Post on 14-Jul-2015
Kelompok 5 : Kamal Nuur HudaMuhammad FadhilMuhammad Alief DiegoMuhammad Rezky SetiadiMukhlis Hidayat
Interpolasi adalah proses pencarian dan perhitungan nilai suatu fungsi yang grafiknya melewati sekumpulan titik yang diberikan. Titik-titik tersebut kemungkinan merupakan hasil eksperimen dalam sebuah percobaan, atau dari hasil sebuah fungsi yang diketahui. Fungsi interpolasi pada pembahasan ini tentang interpolasi pada fungsi polinomial, karena fungsi tersebut paling banyak dipakai menggantikan suatu fungsi yang rumit dengan fungsi yang lebih sederhana.
mendapatkan polinomial untuk menggantikan suatu fungsi yang rumit dengan fungsi yang lebih sederhana.
Pehaman dalam penerapan metode numerik dalam matematika untuk menyelesaikan permaasalahan matematis ataupun perhitungan.
sebuah tabel nilai-nilai fungsi, misalnya f ( x) = cos( x) , interpolasi dapat digunakan untuk mencari nilai-nilai f(x) untuk nilai-nilai x yang tidak terdapat di dalam tabel.
Salah satu solusi adalah mencari fungsi yang mencocokan (fit) titik-titik data di dalam tabel.
Titik yang digunakan 0 1 0.2 0.5 -0.2 0.5 0.8 0.058824 -0.8 0.058824
F(x) =18.3824x4-13.2353x2+ 1
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y1
y2
Titik2 yang digunakan untuk menghitung interpolasi n = 3
(-3,-63) (3,-9)
(0,0) (-2,-24)
Persamaan -27a + 9b – 3c + d = -63 7a + 9b + 3c + d = -9 -8a + 4b – 2c + d = -24 d = 0
Penyelesaian X3 – 4x2 + 1.59872e-15X
y2
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
-6 -4 -2 0 2 4 6
y2
ide dasar : pada saat data dalam bentuk tabel tidak begitu bervariasi, sehingga memungkinkan untuk dilakukan pendekatan dengan menggunakan sebuah garis lurus di antara dua titik yang berdekatan.
maka untuk mencari nilai x=45 maka,
F(x) = ax2 + bx + c
Titik-titik data (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3)
Hitung a, b dan c dari sistem persamaan tersebut dengan Metode Eliminasi Gauss
Diberikan titik ln(8) = 2.0794, ln(9) = 2.1972, ln(9.5) = 2.2513. Tentukan nilai ln(9.2) dengan interpolasi kuadrat
Sistem Pers Linier yang terbentuk. 64 a + 8 b + c = 2.0794 81 a + 9 b + c = 2.1972 90.25 a + 9.5 b + c = 2.2513
Penyelesaian a= -0.0064 b = 0.2266 c = 0.6762
Sehingga p2(9.2) = 2.2192
x0 x1 x
f(x)
x2h h
L(x)
x3h
Terdapat 4 titik data (x0,y0) (x1,y1) (x2,y2) dan (x3,y3) p3(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3
Polinom p3(x) ditentukan dengan cara Masukan (xi,yi) ke dalam persamaan ▪ a0 + a1x0 + a2x0
2 + a3x03 = y0
▪ a0 + a1x1 + a2x12 + a3x1
3 = y1
▪ a0 + a1x2 + a2x22 + a3x2
3 = y2
▪ a0 + a1x3 + a2x32 + a3x3
3 = y3
Hitung a0 , a1 , a2 , dan a3
Secara umum, penentuan polinomial dengan cara tsb kurang disukai, karena mempunyai kemungkinan yang jelek terutama untuk derajat polinomial yang semakin tinggi.
