Post on 08-Mar-2019
Contoh Soal Penerapan Persoalan Industri pada penyelesaian persamaan linier : 1. Seorang pembuat boneka ingin membuat dua macam boneka yaitu boneka A dan
boneka B. Kedua boneka tersebut dibuat dengan menggunakan dua macam bahan yaitu potongan kain dan kancing. Boneka A membutuhkan 10 potongan kain dan 6 kancing, sedangkan boneka B membutuhkan 8 potongan kain dan 8 kancing. Permasalahannya adalah berapa buah boneka A dan boneka B yang dapat dibuat dari 82 potongan kain dan 62 kancing ?
Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan : x = jumlah boneka A y = jumlah boneka B Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa: Potongan kain 10 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 82 Kancing 6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 62 Atau dapat dituliskan dengan : 10 x + 8 y = 82 6 x + 8 y = 62 Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan di atas. Penyelesaian dengan metoda eliminasi :
(1) 10x + 8y = 82 (2) 6x + 8y = 62 -
4x + 0 = 20 x = 5 masukkan nilai x ke persamaan (1) : 10 x 5 + 8y = 82 50 + 8y = 82 8y = 32 y = 4
Penyelesaian dengan matriks :
Kedua persamaan di atas bisa dituliskan sebagai berikut :
10 8
x
82
baris 1
6 8
y = 62
baris 2
langkah ke 1 1 0.8
x
8.2
baris 1 dibagi 10 =baris3
langkah ke 2 0 3.2
y = 13
baris 2 - baris 3*6 =baris4
langkah ke 4 1 0
x
5
baris 3-baris6*0.8 =baris 5
langkah ke 3 0 1
y = 4
baris 4 / 3.2 =baris 6
2) Seorang Ir. Industri mengawasi produksi dengan 4 buah jenis komputer (jenis a,b,c dan d) ,untuk produksinya menggunakan 4 jenis sumber daya yaitu : jam kerja, logam, plastic dan komponen listrik Jumlah sumber daya yang diperlukan untuk menghasilkan setiap jenis computer diberikan dalam tabel berikut :
Jenis Komputer
jam kerja
logam plastik komponen
listrik
a 3 20 lb 10 lb 10
b 4 25 lb 15 lb 8
c 7 40 lb 20 lb 10
d 20 50 lb 22 lb 15
Jika tersedia setiap hari masing-masing 504 jam kerja, 1970 lb logam , 970 lb plastik dan 601 komponen listrik, berapa banyak komputer dapat diproduksi tiap hari ? Penyelesaian : buat persamaan-persamaan sebagai berikut :
Jam kerja 3a + 4b + 7c + 20d = 504 logam 20a + 25b + 40c + 50d = 1970 plastik 10a + 15b + 20c + 22d = 970 komponen listrik 10a + 8b + 10c +15d = 601
Selanjutnya susun persamaan di atas dalam bentuk matriks dan selesaikan persamaan tersebut ! Persamaan matriksnya adalah sebagai berikut :
A B C 3 4 7 20 a 504 20 25 40 50 x b = 1970 10 15 20 22 c 970 10 8 10 15 d 601
Penyelesaian matriks tersebut adalah : B = A-1 x C
Mencari Invers :
1) A =
155
320
111
Carilah invers A
Jawab : 3IA =
100
010
001
155
320
111
A I3
155
320
111
100
010
001
155
320
111
100
010
001
5 x baris I kurangkan kepada baris III
400
320
111
105
010
001
Baris II dibagi 2
400
2/310
111
105
02/10
001
Baris I kurangi baris II
400
2/310
2/101
105
02/10
02/11
Baris III bagi dengan –4
100
2/310
2/101
4/104/5
02/10
02/11
Tambahkan –3/2 x baris III kepada baris II
100
010
2/101
4/104/5
8/32/18/15
02/11
Tambahkan ½ x baris III kepada baris I
100
010
001
4/104/5
8/32/18/15
8/12/18/13
Diperoleh A-1 =
4/104/5
8/32/18/15
8/12/18/13
2) A =
155
320
111
Carilah invers A
Jawab :
A11 = +15
32 = 2 – 15 = -13
A12 = - 15
30 = -(0 – 15) = 15
A13 = +55
20 = 0.5 – 10 = -10
A21 = -15
11 = -(1-5) = 4
A22 = +15
11= 1-5 = -4
A23 = - 55
11= -(5-5) = 0
A31 = +32
11= 3 – 2 = 1
A32 = - 30
11= -(3-0) = -3
A33 = + 20
11= 2 – 0 = 2
Adjoin A = (kofaktor A)T
Kofaktor A =
231
044
101513
(Kofaktor A)T =
2010
3415
1413
Catatan : untuk mencari AT yaitu merubah baris menjadi kolom .
Atau dengan rumus Adj A =
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
...
.
.
.
.
.
.
...
...
21
22212
12111
Invers A = A-1 = A
Aadj
.det
.;
setelah dicari det A = -8 , sebagai berikut : 1 1 1 1 1
0 2 3 0 2
5 5 1 5 5
det A = 1x2x1 + 1x3x5 +1x0x5 - 5x2x1 -5x3x1 -1x0x1 = -8
maka
A-1 = -1/8
2010
3415
1413
=
4/104/5
8/32/18/15
8/12/18/13
Mencari Invers dengan sekatan (partisi)
Suatu matrik bisa dijadikan partisi-partisi, misalnya :
A =
720
131
312
dan B =
300
321
142
kita sekat-sekat menjadi
A =
720
131
312
dan B =
300
321
142
A dan B bisa dijumlahkan dan dikalikan bila memenuhi syarat-ordo penjumlahan dan perkalian.
