Kompleksitas Algoritma

Pertemuan 1Kompleksitas Algoritma

Pendahuluan

• Sebuah algoritma tidak saja harus benar, tetapi juga harus mangkus (efisien).

• Algoritma yang bagus adalah algoritma yang mangkus.

• Kemangkusan algoritma diukur dari berapa jumlah waktu dan ruang (space) memori yang dibutuhkan untuk menjalankannya.

• Algoritma yang mangkus ialah algoritma yang meminimumkan kebutuhan waktu dan ruang.

• Kebutuhan waktu dan ruang suatu algoritma bergantung pada ukuran masukan (n), yang menyatakan jumlah data yang diproses.

• Kemangkusan algoritma dapat digunakan untuk menilai algoritma yang bagus.

Model Perhitungan Kebutuhan Waktu/Ruang

• Kita dapat mengukur waktu yang diperlukan oleh sebuah algoritma dengan menghitung banyaknya operasi/instruksi yang dieksekusi (basic operation) : operasi dasar dari suatu algoritma yg terjadi selama running time.

 • Jika kita mengetahui besaran waktu (dalam satuan

detik) untuk melaksanakan sebuah operasi tertentu, maka kita dapat menghitung berapa waktu sesungguhnya untuk melaksanakan algoritma tersebut

Contoh 1. Menghitung rerata

a1 a2 a3 … an Larik bilangan bulat

procedure HitungRerata(input a1, a2, ..., an : integer, output r : real) { Menghitung nilai rata-rata dari sekumpulan elemen larik integer a1, a2, ..., an. Nilai rata-rata akan disimpan di dalam peubah r. Masukan: a1, a2, ..., an Keluaran: r (nilai rata-rata) } Deklarasi k : integer jumlah : real Algoritma

jumlah0 k1 while k n do jumlahjumlah + ak kk+1 endwhile { k > n } r jumlah/n { nilai rata-rata }

(i) Operasi pengisian nilai (jumlah0, k1, jumlahjumlah+ak, kk+1, dan r jumlah/n)

Jumlah seluruh operasi pengisian nilai adalah

t1 = 1 + 1 + n + n + 1 = 3 + 2n (ii) Operasi penjumlahan (jumlah+ak, dan k+1)

Jumlah seluruh operasi penjumlahan adalah

t2 = n + n = 2n (iii) Operasi pembagian (jumlah/n)

Jumlah seluruh operasi pembagian adalah

t3 = 1 Total kebutuhan waktu algoritma HitungRerata: t = t1 + t2 + t3 = (3 + 2n)a + 2nb + c detik

Model perhitungan kebutuhan waktu seperti di atas kurang berguna, karena:

1. Dalam praktek, tidak mempunyai informasi berapa waktu sesungguhnya untuk melaksanakan suatu operasi tertentu

2. Komputer dengan arsitektur yang berbeda akan berbeda pula lama waktu untuk setiap jenis operasinya.

• Model abstrak pengukuran waktu/ruang harus independen dari pertimbangan mesin dan compiler apapun.

 • Besaran yang dipakai untuk menerangkan

model abstrak pengukuran waktu/ruang ini adalah kompleksitas algoritma.

 • Ada dua macam kompleksitas algoritma, yaitu:

kompleksitas waktu dan kompleksitas ruang.

• Kompleksitas waktu, T(n), diukur dari jumlah tahapan komputasi yang dibutuhkan untuk menjalankan algoritma sebagai fungsi dari ukuran masukan n.

 • Kompleksitas ruang, S(n), diukur dari memori yang

digunakan oleh struktur data yang terdapat di dalam algoritma sebagai fungsi dari ukuran masukan n.

 • Dengan menggunakan besaran kompleksitas

waktu/ruang algoritma, kita dapat menentukan laju peningkatan waktu (ruang) yang diperlukan algoritma dengan meningkatnya ukuran masukan n.

Ukuran masukan (n): jumlah data yang diproses oleh sebuah algoritma.

•Contoh: algoritma pengurutan 1000 elemen larik, maka n = 1000.•Contoh: algoritma TSP pada sebuah graf lengkap dengan 100 simpul, maka n = 100.•Contoh: algoritma perkalian 2 buah matriks berukuran 50 x 50, maka n = 50.

Dalam praktek perhitungan kompleksitas, ukuran masukan dinyatakan sebagai variabel n saja.

Kompleksitas Waktu• Jumlah tahapan komputasi dihitung dari berapa

kali suatu operasi dilaksanakan di dalam sebuah algoritma sebagai fungsi ukuran masukan (n).

