Post on 28-Jan-2016
Trihastuti Agustinah
Bidang Studi Teknik Sistem PengaturanJurusan Teknik Elektro - FTIInstitut Teknologi Sepuluh Nopember
TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linear
OBJEKTIF
TEORI
CONTOH
SIMPULAN
LATIHAN
1
2
3
4
5
O U T L I N E
OBJEKTIF Teori Contoh Simpulan Latihan
Mahasiswa mampu:
menghitung determinan matriksmenggunakan metode reduksi baris dan
ekspansi kofaktor
Tujuan Pembelajaran
Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan
Pendahuluan
Selain digunakan untuk menghitung inverssuatu matriks, determinan memiliki aplikasi
penting dalam teori sistem linear
Objektif TEORI
Determinan Orde Tinggi
Determinan Orde 1, 2 dan 3
Evaluasi Determinan: REDUKSI BARIS
Teorema dan Sifat-sifat
EKSPANSI KOFAKTOR
Aplikasi
Contoh Simpulan Latihan
Definisi dan Notasi
Objektif TEORI
• Matriks bujursangkar
• Notasi:
det(A) atau |A| atau
Definisi dan Notasi
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
21
22221
11211
Contoh Simpulan Latihan
Objektif
Determinan orde 1, 2 dan 3 (1)
Orde -1: det(A) = det[a11]=a11
a11 a12
a21 a22det(A) = det = a11a22 – a12a21 Orde -2:
Orde -3:a11 a12
a21 a22det(A) = det
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
– a13a22a31 – a12a21a33 – a11a23a32
a13
a23
a31 a32 a33
Contoh Simpulan LatihanTEORI
Objektif
Determinan orde 1, 2 dan 3 (2)
Determinan matriks sama denganhasilkali elemen yang terletak pada panah positif dikurangi
hasilkali elemen yang terletak pada panah negatif
+-
a11 a12
a21 a22 Orde -2:
Orde -3:
+-
a11 a12
a21 a22
a13
a23
a31 a32 a33
a12
a22
a32
a13
a23
a33
- - + +
Contoh Simpulan LatihanTEORI
Objektif
Determinan Orde Tinggi
Reduksi baris
Ekspansi kofaktor
Contoh Simpulan LatihanTEORI
Objektif
Evaluasi Determinan: REDUKSI BARIS (1)
Prosedur determinan melalui reduksi baris
Gunakan operasi baris elementer
Reduksi matriks ke dalam bentuk segitiga
Hitung determinan
Penghitungan menggunakan komputer
sistematis
mudah diprogram
Contoh Simpulan LatihanTEORI
Objektif
Efek operasi baris elementer (2)
Perkalian barisdengan k
Pertukaran baris
a11 a12
a21 a22
a13
a23
a31 a32 a33
=
ka11 a12
a21 a22
a13
a23
a31 a32 a33
k k
k
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12
a21 a22
a13
a23
a31 a32 a33
= –
det(B) = k det(A)
det(B) = – det(A)
Contoh Simpulan LatihanTEORI
Objektif
Efek operasi baris elementer (3)
Penambahan baris pada baris lain
a11 a12
a21 a22
a13
a23
a31 a32 a33
=
a11 a12
a21 a22
a13
a23
a31 a32 a33
ka23 +ka22 +ka21 +
det(B) = det(A)
Contoh 1
Contoh Simpulan LatihanTEORI
Objektif
Teorema: (1)
A matriks bujursangkar
det(A)=det(AT)
Jika A memiliki baris atau kolom nol, maka det(A)=0
lower triangular
det(A) = a11a22 ∙∙∙ ann
A matriks segitiga:
upper triangular
diagonal
Contoh Simpulan LatihanTEORI
Objektif
Sifat-sifat: (2)
A dan B matriks bujursangkar dengan ukuran sama
det(A-1) = 1/det(A)
Jika A memiliki invers
det(AB) = det(A)det(B)
Contoh 2
Contoh Simpulan LatihanTEORI
Objektif
EKSPANSI KOFAKTOR: notasi (1)
Matriks bujursangkar A