AB =
720
131
312
300
321
142
=
373
120007
21
4220
31
3
3
1
31
1200
1
3
21
42
31
12
=
1260042
3
9
10
5
00
00
105
105
=
2742
13
14
105
105
=
2742
13105
14105
Hasil kali ini sama dengan hasil kali mengunakan perkalian biasa.
A =
ihg
fed
cba
kita sekat menjadi
SR
QP
B =
srq
pon
mlk
kita sekat menjadi
WV
UT
Det. (A) = det (P) det (S) – det (Q) det (R)
Syaratnya : P, Q, R, S bujur sangkar
Untuk mencari invers, lakukan prosedur berikut :
Misal : A-1 = B
A =
)()(
)()(
2221
1211
qxq
A
qxp
A
pxq
A
pxp
A
B =
)()(
)()(
2221
1211
qxq
B
qxp
B
pxq
B
pxp
B
p + q = n
Karena AB = BA = In, maka diperoleh :
1) A11 B11 + A12 B21 = Ip
2) A11 B12 + A12 B22 = 0
3) B21 A11 + B22 A21 = 0
4) B21 A12 + B22 A22 = Iq
Misalkan B22 = L-1, maka diperoleh :
a) dari 2) B12 = -(A11-1 A12) L
-1
b) dari 3) B21 = - L-1 (A21 A11) -1
c) dari 1) B11 = A11-1 - A11
-1 A12 B21
= A11-1 +( A11
-1 A12) L-1 (A21 A11
-1)
d) bila didistribusikan ke dalam 4), maka
- L-1 (A21 A11 –1)A12 + L-1 A22 = Iq
L = A22 - (A21 A11 –1)A12
= A22 – A21 (A11-1 A12)
A11 harus nonsingular
Contoh Soal
Carilah invers A =
431
341
331
dengan partisi
Penyelesaian :
Misalkan kita partisikan A menjadi
431
341
331
Berarti :
A11 =
41
31 A21 = 31
A12 =
3
3 A22 = 4
A11-1 =
34
1
11
34 =
11
34
A11-1 A12 =
11
34
3
3 =
0
3
A21 A11-1 = 31
11
34 = 01
L = A22 – A21 (A11-1 A12) = 4 - 31
0
3 = 1
L-1 = (1) karena (1) (1) = I
B11 = A11-1 + (A11
-1 A12) L-1 (A21 A11
-1)
=
11
34 +
0
3 1 01
=
11
34 +
00
03
=
11
37
B12 = -(A11-1 A12) L
-1 = -
0
3 1 =
0
3
B21 = - L-1 (A21 A11-1)
= - 1 01
= 01
B22 = L-1 = 1
Jadi A-1 =
2221
1211
BB
BB =
101
011
337
Determinan :
dan Mjk adalah determinan orde n-1, yaitu penentu submatriks dari A yang diperoleh dari A dengan menghilangkan baris dan kolom dari entry ajk , yaitu baris ke-j dan kolom ke-k. Dengan cara ini, D didefinisikan dalam hal penentu n rangka n-1, yang masing-masing, pada gilirannya, didefinisikan dalam istilah n-1 determinan orde n-2, dan seterusnya, kami akhirnya tiba di urutan kedua penentu, di mana submatriks terdiri dari entri tunggal yang determinan didefinisikan sebagai entri sendiri. Dari definisi tersebut maka kita dapat memperluas D oleh setiap baris atau kolom, sama ketika memperluas itu cjk dalam (3) dan seterusnya. Dari definisi tersebut maka kita dapat memperluas D oleh setiap baris atau kolom, sama ketika memperluas itu cjk dalam (3) dan seterusnya. Definisi ini adalah un ambigous, yaitu, menghasilkan nilai yang sama untuk D tidak peduli yang kolom atau baris yang kita pilih dalam memperluas. Sebuah bukti untuk diberikan dalam App.4
perilaku merupakan penentu n-order di bawah operasi baris elementer. (a) Pertukaran dua baris mengalikan nilai determinan by-1 (b) Penambahan kelipatan dari baris tidak mengubah nilai determinan (c) perkalian baris dengan konstanta c nol mengalikan nilai determinan dengan c (ini berlaku juga ketika c = 0, tapi tidak memberikan lagi suatu operasi baris elementer Contoh : Hitung determinan dari matriks ordo 4x4 berikut :
1 0 0 -1
D 3 4 2 -1
2 -1 4 -3
-2 3 1 2
Penyelesaian :
RUANG VEKTOR RUANG VEKTOR EUCLIDIS Ruang Vektor yang paling elementer adalah ruang vektor Euclidis yaitu dalam Rn, n=1,2,3, … Untuk lebih jelasnya kita tinjau Ruang Vektor Euclidis R2, vektor-vektor dalam R2 bisa digambarkan secara geometris oleh segmen2 garis berarah . Gambaran geometris ini akan membantu kita membayangkan bagaimana operasi-operasi perkalian dan penjumlahan
skalar bekerja dalam R2 . Jika diberikan satu vector x = (𝑥1
𝑥2) , maka kita dapat
mengasosiasikannya dengan segmen garis dalam bidang dari (0,0) ke (x1, x2) (lihat gambar 1) . Jika kita menyamakan segmen2 garis yang memiliki