

23

1015

||423102311

||||

54

108

||442100321

||||

−=−

=−

−

==

−=−

=

−−

==

==−

−

==

AAAz

AAA

y

AAAx

z

y

x


ACTIVIDAD N° 03


1. 4x - y + z = -52x + 2y + 3z = 105x - 2y + 6z = 1

90


Sea:

-x + 2y - 3z = 12x + z = 03x - 4y + 4z = 2

Solución:


443102321

||−

−−=A



58

1016

||243002121

||||

23

1015

||423102311

||||

54

108

||442100321

||||

−=−

=−

−

==

−=−

=

−−

==

==−

−

==

AAAz

AAA

y

AAAx

z

y

x


ACTIVIDAD N° 03


1. 4x - y + z = -52x + 2y + 3z = 105x - 2y + 6z = 1


72







ModalidadVirtual









3 APLICACIONES

Las aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales se presenta en problemas reales como el que se muestra a continuación:

Ejemplo:

Una corporación pequeña de zapateros solicitó un préstamo por 1,500,000 dólares para ampliar su línea de zapatos. Parte del dinero se recibió al 7%, parte al 8% y parte al 10 %. Utilice un sistema de ecuaciones para determinar cuánto se pago a cada tasa, si el interés anual fue 130,000 dólares y la cantidad prestada al 10% fue 4 veces mayor que la cantidad prestada al 7%.

Solución:

Para iniciar con la solución se tiene que encontrar las variables del problema, sien-do las siguientes:

x : Representa cantidad de dinero que se pago al 7 %

y: Representa cantidad de dinero que se pago al 8 %

z: Representa cantidad de dinero que se pago al 10 %

Como se manifiesta que el préstamo total es de 1,500,000 obtenemos la primera ecuación:

x + y + z = 1,500,000

Además el interés anual fue de 130,000 dólares, monto pagado por cada tasa de interés; la ecuación sería:

0.07 x + 0.08 y + 0.1 z = 130,000

Y también tendremos que considerar el dato que la cantidad prestada al 10 % fue 4 veces mayor que la cantidad prestada al 7%; la ecuación que se obtiene es la siguiente:

z = 4 x

Por tanto resulta el siguiente sistema de ecuaciones:

x + y + z = 1,500,0000.07 x + 0.08 y + 0.1 z = 130,000z = 4 x

Resolviendo el sistema por cualquier método usado, sea Gauss o la regla de Crámer, se obtiene el siguiente resultado:

x = 142,857y = 785,714z = 571,429

Podemos interpretar que las cantidades prestadas son:

142,857 dólares al 7%785,714 dólares al 8%571,429 dólares al 10%























BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD IV


México.

Haeussler, R. Paul (2010). Matemática para Administración y Economía (2010).

México, pág. 1100.

Demana, F., otros (2007). "Precálculo: gráficas, numérico, algebraico" (7ma. ed.).

México: Editorial Pearson educación. Biblioteca UCCI: 512.13 D56.

Larner, J., C. Arya, Robin W. (1992). Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Eco-nomía (3ra. ed.).

Mexico : Editorial Prentice Hall. Biblioteca UCCI: 519 - A78.




74







ModalidadVirtual







AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD IV

1. Hallar el determinante de:

2. Se sabe que Calcular:

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones con el método de Gauss-Jordan:

3. 4x – y + z = -5 2x + 2y + 3z = 10 5x – 2y + 6z = 1

4. 4x – 2y + 3z = -2 2x + 2y + 5z = 16 8x – 5y - 2z = 4

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones con la regla de Crámer:

5. x + y + z = 0 3x + 5y + 4z = 5 3x + 6y + 5z = 2

6. 2x + 3y + 5z = 4 3x + 5y + 9z = 7 5x + 9y + 17z = 13

7. Las corrientes de una red eléctrica están dadas por la solución del sistema

Donde I1, I2 y I3 están medidas en amperes. Determina I2.

8. La empresa El Tigre SAC solicitó un préstamo por 12000 dólares para ampliar su línea de zapatos. Parte del dinero se recibió al 7%, parte al 8% y parte al 10%. El in-terés anual fue 1060 dólares y la cantidad prestada al 10% fue 3 veces que la cantidad prestada al 7%. Determina cuánto se prestó a la tasa de 7%.