• Di dalam sebuah algoritma terdapat bermacam jenis operasi:– Operasi baca/tulis– Operasi aritmetika (+, -, *, /)– Operasi pengisian nilai (assignment)– Operasi pengakasesan elemen larik– Operasi pemanggilan fungsi/prosedur– dll

• Dalam praktek, kita hanya menghitung jumlah operasi khas (tipikal) yang mendasari suatu algoritma

• Contoh 2. Tinjau algoritma menghitung rerata pada Contoh 1. Operasi yang mendasar pada algoritma tersebut adalah operasi penjumlahan elemen-elemen ak (yaitu jumlahjumlah+ak), yang dilakukan sebanyak n kali.

 • Kompleksitas waktu T(n) = n.

Kompleksitas waktu dibedakan atas tiga macam :

1. Tmax(n) : kompleksitas waktu untuk kasus terburuk (worst case), kebutuhan waktu maksimum.2. Tmin(n) : kompleksitas waktu untuk kasus terbaik (best case), kebutuhan waktu minimum.3. Tavg(n) : kompleksitas waktu untuk kasus rata-rata (average case) kebutuhan waktu secara rata-rata

Efisiensi Worst-Case, Best-Case, dan Average-Case

Untuk menghitung efisiensi suatu algoritma tidak hanya tergantung pada parameter size dari input, tetapi juga tergantung pada spesifikasi inputan.

• Worst-case efficiencyEfisiensi untuk input worst-case berukuran n, dimana algoritma berjalan paling lama dari kemungkinan input yang ada.

Analisa worst-case menjamin bahwa suatu program tidak akan pernah melebihi Cworst (n), yaitu running time pada inputan worst-case (terburuk).

• Best-case efficiencyEfisiensi untuk input best-case berukuran n, dimana algoritma berjalan paling cepat dari kemungkinan input yang ada.

• Average-case efficiencyDihitung bukan berdasarkan rata-rata worst-case dan best-case. Untuk menganalisanya, kita harus membuat asumsi-asumsi dari input berukuran n yang mungkin.

Contoh 3. Algoritma sequential search. procedure PencarianBeruntun(input a1, a2, ..., an : integer, x : integer, output idx : integer) Deklarasi k : integer ketemu : boolean { bernilai true jika x ditemukan atau false jika x tidak ditemukan } Algoritma: k1 ketemu false while (k n) and (not ketemu) do if ak = x then ketemu true else k k + 1 endif endwhile { k > n or ketemu } if ketemu then { x ditemukan } idxk else idx 0 { x tidak ditemukan } endif

J u m l a h o p e r a s i p e r b a n d i n g a n e l e m e n t a b e l : 1 . K a s u s t e r b a i k : i n i t e r j a d i b i l a a 1 = x .

T m i n ( n ) = 1 2 . K a s u s t e r b u r u k : b i l a a n = x a t a u x t i d a k d i t e m u k a n .

T m a x ( n ) = n 3 . K a s u s r a t a - r a t a : J i k a x d i t e m u k a n p a d a p o s i s i k e - j , m a k a o p e r a s i

p e r b a n d i n g a n ( a k = x ) a k a n d i e k s e k u s i s e b a n y a k j k a l i .

T a v g ( n ) = 2

)1()1(2

1)...321(

n

n

nn

n

n

Cara lain: asumsikan bahwa P(a j = x) = 1/n. Jika a j = x maka T j yang dibutuhkan adalah T j = j. Jumlah perbandingan elemen larik rata-rata:

Tavg(n) =

n

jj

n

jj

n

jj

Tnn

TXjAPT111

11)][(

=

n

j

jn 1

1=

2

1)

2

)1((

1

nnn

n

Tugas 1

Hitung kompleksitas waktu algoritma berikut

Algoritma pencarian biner (bynary search). procedure PencarianBiner(input a1, a2, ..., an : integer, x : integer, output idx : integer) Deklarasi i, j, mid : integer ketemu : boolean Algoritma i1 jn ketemufalse while (not ketemu) and ( i j) do mid (i+j) div 2 if amid = x then ketemu true else if amid < x then { cari di belahan kanan } imid + 1 else { cari di belahan kiri } jmid - 1; endif endif endwhile {ketemu or i > j } if ketemu then idxmid else idx0 endif

Algoritma pengurutan seleksi (selection sort). procedure Urut(input/output a1, a2, ..., an : integer) Deklarasi i, j, imaks, temp : integer Algoritma for in downto 2 do { pass sebanyak n – 1 kali } imaks1 for j2 to i do if aj > aimaks then imaksj endif endfor { pertukarkan aimaks dengan ai } tempai aiaimaks aimakstemp endfor