Minor entri aij: determinan submatriks setelah baris ke-i dan kolom
ke-j dihapus dari A
Notasi: Mij
Kofaktor entri aij
Cij=(-1)i+jMij
Cij= ± Mij
+ – ···
···
··· ··· ······
+ –
+– +–
+ – ···+ –
···+– +–
Contoh Simpulan LatihanTEORI
Objektif
Matriks bujursangkar A3x3
det(A) =
EKSPANSI KOFAKTOR: determinan (2)
det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 – a12a21a33 – a11a23a32
= a11
a11C11 + a21C21 + a31 C31
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
A =
(a22a33 – a23a32 ) + a21(a13a32 – a12a33) + a31 (a12a23– a13a22)
Contoh Simpulan LatihanTEORI
Objektif
Determinan dari matriks A dapat dihitung melaluiekspansi kofaktor pada baris atau kolom
det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ∙∙∙ + ainCin
det(A) = a1jC1j + a2jC2j + ∙∙∙ + anjCnj
EKSPANSI KOFAKTOR: determinan (3)
Contoh Simpulan LatihanTEORI
Contoh 3
Objektif
Aplikasi
Sistem linear
m persaman
n variabel
det(λI-A) = 0
Sistem memiliki solusi jika
A x = λ x
skalar(eigenvalue)
eigenvector
Contoh 4
Contoh Simpulan LatihanTEORI
Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh 1Contoh 2Contoh 3Contoh 4
Objektif Teori CONTOH
Contoh 1• Dapatkan determinan dari matriks elementer berikut:
1000010000300001
= 3
1000000100101000
= –1
1000010000100501
Baris kedua dari I4 dikalikan 3
Baris pertama ditukar dengan baris ketiga
= 1 5 kali baris ketiga ditambahkan pada barispertama
Simpulan Latihan
Objektif Teori CONTOH
Contoh 2
Dapatkan determinan matriks berikut menggunakan operasibaris:
−=
162963510
A
Jawab
Simpulan Latihan
Objektif Teori CONTOH
Contoh 2
Tukarkan baris pertamadengan baris kedua:
0 1 5
3 –6 9
2 6 1
= 0 1 5
3 –6 9
2 6 1
–det(A) =
Keluarkan faktor bersama (3) dari baris 1: = 0 1 5
1 –2 3
2 6 1
–3
Tambahkan –2 kali barispertama pada baris ketiga: = 0 1 5
1 –2 3
0 10 –5
–3
Simpulan Latihan
CONTOH
Contoh 2
Tambahkan –10 baris keduapada baris ketiga: det(A)
Keluarkan faktor bersama (–55) dari baris ketiga: = 0 1 5
1 –2 3
0 0 1
–3(–55)
= 0 1 5
1 –2 3
0 0 –55
–3
det(A) = –3(–55)(1) = 165
Simpulan LatihanObjektif Teori
CONTOH
Contoh 3
Dapatkan determinanmatriks A melalui ekspansikofaktor:
−−−=
245342013
A
Ekspansi kofaktor: kolom ke-3
det(A)= a13C13+ a23C23+ a33C33
C13 = +M13 =
C23 = –M23 =
C33 = +M33 =
5 4
–2 –4 = 12
3 1–2 –4
= –10
= 0(12)+3(–7)+(–2)(–10)= –1
5 4
3 1 = –7–
Simpulan LatihanObjektif Teori
CONTOH
Contoh 4
Dapatkan eigenvaluematriks:
=
2431
A
Persamaan karakteristik
024
31)det( =
−−−−
=−λ
λλ AI
0)5)(2( =−+ λλ
Eigenvalue A:
λ= −2 dan λ=5
Simpulan LatihanObjektif Teori
Contoh SIMPULAN
Determinan
• Determinan dapat dihitung dengan menggunakandua cara, yaitu
reduksi baris
ekspansi kofaktor
LatihanObjektif Teori
Simpulan LATIHAN
Soal:
• Hitung determinan matriks berikut:
ContohObjektif Teori
−−
−=
510272963
A
Simpulan LATIHAN
Solusi Latihan:
Determinan dihitung dengan menggunakan ekspansikofaktor pada baris ke-3:
ContohObjektif Teori
C31 = +M31 =
C32 = –M32 =
C33 = +M33 =
7 –2
–6 9 = –51
3 –6–2 7
= 9
–2 –2
3 9 = –12–
det(A)= a31C31+ a32C32+ a33C33 = 0(–51)+1(–12)+(5)(9)= 33