93



2. Se sabe que |𝐴𝐴| = �𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐3 0 21 1 1

� = 5. Calcular:

|𝐵𝐵| = �2𝑎𝑎 2𝑏𝑏 2𝑐𝑐

3/2 0 11 1 1

�

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones con el método de Gauss Jordan:

3. 4x – y + z = -52x + 2y + 3z = 105x – 2y + 6z = 1

4. 4x – 2y + 3z = -22x + 2y + 5z = 168x – 5y - 2z = 4

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones con la regla de Cramer:

5. x + y + z = 03x + 5y + 4z = 53x + 6y + 5z = 2

6. 2x + 3y + 5z = 43x + 5y + 9z = 75x + 9y + 17z = 13


1 2 3

1 2

2 3

03 4 18

3 6

I I II I

I I

− + = + = + =


8. La empresa El Tigre SAC solicitó un préstamo por 12000 dólares para ampliar su línea de zapatos. Parte del dinero se recibió al 7%, parte al 8% y parte al 10%. El interés anual fue 1060 dólares y la cantidad prestada al 10% fue 3 veces que la cantidad prestada al 7%. Determina cuánto se prestó a la tasa de 7%.

93




� = 5. Calcular:


3/2 0 11 1 1

�


3. 4x – y + z = -52x + 2y + 3z = 105x – 2y + 6z = 1

4. 4x – 2y + 3z = -22x + 2y + 5z = 168x – 5y - 2z = 4


5. x + y + z = 03x + 5y + 4z = 53x + 6y + 5z = 2

6. 2x + 3y + 5z = 43x + 5y + 9z = 75x + 9y + 17z = 13


1 2 3

1 2

2 3

03 4 18

3 6

I I II I

I I

− + = + = + =



93




� = 5. Calcular:


3/2 0 11 1 1

�


3. 4x – y + z = -52x + 2y + 3z = 105x – 2y + 6z = 1

4. 4x – 2y + 3z = -22x + 2y + 5z = 168x – 5y - 2z = 4


5. x + y + z = 03x + 5y + 4z = 53x + 6y + 5z = 2

6. 2x + 3y + 5z = 43x + 5y + 9z = 75x + 9y + 17z = 13


1 2 3

1 2

2 3

03 4 18

3 6

I I II I

I I

− + = + = + =



93




� = 5. Calcular:


3/2 0 11 1 1

�


3. 4x – y + z = -52x + 2y + 3z = 105x – 2y + 6z = 1

4. 4x – 2y + 3z = -22x + 2y + 5z = 168x – 5y - 2z = 4


5. x + y + z = 03x + 5y + 4z = 53x + 6y + 5z = 2

6. 2x + 3y + 5z = 43x + 5y + 9z = 75x + 9y + 17z = 13


1 2 3

1 2

2 3

03 4 18

3 6

I I II I

I I

− + = + = + =











ANEXO: CLAVES DE LAS AUTOEVALUACIONES

AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD I

1. La ecuación pedida es: 5 46 0x y− + =2. Las ecuaciones de sus lados del triangulo son:

3. La distancia es de 8 unidades

4. La ecuación pedida es: 3x-5y+36=05. La ecuación pedida es: 2x+5y+13=0

a) x2 + y2 = 63 b) x2 + y2 = 15/4

7. C(4,-3) y r = 4 8. Las gráficas son:

a) x2 = 4 y

b) ( y - 3 ) 2 = 6 ( x - 2 )

95

ANEXO

CLAVE DE RESPUESTAS:

AUTOEVALUACIÓN Nº 01


0y = Para el lado AB

( )3 5 3 3y x= + − Para el lado AC

( )3 5 3 3y x= + + Para el lado BC

3. La distancia es de 8 unidades4. La ecuación pedida es: 3𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 + 36 = 05. La ecuación pedida es: 2𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 + 13 = 06. a) x2 + y2 = 63

b) x2 + y2 = 15/47. C (4,-3) y r = 4 8. Las gráficas son:

a) x2 = 4 y

b) ( y - 3 ) 2 = 6 ( x - 2 )

9. Hallar vértice, las coordenadas del foco, las ecuaciones de la directriz y trazar su gráfica de la siguiente ecuación: y2 + 6y + 8x + 25 = 0

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−1

1

2

3

4

x

y

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

95

ANEXO









a) x2 = 4 y

b) ( y - 3 ) 2 = 6 ( x - 2 )


−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−1

1

2

3

4

x

y

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

95

ANEXO









a) x2 = 4 y

b) ( y - 3 ) 2 = 6 ( x - 2 )


−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−1

1

2

3

4

x

y

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

ANEXO

76







ModalidadVirtual

9. Hallar vértice, las coordenadas del foco, las ecuaciones de la directriz y trazar su gráfica de la siguiente ecuación: y2 + 6y + 8x + 25 = 0V (-2, -3)F (-4, -3)Directriz: x = 0

Gráfica:

10. (y-2)2 = 8x

11. 106 unidades







AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD II

ANEXO

96

V (-2, -3)F (-4, -3)Directriz: x = 0Gráfica:

10. (y-2)2 = 8x11. 106 unidades


1. Respuesta: 4𝑥𝑥2 + 20𝑦𝑦2 = 1392. Respuesta: 27𝑥𝑥2 + 36𝑦𝑦2 = 10533. Respuesta: 𝑥𝑥2 + 2𝑦𝑦2 = 84. Respuesta: 7(𝑥𝑥 − 2)2 + 16(𝑦𝑦 + 4)2 = 112; 𝑒𝑒 = 0.75; 2𝑏𝑏 = 2√7; 7