Terdapat beberapa metode polinom interpolasi : Polinom Lagrange Polinom Newton Polinom Newton Gregory
Polinom berderajat satu
Dapat diatur kembali sedemikian rupa sehingga menjadi
Atau dapat dinyatakan dalam bentuk (*)
Dimana
Persamaan * dinamakan Polinom Lagrange derajat 1.
)()(
)()( 0
01
0101 xx
xx
yyyxp −
−−
+=
)(
)(
)(
)()(
01
01
10
101 xx
xxy
xx
xxyxp
−−
+−−
=
)()()( 11001 xLaxLaxp +=
00 ya =
)(
)()(
10
10 xx
xxxL
−−
=
11 ya =
)(
)()(
01
01 xx
xxxL
−−
=
Bentuk umum Polinom Lagrange derajat ≤ n untuk (n+1) titik berbeda adalah :
Yang dalam hal ini
)(...)()()()( 110
00 xLaxLaxLaxLaxp nn
n
iiin +++== ∑
=
ii ya =
∏≠= −
−=
n
ijj ji
ji xx
xxxL
0 )(
)()(
Hampiri fungsi f(x) = cos(x) dengan polinom interpolasi derajat tiga pada range [0.0, 1.2]. Gunakan empat titik
x0 = 0.0, x1 = 0.4, x2 = 0.8, x3 = 1.2 Perkirakan nilai p3(0.5) dan bandingkan dengan
nilai sebenarnya.
Xi 0.0 0.4 0.8 1.2yi 1 0.921061 0.696707 0.362358
Polinom Lagrange derajat 3 yang menginterpolasi keempat titik tsb.
))()((
))()((
))()((
))()((
))()((
))()((
))()((
))()(()(
)()()()()(
231303
2103
321202
3102
312101
3201
302010
32103
332211003
xxxxxx
xxxxxxy
xxxxxx
xxxxxxy
xxxxxx
xxxxxxy
xxxxxx
xxxxxxyxp
xLaxLaxLaxLaxp
−−−−−−
+−−−
−−−
+−−−
−−−+
−−−−−−
=
+++=
877221.0)5.0(3 =p
)8.02.1)(4.02.1)(0.02.1(
)8.0)(4.0)(0.0(362358.0
)2.18.0)(4.08.0)(0.08.0(
)2.1)(4.0)(0.0(696707.0
)2.14.0)(8.04.0)(0.04.0(
)2.1)(8.0)(0.0(921061.0
)2.10.0)(8.00.0)(4.00.0(
)2.1)(8.0)(4.0(1)(3
−−−−−−+
−−−−−−
+−−−
−−−+−−−
−−−=
xxxxxx
xxxxxxXp
877583.0)5.0cos( ==y
Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek karena : Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali
interpolasi adalah besar. Interpolasi untuk nilai x yang lain memerlukan jumlah komputasi yang sama karena tidak ada bagian komputasi sebelumnya yang dapat digunakan.
Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan. Karena tidak ada hubungannya antara pn-1(x) dan pn(x) pada polinom Lagrange
Polinom yang dibentuk sebelumnya dapat digunakan untuk membentuk polinom derajat yang lebih tinggi.
