Turunan danPenggunaannya

Materi 1

INHERENT K-1 ITB - UNHAS 2007 1

Garis

Singg

ung

KecepatanSesaat

Turunan FungsiTurunan Fungsi

Aplikasi

INHERENT K-1 ITB - UNHAS 2007 2

Contoh Kecepatan Sesaat:Bagaimana menghitung kecepatan sesaat dari mobil yang berjalan?

Definisi:Turunan dari suatu fungsi f di titik c adalah

jika limitnya ada dan tidak sama dengan ∞ atau -∞.Penulisan yang lain:

( ) ( ) ( )h

cfhcfcfh

−+=′

→0lim

( ) ( ) ( )cx

cfxfcfcx −

−=′

→lim

Garis singgung dan Kecepatan Sesaat

INHERENT K-1 ITB - UNHAS 2007 6

Definisi:Turunan dari suatu fungsi f adalah suatu fungsi lainf’ (baca: f aksen) yang nilainya di setiap x adalah

( ) ( ) ( )h

xfhxfxfh

−+=′

→0lim

Jika f’(c) ada maka f kontinu di titik c.Jika f tidak kontinu di c maka f’(c) tidak ada.

Pertanyaan: Jika f kontinu di titik c, apakah f’(c) selalu ada?Misal f(x) = |x|, apakah f kontinu di 0? Apakah f’(0)ada?

INHERENT K-1 ITB - UNHAS 2007 7

Pertanyaan: Misal f(x) = |x|, apakah f kontinu di 0? Apakah f’(0) ada?Jawab:

( ) ( )

( ) ( )00 0

00 0

00 0lim lim lim 1

00 0lim lim lim 1

hh h

hh h

hf h f hh h h

hf h f hh h h

+ +

− −

→→ →

→→ →

−+ −= = =

−+ − −= = = −

Jadi fungsi f kontinu karena ketiga nilai di atas sama.

0 0 0

0 0 0

lim ( ) lim lim 0,

lim ( ) lim lim 0

(0) 0 0

x x x

x x x

f x x x

f x x x

f

+ + +

− − −

→ → →

→ → →

= = =

= = − =

= =

Jadi fungsi f’(0) tidak ada karena nilai limit tidak sama.

Notasi turunan:Penulisan turunan dari suatu fungsi y = f(x) dalambentuk operator diferensiasi dan :

( )dxdyxf

dxdfDxfy x ===′= )()('

disebut notasi Leibniz

xDdxd

dxdy

INHERENT K-1 ITB - UNHAS 2007 9

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 51

14lim1

43lim1

1lim11

2

11=

−−+

=−

−+=

−−

=′→→→ x

xxx

xxx

fxffxxx

Contoh menghitung turunan dengan definisi:

• Cari turunan dari fungsi f(x)= x2 + 3x di titik 1.

• Cari turunan dari fungsi f(x)=4x+1.

( ) ( ) ( ) ( ) 44lim141)(4limlim000

==+−++

=−+

=′→→→ h

hh

xhxh

xfhxfxfhhh

INHERENT K-1 ITB - UNHAS 2007 10

Contoh menghitung turunan fungsi trigonometridengan definisi:

• Cari turunan dari fungsi f(x)=sin(x).( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )x

xxh

hxh

hx

hhxhx

hxhx

hxfhxfxf

hh

h

h

h

cos 1.cos0.sin

sinlimcoscoslimsin

sin)cos()cos(sinlim

sinsinlim

lim

00

0

0

0

−=−=

−=

−=

−+=

−+=′

→→

→

→

→

INHERENT K-1 ITB - UNHAS 2007 11

Aturan untuk mencari turunan:Perhitungan dengan definisi cukup panjang untukfungsi yang rumit. Aturan yang lebih praktis diperlukanuntuk menghitung turunan.

( ) 0xD k =( ) 1xD x =

1. f(x)=k, k suatu konstanta

2. f(x)=x,

( 1)( ) , ( )n n nxf x x D x nx −= =3.

( . ( )) . ( )x xD k f x k D f x=4.

INHERENT K-1 ITB - UNHAS 2007 12

[ ]2

5. [ ( ) ( )] ( ) ( )6. [ ( ) ( )] ( ) ( )7. [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )8.( ) ( )

x x x

x x x

x x x

x xx

D f x g x D f x D g xD f x g x D f x D g xD f x g x f x D g x g x D f x

g x D f x f x D g xf xDg x g x

+ = +− = −

= +

⎛ ⎞ −=⎜ ⎟

⎝ ⎠

Pertanyaan:Bagaimana mencari f’(x), jika ada, jika f(x) = 3| x | untuk setiap x?