2

5. Respuesta: (𝑥𝑥 − 3)2 + 4(𝑦𝑦 + 2)2 = 4; (3 ; −2); (5 ; −2), (1 ; −2); �3 + √3 ;−2�,

�3 − √3 ; −2�; 4 𝑦𝑦 2; 1; √32

6. Respuesta: 4𝑥𝑥2 − 5𝑦𝑦2 = 167. Respuesta: 5𝑥𝑥2 − 4𝑦𝑦2 = 20 ; 1.58. Respuesta: 𝐹𝐹1�√61 ; 0� 𝐹𝐹2�√61 ; 0� ; 6𝑦𝑦 = ±5𝑥𝑥 ; 30𝑢𝑢2

9. Respuesta: 4(𝑦𝑦 + 2)2 − (𝑥𝑥 − 3)2 = 16 , (3 ; −2) , (3 ; 0 ) (1 ; −2) , �3 ; −2 + √5�

�3 ; −2 − √5� , 2𝑦𝑦 + 4 = ±(𝑥𝑥 − 3) , 4 ,√52

10. y´ =±√22

Gráfica:

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

x

y

96

V (-2, -3)F (-4, -3)Directriz: x = 0Gráfica:

10. (y-2)2 = 8x11. 106 unidades


1. Respuesta: 4𝑥𝑥2 + 20𝑦𝑦2 = 1392. Respuesta: 27𝑥𝑥2 + 36𝑦𝑦2 = 10533. Respuesta: 𝑥𝑥2 + 2𝑦𝑦2 = 84. Respuesta: 7(𝑥𝑥 − 2)2 + 16(𝑦𝑦 + 4)2 = 112; 𝑒𝑒 = 0.75; 2𝑏𝑏 = 2√7; 7

2

5. Respuesta: (𝑥𝑥 − 3)2 + 4(𝑦𝑦 + 2)2 = 4; (3 ; −2); (5 ; −2), (1 ; −2); �3 + √3 ;−2�,

�3 − √3 ; −2�; 4 𝑦𝑦 2; 1; √32

6. Respuesta: 4𝑥𝑥2 − 5𝑦𝑦2 = 167. Respuesta: 5𝑥𝑥2 − 4𝑦𝑦2 = 20 ; 1.58. Respuesta: 𝐹𝐹1�√61 ; 0� 𝐹𝐹2�√61 ; 0� ; 6𝑦𝑦 = ±5𝑥𝑥 ; 30𝑢𝑢2

9. Respuesta: 4(𝑦𝑦 + 2)2 − (𝑥𝑥 − 3)2 = 16 , (3 ; −2) , (3 ; 0 ) (1 ; −2) , �3 ; −2 + √5�

�3 ; −2 − √5� , 2𝑦𝑦 + 4 = ±(𝑥𝑥 − 3) , 4 ,√52

10. y´ =±√22

Gráfica:

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

x

y

97

11.Elipse 12.Gráfica:

Eliminando el parámetro se obtiene:

xxy 1−

=


1. 𝑟𝑟 = 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃𝑐𝑐𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃2. 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 𝑎𝑎𝑦𝑦 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 = 0 3. −2

4. 𝑋𝑋 = �32

20 3

�

5. 𝑋𝑋 = � 2 1 −1−1 0 1�

6. a)

−−

=−

12231A

b) no existe

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

ANEXO








ANEXO

11. Elipse

12. Gráfica:








AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD III

ANEXO

97



xxy 1−

=



4. 𝑋𝑋 = �32

20 3

�

5. 𝑋𝑋 = � 2 1 −1−1 0 1�

6. a)

−−

=−

12231A

b) no existe

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

98

c)

−−

=−

12111A

7. a)

−−−−

=−

233123111

1A

b)

−−=−

5/14/120/704/14/3001

1A


1. -15

2. 5

3. x = -1y = 3z = 2

4. x = 5y = 8z = -2

5. x = -1y = 3z = 2

6. x = -1y = 3z = 2

7. Rpta: 3 amperes

8. 2000 dólares

97



xxy 1−

=



4. 𝑋𝑋 = �32

20 3

�

5. 𝑋𝑋 = � 2 1 −1−1 0 1�

6. a)

−−

=−

12231A

b) no existe

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

78







ModalidadVirtual







AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD IV

1. -15

2. 5

3. x = -1 y = 3 z = 2

4. x = 5 y = 8 z = -2

5. x = -1 y = 3 z = 2

6. x = -1 y = 3 z = 2

7. Rpta: 3 amperes

8. 2000 dólares

ANEXO

80 ModalidadVirtual

Matematica II MAU01

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