Persamaan Polinom Linier
Bentuk pers ini dapat ditulis :
Yang dalam hal ini (1)
Dan (2)
Pers ini mrpk bentuk selish terbagi (divided-difference)
)()(
)()( 0
01
0101 xx
xx
yyyxp −
−−
+=
)()( 0101 xxaaxp −+= )( 000 xfya ==
)(
)()(
)(
)(
01
01
01
011 xx
xfxf
xx
yya
−−
=−−
=
],[ 011 xxfa =
Polinom kuadratik
Atau
Dari pers ini menunjukkan bahwa p2(x) dapat dibentuk dari pers sebelumnya p1(x). Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2 untuk mendapatkan (3)
Nilai a0 dan a1 pada pers 1 dan 2 dimasukkan pada pers 3
))(()()( 1020102 xxxxaxxaaxp −−+−+=
))(()()( 10212 xxxxaxpxp −−+=
))((
)()(
1202
021022 xxxx
xxaaxfa
−−−−−
=
12
01
01
02
02
2
)()()()(
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
a−
−−
−−−
=
Dengan melakukan utak-atik aljabar, pers ini lebih disukai
02
0112
02
01
01
12
02
2
],[],[
)()()()(
xx
xxfxxf
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
a−−
=−
−−
−−−
=
Jadi tahapan pembentukan polinom Newton :
)()()( 0101 xxaxpxp −+=
)()( 0101 xxaaxp −+=
))(()()( 1020102 xxxxaxxaaxp −−+−+=
))(()()( 10212 xxxxaxpxp −−+=
))()(()()( 210323 xxxxxxaxpxp −−−+=
))()(())(()()( 21031020103 xxxxxxaxxxxaxxaaxp −−−+−−+−+=
Nilai konstanta a0, a1, a2,…, an, merupakan nilai selisih terbagi , dg nilai
Yang dalam hal ini ],,...,,[
],,[
],[
)(
011
0122
011
00
xxxxfa
xxxfa
xxfa
xfa
nnn −====
0
012111011
),,...,,[],...,,[],,...,,[
],[],[],,[
)()(],[
xx
xxxxfxxxfxxxxf
xx
xxfxxfxxxf
xx
xfxfxxf
n
nnnnnn
ki
kjjikji
ji
jiji
−−
=
−−
=
−−
=
−−−−
Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai : Rekurens
basis Atau dalam bentuk polinom yang lengkap sbb :
],,...,,[))...()(()()( 0111101 xxxxfxxxxxxxpxp nnnnn −−− −−−+=
],,...,,[))...()((
],,[))((],[)()()(
011110
012100100
xxxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxxfxp
nnn
n
−−−−−+−−+−+=
)()( 00 xfxp =
Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tiga dan empat yang menghampiri f(x)=cos(x) dalam range[0.0, 4] dan jarak antar titik adalah 1.0. Lalu taksirlah f(x) dengan x=2.5 dengan Polinom Newton derajat 3.
xi yi ST-1 ST-2 ST-3 ST-4
0.0 1 -0.4597 -0.2484 0.1466 -0.0147
1.0 0.5403 -0.9564 0.1913 0.0880
2.0 -0.4161 -0.5739 0.4551
3.0 -0.99 0.3363
4.0 -0.6536
Contoh cara menghitung nilai selisih terbagi pada tabel :
2484.002
4597.09564.0
)(
],[],[],,[
9564.012
5403.04161.0
)(
)()(],[
4597.001
15403.0
)(
)()(],[
02
0112012
12
1212
01
0101
−=−+−=
−−
=
−=−−−=
−−
=
−=−
−=−−
=
xx
xxfxxfxxxf
xx
xfxfxxf
xx
xfxfxxf
Interpolasi didefinisikn sebagai cara untuk mengestimasi nilai dari fungsi yan diberikan oleh kelompok data.
Interpolasi linear adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus.Misal diberikan dua buah titik () dan (), polinom yang menginterpolasikan dua buah titik ini ialah:
Interpolasi kuadrat ialah digunakan untuk mencari titik-tiik antara dari 3 buah titik yaitu
Polinom lagrange ialah perumusan ulang darri polinom newton yang menghindari komputasi beda-beda terbagi.secara singkat dapat dinyatakan dengan:
Polinom Newton tersusun dari beberapa perumusan polinom yang lain nya .
)()()( 0101 xxaxpxp −+=
)()( 0101 xxaaxp −+=
))(()()( 1020102 xxxxaxxaaxp −−+−+=
))(()()( 10212 xxxxaxpxp −−+=
))()(()()( 210323 xxxxxxaxpxp −−−+=
))()(())(()()( 21031020103 xxxxxxaxxxxaxxaaxp −−−+−−+−+=