INHERENT K-1 ITB - UNHAS 2007 13

2

2

(sin ) cos(cos ) sin

(tan ) sec

(cot ) csc(sec ) sec tan(csc ) csc cot

x

x

x

x

x

x

D x xD x x

D x x

D x xD x x xD x x x

== −

=

=== −

Turunan fungsi trigonometri:

Pertanyaan:Bagaimana cara anda menghafal aturan di atas?Lihat adanya 3 pasangan cos x – sin x, tan x – sec x,

cotan x – csc x

INHERENT K-1 ITB - UNHAS 2007 15

Aturan Rantai: (f ◦g)’(x)=f’(g(x))g’(x)atau dy dy du

dx du dx=

Turunan Tingkat Tinggi:Ada 4 notasi untuk menyatakan turunan:

( )dxdyfDxfy x ),(,,' ′Pertama:

Kedua:

Ketiga:

Ke-n:

( ) 2

22 ),(,'',''

dxyd

dxdy

dxdfDxfy x =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

( )2 3

32 3''', ''' , ( ),x

d d y d yy f x D fdx dx dx

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )1

( ) ( )1, , ( ),

n nn n n

x n n

d d y d yy f x D fdx dx dx

−

−

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠INHERENT K-1 ITB - UNHAS 2007 16

Turunan Implisit: turunan dari fungsi implisit

Persamaan bentuk eksplisit:

Turunan pertamanya:

Persamaan bentuk implisit:

Turunan pertama (thd x):

Persamaan terakhir dapat difaktorisasisehingga mendapatkan

))((

),(

xfdxd

dxdy

xfy

=

=

0)),(()),((

)()),(),((

),(),(

=+

=+

=+

yxgdxdyxf

dxd

cdxdyxgyxf

dxd

cyxgyxf

dxdy

INHERENT K-1 ITB - UNHAS 2007 17

( )

)sin(32

0)sin(23

)2()cos(

22

22

23

yxyxy

dxdy

dxdyy

dxdyxy

dxdxx

dxdyy

dxdyyxy

dxd

−+=

=−++

=++

Contoh: Cari untuk

Jawab:dxdy 2)cos(23 =++ yyxy

INHERENT K-1 ITB - UNHAS 2007 18

Laju yang berkaitanDiferensial dan AproksimasiPersoalan Memaksimumkan atau MeminimumkanMenggambar grafik Canggih: Titik kritis, Nilai Ekstrim,

Kemonotonan, Kecekungan, Asimtot

INHERENT K-1 ITB - UNHAS 2007 19

Contoh Laju Berkaitan:R(t) = jari-jari kebocoran minyak berbentuk lingkaran di sekitar tangkiA(t) = luas kebocoran minyak berbentuk lingkaran di sekitar tangkidR/dt berkaitan dengan dA/dtBagaimana mencari dA/dt jika dR/dt diketahui pada saat t=T?

Hitung laju perubahan luas area lingkaran kebocoranminyak jika saat t = 2 jam dan R=3, laju perubahanjari-jari area adalah 4m/jam.Jawab:

Diketahui persamaan luas lingkaran adalah

Masalah di atas adalah penurunan implisit fungsi di atas terhadapwaktu t jam

22A Rπ=

( )22 2 2 4dA d dR dRR R Rdt dt dt dt

π π π= = ⋅ =

Pada saat R=3m dan lajunya 4 m/jam adalah:

4 (3)(4) 48dAdt

π= =

Jadi laju perubahan area kebocoran adalah 48 m/jam

Contoh: MisalkanJika x berubah dari 2 ke 2,01, cari perkirakan perubahany dan perubahan y yang sebenarnyaJawab:

2sin( )y x xπ= +

Perhatikan bahwa, ( )cos( ) 2dy x x dxπ π= +Dengan 2x = , 0,01dx = , maka

( )cos( .2) 2.2 0,01y dy π π∆ ≈ = +( )4 0,01π= +

Jadi perubahan nilai y mendekati (0,01π+0.04) atau 0.7141592654

Perubahan y sebenarnya adalah

∆y = y(2.01) - y(2)=4.071510760-4 = 0.71510760

Dengan definisi-definisi tersebut, timbul pertanyaanapakah setiap fungsi mempunyai nilai maksimum ataunilai minimum atau bahkan keduanya ?

Sebagai contoh apakah f(x) = x dengan x di Rmempunyai nilai maksimum atau nilai minimum ?

Fungsi f(x) = x, dengan Df= R, tidak mempunyaiNilai maksimum ataupun nilai minimum, karena tidakterdapat bilangan c di R sehinggaf(c) >= f(x), untuk setiap x di R.

Fungsi yang dijamin mempunyai nilai maksimumdan minimum dinyatakan dalam teorema berikut.

Kalau anda ditanyakan : Nama gunung yang tertinggi diDunia, tentu jawabannya adalah gunung Everest. Kemudian jika ditanyakan , nama gunung yang tertinggiDi Indonesia, jawabannya adalah gunung JayaWijaya.

Kedua gunung ini sama-sama tertinggi, yang berbedaAdalah daerah dimana gunung tersebut tertinggi, Yang Satu di Dunia dan yang satu lagi di Indonesia dimanaIndonesia merupakan bagian dari dunia. Jadi di setiapDaerah yang diberikan tentu kita dapat mencari gunungYang tertinggi.

Pencarian kita ini dikatakan secara lokal, karena hanyaTerbatas pada suatu daerah tertentu.

Demikian halnya fungsi mempunyai nilai ekstrim lokal.

Contoh Persoalan Max-Min:Mencari sudut pandangan terbesar.Bagaimana menggunakan kalkulus untuk memaksimumkan sudutpandang?

Contoh Menggambar Grafik memakai Kalkulus:Kemonotonan ditunjukkan oleh perubahan tanda dari f’(x).Bagaimana menentukan nilai ekstrim menggunakan Uji TurunanPertama?

INHERENT K-1 ITB - UNHAS 2007 48

INHERENT K-1 ITB - UNHAS 2007 49

32203)(

35 xxxf −=

Langkah I: Analisis PrakalkulusDaerah asal: (-∞, ∞) atau bilangan RealDaerah hasil: (-∞, ∞) atau bilangan RealTitik potong pada sumbu x didapat dari

Diperoleh x = 0 dan

Jadi titik potong adalah (0,0) dan

0)203(321 23 =−xx

352=x

)0,352(

INHERENT K-1 ITB - UNHAS 2007 50

Langkah 2: Analisis KalkulusMencari titik kritis: terdiri dari titik stasioner dan singular.Titik stasioner terjadi pada f’(x)=0.

maka x = 0, -2 atau 2.

Jadi titik kritis adalah x=-2, 0 dan 2.Titik stasioner tidak ada karena fungsi merupakan fungsipolinom yang punya turunan di setiap daerah asalnya.

Mencari selang kemonotonan: perhatikan selang (- ∞,-2), (-2,0), (0,2) dan (2, ∞). Cari titik-titik di dalam selangtersebut dan tentukan nilainya positif atau negatif.

0)141(

815)(' 22 =−= xxxf

INHERENT K-1 ITB - UNHAS 2007 51

Masukkan x = -4, -1, 1 dan 4 pada f’(x)f(-4) = -90 < 0 f(-1)=45/32 > 0f(4) = 90 > 0 f(1)=45/32 < 0

Jadi selang turun pada (- ∞,-2), dan (2, ∞) sedangkanselang naik pada (-2,0) dan (0,2) atau dpt ditulis (-2,2).

-20 2

- -+ +

-2

INHERENT K-1 ITB - UNHAS 2007 52

Mencari nilai ekstrim lokal: dengan memakai Uji TurunanPertama maka didapat

f(-2)=2 minimum lokal karena f’(x)>0 pada selang (- ∞,-2), dan f’(x)>0 pada selang (-2,2), f(2)=0 maksimum lokal karena f’(x)>0 pada selang (-2,2) dan f’(x)<0 pada selang (2, ∞).

INHERENT K-1 ITB - UNHAS 2007 53

0

- -+ +

Mencari kecekungan grafik: gunakan fungsi turunankedua dan cari titik belok dengan membuat f’’(x)=0

maka titik belok x=0, dan

Perhatikan selang (- ∞, ), ( ,0), (0, ), ( ,∞).Masukkan beberapa titik pada f’’(x), misal x = -2, -1, 1, 2.f’’(-2)= -15/2 < 0 f’’(-1)=15/4 > 0f(2)=15/2 > 0 f’’(1)=-15/4 < 0

Jadi grafik cekung ke bawa pada selang (- ∞, ) dan(0, ) sedangkan cekung ke atas pada selang ( ,0)

dan ( , ∞).

0)121(

415)('' 2 =−= xxxf 22−

2− 2− 2 2

2− 22−

2−22

54INHERENT K-1 ITB - UNHAS 2007

Mencari asimtot: x = a adalah asimtot tegak jika berlaku salah satu ataukeduanya:

y = b adalah asimtot mendatar jika berlaku salah satuatau keduanya:

Pada soal, tidak ada a dan b yang memenuhi semua limit di atas.

±∞=+→

)(lim xfax

±∞=−→

)(lim xfax

bxfx

=∞→

)(lim bxfx

=−∞→

)(lim

INHERENT K-1 ITB - UNHAS 2007 55

Gambar grafik lengkapnya: perhatikan tuliskan semuatitik potong, nama sumbu x dan y, dan titik-titik ekstrimdan belok. y

x2−

2 2

-2

(2,-2)

(-2,2)

(1,4,-1,2)

(-1,4,1,2)

INHERENT K-1 ITB - UNHAS 2007 56